Logica Principios

8/18/2019 Logica Principios

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Logica Principios

CONTENIDO

0. Prolegómenos0.1. Ciencia0.2. Nociones generales sobre lógica0.2.1. Qué es lógica0.2.2. Reseña is!órica0.2.". Na!urale#a $e la lógica1. Par!e% &ógica 'ro'osicional o $e enuncia$os1.1. Oraciones ( 'ro'osiciones1.1.1. )ormas $e enuncia$o ( enuncia$os1.1.2. Conec!or 1.1.". Terminolog*a ( simbolog*a1.1.".1. Términos1.1.".2. +alor $e los s*mbolos1.2. ,a!rices o !ablas $e -aloración1.2.1. Pro'osiciones a!ómicas ( moleculares1.2.2.1. &a conunción1.2.2.2. &a $is(unción

1.2.2.". &a im'licación1.2.2./. &a bicon$icional1.2.2.. &a negación conun!a1.2.2.. Incom'a!ibili$a$1.2.". )ormas i$iom!icas1.". &e(es (3o reglas $e la lógica1.".1. &e(es ( 'rinci'ios lógicos1.".2. Cons!rucción $e columnas1.".". Tau!olog*a4 in$e!erminación ( con!ra$icción1."./. Reglas $e in5erencia !au!ológica1.".. Reglas $e e6ui-alencia1./. &as )alacias

1./.1. Qué es la 5alacia1./.2. Clases1./.2.1. De a!ingencia1./.2.2. De ambig7e$a$1./.". ,aneras $e e-i!arlas 5alacias1././. Reglas 'ara e-i!ar 5alacias2. Par!e% &ógica $e !érminos2.1. Nociones ( s*mbolos2.1.1. Términos ca!egorem!icos ( sinca!egorem!icos2.1.2. Com'rensión ( e8!ensión2.1.". Pre$ica!i-os sim'les ( m9l!i'les2.1./. Oración elemen!al ( 5orma oracional2.1.. Cuan!i5icación ( 5ormali#ación

2.1.. &ógica $e clases2.1..1. Cone8iones $e clases



2.1..2. Oraciones $e clase2.1.:. Nombres4 analog*as ( $e5iniciones2.2. In5erencias inme$ia!as2.2.1. In5erencias 'or o'osición2.2.2. E6ui-alencias2.2.". In5erencia 'or con-ersión ( ob-ersión

2.". In5erencias me$ia!as2.".1. &as 'ro'osiciones ca!egóricas2.".2. ;ilogismo ca!egórico2.".". Princi'ios ( reglas $el silogismo2."./. )iguras silog*s!icas ( sus reglas2.".. ,o$os log*s!icos2.".. ;ilogismos i'o!é!icos2.".:. Diagramas $e +enn". )ormas $e ra#onamien!o".1. Ra#onamien!o lógico".2. Ra#onamien!o silog*s!ico o $e$uc!i-o".". Ra#onamien!o analógico

"./. O!ros ra#onamien!os"./.1. &os en!imemas"./.2. El sori!es"./.". El $ilema"././. E'i6uerema



< ,ODO DE PRE;ENT<CI=N

;i nos in!errogamos% >Qué es lo ms im'or!an!e 'ara abor$ar una $iscusión? &a res'ues!a ser*a%;aber $e 6ué se $iscu!e. Tal omenae a Perogrullo no es gra!ui!o. &a e8'eriencia co!i$iana mues!ra

la 5acili$a$ con 6ue nos en5rascamos en $is'u!as mal es!ableci$as. Tan absur$o como encargar un!rae sin conocer 6uién lo -es!ir es 're'arar argumen!os an!es $e a-eriguar 6ué $ebemos $e5en$er (cules son las e8igencias $e su $e5ensa. <s* 'ues4 el 'rinci'al man$amien!o4 'ara 6uien 're!en$a 'ar!ici'ar en un in!ercambio $e i$eas4 es!ablece 6ue4 leos $e malgas!ar sus 'rimeras energ*as en unaco'io !al -e# in9!il $e ra#onamien!os4 $eber precisar el objeto sobre el qué intenta dialogar % >en6ué consis!e el $esacuer$o? >$ón$e ra$ica el meollo $e la $iscre'ancia? >6ué me niegan? >6ué 're!en$o concre!amen!e reca#ar?

@Ae a*B &a ra#ón $e la lógica4 el ser-icio 6ue 'res!a 'ara u!ili#ar en la meor 5orma el lenguaein5orma!i-o4 $a$o 6ue el lenguae e8'resi-o o el im'era!i-o no re6uiere $e lógica alguna.

El 'resen!e a'or!e4 sólo 're!en$e ser 9!il en algo. Cier!amen!e 6ue no es un !rabao acaba$o 'ero s*

busca 'ro'orcionar a6uellos elemen!os 6ue agan 'osible el meor uso $el lenguae 'ara u!ili#ar lasal!erna!i-as 6ue nos orien!en a la solución correc!a $e los 'roblemas 6ue se nos 'resen!an.

<l nos ser un !rabao acaba$o4 rogamos al amable lec!or alcan#arnos las obser-aciones 6ueconsi$ere necesarias 'ara as* meorar es!e $ocumen!o 6ue siem're es!ar en 'osibili$a$ $e ser meora$o.



0. PROLEGÓMENOS

El hombre inteligente no es el que tiene muchas ideas, sino el que sabe sacarro!echo de las ocas que tiene. "n#nimo.

$ometencia% Dis!ingue4 e8'resa ( a-ala la relación en!re ciencia ( lógica e8'lican$o suna!urale#a en la is!oria a !ra-és $e los enuncia$os4 conec!ores ( simbolog*a.

0.&. L" $'EN$'" El ombre 'ue$e $irigir su a!ención no sólo acia lo 6ue le ocurre o a6uello $e lo 6ue se ocu'a4 sino6ue !ambién es! en 'osibili$a$ $e $irigirla acia sus acciones ( -i-encias. De alguna manera4 suconocimien!o lo -uel-e sobre s* mismo 'ara luego re5le8ionar acerca $e cuan!o le ro$ea. Pues 'ara 'o$er 'regun!ar a( 6ue $is'oner $e alg9n conocimien!o. en!re las con$iciones $el correc!oin!errogar $ebe !enerse en cuen!a saber lo 6ue se 'regun!a4 a 6uién se le ace la 'regun!a (4 enconsecuencia4 cómo a( 6ue 'lan!earla o 5ormularla.

;obre el 'ar!icular ;ócra!es /FG"FF a.C.H ac*a inca'ié en la a5irmación $e @sólo sé 6ue no séna$aB as* !omaba conocimien!o $e la limi!ación $e su saber. Esa conciencia cons!i!u(e el 'un!o $e 'ar!i$a insus!i!uible 'ara la as'iración a la sabi$ur*a4 'ues as* se !ra$uc*a la i$ea $e la 5iloso5*a en sumanera $e en!en$erla ( 6ue 'or en!onces !o$a-*a abarcaba !o$as las ciencias.

;i el esce'!icismo se re-is!e $e res'e!o al mis!erio4 Juan Kol5gang Loe!e 1:/FG1M"2H escrib*a%&a $ica ms ermosa $el ombre 'ensan!e es la $e aber in-es!iga$o ( la $e res'e!ar serenamen!elo ine8'lorable. Por ello con-iene re5le8ionar 'or 6ué mo!i-o 'regun!amos4 ( cómo !iene sen!i$oconoci$as las o!ras con$icionesH 5ormular la 'regun!a ( cómo -ale la 'ena con!es!arla es $ecir4cómo es 'ar!icularmen!e con-enien!e 6ue se encuen!re la res'ues!a es'era$a con la $esea$ae8ac!i!u$ ( 5un$amen!ación.

Por !an!o4 es urgen!e 'regun!arse ( res'on$er >6ué es la ciencia?. Pues no 'ocas -eces se la en!ien$ecomo el resul!a$o $el conocimien!o cien!*5ico4 como cuan$o se abla $el es!a$o ac!ual $e la cienciaol-i$n$ose incluso $el 'roceso cogni!i-o 6ue a ello con$uce. ;igni5icar*a ello4 6ue no se en!en$er*a 'or ciencia el 'roceso $e una in-es!igación ( la in-es!igación me!o$ológica4 sino su resul!a$oes!ableci$o ling7*s!icamen!e consecuen!emen!e4 a( ciencia cuan$o se consigue algo siguien$o unmé!o$o. &a ciencia es un 'roceso.

&a ciencia ser us!i5icable en su conun!o4 cuan$o $emues!re 6ue res'on$e a la 5inali$a$ 'ara la 6uese cul!i-a4 a saber% el $e acer com'rensible al menos 'ara 6uien es! 5amiliari#a$oH un sec!or $e lareali$a$ ( 'resen!arla $e una manera or$ena$a 'ues la ciencia sir-e 'ara or$enar los conocimien!ossobre un sec!or 'reciso $e la reali$a$ en un $e!ermina$o as'ec!o. Para ello $ebe%

G ,os!rar un sis!ema libre $e con!ra$iccionesG Es!ar sus!en!a$a en una secuencia 'lausibleG Descubrir sus 'ro'ias limi!aciones4 $an$o a conocer as!a $ón$e no llegaG Posibili!ar la us!i5icación $e sus $is!in!os elemen!os ( reglas.

Es!a 'recisión 6ue acemos $e la ciencia4 nos lle-a acia a6uel 'lan!eo 5ormula$o% la lógica esciencia o ar!e?4 es $ecir4 es una $isci'lina 6ue como las ma!em!icas4 'or eem'lo4 e8'one relacionesobe!i-as subsis!en!es en!re sus obe!os 'or eem'lo4 en!re las 'remisas $el silogismo ( suconclusiónH o bien es una !écnica 'ara ob!ener $iscursos correc!os ( -er$a$eros?. En general4 loslógicos me$ie-ales consi$eraron 6ue es una ( o!ra cosa ( !ambién4 como ar!e4 al mismo !iem'o una 'erce'!i-a logica $ocensH ( un eercicio ac!i-o $e $iscusión4 con!rola$o 'or !ales 'rece'!os logicau!ensH.

El $esin!erés 'or el 5ormalismo lógico4 ( en consecuencia4 el in!erés 'or los 'roblemasgnoseológicos4 'icológicos ( me!ó$icos $e una logica utens4 se acen!9a en el curso $e la E$a$



,o$erna ( as* $uran!e los siglos +II4 +III ( I la lógica resul!a ser el nombre escolar $e unaserie e!erogénea $e enseñan#as 5ilosó5icas ( los manuales $e es!a ma!eria e8'onen -arias ($i5eren!es cosas% un!o a la silog*s!ica !ra$icional aun6ue a menu$o re$uci$a a 'ocos rasgos (conser-a$a ms 'or ra#ones $e !ra$ición 6ue 'or un in!erés realH4 con!ienen ano!aciones me!ó$icas4esbo#os $e !eor*a $el conocimien!o4 anlisis $e cier!os conce'!os generales4 e!c. < es!e res'ec!o es!*'ico el Art de penser $e los maes!ros $e Por! Ro(al4 conoci$o !ambién con el nombre $e

&ogi6ue $e Por! Roa(l4 6ue 'or muco !iem'o 5ue el !e8!o ms im'or!an!e $e es!a $isci'lina ( elmo$elo ms o menos 5ielmen!e segui$o ( com'en$ia$o 'or los o!ros !ra!a$os.

El renacimien!o $e la lógica 5ormal 'ura4 carac!er*s!ico $e la é'oca con!em'ornea4 $eb*a llegar4 noobs!an!e4 me$ian!e una reanu$ación ( un $esarrollo4 con i$eas ms claras ( con ma(or in$e'en$encia $e las $oc!rinas me!a5*sicas4 a !ra-és $e las abor!a$as !en!a!i-as leibin#ianas 'aracons!ruir nues!ra $isci'lina en 5orma $e clculo simbólico. Es!a obra 5ue inicia$a 'or un gru'o $elógicos ( ma!em!icos ingleses a me$ia$os $el siglo 'asa$o. L. en!am4 K. Aamil!on4 <. $e,organ icieron el in!en!o4 is!óricamen!e $ecisi-o4 6ue abr*a $e !rans5ormar la lógica en $isci'linama!em!ica.

Par!ien$o $e esos es!u$ios una serie $e lógicos ( ma!em!icos ingleses L. oole4 Je-ons4 +enn4

Ki!eea$ ( o!ros euro'eos crearon una $isci'lina ms 5ormali#a$a ( ms in$e'en$ien!e $e la lógica!ra$icional4 el álgebra de la lógica4 un clculo ambi-alen!e in!er're!able4 'or lo !an!o4 como clculo$e las clases ( como clculo $e las 'ro'osicionesH4 com'le!amen!e similar4 en su 5orma e8!erior4 allgebra simbólica or$inaria4 aun6ue con algunas 'eculiari$a$es4 'or eem'lo4 en ellas las ecuaciones 'ue$en a$6uirir sólo los -alores 1 uni-erso $e $iscurso o bien -er$a$eroH o 0 clase -ac*a o bien 5alsoH.

Consi$eran$o la enseñan#a $e la lógica a 5ines $e la <n!ig7e$a$ ( en la E$a$ ,e$ia4 és!acom'ren$*a las siguien!es ma!erias%

1H !eor*a $e las 6uin6ue -oces o 're$icabili género4 es'ecie4 $i5erencia4 'ro'io4 acci$en!eH2H !eor*a $e las ca!egor*as o 're$ica$os sus!ancia4 can!i$a$4 cuali$a$4 relación4 lugar4 !iem'o4 'osición4 !ener4 acción4 'asiónH"H $oc!rina $e las 'ro'osiciones ( reglas $e la con-ersión/H $oc!rina $el silogismo ca!egóricoH $oc!rina $el silogismo i'o!é!icoH $ialéc!ica% aH !ó'ica bH $oc!rina $e los so5ismas o 5alacias.

Po$emos $ecir 6ue la lógica es a6uella ciencia 6ue -a en b9s6ue$a $e las 5ormas $e losra#onamien!os correc!os4 es $ecir4 $e las le(es $el $e$ucir correc!amen!e. En es!e sen!i$o es leg*!imoa5irmar 6ue la lógica es la !eor*a $e la $e$ucción4 en cuan!o es!u$ia las reglas $e las in5erenciascorrec!as. &a lógica ace e8'l*ci!as es!as le(es4 las or$ena en sis!emas a8iom!icos ( 'rueba susca'aci$a$es ( l*mi!es.

0.(. NO$'ONES GENER"LES SO)RE LÓG'$"

&a $is!inción en!re -er$a$ ( corrección $e una argumen!ación ace com'rensible el eco $e 6ue lalógica se ocu'e no $el con!eni$o $e los $iscursos es $ecir4 $e lo 6ue $icen4 $e a6uello $e 6ue ablaH4sino $e su 5orma 'or eso ablamos $e lógica 5ormalH4 es $ecir4 $e su es!ruc!ura o arma#ónsin!c!ica4 o aun $e a6uellos ne8os 'ar!iculares 6ue acen correc!os !ales $iscursos oargumen!aciones. <l lógico no le in!eresa si se abla $e ombres4 $e elec!rones4 $e cromosomas o $e 'lan!as a6uello 'or lo 6ue se 'reocu'a es si los $iscursos 6ue se acen4 sobre es!os ( o!roscon!eni$os4 son $iscursos o argumen!aciones correc!os% lógicamen!e correc!os.

Para com'ren$er el 'un!o $e -is!a 5ormal ( $is!inguirlo $el $e con!eni$o4 6ue se re5iere al con!eni$o$e los $iscursos4 'o$emos comen#ar con algunos eem'los. Consi$eremos si el silogismo elemen!al%To$os los ombres son mor!ales4 ;ócra!es es ombre4 luego ;ócra!es es mor!al. Pues bien4 no se

necesi!a muco 'ara en!en$er 6ue es!e ra#onamien!o es correc!o no 'or6ue abla $e ombres4 $eombres mor!ales o $e ;ócra!es. Es!e ra#onamien!o es correc!o 'recisamen!e en -ir!u$ $e su 5orma4



la misma 6ue 'ue$e recibir los con!eni$os ms -aria$os4 $ean$o in!ac!a ( garan!i#an$o lacorrección $el $iscurso.

0.(.&. *+- ES L" LÓG'$"

Consi$era$o lo an!erior4 'o$emos $ecir 6ue la lógica es a6uella ciencia 6ue -a en b9s6ue$a $e las

5ormas $e los ra#onamien!os correc!os4 es $ecir4 $e las le(es $el $e$ucir correc!amen!e. En es!esen!i$o es leg*!imo a5irmar 6ue la lógica es la !eor*a $e la $e$ucción4 en cuan!o es!u$ia las reglas $elas in5erencias correc!as. &a lógica ace e8'l*ci!as es!as le(es4 las or$ena en sis!emas a8iom!icos ( 'rueba sus ca'aci$a$es ( l*mi!es. ;in embargo4 una -e# 6ue emos llega$o a es!e 'un!o4 algunos 'o$rn 'regun!ar% 'ero >6ué 6uiere $ecir $e$ucir correc!amen!e? ;e a5irma 6ue un !eorema 'or eem'lo4 el !eorema $e Pi!gorasH es -li$o si es recaba$o o $e$uci$o correc!amen!e $e las 'remisascons!i!ui$as4 en nues!ro caso4 'or los 'os!ula$os $e Eucli$esH. Pero >6ué 6uiere $ecir $e$ucir orecabar correc!amen!e un !eorema a 'ar!ir $e 'os!ula$os? Que el !eorema es una consecuencialógica $e los 'os!ula$os. <ora bien4 aun a!en$ien$o al eco $e 6ue el conce'!o $e consecuencialógica com'or!a $i5icul!a$es4 se 'ue$e 'regun!ar ul!eriormen!e% 'ero >cun$o suce$e 6ue unaa5irmación es consecuencia lógica $e un conun!o $e 'remisas o 'os!ula$os?.

na res'ues!a a !al in!errogan!e 'o$r*a ser és!a% na 'ro'osición es consecuencia lógica $e o!ra 'ro'osición4 si4 una -e# a$mi!i$a es!a 'rimera 'ro'osición4 no me 6ue$a ms reme$io 6ue a$mi!ir lasegun$a. Pero >6ué 6uiere $ecir 6ue no me 6ue$a ms reme$io o 6ue es!o( obliga$o a a$mi!ir una 'ro'osición4 una -e# 6ue e a$mi!i$o o!ra? En es!e momen!o4 'rescin$ien$o $e los com'onen!es 'sicológicos4 se a 'ro'ues!o4 como res'ues!a bas!an!e sa!is5ac!oria4 aun6ue no $el !o$oH a !alin!errogan!e4 6ue una 'ro'osición es consecuencia lógica $e o!ra cuan$o és!a es -er$a$ !o$as las-eces 6ue es -er$a$ la 'rimera. Por eem'lo4 en el ra#onamien!o seg9n el cual si 8 es 'ar4 en!onces8 es $i-isible 'or /4 la segun$a 'ro'osición 8 es $i-isible 'or /H no es consecuencia lógica $e la 'rimera 8 es 'arH4 'or6ue no !o$as las -eces 6ue es -er$a$era la 'rimera 10 es 'arH es-er$a$era la segun$a 10 es $i-isible 'or /H. <s* 'ues4 el conce'!o $e consecuencia lógicaconce'!o4 como sabemos4 semn!ico4 6ue im'lica la noción $e -er$a$H a5irma 6ue esconsecuencia lógica $e < si suce$e 6ue es -er$a$ siem're 6ue es -er$a$ <.

En suma4 la lógica ace e8'l*ci!a e in-es!iga sobre a6uellas reglas 6ue4 a'lica$as a 'ro'osiciones4conser-an una 'ro'ie$a$ ere$i!aria $e és!as en el sen!i$o $e 6ue si las 5rases iniciales son-er$a$eras4 !ambién son -er$a$eras las 6ue se ob!ienen a 'ar!ir $e ellas a !ra-és $e la a'licación $ees!as reglas. la lógica ma!em!ica $emues!ra 'recisamen!e 6ue los clculos lógicos4 es $ecir4 losconun!os $e reglas 6ue los lógicos an eco e5ec!i-amen!e e8'l*ci!as ( 6ue las an cons!rui$o 'araacer $e$ucciones4 'oseen4 al menos4 es!a 'ro'ie$a$% si las 'remisas son -er$a$eras4 en!onces lasconsecuencias no 'ue$en ser 5alsas.

No obs!an!e las $i-ersas 5ormas 6ue is!óricamen!e 'resen!a la lógica4 a( au!ores 6ue 're5ierenablar $e lógica a secas o4 a lo sumo4 $e lógica 5ormal. Con !o$o4 no carecen $e in!erés las $i-ersasa$e!i-aciones 6ue la nue-a lógica a recibi$o%

a. &ógica simbólica% si bien los lógicos !ra$icionales icieron escaso em'leo $el simbolismo4 en lalógica mo$erna es un eco generali#a$o. Pues se $an $os a5irmaciones 6ue es necesarioaclararlas%

1H ;eg9n unos4 el simbolismo es esencial a la lógica a5irmación 6ue -en$r*a a negar el ecoinnegable $e la e8is!encia $e lógicas noGsimbólicas 'ues con s*mbolos o sin ellos es 'osiblees!u$iar las 5ormas lógicas $el 'ensamien!o 'rescin$ien$o $e su signi5icación o $imensiónsemn!ica.

2H ;eg9n o!ros4 el simbolismo es algo acci$en!al 'ues el simbolismo no es un a$i!amen!o u orna!o$el 6ue 5cilmen!e 'ue$e $es'ren$erse el 6ueacer lógico4 sino un ins!rumen!o $e 'rimeraim'or!ancia en or$en a e8ibir las 5ormas en es!a$o 6u*micamen!e 'uro ( con$ición necesaria 'ara $emos!rar ( organi#ar le(es lógicas en 5orma calcul*s!ica.

b. &ógica ma!em!ica% &os mo$ernos crea$ores $e la nue-a lógica 5ueron ma!em!icos4 a $i5erencia$e los 'ares $e la lógica !ra$icional cu(a con$ición 5ue la $e 5ilóso5os. Ao( resul!a casi im'osible



ser buen ma!em!ico sin una com'rensión 'ro5un$a $e la 'roblem!ica lógica ineren!e al $iscurso$e las ma!em!icas. cul es la relación en!re una ( o!ra?

1H Para unos4 la lógica es la 'ar!e 5un$amen!al $e las ma!em!icas4 'ues la lógica en !an!o !eor*a$e las in5erencias correc!as 5un$a las ma!em!icas4 las cuales a'licas $icos recursos a sucam'o es'ec*5ico. El is!órico re!o $e er!ran$ Russell a los 6ue negaban la i$en!i$a$ $e lalógica ( las ma!em!icas no $emos!ró na$a.

2H Para o!ros4 la lógica es un sim'le ins!rumen!o $e las ma!em!icas en las cuales 6ue$ar*ain!egra$a ( $isuel!a sin reali$a$ ni -alor sus!an!i-o como ciencia in$e'en$ien!e. No se niega6ue la lógica 'ue$a 'res!ar gran$es ( $ecisi-os ser-icios al $esarrollo $e las ma!em!icas4 'ero es e-i$en!e 6ue no 'ue$e ser mono'olio $e és!as4 (a 6ue el 'ensamien!o umano es$iscursi-o siem're ( en !o$os los cam'os. No 'ue$e con5un$irse una ciencia con susa'licaciones4 'or mu( im'or!an!es 6ue és!as sean.

"H Para unos !erceros4 la lógica es una ciencia au!ónoma con un in!eresan!e cam'o $e in-es!igación%las 5ormas $el 'ensamien!o ( con un obe!i-o% determinar en 6ué con$iciones se 'ue$econcluir correc!amen!e4 sea en ma!em!icas4 en los $ominios $e cual6uier o!ra ciencia o en el$iscurso -ulgar ( co!i$iano. ;ólo en la me$i$a en 6ue la lógica se $esarrolle en s* ( 'or s*misma4 en un cam'o $e $oc!rina 'ro'io4 'o$r*a a(u$ar a las $ems ciencias.

c. &ógica !eórica% < -eces se a en!en$i$o el 'ensar como un ar!e ( la lógica como una es'ecie $erece!ario $e buenos conseos. El cri!erio $e Jaime almes es un buen eem'lo $e es!e en5o6ue 'uesla lógica necesariamen!e $ebe !rascen$er el carc!er em'*rico. &os lógicos !ra$icionales en!en$*anla lógica como una ciencia $irec!i-a $e los ac!os $e la ra#ón4 'ara 'roce$er en ellos or$ena$a45cilmen!e ( sin error.En5o6ue !eóricoGnorma!i-o 6ue con-er!*a a la lógica en una es'ecie $e ins!i!u!ri# o !u!ora $e lara#ón. &a lógica mo$erna se a libera$o $e es!a 'reocu'ación 'e$agógica o norma!i-a 'ara$e$icarse $e !iem'o com'le!o al es!u$io !eórico $e las 5ormas correc!as $el 'ensamien!o. Dicoen5o6ue no e8clu(e las a'licaciones 'rc!icas4 an!es bien4 las 'o!encia4 'ues sólo el conocimien!o 'ro5un$o $e la !eor*a con$uce a una 'ra8is acer!a$a.

$. &ógica mo$erna o log*s!ica la mu( lógicaH en $esuso 'or la a'licación 6ue o( se ace $elmismo 'ara 5ines mili!ares4 como sinónimo $e al!a es!ra!egia bélica.

Tan!o la 'alabra lógica como lógico4 nos son mu( 5amiliares 'ues 5recuen!emen!e acemosre5erencia a un 'roce$imien!o lógico con!ra'ues!o a uno ilógico. Decimos 6ue una 'ersona ac!9a conlógica 'or6ue se $esen-uel-e ra#onablemen!e4 o llamamos 'roce$imien!o no ra#onable al 6ue esilógico.

<s*4 la lógica -iene a ser el es!u$io $e los mé!o$os ( los 'rinci'ios u!ili#a$os 'ara $is!inguir elra#onamien!o correc!o $el ra#onamien!o incorrec!o. Es!o no signi5ica 6ue sólo !engan ra#onar correc!o 6uienes a(an es!u$ia$o lógica 'ues mucos e8celen!es $e'or!is!as ignoran com'le!amen!elos com'leos 'rocesos 6ue se eecu!a $en!ro $e ellos mismos mien!ras reali#an sus $es!re#as. Con!o$o4 6uien es!u$ió lógica !iene ma(or 'osibili$a$ $e ra#onar correc!amen!e4 5ren!e a 6uien no laes!u$ió.

El uni-erso lógico inclu(e $os clases $e es!u$ios% &os lógicos ( los me!alógicos.&os es!u$ios lógicos !ienen $os ramas% la $e$uc!i-a ( la in$uc!i-a 6ue !omó 5uer#a a !ra-és $e loses!u$ios $e R. Carna'.

&a $e$uc!i-a4 en su -ersión mo$erna4 mues!ra $os gran$es 'ar!es%aH &a lógica $e la 'ro'osición noGanali#a$a 'ro'osicional4 sen!encial o $e enuncia$osH 6ue es!u$ia

las 'ro'osiciones como !o$os no anali#a$os en sus mu!uas relaciones. Pue$en ser bi-alen!es o 'luri-alen!es. &as 'rimeras su'onen $os 9nicos -alores% cier!o o 5also. &as 'luri-alen!es4 si seles a!ribu(e o!ros -alores4 en n9mero ma(or a $os4 'ue$en ser cier!o4 'robable4 5alsoa$ems4 las 'luri-alen!es 'ue$en ser !ri-alen!es4 !e!ra-alen!es4 'en!a-alen!es4 nG-alen!es.

bH &a lógica $e la 'ro'osición anali#a$a llama$a $e !érminosH inclu(e el anlisis in!erno $e los

!érminos 6ue com'onen la 'ro'osición. ;u'one el es!u$io $e la 'ro'osición noGanali#a$a 'ero -ams all en sus ricos ( com'leos anlisis. < és!a se a$scriben% la lógica mo$al4 la



cuan!i5icacional $e 'rimer or$en ( $e or$en su'erior4 la $e i$en!i$a$es ( $escri'ciones4 la $eclases4 la $e 5unciones ( relaciones4 e!c.

&a me!alógica se re5iere al es!u$io $e las 'ro'ie$a$es $e los sis!emas lógicos4 en cuan!o series $esignos 6ue $an origen a un 'osible es!u$io semió!ico en una !ri'le $imensión% sin!a8is4 semn!ica ( 'ragm!ica.

Por o!ra 'ar!e4 es necesario 5ormular $os a$-er!encias 're-ias%

1H ;e inclu(en en la lógica cier!os !i'os $e 'ensamien!o4 como la lógica $ialéc!ica4 lógica is!órica4lógica concre!a4 e!c. 6ue mucos au!ores consi$eran no 'er!enecien!es a la lógica es!ric!a.

2H Cier!os au!ores $is!inguen en!re lógica ( log*s!ica como si $esignaran $os !i'os com'le!amen!e$i5eren!es $e lógica. El -ocablo lógica $esignar 'ara noso!ros un conun!o mu( am'lio $ein-es!igaciones 6ue com'ren$e4 'or igual4 la lógica !ra$icional ( la lógica nue-a o log*s!ica.

0.(.(. RESE/" 'S1ÓR'$"

Para algunos au!ores la is!oria $e la lógica o5rece !res 'erio$os $e gran $esarrollo% 1H De <ris!ó!elesal Es!oicismo 2H en la E$a$ ,e$ia los siglos II4 III4 I+ ( 'ar!e $el siglo + "H la é'ocacon!em'ornea.

1H ;i bien se encuen!ran consi$erables elemen!os en la !ra$ición griega4 a( 6ue llegar a <ris!ó!eles 'ara 6ue és!os armonicen ( a$6uieran 'lena ma$ure#. Pues4 a$ems $e una mu( com'le!a$oc!rina silog*s!ica ( $e -arios !rabaos $e lógica in$uc!i-a4 encon!ramos en <ris!ó!eles -arias!eor*as me!o$ológicas4 una $iscusión a 5on$o $e los llama$os 'rinci'ios lógicos como el $e lacon!ra$icción4 ( o!ros anlisis $e nociones lógicas 5un$amen!ales como la $e la o'osición ( la $elos 're$icables.

Por !o$o ello4 $uran!e muco !iem'o se cre(ó 6ue la lógica aris!o!élica era sim'lemen!e la lógica.<ris!ó!eles osciló en!re $os i$eas acerca $e la *n$ole $e la lógica. Por una 'ar!e4 la concibió comoin!ro$ucción a !o$a in-es!igación cien!*5ica4 5ilosó5ica o 'er!enecien!e al lenguae or$inario 'or esola lógica no es una 'ar!e $e la 5iloso5*a sino a lo sumo un 'ór!ico $e en!ra$a a la 5iloso5*a. Por o!ra4<ris!ó!eles la $enomina anal*!ica $e los 'rinci'ios 'or6ue $ebe enseñar 'recisamen!e a ra#onar correc!amen!e ( a e-i!ar los errores ( sus consecuencias en algunos casos la lógica aris!o!élica 'arece seguir el !ra#a$o $e una on!olog*a.

&os es!oicos la llamaron lógica 'or ser 'rinci'almen!e una lógica $e las 'ro'osiciones. De lalógica 5ormal aris!o!élica se 'asó4 'or $i-ersas gra$aciones4 a una lógica 5ormalis!a cier!osra#onamien!os 6ue en <ris!ó!eles a'arecen como silogismos son en!en$i$os 'or los es!oicos comoreglas $e in5erencia -li$as.

<9n cuan$o en numerosos casos los es!oicos concibieran la lógica como a6uella 'ar!e $e la 5iloso5*a$es!ina$a a a'o(ar la soli$e# $e sus i$eales é!icos4 la lógica cons!i!u(ó uno $e los cam'os en 6ueicieron a'or!es ms originales. &os es!oicos $iluci$aron !ambién cues!iones semn!icas como elcaso $e las 'ara$oas semn!icas. Con el !érmino lógica4 a$o'!a$o 'or 'rimera -e# 'or Senón $eCi!ium4 los es!oicos e8'resaban la $oc!rina 6ue !iene 'or obe!o los λογοι4 o $iscursos. El 'roblema 5un$amen!al $e la lógica es!oica es el $el cri!erio $e -er$a$4 6ue consi$eran es lare'resen!ación ca!alé'!ica o conce'!ual. Nicols <bbagnano4 en Ais!oria $e la )iloso5*a4 -. I4 '.1:1H.

En <belar$o 10:FG11/2H4 en su ace'ción general ( 'rimaria4 la $ialéc!ica se i$en!i5ica con la lógicaclsica4 consi$era$a como instrumentum disserendi ac disputandi. Por ello la $ialéc!ica a(u$a a$is!inguir lo -er$a$ero $e lo 5also4 (a 6ue sobre el 'lano es!ric!amen!e lógicoG5ormal es!ablece la

-er$a$ o la 5alse$a$ $el $iscurso cien!*5ico4 basn$ose en las reglas lógicas. En la me$i$a en 6uecoinci$e con la logica in exercitio4 la $ialéc!ica su'one ( e8ige el anlisis $e los !érminos $ellenguae4 cu(a 5unción ( signi5ica$o $e!ermina. &le-a a cabo es!a !area a !ra-és $e un e8amen cr*!ico



$el 'roceso $e im'osición $e las -oces a las res designandae4 ( $e la ace'ción 6ue asumen !ales-oces en la es!ruc!ura ( en el $iscurso. &a $ialéc!ica es una es'ecie $e scientia sermocinalis o5iloso5*a $el lenguae4 me$ian!e la cual se con!rola la relación en!re los !érminos ( la reali$a$e8'resa$a. &a $ialéc!ica es a6uella ciencia 6ue nos obliga a -igilar a 6uien escribe o a 6uien lee 'ara6ue no se aban$one a 5ciles ( e-asi-as 'os!uras uni-ersalis!as4 ni caiga en ac!i!u$es 'uramen!eanal*!icas.

2H < 'ar!ir $el siglo II ( as!a el + ubo un nue-o 5lorecimien!o $e la lógica ( el in-en!ario $e lascon!ribuciones $e es!a é'oca a la lógica es! !o$a-*a en 5ormación. ;e $es!aca 6ue la lógicame$ie-al 'ro'one nue-os cam'os $e es!u$io% sobre los !érminos sinca!egorem!icos4 sobre las 'ro'ie$a$es $e los !érminos4 sobre los insolubles4 sobre la obligación ( sobre las consecuencias%$e lo -er$a$ero nunca se sigue lo 5also una 'ro'osición conun!i-a im'lica cual6uiera $e suscom'onen!es4 e!c. < ello $ebe aña$irse los numerosos es!u$ios $e 5iloso5*a $el lenguaees'ecialmen!e a !ra-és $e la gram!ica es'ecula!i-a.

En cuan!o a la i$ea $e la lógica $e5en$i$a 'or los escols!icos me$ie-ales4 mucos coinci$en en 6uela lógica es una ciencia de juzgar rectamente4 'ero se $i-i$ieron en la in!er're!ación $e es!asen!encia% algunos la en!en$ieron como $esignan$o un 'roceso 6ue con$uce al conocimien!o

-er$a$ero o!ros como un 'roceso 6ue 'ermi!e ob!ener ra#onamien!os correc!os 5ormalmen!e -li$os.Es!a segun$a in!er're!ación acen!9a el 5ormalismo.

"H ,ucos 5ilóso5os mo$ernos se in!eresaron menos 'or la lógica 6ue 'or el es!u$io $e los mé!o$os$e la ciencia na!ural. De !o$os mo$os se encuen!ra es5uer#os 'ara $esarrollar la lógica como unclculo ( ubo !ambién in!en!os $e cons!i!uir una lógica es!recamen!e -incula$a a lae'is!emolog*a. Cons!i!u(e 5igura ca'i!al $e es!os in!en!os &eibni#4 6uien no sólo se limi!ó a sen!ar las bases $e una carac!er*s!ica uni-ersal4 sino 6ue !ocó mucos $e los 'un!os $esarrolla$os 'or la 'os!erior lógica simbólica4 'ero el carc!er 5ragmen!ario $e su obra ( sus 5inali$a$es5ilosó5icas generales le im'i$ieron lle-ar a cabo una labor com'le!a en ninguna $e las mucas-*as inicia$as. Pero la i$ea la 5ormali#ación $e la lógica es!aba es!recamen!e -incula$a en&eibni# con la i$ea $e 6ue los 'rinci'ios lógicos son a la -e# 'rinci'ios on!ológicos.

En Immanuel an!4 la lógica 'arece a$o'!ar un as'ec!o 5ormal igualmen!e alea$o $e la on!olog*a ($e la 'sicolog*a. Es él 6uien 'rocura es!ablecer una lógica a la -e# $e!ermina$a 'or la e'is!emolog*a( 5un$amen!o $e la e'is!emolog*a.

< 5in $e $ar una meor a'reciación sobre las !en$encias lógicas ms in5lu(en!es4 en es!os 9l!imos!iem'os4 incluimos una r'i$a enumeración $e las mismas%aH La lógica empírica o de la inducción4 su'one 6ue los obe!os $e 6ue !ra!a son el resul!a$o $e

generali#aciones em'*ricas e5ec!ua$as sobre lo real 'or me$io $e una abs!racción. Es!a lógica secon-ir!ió ca$a -e# ms en una me!o$olog*a $el conocimien!o cien!*5ico. ;u re'resen!an!e ms!*'ico es Jon ;!uar! ,ill con su obra System of Logic 6ue 're!en$e ser una lógica in$uc!i-a encon!ra'osición a la lógica !ra$icional $e$uc!i-a4 ( a'un!a a re$ucir la -er$a$ $e !o$a 'ro'osicióna sus 5un$amen!os $e eco.

bH La dirección psicologista en!ien$e 6ue los 'rinci'ios lógicos son 'ensamien!os ( la lógica nosre-ela la es!ruc!ura obe!i-a $e los mismos.cH La dirección normatiista 'ro'one 6ue la lógica res'on$a a la siguien!e 'regun!a% >Cómo

$ebemos 'ensar 'ara 6ue nues!ro 'ensamien!o sea correc!o?.$H La lógica metodológica cul!i-a con 're5erencia los 'roblemas cen!ra$os en !orno a los mo$os $el

ra#onamien!o cien!*5ico.eH La lógica gnoseológica a5irma 6ue la lógica no es sino una !eor*a $el conocimien!o. No 'ue$en

$arse 5ormas 6ue no signi5i6uen algo4 (4 como lo signi5ica$o es el conocimien!o resul!a 6ue las5ormas $e la lógica son 5ormas $el conocimien!o.

5H La lógica metafísica en!ien$e 6ue el correla!o $e las o'eraciones lógicas es una reali$a$me!a5*sica consi$era$a como !al. El gran eem'lo $e es!e !i'o $e lógica es la lógica $ialéc!ica $eAegel.

gH La lógica fenomenológica

sos!iene 6ue el obe!o $e la lógica es el obe!o i$eal4 el cual no 'ue$ere$ucirse ni a una 5orma en!eramen!e -ac*a ni !am'oco a una esencia $e *n$ole me!a5*sica. El



obe!o i$eal es el obe!o 'ensa$o4 es!o es4 el con!eni$o in!encional $el 'ensamien!o. ;ure'resen!an!e ms no!orio es E$mun$o Ausserl.

H La lógica nuea o logística es la $irección 6ue -a a$6uirien$o el 'rima$o sobre !o$as las o!ras esla $oc!rina $el clculo lógico ( el clculo es un sis!ema $e signos con unas reglas o'eracionalesa!inen!es ocensUiG,enneH. &a log*s!ica in!ro$uo una 'ro5un$a re-olución 5un$an$o lama!em!ica en la lógica ( a'or!an$o anlisis 5un$amen!ales sobre la $esignación ( la

signi5icación in!ro$uo la im'or!an!e $is!inción en!re la mención ( el uso $e los signos 'ro'usouna nue-a $e5inición $el n9mero4 e!c.

Jose5 ocensUi 1F02G?H4 en su obra Ais!oria $e la lógica 5ormal 1FH4 $i-i$e la is!oriamo$erna $e la lógica en cuar!o 'er*o$os%a. !re"istoria4 6ue -a $e Luillermo &eibni# as!a 1M/: él sugirió la i$ea $e mat"esis uniersalis

( 5ormuló numerosos conce'!os lógicos. b. !eríodo de #oole4 su re-olucionario $"e mat"ematical Analysis of logic 1M/:H4 a las

%orlesungen &ber die Algebra der logi' 1MFH $e E. ;crV$er. oole4 com'arable en genio a<ris!ó!eles4 es el 'a$re $e la lógica mo$erna ( 'un!o $e 'ar!i$a $e un $esarrollo acelera$o einin!errum'i$o $e los es!u$ios lógicos. &as i$eas $e oole 5ueron $esarrolla$as en $i-ersas$irecciones 'or R.&. Ellis4 K.;. Je-ons4 R. Lrassmann4 J. +enn4 A. ,cColl (4 sobre !o$o4 'or

Erns! ;crV$er.c. !eríodo de (rege4 6ue -a $e #egriffssc"rift) eine der arit"metisc"en nac"gebildete (ormelsprac"e des reinen *en'ens 1M:FH4 as!a !rincipia mat"ematica 1F10G1F1"H $e .Russell ( <.N. Ki!eea$. Es el 'er*o$o $e las gran$es 5iguras $e C.;. Peirce ( L. Peano. En es!e 'er*o$o se busca una 5un$ación 9l!ima ( ra$ical $el e$i5icio $e las ma!em!icas a 'ar!ir $e 'rinci'ios lógicos ( se es!u$ia el 'roblema $e las an!inomias lógicas.

