Nombre: Dennis A. Casazola García

Docente: Marco Peredo

Fecha: 18/11/2013

PRACTICA NRO.1 – LOGICA DIFUSA

PARTE TEORICA – EXCEL

1.1. Explain the difference between randomness and fuzziness.

La aleatoriedad (randomness) hace referencia a un conjunto de valores que

no deben tener relación alguna una a la otra, cada una es totalmente

independiente. Este concepto es utilizado principalmente para el

procesamiento estadístico de un sistema y tiene la finalidad de describir la

incertidumbre de que un evento llegue a ocurrir (o grado de

ocurrencia), por lo que del conjunto completo de probabilidades estas

tienen que ser complementarias y sumar un valor igual a 1.

Por otra parte la difusividad (fuzziness) engloba conjuntos de valores que

pueden tener relacion una a la otra. Este concepto es utilizado para la

caracterizacion de conjuntos no precisos y tienen la finalidad de medir el

grado de incertidumbre de que ocurra un evento (o grado de

pertenencia a un conjunto) y no asi definir la ocurrencia del mismo.

Dentro de un conjunto en base a este concepto, la suma de los mismo no

necesariamente deben sumar 1, ya que no describen procesos

complementarios.

1.2. Find some examples of prospective fuzzy variables in daily lift

Un ejemplo de una variable difusa podría ser la temperatura, ya que con el

lenguaje común de las personas no se manejan valores exactos al momento

de tener una conversación, sino se tienen palabras de uso común como

“calor”, “frio”, etc. que no representan a valores concretos de temperatura

pero sí podrían establecer cierto grado de pertenencia a diversos rangos

especifico.

Otro ejemplo similar es el sonido, ya que esta percepción varía en cada uno

de las personas y en si el nivel de potencia sonora (dB) y la relación con

“alto” o “bajo” podría variar en un rango muy amplio. Se debe tener en

cuenta que además existen variaciones de “muy” y “poco” en cuanto a los

niveles.

La belleza de una persona de igual manera es una variable muy ambigua y

subjetiva y en este caso no existe ni siquiera una escala de valores como en

los anteriores casos, acá el criterio es totalmente subjetivo y no podría existir

comparación exacta entre los diversos criterios. El grado de pertenencia en

estos casos es muy variado, si bien en los concursos de belleza existen

jueces que otorgan valores a las concursantes (asignan un grado de

pertenencia) en base a ciertas categorías de atributos, estos son criterios

personales, no por nada a día siguiente se escuchan críticas sobre la

puntuación de una u otra concursante.

El conocimiento de igual manera no es algo que se pueda definir de manera

precisa, si bien existen pruebas para medir el conocimiento no son tan

reales, ya que existen muchos factores que podrían influir en este por lo que

la gente común normalmente se maneja categorías descriptivas como

“listo”, “muy listo”, “tonto” , etc.

Similares a las anteriores existen una infinita cantidad de variables que

pueden considerarse como casos de variables difusas.

1.3. Describe the concept of a fuzzy set in your own words.

Si definimos en primera instancia un conjunto preciso (crisp set), nos

referimos a aquellos conjuntos en los que todos sus elementos solo tienen 2

posibilidades, el elemento pertenece o no pertenece al conjunto definido,

graficamente se podria dibujar un poligono cerrado en el cual dentro estarian

los elementos que pertenecen al grupo y fuera de la figura los que no

pertenencen. Numericamente en estos casos solo se maneja al 1 (pertenece)

y el 0 (no pertenece) para caracterizar cada elemento.

En el caso de los conjuntos difusos (fuzzy set), ya no somos tan estrictos con

los elementos, por lo que ahora podriamos definer un grado de

pertenenecia para cada uno, el grado de pertenencia indica en que medida

dicho elemento puede pertenecer al grupo, es decir se podria decir que en

un elemento X pertenece en un 80% a un determinado grupo, por lo que los

elementos no siempre pertenecerian en su totalidad a un grupo concreto.

Graficamente se podria definer a un poligono pero con bordes que no son

exactos, sino que varian en funcion a la distancia del punto de pertenencia

total (1). Numericamente como se pudo notar los elementos pueden tener

cualquier valor del interval de 0 a 1, siendo 0 la no pertencia total y 1 la

pertenecia total.

1.4. Find some examples of interval-valued fuzzy sets, L -Fuzzy

sets, level 2 fuzzy sets, and type 2 fuzzy sets.

Los conjuntos difusos valorados por interval (interval-valued), son aquellos

en los que cada element no tiene un numero real asignado para el grado de

pertenencia si no mas bien tiene un rango de valores. Un ejemplo de este

tipo de conjuntos podria ser la pureza de un element, si bien se pueden

establecer ciertos valores de pureza existira un grado de incertidumbre que

permite definir la pureza en function a intervalos, lo cual afectara ademas a

las operaciones que se hagan con el elemento como por ejemplo la

temperature de ebullicion puede variar de igual manera en function a un

interval.