$. !eríodo contemporáneo4 6ue -a $e 1F10 as!a nues!ros $*as4 6ue 'ue$e $i-i$irse en $os 5ases% &a 'rimera4 $e 1F10 a 1F"04 carac!eri#a$a 'or la a'arición $e la me!alógica 5inalis!a $e D. Ailber!( noG5ini!is!a $e &. &VWeneim ( T. ;Uolem la segun$a4 a 'ar!ir $e 1F"04 o5rece unasis!ema!i#ación 5ormalis!a $e la ,e!alógica4 es $ecir4 $e la ,e!o$olog*a $e <. TarsUi4 $e lasin!a8is $e R. Carna'4 al igual 6ue los sis!emas 6ue com'en$ian &ógica ( ,a!em!ica4 como loses!u$ios $e . LV$el ( la ;emn!ica $e < TarsUi. Igualmen!e se ubican a6u* las &ógicas na!urales$e L. Len!#en ( ;!. JasUoWUi4 la &ógica ,o$al $e C.I. &eWis4 las &ógicas Poli-alen!es $e E.&.Pos! ( J. &uUasieWic#4 la &ógica In!uicionis!a $e <. Ae(!ing4 la &ógica Combina!oria $e ,.;con5inUel4 A.. Curr(4 ;.C. leene4 J4. Rosser ( <. Curc.

&os !rincipia +at"ematica $e <l5re$o Ki!eea$ ( $e er!ran$ Russell es uno $e los gran$es alones en la is!oria $e la log*s!ica mo$erna 'or6ue cons!i!u(ó una nue-a 5un$amen!ación $e lama!em!ica. ;er*a im'osible $ar si6uiera un resumen $e las $is!in!as lógicas 6ue se an origina$o$es$e en!onces. Cabe $es!acar4 sin embargo4 6ue los !rabaos $e log*s!ica an susci!a$o con5recuencia cues!iones $e carc!er general 5ilosó5ico4 ( con ello4 se a $a$o un nue-o sen!i$o a lascues!iones on!ológicas.

0.(.2. N"1R"LE3" 4E L" LÓG'$"

< menu$o se $e5ine la lógica como la ciencia $e las le(es $el 'ensamien!o 'ero !al $e5inición no ese8ac!a. Primero4 'or6ue el 'ensamien!o es uno $e los 'rocesos es!u$ia$os 'or la 'sicolog*a4 'uesés!a !ra!a $e las le(es $el 'ensamien!o. ;egun$o4 'or6ue no !o$o 'ensamien!o es un obe!o $e es!u$io 'ara el lógico 'ues si bien !o$o ra#onamien!o es 'ensamien!o4 no !o$o 'ensamien!o es ra#onamien!o.

O!ra $e5inición com9n es la 6ue consi$era 6ue la lógica es la ciencia $el ra#onamien!o4 6ue !am'ocoes a$ecua$a. Pues cuan$o los 'sicólogos es!u$ian el 'roceso $el ra#onamien!o lo encuen!ransumamen!e com'leo4 emocional en ele-a$o gra$o ( mo-ién$ose 'or m9l!i'les 'roce$imien!os $eensa(o ( error4 $e al!a im'or!ancia 'ara el 'sicólogo 'ero no 'ara el lógico. &o cen!ral 6ue $ebe!ra!ar la lógica es la $is!inción en!re el ra#onamien!o correc!o ( el incorrec!o.

Como !o$a ciencia4 la lógica se 'resen!a en 5orma $e lenguae ( es!e lenguae es4 como el $e !o$as

las ciencias4 $e !i'o cognosci!i-o4 'or lo 6ue 'osee cier!o -ocabulario. 4 mien!ras el -ocabulario $ela ciencia com'ren$e e8'resiones 6ue se re5ieren a ecos ( e8'resiones 6ue no se re5ieren a ecos4el -ocabulario $e la lógica abarca sólo es!as 9l!imas e8'resiones.



&a lógica !iene como obe!o los !érminos $el -ocabulario lógico4 los cuales se organi#an en cier!ases!ruc!uras. Cuan$o las es!ruc!uras son -er$a$eras4 se ob!ienen -er$a$es lógicas. Por eso se $ice 6ueun enuncia$o es lógicamen!e -er$a$ero cuan$o lo es 9nicamen!e en -ir!u$ $e su es!ruc!ura o $e su5orma.

En la lógica usual no sólo a( !érminos lógicos4 es!ruc!uras lógicas ( -er$a$es lógicas4 sino !ambiénenuncia$os acerca $e ellos. Es!os enuncia$os 5orman 'ar!e $e una $isci'lina% la me!alógica. Tan!o lalógica como la me!alógica son $isci'linas 5ormales ( 'oseen carc!er $e$uc!i-o. &o 6ue se allama$o4 a -eces4 lógica in$uc!i-a usa4 as* mismo4 la $e$ucción como mé!o$o.

De !o$os mo$os se 'ue$e $is!inguir en!re ambas4 siem're 6ue se en!ien$a 6ue se abla ms $egru'os $e 'roblemas 6ue $e cier!as 5ormas $e o'eración lógica. O!ra cues!ión es la $e saber si loslenguaes lógicos son in5orma!i-os. <lgunos au!ores an $eclara$o 6ue la lógica es! *n!egramen!ecom'ues!a $e enuncia$os !au!ológicos ( 6ue su carc!er $e com'le!a cer!i$umbre se $ebecier!amen!e a la -acie$a$ $e !ales enuncia$os.



&. LÓG'$" PROPOS'$'ON"L

+uien busca la belle5a en la !erdad es un ensador, quien busca la !erdaden la belle5a es un artista. 6os7 de

$ometencia% Es'eci5ica4 e8'one ( $iscrimina ca$a uno $e los !i'os $e 'ro'osiciones4sus 'eculiari$a$es ( las 5ormas i$iom!icas.

<l !ra!ar $e la lógica4 es mu( com9n u!ili#ar 5rases como% Es lógico4 ablan$o con lógica4 o4a( 6ue 'onerle lógica al asun!o4 las mismas 6ue 'ue$en ser obe!i-amen!e reem'la#a$as 'or e8'resiones como% Es correc!o4 ablan$o con corrección4 ( a( 6ue 'onerle cui$a$o (corrección al !ema. Por !an!o4 la lógica !ra!a sobre la corrección4 ( és!a se re5iere $e alguna manera4al 'ensamien!o. es en es!e sen!i$o 6ue los !ra!a$is!as !ra$icionales $e5inieron la lógica como laciencia 6ue enseña a 'ensar correc!amen!e.

Pero $ebemos $is!inguir en!re el 'ensamien!o como 5acul!a$ (3o 5unción $el 'ensamien!o como

'ro$uc!o. Pues4 cuan$o u!ili#amos el !érmino 'ensamien!o 'o$emos signi5icar4 seg9n lascircuns!ancias4 la 5acul!a$ (3o 5unción o el 'ro$uc!o4 lo 6ue e6ui-ale a $is!inguir en!re el 'ensar ( lo 'ensa$o. Por !an!o4 la lógica no !ra!a sobre le 'ensamien!o como 5acul!a$ (3o 5unción4 sino comoresul!a$o $e la 5unción $e 'ensar4 es $ecir4 $e lo 6ue generalmen!e llamamos en 'lural% 'ensamien!os.

Consecuen!emen!e4 al abor$ar la lógica 'ro'osicional4 $ebemos reconocer 6ue una 'ro'osición esuna ca$ena $e 'alabras con sen!i$o com'le!o4 cali5icable $e cier!a o 5alsa4 as*4 'or eem'lo4 en la 'ro'osición% ,ariano ,elgar nació en <re6ui'a. ;i se man!ienen in$e'en$ien!es4 son 'ro'osiciones a!ómicas 'ero si se relacionan con alguna conunción u o!ras 'ar!*culasH el resul!a$oes una 'ro'osición molecular4 'or eem'lo4 <re6ui'a ( &ima son ciu$a$es $el Per9.



&.&. OR"$'ONES 8 PROPOS'$'ONES

En!re las 5ormas $e u!ili#ar el lenguae 'o$emos mencionar las siguien!es como 5unciones bsicas%1H n uso mu( im'or!an!e $el lenguae es a6uel re5eri$o a la comunicación $e in5ormación4 lo cual

se reali#a me$ian!e la 5ormulación ( la a5irmación o la negación $e 'ro'osiciones. Por ello se

$ice 6ue el lenguae usa$o 'ara a5irmar o negar 'ro'osiciones o 'ara mos!rar ra#onamien!oscum'le una 5unción in5orma!i-a.

El $iscurso in5orma!i-o es u!ili#a$o 'ara $escribir el mun$o ( 'ara ra#onar acerca $e él 'ues ellenguae sir-e 'ara suminis!rar a los $ems in5ormaciones4 $e5inien$o4 $eclaran$o4 aclaran$o4$escribien$o4 e!c. los ecos as*4 el lenguae es usa$o in5orma!i-amen!e.

2H El lenguae cum'le una 5unción e8'resi-a 'ar!icularmen!e en la 'oes*a 'ues se em'lea 'ara $ar rien$a suel!a a nues!ros sen!imien!os4 emociones4 $eseos ( 'ara $es'er!ar en los $ems es!a$osan*micos anlogos a los 6ue -i-imos. ;on mu( e8'resi-os los -ersos $e &os Aeral$os Negros

Aa( gol'es en la -i$a4 !an 5uer!es. o no séB

Lol'es como $el o$io $e Dioscomo si an!e ellos la resaca $e !o$o lo su5ri$o se em'o#ara en el alma. o no séB

El -erso no 're!en$e !ransmi!ir in5ormación alguna4 sino e8'resar cier!as emociones 6ue el 'oe!ae8'erimen!a mu( agu$amen!e ( anela $es'er!ar en el lec!or sen!imien!os similares. El lenguaee8'resi-o es u!ili#a$o 'ara $ar e8'ansión a sen!imien!os ( emociones4 o 'ara comunicarlos.

Pero no sólo el lenguae 'oé!ico es e8'resi-o4 !ambién e8'resamos 'ena cuan$o e8clamamos% @Qué$esgraciaB o @Dios m*oB o cuan$o e8'resamos nues!ra alegr*a al $ecir% @ra-oB o @)elici!acionesB

El $iscurso e8'resi-o no 'ue$e ser ni -er$a$ero ni 5also 'ues si alguien 're!en$iera a'licar !alescri!erios al $iscurso e8'resa$o en un 'oema o en un -erso4 u#gar erróneamen!e ( 'er$er muco $esu -alor.

El lenguae e8'resi-o 'ue$e ser $escom'ues!o en $os com'onen!es%a. Cuan$o el lenguae e8'resa o re-ela su 'ro'ia ac!i!u$ 'ero no es! $es!ina$o a $es'er!ar una

ac!i!u$ similar en alg9n o!ro4 como cuan$o una 'ersona se mal$ice a s* misma en momen!os $esole$a$4 cuan$o un 'oe!a escribe 'oemas 6ue no mues!ra a na$ie o cuan$o un ombre ora ensole$a$

b. Cuan$o el lenguae usa$o no sólo 'one $e mani5ies!o las ac!i!u$es $e los 6ue ablan4 sino 6ue 're!en$e !ambién $es'er!ar las mismas ac!i!u$es en sus o(en!es4 como cuan$o un ora$or !ra!a $eins!ar a su au$i!orio4 no a la acción4 sino a 6ue com'ar!a su en!usiasmo4 cuan$o un enamora$ocor!ea a su ama$a en lenguae 'oé!ico4 o cuan$o una mul!i!u$ -i!orea a su e6ui'o $e'or!i-o 're5eri$o.

"H )inalmen!e el lenguae cum'le una 5unción 'rescri'!i-a o $irec!i-a cuan$o es u!ili#a$o con el 'ro'ósi!o $e originar o im'e$ir una acción mani5ies!a es el caso $e las ór$enes ( los 'e$i$os. ;eeerce me$ian!e le(es4 $ecre!os4 man$a!os4 ruegos4 e!c. Quien !iene au!ori$a$ emi!e ór$enes sin 're!en$er comunicar in5ormación alguna ni mani5es!ar o $es'er!ar alguna emoción 'ar!icular. &o6ue se busca es mo!i-ar o causar una acción.

Cuan$o se 'lan!ea una 'regun!a4 se 'i$e una res'ues!a 6ue $ebe ser emi!i$a. Es!o conlle-a 6ue la$i5erencia en!re una or$en ( un 'e$i$o sea bas!an!e su!il4 (a 6ue cual6uier or$en 'ue$e !ra$ucirse enun 'e$i$o agregan$o las 'alabras 'or 5a-or o me$ian!e cambios a$ecua$os en el !ono $e -o# o enla e8'resión 5acial.

na or$en no 'ue$e ser -er$a$era o 5alsa en ning9n sen!i$o li!eral. 6ue la or$en sea o no

obe$eci$a4 no a5ec!a ni $e!ermina su -alor $e -er$a$4 'ues no !iene ning9n -alor $e -er$a$. ;e 'ue$eno es!ar $e acuer$o acerca $e si una or$en 5ue o no obe$eci$a4 si $ebe ser o no obe$eci$a 'ero



nunca 'o$emos $i5erir acerca $e si una or$en es -er$a$era o 5alsa4 'ues 'ue$e no ser ninguna $eambas.

&as ór$enes !ienen cier!as 'ro'ie$a$es 6ue mues!ran alguna analog*a con la -er$a$ o 5alse$a$ $el$iscurso in5orma!i-o% son las cuali$a$es $e ser ra#onables o a$ecua$as4 ( no ra#onables oina$ecua$as.

En consi$eración a lo $ico4 $ebemos $i5erenciar en!re sim'les oraciones grama!icales ( 'ro'osiciones4 'ues es!as ul!imas son cali5ica$as como cier!as o 5alsas. Consecuen!emen!e4 una 'ro'osición es una ca$ena $e 'alabras con sen!i$o com'le!o cali5icable $e cier!a o 5alsa. <s*4,ariano ,elgar murió en Aumaciri es una 'ro'osición 'or6ue re9ne las con$iciones re5eri$as.<$ems4 $ebemos in$icar 6ue las 'ro'osiciones se 'ue$en unir me$ian!e la conunción (%<re6ui'a es una ciu$a$ 'eruana4 &ima es una ciu$a$ 'eruana. !ili#an$o la conunción (4 'o$emos 5usionar las 'ro'osición a!ómicas an!eriores en la 'ro'osición molecular% <re6ui'a (&ima son ciu$a$es 'eruanas.

&.&.&. 9ORM"S 4E ENN$'"4O 8 ENN$'"4OS

na 5orma $e enuncia$o es !o$a sucesión $e s*mbolos en la 6ue 5iguran -ariables $e enuncia$os4 'ero no enuncia$os4 ( !al 6ue si se reem'la#an las -ariables 'or enuncia$os se ob!iene un enuncia$o.<s* ' - 6 es una 5orma $e enuncia$o si se reem'la#an las -ariables ' ( 6 'or enuncia$os4 se ob!ieneel enuncia$o ' - 6 6ue es una 5orma $e enuncia$o $is(un!i-a. <nlogamen!e ' X 6 ( ' ⊃ 6 son 5ormas$e enuncia$o conun!i-a e i'o!é!ica4 ( ¬ ' es una 5orma $e negación o 5orma nega!i-a.

;i en noso!ros se $es'ier!a la sensación $e 6ue los enuncia$os% ena-i$es 5ue asesina$osimboli#a$o 'or H ( O bien ena-i$es 5ue asesina$o o no lo 5ue simboli#a$o 'or - ¬H4 sonambos -er$a$eros4 lo son $e $i5eren!es maneras o !ienen $i5eren!es !i'os $e -er$a$.<nlogamen!e4 es mu( na!ural !ener la sensación $e 6ue4 si bien los enuncia$os ,elgar 5ueasesina$o simboli#a$o 'or ,H ( ,elgar 5ue asesina$o ( no 5ue asesina$o simboli#a$o 'or , X¬,H son ambos 5alsos. &o son $e $i5eren!es maneras4 o !ienen $i5eren!es !i'os $e 5alse$a$.

na 5orma $e enuncia$o 6ue sólo !iene eem'los $e sus!i!ución -er$a$eros es una 5orma $eenuncia$o !au!ológica o una !au!olog*a. Para mos!rar 6ue la 5orma $e enuncia$o ' - Y' es una!au!olog*a4 se cons!ru(e la siguien!e !abla $e -er$a$%

' ¬ ' ' - ¬ ' + ) +

) + +

En $ica !abla $e -er$a$ a( una sola columna inicial o $e gu*a4 'or6ue la 5orma e8amina$a sólocon!iene una -ariable $e enuncia$o. Por !an!o4 a( sólo $os 5ilas 6ue re'resen!an !o$os los eem'los$e sus!i!ución 'osibles. To$o enuncia$o 6ue es un eem'lo $e sus!i!ución $e una 5orma $e enuncia$o!au!ológica es -er$a$ero en -ir!u$ $e su 5orma ( se $ice !ambién $e él 6ue es !au!ológico4 o 6ue es

una !au!olog*a.

De una 5orma $e enuncia$o 6ue sólo !iene eem'los $e sus!i!ución 5alsos4 se $ice 6ue escon!ra$ic!oria4 o 6ue es una con!ra$icción. &a 5orma $e enuncia$o ' X Y ' es con!ra$ic!oria.

&as 5ormas $e enuncia$o 6ue cuen!an en!re sus eem'los $e sus!i!ución !an!o enuncia$os -er$a$eroscomo 5alsos son llama$as 5ormas $e enuncia$o con!ingen!es as*% '4 Y'4 ' X '4 ' - 64 ' ⊃ 6 son !o$as5ormas $e enuncia$o con!ingen!es4 ( los enuncia$os !ales como 4 ,4 Y4 X , ( - ,4 sonenuncia$os con!ingen!es4 'ues sus -alores $e cer!e#a $e'en$en $e sus con!eni$os ( no $e sus 5ormas.

Dos enuncia$os son ma!erialmen!e e6ui-alen!es o e6ui-alen!es en -alor $e cer!e#a4 cuan$o sonambos cier!os o ambos 5alsos4 ( su s*mbolo es ≡.

&.&.(. $ONE$1OR



En el eem'lo an!erior4 la 'ar!*cula ( nos sir-ió 'ara unir o conec!ar $os 'ro'osiciones a!ómicas.En!onces4 las 'ar!*culas 6ue relacionan unas 'ro'osiciones con o!ras se $enominan conec!ores 'ues!o$a 'ro'osición molecular necesariamen!e es! $e!ermina$a o a5ec!a$a 'or uno o -arios conec!ores.

;i consi$eramos los siguien!es eem'los $e 'ro'osiciones moleculares%

• ,elgar +alleo son $os gran$es ombres.• Juan sabe 5rancés 3O inglés.• Juan se casa O !ermina su no-ia#go.• ;i es are6ui'eño4 ENTONCE; es 'eruano.• ,anuel ir al es!a$io ;I4 ;=&O ;I4 uega el ,elgar.• &uis NI !rabaa4 NI $ea !rabaar.• Es INCO,P<TI&E ser a la -e# are6ui'eño 'iurano.

'o$emos obser-ar 6ue las 'ar!*culas resal!a$as con ma(9sculasH son conec!ores 'or6ue relacionanunas 'ro'osiciones con o!ras. ;obre !ales conec!ores se acen!uar ms al abor$ar el siguien!eca'*!ulo re5eri$o a las ma!rices o !ablas $e -er$a$ o $e cer!e#a.

Por o!ra 'ar!e4 no 'o$emos ol-i$ar 6ue la 'ar!*cula NO4 en lógica es consi$era$o un conec!or4 'ues4aun6ue no conec!a4 a5ec!a nega!i-amen!e !an!o a 'ro'osiciones a!ómicas 'or se'ara$o como arelaciones en!re 'ro'osiciones. Ello signi5ica 6ue la 'ar!e $e la lógica 6ue es!u$ia los $i-ersos mo$os$e relación $e las 'ro'osiciones en un $iscurso4 sin in!en!ar ingresar en un anlisis $e la es!ruc!ura$e las mismas4 se $enomina lógica 'ro'osicional4 sen!encial o $e enuncia$os 'ues4 'ro'osición4sen!encia4 o enuncia$o son !érminos sinónimos.

&.&.2. 1-RM'NOS 8 :"LOR"$'ONES S'M)ÓL'$"S

Con un sal!o $e cerca $e $os mil años4 $en!ro $el $e-enir $e la lógica 5ormal4 la is!oria $e losmomen!os cruciales nos lle-a $es$e <ris!ó!eles a &eibni#. Na!uralmen!e4 a( cosas in!eresan!es ( no 'ocas. <un sin salir $el mbi!o $e la lógica griega4 no es 'osible $ear $e ci!ar la gran con!ribución$e la lógica es!oica 6ue4 5lorecien$o casi 'aralelamen!e a la escuela aris!o!élica ( -inculn$ose a una!ra$ición $is!in!a $e la aris!o!élica4 encon!ró en Teo5ras!o ":2G2MM4 $isc*'ulo $e <ris!ó!elesH (Eu$emo los elemen!os $e con!ac!o con al !ra$ición lógica $e la escuela 'eri'a!é!ica. En e5ec!o4Teo5ras!o ( Eu$emo enri6uecieron la obra lógica $el maes!ro con el es!u$io $e los silogismosi'o!é!icos con$icionales4 ( en es!o 5ueron los 'recursores $e los es!oicos4 6ue $esarrollaron$e!alla$amen!e esa !eor*a4 un!o con la $e los silogismos i'o!é!icos $is(un!i-os4 as!a -erse$irec!amen!e a $esarrollar a6uella 'ar!e $e la lógica 6ue4 en!re-is!a sólo 'or <ris!ó!eles4 cons!i!u(e elorgullo im'erece$ero $e su escuela% la lógica 'ro'osicional. Tan im'or!an!e logro no a si$o 'lenamen!e reconoci$o ms 6ue as!a nues!ros $*as ( ni si6uiera los 'ro'ios es!oicos !u-ieron 'lenaconciencia $e él.

En!re los griegos4 Laleno 'lan!eó 'or 'rimera -e# la necesi$a$ $e una rigurosa ( e8'l*ci!aa8ioma!i#ación $e la lógica e8igencia nunca sa!is5eca4 seg9n lo 'lan!ea Lirolamo ;acceri en su

Logica demonstratia 'ublica$a en 1F2.

;i la lógica an!igua 'ue$e enumerar4 $es'ués $e <ris!ó!eles4 los gran$es nombres $e Teo5ras!o4 eles!oico Crisi'o4 Laleno ( o!ros ms4 a9n no cobra ma(or relie-e la lógica escols!ica4 !an mal!ra!a$a$uran!e largo !iem'o4 ( 5ragmen!ariamen!e conoci$a o(. ;ólo con J. &uUasieWic# Para una is!oria$e la lógica 'ro'osicional4 1F"/H se reanu$a el es!u$io sis!em!ico $e la lógica me$ie-al ( lo 'oco6ue $e ella a sali$o a lu#4 6ue$an$o muco 6ue es 'reciso re$escubrir4 es (a su5icien!e 'aralle-arnos a consi$erar los cua!ro siglos 6ue -an $es$e <belar$o as!a 5inales $el + como una $e lasé'ocas ms brillan!es $e la lógica4 'ues los me$ie-ales%

1H No sólo 'ro5un$i#aron ( sis!ema!i#aron rigurosamen!e !emas ere$a$os $e la !ra$ición an!igua4sino 6ue em'ren$ieron in-es!igaciones !o!almen!e nue-as4 como las rela!i-as a las 'ro'ie$a$es

$e los !érminos 6ue abarcan las conoci$as $oc!rinas $e la suppositio

4 lacopulatio

4 laappelatio ( la ampliatio $e los !érminosH4 lo cual concre!amen!e e6ui-ale a 6ue4 un!o al e8'er!o



!ra!amien!o $e 'roblemas sin!c!icos4 se si!9a !o$o un $esarrollo $e la semn!ica casi !o!almen!eignora$o 'or la !ra$ición an!igua.

2H +eri5icaron un es!u$io es'ecial ( 'ro5un$o $e la lógica mo$al4 lle-n$ola bas!an!e ms all $elni-el inicial en 6ue la ab*a $ea$o <ris!ó!eles.

"H ;e en5ren!aron con el gran 'roblema $e las 'ara$oas semn!icas como las llamamos o(H4 alas 6ue allaron no menos $e una $ocena $e soluciones4 logran$o $esen!rañar casi !o$os sus

as'ec!os./H <lgunos $e sus !ra!a$os su'eran in$u$ablemen!e en cuan!o al rigor 5ormal a los $e la an!ig7e$a$4

sin e8cluir el 'ro'io Organon aris!o!élico.H Par!iculari$a$ mu( no!able $e los escols!icos es 6ue $esarrollaron la ma(or 'ar!e $e sus

in-es!igaciones $e manera me!alógica4 o sea no cons!ru(en$o 5órmulas lógicas sino$escribién$olas4 cosa 6ue los an!iguos a'ar!e los escols!icoH sólo ab*an eco en con!a$asocasiones.

En la obra $e &eibni# a( un elemen!o $e no-e$a$ $ecisi-a ( una au!én!ica nue-a ra*# $e la lógicasimbólica4 6ue ubo $e aguar$ar as!a 'rinci'ios $e nues!ro siglo. Con !o$o4 si in!ro$uo un 'un!o$e -is!a iné$i!o4 $e ning9n mo$o 'ue$e ser 'resen!a$o como inicia$or $e una re-uel!a con!ra lalógica !ra$icional. Aeinric ;col# resume el eco% Es como si se iciera $e $*a4 cuan$o se llega a

ci!ar el gran nombre $e &eibni#. Con él em'ie#a 'ara la lógica aris!o!élica una ita nuoa4 cu(a ms bella mani5es!ación es en nues!ros $*as la mo$erna lógica e8ac!a4 6ue se conoce con el nombre $elog*s!ica.

<$ems4 el 'ro'io &eibni# !en*a 'lena conciencia no sólo $e la im'or!ancia $e la lógica 5ormal (sis!em!ica 5ren!e a la cual4 en cambio4 no 'ocos con!em'orneos su(os4 inclui$o Descar!es4 ac*angala $e una cier!a su5iciencia4 al re$ucirla al 'a'el $e ins!rumen!o accesorio ( sólo 9!il 'ara $ar unaa'ariencia e8!erior ms 'uli$a ( rigurosa a las nociones (a con6uis!a$as 'or o!ros 'roce$imien!osH4sino !ambién $e la no $es'reciable ( gran$emen!e 'osi!i-a con!ribución -eri5ica$a 'or los an!iguosen ese cam'o. Pues en car!a $e &eibni# a L. Kagner 5eca$a el año 1F $ice% No es en -er$a$cosa $e 'oca mon!a el 6ue <ris!ó!eles a(a re$uci$o es!as 5ormas a le(es in5alibles (4 con ello4 a(asi$o e5ec!i-amen!e el 'rimero en escribir ma!em!icamen!e 5uera $e las ma!em!icas.

&eibni# -io surgir la i$ea cen!ral $e su nue-a lógica 'recisamen!e como 'ro(ec!o $e creación $e unalógica simbólica ( $e carc!er com'le!amen!e calcul*s!ico4 en analog*a con los 'roce$imien!osma!em!icos. ;emean!e i$ea 5ue ma$uran$o is!óricamen!e sólo $es'ués $e 6ue la ma!em!ica4 a!ra-és $e sus gran$es ( r'i$os $esarrollos $uran!e los siglos +I ( +II4 'osibili!a$os 'or lain!ro$ucción $el simbolismo4 se ab*a cons!i!ui$o como 'ara$igma en 6ue 'o$erse ins'irar 'ara el 'ro(ec!o $e la nue-a 5isonom*a $e la lógica.

Corres'on$ió a &eibni# la gloria $e aber aisla$o la -er$a$era na!urale#a $el clculo en general4a$ems $e la $e aber a'ro-eca$o 'or 'rimera -e# la o'or!uni$a$ $e re$ucir las reglas $e la$e$ucción lógica a meras reglas $e clculo4 es $ecir4 a reglas cu(a a'licación 'ue$a 'rescin$ir $e laconsi$eración $el con!eni$o semn!ico $e las e8'resiones. &a mo$erna lógica simbólica es! 'er5ec!amen!e $e acuer$o con es!a 'osición leibni#iana acerca $e las -en!aas ( $e la na!urale#a $el

simbolismo. Es'ecialmen!e ello $ebe acernos com'ren$er cun inus!i5ica$a es la acusaciónesgrimi$a con!ra la lógica simbólica $e 6ue a re$uci$o lo 6ue es cuali!a!i-o a cuan!i!a!i-o.

El error es! en 6ue algunos i$en!i5ican con lo ma!em!ico cuan!i!a!i-oH !o$o lo 6ue es simbólico4mien!ras 6ue el simbolismo es una cosa muco ms am'lia 6ue la ma!em!ica ( en reali$a$4 lanoción misma $e clculo no es una noción !*'icamen!e ma!em!ica ( el calculus ratiocinator osea clculo lógicoH $e &eibni# es 'recisamen!e el 'lan!eamien!o $e un clculo $e carc!er general6ue 'ue$e encua$rar en su seno !ambién a las $e$ucciones ma!em!icas4 'ero no sólo a ellas4 ( 6ue 'ue$e ser-ir 'ara -eri5icar no sólo consi$eraciones cuan!i!a!i-as sino !ambién o!ras cuali!a!i-as4 'or em'lear los !érminos $e la 'olémica. &eibni# escribió en car!a a Tscirnausen en 1:M% Elclculo no es o!ra cosa4 $e eco4 6ue una o'eración me$ian!e s*mbolos4 6ue !iene lugar no sólo en elcaso $e las can!i$a$es4 sino !ambién en cual6uier o!ro ra#onamien!o.

El 6ue a $es!aca$o as!a aora 'rinci'almen!e4 o sea el $e la $e$ucción lógica como 'uro clculo4es $ecir4 como sim'le o'erar 5ormal con s*mbolos4 es la i$ea $e la mat"esis uniersalis 6ue &eibni#



llamó !ambién lógica ma!em!ica ( log*s!ica. <s*4 &eibni# 'ue$e ser 'resen!a$o como el 5un$a$or $e la lógica ma!em!ica 'ero no cons!ru(ó un sis!ema simbólico ar!i5icial4 in!egra$o 'or s*mboloscaren!es $e signi5ica$o4 su simbolismo 9nicamen!e cons!i!u(e el 9l!imo ni-el $e la abs!racción ( $ela 5ormali#ación. &eibni# es el 5un$a$or $e la lógica simbólica4 'ero a$-ir!ien$o 6ue su simbolismono es !o$a-*a un lenguae ar!i5icial4 sino sólo un riguroso ( seguro re5leo $e las es!ruc!uras 'uramen!e 5ormales $el lenguae or$inario4 6ue en reali$a$ es su m8ima abs!racción.

&as i$eas 5un$amen!ales $e &eibni# sobre el clculo lógico son% el clculo no es na$a liga$o a lacan!i$a$4 sino un 'roce$imien!o muco ms general4 cu(a -ali$e# no $e'en$e $e la in!er're!ación$e sus s*mbolos sino sólo $e las le(es en -ir!u$ $e las cuales se combinan ( 6ue4 en 'ar!icular4 se 'res!a !ambién a la !eori#ación $e la lógica.

lo 6ue si!9a a Leorge oole 1M1G1M/H 'or encima $e !o$os los lógicos es la i$ea $e 6ue elclculo es algo ar!i5icial ( cons!rui$o in$e'en$ien!emen!e $e cual6uier 'osible in!er're!ación su(a4 osea algo 'uramen!e 5ormal (4 'or !an!o4 no liga$o a una es!ruc!ura in!er're!a!i-a $e!ermina$a4 sinosusce'!ible $e a$a'!arse a mucas. oole no !ra!a (a $e un sis!ema simbólico concebi$o comosu'remo gra$o $e abs!racción $e una cier!a !eor*a in!ui!i-a4 sino $e una cons!rucción au!ónoma4 encu(a in!er're!ación se 'iensa al menos i$ealmen!eH sólo $es'ués $e su elaboración. El clculo4 as*

cons!rui$o4 es in!er're!a$o en un 'rimer caso4 como lgebra $e clases 5ormali#ación $e la lógica $e!érminosH (4 en un segun$o caso4 como 5ormali#ación $e la lógica 'ro'osicional4 me$ian!econ-enciones in!er're!a!i-as sus!ancialmen!e $is!in!as.

&.&.2.&. 1-RM'NOS

To$a ciencia4 'ara in5ormar con la ma(or e8ac!i!u$ sobre su obe!o4 necesariamen!e $ebe a'ar!arse$e las ambig7e$a$es $el lenguae i$iom!ico ( 5orar sus 'ro'ios !érminos !écnicos o !erminolog*a. con ma(or ra#ón4 si se !ra!a $e una ciencia 5ormal4 como las ma!em!icas ( la lógica4 és!as4 a$ems4elaboran sus 'ro'ios s*mbolos o simbolog*a.

&os signi5ica$os 'rinci'ales $el -ocablo !érmino son los siguien!es%1H n uso ling7*s!ico o un conun!o $e signos42H cual6uier obe!o o cosa a la cual se re5iera un $iscurso"H los l*mi!es $e una e8!ensión/H el 'un!o $e llega$a $e una ac!i-i$a$ o el resul!a$o $e una o'eración.

En el 'rimer signi5ica$o4 6ue in!eresa a la lógica4 'o$emos $is!inguir los siguien!es signi5ica$ossubor$ina$os%aH &os elemen!os 6ue en!ran en la com'osición $e las 'remisas $el silogismo ca!egórico4 es!o es4 el

sue!o ( el 're$ica$o4 6ue se -er ms am'liamen!e en la lógica $e los !érminos bH !o$os los com'onen!es sim'les 6ue en!ran en las 'ro'osiciones. en es!e sen!i$o son !érminos no

solamen!e el sue!o ( el 're$ica$o4 sino !ambién los -erbos4 las 're'osiciones4 conunciones4 es!oes4 los com'onen!es sinca!egorem!icos. Con !o$o4 no son !érmino las 'ro'osiciones4 'or no ser sim'les

cH !o$os los com'onen!es $e las 'ro'osiciones4 (a sean sim'les o com'leos En es!e sen!i$o mu(general son !érminos no sólo el sue!o4 el 're$ica$o4 el -erbo ( los com'onen!essinca!egorem!icos4 sino !ambién las 'ro'osiciones en cuan!o 'ue$en en!rar a 5ormar 'ar!e $eo!ras 'ro'osiciones4 como cuan$o se $ice +alleo es un ombre4 es una 'ro'osición.

El lenguae lógico es la e8'resión $e la lógica ineren!e al $iscurso i$iom!ico4 el es6uele!o 6ue lo-er!ebra. Es! $en!ro4 no se -e a sim'le -is!a 'ero sin él el $iscurso ser*a un mon!ón in5orme $e 'alabras sin coerencia ni sen!i$o ( la con-ersación un alar en!re locos. El lenguae lógico encuan!o e8'resa las 'uras 5ormas $el $iscurso es una abs!racción. No e8is!e un lenguae lógico alla$o $el lenguae i$iom!ico. To$a la reali$a$ 6ue e8'resa el lenguae lógico se encuen!ra $en!ro4ineren!e ( sub(acen!e al 'ensamien!o 6ue a$ems $e 5ormas4 conlle-a con!eni$os. Es!o no obs!a 'ara 6ue el lógico4 como el ma!em!ico4 'ue$a 'rescin$ir $e los con!eni$os 'ara $e$icarse al es!u$io

$e las 5ormas $iscursi-as. El lenguae i$iom!ico es e8uberan!e en 5orma ( mu( rico en ma!ices. Ellenguae lógico $ebe !ra$ucirlas a unos 'ocos mo$elos un*-ocamen!e $e!ermina$os en susigni5icación.



&.&.2.(. :"LOR 4E LOS S;M)OLOS

El -alor $e los s*mbolos !oma im'or!ancia 'or6ue los ra#onamien!os 5ormula$os en cas!ellano o encual6uier o!ro i$ioma son $i5*ciles $e e-aluar 'or la na!urale#a -aga ( e6u*-oca $e las 'alabras4 laan5ibolog*a4 los mo$ismos ( el es!ilo me!a5órico. Para e-i!ar es!a $i5icul!a$ se crea el lenguae

simbólico ar!i5icial libre $e $e5ec!os.

Es cier!o 6ue <ris!ó!eles (a u!ili#ó algunas abre-ia!uras. &os s*mbolos $e la lógica mo$erna 'ermi!ene8'oner con ma(or clari$a$ las es!ruc!uras lógicas $e 'ro'osiciones ( ra#onamien!os. <s* como losn9meros arbigos su'eraron a los romanos 'ara los clculos4 as* !ambién la lógica simbólica 5acili!ala $eri-ación $e las in5erencias ( la e-aluación $e los ra#onamien!os.

Cual6uier curso $e ma!em!ica 6ue 'ermi!an al lec!or llegar a conclusiones -li$as4 lle-a ineren!eun sis!ema $e 'roce$imien!os. &a lógica simbólica con su 5ormulación $e conce'!os lógicos ( reglas$e ra#onamien!o en 5orma simbólica4 es la 6ue ms se aus!a a es!e sis!ema $e 'roce$imien!os. &alógica simbólica 'ue$e $escribirse como un es!u$io $e lógica 6ue em'lea un e8!enso uso $es*mbolos.

Leorge oole 1M1G1M/H me$ian!e su genial obra !i!ula$a Las Leyes del !ensamiento4 con us!oméri!o 'ue$e ser llama$o el 'a$re $e la lógica mo$erna4 no !an!o 'or ser el 'rimer !ra!a$o 6ue asis!ema!i#a$o la lógica mo$erna4 sino4 'or6ue la uni-ersali$a$ $e sus con!eni$os le an $a$o elnombre $e Zlgebra ooleana.

En !o$a $iscusión $e lógica el !ra!amien!o se cen!ra alre$e$or $el conce'!o $e una 'ro'osiciónconce'!ua$a como oraciones $eclara!i-as ( no in!erroga!i-as ni e8clama!i-asH 6ue a5irman o nieganalgo4 ( 'or !an!o4 6ue !ienen un -alor -eri!a!i-o4 es $ecir4 6ue son -er$a$eras +H o 5alsas )H4 'erono ambas a la -e#. &as 'ro'osiciones !ienen una 'ro'ie$a$ im'or!an!e% 'ue$en ser -er$a$eras o5alsas. ;eg9n <l5re$ TarsUi 1F02G ?H4 una 'ro'osición es e8ac!amen!e -er$a$era4 si... es realmen!e-er$a$era. Ello 6uiere $ecir 6ue una oración es -er$a$era4 cuan$o el es!a$o $e cosas 6ue $escribe4se $a realmen!e. Para las e8igencias $e la lógica 5ormal bas!a esa $e5inición.

;e simboli#a a las 'ro'osiciones con le!ras min9sculas4 !ales como%

'4 64 r4 s4 ...

( en el caso $e 6ue sean mucas se em'lea le!ras con sub*n$ices4 como% 'a 62 sn ...

Es!as le!ras se llaman -ariables 'ro'osicionales. Eem'los%

'% &a !ierra es re$on$a 6% &os 'aros no son insec!os

s% Colón nació en Cile r% El n9mero F es $i-isible 'or " $% >Te gus!a es!u$iar? 5% @+i-a +*c!or <n$résB u% # [ / > F -% [ / > F

En !ales eem'los4 '4 64 s4 r ( - son 'ro'osiciones $4 5 ( u no lo son. &as 'ro'osiciones% '4 64 r ( -son -er$a$eras ( s es 5alsa. &a 'ro'osición u se !i'i5ica como 'ro'osición abier!a 'or6ue no se le 'ue$e a!ribuir el -alor -er$a$ero o 5also4 a menos 6ue # sea sus!i!ui$a 'or n9meros ma(ores 6ue 4con lo cual 'asar*a a ser una 'ro'osición -er$a$era.

;e a $is!ingui$o $os -alores $e -er$a$% +er$a$ero ( )also. En ese sen!i$o se abla $e una lógicaambi-alen!e. Pero se 'ue$en !ambién señalar ms $e $os -alores. En!onces no se abla cier!amen!e$e -alores $e -er$a$4 sino $e -alores $e -igencia 'or6ue si la -er$a$ se !oma como un -alor4



!en$remos siem're una ambi-alencia. ;i se a$mi!en !res -alores $e -igencia4 'or eem'lo% conoci$ocomo -er$a$ero4 in$e5ini$o4 conoci$o como 5also4 se abla $e una lógica !ri-alen!e o $e un clculo!ri-alen!e. Teóricamen!e 'ue$en cons!ruirse a ca'rico mucos clculos 'oli-alen!es.

El -alor $e -er$a$ $e la 'ro'osición% cuan$o llue-e4 las calles se moan4 $e'en$e $el -alor $e -er$a$$e las $os a5irmaciones ( $el mo$o $e su cone8ión lo cual nos lle-a re5erirnos a un gru'o $e

'alabras 6ue son las un!oras o conunciones% son 'ar!*culas 6ue unen las oraciones4 como (4 o4si...en!onces4 ni...ni4 e!c.4 $n$ose 1 'osibili$a$es 'ara unir $os oraciones en la lógica bi-alen!e.



OPER<DOR

;\,O&O

&ENL<JE;<&

I&;TR<CI= N

;I,O&IS<CI=N

Negación ¬4 G4 ∼ No... No llue-e Y'Conun!or ∧4 .4 ] ... ( ... &lue-e (

!ruena

' ^ 6

Dis(un!orinclusi-oo $ébilH

∨ ... o ...Es!aba !ris!e o 'reocu'a$o oambas cosasH

' - 6

Dis(un!or e8clusi-oo 5uer!eH

W4 ≅... o ...

Iremos al cine oal !ea!ro 'erono al !ea!ro'ero no aambos lugaresH

' ∨ 6

Con$icionaG$or

⇒4 ⊃4 →

;i... en!onces...

;i llue-een!onces abrcoseca

'→ 6

icon$icioGna$or ≡4 ⇔4

↔... ;i ( sólosi ...

Aabr cosecasi( sólo si llue-e

'↔ 6

inega$or ↓

Ni ...ni ...

Ni !rabaa nies!u$ia ' ↓ 6

<n!iconG un!or

No es cier !o 6ue ...( ...

No es cier!o6ue <l$o sea;ecre!ario (sobrino $el ue#

' 6

< con!inuación 'resen!amos un cua$ro sinó'!ico $e las corres'on$encias en!re las 'rinci'alesno!aciones simbólicas o algor*!micas%

Princi'ia Ailber!iana &uUasieWic#

+ariables 'ro'osicionales NegaciónConunción<l!erna!i-aCon$icionalicon$icionalni-ersali#a$or Par!iculari#a$or

'4 64 r G ' ' . ' ' ∨ 6 ' ⊃ 6 ' ≡ 6 8H58∃8H58

<4 4 C ¬ < <∧ < <∨ <→ <← → ∀8P8 ∃8P8

'4 64 r N' '6 <'6 C'6 E'6 858 P858

&a lógica 'ro'osicional limi!a el es!u$io $e las 5ormas lógicas a las 'ro'osiciones moleculares4i$en!i5ican$o las 'ro'osiciones a!ómicas 6ue la 5orman. ;e con-iene en llamar 'ro'osicionesa!ómicas a las 6ue (a no 'ue$en $escom'onerse en 'ar!es 6ue sean4 a su -e#4 'ro'osiciones ( a 'ar!ir $e és!as4 me$ian!e la a'licación $e los conec!ores 'ro'osicionales4 se logran las 'ro'osicionesmoleculares. De a* 6ue en general se llame !érminos a las 'ar!es cons!i!u!i-as $e !o$o $iscurso46ue sus!ancialmen!e son $e $os !i'os% unos 'oseen un signi5ica$o 'ro'io ( au!ónomo4 o!ros$esem'eñas la 5unción $e mo$i5icar el signi5ica$o $e los !érminos $el 'rimer !i'o.

&os 'rimeros se llaman ca!egorem!icos ( 'ue$en ser4 'or eem'lo4 sus!an!i-os4 a$e!i-os4 -erbos (aun 'ro'osiciones en!eras4 mien!ras 6ue los segun$os se $enominan !érminos sinca!egorem!icos (son4 'or eem'lo4 (4 o4 no4 !o$os ( e8'resiones similares 6ue ac!9an como conec!ores (o'era$ores lógicos.



;e llama o'era$ores o conec!i-os lógicos a los s*mbolos 6ue sir-en 'ara conec!ar o a5ec!ar 'ro'osiciones. ;on $e $os !i'os% mon$icos ( $i$icos.

a. O'era$or mon$ico es a6uel 6ue a5ec!a solamen!e a una 'ro'osición a!ómica. &a negación4simboli#a$a 'or Y es el 9nico o'era$or mon$ico. &uego lo simboli#aremos con el signo ¬ .

En el cua$ro an!eriormen!e a$un!o se 'resen!a la nómina $e o'era$ores con su s*mbolo res'ec!i-o (

su lec!ura en el lenguae usual.

b. O'era$or $i$ico es a6uel 6ue a5ec!a a $os o ms 'ro'osiciones. &a $is(unción ∨ H4 laconunción ∧ H4 la im'licación → _ H ( la bicon$icional ↔ H.

na 'ro'osición molecular es! cons!i!ui$a 'or 'ro'osiciones a!ómicas ( conec!i-os lógicosen!onces4 !o$a 'ro'osición 'osee4 'or $e5inición4 un -alor -eri!a!i-o% es -er$a$era + H4 o 5alsa ) H. Por !an!o el -alor -eri!a!i-o $e una 'ro'osición molecular4 $e'en$er $el -alor $e -er$a$ $e las 'ro'osiciones a!ómicas 6ue la com'onen. Para n 'ro'osiciones a!ómicas4 el n9mero $ecombinaciones o arreglos en!re las + ( las ) 6ue nos lle-an al -alor -eri!a!i-o $e la 'ro'osición molecular4 es 2.

El eco $e 6ue el -alor $e -er$a$ $e una 'ro'osición molecular es!é $e!ermina$o 'or el $e sus 'ro'osiciones a!ómicas com'onen!es4 se e8'resa $icien$o 6ue $ica 'ro'osición molecular es una5unción $e -er$a$ $e sus com'onen!es. &a lógica 'ro'osicional es!u$ia4 'recisamen!e4 las 5unciones$e -er$a$ a !ra-és $e las llama$as !ablas $e -er$a$.



&.(. M"1R'$ES O 1")L"S 4E :"LOR"$'ÓN

Como in$icbamos an!eriormen!e4 los enlaces $e las 'ro'osiciones se reali#an me$ian!e loso'era!i-os lógicos4 algunos $e los cuales es'eci5icamos con ma(or 'recisión. To$as las reglas $e

cer!e#a 5uncional 6ue se u!ili#an 'ara 'ro'osiciones moleculares 'ue$en resumirse en 5orma $e!ablas. &as !ablas bsicas $e cer!e#a in$ican r'i$amen!e si una 'ro'osición molecular es cier!a o5alsa si se conoce la cer!e#a o 5alse$a$ $e las 'ro'osiciones 6ue la 5orman.

&.(.&. PROPOS'$'ONES "1ÓM'$"S 8 MOLE$L"RES

na 'ro'osición $escribe un es!a$o $e cosas. &a lógica !ra$icional $is!ingue en!re uicio ( 'ro'osición% El uicio es el ac!o $el es'*ri!u 'or me$io $el cual se a5irma o niega algo $e algo4 la 'ro'osición es le 'ro$uc!o lógico $e $ico ac!o4 es $ecir4 lo 'ensa$o e $ico ac!o. Para Russell la 'ro'osición es la clase $e !o$as las sen!encias 6ue 'oseen la misma signi5icación 6ue una sen!encia$a. Para Ki!!gens!ein4 la 'ro'osición es la $escri'ción $e un eco o la 'resen!ación $e lae8is!encia $e ecos a!ómicos. seg9n Carna'4 la 'ro'osición es una clase $e e8'resión.

&os escols!icos es!ablecieron $os !i'os $e 'ro'osiciones% las sim'les ( com'ues!a4 o( llama$aselemen!ales ( moleculares.

1H Elemen!ales o a!ómicas% ;on las 'ro'osiciones $e 5orma ms sim'le o ms bsicasH !ambién seles llama sim'les o mon$icas 'or es!ar cons!i!ui$as 'or un solo 're$ica$o. na 'ro'osicióna!ómica es una 'ro'osición com'le!a sin !érminos $e enlace. ;on a5irma!i-as. Por eem'lo%&lue-e4 <re6ui'a es! cerca $el ,is!i4 Aa( seres in!eligen!es en ;a!urno (

2H ,oleculares% ;e $a cuan$o se un!an una o -arias 'ro'osiciones a!ómicas con un !érminos $eenlace se llaman !ambién Com'ues!as4 'or in!egrar $os o ms 'ro'osiciones a!ómicas. Por eem'lo% &lue-e ( ace 5r*o4 ;i es! nubla$o4 en!onces 'o$r llo-er. En es!as 'ro'osiciones4las oraciones elemen!ales o sim'les es!n uni$as me$ian!e 'ar!*culas como (4 o4 e!c.4 'or eem'lo% )ugimori nació en &ima ( Qui!o es la ca'i!al $e Ecua$or. En la lógica 'ro'osicionalse !ra!a $e la -inculación $e oraciones. No se ocu'a ni $e la 5orma ni $el con!eni$o $e las 5rases4sino e8clusi-amen!e $e su 5orma $e cone8ión.

na 'ro'osición como no llue-e a 'esar $e su sim'lici$a$4 es consi$era$a como molecular4 'ues 'o$emos aislar $en!ro $e ella una a9n ms sim'le% &lue-e.

&.(.(. 1")L"S 4E :ER4"4

Cuan$o una 'ro'osición a!ómica es -er$a$era se $ice 6ue es 'or!a$ora $e -alor $e -er$a$-er$a$ero4 6ue simboli#aremos con el n9mero 1. De la 'ro'osición César +alleo nació en Per9 'o$emos $ecir 6ue !iene -alor $e -er$a$ -er$a$era o 6ue -ale 1.

Cuan$o una 'ro'osición a!ómica es 5alsa se $ice 6ue !iene -alor $e -er$a$ 5also4 6ue se simboli#ame$ian!e el n9mero 0. <s* la 'ro'osición Na'oleón nació en Qui!o !iene -alor $e -er$a$ 5also o-ale 0.

;i unimos las $os 'ro'osiciones a!ómicas an!eriores ob!enemos la 'ro'osición molecular César +alleo nació en Per9 ( Na'oleón nació en Qui!o4 cu(o conec!or es la 'ar!*cula ( 6ue recibe elnombre $e conun!or. Necesariamen!e la an!erior 'ro'osición molecular4 como !o!ali$a$4e-i$en!emen!e es 5alsa4 'ues!o 6ue una $e las 'ro'osiciones es 5alsa.

Como regla general4 'o$emos consi$erar 6ue la -er$a$ o 5alse$a$ $e una 'ro'osición molecular cual6uiera $e'en$e $e la -er$a$ o 5alse$a$ $e las 'ro'osiciones a!ómicas 6ue la com'onen4 !enien$o

en cuen!a la na!urale#a $el conec!or 6ue las relaciona. <s* !enemos las -aloraciones seg9n losconec!ores%



&.(.(.&. L" $ON6N$'ÓN

<l es!u$iar los ra#onamien!os se los $i-i$e en enuncia$os sim'les ( enuncia$os com'ues!os. Essim'le el 6ue no con!iene o!ro enuncia$o como 'ar!e $e s*4 eem'lo% &uis es es!u$ioso. Escom'ues!o4 si inclu(e o!ro enuncia$o como 'ar!e cons!i!u(en!e $e s*4 eem'lo% &uis es es!u$ioso (Carlos es amable.

En el eem'lo an!erior el enuncia$o es una conunción 'or6ue se combina con la 'alabra (4 'or lo6ue los enuncia$os 6ue se combinan se llaman conun!i-os. No es conunción &uis ( Carlos cones!u$iosos.

;e $a la conunción sólo cuan$o unimos $os 'ro'osiciones me$ian!e la 'ar!*cula 4 re'resen!a$a 'or el s*mbolo ∧ . ;i la 'rimera oración la $esignamos ' ( la segun$a 6 4 !enemos lare'resen!ación simbólica $e conunción% ' ∧ 6 . Por eem'lo% &uis es!u$ia man$olina ( Caman

es! en <re6ui'a. &a 'ro'osición com'ues!a ' ^ 6 es una conunción $e las 'ro'osiciones '4 66ue se lee ' ( 6. También se u!ili#a como conun!i-o el . 'un!oH 6ue 'o$emos escribir as*% ' .6.

El s*mbolo $el 'un!o es un conec!i-o e8!ensional4 signi5ican$o 6ue la -er$a$ o 5alse$a$ $e cual6uier conunción ' ^ 6 es $e!ermina$a 'or la -er$a$ o 5alse$a$ $e sus enuncia$os cons!i!u!i-os. &as5ormas i$iom!icas 6ue e6ui-alen a (4 son% !ambién4 igualmen!e4 $el mismo mo$o4 mien!ras 6ue4 'ero4 mas4 sin embargo4 no obs!an!e4 a 'esar $e4 'ese a 6ue4 !am'oco.

En 6ué relación es! el -alor $e -er$a$ $e la conunción con los -alores $e -er$a$ $e ambasoraciones? Consi$eran$o los enuncia$os ' ( 64 a( solamen!e cua!ro conun!os 'osibles $e -alores$e -er$a$4 $on$e el -alor $e -er$a$ $e un enuncia$o -er$a$ero es cer!e#a ( el -alor $e -er$a$ $e unenuncia$o 5also es 5alse$a$4 6ue e8'onemos a con!inuación%

G ;i ' es cier!a ( 6 !ambién4 ' ∧ 6 es cier!a.G ;i ' es cier!a ( 6 5alsa4 '∧6 es 5alsa.G ;i ' es 5alsa ( 6 cier!a4 '∧6 es 5alsa.G ;i ' ( 6 son 5alsas4 '∧6 ser 5alsa.

Como eem'los 'o$emos enunciar%

1H &os cilenos ( los ecua!orianos son la!inoamericanos.2H &as rosas son roas ( las -iole!as son a#ules."H M es menor 6ue : ( " es 'rimo.

&a conunción ' ∧ 6 es cier!a solamen!e si ' ( 6 lo son a la -e#4 $e o!ro mo$o es 5alsa. Es!o sere'resen!a en la !abla 6ue se inclu(e luego.

&.(.(.(. L" 4'S8N$'ÓN

a. 47bil o inclusi!a%

&a $is(unción $e $os enuncia$os siem're la 'resen!amos con la 'alabra o. Tal 'alabra !iene unsen!i$o $ébil o inclusi-o cuan$o inclu(e4 al mismo !iem'o los $os enuncia$os $is(un!i-os4 eem'lo%no se $arn bene5icios a los en5ermos o $esem'lea$os cu(a in!ención es a5irmar 6ue los bene5iciosse niegan no solo a las 'ersonas en5ermas o a las 'ersonas sin em'leo4 sino !ambién4 ( al mismo!iem'o a 6uienes es!én en5ermos ( sin em'leo.

En las 'ro'osiciones a!ómicas '4 64 la 'ro'osición com'ues!a ' ∨ 6 es una $is(unción inclusi-aen el sen!i$o $e (3oH $e las 'ro'osiciones ' ( 64 6ue se lee ' o 64 o ambas. En la!*n4 la 'alabra



-el e8'resa la $is(unción $ébil o inclusi-a. ;e usa la inicial $el -el 'ara re'resen!ar el sen!i$o$ébil es llama$o cuña4 o4 ms raramen!e la -eH.

Con-en$remos en 6ue ' ∧ 6 es 5alsa ) H 9nicamen!e en el caso en 6ue ambas4 ' ( 64 sean 5alsasen cual6uier o!ro caso es cier!a4 'ues el un!ar $e la $isunción no es e8clusi-o. ;e $ice% es$i'u!a$o o minis!ro4 en!onces o 'ermi!e en!en$er 6ue 5ulano es una $e las $os cosas o ambas a la

-e#. &a $isunción es cier!a4 cuan$o al menos una $e las 'ro'osiciones lo es. ;e re'resen!a ' - 64como se mues!ra en la !abla $e Disunción $ébil. Eem'los%1H César es!aba 5eli# o bailaba $e con!en!o2H Julio es 'ro5esor o es!u$ian!e $e secun$aria.

b. 9uerte o e<clusi!a%

&a 'alabra o se usa en sen!i$o 5uer!e o e8clusi-o 'ara signi5icar 6ue a lo sumo se elegir uno (cuan$o se $esea ma(or 'recisión en el uso $el o4 se aña$e 'ero no ambos. En la!*n la 'alabraau! e8'resa el sen!i$o 5uer!e o e8clusi-oConsi$era$as las 'ro'osiciones a!ómicas '4 64 la 'ro'osición com'ues!a ' W 6 es una $is(uncióne8clusi-a en el sen!i$o e8clu(en!eH $e las 'ro'osiciones ' ( 64 6ue se lee ' o 64 'ero no ambas.

Eem'los%1H El ciego !iene un sombrero roo o el ciego !iene un sombrero blanco.2H ;ócra!es es griego o ;ócra!es es cileno."H &ima es la ca'i!al $el Per9 o $e oli-ia.

&a 'ro'osición molecular ' ∨ 6 es 5alsa cuan$o una ( o!ra 'ro'osición ' ( 6H !engan el mismo-alor $e cer!e#a4 es cier!a solamen!e cuan$o una $e las 'ro'osiciones com'onen!es es cier!a ( no las$os4 como se mues!ra en la !abla $e Dis(unción 5uer!e.

Conunción Disunción $ébil Disunción5uer!e

' 6 ' ∧ 6 ' 6 ' ∨ 6 ' 6 ' ∨ 6 C C C ) C )

C ) ) ) ) )

C C C) C CC ) C

) ) )

C C ) ) C C C ) C ) ) )

&os $os !i'os $e $isunción !ienen una 'ar!e $e signi5ica$o com9n. Tal signi5ica$o com9n 'arcial4seg9n el cual al menos uno $e los $is(un!i-os es -er$a$ero4 cons!i!u(e !o$o el signi5ica$o $el oinclusi-o ( una 'ar!e $el signi5ica$o $el o e8clusi-o. En la!*n4 la 'alabra -el e8'resa la$is(unción $ébil o inclusi-a4 ( la 'alabra au! e8'resa el sen!i$o 5uer!e o e8clusi-o. ;e usa la inicial$el -el 'ara re'resen!ar el sen!i$o $ébil es llama$o cuña4 o4 ms raramen!e la -eH. <s*4 una

$is(unción $ébil es 5alsa sólo si ambos $is(un!i-os son 5alsos como se -io en la !abla ( en eleem'lo%

El ciego !iene sombrero roo o el ciego !iene sombrero blanco.El ciego no !iene sombre roo.&uego4 el ciego !iene sombrero blanco.

En !al eem'lo4 la 'rimera 'remisa es una $is(unción4 la segun$a es la negación $el 'rimer $is(un!i-o $e la 'rimera 'remisa ( su conclusión es el segun$o $is(un!i-o $e la 'rimera 'remisa. Elsilogismo es -li$o en cual6uier in!er're!ación $e la 'alabra o.

&.(.(.2. L" 'MPL'$"$'ÓN

&a im'licación o con$icional se $a me$ian!e un un!or4 6ue 'ue$e !ranscribirse si... en!onces. Elenuncia$o i'o!é!ico resul!a $e colocar la 'alabra si an!es $el 'rimer enuncia$o ( la 'alabra



en!onces an!es $el segun$o4 'or lo 6ue se le llama !ambién un con$icional4 una im'licación o unenuncia$o im'lica!i-o.

&os -alores $e la im'licación o con$icional ma!erial 5ueron 'ro'ues!os 'or -e# 'rimera 'or )ilón $e,egara siglo I+ a.C.H4 am'liamen!e u!ili#a$os 'or los es!oicos ( algunos escols!ico. ;i bien lain!er're!ación 5ilónica $e la im'licación ma!erial es!u-o ol-i$a$a $uran!e siglos4 5ue resuci!a$a 'or

C. )rege 1M:FH ( 'or C. ;. Peirce 1MMH e im'ues!a 'rc!icamen!e en la lógica mo$erna.

&a im'licación sólo ser 5alsa4 si la 'rimera 'ro'osición es cier!a ( la segun$a 5alsa4 es $ecir4cuan$o ' sea C ( 6 sea ) en los o!ros casos es cier!a. Ello se !ranscribe ' → 6 6ue se leesi ' en!onces 6. &a im'licación no su'one una cone8ión causal o 5inal en!re ambos es!a$os $ecosas4 sino sólo la relación 5ormal $e la con$ición su5icien!e. &as 5ormas i$iom!icas e6ui-alen!es asi... en!onces.. son% si4 su'onien$o 6ue4 si $e eco4 si 'or i'ó!esis4 con !al 6ue4 aun en el caso6ue4 aun6ue.

&a im'licación ma!erial es un conce'!o lógico 6ue e8'resa un m*nimo com9n 6ue se $a en !o$as lascon$iciones $el lenguae i$iom!ico. El an!ece$en!e ( el consecuen!e $e una con$icional 'ue$en es!ar liga$os $e mucas maneras%

1H ;i 'ongo la mano sobre el 5uego4 en!onces me 6uemo enlace causalH.2H ;i gana ,elgar4 en!onces acemos 5ies!a enlace 'or $ecisiónH."H ;i es una rec!a4 en!onces es la $is!ancia ms cor!a enlace 'or $e5iniciónH./H ;i -ienes o(4 en!onces a9n llegas a !iem'o enlace 'or circuns!ancia !em'oralH.

En el enuncia$o i'o!é!ico4 el com'onen!e 6ue es! en!re el si ( el en!onces es llama$o elan!ece$en!e o el im'lican!e o la 'ró!asis ( el com'onen!e 6ue sigue a la 'alabra en!onces es elconsecuen!e o im'lica$o o a'ó$osis. Por eem'lo% ;i Juan es el 6ue -i-e un!o a la casa $e &uis4en!onces Juan es el 6ue !rabaa en la ni-ersi$a$. &o 6ue es! en cursi-a es el an!ece$en!e4 ( elres!o el consecuen!e. &a 'ro'osición ' se conoce como an!ece$en!e o i'ó!esisH ( la 'ro'osición6 como consecuen!e o conclusiónH.

&a lógica a6u* se in!eresa 9nicamen!e 'or la cone8ión $e las 'ro'osiciones4 'ero no 'or la cone8ión( $e'en$encia $e los con!eni$os reales. Como eem'lo 'o$r*amos mos!rar% ;i &ima es la ca'i!al $elPer94 en!oncesH ;an!iago es un gran com'osi!or. Eem'los%

1H ;i " es im'ar en!onces " es menor 6ue .2H ;i un obrero ace un !rabao en un $*a en!onces 100 obreros lo acen en 13100 $e $*a."H ;i los cuer'os se calien!an en!onces se $ila!an.

El enuncia$o i'o!é!ico a5irma 6ue su an!ece$en!e im'lica un consecuen!e. No a5irma 6ue suan!ece$en!e sea cier!o4 sino solamen!e 6ue si el an!ece$en!e es cier!o4 en!onces su consecuen!e!ambién es -er$a$ero. Tam'oco a5irma 6ue el consecuen!e sea cier!o4 sino solamen!e 6ue elconsecuen!e es cier!o si el an!ece$en!e lo es. El signi5ica$o esencial $e un enuncia$o i'o!é!ico es!

en la relación $e im'licación 6ue se a5irma en el an!ece$en!e ( el consecuen!e. Para com'ren$er elsigni5ica$o $e un enuncia$o i'o!é!ico4 $ebemos com'ren$er 6ué es una im'licación

<l igual 6ue en la 'alabra o4 6ue !iene $i5eren!es sen!i$os4 es necesario $is!inguir en!re los$i5eren!es sen!i$os $e im'lica o $e siGen!onces an!es $e in!ro$ucir un s*mbolo lógico es'ecial 'ara ellos. <s* en los siguien!es enuncia$os%

G <. ;i !o$os los ombres son !rabaa$ores ( &uis es ombre4 en!onces &uis es !rabaa$or.G . ;i ;an!iago es sol!ero4 en!onces ;an!iago no es! casa$o.G C. ;i se coloca en un ci$o 'a'el $e !ornasol a#ul4 en!onces el 'a'el $e !ornasol se -ol-er roo.G D. ;i nues!ro e6ui'o 'ier$e el 'ar!i$o4 en!onces me como el sombrero.

na r'i$a re-isión $e los cua!ro enuncia$os4 nos mues!ra 6ue son $e !i'os $i5eren!es%G El consecuen!e $e < se $es'ren$e lógicamen!e $e su an!ece$en!e.G El consecuen!e $e sólo se $es'ren$e $e su an!ece$en!e 'or la $e5inición $el !érmino sol!ero.



G El consecuen!e $e C no se $es'ren$e $e su an!ece$en!e 'or lógica solamen!e o 'or la $e5inición $esus !érminos. &a im'licación es $e or$en causalG El consecuen!e $e D no se $es'ren$e $e su an!ece$en!e 'or lógica4 ni 'or $e5inición4 ni a( le(causal en uego4 en el sen!i$o usual $el !érmino.

&a ma(or*a $e las le(es causales4 las $escubier!as 'or la 5*sica o la 6u*mica4 'or eem'lo4 $escriben

lo 6ue ocurre en el mun$o sin !omar en cuen!a las es'eran#as o los $eseos $e los ombres. Enrelación con el enuncia$o D4 es e-i$en!e 6ue no a( ninguna le( semean!e.G el < a5irma una cone8ión lógica en!re su an!ece$en!e ( su consecuen!e4G el a5irma una cone8ión $e carc!er $e5ini!orio4G el C a5irma una cone8ión causal4G el D a5irma una cone8ión en la 6ue es! en uego una $ecisión.

&.(.(.=. L" )'$ON4'$'ON"L O 4O)LE 'MPL'$"$'ÓN

&a e6ui-alencia 'ue$e re'ro$ucirse en el lenguae colo6uial como ... si ( sólo si ... o e8ac!amen!e4si. El un!or $e la e6ui-alencia e8'resa la con$ición necesaria ( su5icien!e. &a e6ui-alencia sercier!a4 si ambas oraciones !ienen igual -alor $e cer!e#a. Eem'lo% El nue-o año caer e8ac!amen!e

en miércoles4 si la noce buena cae en mar!es. &as 5ormas i$iom!icas e6ui-alen!es a ... si4 ( sólosi4 ... son% ... sólo si...4 ... 9nicamen!e si ...4 sólo en el caso $e 6ue ...4 ... es necesario ...4 si no ...4en!onces no ... .

En!onces con-enimos en 6ue '⇔ 6 es cier!a C H solamen!e cuan$o ' ( 6 !ienen el mismo -alor $ecer!e#a en los o!ros casos es 5alsa. &a 'ro'osición com'ues!a '⇔ 6 se lee ' si ( sólo si 6 es laconunción $e la con$icional '→ 6 con su rec*'roca 6→ '4 es $ecir% '⇔ 6 ≡ '→6H ∧ 6→ 'H.

Eem'los% Juan ingresa a la uni-ersi$a$ si ( sólo si ob!iene no!a a'roba!oria. &a $oble im'licación seen!ien$e como sigue% ;i Juan ingresa a la uni-ersi$a$ en!onces ob!iene una no!a a'roba!oria ( siJuan !iene una no!a a'roba!oria en!onces ingresa a la uni-ersi$a$. &a $oble im'licación oe6ui-alencia se simboli#a con el signo ≡ .

&a bicon$icional4 llama$a !ambién coim'licación4 no 'resen!a ma(ores $i5icul!a$es4 si se aen!en$i$o 6ué es la im'licación ma!erial. ;e !ra!a $e una im'licación ma!erial mu!ua en!rean!ece$en!e ( consiguien!e. En el lenguae or$inario es mu( 5recuen!e la e8'resión $e es!e conce'!o ( bao m9l!i'les 5ormas%

)ormas i$iom!icas Eem'los corres'on$ien!es... si4 ( sólo si4 ... Nie-a si4 ( sólo si4 ace 5r*o... sólo si... Iré al es!a$io4 sólo si ace buen !iem'o... 9nicamen!e si... ,e $uermo 9nicamen!e si no a( rui$os;ólo en el caso 6ue... Iré a la corri$a sólo en el caso 6ue !oree el cor$obés... es necesario... Para 6ue -a(a a la corri$a es necesario 6ue

!oree el cor$obés;i no... en!onces no... ;i no uega ,elgar4 en!onces no -o( al es!a$io

&.(.(.>. L" )'NEG"$'ÓN

En $os 'ro'osiciones a!ómicas ' ( 64 la 'ro'osición com'ues!a consecuen!e ' ↓ 6 6ue se lee ni 'ni 6 es la binegación o negación conun!a $e las 'ro'osiciones ' ( 6.&a binegación mani5ies!a en el eem'lo% ni Cesar +alleo es 5rancés ni <n!onio ,aca$o es boli-iano es!ablece 6ue la 'ro'osición com'ues!a ' 6 es cier!a4 solamen!e cuan$o sus $os 'ro'osiciones com'onen!es son 5alsas. Por !an!o4 su !abla $e cer!e#a es como se in$ica acon!inuación.

Im'licación icon$icional inegación ' 6 '→ 6 ' 6 '↔6 ' 6 ' ↓ 6



C C C) C C

C ) ) ) ) C

C C C) C )

C ) )) ) C

C C ) ) C ) C ) ) ) ) C

&.(.(.?. 'N$OMP"1')'L'4"4

Con la incom'a!ibili$a$ lo 9nico 6ue se 6uiere $ecir es 6ue una misma 'ersona no 'ue$e ser4 a la-e#4 $os cosas as* en el eem'lo es incom'a!ible ser ue# ( aboga$o4 se mani5ies!a 6ue una 'ersonano 'ue$e ac!uar a la -e# como ue# ( como aboga$o4 'or !an!o4 $e ser -er$a$eras las $os 'ro'osiciones a!ómicas4 la molecular !en$r*a el -alor $e 0.

;igni5ica 6ue la incom'a!ibili$a$ cierra una 'uer!a ( $ea la o!ras abier!as a las siguien!es 'osibili$a$es -er$a$eras o 5alsas?H%

6ue sea ue#4 'ero s* aboga$o→ es cier!a6ue sea ue#4 'ero no aboga$o→ es cier!a

6ue no sea lo uno ni lo o!ro→ es cier!a.Por !an!o4 la regla 'ara es!ablecer la !abla corres'on$ien!e es% Dos 'ro'osiciones son en!re s*incom'a!ibles cuan$o no 'ue$en ser ambas a la -e# cier!as. Consecuen!emen!e4 la !abla es lasiguien!e% P 6 ' 6 C C ) ) C C C ) C ) ) C

)inalmen!e4 $ebemos re5erirnos al nega$or 6ue e-i$en!emen!e cambia los -alores -er$a$ero o 5alsoHa signo con!rario4 as* 'or eem'lo%César +alleo nació en Per94 !iene -alor $e CCésar +alleo no nació en Per94 !iene -alor $e )César +alleo murió en Per94 !iene -alor $e )César +alleo no murió en Per94 !iene -alor $e C

;ucin!an$o la -aloración $e las !ablas $e cer!e#a reseña$as el -alor corres'on$ien!e a ca$a uno $elos conec!ores es%

Conun!or C . C ` C Disun!or inclusi-o C ∨ C ` C ) . C ` ) ) ∨ C ` C C . ) ` ) C ∨ ) ` C ) . ) ` ) ) ∨ ) ` )

Disun!or e8clusi-o C W C ` ) Con$iciona$or C→ C ` C ) W C ` C )→ C ` C C W ) ` C C → ) ` ) ) W ) ` ) ) → ) ` C

icon$iciona$or C⇔ C ` C inega$or C ↓ C ` ) )⇔ C ` ) ) ↓ C ` ) C⇔ ) ` ) C ↓ ) ` ) )⇔ ) ` C ) ↓ ) ` C

<n!iconun!or C | C ` ) Nega$or GC ` )) | C ` C G) ` C

C | ) ` C C ` G) ) | ) ` C ) ` GC



;i agru'amos los n9meros $e 1 ( 0 en $i5eren!es conun!os $e cua!ro resul!an 1 combinaciones 'osibles4 6ue nos 'ermi!e i$en!i5icar las columnas 6ue (a conocemos 'or lo $ico an!eriormen!e. <s*!enemos%

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 01 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 2 " / : M F 10 11 12 1" 1/ 1 1

&.(.2. 9ORM"S '4'OM@1'$"S El lenguae i$iom!ico es e8uberan!e en 5ormas ( mu( rico en ma!ices. El lenguae i$iom!ico $ebe!ra$ucirlas a unos 'ocos mo$elos un*-ocamen!e $e!ermina$os en su signi5icación. En es!a!ra$ucción se 'ier$e gran 'ar!e $e la ri6ue#a $e a6uel4 'ero se gana en seguri$a$ ( 'o!enciagenerali#a$ora. +a(amos 'or 'ar!es.

&as 'ro'osiciones4 'or ra#ón $e la cali$a$4 se $i-i$en en a5irma!i-as ( nega!i-as. <ora bien4 es mu(cier!o 6ue la negación $e mucas maneras4 como 'o$emos -er en los siguien!es eem'los%

)ormas i$iom!icas E8'resiones corres'on$ien!es... no.... Euro'a no es un 'ro$uc!or $e ca5é... in .... El r*o <ma#onas es incon!rolable.... im .... &a -i$a en ,ar!e es im'osible..... $es ..... ;ure# es 'in!or $esconoci$o..... $is ...... &a a'arición $emancas es $iscon!inua....... a ..... &os animales son amorales..... an!i ...... El cas!igo es an!i'e$agógico Nunca..... !engo suer!e

Jams $ice men!iras Juan Na$a ..... es'ecial es es'iri!ual Ning9n... aimara usa bolsa $e $ormir Ni... ni... Ni ace ni $ea acer ... !am'oco... No meora4 !am'oco em'eora

o!ras ms4 6ue nos obligan reali#ar algunas obser-aciones%&a 5orma ms sencilla ( na!ural $e negar consis!e en an!e'oner al -erbo $e la 'ro'osición la 'ar!*cula no. Pues4 'ara 6ue una 'ro'osición sea nega!i-a4 la negación $ebe a5ec!ar $e manera$irec!a o in$irec!a al -erbo o 're$ica$o4 ( no al sue!o.

En el lenguae i$iom!ico no siem're $os negaciones a5irman a -eces se re5uer#an mu!uamen!e4como 'or eem'lo en% No sé na$a. No lo aré nunca. No4 no a -eni$o !u amigo.&a negación no sólo niega 'ro'osiciones4 sino !ambién los conec!ores biargumen!ales me$ian!e los cualesunimos unas con o!ras. <s*%

No es -er$a$ 6ue si nie-a ace calorH No ocurre 6ue es!u$ie ( no a'ruebeH Es 5also 6ue no ace ni $ea acerH No se $a el caso 6ue no me -isi!e o no me escribaH

<un6ue el ni ... ni... !iene su 'ro'io conec!or ↓ H4 con !o$o se 'ue$e re'resen!ar me$ian!e $osnegaciones conun!as. Ni es 'eruano ni cileno4 e6ui-ale a% no es 'eruano ( no es cileno. &a 'ar!*cula !am'oco e6ui-ale a ( no% ,anuel no es!u$ia4 !am'oco Juan4 e6ui-ale a ,anuel no

es!u$ia ( Juan no es!u$ia. Igualmen!e nunca ( ams e8'resan un no ro!un$o ( con!inua$o as*4!ales ma!ices se 'ier$en en la !ranscri'ción lógica.



Ning9n ( na$a a$ems $e negar4 cuan!i5ican la 'ro'osición uni-ersalmen!e. En la lógica 'ro'osicional se 'ier$e el as'ec!o e8!ensional.

Es 5cil a$-er!ir 6ue los 're5ios nega!i-os en muco casos -uel-en nega!i-a la 'ro'osición. Pero a-eces e8'resamos cuali$a$es 'osi!i-as nega!i-amen!e. En !ales casos la 'ro'osición ser*a a5irma!i-a%

Pa!ricio es ine5able4 incon$icional4 $es're-eni$o.

&as 5ormas i$iom!icas $e la conunción son% ( !ambién igualmen!e $el mismo mo$o mien!ras6ue 'ero mas sin embargo no obs!an!e a 'esar $e 'ese a 6ue... !am'oco...

&as 5ormas i$iom!icas $e la im'licación son% si... en!onces si...4 ...4 si ... su'onien$o 6ue si $eeco si 'or i'ó!esis con !al 6ue aun en el caso 6ue aun6ue.&as 5ormas i$iom!icas $e la bicon$icional son% ... si4 ( sólo si4 ... ... sólo si.. ... 9nicamen!e si...sólo en el caso 6ue... ... es necesario... si no ...4 en!onces no...



&.2. LE8ES 8AO REGL"S 4E L" LÓG'$"

Lo que mue!e a los hombres de genio, lo que insira su trabaBo, no son las ideasnue!as, sino la idea obsesi!a de que todo lo que ha dicho, no es suCiciente. Eugene

4elacroi<

$ometencia% <-erigua4 recons!ru(e ( a'recia las le(es $e -aloración $is!inguien$o los !i'os $e 5alacias( la manera $e e-i!arlas.

&.2.&. PR'N$'P'OS LE8ES 8 LÓG'$OS

&a e8igencia 5un$amen!al $e la ac!i-i$a$ $el 'ensar es4 en e5ec!o4 la coerencia en!re los elemen!os$el 'ensamien!o. Pues4 los 'ensamien!os $eben $eri-ar con necesi$a$ $e o!ros 'ensamien!os4 ( esnecesario a-eriguar si es!a coerencia ( es!a $eri-ación obe$ecen a alg9n 'rinci'io o a alguna le( ala cual $ebe some!erse !o$o 'ensamien!o4 cual6uiera 6ue sea su con!eni$o. En s*4 se !ra!a $e saber $ie8is!e alg9n 'rinci'io o alguna le( 6ue rige las relaciones lógicas ( 6ue nos asegure la -ali$e# $enues!ro ra#onamien!o. To$o nues!ro 'ensamien!o es! 5un$a$o 4 en e5ec!o4 sobre cier!os 'rinci'ios oa8iomas lógicos4 6ue an si$o consi$era$os como -er$aeras le(es $el 'ensamien!o. Para 6uienes la lógica es la ciencia $e las le(es $el ra#onamien!o4 a( !res le(es 5un$amen!ales ( bsicas4 necesarias ( su5icien!es 'ara 6ue el 'ensar $iscurra 'or carriles correc!os. ;on las 6ue!ra$icionalmen!e se las conoce como% Princi'io $e i$en!i$a$4 Princi'io $e no con!ra$icción (Princi'io $el !ercero e8clui$o.

aH Princi'io $e i$en!i$a$4 6ue se e8'resa con la 5órmula < es <4 signi5ica 6ue un conce'!o o una i$eaes igual a ella misma ( no cambia en el momen!o en 6ue se 'iensa. Toma$a en su sen!i$o li!eral4la 'alabra identidad in$ica 6ue una cosa es siem're la misma4 no obs!an!e los $i5eren!esnombres 6ue se le a'lican4 o bien a 'esar $e las $i-ersas circuns!ancias en 6ue la consi$eramos.

;i $ecimos Juan es bueno ( en el ins!an!e mismo en 6ue a!ribuimos la cuali$a$ $e bueno4 elsue!o Juan cambiara4 el a!ribu!o (a no corres'on$er*a al 'rimer sue!o sino al segun$o.

Con !o$o4 $ebemos acer no!ar 6ue el 'rinci'io $e i$en!i$a$ bao la 5órmula < es < ser*acom'le!amen!e in5ecun$o si los $os !érminos $el uicio el sue!o ( el 're$ica$oH e8'resaran la mismacosa4 $on$e el 're$ica$o re'i!iese lo 6ue $ice el sue!o. En !al caso4 se !ra!ar*a $e un uicio$es'ro-is!o $e !o$o sen!i$o4 es $ecir4 6ue ser*a un uicio !au!ológico. <s*4 cuan$o $ecimos una casaes una casa4 una 'lan!a es una 'lan!a e8'resamos un uicio !au!ológico 6ue4 'or serlo4 no nosa'or!a un conocimien!o nue-o. O en el siguien!e caso% ' ↔ ' es -er$a$ero es!o es4 6ue !o$oenuncia$o semean!e es una !au!olog*a.

Para 6ue la i$en!i$a$ sea realmen!e una gu*a 'ara el conocer4 es!e 'rinci'io $ebe ser !oma$o en

sen!i$o rela!i-o. En!onces4 es 'reciso 6ue el 're$ica$o e8'rese algunas cuali$a$es ineren!es alsue!o. ;i $ecimos 6ue ;an ,ar!*n es el éroe $e los an$es4 6ueremos signi5icar 6ue los carac!eres6ue $is!inguen a ;an ,ar!*n coinci$en !o!almen!e o4 en su ma(or 'ar!e con los carac!eres $el éroe$e los <n$es. Por es!a ra#ón 'o$emos acer sus!i!uciones4 !o$a -e# 6ue en!re ambos !érminos a(e6ui-alencia. El 'rinci'io $e i$en!i$a$ inclu(e la legi!imi$a$ $e las sus!i!uciones como me$io 'ara la 'rueba4 'or6ue a( una e6ui-alencia en!re un conce'!o ( los carac!eres 6ue lo cons!i!u(en.

E8is!en casos en 6ue se 5ormulan uicios en los cuales el sue!o ( el 're$ica$o se e8'resan 'or !érminos absolu!amen!e i$én!icos ( no son4 a 'esar $e es!o4 uicios !au!ológicos as*4 'or eem'lo%&a u-en!u$ es la u-en!u$ con el 'rimer !érmino 6ueremos signi5icar la e$a$ $e la u-enil ( con elsegun$o los carac!eres ineren!es a esa e$a$. O si $ecimos% &a miseria es la miseria el sue!o sere5iere al eco real $e la miseria4 ( con el 're$ica$o se alu$e a !o$as las consecuencias 6ue $eri-an$e ella. El 'rinci'io $e i$en!i$a$ es uno $e los a8iomas 6ue na$ie 'ue$e ignorar no rige !o$os los 'asos $e la ra#ón4 'ero gobierna una buena 'ar!e $e ellos. na cosa siem're 'ue$e a!ribuirse a s*misma4 ( no 'ue$e negarse $e s* misma.



bH El 'rinci'io $e no con!ra$icción4 'rinci'io griego4 es!ablece 6ue si a( $os uicios $e los cualesuno a5irma ( el o!ro niega la misma cosa4 no es 'osible 6ue ambos sean -er$a$eros al mismo!iem'o. ;i !enemos los uicios < es < ( < no es <4 es im'osible 6ue ambos sean -er$a$eros a la-e#. Pues si uno $e ellos es -er$a$ero4 el o!ro necesariamen!e es 5also. Pue$e !ambién e8'resarseas*% ¬'∧¬ 'H4 es $ecir4 es im'osible 6ue el n9mero sea im'ar ( no sea im'ar.

<ris!ó!eles consi$eró a es!e 'rinci'io como el ms cier!o $e !o$os 'or6ue la -er$a$ $e los $ems 'rinci'ios se re5iere $irec!a o in$irec!amen!e al 'rinci'io $e con!ra$icción. Pues4 si 'ensamos como-er$a$ero lo o'ues!o4 es lo mismo 6ue consi$erar como -er$a$ero un 'ensamien!o con!ra$ic!orio. ;i!omamos el a8ioma% Dos cosas iguales a una !ercera son iguales en!re s*4 obser-amos 6ue lae-i$encia ra$ica en el eco $e 6ue a5irmar lo con!rario es a5irmar 6ue son ( no son iguales a una!ercera.