Para los conjuntos difusos de tipo 2 (type 2), un ejemplo podria darse con la

temperatura de una region en la que tengamos Calor, Templado, Frio como

parametros que representaran el grado de membresia pero a la vez cada

uno pueda ser definido dentro un rango de valores, en este caso la

temperatura (0 a 100 grados). Es decir que cada parametro tiene un

comportamiento definido dentro de otro conjunto de tipo-1 para las

relaciones de pertenecia, como si tuvieramos 3 conjuntos distintos, sin

embargo se cuentran relacionados entre si. Al igual que este se pueden

deducir otros ejemplos similares con variables subjetivas como la

inteligencia (listo, normal, genio, tonto, etc.) o la altura (alto, bajo, mediano,

etc.).

En el caso de los conjuntos de nivel 2, podemos manejar un ejemplo de un

conjunto de tiendas que deben ser analizados en base a distintas

propiedades subjetivas (cercania, transporte, poblacion, movimiento

economico, etc). El criterio de eleccion del grado de pertenencia de cada

elemento o propiedad varia ya que no se tiene la misma base para la

eleccion, sin embargo el orden del criterio sera el mismo para el conjunto de

tiendas.

El tipo de conjuntos L-fuzzy es una generalizacion de los otros tipos, por lo

que los maneja como casos especiales para los mismo, en estos conjuntos ya

no se maneja el intervalo unitario para el grado de membresia, si no que el

mismo se expande a cualquier valor definido. Un ejemplo fuera de los otros

casos especiales podria ser el uso de denominativos literales sin valor

numerico, pero que sin embargo puede realizarse una asignacion subjetiva

del grado de pertenencia al mismo. Un ejemplo de su aplicacion es el soft-

computing.

1.5. Explain why we need fuzzy set theory.

Esta teoria nos permite analizar y trabajar directamente con variables del

tipo difuso, que a su vez al tener esa caracteristica intriseca de

incertidumbre logra asemejarse de major manera a la realidad y sus

variables, principalmente cuando las comparamos a los conjuntos precisos

que al tener tan solo 2 estados no logran describir completamente un

conjunto.

La teoria de conjuntos difusos, permite trabajar en base a medidas

experimentales sin la necesidad de definer modelos que nunca son reales

que nos lleven a aproximaciones con un conjunto preciso. Intrinsecamente

siempre habra impresicion, incosistencia, falta de informacion, etc. en una

medida experimental por lo que los conjuntos difusos podrian manejar estos

datos de manera mucho mas simple al englobar sus parametros.

El tener una teoria especifica a conjuntos difusos, se hace necesaria debido a

que todas la teoria de conjuntos que anteriormente se manejo esta basada

en conjuntos precisos, estos conjuntos solo presentan 2 valores posibles y

no se asemejan a la representacion que se da en un conjunto difuso en el

cual se maneja intervalos de valores y es necesario definer nuevas formas

de caracterizacion para un correcta interpretacion de los resultados que a la

vez son basados en decisiciones muy subjetivas y no concretas como ocurria

en la teoria clasica.

1.6. Explain why the law of contradiction and the law of exclusive

middle are violated in fuzzy set theory under the standard

fuzzy sets operations. What is the significance of this?

Esto es debido al tipo de operaciones que se manejan para los conjuntos

difusos, ya que se manejan las operaciones de minimo y maximo, ademas

que el complemento no es un valor del tipo binarios sino un complementa al

grado de pertenencia al grupo que puede ser un numero distinto al conjunto

{1,0} que define al universo y vacio en conjunto precisos.

A∩A’= Ø Conjuntos precisos

A∩A’= max(μA,1-μA)≠ Ø

AUA’= U Conjuntos precisos

AUA’= min(μA,1-μA)≠{1,0}

En ambos casos si se tuviera valores binaries se cumpliria la relacion para

conjuntos precisos, sin embargo al tener valores difusos casi siempre (muy

pocas excepciones) existira un valor distinto a 0 o 1 dentro de la resolucion

al tener valores del tipo decimal a ser tomados en cuenta.

En el primer caso nunca se tendra un conjunto vacio ya que siempre se

contara con un valor con algun grado de pertenencia, en el segundo caso no

se puede hablar del universo si no se presentan todos los grados de

pertenencia que llegarias a ser infinitos.