El 'rinci'io $e no con!ra$icción es el 'rinci'io su'remo4 el 'rinci'io $e los 'rinci'ios4 dignitasomnium dignitatum ,e!a. I+4 1H4 'or6ue es! im'lica$o en !o$o uicio. <5irma san!o Toms $e<6uino4 igual 6ue 'ara la 'rimera o'eración $e la in!eligencia4 la sim'le a'reensión4 a( un !érmino 'rimero4 el ser4 6ue es! im'lica$o en !o$o lo 6ue se 'ue$e concebir4 !ambién 'ara la segun$a

o'eración4 el uicio4 a( un 'rinci'io sin el 6ue no 'ue$e a5irmarse na$a4 6ue en el 5on$o no acems 6ue e8'licar la noción $e ser% es im'osible ser ( no ser a la -e#.

&a 5órmula $a$a al 'rinci'io $e con!ra$icción 'or los lógicos &eibni# ( an!4 resul!a un !an!o$i5eren!e 'ues se $ice% < no es no <H. ;i com'aramos ambas 5órmulas4 se obser-a 6ue laaris!o!élica se re5iere a la relación e8is!en!e en!re $os uicios4 $e los cuales uno es a5irma!i-o ( el o!ronega!i-o mien!ras 6ue la 5órmula $e &eibni# se re5iere a la relación $e sue!o ( 're$ica$o en elmismo uicio. Para <ris!ó!eles4 si uno $e los uicios es -er$a$ero4 el o!ro es 5also. Para &eibni#resul!a 5also a6uel uicio en el cual el sue!o ( el 're$ica$o se con!ra$icen. No es 'osible 6ue < sea$is!in!o $e <4 es $ecir4 6ue < no !enga los carac!eres $e <.

< 'esar $e !o$o4 ( anali#an$o bien4 se obser-a 5cilmen!e 6ue en el 5on$o las $os 5órmulas e8'resanlas mismas cosas4 sien$o la segun$a ms general ( ms com'le!a 'or6ue e8!ien$e el 'rinci'io $econ!ra$icción a !o$as las 5ormas $el conocimien!o4 !an!o al uicio ( al conce'!o4 como al raciocinio.

;in embargo4 a( casos en 6ue son igualmen!e -er$a$eros $os uicios en 6ue uno a5irma ( el o!roniega la misma cosa4 es $ecir4 uicios con!ra$ic!orios. Por eem'lo% <lgunos alumnos sones!u$iosos4 algunos alumnos no son es!u$iosos4 sien$o ambos uicios -er$a$eros.

Roger +ereneau8 sus!en!a 6ue negar el 'rinci'io $e con!ra$icción es% 1 $es!ruir el lenguae6ui!an$o a las 'alabras !o$o sen!i$o $e!ermina$o 2 su'rimir !o$o sue!o real4 esencia osubsis!encia " su'rimir !o$a $is!inción en!re las cosas / $es!ruir !o$o 'ensamien!o $es!ruir !o$a -er$a$ su'rimir !o$o $eseo ( !o$a ra#ón $e obrar : su'rimir los gra$os en el error. Enresumen4 'ue$e negarse el 'rimer 'rinci'io en 'alabras4 'ero no en el 'ensamien!o4 'ues las 'alabraslo so'or!an !o$o4 'ero no es necesario 6ue se 'iense Ci!a$o en E'is!emolog*a Leneral4 '.2""H.

cH El 'rinci'io $el !ercero e8clui$o4 igualmen!e 'rinci'io griego4 es!ablece 6ue cuan$o !enemos $os uicios con!ra$ic!orios4 !ales como < es ( < no es 4 no se $a una !ercera 'osibili$a$4 no e8is!eun !ercer mo$o $e ser4 'or6ue uno $e es!os uicios necesariamen!e $ebe ser -er$a$ero4 'ues!o 6uelos $os no 'ue$en ser 5alsos al mismo !iem'o. ;e $ebe o'!ar en!re el s* ( el no. ;u'ongamos lossiguien!es uicios con!ra$ic!orios% el oro es un me!al4 el oro no es un me!al. no $e ellosnecesariamen!e es -er$a$ero4 'or6ue ambos no 'ue$en ser nega$os al mismo !iem'o. Es!e 'rinci'io a5irma 6ue una 'ro'osición o es -er$a$era o es 5alsa4 as*% ' ∨ ¬ '.

De con5ormi$a$ a es!e 'rinci'io4 cuan$o e8is!en $os uicios 6ue se con!ra$icen4 uno $e ellos es-er$a$ero si emos reconoci$o 6ue el o!ro es 5also4 6ue$an$o e8clui$a !o$a 'osibili$a$ $e un !ercer uicio o un !ercer mo$o $e ser. De a* el nombre $e !ercero e8clui$o $a$o a es!e 'rinci'io. El

'rinci'io $el !ercer e8clui$o a5irma 6ue no a( me$io en!re las $os 'ro'osiciones $ico $e o!romo$o4 si una es -er$a$era4 la o!ra es 5alsa4 o !ambién4 si se $a un uicio sobre una cosa4 es 'recisonecesariamen!e a5irmar o negar. Aan a!aca$o el 'rinci'io $el !ercero e8clui$o los lógicos



con!em'orneos 6ue 6uieren 'oner gra$os in!erme$ios en!re lo -er$a$ero ( lo 5also. Aa( en ellocomo una secuela $el i$ealismo4 'ues si se $e5ine la -er$a$ sin re5erencia al ser4 como sim'lecoerencia $el 'ensamien!o4 el 'rinci'io $e con!ra$icción bas!a4 ( el $e !ercio e8clui$o no se us!i5ica. Pero4 en una 'ers'ec!i-a realis!a4 el 'rinci'io $el !ercio e8clui$o es e-i$en!e% es im'osible6ue a(a in!erme$ios en!re lo -er$a$ero ( lo 5also4 'or6ue no los a( en!re el ser ( la na$a.

;e an 5ormula$o algunas obser-aciones con!ra es!e 'rinci'io 'ero las $i5icul!a$es $e'en$en $e la5orma ambigua en 6ue se 'lan!ea el 'roblema as* 'or eem'lo% ;i -ien$o a un ombre 'ara$o en elumbral $e la 'uer!a 'regun!amos si es! $en!ro o no es! $en!ro $e la abi!ación4 'arece e-i$en!e 6ueno es! ni $en!ro ni 5uera $e ella sino en el umbral mismo4 lo 6ue im'licar*a una !ercera 'osibili$a$.Pero es!ar en el umbral signi5ica4 en reali$a$4 no es!ar $en!ro $e la abi!ación4 $e mo$o 6ue el 'rinci'io conser-a !o$a su -ali$e#.

E-an$ro <ga##i $is!ingue le( ( regla 'ues consi$era 6ue la le( lógica in!en!a e8'resar algo6ue es $e una manera $e!ermina$a ( !iene4 'or !an!o4 las carac!er*s!icas $e una a5irmación e incluso$e una a5irmación -er$a$era. En cambio la regla in$ica sim'lemen!e cómo se 'ue$e 'roce$er 'ara 'asar $e una o ms 'ro'osiciones a o!ras. Es $ecir4 la le( lógica es una e8'resión $e una lógica$e!ermina$a4 $e cier!o clculo lógico4 mien!ras 6ue la regla 5orma 'ar!e $e la me!a!eor*a rela!i-a a

a6uella !eor*a o a6uel clculo lógico. O ms claramen!e% las le(es lógicas son 'recisamen!e las 'ro'osiciones siem're cier!as4 mien!ras 6ue las reglas lógicas son 'rescri'ciones $el me!alenguae6ue nos $icen cómo o'erar4 'or eem'lo4 sobre las le(es lógicas (a conoci$as 'ara ob!ener o!rasnue-as4 es $ecir4 'ara 'asar $e unas 'ro'osiciones siem're cier!as $el clculo a o!ras 'ro'osiciones siem're cier!as $el mismo clculo.

&as le(es $e la lógica 'ro'osicional son oraciones com'ues!as4 6ue sólo 'ue$en a$mi!ir el -alor $ecer!e#a CH. Para ello nos ser-imos $e o!ros $os s*mbolos%

a. El nega$or $enega!i-oH4 6ue 'o$emos re'resen!arlo me$ian!e los s*mbolos Y 4 G o ¬ 4 'or eem'lo4 ¬ '4 se lee no '.

b. Parén!esis. Em'leamos 'arén!esis re$on$os4 cua$ra$os ( ar6uea$os o en lla-e con -is!as a unasim'li5icación4 como suele acerse en lgebra. En la lógica ma!em!ica suelen sus!i!uirse amenu$o los 'arén!esis 'or 'un!os.

In!en!e el lec!or leer las le(es le(en$o ca$a s*mbolo en el or$en en 6ue a si$o in!ro$uci$o 'or eem'lo '↔ ' como ' e8ac!amen!e si4 '. &as e8'resiones $e la 'ar!e $ereca son los nombres$e las le(es lógicas re'resen!a$as a la i#6uier$a.

&e(es lógicas $e la 'ro'osición

'↔ ' Princi'io $e i$en!i$a$¬'∧¬ 'H Princi'io $e no con!ra$icción ' ¬ ' Princi'io $e no con!ra$icción¬¬ '↔ ' Princi'io $e $oble negación

¬¬¬ '↔ ' Princi'io $e !ri'le negación ' ∨ ¬ ' Princi'io $el !ercero e8clui$o' ∨ 6H↔6 ∨ 'H In!ercambiabili$a$ $e la $isunción'∨6 ∨ rH↔' ∨ 6H ∨ r <socia!i-i$a$ $e la $isunción'→6H↔¬ ' ∨ 6H Re$ucción $e la im'licación'^6H↔ ¬ ' 6H Re$ucción $e la conunción'^6H↔6∧ 'H In!ercambiabili$a$ $e la conunción'↔ 6H↔¬ '↔ ¬6H In-ersión $e e6ui-alencias'→6H∧ '→6 ,o$us 'onen$o 'onens¬6→'→6H→¬ ' ,o$us !ollen$o !ollens' ∨ 6H∧¬ '→6 ,o$us !ollen$o 'onens '→' 6H→¬6 ,o$us 'onen$o !ollens

'→rH∧6→rH→' ∨ 6H→r Dilema cons!ruc!i-o¬6 ∨ ¬rH→d'→6∧rH→¬ ' Dilema $es!ruc!i-o



&.2.(. $ONS1R$$'ÓN 4E $OLMN"S

;i relacionamos en!re s* $os 'ro'osiciones4 re'resen!a$as 'or las le!ras P ( Q4 resul!arn las cua!rosiguien!es 'osibles combinaciones $e -alores $e cer!e#a4 u!ili#an$o el 1 'ara lo cier!o ( el 0 'ara lo5also%

' 61 10 11 00 0

El n9mero $e 'osibles combinaciones $e -alores $e cer!e#a se es!ablece 'or la 5órmula 2 n4 cu(oe8'onen!e N re'resen!a el n9mero $e le!ras 're'osicionales 6ue en!ran en relación la base4 eln9mero $e -alores 6ue en lógica bi-alen!e $on $os. <s*4 las combinaciones 'osibles 'ara%

P ser*an 21 ` 2P Q ser*an 22 ` /

P Q R ser*an 2"

` MP Q R ; ser*an 2/ ` 1P Q R ; Pf ser*an 2 ` "2

&as columnas $e re5erencia 'ara !res le!ras 'ro'osicionales ser*an las siguien!es oco combinaciones 'osibles% P Q R 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0

Consecuen!emen!e4 'ara la cons!rucción $e es!as columnas se em'ie#a4 con-encionalmen!e4 con unrenglón en el 6ue !o$os son unos ( se !ermina en un renglón en el 6ue !o$os son ceros.

Igualmen!e 'ue$e obser-arse la secuencia $e los n9meros en las series -er!icales% $ebao $e P seal!erna 1 con el 0 $ebao $e Q se al!ernan $os unos segui$os $e $os ceros 'ara la !ercera columnase -an al!ernan$o cua!ro unos ( cua!ro ceros siguien$o es!a 'rogresión geomé!rica4 si una 5órmula!u-iera cua!ro le!ras 're'osicionales en la 9l!ima columna al!ernar*an oco unos con oco ceros4como se no!a a con!inuación%

' ' 6 ' 6 r ' 6 r s1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0



1 0 0 0 0 0 0 0

;i las columnas 5ueran cinco4 es $ecir4 '4 64 r4 s4 'f4 la columna $e la 'f !en$r 1 5ilas cier!as ( 15ilas 5alsas.

&as columnas $e re5erencia 6ue emos cons!rui$o4 se 'ue$en a'licar a la solución $e m9l!i'les 'roblemas combina!orios. En lógica se em'lean 'ara conocer !o$os los 'osibles -alores $e losargumen!os $e una 5órmula $a$a.

&.2.2. 1"1OLOG;", 'N4E1ERM'N"$'ÓN 8 $ON1R"4'$$'ÓN

&a !au!olog*a se $a si !enemos en consi$eración 6ue ' → ' - 6H4 ( en la 'ar!e su'erior i#6uier$aescribimos !an!as le!ras o argumen!os como !iene la 5órmula4 colocan$o $ebao $e las le!ras en la 'ar!e in5erior i#6uier$a las columnas $e re5erencia corres'on$ien!es a $os argumen!os acon!inuación es!ablecemos los -alores $el $is(un!or !enien$o en cuen!a las columnas $e re5erencia (las !ablas $e cer!e#a 'ara $ico conec!or. &os -alores ob!eni$os bao el $is(un!or $e5inen el -alor $el 'arén!esis. Da$o 6ue el im'lica$or une a ' con $ico 'arén!esis4 'ara es!ablecer los -alores $el

im'lica$or se relaciona los -alores $e ' con los $el $is(un!or 'ara ob!ener el resul!a$o 5inal as*% ' 6 '→ ' - 6H 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0

;eg9n 'ue$e obser-arse4 a 'ar!ir $e las columnas $e re5erencia 'roce$imos a $e$ucir los -alores $elconec!or $e m*nimo alcance 'ara !erminar en el $e m8imo alcance 6ue $e5ine siem're el -alor !o!al$e la 5órmula4 ( 6ue4 en el caso resuel!o $a una columna $e sólo unos. <s*4 la an!erior 5órmulare'resen!a una 5orma $e 'ensar -li$a 'ara !o$os los casos4 'ues!o 6ue bao el conec!or $e m8imoalcance resul!ó una columna $e sólo unos ( 6ue en lógica se conoce a !ales 5órmulas como!au!olog*as.

&a in$e!erminación la !enemos4 si -eri5icamos la 5órmula siguien!e% G' W 6H ^ G6 → '4 el or$en $e$e$ucción $e los -alores $e los conec!ores4 siguien$o $e menor a ma(or alcance ( $e i#6uier$a a$ereca en la 5órmula an!erior4 es% nega$or4 $is(un!or4 nega$or4 conun!or e im'lica$or. De acuer$o aes!e or$en se ob!iene los -alores $e G' luego se es!ablece los -alores corres'on$ien!es al $is(un!or4!enien$o en cuen!a la res'ec!i-a !abla ( relacionan$o los -alores $e G' ( $e 6 a con!inuación sees!ablece los -alores $el nega$or G 6 $es'ués4 relacionan$o los -alores $el $is(un!or ( $e G 64 se$e$uce los -alores corres'on$ien!es al conun!or !enien$o en cuen!a la !abla $el mismo. 5inalmen!ese es!ablece los -alores $el conec!or $e m8imo alcance4 es $ecir4 el im'lica$or relacionan$o los-alores $el conun!or ( $e ' as*%

' 6 G ' W 6H ^ G 6→ ' 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Consecuen!emen!e4 en la columna $el im'lica$or4 6ue es la 6ue $e5ine el -alor !o!al $e la 5órmulaa(4 a$ems $e !res unos4 un cero lo cual signi5ica 6ue cuan$o en la columna $e5ini!i-a resul!a uname#cla $e unos ( $e ceros en cual6uier 'ro'orción4 en!onces la 5órmula es in$e!ermina$a4 es $ecir46ue re'resen!a 5ormas $e 'ensar no siem're correc!as 'ara !o$os los casos 'osibles.

Para la con!ra$icción4 ( siguien$o los 'asos señala$os en los casos an!eriores4 en la -eri5icación $e

la 5órmula ' ^ 6H ↔ ' 6H4 resul!a $ebao $el bicon$iciona$or una columna $e sólo ceros 'ara!o$os los casos 'osibles4 lo cual en lógica se $enomina con!ra$icción4 es!o es4 una 5órmula 6uere'resen!a 5ormas $e 'ensar siem're 5ormalmen!e incorrec!as.



' 6 ' ^ 6H↔ ' 6H 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

&as le(es o reglas lógicas4 se $i-i$en en in5erencias ( e6ui-alencias%

&.2.=. REGL"S 4E 'N9EREN$'" 1"1OLÓG'$"

&a in5erencia es un 'roceso lógico en el 6ue $e una o -arias 'remisas se saca una o -ariasconclusiones. En mucos lógicos me$ie-ales se alla el !érmino la!ino inferre 'ara in$icar el eco$e 6ue en una relación o consequentiaH $e $os 'ro'osiciones4 la 'rimera an!ece$en!eH im'lica omeor $ico4 con!iene 'or im'licación es!ric!aH se segun$a consecuen!eH. En un 'roblema lógico4las 'remisas re'resen!an $a!os conoci$os $e los 6ue se in5iere una nue-a -er$a$.

1D La autoimlicaci#n% es!ablece 6ue cual6uier 'ro'osición se im'lica a s* misma as* 'o$emos

sacar la misma 'ro'osición como conclusión en la 5orma% ;i es! muer!o4 es! muer!o cu(asimboli#ación en re'resen!ación lineal es% <→ <

&a le( $e la au!oim'licación4 6ue es la 5ormulación lógica $el 'rinci'io $e i$en!i$a$4 es!ablece 6ue ellenguae !iene un sen!i$o $e!ermina$o. <l 'rinci'io $e i$en!i$a$ es re$uc!ible el 'rinci'io $econ!ra$icción 6ue es!ablece la incom'a!ibili$a$ $e una a5irmación ( su sim'le negación% GP∧GPH ( el 'rinci'io $el !ercero e8clui$o% PWGP 6ue $eclara la ine8is!encia $e me$io en!re una a5irmación ( susim'le negación.

2D La doble negaci#n% 6ue se ilus!ra con el siguien!e eem'lo% No es claro 6ue en Per9 no llue-a6ue 6uiere $ecir en Per9 llue-e. En el eem'lo se 'ue$e -er 6ue $e $os negaciones4 cuan$o unaniega a la o!ra4 se anulan e6ui-alien$o la $oble negación a una sim'le a5irmación. En!onces las$os negaciones niegan4 6ue en 5orma lineal $a origen a la 5órmula% G G < → <.

"D La adBunci#n% si re'resen!amos con < la 'ro'osición Per9 es un 'a*s $e'en$ien!e ( con oli-ia es un 'a*s $e'en$ien!e4 es e-i$en!e 6ue si son cier!as 'or se'ara$o !ambién lo sernuni$as o conun!amen!e es $ecir4 la conunción $e ambas4 6ue en 5orma lineal se re'resen!ar*a%<4→ <∧H.

/H La simliCicaci#n% es la con!raria $e la a$unción es!o es4 si es -er$a$ 6ue Per9 ( oli-ia son 'a*ses $e'en$ien!es 'o$emos concluir 6ue < es $e'en$ien!e ( 6ue es $e'en$ien!e 6ue en5orma lineal se re'resen!a 'or las 5órmulas%

<∧H→ < ( <∧H→ .

H La adici#n% ;i re'resen!amos con < Per9 es! al nor!e $e Cile ( con oli-ia es! al nor!e $eCile4 al unirlas me$ian!e el conun!or resul!ar*a una 'ro'osición 5alsa 'ero si las conec!amosme$ian!e el $is(un!or inclusi-o $a$o 6ue una es cier!a4 la resul!an!e Per9 o oli-ia es! al nor!e$e Cile ser cier!a4 6ue en 5orma lineal se re'resen!a% <→ < - H.

H Ponendo onens% ;i se consi$era el eem'lo si llue-e4 en!onces ace 5r*o ( llue-e luego ace5r*o4 es e-i$en!e 6ue si la con$icional si llue-e4 en!onces ace 5r*o es cier!a4 ( si4 a$ems4 elan!ece$en!e llue-e es -er$a$ero4 en!onces se 'ue$e sacar como conclusión la -er$a$ $elconsiguien!e4 o sea% ace 5r*o lo cual en 5orma lineal $a origen a la 5órmula% < → H∧ <→.

En los siguien!es es6uemas 4 en los cuales se a5irma la -er$a$ no sólo $e la con$icional sino !ambién

$el an!ece$en!e $e la misma4 se obser-a las conclusiones 'er!inen!es 'or 'onen$o 'onens% <→ G <→ <→ G G <→ G



< G < < G < G G

:H Tollen$o !ollens% <l consi$erar el eem'lo si llue-e4 en!onces ace 5r*o ( no ace 5r*o en!oncesno llue-e se obser-a 6ue $a$o 6ue en la segun$a 'remisa es nega$a la -er$a$ $el consiguien!e ace5r*o4 en la conclusión se $ebe negar la -er$a$ $el an!ece$en!e4 o sea $e llue-e

<→ <→ G G <→ G <→ G G G G G G G

G < G < G G < G G <6ue en 5orma lineal 6ue$a% <→ H ∧ G → G <

MH 1ollendo onens% ;e e8'resa en el siguien!e eem'lo &uis sabe inglés (3o 5rancés ( no sabeinglés luego sabe 5rancés. &a 'ar!*cula (3o4 6ue e8'resa la $isunción inclusi-a4 signi5ica 6ue almenos sabe una $e las $os lenguas 'or !an!o4 es lógico concluir 6ue4 si no sabe inglés4 sabe 5rancés!ambién 'o$r*amos concluir 6ue4 si no sabe 5rancés4 en!onces sabe inglés.

< -

G <Es necesario 'recisar 6ue los mo$os ponendo ponens ( el tollendo tollens4 !ambién se llamansilogismos i'o!é!icos4 'or6ue una $e las 'remisas es una 'ro'osición i'o!é!ica o con$icional.

FH Ponendo tollens% ;e !ra!a 'ro'iamen!e $e una $isunción e8clusi-a4 en la 6ue no 'ue$en ser ambas cier!as. Por lo 6ue4 conoci$a la -er$a$ $e una cual6uiera $e las 'ro'osiciones $isun!i-as4se 'ue$e concluir 6ue la o!ra es 5alsa. <s* en el eem'lo una $e $os4 es! sol!ero o casa$o ( es!sol!ero luego no es! casa$o

< W < W <

G G < 6ue en 5orma lineal la 'rimera es < W H ∧ <→ G (la segun$a < W H ∧ → G <

< semean#a $e el ponendo ponens ( el tollendo tollens4 $ebemos in$icar 6ue los mo$os !ollen$o 'onens ( 'onen$o !ollens !ambién son silogismos $isun!i-os 'or6ue una $e las 'remisas es una 'ro'osición $isun!i-a.

10H Le de la transiti!idad% Es una $e las ms usuales4 ( 'ue$e e8'resarse en el siguien!e eem'losi a( escase#4 los 'recios suben si los 'recios suben4 a( in5lación luego si a( escase#4 a(in5lación4 6ue simboli#amos as*%

<→ → C <→ C

En 5orma lineal se e8'resa as*% <→ H ∧ → CH→ <→ CH.

;i obser-amos4 'ercibimos 6ue se !ra!a $e un $iscurso en 6ue !o$as las 'ro'osiciones soncon$icionales4 $is'ues!as $e !al manera 6ue el consiguien!e $e la 'rimera ace en la segun$a 'ro'osición $e an!ece$en!e4 ( as* sucesi-amen!e as!a llegar a una conclusión cu(o an!ece$en!e es el$e la 'rimera4 ( el consiguien!e el $e la 9l!ima.

11H Los dilemas% El !érmino $ilema signi5ica 'remisa $oble ( 5ue u!ili#a$o 'or los gram!icos (lógicos $el sigo II Aermógenes4 LalenoH 'ara señalar los ra#onamien!os insolubles. &os $ilemasson cua!ro% $os sim'les ( $os com'leos. El sim'le cons!ruc!i-o es el ms u!ili#a$o ( 5ueem'lea$o 'or Omar 'ara us!i5icar la 6uema $e la 5amosa biblio!eca $e <lean$r*a%

;i es!os libros $icen lo mismo 6ue el Corn4 a( 6ue 6uemarlos 'or6ue es!n $emsH ;i $icen algo $is!in!o4 !ambién a( 6ue 6uemarlos 'or6ue con!ra$icen al CornH.



O bien $icen lo mismo4 o bien algo $is!in!o &uego4 en cual6uier i'ó!esis4 a( 6ue 6uemarlos.;imboli#an$o las 'remisas $el eem'lo en el es6uema se !iene% ,→ Q D→ Q , - D

QEn 5orma lineal se 5ormula as*% ,→ QH ∧ D→ QH ∧ , - DH → Q

&os $ilemas res!an!es4 ( menos u!ili#a$os4 los simboli#amos as*%

;im'le % ,→ Q Com'leo D→ $es!ruc!i-o ,→ R cons!ruc!i-o &→ N GQ -GR D - & G, - N

Com'leo D→ $es!ruc!i-o &→ N

G - G N G D - G &

&.2.>. REGL"S 4E E+':"LEN$'"

;i noso!ros conmu!amos [ : ob!en$remos la 5órmula e6ui-alen!e $e : [ . en el lenguae com9n4las 'ro'osiciones <re6ui'a es una ciu$a$ 'eruana ( Tumbes es una ciu$a$ 'eruana4 Tumbes esuna ciu$a$ 'eruana ( <re6ui'a es una ciu$a$ 'eruana son e6ui-alen!es.<l 5ormali#ar la 'ro'osición <re6ui'a es una ciu$a$ 'eruana con <4 ( Tumbes es una ciu$a$ 'eruana con P4 !enemos la 5órmula <∧ P 6ue conmu!a$as e6ui-alen a P ∧ <. En lógica4 el signo $ee6ui-alencia⇔ con el cual 'o$emos relacionar las 5órmulas an!eriores as*%<∧ PH⇔ P ∧ <H.

También son e6ui-alen!es a6uellas 5órmulas 6ue4 a9n !enien$o escri!ura $i5eren!e4 !ienen -alores $e-er$a$ i$én!icos ( el mismo sen!i$o. Por !an!o4 si unimos $os 5órmulas e6ui-alen!es me$ian!e el bicon$iciona$or ( -eri5icamos su -alor $e -er$a$4 el resul!a$o ser 5or#osamen!e !au!ológico. <s*-eri5icamos la 5órmula $el eem'lo an!erior < P <∧ PH⇔ P ∧ <H 1 1 1 1 10 1 0 1 01 0 0 1 00 0 0 1 0

Cier!amen!e 6ue se !ra!a $e una e6ui-alencia !au!ológica.Debe ano!arse 6ue las e6ui-alencia no sir-en4 $e 'or s*4 'ara llegar a nue-as conclusiones con !o$o4

'res!an buenos ser-icios en los 'rocesos in5erenciales $ebi$o a 6ue 'ermi!en cambios en lamor5olog*a $e una $e!ermina$a 5órmula. E8is!en $i-ersas e6ui-alencias !au!ológicas4 'ero seabor$ar las siguien!es reglas lógicas u!ili#a$as en 'rocesos lógicos ( ma!em!icos%

1H La conmutaci#n% ;i en las ma!em!icas el or$en $e 5ac!ores no al!era el 'ro$uc!o4 en lógica elor$en $e los argumen!os no al!era el resul!a$o en ning9n caso4 con e8ce'ción en la im'licación. Eleem'lo an!erior es una clara conmu!ación. Pero la 5órmula < → H ⇔ → <H es unaconmu!ación incorrec!a 'or !ra!arse $e una im'licación. El ma(or uso $e la conmu!ación !ienelugar en el caso $e la conunción ( $e la $isunción inclusi-a%

a ^ bH↔ b ^ aH a - bH↔ b - aH



2H La transosici#n% la en!en$emos con el eem'lo si llue-e4 ace 5r*o ( si no ace 5r*o4 es 6ue nollue-e son e6ui-alen!es 'or !rans'osición. &a 5ormula <→ 4 !ras'onién$ola4 $a origen a lae6ui-alencia%

<→ H⇔ G → G <H

&a !rans'osición es una es'ecie $e conmu!ación con a(u$a $el nega$or. &a im'licación es el 9nicocaso 6ue a$mi!e la !rans'osición.

"H La asociaci#n% &a 'ro'ie$a$ asocia!i-a se $enomina algunas -eces 'rinci'io $e agru'ación 'arala a$ición4 signi5ican$o 6ue no im'or!a la manera como se agru'en los n9meros 'ara ser suma$os. &a e6ui-alencia se $a cuan$o re'resen!amos 'or <4 4 C series $e 'ro'osiciones uni$as 'or el conun!or ( el $isun!or inclusi-o4 as*%

&ima4 <re6ui'a ( Truillo son ciu$a$es millonarias% < ∧ ∧ C.Po$emos ir a casa o al cine o a una $isco!eca% < - - C.

!ili#an$o los 'arén!esis4 los argumen!os $e las 5órmulas an!eriores 'ue$en 6ue$ar asocia$os as*%

<∧ H ∧ C < - H - C <∧ ∧ CH < - - CH

En las 5órmulas 'rece$en!es4 la $is!in!a colocación $e los signos $e agru'ación no ace -ariar el-alor $e -er$a$ $e las mismas. <s* en el eem'lo / ` a 2 [ 2 1H / ` " [ 1 2H / ` 2 [ 1H [ 1 "H 2 [ 1H [ 1 ` 2 [ 1 [ 1H /H / ` 2 [ 1 [ 1H H / ` 2 [ 2

/D La distribuci#n% ;e $a la e6ui-alencia si obser-amos la 5órmula siguien!e% < ∧ - CH.E-i$en!emen!e el conun!or une < con ( C.

&a le!ra < $e la 5órmula an!erior 'ue$e $is!ribuirse conun!i-amen!e con ( C 'or ser 5ac!orescomunes4 resul!an$o las siguien!es 5órmulas e6ui-alen!es%<∧ - CH⇔ < ∧ H - < ∧ CH <nlogamen!e realicemos las siguien!es $is!ribuciones%

< - ∧ CH⇔ < - H ∧ < - CH <→ ∧ CH⇔ <→ H ∧ <→ CH <→ - CH⇔ <→ H - <→ CH

< con!inuación $ebemos anali#ar una serie $e $e5iniciones4 como $e%

1H La disBunci#n e<clusi!a% ;i con5ron!amos las !ablas $e -er$a$ $el $isun!or e8clusi-o ( $el bicon$iciona$or4 se obser-ar 6ue sus -alores son con!rarios.

<$ems4 si se niega el bicon$iciona$or4 resul!arn $ebao $el nega$or los -alores%

G <⇔ H 0 1 1 0 1 0 0 1

lo cual nos 'ermi!e obser-ar 6ue son los mismos 6ue los $e la $isunción e8clusi-a. Por !an!o4 una$isunción e8clusi-a e6ui-ale a una bicon$icional nega$a re'resen!able 'or la 5órmula% < W H⇔ G <⇔ H



2H La bicondicional% Recor$emos 6ue el bicon$iciona$or se 'resen!a 'or la 5leca $oble.Consecuen!emen!e4 en la 5órmula <⇔ se !iene 6ue < im'lica a ( im'lica a su -e# a <. Por !an!o4 ambas le!ras son im'lican!es e im'lica$as.

al obser-ar lo an!erior4 'o$emos $e$ucir la siguien!e e6ui-alencia% <⇔ H⇔ <→ H ∧ → <H

Por lo 6ue 6ue$a claro 6ue una con$icional e6ui-ale a $os con$icionales.

"H La condicional% ;e $a en e6ui-alencias con !érminos $e conunción ( $isunción inclusi-a.

En !érminos $e conunción4 con-iene obser-ar 6ue la e8'resión no es el caso 6ue sea $e'en$ien!e (no sub$esarrolla$o e6ui-ale a la con$icional% si es $e'en$ien!e en!onces es sub$esarrolla$o. re'resen!an$o ca$a una $e las 'ro'osiciones 'or < ( sucesi-amen!e4 !enemos la siguien!ee6ui-alencia% < → H⇔ G< ∧ G H



&.=. L"S 9"L"$'"S

Con los -ocablos 5alacia o so5isma se i$en!i5ica la re5u!ación a'aren!e4 la re5u!ación so5*s!ica4 (!ambién el silogismo a'aren!e4 o silogismo so5*s!ico4 me$ian!e los cuales se 6uiere $e5en$er algo5also ( con5un$ir al con!rario.

Debemos reconocer 6ue Lorgias $e &eon!ini4 el 'ico $e oro siciliano4 -er$a$ero 5un$a$or $e lare!órica4 no 'arece aberse 'reocu'a$o $e la moral $e su argumen!ación4 sino $el e5ec!o es!é!ico $esus $iscursos. Pioan4 Ais!oria $el ,un$o4 Tomo 24 ' . 2/1H

< los so5is!as se les a $enomina$o como maes!ros $e la -ir!u$ 'ero en sen!i$o 'rimi!i-o 6ue ms bien a'un!a a una ca'aci!ación ( a'!i!u$ 'ol*!ica 'ues en el im'erialismo $e Pericles4 se necesi!abanombre com'e!en!es 'ara con6uis!ar ( e8'lo!ar el nue-o es'acio ombres $e acción ( $e inicia!i-a4con -olun!a$ $e ser algo en la -i$a '9blica. ;o5is!a signi5ica realmen!e 5ormación4 'ero no una5ormación 'o'ular4 sino 5ormación 'ara la $irección 'ol*!ica.

&.=.&. +- ES L" 9"L"$'"

El !érmino FCalacia es en s* mismo un !an!o -ago. el uso correc!o 6ue se le $a es a6uel 'ara$esignar cual6uier i$ea e6ui-oca$a o creencia 5alsa4 como a6uella $e consi$erar o creer 6ue !o$os losombres son malos. Por !an!o4 la 5alacia es un !i'o $e ra#onamien!o incorrec!o.

En los es!u$ios lógicos4 se $enomina con el !érmino 5alacia a6uella argumen!ación -iciosa llama$a!ambién 'aralogismo ( so5isma4 'ues4 a$ems $e ser incorrec!a4 conlle-a una 5uer!e $osis $e 'ersuasión 'sicológica. En !al sen!i$o4 la 5alacia es una 5orma $e ra#onamien!o 6ue 'arece correc!o4 'ero 6ue resul!a no serlo cuan$o se lo anali#a cui$a$osamen!e.

El nombre $e so5isma4 ( menos el $e 5alacia4 no suele a'licarse a la argumen!ación -iciosa4 cuan$oes! em'lea$a $e buena 5e. En!onces se la llama 'aralogismo bien 6ue algunos llaman 'aralogismoa la argumen!ación -iciosa 'or su ma!eria4 ( so5isma o 5alacia a la 6ue 'eca 'or su 5orma.

&.=.(. $L"SES

<ris!ó!eles 5ue el 'rimero en 'resen!ar una lis!a $e so5ismas en su escri!o ;obre las Re5u!acionesso5*s!icas. In$ica 6ue a( $os clases $e argumen!os% unos -er$a$eros ( o!ros 6ue no lo son aun6uelo 'arecen. Es!os 9l!imos son los so5ismas o re5u!aciones so5*s!icas4 las 6ue se $i-i$en en $os clases%

G &as re5u!aciones so5*s!icas 6ue deenden $el lenguae usa$o4 llama$as ling7*s!icas o $e $icción (!ambién $enomina$as grama!icalesG &as re5u!aciones so5*s!icas 6ue no deenden $el lenguae usa$o4 $enomina$as e8!raling7*s!icas o$e cosa4 $enomina$as !ambién $ialéc!ica.

&as 5alacias ling7*s!icas o grama!icales son%1H &a omo5on*a o e6ui-ocación e6ui-ale a la ambig7e$a$ $e un !érmino. Por eem'lo% el clima es$ulce4 luego es gra!o al 'ala$ar o !ambién4 los males son bienes4 'ues las cosas 6ue $eben ser son bienes ( los males $eben ser4 $on$e a( ambig7e$a$ en el uso $e $eber ser.

2H <n5ibolog*a4 -icio $e $icción 'or el 6ue resul!a e6u*-oco el signi5ica$o $e una 'alabra o 5rase. <s*4el 6ue e8'onga sus cau$ales en la em'resa4 come!e una locura4 luego es necesario encerrarle en lacasa $e locos.

"H &a 5alsa conunción4 llama$a !ambién com'osición4 es la reunión errónea $e !érminos4 la cual$e'en$e a -eces $e los signos $e 'un!uación. Eem'lo% el 6ue es! sen!a$o 'ue$e es!ar $e 'ié4luego 'ue$e a un mismo !iem'o es!ar en 'ié ( sen!a$o o !ambién4 un ombre 'u$e an$ar cuan$oes! sen!a$o.

/H &a 5alsa $is(unción4 llama$a !ambién $i-isión o se'aración es la se'aración errónea $e !érminos.

Eem'lo% &o blanco no 'ue$e ser encarna$o4 luego el 'a'el no 'ue$e !eñirse $e encarna$o o!ambién cinco es $os ( es !res.



H &a 5alsa acen!uación es la errónea acen!uación $e !érminos. Eem'lo% ;* es us!o. ;i es us!o. &o 'rimero es absolu!o4 lo segun$o con$icional. O !ambién4 !omo cer-e#a4 en -e# $e !omó cer-e#a o-ice-ersa.

H &a 5alsa 5orma $e e8'resión o 5igura $e $icción es la e8'resión $e algo $is!in!o 'or la misma5orma. Eem'lo% la e8is!encia $e ,ar!e es 5abulosa4 luego no e8is!e el 'lane!a ,ar!e. O !ambién4cor!an!e usa$o como sus!an!i-o 'or analog*a con aman!e 6ue 'ue$e ser usa$o como

sus!an!i-o.

&as 5alacias e8!raling7*s!icas o $ialéc!icas4 son%

1H &a 5alacia $e acci$en!e o4 llama$a !ambién $e 5alsa ecuación4 es la a$scri'ción $el a!ribu!o $euna cosa a ca$a uno $e los acci$en!es $e es!a cosa. Eem'lo% <lgunos sabios an si$o -iciosos4luego la ciencia es $añina. Con lo cual se con$ena la ciencia 'or un acci$en!e $e ella. O!ambién4 si Corisco es o!ra cosa 6ue un ombre4 es o!ra cosa 6ue él mismo4 'ues es unombre.

2H &a con5usión $e lo rela!i-o con lo absolu!o o !rnsi!o $e lo $ico sim'lemen!e a lo $icoesencialmen!e4 es el em'leo $e una e8'resión en sen!i$o absolu!o a 'ar!ir $e un sen!i$o rela!i-o.Eem'lo% Engaña4 luego mien!e. No conclu(e4 'or6ue 'ue$e engañar $e buena 5e. O !ambién4 no

sabemos $ón$e es! la causa $e $on$e 'roce$e el calor !erres!re4 luego no sabemos 6ue e8is!a. No conclu(e 'or lo segun$o. O4 si el no ser es obe!o $e o'inión4 el no ser es."H &a ignorancia $el argumen!o se 'ro$uce cuan$o no se $e5ine lo 6ue es la 'rueba o la re5u!ación

( se $ea esca'ar algo en su $e5inición. Eem'lo% El ombre no 'ue$e 'ensar sin sangre4 luegola sangre 'iensa. O !ambién4 la misma cosa es a la -e# $oble ( no $oble4 'or6ue $os es el $oble$e uno ( no es el $oble $e !res.

/H &a 5alacia $e consecuen!e4 se come!e cuan$o se 'eca con!ra lo $ico4 o es la con-ersión 5alsa $elconsecuen!e4 $a$o 6ue se su'one. Eem'lo% ;i es sabio4 es laborioso4 es laborioso4 luego essabio. O !ambién4 si < es4 necesariamen!e es4 se a5irma si es4 < necesariamen!e es. Es!eso5isma surge con 5recuencia a consecuencia $e in5erencias erróneas $e la 'erce'ción sensible.

H &a 'e!ición $e 'rinci'io4 se $a cuan$o se su'one lo mismo 6ue se a $e 'robar. Eem'lo% Elumo sube acia arriba4 'or6ue no !iene gra-e$a$4 'ues es $e la clase $e los cuer'os le-es.Precisamen!e es!o 9l!imo es lo 6ue se a $e 'robar4 ( sin embargo se a$uce como 'rueba. Es!a5alacia !ambién se llama c*rculo -icioso. <ris!ó!eles consi$era cinco casos $e 'e!ición $e 'rinci'io%

G &a 'os!ulación $e lo mismo 6ue se 6uiere $emos!rarG &a 'os!ulación uni-ersalmen!e $e lo 6ue $ebe $emos!rarse 'ar!icularmen!eG &a 'os!ulación 'ar!icularmen!e $e lo 6ue se 6uiere $emos!rar uni-ersalmen!eG &a 'os!ulación $e un 'roblema $es'ués $e aberlo $i-i$i$o en 'ar!es (G &a 'os!ulación $e una $e $os 'ro'osiciones 6ue se im'lican mu!uamen!e.H &a 5alacia $e no causa 'or causa. Eem'lo% el en5ermo se alla 'eor4 luego la me$icina le aengaña$o. El $año 'ue$e aber 'ro-eni$o $e o!ras causas.:H )alacia $e 'regun!a com'lea como sim'le. Eem'lo% >&os meicanos4 los brasileños4 loses'añoles4 los 5ranceses son euro'eos? ;*. >&uego los meicanos son euro'eos? No. &uego los

5ranceses no so euro'eos.

&.=.2. M"NER"S 4E E:'1"R L"S 9"L"$'"S

Conocién$ose 6ue la 5alacia es una !ram'a en la 6ue cual6uier 'ersona 'ue$e caer en el 'roceso $elra#onamien!o4 es necesario%

1H Con!ar con una cier!a abili$a$ 'ara in$icarla ( anali#arla a 5in $e im'e$ir 6ue seamos engaña$os 'or ella al caer inconscien!emen!e en una 5amiliari$a$ con ella.

2H Para e-i!ar las 5alacias se re6uiere una -igilancia cons!an!e ( la conciencia $e las mucas manerasen 6ue 'o$emos incurrir en alguna $e ellas. Por ello es 9!il un es!u$io 'reciso $e los $i5eren!esusos $el lenguae4 con!ar con una com'rensión $e la 5le8ibili$a$ $el lenguae ( la mul!i'lici$a$ $e

sus usos im'e$ir 6ue con5un$amos el sen!i$o $e sus !érminos.



"H Debemos !ener 'resen!e 6ue las 'alabras son resbala$i#as ( la ma(or*a $e ellas !ienen !o$a una-arie$a$ $e sen!i$os o signi5icaciones $i5eren!es4 ( a( 5alacia all* $on$e se con5un$en es!ossigni5ica$os $i5eren!es.

/H Es in$is'ensable $e5inir los !érminos cla-es 6ue se u!ili#an4 'ues los cambios en la signi5icación$e los !érminos 'ue$en acer 5ala# un ra#onamien!o ( $a$o 6ue la ambig7e$a$ 'ue$e e-i!arseme$ian!e una cui$a$osa $e5inición $e los mismos4 la $e5inición es un !ema im'or!an!e 'ara el

es!u$io $e la lógica.Por o!ra 'ar!e4 com'ren$ien$o 6ue !o$o raciocinio consis!e en la mani5es!ación $e 6ue un uicio es!con!eni$o en o!ro4 la consecuencia leg*!ima $ebe es!ar a5irma$a en las 'remisas sacarla es 'oner e8'l*ci!o lo 6ue es!aba im'l*ci!o el me$io no es ms 6ue a6uello $e lo cual ecamos mano 'ara$esen-ol-er las 'remisas4 ( mani5es!ar 6ue en una $e ellas es! con!eni$a la conclusión.De ello resul!a 6ue !o$o raciocinio se 5un$a en el 'rinci'io $e con!ra$icción ( !o$a consecuencia4 'ara ser leg*!ima4 $ebe ser !al 6ue4 en no a$mi!ién$ola4 se a5irme ( se niegue una cosa al mismo!iem'o.El so5isma es la argumen!ación en 6ue se saca una consecuencia ileg*!ima con a'ariencias $elegi!imi$a$. En !o$o so5isma se 're!en$e 6ue una 'ro'osición es!é con!eni$a en o!ra4 cuan$orealmen!e no lo es! el secre!o 'ara $esenre$arse $e los so5ismas es -ol-er a!rs4 re5le8ionan$oa!en!amen!e sobre el -er$a$ero sen!i$o $e la 'ro'osición en 6ue el so5isma se a'o(a.

&.=.=. REGL"S P"R" E:'1"R 9"L"$'"S

Como el 'rinci'io 5un$amen!al $e los silogismos es 6ue las cosas i$én!icas a una !ercera soni$én!icas en!re s*4 resul!a 6ue !o$as las reglas $e los silogismos 'ue$en re$ucirse a una sola% lacom'aración $ebe acerse en los mismos e8!remos con un mismo me$io. Por ello $ebe consi$erarseminuciosamen!e las reglas $el silogismo 6ue se inclu(en en el i!em 2.".".

;e su'era las 5alacias consi$eran$o 6ue la in!eligencia 'ue$e $ar su asen!imien!o $e $os mo$os.

Primero4 cuan$o es mo-i$a4 $e!ermina$a 'or el obe!o. Es!o se 'ro$uce en $os caso% 1 cuan$o elobe!o es conoci$o él mismo4 inme$ia!amen!e4 como en el caso $e los 'rimeros 'rinci'ios 2 cuan$oes conoci$o 'or me$io $e o!ro4 me$ian!e4 como en el caso $e la conclusión $e una $emos!ración. Enel lenguae !écnico $e la escuela4 sólo el segun$o caso recibe el nombre $e ciencia el 'rimero sellama in!eligencia.

;egun$o4 cuan$o o'onemos ra#ón ( 5e englobamos en la ra#ón !o$as las 5unciones na!urales $econocimien!o4 com'ren$i$os los sen!i$os4 a6u*4 cuan$o o'onemos saber ( creer4 englobamos en laciencia !o$os los casos en 6ue el uicio es! $e!ermina$o 'or el mo$o.

&a -er$a$ es una 'ro'ie$a$ $el uicio rela!i-amen!e al serH. &a cer!e#a es un es!a$o $el es'*ri!ures'ec!o $e la -er$a$ $e su uicioH. &a e-i$encia es una 'ro'ie$a$ $el obe!o rela!i-amen!e a una5unción $e conocimien!o cual6uieraH. &a e-i$encia es la clari$a$ con la 6ue un obe!o a'arece a una5acul!a$ $e conocimien!o4 la mani5es!ación o4 como ac!ualmen!e se $ice4 la re-elación $el ser. Por ello es el 5un$amen!o o el cri!erio $e la cer!e#a.



(. LÓG'$" 4E 1-RM'NOS <l ablar $e la lógica 'ro'osicional $ec*amos 6ue la 'ro'osición se $e5ine como una ca$ena $e 'alabras con sen!i$o com'le!o 6ue 'ue$e ser cali5ica$a $e cier!a o 5alsa. ;i obser-amos la 'ro'osición% No !o$os los 'eruanos son mes!i#os ( $e oos 'ar$os4 obser-amos 6ue se !ra!a $e una

ca$ena $e 'alabras4 $on$e ca$a 'alabra 5orma una uni$a$ 6ue llamamos !érmino.



(.&. NO$'ONES 8 S;M)OLOS

El mundo de la realidad tiene sus lmitesH el mundo de la imaginaci#n esinCinito. 6ean 6acques Rousseau

$ometencia% ;eñala4 gra5ica ( -ali$a la com'rensión ( e8!ensión !erminológica 'recisan$osu 5orma4 cuan!i5icación4 analog*as ( $e5iniciones.

(.&.&. 1-RM'NOS $"1EGOREM@1'$OS 8 S'N$"1EGOREM@1'$OS

Debemos recor$ar 6ue la 'ro'osición es una ca$ena $e 'alabras con sen!i$o com'le!o -er$a$ero o5also. si enunciamos la siguien!e 'ro'osición% No !o$os los 'eruanos son !rigueños ( $e oos 'ar$os4 obser-amos 6ue se !ra!a $e una ca$ena $e -ocablos4 $on$e ca$a 'alabra4 a su -e#4 5ormauna uni$a$ 6ue llamamos !érmino. ;i con!abili#amos los -ocablos $e la 'ro'osición re5eri$aencon!ramos $ie# 'alabras.

<l some!er a anlisis los !érminos in!egran!es $e la 'ro'osición menciona$a4 !enemos las siguien!escolumnas%

< 'eruanos no son !o$os !rigueños losoos ( 'ar$os $e

Por los $i5eren!es es!u$ios reali#a$os4 sabemos 6ue los !érminos 6ue $eno!an reali$a$ 'ersonas4animales4 cosas4 acciones4 'ro'ie$a$es4 es!a$os4 e!c.H ( los -ocablos $el eem'lo se allan en lacolumna <. Por su 'ar!e4 los !érminos inclui$os en la columna 4 'or s*4 no $eno!an ningunareali$a$4 'ero sir-en 'ara negar4 relacionar (3o $e!erminar a los !érminos $e la columna <.

<lgunos $e los -ocablos son 'or s* significantes4 o!ros no son signi5ican!es 'or s*.;on signi5ican!es 'or s*4 los 6ue sin aña$ir algo !ienen signi5icación com'le!a como César4 ablo4abla$o4 ablar4 blancura4 $eslumbran!e4 e!c. &os an!iguos llamaron a es!os -ocablos categoremas.

&os 6ue no !ienen signi5icación com'le!a 'or s* son no signi5ican!es4 'ues sólo mo$i5ican lasigni5icación $e o!ros -ocablos4 como son las -oces !o$o4 ninguno4 alguno4 es!e4 e!c.4 igualmen!e loscasos oblicuos4 como los a$-erbios4 las !o$as las 're'osiciones ( conunciones. < es!os -ocablos losan!iguos llamaron sincategoremático.

< los !érminos 6ue $eno!an reali$a$es4 en lógica4 los llamamos como se a $ico an!eriormen!eHca!egorem!icos ( a los $ems sinca!egorem!icos. &os conec!ores es!u$ia$os an!eriormen!e

cons!i!u(en un eem'lo $e !érminos sinca!egorem!icos. < mo$o $e eem'lo 'o$emos $is!inguir en!reca!egorem!icos ( sinca!egorem!icos4 con una C ( con una ; los siguien!es -ocablos%

libro C a* ;algunos ; $olor C bueno C los ;5in C o( C 'ara ; oloroso C&uis C !o$os ;llue-e C cier!os ; 'o$er C es!o( C

Por !an!o4 la lógica 6ue es!amos es!u$ian$o en es!a segun$a 'ar!e4 se $enomina lógica $e !érminos4 'or6ue es!u$ia la es!ruc!ura in!erna $e las 'ro'osiciones 'ene!ran$o en el anlisis $e los $i-ersos!érminos 6ue la in!egran. Por ello4 en!re los !érminos ca!egorem!icos 6ue com'onen una



'ro'osición4 los ms im'or!an!es son el sue!o ( el 're$ica$o. En el eem'lo an!erior4 el sue!o es'eruanos ( el 're$ica$o !rigueños ( $e oos 'ar$os. Pues es conoci$o 6ue a6uello $e lo cual se$ice algo a5irman$o o negan$o4 se llama sue!o4 (4 lo 6ue se $ice $el sue!o se $enomina 're$ica$o.To$o !érmino $ice o signi5ica algo 'or eem'lo4 el !érmino !ringulo signi5ica% 5igura 'lana 6uecons!a $e !res la$os ( !res ngulos. En es!a $e5inición4 las no!as 6ue in!egran la signi5icación $el!érmino !ringulo son% 5igura4 'lana4 !res la$os4 ( !res ngulos. Es!e conun!o $e no!as 6ue in!egran

la signi5icación $e un !érmino4 en lógica4 se $enomina com'rensión 'or !an!o4 esas cua!ro no!asin$ica$as cons!i!u(en la com'rensión $el !érmino !ringulo.

(.&.(. $OMPRENS'ÓN 8 EI1ENS'ÓN

&a com'rensión es! $a$a 'or el conun!o $e no!as 6ue in!egran la signi5icación $e un !érmino.Consecuen!emen!e4 si nos re5erimos al eem'lo an!erior4 es $ecir4 al signi5ica$o $e !ringulo4 lascua!ro no!as o carac!er*s!icas ano!a$as cons!i!u(en la com'rensión $el !érmino !ringulo. Pero4a$ems $e 'oseer las carac!er*s!icas ano!a$as com'resiónH4 el !érmino !ringulo se re5iere a unn9mero $e!ermina$o $e 5iguras 'lanas 6ue !ienen como 'ro'ie$a$es comunes el 'oseer% !res la$os (!res ngulos.

&a e8!ensión $e un !érmino es! cons!i!ui$a 'or el n9mero $e en!i$a$es o cosas $e las cuales se 'ue$e 're$icar con el mismo as* la e8!ensión $el !érmino !ringulo ser*a !o$os los !ringulos. Dees!e mo$o4 !enien$o en cuen!a el n9mero $e in$i-i$uos 6ue abarcan los !érminos $e -i-ien!e aare6ui'eño4 en or$en $e e8!ensión4 !enemos%

-i-ien!e→ animal→ ombre→ americano→ 'eruano→ are6ui'eño.

Por !an!o4 el !érmino -i-ien!e es ms e8!enso 6ue el !érmino ombre és!e ms 6ue are6ui'eño.Consecuen!emen!e4 el !érmino are6ui'eño es $e ma(or com'rensión 6ue el $e -i-ien!e. < su -e#4el !érmino ombre aña$e la no!a $e racionali$a$ 5ren!e a la am'li!u$ $el !érmino animal. ;iconsi$eramos los e8!remos $el eem'lo% -i-ien!e ( are6ui'eño4 es mani5ies!amen!e claro 6ueare6ui'eño es el $e ma(or com'rensión4 $a$o 6ue !iene !o$as las carac!er*s!icas $e los o!ros ms la$e are6ui'eñici$a$ igualmen!e4 el !érmino ombre es $e ma(or com'rensión 6ue el $e animal 'or6ue a las carac!er*s!icas $e animal aña$e la no!a $e racionali$a$.

Por !an!o4 'o$emos $e$ucir la le( seg9n la cual la e8!ensión ( la com'rensión $e un !érmino es!n enra#ón in-ersa lo cual signi5ica 6ue a ma(or e8!ensión corres'on$e menor com'rensión ( -ice-ersa.

Po$emos obser-ar la e8!ensión $e los !érminos siguien!es%aH José &uis us!aman!e ( Ri-ero4 se re5iere a un solo in$i-i$uo bH algunos ca!ólicos4 se re5iere a ms $e uno ( menos $e !o$oscH !o$os los ca!ólicos4 se re5iere a !o$os los in$i-i$uos.

Por ra#ón $e la e8!ensión los !érminos 'ue$en ser%G ;ingulares4 como en José &uis us!aman!e ( Ri-ero

G Par!iculares4 como en algunos ca!ólicosG ni-ersales4 como en !o$os los ca!ólicos.

De lo an!erior4 se $e$uce 6ue los !érminos4 'or ra#ón $e su e8!ensión4 se re5ieren a conun!os $ecosas ( 6ue4 'or ra#ón $e la com'rensión4 conno!an cier!as carac!er*s!icas o 'ro'ie$a$es comunes alas en!i$a$es 6ue 5orman un conun!o. la es!ruc!ura men!al $el ombre 5unciona agru'an$o lascosas en conun!os 'ues un conun!o es una agru'ación $e elemen!os 6ue !ienen alguna 'ro'ie$a$ encom9n.

<l re5erirse !o$o !érmino a un conun!o4 'ue$e ser $e5ini$o señalan$o los elemen!os 6ue locom'onen4 es!o es4 'or su e8!ensión. E igualmen!e se lo 'ue$e $e5inir 'or ra#ón $e la 'ro'ie$a$ 6ue!ienen en com9n los elemen!os a los 6ue se re5iere4 es!o es4 'or su com'rensión.

<$ems4 en !o$a 'ro'osición !*'ica se a5irma o niega algo $el sue!o $e la misma4 es $ecir4 !ienecali$a$ a5irma!i-a o nega!i-a ( la a5irmación o negación 'ue$e recaer sobre algunos o sobre !o$os



los elemen!os 6ue in!egran el conun!o re'resen!a$o 'or el sue!o consecuen!emen!e4 'or ra#ón $e lae8!ensión una 'ro'osición 'ue$e ser uni-ersal o 'ar!icular.Para concluir es!e *!em4 'o$emos señalar la can!i$a$ ( la cali$a$ $e ca$a 'ro'osición en lossiguien!es eem'los%

1H To$o 'arsi!o es -i-ien!e es uni-ersal ( a5irma!i-a.

2H Ning9n aimara es nor!eamericano es uni-ersal ( nega!i-a."H <lgunos 'oli!i6ueros son 5an!icos es 'ar!icular ( a5irma!i-a./H <lgunos es!u$ian!es son $e'or!is!as es 'ar!icular ( nega!i-a.

(.&.2. PRE4'$"1':OS S'MPLES 8 MJL1'PLES

Aablamos $e 're$ica!i-os sim'les4 $obles4 !ri'les ( m9l!i'les4 $e con5ormi$a$ con el n9mero $enombres 'ro'ios 6ue enla#an un 're$ica!i-o. &os 're$ica!i-os son%

G ;im'les% $uerme en ,erce$es $uerme 5ilóso5o en ;ócra!es es 5ilóso5o.G Dobles% ser*an ma(or 6ue en Pe$ro es ma(or 6ue Juani!a 5ue 'ro5esor $e en <ris!ó!eles

5ue 'ro5esor $e <lean$ro ,agno ( 6uiere en Diego 6uiere a ,ónica.G Tri'les% cuen!a4 cuan$o se $ice% la abuela cuen!a una is!oria a los niños o es 'ro$uc!o$e en es 'ro$uc!o $e 2 'or "4 e!c.

G ,9l!i'les% es! ro$ea$a4 en la oración% <us!ria es! ro$ea$a 'or &iec!ens!ein4 ;ui#a4<lemania4 Cecoslo-a6uia4 Aungr*a4 ugosla-ia e I!alia4 llega a ser un 're$ica!i-o $e ocomiembros.

<$ems se a $e ano!ar 6ue en los eem'los% !o$o -irus es -i-ien!e4 ning9n aimara es argen!ino4algunos 'ol*!icos son 5an!icos4 algunos are6ui'eños son na$a$ores4 las 'ar!*culas !o$os4ning9n4 algunos sir-en 'ara señalar la can!i$a$ $e -irus4 'ol*!icos o are6ui'eños sobre loscuales recaen los corres'on$ien!es 're$ica$os.

(.&.=. OR"$'ÓN ELEMEN1"L 8 9ORM" OR"$'ON"L

;e en!ien$e 'or oración elemen!al la cone8ión $e un nombre 'ro'io o $e una $esignaciónH con un 're$ica!i-o. ;e $is!ingue en!re oración ( 5orma oracional. ;ócra!es es un 5ilóso5o re'resen!a unaoración elemen!al.Para ello se em'lea a menu$o la có'ula es. <ora 'roce$emos a simboli#ar algunos $e los!érminos. El 're$ica$o $e una 'ro'osición cual6uiera se simboli#a me$ian!e las ma(9sculas%

)4 L4 Allama$as le!rasG're$ica$o. &os sue!os4 a su -e#4 son re'resen!a$os me$ian!e min9sculas% 84 (4 #llama$as le!ras argumen!o.

<s*4 en el eem'lo ;ócra!es es un 5ilóso5o sus!i!uimos el nombre 'ro'io ;ócra!es 'or una-ariable in$i-i$ual4 es $ecir4 'or un es'acio -ac*o4 6ue es! en lugar $e cual6uier nombre 'ro'io o $ecual6uier $esignación4 in!ro$ucien$o el s*mbolo 8 . ;eguimos sus!i!u(en$o el 're$ica!i-o5ilóso5o 'or una -ariable 're$ica!i-a4 es $ecir4 'or un es'acio -ac*o 6ue ocu'a el lugar $ecual6uier 're$ica!i-o e in!ro$ucimos el s*mbolo ) . Con ello llegamos a la 5orma oracional $e unaoración elemen!al )84 6ue se lee% 8 es ).

;i lo 6ue $eseamos e8'resar es% Juan no es!u$ia 'o$r*amos re'resen!ar Juan 'or ( 4 no 'or el nega$or G ( es!u$ia 'or ) 4 ( as* ob!en$r*amos el es6uema% G )84 6ue se lee% ( no es ).&os es6uemas an!eriores son mon$icos. ;i los unimos me$ian!e un conec!or4 su'ongamos4 elconun!or4 el resul!a$o ser el siguien!e es6uema $i$ico% )8 ∧ G )( 6ue se leer*a%

8 es ) ( ( no es )

<l u!ili#ar o!ro eem'lo% ;i Juan es!u$ia4 en!onces ;an!iago no -iene simboli#an$o Juan 'or 84 es!u$ia 'or ) 4 ;an!iago 'or ( 4 -iene 'or A 4 ( em'lean$o el conec!or



corres'on$ien!e4 !enemos el siguien!e es6uema $i$ico% )8 → G A(4 cu(a lec!ura ser% si 8 es )en!onces o im'lica 6ueH ( no es A.

,e$ian!e la sus!i!ución $e nombres 'ro'ios o $e 're$ica!i-os la 5orma oracional -uel-e a con-er!irseen oración.

(.&.>. $"N1'9'$"$'ÓN 8 9ORM"L'3"$'ÓN

;e $enomina cuan!i5icación la o'eración me$ian!e la cual4 u!ili#an$o s*mbolos a'ro'ia$os4 se$e!ermina el mbi!o o e8!ensión $e $e un !érmino $e la 'ro'osición. En el lenguae i$iom!ico seu!ili#a los !érminos !o$o4 !o$os4 algo4 algunos 'ara cuan!i5icar. <ris!ó!eles (a u!ili#ó loso'era$ores !o$o ( en 'ar!e. &os cuan!i5ica$ores son los signos 6ue siem're -an liga$os a-ariables in$i-i$uales4 ( se $is!inguen $os !i'os $e cuan!i5ica$ores%

a. El cuan!i5ica$or uni-ersal o generali#a$orH. En la lógica me$ie-al o mo$erna se $enominacuan!i5ica$or uni-ersal 'or6ue u!ili#a la -ariable 8 'ara a5irmar 6ue ca$a cosa en el uni-erso!iene una cier!a 'ro'ie$a$. &a 5rase Para !o$o 8...4 'ara ca$a 8... es un cuan!i5ica$or uni-ersal. ;igni5ica 6ue la 5orma oracional 'ara !o$as las sus!i!uciones en los es'acios -ac*os $a

siem're oraciones cier!as ,enneH. Em'leamos el signo Λ ( en Λ8 leemos como -ale 'ara!o$as las 8. b. El cuan!i5ica$or e8is!encial o 'ar!icularH4 en la lógica me$ie-al o mo$erna4 signi5ica 6ue al menos

una sus!i!ución en el es'acio -ac*o 'ro$uce una oración cier!a ,enneH. &as 5rases% 'ara algunos8...4 a( unos 8 !ales 6ue...4 e8is!en unos 8 !ales 6ue...4 e8is!e al menos un 8 !al 6ue ....!ili#amos el s*mbolo ∀ ( en ∀8 leemos como al menos -ale 'ara una 8.

Con el eem'lo Λ8HP8 leemos como -ale 'ara !o$as las 84 8 es P ( en ∀8H¬P8 leemos comoal menos cuen!a una 84 8 no es P. <s* 'o$emos cuan!i5icar los siguien!es eem'los%

G To$o es ma!erial )8H 6ue se lee% 'ara !o$o 8 es ).G Na$a es ma!erial G)8H 6ue se lee% 'ara !o$o 8 no es ).G <lgo es ma!erial )8H 6ue se lee% e8is!en unos 8 !ales 6ue 8 es ).G <lgo no es ma!erial G)8H 6ue se lee% e8is!en unos 8 !ales 6ue 8 no es ).

;e $ice 6ue el es6uema es! cerra$o cuan$o en un es6uema las le!rasGargumen!o es!n cuan!i5ica$aso liga$as4 como ocurre en los eem'los señala$os en el 'rra5o an!erior. se $ice 6ue son es6uemasabier!os cuan$o una o -arias le!rasGargumen!o es!n libres o sin cuan!i5icar.;e con-ier!e un es6uema $i$ico abier!o en cerra$o4 'onien$o en!re 'arén!esis $ico es6uema (an!e'onien$o el cuan!i5ica$or o cuan!i5ica$ores corres'on$ien!es. <s* cuan!i5icamos uni-ersalmen!ela 'rimera 5órmula ( 'ar!icularmen!e la segun$a% )8 → G L8 8H )8→ GL8H )( ∧ L( E(H )( ∧ L(HEn!en$ien$o 6ue !o$a 'ro'osición es! cuan!i5ica$a uni-ersal o 'ar!icularmen!e ( cuali5ica$aa5irma!i-a o nega!i-amen!e4 unien$o ambos cri!erios ob!en$remos cua!ro 5ormas !*'icas $e

'ro'osiciones%

G ni-ersalGa5rima!i-a4 $enomina$a <G ni-ersalGnega!i-a4 $enomina$a EG Par!icularGa5irma!i-a4 $enomina$a IG Par!icularGnega!i-a4 $enomina$a O

&a 5ormali#a#ción es el 'roce$imien!o me$ian!e el cual se cons!ru(e un sis!ema meramen!e $es*mbolos4 regi$o 'or algunos a8iomas ( 'or reglas o'era!i-as $e 5ormación ( $eri-ación $e5órmulasH $e los cuales4 con5ormae a las reglas sin!c!icas $el sis!ema mismo4 se ace $eri-ar 5órmulas 6ue resul!en !rans5ormaciones !au!ológicas $el gru'o $e a8iomas. &a 5ormali#ación se $a sianali#amos las 5ormas !*'icas4 en es!e caso $el mo$elo <4 con el eem'lo !o$o a6uello 6ue es animal

es 'or ello -i-ien!e o 6ue en los !érminos 6ue emos in$ica$o ser*a% 'ara !o$o 84 si 8 es <4 en!onces8 es +4 cu(a 5órmula es% 8H <8 → +8H.



;ien$o 6ue el sue!o animal ( el 're$ica$o -i-ien!e re'resen!an conun!os4 'o$emos e8'resar $ica 'ro'osición en la siguien!e 5orma% 'ara !o$o 84 si 8 es un elemen!o $el conun!o <4 en!onces 8es !ambién un elemen!o $el conun!o +4 es $ecir% 8H 8 ∈ <⇒ 8 ∈ +H. El signo ∈ se lee% eselemen!o $e o 'er!enece a.;i la 'un!uación es necesaria 'ara 'recisar los signi5ica$os4 'ues incluso en las ma!em!icas%2h"[4 'ue$e ser 11 o 1 11 si 2h"H [ ( 1 si 2 h "[H !ambién en el lenguae $e la lógica

simbólica es necesaria la 'un!uación4 (a 6ue los enuncia$os com'ues!os 'ue$en combinarse 'ara5ormar o!ros enuncia$os ms com'lica$os.

&a 5ormali#ación in!en!a !ra$ucir algunas oraciones $el lenguae co!i$iano al lenguae simbólico $ela lógica 're$icacional4 as*%G Aa( cisnes blancos. !ili#amos en lugar $e blancos ( C en lugar $e cisnes% ∀8H 8∧ C8H ( leemos% E8is!e al menos una 8 'ara la cual -ale 6ue 8 es blanca ( 6ue 8 es un cisne.G To$os los lógicos son 5uma$ores $e 'i'a. ;us!i!uimos lógicos 'or & ( 5uma$ores $e 'i'a 'or )4 ( escribimos% Λ8H &8→ )8H4 le(en$o% Para !o$as las 8 -ale el 6ue si 8 es lógico4 8 esun 5uma$or $e 'i'a.)recuen!emen!e e8is!en $i5eren!es 'osibili$a$es igualmen!e -li$as $e !ra$ucción o 5ormali#ación.Por eem'lo%

<lgunas se!as no son -enenosas. En lugar $e se!a u!ili#amos ; ( en lugar $e -enenosas ∀ (escribimos ¬Λ8H ;8→ +8H 6ue leemos% No 'ara !o$as las 8 -ale el 6ue si 8 es una se!a4 !enga6ue ser -enenosa. Pero 'o$emos !ambién escribir ∀8H ;8 ∧ ¬+8H 6ue leemos% E8is!e al menosuna 8 'ara la cual -ale el 6ue 8 es una se!a ( 6ue 8 no es -enenosa.

(.&.?. LÓG'$" 4E $L"SES

Es conoci$o 6ue el !érmino clase 5ue a5ron!a$o 'or la lógica me$ie-al4 'ero su em'leo sólo sein!ro$uo en el siglo I gracias al a'or!e $e los lógicos sir Killiam Aamil!on 1:MMG1MH4 KilliamJe-ons 1M"G1MM2H 6uien a$mi!e como -er$a$ e-i$en!e la le( $e uni$a$ < [ < ̀ <H4 Jon +enn1M"/G1F2"H4 e!c.4 a 6uienes les 'reocu'a el 'roblema $e la cuan!i5icación $e la lógica. En la lógica$e clases la consi$eración e8!ensional ocu'a el 'rimer 'lano 'or !an!o4 'ar!imos $e los in$i-i$uos alos 6ue con-iene un 're$ica$o.

Consecuen!emen!e4 en base a lo es!u$ia$o 2.1.".H4 'o$emos acer es!a a5irmación% Ca$a 're$ica$osim'le cons!i!u(e una clase. En!onces4 se 'resen!a algunos eem'los% los con!a$ores4 los5uma$ores $e 'i'a4 los bebe$ores $e caña#o4 los au!os -er$es4 e!c.

Como abre-ia!uras $e clase se u!ili#a las ma(9sculas C4 &4 ( ,. Para in$icar 6ue eselemen!o $e escribimos ∈ . Por ello en 8 ∈ & leemos como 8 es elemen!o $e la clase &.;us!i!uimos Pe$ro 'or a mien!ras 6ue C sus!i!u(e a la clase $e los au!obuseros4 con lo 6ue a∈ C e6ui-ale a $ecir Pe$ro es un au!obusero.

<n!es $e abor$ar% Cómo se acen oraciones sobre $os clases?4 es necesario ano!ar 6ue la claseuni-ersal es la clase 6ue con!iene !o$o 'ues es el $ominio $e in$i-i$uos a los 6ue se re5iere nues!ro

$iscurso. &a clase -ac*a o nula es la clase 6ue no !iene elemen!os 'ues es la clase 6ue es!im'l*ci!amen!e inclui$a en !o$as las clases su s*mbolo es ∅ ( 5ormalmen!e se $e5ine como%∅ ` d838 ≠ 8

(.&.?.&. $ONEI'ONES OPER"$'ONES 4E $L"SES

&as clases 'ue$en enla#arse me$ian!e $is!in!os un!ores4 con lo 6ue se originan nue-as claseseem'los $e ellas son%a. &a reunión% Es la unión o suma $e $os clases% , es la clase $e los m9sicos ( N la $e los

cul!i-a$ores $e rosas. ,e$ian!e la reunión $e ambas surge la clase reuni$a , ∪ N 4 es $ecir4 laclase $e !o$os los 6ue son m9sicos4 cul!i-a$ores $e rosas o ambas cosas a la -e#. <s* 'o$emos$e5inir a la clase reuni$a%

, ∪ N ` $5d8|8∈,∨8∈ N clase $e !o$as las 84 'ara las 6ue -ale $ecir 6ue 8 es elemen!o $e , o6ue 8 es elemen!o $e NH. Decimos , 'ara N.



b. El 'rome$io% Es el 'rome$io o in!ersección $e $os clases% , ser*a el signi5ica$o $e loses!u$ian!es ( N el $e los bacilleres. Con lo 6ue los es!u$ian!es 6ue son bacilleres sonelemen!os $e la clase 'rome$ia$a , ∩ N. $e5inimos%

, ∩ N ` $5d88∈,∧8∈ N clases $e !o$as las 84 'ara las 6ue -ale 6ue 8 es elemen!o $e , ( 8

es elemen!o $e NH. Noso!ros $ecimos% , con N.

c. Di5erencia% ;e $a la $i5erencia en!re $os clases , ( N la clase 5orma$a 'or los miembros 6ue son$e , ( no 'er!eneen a N% , ser*a la clase $e ngulos rec!os ( N la $e los cua$ra$os. &osngulos rec!os 6ue son cua$ra$os cons!i!u(en la clase $i5erencial , N. $e5inimos%

, N ` $5d88∈,^¬8∈ N clase $e !o$as la 84 'ara las 6ue -ale 6ue 8 es elemen!o $e , ( 8 noes elemen!o $e NH. Decimos , sin N.

;e 'ue$e re'resen!ar gr5icamen!e la reunión4 el 'rome$io ( la $i5erencia $e las clases , ( N $e lamanera siguien!e.

, ∪ N , ∩ N , G N

Reunión Prome$io Di5erencia

(.&.?.(. REL"$'ONES OR"$'ONES 4E $L"SE

En!re las 'rinci'ales relaciones $e clase conocemos la iguaal$a$4 la inclusión4 comuni$a$ ( lae8clusión $e clases. >Cómo se acen oraciones sobre $os clases?. <lgunas a5irmaciones im'or!an!es$e clase son las siguien!es%a. 'gualdad de clases $ L. Decimos C igual a &. ;e $a la igual$a$ cuan$ una clase C es igual a

una clase & ( cuan$o !o$os los miembros $e C son miembros $e & ( cuan$o !o$os los miembros $e& son miembros $e C.

C ` & ̀ $5 Λ8H 8∈C↔ 8∈&H Eem'lo% C ser*a la clase $e los seres sensibles racionales ( & la clase mam*5eros b*'e$os.

b. Subsunci#n o inclusi#n de las clases $ L . Decimos C sub &. Decimos 6ue la clase C es!inclui$aes! inclui$a en la clase &4 cuan$o !o$os losmiembros $e C son miembros $e &4 sien$o els*mb olo $e la incusión ⊂.

C ⊂ & ` $5 Λ8H 8∈C ⊂ 8∈&H

Eem'lo% C ser*a la clase $e los !ruillanos4 & la clase $e los 'eruanos recor$ar el rbol $ePor5irioH.

c. $omunidad de clases $ L. <s* $ecimos C com9n con & 6ue se e8'resa% C ∪ & C ∪ & ` $5 ∀8H 8∈C ∧ 8&H Eem'lo% al menos un are6ui'eño es lógico. C ( & 'or lo menos !ienen un elemen!o com9n.

d. E<clusi#n de las clases $ L. &a e8clusión $e C ( & se e8'resa 'or% C ≠ & C ≠ & ` $5 Λ8H 8∈C ⊂ 8∉&H6ue se lee 'ara cual6uier 8 !al 6ue4 si 8 'er!enece a C en!onces 8 no 'er!enece a & Eem'lo% la clase $e los caballos es $i5erenc!e $e la clase $e las a-es. C ( & se e8clu(en la una a lao!ra.

Den!ro $e es!e con!e8!o4 'o$emos $e5inir las oraciones <4 E4 I4 O como lógicoGclasis!as4 ( $e las 6uea 'ar!ir $e aora nos ocu'aremos $e5inién$ose !ambién como lógicoG're$ica!i-as.

888888888888888888888888

888,888888888888888888

8888888888888888888888

88888 N88888888888888

,

8888888

8888888 N8888888

8888888888888888

8,888888888888

N



Oración < ̀ $5 ; c P es $ecir To$o ; es P Oración E ` $5 ; c P es!o es Ning9n ; es P Oración I ` $5 ; Φ P es $ecir <lg9n ; es P Oración O ` $5 ; Φ P es!o es <lg9n ; no es P

E8'licación% ; ( P son clases. ;e an elegi$o las ma(9sculas ; ( P 'or6ue son las le!ras iniciales $esue!o ( 're$ica$oH. &eemos P como P !rans-ersal $5 clase $e !o$as las 84 6ue no sonelemen!o $e PH. ;u'onemos 6ue ; ( P son clases $e5ini$as es $ecir4 ; ( P no son clases cero4 o lo6ue es lo mismo clases -ac*as ( sin elemen!os. ;u'onemos a$ems 6ue ni ; ni P son una claseuni-ersal4 o una clase $e !o$os los obe!os en general.

(.&.K. NOM)RES, "N"LOG;"S 8 4E9'N'$'ONES

En!re las 'alabras4 $is!inguimos $os gru'os im'or!an!es $e nombres%a. &as 'alabras 6ue a!ribu(en o $eniegan algo a un obe!o. &as llamamos 're$ica!i-as. Escribimoslas 're$ica!i-as en cursi-a% ;ócra!es es un filósofo. Es!o es un "aya. Pe$ro lee. Es!o es ridículo. b. &as 'alabras 6ue re'resen!an o signi5ican un obe!o. &os nombres 'ro'ios4 'or eem'lo%

<ris!ó!eles4 <lbarrac*n4 Julio4 re'resen!an los obe!os. En lugar $e un nombre 'ro'io se em'lean amenu$o $esignaciones 'ara ello sir-en las 'alabras $emos!ra!i-as4 'or eem'lo% eso $e a* la unión$e 'alabras in$ica!i-as con las 're$ica!i-as 'or eem'lo% ese mon!e4 u o!ras e8'resiones% la ciu$a$ $e<re6ui'a4 el -ence$or $e &e'an!o. Nombres 'ro'ios ( $esignaciones re'resen!an o signi5ican Lo!!lob )rege4 1M/MG1F2H obe!os.Pero4 6ué re'resen!an o signi5ican las 're$ica!i-as? El 're$ica!i-o -en!ana no re'resen!ae-i$en!emen!e sólo es!a -en!ana $e a6u* los 're$ica!i-os son ms bien generales. Por eso losescols!icos los $enominaban uni-ersales.

&a uni-ersali$a$ 'ue$e en!en$erse en un $oble signi5ica$o%a. La e<tensi#n o am'li!u$H $e un 're$ica!i-o es la clase $e sus $esigna$os es $ecir4 la generali$a$

$e las cosas 6ue $esignaH. <s* !o$as la -acas cons!i!u(en la e8!ensión $el 're$ica!i-o -aca.

b. La intensi#n signi5icaciónH es lo 6ue e8'resa el 're$ica!i-o4 es $ecir4 lo 6ue a!ribu(e o $eniega alobe!o. &a in!ensión o signi5icación es4 'ues4 a6uello en 6ue coinci$en los $esigna$os $el 're$ica!i-o. < menu$o la in!ensión se $enomina !ambién conce'!o. Pero4 el uso ling7*s!ico no esun*-oco. Con 5recuencia conce'!o in$ica la 'alabra un!o con su signi5icación4 ( a menu$o sólo lasigni5icación $e la 'alabra.

&os 're$ica!i-os e8'resan in!ensiones signi5icaciones4 conce'!osH4 'ero no las $esignan ni nombran.,s bien $esignan obe!os $esigna$osH en unas signi5icaciones $e!ermina$as.

< las cone8iones en!re 'alabras4 signi5icaciones ( obe!os las llamamos relaciones semn!icas.<ris!ó!eles $is!ingu*a $os !i'os 5un$amen!ales $e relaciones semn!icas%

a. ni!ocidad% 'alabras $e la misma 5orma $esignan obe!os $i5eren!es con la misma signi5icación.En ,arco'olo4 Julio César son ombres la 'alabra ombres signi5ica lo mismo 'ara los !res$esigna$os. El !érmino ombres $esigna un*-ocamen!e a los !res $esigna$os.

b. Equi!ocidad% 'alabras $e la misma 5orma4 ca$a una4 $esignan obe!os $i5eren!es con $i5eren!essigni5icaciones. <s*4 Cal$erón signi5ica con la misma 5orma ( soni$o !res cosas !o!almen!e$is!in!as% el gran $rama!urgo ma$rileño4 un cacarro o ca!arra cal$era gran$eH4 o un signomusical. Cal$erón $esigna4 'ues4 e6u*-ocamen!e a !ales $esigna$os.

Den!ro $e la e6ui-oci$a$ <ris!ó!eles $is!ingue en!re e6ui-oci$a$ causal ( no causal. En la causal4 la 'alabra con la misma 5orma $esigna signi5icaciones !o!almen!e $is!in!as 'or 'uro a#ar4 'or eem'loen el caso $e Cal$erón. En la no causal4 las 'alabras no !ienen i$én!ica 5orma 'or a#ar sino en -ir!u$$e $e!ermina$as relaciones con las 6ue enla#an en!re s* los $esigna$os. Esa e6ui-oci$a$ no causal se

$enomina analog*a ( ello nos lle-a a $is!inguir $os !i'os $e analog*a%



&D La analoga de roorci#n $el la!*n proportio% relaciónH. Dos cosas $i5eren!es son $esigna$ascon la misma 'alabra ( signi5icación $i5eren!e 'or6ue son cosas 6ue es!n en!re s* en una$e!ermina$a relación% bien 'or6ue una $e'en$e $e la o!ra4 bien 'or6ue alu$e a la o!ra.

<ris!ó!eles 5ormuló el 5amoso eem'lo $e la 'alabra sano. Decimos 6ue la man#ana ( las roasmeillas $e Ra6uel es!n sanas. Pro'iamen!e sana 'ue$e $ecirse $e Ra6uel4 mien!ras 6ue la 5ru!a lo

es 'or6ue 'ro'orciona salu$ a las 'ersonas en es!e caso a Ra6uelH. &as meillas encen$i$as $eRa6uel son sanas 'or6ue mues!ran la salu$ $e la mucaca.

(D La analoga de roorcionalidad $el la!*n proportionalitas ` relación $e al menos $osrelaciones4 como en el eem'lo ma!em!ico $e 2÷/ ` "÷H. Designa $os cosas $is!in!as con lamisma 'alabra ( signi5icación $i5eren!e4 'or6ue es!n res'ec!o $e o!ras $os en 'ro'orcionesiguales o similares.

<s* 2 es la mi!a$ $e / ( " lo es $e . ;eg9n <ris!ó!eles las alas se com'or!an en los 'aros como lasale!as en los 'eces. Por ello a unas ( a o!ras se les 'ue$e llamar miembros. También los $i5eren!eses!ra!os ling7*s!icos !i'osH es!n mu!uamen!e en una analog*a $e 'ro'orcionali$a$. na 5ormaes'ecial $e es!a 9l!ima es el lenguae me!a5órico4 es $ecir4 el lenguae en sen!i$o !rasla!icio4 'or

eem'lo% los 'ra$os r*en4 'or6ue al 5lorecer su es'len$or recuer$a la sonrisa en el ros!ro umano.El lenguae analógico !iene im'or!ancia en la 5iloso5*a 'ues!o 6ue és!a se ocu'a siem're $e lascon$iciones no em'*ricas $e lo em'*rico4 siem're em'ie#a 'or 'lan!earse la cues!ión $e cómo $es$eel $a!o em'*rico e8'erienciaH es 'osible lle-ar al lenguae esa reali$a$ no em'*rica. Esa cues!iónalu$e a la es!ruc!ura $e la analog*a $e 'ro'orción. &as a'licaciones ms im'or!an!es $e la analog*aen el cam'o 5ilosó5ico son en las siguien!es% las ca!egor*as 'ues!o 6ue el lenguae un*-oco es!cerra$o en ellasH4 ( los !rascen$en!ales 6ue su'eran las ca!egor*as los nombres !rascen$en!ales en!e4uno4 -er$a$ero4 buenoH necesariamen!e son anlogos4 seg9n <ris!ó!eles4 en el sen!i$o $e la analog*a$e 'ro'orción4 'ues 'rimor$ialmen!e $esignan la sus!ancia ( secun$ariamen!e como en el eem'lo$e sanoH las ca!egor*as acci$en!ales4 6ue a su -e# es!n 'ro'orcionalmen!e en la sus!ancia.