PARTE PRACTICA – EXCEL

A=0.4/v+0.2/w+0.5/x+0.4/y+1/z

x A(x)0 0.41 0.22 0.53 0.44 1

|A| 2.5

B=1/x+1/y+1/z

x B(x)0 11 12 1

|B| 3

C(x)=x/(x+1)

x C(x)0 0.001 0.502 0.673 0.754 0.805 0.836 0.867 0.888 0.899 0.9010 0.91

|C| 7.98

D(x)=1-x/10x D(x)0 1.001 0.902 0.803 0.704 0.605 0.506 0.407 0.30

8 0.209 0.1010 0.00|D| 5.50

|A|+|B|=|A⋃B|+|A⋂B|

|A|+|B|=∑xϵX

max [A ( x ) ,B (x)]+∑xϵX

min [ A ( x ) ,B(x )]

|A|+|B|=∑xϵX

(max [ A ( x ) ,B ( x ) ]+min [ A ( x ) ,B ( x ) ] )

Si A ( x )≥ B(x)

max [ A ( x ) ,B ( x ) ]=A(x )

min [ A ( x ) ,B ( x ) ]=B (x)

Si A ( x )<B (x)

max [ A ( x ) ,B ( x ) ]=B(x)

min [ A ( x ) ,B ( x ) ]=A (x )

De las anteriores afirmaciones podriamos deducir lo siguiente:

max [ A ( x ) ,B ( x ) ]+min [A (x ) ,B ( x ) ]=A ( x )+B (x )

|A|+|B|=∑xϵX

A (x )+B ( x )

|A|+|B|=∑xϵX

A (x )+∑xϵX

B ( x )

|A|+|B|=|A|+|B|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Subconjuntos

A B C

x A B C0 1.0000 1.0000 1.00001 0.0909 0.3015 0.00832 0.0476 0.2182 0.00233 0.0323 0.1796 0.00104 0.0244 0.1562 0.00065 0.0196 0.1400 0.00046 0.0164 0.1280 0.00037 0.0141 0.1187 0.00028 0.0123 0.1111 0.00029 0.0110 0.1048 0.0001

10 0.0099 0.0995 0.000111 0.0090 0.0949 0.000112 0.0083 0.0909 0.000113 0.0076 0.0874 0.000114 0.0071 0.0842 0.000115 0.0066 0.0814 0.000016 0.0062 0.0788 0.000017 0.0058 0.0765 0.000018 0.0055 0.0743 0.000019 0.0052 0.0724 0.000020 0.0050 0.0705 0.0000

De la grafica anterior y el comportamiento de las function podemos realizer

la siguiente afirmacion:

C⊆ A⊆B

1) Señal Original

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

A B C

X A B C

0 0.0000 1.0000 0.02441 0.3333 0.5000 0.09092 0.5000 0.2500 1.00003 0.6000 0.1250 0.09094 0.6667 0.0625 0.02445 0.7143 0.0313 0.01106 0.7500 0.0156 0.00627 0.7778 0.0078 0.00408 0.8000 0.0039 0.00289 0.8182 0.0020 0.0020

10 0.8333 0.0010 0.0016

2) Inciso a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Inciso a)

A' B' C'

X A' B' C' 0 1.0000 0.0000 0.97561 0.6667 0.5000 0.90912 0.5000 0.7500 0.00003 0.4000 0.8750 0.90914 0.3333 0.9375 0.97565 0.2857 0.9688 0.98906 0.2500 0.9844 0.99387 0.2222 0.9922 0.99608 0.2000 0.9961 0.99729 0.1818 0.9980 0.9980

10 0.1667 0.9990 0.9984

3) Inciso b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Inciso b)

AUB AUC BUC

X AUB AUC BUC

0 1.0000 0.0244 1.00001 0.5000 0.3333 0.50002 0.5000 1.0000 1.00003 0.6000 0.6000 0.12504 0.6667 0.6667 0.06255 0.7143 0.7143 0.03136 0.7500 0.7500 0.01567 0.7778 0.7778 0.00788 0.8000 0.8000 0.00399 0.8182 0.8182 0.0020

10 0.8333 0.8333 0.0016

4) Inciso c

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

Inciso c)

A∩B A∩C B∩C

X A∩B A∩C B∩C

0 0.0000 0.0000 0.02441 0.3333 0.0909 0.09092 0.2500 0.5000 0.25003 0.1250 0.0909 0.09094 0.0625 0.0244 0.02445 0.0313 0.0110 0.01106 0.0156 0.0062 0.00627 0.0078 0.0040 0.00408 0.0039 0.0028 0.00289 0.0020 0.0020 0.0020

10 0.0010 0.0016 0.0010

5) Inciso d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Inciso d)

AUBUC A∩B∩C

X AUBUC A∩B∩C

0 1.0000 0.00001 0.5000 0.09092 1.0000 0.25003 0.6000 0.09094 0.6667 0.02445 0.7143 0.01106 0.7500 0.00627 0.7778 0.00408 0.8000 0.00289 0.8182 0.0020

10 0.8333 0.0010

6) Inciso e

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Inciso e)

A∩C' (B∩C)' (AUC)'

X A∩C' (B∩C)' (AUC)'

0 0.0000 0.9756 0.97561 0.3333 0.9091 0.66672 0.0000 0.7500 0.00003 0.6000 0.9091 0.40004 0.6667 0.9756 0.33335 0.7143 0.9890 0.28576 0.7500 0.9938 0.25007 0.7778 0.9960 0.22228 0.8000 0.9972 0.20009 0.8182 0.9980 0.1818

10 0.8333 0.9990 0.1667