&a $e5inición surge como una necesi$a$ 'or6ue el lenguae es un ins!rumen!o mu( com'lica$o ( las 'ersonas a'ren$emos a usarlo $e la misma manera en 6ue a'ren$emos a usar o!ras erramien!as4como un l'i#4 un libro4 un au!omó-il4 e!c. n mucaco 6ue 'ermanece muco !iem'o en el !aller $e su 'a$re4 a'ren$e el uso $e los ins!rumen!os com'lica$os con los cuales labora su 'rogeni!or.Igual ocurre con el lenguae en la in5ancia4 ( mucos $e noso!ros $uran!e !o$a nues!ra -i$a4a'ren$emos el uso a$ecua$o $el lenguae obser-an$o e imi!an$o la con$uc!a ling7*s!ica $e la gen!econ la 6ue nos encon!ramos ( $e los libros 6ue leemos.

&os mé!o$os usuales $e obser-ación e imi!ación (a no bas!an ( se ace necesario una ins!rucción5ormal4 es $ecir4 una e8'licación $elibera$a $el signi5ica$o $e los !érminos. E8'licar la signi5icación$e un !érmino es $ar una $e5inición $el mismo. Pero $ar $e5iniciones no es el mé!o$o 5un$amen!al 'ara e$ucar a la gen!e en el uso ( la com'rensión correc!os $el lenguae es4 ms bien4 un recursocom'lemen!ario 'ara llenar lagunas 6ue siem're 6ue$an.

El lenguae no solamen!e 'ue$e lle-ar a 5ormular ra#onamien!os 5alaces4 sino 6ue 'ue$e originar $iscusiones 6ue son 'uramen!e -erbales $e a* 6ue algunos $esacuer$os a'aren!es no corres'on$ena genuinas $i5erencias $e o'inión4 sino sim'lemen!e a usos $i5eren!es $e un !érmino.

O!ro as'ec!o 6ue nos im'ulsa a $e5inir un !érmino se $a cuan$o $eseamos acer uso $e él 'ero no!enemos cer!e#a $e los l*mi!es $e su a'licabili$a$4 aun6ue en cier!o sen!i$o cono#camos susigni5ica$o 'or lo 6ue se ace necesario aclarar el signi5ica$o 'reciso $el -ocablo 6ue emos $eem'lear.

&D +u7 es la deCinici#n

Des$e una 'ers'ec!i-a general4 la $e5inición e6ui-ale a la $elimi!ación4 es $ecir4 a la in$icación $elos 5ines o l*mi!es conce'!uales $e un en!e res'ec!o a los $ems. Por ello se a concebi$o con



5recuencia la $e5inición como una negación $elimi!amos un en!e con res'ec!o a o!ros4 'or6uenegamos los o!ros as!a 6ue$arnos men!almen!e con el en!e $e5ini$o.

El !érmino $e5inición 'ro-iene $el la!*n $e5ini!io. Es la oración 6ue e8'lica4 sucin!amen!e4 lana!urale#a $e una cosa o la signi5icación $e un !érmino4 seg9n a5irma <ris!ó!eles. &a $e5inicióncons!a $e $os 'ar!es% el género 'ró8imo ( la $i5erencia es'ec*5ica. El 'rimero mues!ra lo 6ue a( $e

com9n en!re la cosa ( las o!ras reali$a$es. el segun$o e8'lica lo 6ue no es com9n en!re la cosa (las $ems.

;e su'one 6ue al lle-ar a cabo $e un mo$o consecuen!e es!a $e5inición alcan#amos la na!urale#aesencial $e la cosa $e5ini$a. Por eso $e5inir no es lo mismo 6ue $iscernir. &a acción $e $iscernir su'one com'robación em'*rica $e la -er$a$ o 5alse$a$ $el obe!o consi$era$o4 la $e $e5inir su'one$elimi!ación in!elec!ual $e su esencia. Es!o no signi5ica4 na!uralmen!e4 6ue la $e5inición sea siem'reuna o'eración men!al in$e'en$ien!e $e la com'robación em'*rica. Es 5recuen!e 6ue sólo $es'ués $emucas com'robaciones em'*ricas acerca $e un obe!o $a$o 'o$amos 'roce$er a $e5inirlo.

;ócra!es ( Pla!ón 'ro'orcionaron una $e las in!er're!aciones ms in5lu(en!es% a6uella seg9n la cualla $e5inición uni-ersalH $e !o$o en!e es 'osible 'or me$io $e la $i-isión $e !o$os los en!es $el

uni-erso $e acuer$o con cier!as ar!iculaciones a la -e# lógicas ( on!ológicas.De5inir un en!e consis!e 5un$amen!almen!e en !omar la clase $e la cual es miembro ( en si!uar es!aclase en el lugar on!ológico corres'on$ien!e. Es!e lugar on!ológico resul!ó $e!ermina$o 'or $oselemen!os $e carc!er lógico% el género 'ró8imo ( la $i5erencia es'ec*5ica.

De a* la 5órmula !ra$icional% la $e5inición se reali#a 'or género 'ró8imo ( $i5erencia es'ec*5ica.De es!e mo$o se llega a 5ormular la célebre $e5inición% animal racional 6ue $e5ine a ombre. Ene5ec!o4 animal es el género 'ró8imo4 la clase ms 'ró8ima en la cual es! inclui$a la clase $eombre. racional es la $i5erencia es'ec*5ica 'or me$io $e la cual se'aramos conce'!ualmen!e laclase $e los ombres $e la clase $e !o$os los $ems animales.

Por o!ro la$o4 es necesario 6ue en !o$a $e5inición se ago!en las no!as $el en!e $e5ini$o 6ue seconsi$eran esenciales. De !al necesi$a$ an surgi$o las reglas 6ue se an $a$o con 5recuencia sobre!o$o a 'ar!ir $e los escols!icosH en -is!as a la $e5inición. Ae a6u* algunas%G &a $e5inición $ebe ser ms clara 6ue la cosa $e5ini$aG &o $e5ini$o !iene 6ue 6ue$ar e8clui$o $e la $e5iniciónG &a $e5inición no $ebe con!ener ni ms ni menos 6ue lo susce'!ible $e ser $e5ini$oG &a $e5inición $ebe ser con-er!ible sim'lemen!e con lo $e5ini$o4 es $ecir4 a $e con-enir a !o$o (sólo lo $e5ini$o.

<ris!ó!eles e8aminó la $e5inición como una $e las cua!ro 're$icables o $i-ersos mo$os como serelacionan el sue!o ( el 're$ica$o (a 6ue el 're$icable 'osee la carac!er*s!ica $e ser esencial. Por5irio recogien$o la ins'iración aris!o!élica4 'resen!ó cinco 're$icables% El género4 la es'ecie4 la$i5erencia4 la 'ro'ie$a$ o lo 'ro'io4 ( el acci$en!e.

&os escols!icos a'ro-ecaron algunas $e las 'rece$en!es in$icaciones ( 'usieron en claro 6uecuan$o se abla $e $e5inición és!a 'ue$e ser $e5inición $e una cosa o $e5inición $e un nombre.

)inalmen!e4 emos $e mani5es!ar 6ue la $e5inición es la e8'resión bre-e ( com'le!a $e lo 6uesigni5ica un -ocablo o $ebe en!en$erse 'or una cosa. &a $e5inición se encuen!ra $i-i$ien$o (sub$i-i$ien$o un género su'erior as!a llegar a la es'ecie $esea$a4 o bien in-es!igan$o en los obe!os6ue lle-an el nombre $el conce'!o busca$o a6uellas no!as 6ue con-ienen a !o$os ( solos los obe!osas* $esigna$os.

(D 1ios de deCinici#n

En!re los !i'os o clases $e $e5inición 'o$emos mencionar los siguien!es%



&D La deCinici#n nominal4 6ue !iene 'or obe!o aco!ar el e8ac!o signi5ica$o $e un -ocablo e8'lica lasigni5icación $e un !érmino. Por eem'lo4 geogra5*a -iene $el griego γεοs ` !ierra4 ( γραϕη `escri!ura. &a $e5inición nominal 'ue$e ser%

a. Etimol#gica% cuan$o $e5ine la 'roce$encia ling7*s!ica $e un !érmino. Por eem'lo4 emólisis4 'alabra 6ue -iene $el griego αιµα ` sangre ( λυσιs ` $es!rucción.

b. E<licati!a% aclara un !érmino menos conoci$o con o!ros !érminos ms conoci$os. Por eem'lo4 !o#u$o es u ombre $uro $e carc!er.

2H &a deCinici#n real4 es la $e5inición 6ue nos $a a conocer la na!urale#a $e las cosas4 o sea4 $ice lo6ue es el obe!o. Por eem'lo4 el agua es la combinación $e $os moléculas $e i$rógeno ( una $eo8*geno. Debe in$icar la esencia es'ec*5ica $e una cosa. &a $e5inición $ebe ser bre-e4 es $ecir4e-i!ar !o$os los !érminos su'er5luos com'le!a4 enuncian$o !o$as las carac!er*s!icas necesarias4 nosolo 'ara $is!inguir $e o!ras el !érmino o la cosa4 sino !ambién 'ara acer resal!ar la $i5erenciain!erna ( esencial ar!iculación $el signi5ica$o. &os con!eni$os signi5ica!i-os sim'les 'ue$en ser -incula$os con-encionalmen!e a un -ocablo o mos!ra$os en un obe!o4 'ero no cabe $ar $e ellosuna -er$a$era $e5inición.

"H &a deCinici#n esencial4 6ue se 5ormula in$ican$o el género 'ró8imo ( la $i5erencia es'ec*5ica4 'or eem'lo4 la $e5inición $e ombre es ser com'ues!o $e cuer'o ( alma racional.

/H &a deCinici#n descriti!a4 es la $e5inición 6ue e8'resa al obe!o no 'or su esencia4 sino 'or a6uellas 'ro'ie$a$es 6ue se $eri-an $e su esencia4 las cuales lo $is!inguen $e los $ems. Por eem'lo4 el ombre es un ser risible. Es 5recuen!emen!e u!ili#a$a4 'ues se elabora aña$ien$o auna $e!erminación genérica uni-ersal las no!as 'recisas 'ara 6ue el obe!o se $is!ingasu5icien!emen!e $e cual6uier o!ro $e $i-ersa es'ecie.

&a $e5inición $escri'!i-a 'ue$e ser e8!r*nseca4 o $e5inición 6ue mani5ies!a la esencia $el obe!o 'or sus 'rinci'ios e8!r*nsecos4 es $ecir4 su causa e5icien!e ( su causa 5inal. Por eem'lo4 el relo es unins!rumen!o elabora$o 'ara marcar las oras.

H &a deCinici#n gen7tica4 6ue $e!ermina ( e8'lica el obe!o in$ican$o el mo$o como se engen$ra.E8'lica el mo$o seg9n el cual el e5ec!o se 'ro$uce 'or la causa e5icien!e. Por eem'lo4 la l*nearec!a es una secuencia $e 'un!os.

H &a deCinici#n imlcita4 en la 6ue lo $e5ini$o se conoce acién$olo en!rar en un conun!o conoci$o!an!o en cuan!o !o$o como en sus 'ar!es e8ce'!uan$o el obe!o $e la $e5iniciónH4 con lo 6ue -ienea es!ablecerse una es'ecie $e ecuación con una incógni!a.

&as condiciones de la deCinici#n son%

1. &a $e5inición $ebe ser con!ertible4 es $ecir4 en!re lo $e5ini$o ( la $e5inición es necesaria una

e6ui-alencia.2. &o $e5ini$o $ebe entrar en la deCinici#n4 es $ecir4 no 'ue$e re'resen!ar circulari$a$. No se 'o$r*a$ecir4 'or eem'lo4 a$e!i-o es a6uello 6ue a$e!i-a.

". &a $e5inición $ebe ser ms clara 6ue lo $e5ini$o. Por eem'lo4 a$e!i-o es una 'alabra 6uecali5ica al sus!an!i-o.

/. &a $e5inición no debe abarcar ms4 o menos4 6ue lo $e5ini$o. ;i se am'l*a la $e5inición se 'o$r*acaer en el error $e in-en!ar. ;i se menoscaba el con!eni$o4 la $e5inición 6ue$ar*a ambigua eincom'le!a.

&a $e5inición $e a6uellos obe!os 6ue no son $a$os en una e8'eriencia in!erna o e8!erna ni 'ue$encons!ruirse sólo con el 'ensamien!o 'ar!ien$o $e con!eni$os signi5ica!i-os ms sencillos4 sino 6ue9nicamen!e cabe concebirlos como con$iciones e8!ernas o in!ernasH $e la 'osibili$a$ $e obe!os

em'*ricamen!e $a$os4 'resen!a es'eciales $i5icul!a$es. ;in embargo4 su signi5ica$o 'ue$e ser e8ac!amen!e aco!a$o con el $esarrollo $el sis!ema $e $icas con$iciones.



(.(. 'N9EREN$'"S 'NME4'"1"S

Para !i!ir una !ida creati!a debemos arender a erder el miedo aequi!ocarnos. 6oseh $. Pearce

Com'e!encia% Dis!ingue4 o'eracionali#a ( erar6ui#a las in5erencias inme$ia!a ( me$ia!a4

$is!inguien$o los !i'os $e silogismo4 mo$os ( 5iguras.

El !érmino in5erencia se usa en $i-ersos con!e8!os. Por ello no es sor'ren$en!e 6ue sean -arias las$e5iniciones $a$as 'or los 5ilóso5os. Consi$eran$o la in5erencia $e5ini$a como el conun!o $e !o$oslos 'rocesos $iscursi-os4 es necesario $is!inguir en!re $os !i'os $e !ales 'rocesos% los inme$ia!os (los me$ia!os.

El 'roceso $iscursi-o inme$ia!o $a origen a la llama$a in5erencia inme$ia!a4 'ues en ella se conclu(euna 'ro'osición $e o!ra sin in!er-ención $e una !ercera. El 'roceso $iscursi-o me$ia!o $a origen a lallama$a in5erencia me$ia!a4 en la 6ue se conclu(e una 'ro'osición $e o!ra 'or me$io $e o!ra u o!ras 'ro'osiciones.

&as in5erencias inme$ia!as ( me$ia!as reciben !ambién res'ec!i-amen!e los nombres $e 'rocesos$iscursi-os sim'les ( com'leos. En!re los 9l!imos se an inclui$o la $e$ucción4 la in$ucción ( elra#onamien!o 'or analog*a. Eem'lo $e in5erencia me$ia!a es%

To$o 'a*s sub$esarrolla$o es $e'en$ien!e Es as* 6ue oli-ia es 'a*s sub$esarrolla$o &uego oli-ia es 'a*s $e'en$ien!e4

'ues obser-amos 6ue 'ara 'asar $e la 'rimera 'remisa a la conclusión4 se necesi!a $e la me$iación$e la segun$a 'remisa 'or !an!o4 el eem'lo es una 'remisa me$ia!a. ;i $ecimos%To$o 'a*s sub$esarrolla$o es $e'en$ien!e luego no es el caso 6ue e8is!an 'a*ses sub$esarrolla$os6ue no sean $e'en$ien!es4

obser-amos 6ue no se a u!ili#a$o una 'remisa in!erme$ia4 'ues se 'asa inme$ia!amen!e $e una 'remisa a la conclusión.

(.(.&. 'N9EREN$'"S POR OPOS'$'ÓN

<ris!ó!eles4 en su libro Sobre la ,nterpretación- 4 e8amina a6uellas combinaciones $e !érminos 6uese llaman enuncia$os $eclara!i-os o 'ro'osiciones4 es $ecir4 las 5rases 6ue cons!i!u(en aser!os 'erono 'legarias4 ni ór$enes4 ni e8or!aciones4 e!c. El aser!o 'ue$e ser a5irma!i-o o nega!i-o seg9n 6uea!ribu(a algo a algo o 6ue se'are algo $e algo. <$ems4 'ue$e ser uni-ersal o singular uni-ersalcuan$o el sue!o es uni-ersal4 es $ecir4 lo 6ue 'or na!urale#a se 're$ica $e -arias cosas4 como4ombre es singular4 cuan$o el sue!o es un en!e sólo4 como Juan.

Pero un mismo !érmino uni-ersal 'ue$e em'learse en una 'ro'osición !an!o en su uni-ersali$a$4como cuan$o se $ice !o$o ombre es al!o4 como en su 'ar!iculari$a$4 como cuan$o se $ice alg9nombre es al!o. To$a 'ro'osición es ca!egórica cuan$o comien#a con alguna $e las 'alabras!o$os4 ning9n ( algunos.

<ris!ó!eles se 'reocu'ó 'or es!ablecer la relación en!re la 'ro'osición uni-ersal ( la 'ro'osición 'ar!icular4 ca$a una $e las cuales a su -e# 'ue$e ser a5irma!i-a o nega!i-a llamó con!raria a lao'osición en!re la 'ro'osición uni-ersal a5irma!i-a ( la nega!i-a ( con!ra$ic!oria a la o'osición en!rela uni-ersal a5irma!i-a ( la 'ar!icular nega!i-a4 ( la 'ar!icular a5irma!i-a ( la uni-ersal nega!i-a.

&a relación en!re la 'ar!icular ( la 'ar!icular nega!i-a4 la llamaron los lógicos me$ie-ales o'osición

subGcon!raria. ;e !ra!a $e una o'osición 'ara la cual4 seg9n <ris!ó!eles4 no -ale el 'rinci'io $econ!ra$icción. En e5ec!o4 $e las $os 'ro'osiciones alg9n ombre es al!o4 alg9n ombre no esal!o4 ambas 'ue$en ser cier!as.



En cambio4 'ara las 'ro'osiciones 6ue se allan en!re s* en o'osición con!raria ( con!ra$ic!oria4 el 'rinci'io $e con!ra$icción es rigurosamen!e -li$o. na $e las $os !iene 6ue ser 5alsa ( la o!ra cier!a.Es!a segun$a e8igencia4 es $ecir4 6ue una $e las $os !iene 6ue ser cier!a4 es la e8'resa$a 'or el 'rinci'io 6ue muco $es'ués se llamó $e !ercero e8clui$o ( 6ue <ris!ó!eles4 aun6ue sin $is!inguirlo$el 'rinci'io $e con!ra$icción4 e8'resó ( $e5en$ió re'e!i$amen!e4 a5irman$o 6ue en!re los o'ues!os

con!ra$ic!orios no a( me$io.

<ris!ó!eles ace no!ar una $i5icul!a$ 6ue 'ue$e surgir $el uso $e es!e 'rinci'io con res'ec!o a losacon!ecimien!os 5u!uros. ;i se $ice mañana abr una ba!alla na-al ( mañana no abr una ba!alla na-al4 $e es!as $os 'ro'osiciones una !iene 6ue ser necesariamen!e cier!a. Pero si una $eellas es necesariamen!e cier!a4 'or eem'lo4 la 6ue $ice mañana no abr una ba!alla na-al4 es!o6uiere $ecir 6ue necesariamen!e mañana no abr una ba!alla na-al 'recisamen!e 'or6ue esnecesariamen!e -er$a$ero 6ue mañana no abr una ba!alla na-al. En !al caso $el uso $el 'rinci'io$e !ercero e8clui$o4 re5eri$o a los acon!ecimien!os 5u!uros4 se $eri-ar*a la !esis $e la necesi$a$ $e!o$os los acon!ecimien!os4 incluso $e los $ebi$os a la elección $el ombre.

<ris!ó!eles no a5irma 6ue es!as consecuencias sean leg*!imas ( 6ue !o$os los acon!ecimien!os ocurran

'or necesi$a$. na $e las $os cosas e8'resa$as 'or una 'ro'osición con!ra$ic!oria se -eri5icarnecesariamen!e en el 5u!uro4 'ero es!a necesi$a$ no a5ec!a a a6uella $e las $os cosas 6ue se-eri5icar. En o!ros !érminos4 no es necesario4 a!enién$ose al 'rinci'io $el !ercero e8clui$o ni 6uemañana no a(a una ba!alla na-al4 sea cual sea la al!erna!i-a 6ue !enga lugar mañana. En o!ras 'alabras4 la necesi$a$ consis!e en la im'osibili$a$ $e salir $e las al!erna!i-as $e una con!ra$icción4no en el -eri5icarse $e una u o!ra $e $icas al!erna!i-as.

<ris!ó!eles no a$-ier!e a6u* 6ue4 si la al!erna!i-a es necesaria4 és!a no 'ue$e ser ms 6ue al!erna!i-a4es $ecir4 no 'ue$e $eci$irse ni en un sen!i$o ni en o!ro% $e mo$o 6ue ser*a necesaria 'recisamen!e suin$e!erminación ( mañana no 'o$r*a ni aber ni no aber una ba!alla na-al. De !o$as 5ormas4 lasolución $e <ris!ó!eles ( !o$a la $iscusión $el caso mues!ran claramen!e la 're5erencia 6ue conce$eél a una $e las $os mo$ali$a$es 5un$amen!ales $e las 'ro'osiciones4 6ue es 'recisamen!e a lanecesi$a$.

&a o!ra mo$ali$a$ $e 6ue abla ( 6ue !ambién se a man!eni$o !ra$icional en la lógica es la $e la 'osibili$a$. Es!a 'osibili$a$ la $e5ine <ris!ó!eles como noGim'osibili$a$4 o sea4 como sim'lenegación $e la necesi$a$ nega!i-a im'osibili$a$ signi5ica 'recisamen!e necesi$a$ $e 6ue no seaH. sólo a base $e es!a $e5inición $e lo 'osible 'ue$e $ecir él 6ue !ambién lo necesario es 'osible 'or6uelo 6ue es necesariamen!e4 no $ebe ser im'osible. Pero la re$ucción $e lo 'osible a no im'osible$emues!ra cómo se a 'er$i$o 'or com'le!o4 en la lógica $e <ris!ó!eles4 a6uel signi5ica$o $e la 'osibili$a$ 6ue Pla!ón ab*a e8'lica$o como 5un$amen!o $e la $ialéc!ica.

&ucio <'ule(o 12"G1M0H4 en su libro De 'iloso'ia ra!ionali4 se in!eresa 'or las relaciones en!relas cua!ro 'ro'osiciones clsicas4 6ue se $i-i$en seg9n su can!i$a$4 es $ecir4 seg9n la e8!ensión $elsue!oH en% uni-ersales4 'ar!iculares4 singulares e in$e5ini$as. na 'ro'osición es uni-ersal cuan$o el

're$ica$o es a!ribui$o o nega$o con res'ec!o a !o$os los en!es abarca$os 'or el sue!o% !o$os losombres o% ning9n ombreH son 5ilóso5os. Es singular cuan$o el 're$ica$o se a5irma o se niega $eun solo in$i-i$uo% &uis es 5ilóso5o. na 'ro'osición 'ar!icular es a6uella en la 6ue el 're$ica$o sea!ribu(e o se niega sólo $e algunos $e los en!es abarca$os 'or el sue!o% <lgunos ombres son5ilóso5os. Es in$e5ini$a cuan$o el 're$ica$o se a!ribu(e o se niega $e un sue!o4 'ero sin 'recisar acun!os in$i-i$uos ace re5erencia% el !ren corre.

<'ule(o4 al !ra!ar ( anali#ar !o$as es!as 'ro'osiciones4 a5irma 6ue es con-enien!e 'resen!arlas en6ua$ra!a 5ormula 5orma cua$rangulasrH4 ( las $is'one $e esa manera $e con5ormi$a$ con elsiguien!e cua$ro%

To$o 'lacer con!rarias To$o 'lacer es bueno no es bueno Con rias



!ra !o $ic

!ra !o Con rias <lg9n 'lacer subcon!raria <lg9n 'lacer es bueno no es bueno

En es!e cua$ra$o a'arecen las con!ra$ic!orias4 las con!rarias ( las subcon!rarias. ;in embargo 5al!anlas subal!ernas.<nicio ,anlio oecio /M0G2/H -uel-e a !ra!ar el cua$ra$o lógico $e <'ule(o4 'ero lo com'le!a conla subal!ernación4 in!ro$ucien$o el -ocabulario 6ue ms !ar$e ser $e uso com9n en !o$a la e$a$me$ia e incluso $es'ués. El abla $e 'ro'osiciones con!ra$ic!orias4 con!rarias4 subcon!rarias (subal!ernas. In!ro$uce asimismo !érminos como sue!o4 're$ica$o ( con!ingen!e4 6ue llegar*ana con-er!irse en clsicos.El cua$ra$o lógico com'le!a$o ( es!ruc!ura$o 'or oecio se 'resen!a $el mo$o siguien!e%

To$os los ombres Con!rarias To$os los ombres

son us!os no son us!os

nas Con rias nas!er !ra !o !eral $ic al;ub !ra !o ;ub Con rias

<lg9n ombre ;ubcon!raria <lg9n ombrees us!o no es us!o

Es en es!e con!e8!o 6ue 'o$emos ablar $e las 'osibles in5erencias 'or o'osición ( ca'!arlas siconsi$eramos los siguien!es%

Eem'los ,o$elos1H To$o 'a*s $e'en$ien!e es e8'lo!a$o <2H Ning9n 'a*s $e'en$ien!e es e8'lo!a$o E"H <lgunos 'a*ses $e'en$ien!es son e8'lo!a$os I/H <lgunos 'a*ses $e'en$ien!es no son e8'lo!a$os O

na ligera obser-ación $e ca$a uno $e los eem'los nos 'ermi!e $is!inguir 6ue las cua!ro 'ro'osiciones !ienen el mismo sue!o ( el mismo 're$ica$o ( lo 9nico 6ue cambia4 en los mo$elos 'resen!a$os4 es la can!i$a$ ( la cali$a$4 'ues4 unas 'ro'osiciones son a5irma!i-as ( o!ras nega!i-as4unas uni-ersales ( o!ras 'ar!iculares. Consecuen!emen!e4 signi5ica 6ue las 'ro'osiciones an!eriores$i5ieren en!re s* en !res 5ormas4 es $ecir4 'or ra#ón $e% aH la can!i$a$ ( cali$a$4 bH la sola cali$a$4 cH

la sola can!i$a$.

En !al sen!i$o4 son o'ues!as a6uellas 'ro'osiciones 6ue al !ener el mismo ; sue!oH ( el mismo P're$ica$oH4 se $i5erencian en!re s*4 sea 'or la Κ can!i$a$H ( C cali$a$H4 sea 'or la sola C o 'or lasola Κ.

Por !an!o4 al relacionar los mo$elos < G O obser-amos 6ue $i5ieren en!re s* en Κ ( C $el mismomo$o si relacionamos los mo$elos E G I4 cons!a!amos 6ue $i5ieren en Κ ( C en es!e caso la o'osiciónes con!ra$ic!oria4 'ues se o'onen con!ra$ic!oriamen!e.

;i relacionamos < G E4 'o$emos $is!inguir 6ue $i5ieren en ra#ón $e la sola C cali$a$H ( 6ue la Κ enambas es uni-ersal 'or ello a es!a clase $e 'ro'osiciones se las $enomina o'osiciones con!rarias o

sim'lemen!e o'ues!as con!rariamen!e.



Por o!ra 'ar!e4 si relacionamos I G O4 nos 'erca!amos 6ue se $i5erencian 'or ra#ón $e la C cali$a$Hal igual 6ue las con!rarias 'ero la $i5erencia en es!as 'ro'osiciones no es! en la e8!ensión4 'ues son 'ar!iculares $e a* 6ue se las llame 'ro'osiciones subcon!rarias.

;i relacionamos los mo$elos < G I4 $is!inguimos 6ue -ar*an 'or la sola Κ can!i$a$H 'or lo 6ue es!aclase $e o'osición es $e subal!ernación4 es $ecir4 subal!ernas. En es!e caso a las uni-ersales se las

llama subal!ernan!es ( a las 'ar!iculares subal!erna$as.

&os me$ie-ales en sus ;ummulae $e la lógicaH in$icaron me$ian!e le!ras las cua!ro 'ro'osicionesclsicas%< 'ara la a5irma!i-a uni-ersal E 'ara la nega!i-a uni-ersal I 'ara la a5irma!i-a 'ar!icular O 'ara la nega!i-a negoH 'ar!icular.Para nues!ro caso4 es!os son los -ersos 6ue acen re5erencia a las cua!ro 'ro'osiciones $e las 6uees!amos ablan$o%

< a$5irma!4 nega! E4 se$ uni-ersali!er ambae4

I a$5irma!4 nega! O4 se$ 'ar!iculari!er ambae.< es!as cua!ro 'ro'osiciones !ambién se las llama 'ro'osiciones ca!egóricas. En !érminos $e lalógica simbólica 'o$emos !ra$ucirlas $e la manera siguien!e%1 8H (ϕ8→ψ 8) 6ue se lee% 'ara !o$o 84 si 8 es ϕ4 en!onces 8 es ψ G <2 8H (ϕ8→¬ψ 8) 6ue se lee% 'ara !o$o 84 si 8 es ϕ4 en!onces 8 no es ψ G E" (∃8) (ϕ8 ∧ ψ 8) 6ue se lee% 'ara alg9n 84 8 es ϕ ( ψ G I/ (∃8) (ϕ8 ∧¬ ψ 8) 6ue se lee% 'ara alg9n 84 8 es ϕ ( no ψ G O

Por lo !an!o4 las cua!ro le!ras <4 E4 I4 O son los nombres 6ue los lógicos me$ie-ales a!ribu(eroncon-encionalmen!e a las 'ro'osiciones ca!egóricas4 cu(a 'roce$encia $e < e I es $e <$5Irmo E (O $e nEgO. En consecuencia4 colocan$o $e manera o'or!una las 5ormas normales $e las 'ro'osiciones ca!egóricas4 se ob!iene el clsico cua$ra$o $e la o'osición%

< E

nas Con rias nas!er !ra !o !eral $ic al;ub !ra !o ;ub Con rias

I O

$on$e < es cier!a ( E es 5alsa4 no 'ue$en ser amabas cier!as4 'ero 'ue$en ser 5alsas ambas <4 O (

E4 siem're son una cier!a ( la o!ra 5alsa4 ( no 'ue$en ser ambas cier!as ni ambas 5alsas I ( Oresul!an im'lica$as4 res'ec!i-amen!e4 'or < ( E.

1H < es contraria $e E4 'or6ue la uni-ersal a5irma!i-a ( la uni-ersal nega!i-a son con!rarias. To$oslos a5ricanos son negros ning9n a5ricano es negro. En es!o no a( con!ra$icción ambas son5alsas sin 6ue 'or es!o 'ue$a $ecirse 6ue se -eri5ica a un !iem'o el s* ( el no4 'ues 6ue bas!a 6uealgunos a5ricanos sean negros ( o!ros no4 'ara 6ue resul!en 5alsas las $os 'ro'osiciones.

Dos 'ro'osiciones son con!rarias si no 'ue$en ser ambas cier!as4 'ues una niega a la o!ra ( la-er$a$ no 'ue$e es!ar en la a5irmación ( en la negación $e lo mismo.;eg9n lo $ico4 6ue las con!rarias no 'ue$en ser las $os a la -e# -er$a$eras4 'ero s* 5alsas4 $e lassiguien!es i'ó!esis se conclu(e%

si < es -er$a$era4 en!onces E es 5alsa < es 5alsa4 E es in$e!ermina$a E es -er$a$era4 < es 5alsa



E es 5alsa4 < es in$e!ermina$a.

&a ra#ón 'or la cual las con!rarias no 'ue$en ser -er$a$eras es 6ue una niega a la o!ra ( la -er$a$no 'ue$e es!ar en la a5irmación ( en la negación. Pero 'o$r*an ser 5alsas4 'or6ue una no es sim'lenegación $e la o!ra o lo 6ue es lo mismo4 en!re !o$os ( ninguno caben !érminos me$ios4 !alescomo% algunos son4 algunos no son4 a $on$e 'ue$e emigrar la -er$a$ 6ue or$inariamen!e no gus!a $e

e8ageraciones. ,ucas a5irmaciones o negaciones 6ue son -er$a$eras 'or lo 6ue $icen son 5alsas 'or el mo$o uni-ersal como lo $icen.

2H I es subcontraria $e O4 'or6ue la 'ar!icular a5irma!i-a ( la 'ar!icular nega!i-a son subcon!rarias.<lg9n -i-ien!e es sensi!i-o alg9n -i-ien!e no es sensi!i-o. <mbas son cier!as4 'or6ue la 'lan!a es-i-ien!e ( carece $e sensibili$a$4 ( el animal es -i-ien!e ( sensi!i-o. Pero e-i$en!emen!e no 'ue$en ser ambas 5alsas.

Por consiguien!e4 se $e$uce las conclusiones correc!as a 'ar!ir $e las siguien!es i'ó!esis% si I es -er$a$era4 en!onces O es in$e!ermina$a I es 5alsa4 O es -er$a$era O es -er$a$era4 I es in$e!ermina$a O es 5alsa4 I es -er$a$era

&a ra#ón 'or la 6ue ambas no 'ue$en ser 5alsas es 6ue la una niega sim'lemen!e a la o!ra. Pero4 alser 'ar!iculares4 ambas 'ue$en ser -er$a$eras (a 6ue 'ue$en re5erirse a $is!in!os elemen!os $e unconun!o $e -i-ien!es.

"H < es contradictoria $e O4 'or6ue la uni-ersal a5irma!i-a ( la 'ar!icular nega!i-a soncon!ra$ic!orias. To$o ombre es negro alg9n ombre no es negro. En la 'rimera se a5irma 6ue!o$o ombre es negro4 ( 'or !an!o $e alg9n ombre en la segun$a se niega $e alg9n ombreluego se con!ra$icen. Pues4 irre$uc!ible es la e8clusión en la o'osicón con!ra$ic!oria e8is!en!een!re el ser ( el no ser (4 como consecuencia4 !ambién en!re cual6uier con!eni$o 'ar!ici'an!e $ealguna manera en el serH ( su negación.

/H E es contradictoria $e I4 'or6ue la uni-ersal nega!i-a ( la 'ar!icular a5irma!i-a soncon!ra$ic!orias. Ning9n 'lane!a es come!a alg9n 'lane!a es come!a. En la 'rimera se niega $e!o$o 'lane!a el ser come!a ( en la segun$a se a5irma $e alg9n 'lane!a el ser come!a. Es!o escon!ra$ic!orio.

Resul!a 'ues 6ue las 'ro'osiciones con!ra$ic!orias son a6uellas en 6ue la una a5irma lo 6ue la o!raniega. Es!a es la o'osición rigurosa las $ems o'osiciones solo merecen es!e nombre en sen!i$o la!oalgunas a( 6ue ni a'ariencia !ienen $e o'osición.Dos 'ro'osiciones son con!ra$ic!orias si una $e ellas es la negación $e la o!ra4 es $ecir4 si no 'ue$enser ambas cier!as ( no 'ue$en ser ambas 5alsas. Es in$u$able 6ue $os 'ro'osiciones ca!egóricas 6ue!ienen el mismo sue!o ( el mismo 're$ica$o4 'ero 6ue $i5ieren !an!o en can!i$a$ como en cali$a$4son con!ra$ic!orias. Por eem'lo en las 'ro'osiciones%

<% To$os los ueces son aboga$os4 (

O% <lgunos ueces no son aboga$os4

6ue se o'onen !an!o en can!i$a$ como en cali$a$4 son obe!i-amen!e con!ra$ic!orias. Por !an!o4es6uem!icamen!e 'o$emos $ecir 6ue las 'ro'osiciones < ( O son con!ra$ic!orias4 $e la mismamanera 6ue !ambién los son E e I.

H I es subalterna $e <4 'or6ue la 'ar!icular a5irma!i-a es subal!erna $e la uni-ersal a5irma!i-a.To$os los sabios an si$o es!u$iosos alg9n sabio a si$o es!u$ioso. &eos $e aber o'osiciónen!re es!as 'ro'osiciones4 a( enlace4 'ues la segun$a se in5iere $e la 'rimera. O es subal!erna $eE4 'or6ue la 'ar!icular nega!i-a es subal!erna $e la uni-ersal nega!i-a. Ning9n -icioso esa'recia$o alg9n -icioso no es a'recia$o.

&a o'osición en!re una 'ro'osición uni-ersal ( su 'ar!icular corres'on$ien!e es $ecir4 la 'ro'osición 'ar!icular 6ue !iene los mismos !érminos sue!o ( 're$ica$o4 ( la misma cali$a$ 6ue la



'ro'osición uni-ersalH recibió el nombre $e subal!ernación. En!onces la 'ro'osición uni-ersal esllama$a la subal!ernan!e ( la 'ar!icular subal!erna.Obser-an$o el cua$ro an!erior 'ercibimos 6ue si < es -er$a$era I !iene 6ue ser -er$a$era4 'or6ue lo6ue se 're$ica $e !o$os los elemen!os $e un conun!o uni-ersalmen!e4 se 'ue$e 're$icar $e o$is!ribuir en ca$a uno $e los elemen!os 6ue lo in!egran. Igualmen!e -emos 6ue si la subal!erna$a Oes 5alsa4 la subal!ernan!e E !iene 6ue ser 5or#osamen!e 5alsa4 'or6ue $a$o 6ue es un caso con!eni$o

en la uni-ersal4 es claro 6ue la 5alsi5ica. Pero $ebe no!arse 6ue 'ue$e $arse el caso 6ue la uni-ersalsea 5alsa ( la 'ar!icular -er$a$era4 como en el eem'lo% Ning9n are6ui'eño es la$rón4 es 5alsa alg9n are6ui'eño no es la$rón4 es -er$a$era

En !al caso4 la uni-ersal es 5alsa no 'or lo 6ue $ice4 sino 'or el mo$o uni-ersal como lo $ice.Igualmen!e 'ue$e $arse el caso 6ue la 'ar!icular sea -er$a$era ( la uni-ersal 5alsa4 como 'ue$eobser-arse en el eem'lo4 'or6ue al $arle e8!ensión uni-ersal 'o$emos 5alsi5icar el con!eni$o $e una 'ro'osición.

< 'ar!ir $e lo e8'ues!o sobre la subal!ernación4 'o$emos sacar las conclusiones correc!as% si < es -er$a$era4 en!onces I es -er$a$era

< es 5alsa4 I es in$e!ermina$a I es -er$a$era4 < es in$e!ermina$a I es 5alsa4 < es 5alsa E es -er$a$era4 O es -er$a$era E es 5alsa4 O es in$e!ermina$a O es -er$a$era4 E es in$e!ermina$a O es 5alsa4 E es 5alsa

<ora bien4 es 'reciso a$-er!ir 6ue el cua$ra$o re5eri$o no 5ue concebi$o como un uego elegan!e4sino 6ue se consi$eró 6ue las relaciones lógicas ilus!ra$as me$ian!e el 'resen!e $iagrama 'ro'orcionaban una base lógica 6ue garan!i#aba la -ali$e# $e cier!as 5ormas elemen!ales $era#onamien!o. Es!as eran las 6ue concern*an a las in5erencias inme$ia!as4 es!o es4 a6uellasin5erencias en las 6ue la conclusión surge inme$ia!amen!e $e la 'remisa4 sin me$iación $e unasegun$a 'remisa. <s*4 un silogismo es una in5erencia me$ia!a4 mien!ras 6ue la in5erencia% !o$os losombres son us!os (4 'or eso4 alg9n ombre es us!o es inme$ia!a. El cua$ra$o !ra$icional noso5rece la base lógica 'ara un n9mero consi$erable $e in5erencias inme$ia!as $e es!e !i'o4 6ue 'ue$enenumerarse as*%

1H ;i < es cier!a% E es 5alsa4 I es cier!a4 O es 5alsa2H ;i E es cier!a% < es 5alsa4 I es 5alsa4 O es cier!a"H ;i I es cier!a% E es 5alsa4 < ( O son in$e!ermina$as/H ;i O es cier!a% < es 5alsa4 E e I son in$e!ermina$asH ;i < es 5alsa% O es cier!a4 E e I son in$e!ermina$asH ;i E es 5alsa% I es cier!a4 < ( O son in$e!ermina$as:H ;i I es 5alsa% < es 5alsa4 E es cier!a4 O es cier!a

MH ;i O es 5alsa% < es cier!a4 E es 5alsa4 I es cier!a.

&as 'osibles in5erencias correc!as4 6ue 'ermi!en las le(es $e la o'osición4 las 'o$emos resumir en lasiguien!e lis!a $e 5órmulas%

< ̀1⇒ O ` 0 < ̀ 1⇒ E ` 0 < ̀0⇒ O ` 1 E ` 1⇒ < ̀ 0 O ` 1⇒ < ̀ 0 I ` 0⇒ O ` 1 O ` 0⇒ < ̀ 1 O ` 0⇒ I ` 1 E ` 1⇒ I ` 0 < ̀ 1⇒ I ` 1 E ` 0 ⇒ I ` 1 I ` 0⇒ < ` 0 I ` 1⇒ E ` 0 E ` 1 ⇒ O ` 1

I ` 0⇒ E ` 1 O` 0 ⇒ E ` 0 (.(.(. E+':"LEN$'"S



De las in5erencias ano!a$as4 'asamos aora a las in5erencias 'or e6ui-alencia. Para una meor com'rensión con-iene obser-ar los siguien!es 'ares $e 'ro'osiciones.

1H To$o es ma!erial no es el caso 6ue algo no sea ma!erial.

2H Na$a es ma!erial no es el caso 6ue algo sea ma!erial."H <lgo es ma!erial no es el caso 6ue na$a sea ma!erial./H <lgo no es ma!erial no es el caso 6ue !o$o sea ma!erial.

;i las obser-amos con una cier!a me!iculosi$a$ ca$a uno $e los 'ares mos!ra$os4 'o$remos $ecir 6ue s* son e6ui-alen!es. en!onces4 u!ili#an$o los recursos $e la lógica cuan!i5icacional4 a la cualnos emos re5eri$o an!eriormen!e4 es!amos en 'osibili$a$ $e simboli#ar las 'ro'osiciones an!eriores$e la siguien!e 5orma% 1H 8H )8 ⇔ GE8H G)8

2H 8H G)8 ⇔ GE8H )8 "H E8H )8 ⇔ G8H G)8 /H E8H G)8 ⇔ G8H )8

Igualmen!e4 ( $e manera analógica4 'o$emos e8aminar los siguien!es 'ares $e 'ro'osiciones%

1H To$os los mam*5eros son -er!ebra$os no es el caso 6ue algunos mam*5eros no sean -er!ebra$os.2H Ning9n mam*5ero es -er!ebra$o no es el caso 6ue algunos mam*5eros sean -er!ebra$os."H <lgunos mam*5eros son -er!ebra$os no es el caso 6ue ning9n mam*5ero sea -er!ebra$o./H <lgunos mam*5eros no son -er!ebra$os no es el caso 6ue !o$os los mam*5eros sean -er!ebra$os.

<l obser-ar minuciossamen!e ca$a uno $e los an!eriores 'ares 'ro'osicionales4 encon!ramos 6ue sone6ui-alen!es. $e con5ormi$a$ a lo ac!ua$o con los 'rimeros 'ares4 !enemos las 5órmulas siguien!es6ue e8'resan las e6ui-alencias%

1H 8H )8H⇒ L8H ⇔ GE8H )8 ∧ GL8H2H 8H )8 ⇒ GL8H⇔ GE8H )8 ∧ L8H"H E8H )8 ∧ L8H ⇔ G8H )8⇒ GL8H/H E8H )8 ∧ GL8H ⇔ G8H )8⇒ L8H

&a e6ui-alencia ma!erial es una 5unción $e -er$a$ ( 'ue$e $e5inirse me$ian!e la siguien!e !abla $e

cer!e#a%

P 6 ' ≡ 6 C C C ) C ) C ) ) ) ) C

;i $os enuncia$os son ma!erialmen!e e6ui-alen!es4 se im'lican ma!erialmen!e uno al o!ro4 lo 6ue se-eri5ica me$ian!e la Tabla $e cer!e#a. El s*mbolo ≡ 'ue$e leerse es ma!erialmen!e e6ui-alen!e ao !ambién si ( solo si. Dos enuncia$os son lógicamen!e e6ui-alen!es cuan$o el enuncia$o $e sue6ui-alencia es una !au!olog*a. <s* se $emues!ra 6ue el 'rinci'io $e la $oble negación4 e8'resa$o

como ' ≡ ¬ ¬ '4 es !au!ológico4 me$ian!e la siguien!e !abla $e -er$a$% ' ¬ ' ¬ ¬ ' ' ≡ ¬ ¬ '



C C C C ) C ) C

(.(.2. 'N9EREN$'" POR $ON:ERS'ÓN 8 O):ERS'ÓN

En!re las in5erencias inme$ia!as !enemos la con-ersión4 la ob-ersión ( la con!ra'osición.

<. &a con-ersión4 'ara la lógica clsica es un mo$o $e in-ersión $e 'ro'osiciones4 $e !al manera 6uesin al!erar la -er$a$ $e una 'ro'osición $a$a4 ; es P4 'ue$a colocarse ; en lugar $e P o P en el lugar $e ;. ;e an a$mi!i$o al res'ec!o !res mo$os 'rinci'ales $e con-ersión% ;im'le4 'or acci$en!e ( 'or con!ra'osición4 $e la cual abor$amos al 5inal $e es!e i!em.

1H &a con!ersi#n simle en la cual sue!o ( 're$ica$o conser-an la can!i$a$ o la e8!ensión. Es!o!almen!e -li$o en el caso $e 'ro'osiciones E e I. <s*4 la 'ro'osición ning9n ombre es ngela5irma lo mismo 6ue ning9n ngel es ombre. &a O no !iene 'ro'osición con-ersa.

;e $ice 6ue una 'ro'osición ca!egórica es la con-ersa $e o!ra cuan$o se la 5orma a 'ar!ir $e és!ain!ercambian$o sim'lemen!e los !érminos sue!o ( 're$ica$o. En!onces4 la 'ro'osición ning9n

i$ealis!a es 'ol*!ico es la con-ersa $e ning9n 'ol*!ico es i$ealis!a ( cual6uiera $e ellas 'ue$ein5erirse -li$amen!e $e la o!ra 'or con-ersión. Con !o$o4 la con-ersa $e una 'ro'osición < no 'ue$e$e$ucirse -li$amen!e $e ella% !o$os los 'erros son animales4 su con-ersa !o$os los animales son 'erros no se $e$uce en absolu!o $e la 'rimera la 'rimera es -er$a$era4 la con-ersa es 5alsa.

2H &a con-ersión 'or acci$en!e o 'or limi!ación4 en la cual se conser-a solamen!e la e8!ensión4consis!e en in!ercambiar el sue!o ( el 're$ica$o4 ( cambiar4 a$ems4 la can!i$a$ $e la 'ro'osición$e uni-ersal en 'ar!icular. &a < es con-ersa per accidens% a$ems $e cambiar la 'osición $e los!érminos4 es 'reciso cambiar !ambién la can!i$a$ $e la 'ro'osición4 $e uni-ersal a 'ar!icular. Por eem'lo% la con-ersa $e !o$os los 'erros son animales es algunos animales son 'erros. ;e 'ro$uce la ob-ersión cuan$o el !érminoGsue!o 'ermanece incambia$o4 ( !ambién 'ermaneceincambia$a la cuali$a$4 subs!i!u(en$o el !érminoG're$ica$o 'or su com'lemen!o me$ian!e lacon-ersión 'or la imi!ación.

&a clase com'lemen!o es la colección $e !o$as las cosas 6ue no 'er!enecen a la clase originaria. <s*4si la clase ombre es la clase $e !o$os los en!es 6ue son al mismo !iem'o animales ( racionales4 laclase com'lemen!o ser noGombre4 6ue con!iene !o$os a6uellos en!es caballos4 libros4 carre!eras4e!c4H 6ue no 'oseen la 'ro'ie$a$ $e ser animales racionales. &a ob-ersión se a'lica a los cua!ro !i'os$e 'ro'osiciones ca!egóricas. Es!amos an!e una con!ra'osición cuan$o en una 'ro'osiciónca!egórica se subs!i!u(e el !érminoGsue!o 'or el com'lemen!o $e su !érmino 're$ica$o (4 al mismo!iem'o4 su !érminoG're$ica$o se sus!i!u(e 'or el com'lemen!o $e su !érminoGsue!o. &acon!ra'osición se a'lica a < ( a O I no !iene 'ro'osición con!ra'ues!a4 ( E sólo la !iene 'er acci$ens.

&os lógicos an es!ableci$o -arias reglas 'ara la con-ersión4 basa$as en la conser-ación $e un

!érmino4 en !an!o 6ue sue!o4 $e la misma e8!ensión 6ue !al !érmino !en*a como 're$ica$o. Cuan$o nose cum'le es!a con$ición los surgen so5ismas. <s*4 'or eem'lo4 es a$misible la con-ersión $ening9n animal es racional a ning9n ser racional es animal4 'ero no lo es4 la con-ersión $e !o$oslos ombres bon$a$osos ablan con 5ran6ue#a a !o$os los 6ue ablan con 5ran6ue#a son bon$a$osos.

Debemos ano!ar 6ue no a( ninguna 5orma $e con-ersión -li$a 'ara una 'ro'osición O. ;i no5uera as*4 la 'ro'osición O4 -er$a$era4 algunos animales no son 'erros !en$r*a como con-ersa la 'ro'osición 5alsa algunos 'erros no son animales.

&a in5erencia 'or con-ersión 'ue$e susci!arse as*%

$on!ertiente $on!ersa <% To$o ; es P I% <lgunos ; son P 'or limi!aciónH E% Ning9n ; es P E% Ning9n P es ;



I% <lgunos ; son P I% <lgunos P son ; O% <lgunos ; no son P No a( con-ersaH

. En la in5erencia 'or ob-ersión4 el !érmino sue!o no cambia4 como !am'oco cambia la can!i$a$ $ela 'ro'osición 6ue se ob-ier!e 'ues al ob-er!ir una 'ro'osición4 cambiamos la cali$a$ $e la misma (reem'la#amos el !érmino 're$ica$o 'or su com'lemen!o.

Dico com'lemen!o lo encon!ramos consi$eran$o 6ue !o$a clase !iene asocia$a una clasecom'lemen!aria4 o com'lemen!o4 6ue es la colección $e !o$as las cosas 6ue no 'er!enecen a la claseoriginal. En !al sen!i$o4 el com'lemen!o $e la clase $e !o$os los ombres es la clase $e !o$as lascosas 6ue no son ombres. &a carac!er*s!ica $e5ini!oria $e la clase com'lemen!aria es la 'ro'ie$a$nega!i-aH $e no ser un ombre. El com'lemen!o $e la clase $e !o$os los ombres no con!ieneombres4 sino !o$a o!ra clase% #a'a!os4 barcos4 #anaorias4 e!c.

En !al sen!i$o4 la 'ro'osición <%To$os los mé$icos son -o!an!es4!iene como ob-ersa la 'ro'osición E% Ning9n mé$ico es noG-o!an!e.

Ob-iamen!e4 !ales 'ro'osiciones son lógicamen!e e6ui-alen!es4 $e !al manera 6ue cual6uiera $e ellas 'ue$e in5erirse -li$amen!e $e la o!ra. &a ob-ersión es una in5erencia -li$a inme$ia!a al a'licarse acual6uier 'ro'osición ca!egórica as*4 la 'ro'osición E%

ning9n maes!ro es 'arcial!iene como ob-ersa la 'ro'osición < lógicamen!e e6ui-alen!e%!o$os los maes!ros son noG'arciales.

&a ob-ersa $e la 'ro'osición I%algunos me!ales son con$uc!ores.es la 'ro'osición O%algunos me!ales no son noGcon$uc!ores.

&a 'ro'osición O%algunos 'a*ses no 5ueron beligeran!es!iene como ob-ersa la 'ro'osición I%algunos 'a*ses 5ueron noGbeligeran!es.

En el cua$ro siguien!e mos!ramos el marco com'le!o $e !o$as las ob-ersiones -li$as%

Ob-er!ien!e Ob-ersa<% To$o ; es PE% Ning9n ; es PI% <lgunos ; son P

O% <lgunos ; no son P

E% Ning9n ; es noGP<% To$o ; es noGPO% <lgunos ; no son noGP

I% <lgunos ; son noGP

C. &a con-ersión 'or con!ra'osición4 en la cual sue!o ( 're$ica$o se con-ier!en 'or me$io $e laan!e'osición $e la nega!i-a a ca$a uno $e los !érminos in-er!i$os. ;i bien 'ue$e re$ucirse a las $os 'rimeras4 'ara 5ormar la con!ra'osición $e una 'ro'osición $a$a4 se reem'la#a el sue!o 'or elcom'lemen!o $el 're$ica$o ( se reem'la#a el 're$ica$o 'or el com'lemen!o $el sue!o. De es!a5orma !enemos 6ue la con!ra'osi!i-a $e la 'ro'osición <%

To$os los miembros son -o!an!es4

es la 'ro'osición <%

To$os los noG-o!an!es son noGmiembros.



&as $os 'ro'osiciones son lógicamen!e e6ui-alen!es4 $e lo cual resul!a claramen!e 6ue lacon!ra'osición es una 5orma -li$a $e in5erencia inme$ia!a cuan$o se la a'lica a 'ro'osiciones $el!i'o <. Con !o$o4 la con!ra'osición no in!ro$uce na$a nue-o4 (a 6ue $e una 'ro'osición < se 'ue$eob!ener su con!ra'osi!i-a a'licn$ole la ob-ersión4 luego la con-ersión (4 5inalmen!e4 $e nue-o laob-ersión.

De es!a manera4 si iniciamos con !o$o ; es P4 al ob-er!irla se ob!iene ning9n ; es noGP4 6ueme$ian!e la con-ersión $a ning9n noGP es ; ( cu(a ob-ersa es4 5inalmen!e4 !o$o noGP es noG;.En!onces4 la con!ra'osi!i-a $e una 'ro'osición < es la ob-ersa $e la con-ersa $e la ob-ersa $e es!a 'ro'osición. ;ucin!amos en el siguien!e cua$ro la con!ra'osición%

Premisa Con!ra'osi!i-a<% To$o ; es PE% Ning9n ; es PI% <lg9n ; es PO% <lg9n ; no es P

<% To$o noGP es noG;O% <lg9n noGP no es noG;'or limi!aciónH

No es -li$aO% <lg9n noGP no es noG;

Es!os !i'os $e in5erencias inme$ia!as 'ue$e resumirse as*%

Con-ersiónCon-er!en$a Con-ersa

<% To$o ; es P I% <lg9n P es ; 'er acci$ensHE% Ning9n ; es P E% Ning9n P es ;I% <lg9n ; es P I% <lg9n P es ;O% <lg9n ; no es P No !iene con-ersa

Ob-ersiónOb-er!encia Ob-ersa

<% To$o ; es P E% Ning9n ; es noGPE% Ning9n ; es P <% To$o ; es noGPI% <lg9n ; es P O% <lg9n ; no es noGPO% <lg9n ; no es P I% <lg9n ; es noGP

Con!ra'osiciónPremisa Con!ra'ues!a

<% To$o ; es P <% To$o noGP es noG;E% Ning9n ; es P O% <lg9n noGP no es noG; 'or limi!aciónH

I% <lg9n ; es P No e8is!e con!ra'ues!aO% <lg9n ; no es P O% <lg9n noGP no es noG;

)inalmen!e4 con-iene recor$ar 6ue% El 'rinci'io $e i$en!i$a$ a5irma 6ue !o$o enuncia$o $e la 5orma ' ⊃ ' es -er$a$ero4 o 6ue !o$o enuncia$o semean!e es una !au!olog*a. El 'rinci'io $e con!ra$iccióna5irma 6ue !o$o enuncia$o $e la 5orma ' ∧ ¬ ' es 5also4 es $ecir4 6ue !o$o enuncia$o similar es5also. El 'rinci'io $el !ercero e8clui$o a5irma 6ue !o$o enuncia$o $e la 5orma ' - ¬ ' es -er$a$ero4es $ecir4 6ue !al enuncia$o es una !au!olog*a.



(.2. 'N9EREN$'"S ME4'"1"S

En el con!e8!o $e las in5erencias me$ia!as4 la 5igura ms im'or!an!e es sin $u$a el silogismo 'ues lasilog*s!ica es la 'ar!e ms acaba$a ( 'er5ec!a $e la lógica clsica.

(.2.&. L"S PROPOS'$'ONES $"1EGÓR'$"S

Debemos recor$ar 6ue a( cua!ro 5ormas !*'icas $e 'ro'osiciones ca!egóricas4 6ue 'o$emos 'resen!arlas as*%

1H To$os los ombres son al!os% <2H Ning9n ombre es al!os% E

"H <lgunos ombres son al!os% I/H <lgunos ombres no son al!os% O

&a 'rimera <H es uni-ersal a5irma!i-a a( una aserción 'lena 'ues el !érmino sue!o ombres$esigna a !o$os los ombres ( el !érmino 're$ica$o negros inclu(e a !o$os los negros. <$ems4 es

a'ro'ia$o 'or6ue la 'ro'osición a5irma 6ue a( una relación $e inclusión en!re las $os clases ( 6uela inclusión es com'le!a o uni-ersal4 es!o es4 6ue !o$os los miembros ombres son al!os.

&a segun$a EH es una 'ro'osición uni!ersal negati!a. Aace una aserción acerca $e $os clases en elsen!i$o $e 6ue la 'rimera clase es! e8clui$a !o!almen!e $e la segun$a. Es a$ecua$a la $enominación$e uni-ersal nega!i-a 'or6ue la 'ro'osición niega 6ue a(a una relación $e inclusión en!re las $osclases4 (4 lo niega uni-ersalmen!e4 (a 6ue ning9n ombre es al!o.

&a !ercera IH es una 'ro'osición articular aCirmati!a4 'ues sólo a5irma $e algunos en 'ar!icular.&a 'ro'osición no a5irma ni niega 6ue !o$os los ombres sean negros. &a 'alabra algunos es un 'oco in$e5ini$a ( se la in!er're!a como a5irman$o 6ue al menos un miembro $e la clase $esigna$a 'or el !érmino sue!o ombreH es !ambién miembros $e la clase $esigna$a 'or el !érmino 're$ica$oal!osH. El a'ro'ia$o el nombre $e 'ar!icular a5irma!i-a 'or6ue la 'ro'osición a5irma la e8is!encia$e una relación en!re las clases4 'ero no lo a5irma $e la 'rimera clase uni-ersalmen!e4 sino sólo 'ar!icularmen!e $e alg9n miembro.

&a cuar!a OH es una 'ro'osición articular negati!a4 'ues no se re5iere a los ombresuni-ersalmen!e4 sino solamen!e a alg9n miembro o algunos miembros en 'ar!icular $e es!a clase. Es 'ar!icular nega!i-a 'or6ue a5irma 6ue al menos un miembro $e la clase $esigna$a 'or el !érminosue!o ombreH es! e8clui$o $e la clase $esigna$a 'or el !érmino 're$ica$o al!oH.

&a cali$a$ $e una 'ro'osición es a5irma!i-a o nega!i-a con5orme a la inclusión $e clases seaa5irma$a o nega$a 'or la 'ro'osición. En es!e con!e8!o4 la uni-ersal a5irma!i-a ( la 'ar!icular a5irma!i-a son una ( o!ra a5irma!i-a en cali$a$ no suce$e as* con la uni-ersal nega!i-a ( la 'ar!icular nega!i-a 6ue son ambas nega!i-as.

&a can!i$a$ $e una 'ro'osición es uni-ersal o 'ar!icular $e acuer$o a la re5erencia 6ue la 'ro'osición aga a !o$os o solamen!e a algunos $e los miembros $e la clase $esigna$a 'or el !érminosue!o. En !al sen!i$o4 las 'ro'osiciones < ( E son uni-ersales en can!i$a$4 ( las 'ro'osiciones I ( Oson 'ar!iculares.

En!re los !érmino sue!o ( 're$ica$o $e !o$a 'ro'osición ca!egórica a'arece alg9n !iem'o $el -erboser acom'aña$o 'or la 'alabra no en el caso $e la 'ro'osición OH. Dico -erbo 6ue conec!a el!érmino sue!o con el !érmino 're$ica$o se llama có'ula.

El esqueleto o es6uema general $e una 'ro'osición ca!egórica cons!a $e cua!ro 'ar!es% 1H elcuan!i5ica$or4 2H el !érmino sue!o4 "H la có'ula ( /H el !érmino 're$ica$o.

Para carac!eri#ar las $i-ersas maneras en 6ue los !érminos 'ue$en a'arecer en las 'ro'osicionesca!egóricas se usa el !érmino !écnico $is!ribución. <s*4 una 'ro'osición $is!ribu(e un !érmino si se



re5iere a !o$os los miembros $e la clase $esigna$a 'or ese !érmino en!onces4 las 'ro'osicionesuni-ersales4 !an!o a5irma!i-as como nega!i-as4 $is!ribu(en sus !érminos sue!os4 mien!ras 6ue las 'ro'osiciones 'ar!iculares4 a5irma!i-as o nega!i-as4 no $is!ribu(en sus !érminos sue!os.

&a can!i$a$ $e cual6uier 'ro'osición ca!egórica $e!ermina si su !érmino sue!o es! $is!ribui$o o nolo es!. &as 'ro'osiciones a5irma!i-as4 sean uni-ersales o 'ar!iculares4 no $is!ribu(en sus !érminos

're$ica$os4 mien!ras 6ue las 'ro'osiciones nega!i-as4 uni-ersales o 'ar!iculares4 $is!ribu(en sus!érminos 're$ica$os.

&a cali$a$ $e cual6uier 'ro'osición ca!egórica $e!ermina si su !érmino 're$ica$o es! o no$is!ribui$o.

En la 'ro'osición <4 el !érmino sue!o es! $is!ribui$o4 mien!ras 6ue su !érmino 're$ica$o no es!$is!ribui$o.En la 'ro'osición E4 se $is!ribu(e !an!o su !érmino sue!o como su !érmino 're$ica$o.En la 'ro'osición I4 ni el !érmino sue!o ni el !érmino 're$ica$o es!n $is!ribui$os.En la 'ro'osición O4 se $is!ribu(e su !érmino 're$ica$o4 'ero no $is!ribu(e su !érmino sue!o

(.2.(. S'LOG'SMO $"1EGÓR'$OEl !érmino silogismo4 6ue en su origen signi5ica clculo4 ( 6ue Pla!ón lo em'leó como ra#onamien!oen general4 5ue a$o'!a$o 'or <ris!ó!eles 'ara in$icar el !i'o 'er5ec!o $e ra#onamien!o $e$uc!i-o 'or ello a5irma 6ue el silogismo es un ra#onamien!o4 en el cual4 a$mi!ien$o $e!ermina$os su'ues!os4 $elos mismos se sigue algo con necesi$a$ $e su misma na!urale#a Primeros <nal*!icosH. Es necesario!ener en cuen!a 6ue el -ocablo griego σιλογισµο se !ra$uce 'or conclusión. En!onces4 unaconclusión !*'ica ser*a és!a%

To$os los 5uma$ores $e 'i'a son ombreses as* 6ue Pe$ro es un 5uma$or $e 'i'a

luego Pe$ro es un ombre.

&as caractersticas bsicas $el silogismo aris!o!élico son% 1H su carc!er me$ia!o 2H su necesi$a$.Por eso4 la relación en!re $os $e!erminaciones $e una cosa no se 'ue$e es!ablecer sino en base $e lo6ue la cosa es necesariamen!e4 o sea $e su sus!ancia (4 'or eem'lo4 si se 6uiere $ecir si el ombre!iene la $e!erminación $e mor!al4 lo 9nico 6ue se 'ue$e acer es consi$erar la sus!ancia $el ombrelo 6ue el ombre no 'ue$e no serH ( ra#onar $el mo$o siguien!e%To$os los ombres son animaleses as* 6ue !o$os los animales son mor!ales 'or !an!o4 !o$os los ombres son mor!ales.

&a $e!erminación animal4 inclui$a necesariamen!e en la sus!ancia ombre4 'ermi!e concluir enla mor!ali$a$ $el ombre mismo. De a* 6ue $es$e !iem'os aris!o!élicos la silog*s!ica cons!i!u(e una 'ar!e im'or!an!e $e la lógica. Pero lo 6ue a* in!eresa es la 'regun!a% >Qué su'ues!os 're$ica!i-os ológicoGclasis!as !ienen 6ue $arse4 'ara 6ue $e $os 'remisas se siga lógicamen!e una conclusión?.

Premisas son los an!ece$en!es o su'ues!os 're-ios $el silogismo en el eem'lo 6ue ano!amos% !o$oslos ombres son mor!ales ( los 'eruanos son ombres la conclusión es la 5rase o enuncia$o 5inalluego4 los 'eruanos son mor!alesH. &a 'remisa 'rimera se $enomina ma(or4 ( la segun$a menor.Tal silogismo lo gra5icamos as*%

,ORT<&E;

AO,RE;

PER<NO;



Consecuen!emen!e4 el silogismo es la argumen!ación en 6ue se com'aran $os e8!remos con un!ercero4 'ara $escubrir la relación 6ue !ienen en!re s*%

To$a -ir!u$ es lau$able4 la 'ru$encia es -ir!u$4 luego la 'ru$encia es lau$able.

&as $os e8!remos4 'ru$encia ( lau$able4 se com'aran con el !ercero4 -ir!u$ ( $e a6u* se $e$uce 6ueel a!ribu!o4 lau$able4 con-iene a la 'ru$encia. &os e8!remos com'ara$os se llaman !érminos% ma(or4el ms general ( menor4 el o!ro. El 'un!o $e com'aración se $enomina !érmino me$io. En eleem'lo4 'ru$encia es el menor4 lau$able el ma(or ( -ir!u$ el me$io. &a 'remisa en 6ue se alla el!érmino ma(or4 se llama ma(or4 la o!ra menor.

Aemos in$ica$o 6ue <ris!ó!eles $e5inió el silogismo como el argumen!o en el cual4 es!ableci$ascier!as cosas4 'or ser lo 6ue son4 resul!a necesariamen!e $e ellas o!ra cosa $is!in!a $e las an!es

es!ableci$as. Pero4 5recuen!emen!e se la a obser-a$o como una $e5inición general 6ue se 'ue$ea'licar no solamen!e a la in5erencia silog*s!ica4 sino !ambién a mucos o!ros !i'os $e in5erencia.

Con !o$o4 <ris!ó!eles 'roce$ió a eem'li5icar !al $e5inición me$ian!e in5erencias $e un !i'o es'ecial%a6uella en las cuales se es!ablece un 'roceso $e $e$ucción 6ue con$uce a es!ablecer una relación $e!i'o sue!oG're$ica$o 'ar!ien$o $e enuncia$os 6ue mani5ies!an asimismo la relación sue!oG 're$ica$o. <$ems4 en es!e 'roceso $e$uc!i-o se su'one 6ue la conclusión 6ue !iene $os !érminosHes in5eri$a $e $os 'remisas4 ca$a una $e las cuales !iene asimismo $os !érminos4 uno $e los cuales noa'arece en la conclusión.

El silogismo a'arece como una le( lógica o como una serie $e le(es lógicas4 una 'ara ca$a uno $elos mo$os -li$os. Es!as le(es lógicas es!ablecen relaciones en!re !érminos uni-ersales. El silogismoca!egórico es un ra#onamien!o 6ue !iene $os 'remisas ( una conclusión4 !o$as las cuales son 'ro'osiciones ca!egóricas. Eem'lo $e silogismo ca!egórico es el siguien!e%

;i !o$os los ombres son mor!ales ( !o$os los are6ui'eños son ombres4 en!onces !o$os los are6ui'eños son mor!ales.

Po$emos obser-ar 6ue es eem'lo $e un ra#onamien!o con$icional ( 6ue !o$os los !érminosin!ro$uci$os ombres4 mor!ales4 are6ui'eñosH son uni-ersales. Con ello 6ueremos 'oner $e relie-e6ue mucos $e los eem'los $e silogismos $a$os en la li!era!ura lógica !ra$icional no son 'ro'iamen!e silogismos. Eem'lo%

To$os los ombres son mor!ales

To$os los are6ui'eños son ombres4 To$os los are6ui'eños son mor!ales.

;e $ice 6ue no es un eem'lo correc!o $e silogismo4 'ues no a'arece en él% la 5orma con$icional4 nimenos se -e claro 6ue las $os 'rimeras 'ro'osiciones es!én liga$as 'or una conunción. Tam'oco eseem'lo correc!o $e silogismo con$icional el ra#onamien!o siguien!e%

To$os los ombres son mor!ales ;ócra!es es ombre ;ócra!es es mor!al4

'ues4 a$ems $e carecer $e la conec!i-a an!es señala$a4 con!iene un !érmino singular% ;ócra!es.

En el eem'lo $e silogismo% To$os los 'eruanos son la!inoamericanos



es as* 6ue los aimaras son 'eruanos luego los aimaras son la!inoamericanos4

los !érminos ca!egorem!icos son% 'eruanos4 la!inoamericanos4 aimaras.

Para Jon +enn 1M"/G1F2"H la lógica $e$uc!i-a !iene la 5unción $e com'robar la e8ac!i!u$ $el

ra#onamien!o. En es!e cam'o4 él 5ue el 'romo!or $el 'ro(ec!o 'ro'ues!o 'or L. oole 'ara unasimboli#ación $e los 'rocesos lógicos con un algori!mo anlogo al $e la ma!em!ica lgebra $e lalógicaH e in!ro$uo el !érmino lógica simbólica.

(.2.2. PR'N$'P'OS 8 REGL"S 4EL S'LOG'SMO

;i acen!uamos la mira$a $escubrimos 6ue el silogismo se basa en los 'rinci'ios $e con-eniencia ($iscre'ancia. ;i ilus!ramos el 'rinci'io $e con-eniencia en el eem'lo%

&os 'eruanos son la!inoamericanoses as* 6ue los aimaras son 'eruanosluego los aimaras son la!inoamericanos4

-emos 6ue all* se 6uiere $ecir 6ue% $a$o 6ue !o$os los 'eruanos !ienen la 'ro'ie$a$ $e ser

la!inoamericanos ( $a$o 6ue !o$os los aimaras !ienen la 'ro'ie$a$ $e ser 'eruanos4 'ue$e concluirse6ue !o$os los aimaras !ienen la 'ro'ie$a$ $e ser la!inoamericanos.

El 'rinci'io $e con!eniencia se enuncia in$ican$o 6ue% Dos cosas 6ue con-ienen en algo 'ro'ie$a$com9nH con una !ercera4 con-ienen en!re s* en ese algo. es!e 'rinci'io !iene -igencia en lacons!rucción $e los silogismos 6ue conclu(en a5irma!i-amen!e.

El 'rinci'io $e discreancia rige en los silogismos 6ue conclu(en nega!i-amen!e4 as*% Ning9n 'eruano es euro'eo es as* 6ue los uros son 'eruanos luego ning9n uro es euro'eo 'ues4 $a$o 6ue ning9n 'eruano !iene la 'ro'ie$a$ $e ser euro'eo4 ( $a$o 6ue !o$os los uros !ienen la 'ro'ie$a$ $e ser 'eruanos4 se conclu(e 6ue los uros no !ienen la 'ro'ie$a$ $e ser euro'eos. De a*6ue el 'rinci'io $e $iscre'ancia se enuncie as*% ;i !enemos $os cosas $e las cuales una con-iene enalgo con una !ercera4 en!onces no con-ienen en!e s*.

Para saber si un silogismo es 5ormalmen!e correc!o4 los lógicos clsicos es!ablecieron oco reglas4 $elas cuales cua!ro 'er!enecen a los t7rminos ( cua!ro a las roosiciones%

1ra. n silogismo a $e tener tres s#lo tres t7rminos% ma(or4 menor ( me$io. &o 5un$amen!al $ees!a regla ( a la cual 'ue$en re$ucirse4 en alguna 5orma4 !o$as las $ems4 es 6ue4 esencialmen!e4el silogismo consis!e en com'arar $os cosas con una !ercera. Para 6ue el silogismo sea -icioso4 bas!a 6ue uno $e ellos se !ome en $i-erso sen!i$o en las $i5eren!es 'ro'osiciones4 no se necesi!a6ue a(a e8'resamen!e ms $e !res !érminos en !al caso4 aun6ue el nombre sea el mismo4 lasigni5icación no lo es. <s*4

un sol$a$o es -alien!e un cobar$e es sol$a$o4 luego un cobar$e es -alien!e.

El !érmino me$io4 sol$a$o4 es uno en cuan!o a la 'alabra4 'ero no en su signi5icación 'or6ue en lama(or se !ra!a $e un sol$a$o $el $e la menor. < es!a regla4 bien en!en$i$a ( e8'lica$a4 se 'ue$enre$ucir !o$as las o!ras.

;on 5recuen!es los silogismos 6ue 5al!an a es!a regla4 $ebi$o a 6ue uno $e los !érminos !iene una$oble su'osición o sen!i$o. <s*4 en el siguien!e% To$os los #orros roban gallinas

es as* 6ue Na'oleón era un #orro luego Na'oleón robaba gallinas.



Por lo -is!o4 el !érmino #orro !iene $oble sen!i$o4 'ues4 se re5iere a un animal ( a una 'ersona as!u!a.

2$a. El t7rmino medio debe ser tomado uni!ersalmente4 al menos en una $e las 'remisas es $ecir46ue el !érmino me$io se $ebe !omar $is!ribu!i-amen!e en alguna $e las 'remisas4 cuan$o no seasingular. )al!a con!ra es!a regla el siguien!e silogismo%

<lgunas aimaras son mo$elos es as* 6ue algunas aimaras son monas luego algunas monas son mo$elos.

En el 'rece$en!e silogismo4 el !érmino me$io es aimaras ( su e8!ensión en ambas 'remisas es 'ar!icular 'or6ue es sue!o $e 'ro'osiciones 'ar!iculares. &a ra#ón $e la regla se $ebe a 6ue4 al no!omarse el !érmino me$io uni-ersalmen!e en alguna $e las $os 'remisas4 'ue$e $arse el caso 6uemonas ( mo$elos4 es $ecir4 los !érminos e8!remos4 se re5ieran a $is!in!as 'ar!es $el conun!o $elas aimaras. ;i el !érmino me$io no se !oma $is!ribu!i-amen!e en alguna $e las 'remisas4 sino en 'ar!icular4 'o$r re5erirse a $i5eren!es sue!os en las $i-ersas 'remisas. Pero si el !érmino me$io essingular4 el silogismo ser conclu(en!e.

Cesar 5ue asesina$o 'or ru!o4 El -ence$or $e )rasalia 5ue Cesar4 luego el -ence$or $e )rasalia 5ue asesina$o 'or ru!o.

"ra. El t7rmino medio no uede Cigurar en la conclusi#n. El me$io sir-e 'ara com'arar lose8!remos ( en la conclusión solo se $ebe allar el resul!a$o4 es!o es4 la relación $e los e8!remosen!re s*. Ella se sus!en!a en 6ue el !érmino me$io cum'le su 5unción en las 'remisas 'ues lo 6uein!eresa en la conclusión es saber si los e8!remos con-ienen o no con-ienen en!re s*. )al!a con!raes!a regla%

na -aca es ma$re es as* 6ue una -aca es !u(a luego una -aca es ma$re !u(a

'ues4 el !érmino me$io es -aca ( a'arece en la conclusión.

/!a. &os t7rminos e<tremos no ueden tener maor e<tensi#n en la conclusi#n 6ue la 6ue !ienenen las 'remisas 'or6ue con la ma(or e8!ensión se cambian los !érminos. Pues un !érmino 'ar!icular en las 'remisas4 no 'ue$e !ener en la conclusión una e8!ensión uni-ersal. +er eleem'lo%

To$os los cu#6ueños son 'eruanos es as* 6ue ning9n ulia6ueño es cu#6ueño luego ning9n ulia6ueño es 'eruano.

En el 'rece$en!e silogismo son !érminos e8!remos 'eruanos ( ulia6ueño. si en la 'remisama(or se 6uiere $ecir 6ue los cu#6ueños son 'ar!e $e los 'eruanos4 es e-i$en!e 6ue el !érmino'eruanos es !oma$a 'ar!icularmen!e. Por !an!o4 en la conclusión se 6uiere $ecir 6ue no a(si6uiera un ulia6ueño en el conun!o $e los 'eruanos consecuen!emen!e4 se !oma es!e !érminouni-ersalmen!e4 e-i$encin$ose 6ue el silogismo 'eca con!ra la cuar!a regla.

<n!es $e 'asar al e8aminar las reglas 6ue a5ec!a a las 'ro'osiciones4 $ebemos ano!ar 6ue lae8!ensión a5ec!a !an!o a las 'ro'osiciones como a los !érminos 'ues el !érminoGsue!o !iene la mismae8!ensión 6ue !enga la 'ro'osición ( se e-i$encia 'or los cuan!i5ica$ores !o$os4 algunos. <$ems4 lae8!ensión $el !érminoG're$ica$o $e'en$e $e la cali$a$ $e las 'ro'osiciones 'ues4 si una 'ro'osiciónes a5irma!i-a no in!eresa 6ue sea 'ar!icular o uni-ersalH el 're$ica$o $e la misma !en$r e8!ensión 'ar!icular 'or el con!rario4 si la 'ro'osición es nega!i-a no im'or!a su can!i$a$H el 're$ica$o se

!omar uni-ersalmen!e.



!a. Si las $os 'remisas $e un silogismo son aCirmati!as4 la conclusi#n no uede ser negati!a. Ellose $es'ren$e $el 'rinci'io $e con-eniencia. Pues4 $e 6ue $os !érminos se i$en!i5i6uen con un!ercero4 no se sigue 6ue sean $is!in!os. Por eso4 incurre en 5al!a con!ra es!a regla el siguien!esilogismo%

To$o $eli!o merece cas!igo

es as* 6ue !o$o secues!ro es $eli!o luego ning9n secues!ro merece cas!igo.

&os escols!icos la enunciaban con es!e e8me!ro% <mbae a55irman!es ne6ueun! generare negan!emsien$o ambas a5irma!i-as no 'ue$en generar una nega!i-aH. <s* 6ue !acamos4 'or eem'lo4 I<O.

!a. De $os remisas negati!as no se uede sacar ninguna conclusi#n. En 'rimer lugar% $e $osnega!i-as no se 'ue$e in5erir una a5irma!i-a. Dos !érminos 'ue$en no i$en!i5icarse con un !ercero4( sin embargo no ser i$én!icos en!re s*. &uego4 $e $os 'ro'osiciones nega!i-as4 no se in5iere unaa5irma!i-a%

Cesar no es Pom'eoCicerón no es Pom'eo

'ero $e es!o no se in5iere 6ueCesar sea Cicerón.

El no i$en!i5icarse $os !érminos con un !ercero4 no 'rueba 6ue no se i$en!i5i6uen en!re s* ( as* $e$os nega!i-as4 !am'oco se in5iere una nega!i-a% <lean$ro no es César el -ence$or $e Dar*o no es Cesar mas $e es!o no se sigue 6ue

<lean$ro no sea el -ence$or $e Dar*o.

Igualmen!e% Aomero no es +irgilio

el au!or $e la Il*a$a no es +irgiliomas $e es!o no se sigue 6ue

Aomero no sea el au!or $e la Il*a$a.

&a ra#ón es 6ue en es!e caso no abr*a $iscre'anciaGen4 sino $iscre'anciaG$e. Por lo 6ue elsiguien!e silogismo es incorrec!o%

Ning9n bue( es -ola$or es as* 6ue ning9n -ola$or es cua$r9'e$o luego ning9n bue( es cua$r9'e$o.

&os escols!icos la e8'resaban con el e8me!ro% !ra6ue si 'raemisa nege!4 nil in$e se6ue!ur si una( o!ra 'remisa niega4 $e all* na$a se sigueH. Aa( 6ue !acar4 'ues4 !o$as las combinaciones 6ue

em'ie#an con EE4 EO4 OE ( OO.

:ma. De dos remisas articulares no se uede sacar ninguna conclusi#n. Ello signi5ica 6ue siambas 'remisas son 'ar!iculares4 el !érmino me$io no 'o$r*a ser uni-ersal bao ninguna i'ó!esis.;i las $os son a5irma!i-as4 !o$os los !érminos se !oman en 'ar!icular ( 'or consiguien!e el!érmino me$io no es ni uni-ersal4 ni singular. ;i una es nega!i-a4 la conclusión $eber ser nega!i-a. El siguien!e eem'lo ilus!ra la regla%

<lgunas serranas son mo$elos es as* 6ue algunas serranas son monas luego algunas monas son mo$elos.

&os escols!icos u!ili#aban el e8me!ro% Nil se6ui!ur geminis e8 'ar!icularibus um6uam ams sesigue algo $e $os 'ar!icularesH. Tacamos 'or eem'lo IOO.



M-a. &a conclusi#n sigue a la remisa de eor condici#n es $ecir4 6ue la conclusión $ebe seguir la 'ar!e ms $ébil. Debemos recor$ar 6ue se consi$era mas $ébil la nega!i-a con res'ec!o a laa5irma!i-a ( la 'ar!icular con res'ec!o a la uni-ersal. Pues4 sien$o una 'remisa 'ar!icular4 laconclusión $ebe serlo !ambién. Consecuen!emen!e4 si una $e las 'remisas es nega!i-a4 laconclusión $ebe ser nega!i-a4 en -ir!u$ $el 'rinci'io $e $iscre'anciaGen. De la misma manera4si una $e las 'remisas es 'ar!icular4 la conclusión4 como es na!ural4 no 'o$r ser $e meor

con$ición4 o sea uni-ersal. <s*%

To$os los cier-os !ienen cuernos es as* 6ue algunos rumian!es son cier-os luego !o$os los rumian!es !ienen cuernos.

En el caso re5eri$o4 la conclusión correc!a $ebe ser algunos. &os escols!icos la enunciaban con ele8me!ro% Peiorem se6ui!ur sem'er conclusio 'ar!em la conclusión siem're sigue la 'eor 'ar!eH.Por !an!o4 !en$r*amos 6ue borrar las agru'aciones I<<4 e IEI. Nos 6ue$ar*an las combinaciones siguien!es% <<<4 <<I4 <EE4 <EO4 <II4 <OO4 E<E4 E<O4 EIO4I<I4 IEO4 O<O. ;ólo con és!as son 'osibles unos silogismos -li$os.

(.2.=. 9'GR"S S'LOG;S1'$"S 8 SS REGL"Sn silogismo ca!egórico es un con$icional 6ue se com'one $e !res es6uemas cuan!i5ica$os%G El antecedente $el con$icional se com'one $e $os es6uemas4 llama$os 'remisas%

&a 'rimera es la 'remisa ma(or&a segun$a la 'remisa menor

G El consecuente $el con$icional es o!ro es6uema% al conclusión.

Ca$a es6uema !iene $os le!ras 're$ica$os. saremos las le!ras ;4 P ( , las 6ue $esignan losllama$os !érminos $el silogismo. &os nombres 6ue reciben los !érminos son% !érmino me$io4 !érminomenor ( !érmino ma(or.El !érmino me$io4 ombres re'resen!a$o 'or ,H es! en las $os 'remisas4 'ero no en laconclusión. <s*4 en el eem'lo ci!a$o an!eriormen!e%

!o$os los ombres son mor!ales los 'eruanos son ombres luego4 los 'eruanos son mor!ales4

el !érmino menor $el silogismo es 'eruanos4 el 'rimero $e los !érminos $e la conclusión el !érminoma(or es mor!ales4 el segun$o $e los !érminos $e la conclusión.

<$ems4 en el silogismo ca!egórico $ebemos consi$erar la 5igura ( el mo$o.

&a Cigura se es!ablece 'or la manera como es! $is'ues!o el !érmino me$io en las 'remisas. Aa(cua!ro maneras $e $is'oner !al !érmino (4 'or lo !an!o4 cua!ro 5iguras $e silogismo4 $eri-a$as $e las

$i5eren!es 'osibili$a$es e8is!en!es 'ara la 'osición $e los !res conce'!os $el silogismo. En e5ec!o4$ebe $is!inguirse% el conce'!o cen!ral o me$io ,H 6ue $ebe es!ar 'resen!e en las $os 'remisas4 elconce'!o sube!i-o ;H $e la conclusión ( el conce'!o 're$ica!i-o PH 6ue $eben a'arecer en una$e las 'remisas.

1H Primera Cigura% In$ica 6ue en las combinaciones !ri'les <<<4 E<E4 <II4 EIO 'ue$e concluirsealgo. &os escols!icos 5ormularon el e8me!ro% arbara Celaren! Darii )erio6ue 'rimae. Elsilogismo%

, G P !o$os los animales son seres -i-ien!es; G , !o$os los osos son animales4; G P luego !o$os los osos son seres -i-ien!es4

es una conclusión in mo$o arbara a la manera $e rbaraH $e la 'rimera 5igura conclusi-a. <6u*

el !érmino me$io es sue!o en la 'remisa ma(or ( el 're$ica$o $e la 'remisa menor. Es correc!acuan$o la 'remisa menor es a5irma!i-a ( la ma(or es uni-ersal.



2H Segunda 9igura% ;eg9n ella cabe la conclusión en las combinaciones E<E4 <EE4 EIO4 ( <OO.Eem'lo $e <EE 'ue$e ser%. En és!a4 el !érmino me$io es el 're$ica$o $e ambas 'remisas%P G , !o$as las es!rellas 5ias !ienen lu# 'ro'ia; G , es as* 6ue ning9n 'lane!a !iene lu# 'ro'ia4; G P luego ning9n 'lane!a es una es!rella 5ia

Es correc!a cuan$o una $e las $os 'remisas es correc!a4 ( la ma(or es uni-ersal.

"H 1ercera Cigura% ;eg9n la 'resen!e 5igura las combinaciones <<I4 <II4 E<O4 EIO4 I<I ( O<Oconclu(en. Eem'lo <<IH%

, G P To$os los obis'os ca!ólicos son sacer$o!es , G ; es as* 6ue !o$o obis'o ca!ólicos es -arón4 ; G P luego algunos -arones son sacer$o!es.En es!a 5igura el !érmino me$io es sue!o $e ambas. Es correc!a si la 'remisa menor es a5irma!i-a (la conclusión es 'ar!icular.

/H $uarta Cigura% Conclu(en las combinaciones <<I4 <EE4 I<I4 EO< ( EIO. Eem'lo <<IH% P G , To$os los 5uncionarios son em'lea$os4 , G ; es as* 6ue !o$o em'lea$o es! con!ra!a$o4

; G P luego alg9n con!ra!a$o a suel$o es 5uncionario.En es!a 5igura el !érmino me$io es 're$ica$o $e la ma(or ( sue!o $e la menor. Es correc!a si% aH lama(or es a5irma!i-a4 en!onces la 'remisa menor $ebe ser uni-ersal bH la menor es a5irma!i-a4en!onces la conclusión a $e ser 'ar!icular cH si una 'remisa es nega!i-a4 en!onces la 'remisa ma(or a $e ser uni-ersal.

Dicas cua!ro 5iguras las !ranscribimos as*%

I II III I+, P; ,; P

P ,; ,; P

, P, ;; P

P ,, ;; P

(.2.>. REGL"S 4E L"S 9'GRES S'LOG;S1'$"S

;abien$o cul es la 5igura $e un silogismo4 'o$emos saber si es o no correc!o4 !enien$o en cuen!a lasreglas 'ara ca$a una $e las 5iguras4 6ue son las siguien!es%

1H Para la rimera% aH la 'remisa menor a $e ser a5irma!i-a bH la 'remisa ma(or a $e ser uni-ersal.2H Para la segunda% aH una $e las $os 'remisas a $e ser nega!i-a bH la 'remisa ma(or a $e ser uni-ersal."H Para la tercera% aH la 'remisa menor a $e ser a5irma!i-a bH la conclusión a $e ser 'ar!icular./H Para la cuarta% aH si la 'remisa ma(or es a5irma!i-a4 en!onces la 'remisa menor a $e ser uni-ersal bH si la 'remisa menor es a5irma!i-a4 en!onces la conclusión a $e ser 'ar!icular cH si una

'remisa es nega!i-a4 en!onces la 'remisa ma(or a $e ser uni-ersal.

<ris!ó!eles solamen!e a$mi!ió !res 5iguras4 'or6ue el 5un$amen!o $e la $i-isión $el silogismoa$o'!a$o 'or él no se re5iere a la 'osición $el !érmino me$io4 sino a la am'li!u$ $e !al !érmino encom'aración con los e8!remos%

G ,s am'lio 6ue uno ( ms es!reco 6ue el o!ro4 'rimera 5iguraG ,s am'lio 6ue cual6uiera $e los $os4 segun$a 5igura (G ,s es!reco 6ue cual6uiera $e los $os4 !ercera 5igura.

Recor$an$o las 5iguras a las cuales nos emos re5eri$o ( !enien$o en cuen!a las cua!ro reglasre5eren!es a las 'ro'osiciones ( las le(es $e las 5iguras los mo$os leg*!imos o correc!os

corres'on$ien!es a%1H la 'rimera 5igura son% <<<4 E<E4 <II4 EIO4 <<IH4 E<OH



2H la segun$a% E<E4 <EE4 EIO4 <OO4 <EOH4 E<OH

"H la !ercera% <<I4 I<I4 <II4 E<O4 O<O4 EIO

/H la cuar!a% <<I4 <EE4 I<I4 E<O4 EIO4<EOH.

&os mo$os coloca$os en!re 'arén!esis <<I... <EOH re'resen!an 5ormas leg*!imas 'ero $ébiles 'or limi!ación o 'ar!iculari#ación $e la conclusión. ;i $escar!amos és!os4 6ue$an 10 'lenamen!eleg*!imos. Para recor$arlos4 los lógicos escols!icos cons!i!u(eron -ersos en$ecas*labos%

arbara4 Celaren!4 Darii4 )erio6ue 'riorisCesare4 Cames!res4 )es!ino4 aroUo secun$aeTer!ia4 Dara'!i4 Disamis4 Da!isi4 )ela'!onoUar$o4 )erison4 Aabe! 6uar!a insu'er a$$i!raman!i'4 Camenes4 Dimaris4 )esa'o4 )resison.

(.2.>. MO4OS LOG;S1'$OS

;abemos 6ue !o$o silogismo !*'ico cons!a $e !res 'ro'osiciones ca!egóricas ( $a$o 6uenecesariamen!e ca$a 'ro'osición es! cuan!i5ica$a% uni-ersal o 'ar!icularmen!e ( !ambiéncuali5ica$a a5irma!i-a o nega!i-amen!e4 unien$o ambos cri!erios resul!an los cua!ro mo$elos $e 'ro'osiciones (a conoci$os <4 E4 I4 O.

Trabaan$o con las cua!ro le!ras 6ue re'resen!an los mo$elos ( !enien$o en cuen!a la can!i$a$ (cali$a$ $e las 'ro'osiciones4 ob!enemos !o$os los mo$os 'osibles $e silogismos. To$as lascombinaciones 'osibles resul!an $e combinar4 $e !res en !res4 las le!ras <4 E4 I4 O4 $e acuer$o con la5órmula /" $on$e la base / signi5ica el n9mero $e le!ras combinables ( el e8'onen!e el n9mero $e 'remisas $el silogismoH. >Cun!as son las combinaciones 'osibles? /. Pero como e8is!en / 5iguras4mul!i'lican$o / h / ob!en$remos un !o!al $e 2 5ormas 'osibles. < con!inuación mos!ramos las / 'osibles 5ormas 'ara ca$a una $e las 5iguras%

< < << < E< < I< < O

E < <E < EE < IE < O

I < <I < EI < II < O

O < <O < EO < IO < O

< E << E E< E I< E O

E E <E E EE E IE E O

I E <I E EI E II E O

O E <O E EO E IO E O

< I << I E< I I

< I O

E I <E I EE I I

E I O

I I <I I EI I I

I I O

O I <O I EO I I

O I O< O << O E< O I< O O

E O <E O EE O IE O O

I O <I O EI O II O O

O O <O O EO O IO O O

&a combinación $e las 'ro'osiciones4 a!en$ien$o a 6ue sean uni-ersales o 'ar!iculares4 a5irma!i-as onega!i-as4 se llama mo$o $el silogismo. &os mo$os se $i-i$en en $irec!os e in$irec!os en los$irec!os4 el !érmino ma(or es 're$ica$o $e la conclusión en los in$irec!os4 es sue!o.

;eg9n <ris!ó!eles4 a( cier!o n9mero $e mo$os log*s!icos cu(a -ali$e# es e-i$en!e ( 6ue 'ue$en ser consi$era$os4 'or consiguien!e4 como a8iomas en el sis!ema 5ormal silog*s!ico% ;on los silogismos

llama$os 'er5ec!os. &os mo$os 6ue no son e-i$en!es 'or s* mismos son mo$os im'er5ec!os4 ( $ebenser 'roba$os a base $e los mo$os 'er5ec!os.



El silogismo mo$al 5ue !ra!a$o 'or <ris!ó!eles !oman$o como base su !eor*a $e los silogismoca!egóricos o5reció anlogos mo$ales $e los mo$os $e las !res 5iguras consi$era$as 'or él.

En lo 6ue !oca a los silogismos i'o!é!icos4 'resen!a$os 'or <ris!ó!eles ( $esarrolla$os 'or suscomen!aris!as se !ra!a $e 'ro'osiciones al!erna!i-as ( con$icionales 6ue son asumi$as 'or i'ó!esis.El silogismo con$icional o i'o!é!ico es el 6ue se 5orma $e una 'ro'osición con$icional4 $e o!ra

sim'le en 6ue se a5irma o niega una $e las 'ar!es $e la con$icional4 ( $e la conclusión.

;i el sol calien!a el !ubo $e !ermóme!ro4 el mercurio subirel sol calien!a el !uboluego el mercurio sube.

Consi$erable $esarrollo e8'erimen!ó el es!u$io $e los silogismos analógicos o !o!almen!e i'o!é!icos.<s*4 emos clasi5ica$o los silogismos en% ca!egóricos4 mo$ales e i'o!é!icos. Con !o$o4 no es la 9nicaclasi5icación 'osible. El 'ro'io <ris!ó!eles se re5irió al silogismo $es$e el 'un!o $e -is!a $el -alor $elas 'remisas4 un 'un!o $e -is!a 6ue 'o$emos cali5icar $e cien!*5icoGme!o$ológico.

&os silogismos 'ue$en $i-i$irse al res'ec!o en $emos!ra!i-os o a'o$*c!icos4 $ialéc!icos ( so5*s!icos o

er*s!icos. &os silogismos $emos!ra!i-os son necesarios los $ialéc!icos4 'robables los so5*s!icos45alsos.

<lgunos escols!icos an am'lia$o es!a clasi5icación ablan$o $e silogismos $emos!ra!i-os onecesarios4 'robables o con!ingen!es4 erróneos o im'osibles ( so5*s!icos o 5alsos e incorrec!os4aun6ue a'aren!emen!e -er$a$eros ( correc!os. < su -e#4 o!ros escols!icos an 'ro'ues!o una$i-isión no (a sim'lemen!e me!o$ológica4 sino 5ormalH $el silogismo en ca!egórico e i'o!é!ico.

&os silogismos ca!egóricos son silogismos 'uros ( sim'les. &os silogismos i'o!é!icos son a6uellosen los cuales la 'remisa ma(or es una 'ro'osición i'o!é!ica ( la menor a5irma o niega 'ar!e $e lama(or. &os silogismos i'o!é!icos 'ue$en a su -e# sub$i-i$irse en con$icionales4 $is(un!i-os (conun!i-os4 seg9n 6ue la 'remisa ma(or sea un con$icional4 una $is(unción o una conunción.To$os es!os silogismos son consi$era$os como com'le!os. < ellos se agregan los silogismosincom'le!os4 en los cuales una $e las 'remisas no es e8'l*ci!amen!e 5ormula$a4 ( los silogismoscom'ues!os com'ues!os $e -arios silogismosH.

<lgunos $e los im'or!an!es sis!emas lógicos 6ue 'o$emos mencionar son%

1H &a l#gica relacional es la !eor*a lógica $e las relaciones4 es $ecir4 $e los 're$ica!i-os $e -ariosmiembros4 'or eem'lo% a la i#6uier$a $e4 'a$re $e4 ma(or 6ue.2H &a l#gica modal in-es!iga las mo$ali$a$es $e oraciones4 es $ecir4 consi$era las oraciones bao elas'ec!o $e si su -er$a$ o 5alse$a$ son necesarias4 'osibles4 im'osibles o causales."H &a l#gica temoral es!u$ia la *n$ole $el !iem'o en las oraciones./H &a de#ntica lógica $e las normasH in-es!iga las es!ruc!uras lógicas $e las oraciones norma!i-asman$a!os4 'roibicionesH ( las con$iciones 5ormales $e la conclusión en el argumen!ar é!ico. &a

log*s!ica a reali#a$o gran$es a-ances en el es!u$io $e la silog*s!ica logran$o nue-as conclusiones4como a6uella en la 6ue $e $os conclusiones nega!i-as 'er5ec!amen!e 'ue$e concluirse algo. &osmo$os $el silogismo se 5ormali#an o( 're5eren!emen!e $e un mo$o 're$icacional o lógicoGclasis!a.

Re'resen!an$o la can!i$a$ ( la cali$a$ $e las 'ro'osiciones <4 E4 I4 O4 ( combinn$olas $e !res en!res4 se alla 6ue 'ue$en 5ormarse / combinaciones 'ero sólo resul!an 1F leg*!imas.

(.2.?. S'LOG'SMOS 'PO1-1'$OS

;e a $iscu!i$o muco la cues!ión $e las in5luencias es!oicas sobre el *e syllogismo "ypot"etico4 (cier!os eem'los 'roce$en sin $u$a $e los es!oicos% si es $e $*a4 a( lu#. ;in embargo4 su-ocabulario $e oecioH es 're$ominan!emen!e aris!o!élico4 a5irma R. lancé4 ( sobre !o$o su

men!e se alla e6ui'a$a $e 5orma mani5ies!a con una conce'!uali#ación aris!o!élica. oecio u!ili#alas le!ras 'ara re'resen!ar las -ariables. También en es!o sigue a <ris!ó!eles ( no a los es!oicos4 6ueu!ili#aban en cambio n9meros or$inales. Por eem'lo% ;i es! <4 es! a!6ui es! < es! igi!ur .



Para oecio las 'ro'osicionales i'o!é!icas son ms generales 6ue las ca!egor*as% es 'osible e8'resar una 'ro'osición ca!egórica a !ra-és $e una 'ro'osición i'o!é!ica4 'ero no es 'osible lle-ar a cabo lao'eración in-ersa. <$ems oecio $is!ingue en!re $os !i'os $e 'ro'osiciones i'o!é!icas% El 'rimer !i'o se $a cuan$o el consecuen!e es! -incula$o al an!ece$en!e $e una manera acci$en!al as* en eleem'lo% si el 5uego es cli$o4 el cielo es re$on$o4 no 're!en$emos a5irmar 6ue el cielo es re$on$o

'or6ue el 5uego sea cli$o4 sino sencillamen!e 6ue al mismo !iem'o 6ue el 5uego es cli$o4 el cielo esre$on$o.

En el segun$o !i'o4 el consecuen!e es consecuencia na!ural $el an!ece$en!e como 'or eem'lo% cumomo si!4 animal es! existiendo el "ombre) es animal/- 4 !enemos una recta ac necessariaconsequentia rec!a ( necesaria consecuenciaH $el an!ece$en!e. ;eñalemos4 en!re 'arén!esis4 6ue unlógico con!em'orneo4 J.T. ClarU4 a -is!o en la $is!inción $e oecio un anuncio $e la $i5erencia 6uee8is!e en!re im'licación ma!erial e im'licación 5ormal. en !o$o4 la $is!inción $e oecio en!re los$os !i'os $e 'ro'osiciones i'o!é!icas es im'or!an!e4 'or6ue es! claro 6ue cons!i!u(e el 'un!o $e 'ar!i$a 'ara las es'eculaciones escols!icas sobre la im'licación J.,. ocensUiH.

Pasan$o $es$e la consi$eración $e las 'ro'osiciones i'o!é!icas a la $e los silogismos i'o!é!icos4

oecio $e$ica es'acio ( a!ención a un in-en!ario $e sus 5ormas. Es!a es la lis!a $e los silogismosi'o!é!icos $e oecio%

1. ;i < es4 es aora bien4 < es en!onces4 es.2. ;i < es4 es aora bien4 no es en!onces4 < no es.". ;i < es4 es ( si es4 C $ebe ser 'ero en!onces% si < es4 !ambién C $ebe ser./. ;i < es4 es ( si es4 !ambién $ebe ser C 'ero C no es en!onces4 < no es.. ;i < es4 es si < no es4 C es en!onces4 si no es4 C es.. ;i < es4 no es si < no es4 C no es en!onces4 si es4 C no es.:. ;i es4 < es si C es4 < no es su'ues!o es!o4 si es4 es necesario 6ue C no sea.M. ;i es4 < es ( si C no es4 < no es en!onces4 si es C ser.F. ;i se a5irma o < es4 o es4 en!oncesH en el caso $e 6ue < sea4 no ser ( si < no es4 ser (si no es4 < ser ( si es4 < no ser.10. &a 'ro'osición 6ue a5irma o < no es4 o no es signi5ica4 si $u$a4 6ue si < es4 no 'ue$e ser.

oecio4 'or lo 6ue res'ec!a a la lógica4 no es $emasia$o original% es ms re5ina$o 6ue original. Enreali$a$4 su im'or!ancia no se basa !an!o en lo 6ue a(a a'or!a$o 'ersonalmen!e a la lógicacon!ribución sin $u$a escasaH como en las in5ormaciones 6ue nos 'ro'orciona sobre la lógicaan!igua ( sobre el in5luo 6ue és!a eerció en la elaboración $e la lógica me$ie-al4 a5irma R.lancé.

;e llama silogismo i'o!é!ico a a6uel silogismo cu(a 'remisa ma(or es un uicio i'o!é!ico4 es $ecir46ue a5irma una relación bao cier!a con$ición. &a 'remisa menor es ca!egórica4 es $ecir4 6ue a5irma6ue la con$ición se cum'le4 o no se cum'le. En!onces4 la conclusión a5irma o niega la relación.;ien$o !res las es'ecies $e 'ro'osiciones i'o!é!icas4 !ambién el silogismo i'o!é!ico es !ri'le%

e-i$en!emen!e condicional 4 disyuntio ( conjuntio.

1H $ON4'$'ON"L% es el silogismo "ipotético4 que de la proposición condicional infiere unaconclusión categórica. Doble es su 5igura%

1 &a 6ue 'or la -er$a$ $e la con$ición $emues!ra la -er$a$ $e lo con$iciona$o4 como%

;i Dios es us!o4 cas!igar al im'*oPero Dios es us!o&uego el im'*o ser cas!iga$o

cu(a ra#ón $e concluir es e-i$en!emen!e leg*!ima. Pues si 5al!a el ne8o en!re los miembros $e lacon$icional4 -er$a$eramen!e 'ues!a la -er$a$ $e la con$ición4 es necesario !ambién cons!e la -er$a$

$e lo con$iciona$o 1:1H.2 &a 6ue 'or la 5alse$a$ $e lo con$iciona$o $emues!ra la 5alse$a$ $e la con$ición4 como%



;i la Iglesia (erra4 Dios mien!ePero Dios no mien!e&uego la Iglesia no (erra.

También es!a conclusión 'rueba la rec!a en s* a ca$a 6uien 'or6ue si es -er$a$ero4 'ues!a la

con$ición4 all* mismo se 'one lo con$iciona$o 'ero si lo con$iciona$o no se -eri5ica4 $ebe in5erirse46ue la con$ición no a si$o coloca$a.

En una ( o!ra 5igura los mo$os son !oma$os $e la cuali$a$ $e las 'ar!es. Pues una ( o!ra 'ar!e 'ue$eser a5irma!i-a4 una ( o!ra 'ue$e ser nega!i-a !ambién 'ue$e ser con$ición negan!e4 con$iciona$oa5irman!e4 ( -ice-ersa. Por !al ra#ón es!os mo$os son cua!ro. <cerca $e es!o $ebemos ano!ar $oscosas%1 En la 'rimera 5igura la cuali$a$ $e las 'ar!es siem're se conser-a4 (a en la menor (a en laconclusión4 'or eem'lo% ;i la ma!eria no es 'ro$uc!i-a4 no !iene mo-imien!o 'or s* Pero la ma!eria no es 'ro$uc!i-a &uego la ma!eria no !iene mo-imien!o 'or s*.

En cambio en la segun$a 5igura la cuali$a$ $e las 'ar!es siem're se mu$a4 'or eem'lo%;i no $uermes4 es!s $es'ier!oEs as* 6ue no es!s $es'ier!o&uego $uermes.

2 Cual6uiera 6ue sea la cuali$a$ $e las 'ar!es4 la argumen!ación siem're es a5irma!i-a en la 'rimera5igura 'ues la -er$a$ $e lo con$iciona$o siem're se a5irma en la conclusión en la segun$a 5iguracier!amen!e es nega!i-a siem're 'or6ue la -er$a$ $e la con$ición se niega en la conclusión.

<s* como en el silogismo con$icional a( $os 5iguras leg*!imas4 as* !ambién a( 5alaces ( so5*s!icas.1ra. Cuan$o la -er$a$ $e la con$ición se in5iere $e la -er$a$ $e lo con$iciona$o4 como%

;i Pom'e(o ma!ó a César4 César es! muer!oPero César es! muer!o&uego Pom'e(o ma!ó a César.

2$a. Cuan$o la 5alse$a$ $e lo con$iciona$o se in5iere $e la 5alse$a$ $e la con$ición4 como%;i César abla4 es! -i-oEs as* 6ue no abla&uego no es! -i-o.

&a ra#ón 'or 6ué una ( o!ra ra#ón $e concluir sea 5ala#4 es una% 'or6ue e-i$en!emen!e 'ue$en $arseo!ras con$iciones4 'ues!as las cuales4 se -eri5icar el mismo con$iciona$o.h<s* 'ues4 cuan$o la con$ición 6ue se enuncia es la 9nica bao la cual el con$iciona$o 'ue$e-eri5icarse4 con-iene usar es!a 5igura en una ( o!ra 'ara 6ue able mu( cier!amen!e4 aun6ue en es!ecaso no nos se'aramos $e las 5iguras leg*!imas4 'or lo cual 'are#ca 6ue a6uello se ace en es'ecie.En e5ec!o cuan$o la con$ición es 9nica4 la 'ro'osición con$icional es a$ems e8clusi-a4 ( e6ui-ale aes!as $os%

1ra. ;i es <4 es

2$a. ;i no es <4 no es .Por lo cual cuan$o as* se argu(e%Es &uego es <4

o No es <&uego no es 4

es!as argumen!aciones no son $e la 1ra. 'ro'osición seg9n las 5iguras leg*!imas4 sino son seg9n lasleg*!imas $e la 2$a. 'ro'osición 21H.

<ora 6ue$an !res as'ec!os a !ener en cuen!a%1 < -eces se $an los silogismos4 en los cuales e8is!en !o$as las 'ro'osiciones con$icionales. Por

eem'lo%;i los bru!os u(en $el $olor4 sien!en $olorPero si sien!en $olor4 no son 'ura ma!eria



&uego si los bru!os u(en $el $olor4 no son 'ura ma!eriaDe es!e mo$o las argumen!aciones4 6ue 'arecen mu( i'o!é!icas4 en -er$a$ son ca!egóricas osim'les4 ( generalmen!e se re$ucen a es!a 5órmula%

!rimero es la condición de lo segundo0 y luego es la condición del tercero0 Luego primero es la condición del tercero.

la 6ue conclu(e $e es!e 'rinci'io su'ues!o% la condición de la condición es condición de lo

condicionado.

2 <lguna -e# la conclusión es la misma $el silogismo con$icional como en es!e%&a 'ura ma!eria no !iene sen!i$o&uego si los bru!os !ienen sen!i$o4 no son 'ura ma!eria.

En el cual4 como se -e4 !o$os son elemen!os $el silogismo sim'le4 a no ser 6ue la o!ra $e las 'remisasse colo6ue en la conclusión en el lugar $e la con$ición 4lo 6ue se ace 'ara 6ue el a$-ersario 'rescin$ien$o $e la -er$a$ $e las 'ro'osiciones4 recono#ca 5cilmen!e la rec!i!u$ $e la consecuencia." < -eces las con$icionales com'ues!as son !oma$as 'ara argumen!ar como si se $iera%

;i Dios e8is!e4 sien$o im'ro$uc!i-o4 es in$e'en$ien!ePero Dios e8is!e&uego sien$o im'ro$uc!i-o4 es in$e'en$ien!e.

<6uellas con$icionales com'ues!as 'ue$en llamarse condicionales causales4 'or6ue lo 6ue se aña$ea la con$icional4 con!iene la ra#ón 'or la cual se 'rueba la consecuencia.

2H 4'S8N1':O% Es el silogismo "ipotético4 que en el antecedente tiene la proposicióndisyuntia 1:2H.Doble es su 5igura4 cuan$o la $is(un!i-a es 'ro'ia4 ( !iene $os 'ar!es%

1ra. &a 6ue niega una 'ar!e en la menor4 'ara 6ue a5irme la o!ra en la conclusión% Por eem'lo%

O Cris!o se engaña4 o el mun$o (erraPero Cris!o no se engaña&uego el mun$o (erra.

2$a. &a 6ue a5irma una 'ar!e en la menor4 'ara 6ue niegue la o!ra en la conclusión. Por eem'lo%

O la !ierra se mue-e o el sol se mue-ePero la !ierra se mue-e&uego el sol no se mue-e.

Que una ( o!ra ra#ón $e es!a argumen!ación sea rec!a4 es mani5ies!o en!eramen!e 'or la na!urale#a $ela 'ro'osición $is(un!i-a4 cu(as 'ar!es ni 'ue$en ser simul!neamen!e -er$a$eras4 nisimul!neamen!e 5alsas 1:2H. Pero si las 'ar!es $is(un!i-as no sean en es!e mo$o com'ara$as en!res*4 la $is(un!i-a ser 5alsa4 ( a $e ser nega$a.Pero si la $is(un!i-a sea im'ro'ia 1:242H4 solamen!e el 'rimer mo$o $e argumen!ar !en$r 5uer#a.Pues si 'or lo menos con-iene una 'ar!e sea -er$a$era4 -er$a$eramen!e nega$a una4 es necesario 6uela o!ra se a5irme. Cier!amen!e la $e$ucción o'ues!a no 'o$rs acerse.

a la 'rimera (a la segun$a 5igura !iene !res mo$os. Pues o una ( o!ra 'ar!e $e la $is(un!i-a esa5irma!i-a4 o una ( o!ra nega!i-a4 o una a5irma!i-a ( la o!ra nega!i-a.En -er$a$ cual6uiera sea la cuali$a$ $e las 'ar!es bas!a !omar no!a 'ara e-i!ar los errores%1 Que en la 'rimera 5igura la cuali$a$ se mo$i5ica $e su 'ar!e4 6ue es !oma$a en la menor4 6ue seguar$a a6uella4 6ue se $e$uce en la conclusión. Pero 6ue 'or el con!rario en la segun$a se conser-ala cuali$a$ en la menor4 se mo$i5ica en la conclusión.2 Que la argumen!ación en la 'rimera 5igura es siem're a5irma!i-a 'ues en és!a se a5irma la -er$a$$e a6uella 'ar!e 6ue se $e$uce cier!amen!e en la segun$a 5igura siem're es nega!i-a.<6u* se en!en$er $e $ón$e na#ca la 5alacia $e es!a argumen!ación.

O es $oc!o o no es $oc!oPero es $oc!o&uego no es $oc!o.

Pues cuan$o se a 5irme en la menor el 'rimer miembro $e la $is(un!i-a4 a $e ser nega$o el o!ro enla conclusión4 cambia$a su cuali$a$ $e nega!i-a en a5irma!i-a% Luego no es docto cier!amen!e%luego es docto.



;i mucos miembros $e la $is(unción 5ueran ms 6ue $os4 las 5iguras $e es!a argumen!ación sern!res% $os a5irman!es ( la !ercera negan!e.1ra. Niega un miembro4 'ara 6ue a5irme los $ems disyuntiamente en la conclusión4 'or eem'lo%

&a can!i$a$ < o es igual 4 o ma(or 6ue a6uella o menorPero no es igual&uego o es ma(or o menor.

2$a. Nega$os co'ula!i-amen!e !o$os e8ce'!o uno4 a5irma es!o en la conclusión 'or eem'lo4 $e lamisma $is(un!i-a coloca$a an!es 'ue$e arguirse as*%

< no es ni ma(or4 ni menor a &uego es igual a a6uella.

"ra. <5irma$o uno4 conclu(e co'ula!i-amen!e negan$o los $ems4 as*%< es igual a &uego ni es ma(or 6ue a6uella4 ni menor.

!o$as es!as son igualmen!e bas!an!e mani5ies!as 'or la na!urale#a $e la 'ro'osición $is(un!i-a.

"H $ON6N1':O% Es el silogismo "ipotético4 en cuyo antecedente se coloca la proposiciónconjuntia. El silogismo conjuntio es el 6ue $emues!ra 'or la 'ro'osición conun!i-a.;ólo una es 5igura $e es!e silogismo4 e-i$en!emen!e la 6ue a5irma un miembro4 'ara 6ue conclu(a

negan$o el o!ro. Cier!amen!e los mo$os son !res4 como en el silogismo $is(un!i-o. Por eem'lo%Ca(o no 'o$*a es!ar en Roma ( N'oles en !al $*aPero en !al $*a es!aba en Roma&uego no es!aba en N'oles.

Es!a argumen!ación nace $e la misma na!urale#a $e la 'ro'osición conun!i-a. Pues en ellaes!ablecemos4 6ue las $os no 'ue$en a5irmarse simul!neamen!e como -er$a$eras luego a5irma$ouno como -er$a$ero4 6ue$a4 6ue se niegue el o!ro como 5also. Con !o$o no 'o$emos4 as* como en elsilogismo $is(un!i-o4 $e la 5alse$a$ $e una concluir la -er$a$ $e la o!ra. Por6ue como es!ablecimosen la 'ro'osición conun!i-a4 6ue $os no 'ue$en ser simul!neamen!e -er$a$eras4 sin embargo noes!ablecimos 'or igual4 6ue simul!neamen!e 'ue$an ser 5alsas 1:"H. En -er$a$ ca$a uno -e4 6uees!a argumen!ación ser*a ine'!a 'or la conun!i-a $a$a%

Ca(o no es!aba en Roma en !al $*a&uego es!aba en N'oles.

Pues 'o$r*a4 si no es!u-iera en Roma4 es!ar en o!ros in5ini!os lugares.

Con !o$o cuan$o los miembros 6ue se enumeran en la conun!i-a4 son !o$os a6uellos 6ue !ienenlugar en a6uella cosa4 $e !al manera 6ue la 'ro'osición conun!i-a 'ue$a con-er!irse en $is(un!i-acon la -er$a$era en!onces4 como es! claro4 !ambién seg9n es!a o!ra 5igura con-iene concluir4 comoen el silogismo $is(un!i-o no cier!amen!e 'or la *n$ole $e la enunciación conun!i-a4 si no 'or lana!urale#a $e la $is(un!i-a4 a la cual a6uella e6ui-ale. ;ea 'or eem'lo es!a 'ro'osición%

&a !ierra no 'ue$e simul!neamen!e mo-erse ( es!ar 6uie!a.Es!a 'ue$e con-er!irse con -er$a$ en $is(un!i-a%

&a !ierra o se mue-e o es! 6uie!a.Por eso se 'o$r concluir%

1 &a Tierra se mue-e &uego no es! 6uie!a2 &a Tierra no es! 6uie!a &uego se mue-e.

(.2.K. 4'"GR"M"S 4E :ENN

Para $e!erminar si un silogismo es o no -li$o me$ian!e el mé!o$o $e los Diagramas $e +enn4 esnecesario re'resen!ar las 'remisas en un $iagrama. sabien$o 6ue !o$o silogismo cons!a $e !res!érminos ( !res 'ro'osiciones4 ( 6ue a su -e# ca$a !érmino e8'resa un conun!o4 re'resen!amos el!érmino ,e$io4 el ;ue!o ( el Pre$ica$o me$ian!e !res c*rculos en!rela#a$os e i$en!i5ica$os 'or ;4 P (,. Para una meor com'rensión numeramos los !res c*rculos ( las reas como se obser-a en el

siguien!e gr5ico en!onces4 el rea 1 re'resen!a el conun!o $e los ; 6ue no son ni P ni ,4 es $ecir4; P , en el rea / el conun!o $e los ; 6ue son P 'ero no son ,4 es!o es4 ; P , en el rea :4 elconun!o $e los ; 6ue son P ( ,4 es $ecir ; P , ( en 5orma anloga en las res!an!es reas.



2 / ; P

1 :

"

,

En consecuencia4 !enemos el siguien!e signi5ica$o $e las $i-ersas reas.

2

_/ ; P , P

; 1 ; P ,

; P , ; P , : ; P , _ ; P ,

; P , ; P , " ,

Es 'osible la in!er're!ación $e es!e $iagrama en 5unción $e las $i5eren!es clases $e!ermina$as 'or laclase $e los cam'esinos ;H4 la clase $e los ar!is!as PH ( la clase $e los 'eruanos ,H4 en el siguien!eeem'lo%

&os 'eruanos son ar!is!as&os cam'esinos son 'eruanos

&os cam'esinos son ar!is!as

<s*4 'o$emos in!er're!ar es!e $iagrama en 5unción $e las $i5eren!es clases $e !o$os los cam'esinos;H4 la clase $e !o$os los ar!is!as PH ( la clase $e !o$os los 'eruanos ,H% _ _ 1. ; P , es el 'ro$uc!o $e la 'rimera ( el com'lemen!o $e las o!ras $os% la clase $e !o$os loscam'esinos 6ue no son ar!is!as ni 'eruanos. _ _ 2. ; P , es el 'ro$uc!o $e la segun$a clase ( los com'lemen!os $e las o!ras $os% la clase $e !o$oslos ar!is!as 6ue no son cam'esinos ni 'eruanos. _ _ ". ; P , es el 'ro$uc!o $e la !ercera clase ( los com'lemen!os $e las $os 'rimeras% la clase $e!o$os los 'eruanos 6ue no son cam'esinos ni ar!is!as. _

/. ; P , es el 'ro$uc!o $e las $os 'rimeras ( el com'lemen!o $e la !ercera4 o sea la clase $e !o$oslos ar!is!as cam'esinos 6ue no son 'eruanos. _



. ; P , es el 'ro$uc!o $e las clases segun$a ( !ercera con el com'lemen!o $e la 'rimera% la clase$e !o$os los 'eruanos ar!is!as 6ue no son cam'esinos . _ . ; P , es el 'ro$uc!o $e la primera4 la !ercera ( el com'lemen!o $e la segun$a% la clase $e !o$oslos 'eruanos cam'esinos 6ue no son ar!is!as.

:. ; P , es el 'ro$uc!o $e es!as !res clases ( es la clase $e !o$os los 'eruanos ar!is!as cam'esinos. _ _ _ M. ; P , es el 'ro$uc!o $e los com'lemen!os $e las !res clases originales% la clase $e !o$as lascosas 6ue no son cam'esinos4 ni ar!is!as4 ni 'eruanos.

El silogismo es -li$o si ( solamen!e si las $os 'remisas im'lican la conclusión4 o sea4 si a5irmanconun!amen!e lo 6ue a5irma la conclusión. Por !an!o4 bas!a $iagramar las 'remisas $e unra#onamien!o -li$o 'ara 6ue 6ue$e $iagrama$a !ambién su conclusión4 sin 6ue a(a necesi$a$ $eacer nue-as marcas en los c*rculos. <s* 'or eem'lo% To$os los em'lea$os son es!u$ian!es To$o , es P To$os los 'ro5esores son em'lea$os To$o ; es , &uego !o$os los 'ro5esores son es!u$ian!es. To$o ; es P

Por lo !an!o4 $iagramar la conclusión To$o ; es P e6ui-ale a sombrear la 'ar!e ; P ,4 ; P ,4 ;P , ( ; P ,.

2

8888888888 / 88888 ; P , P 8888888888888888888888 ; 8888 1 88888888 ; P , 8888 88888888888888888888

888888 ; P , 8888 ; P , 8888888888888888888 : ; P ,

88888888888888888888 888888

888888888888 ; P , 88888888888888 " 888888888888888 8888888888888888888888888

8888888888888888 ; P , 8888888888 88888888888888888888888 ; P , 8888888888888888888888

888888888888 ,

<'lican$o el $iagrama $e +enn a un silogismo no -li$o4 como 'or eem'lo%

To$os los leones son mam*5eros To$o P es ,To$os los bue(es son mam*5eros To$o ; es ,&uego !o$os los bue(es leones To$o ; es P

sombramos ; , P4 ; P ,4 ; P , 'ero la conclusión no 6ue$a $iagrama$a4 'or6ue la 'ar!e; P , no se 'o$r*a sombrear4 'ues 'ara $iagramar la conclusión $eber*a sombrearse !an!o ; , Pcomo ; P ,. n ra#onamien!o cu(as 'remisas no im'lican su conclusión no es -li$o (4 'or !an!o4nues!ro $iagrama mues!ra 6ue el silogismo no es -li$o.

8888888 2 888888888888888888888888888888888888

888888888888 / 88888888 ; P , 8888888 P 88888888888888888888888888888888888888888

; 88888888 1 888888888 ; P , 888888888888888888888888888888888888 88888888888888 ; P , 888 ; P , 888

88888888888888 : ; P ,



888888888888888888888 ; P ,

8888888 8888 ; P ,

; P , "

,



2. 9ORM"S 4E R"3ON"M'EN1O

El hombre inteligente no es el que tiene muchas ideas, sino el que sabe sacarro!echo de las ocas que tiene. "n#nimo.

$ometencia% Reconoce4 'rocesa ( us!i5ica los ra#onamien!os lógicos ( analógicos$i5erencin$olos $e o!ras 5ormas $e ra#onamien!o.

n ra#onamien!o $e$uc!i-o 'ue$e ser -li$o o in-li$o es -li$o si es im'osible 6ue sus 'remisassean cier!as sin 6ue !ambién sea cier!a su conclusión $e lo con!rario4 ser in-li$o. &a !eor*a $e la$e$ucción !ra!a $e e8'licar la relación en!re las 'remisas ( la conclusión $e un ra#onamien!o -li$o( $e es!ablecer !écnicas 'ara u#gar los ra#onamien!os $e$uc!i-os4 es!o es4 'ara $iscriminar en!re las$e$ucciones -li$as ( las 6ue no lo son.&a lógica $e 'ro'osicional !oma sus 'ro'osiciones4 6ue in!er-ienen en un $iscurso4 como un !o$oanali#a$o en sus 'ar!es o com'onen!es. &e in!eresa sólo el es!u$io $e las cone8iones lógicas $e unas 'ro'osiciones con o!ras en or$en a ob!ener conclusiones en 5orma correc!a.&a lógica $e los !érminos anali#a las $i-ersas 'ar!es o com'onen!es $e las 'ro'osiciones en or$en aob!ener conclusiones correc!as. ;on las 'ar!es $e las 'ro'osiciones% el sue!o4 el 're$ica$o ( o!roscom'lemen!os.De igual manera a como un os!eólogo es!u$ia4 no solamen!e las ar!iculaciones $e unos uesos cono!ros4 sino !ambién la es!ruc!ura in!erna $e los mismos4 as* !ambién el lógico reali#a es!e $oblees!u$io en el cuer'o $el lenguae $esarrollan$o las $os 'ar!es $e la lógica4 llama$as lógica $e 'ro'osiciones ( lógica $e !érminos. En resumen4 la lógica se ocu'a $el 'ensamien!o4 subrra(n$osecorrec!o.

PEN;<,IENTO

)acul!a$G)unción Pro$uc!o

E8'resa$o Ine8'resa$o

&enguae &enguae escri!o oral

Cual6uier 'roce$imien!o $e in5erencia o $e 'rueba4 ( 'or !an!o4 cual6uier argumen!o4 conclusión4in5erencia4 $e$ucción4 in$ucción4 analog*a4 es un ra#onamien!o. En consecuencia4 el ra#onamien!o esla sucesión lógica $e uicios 6ue $esemboca en una conclusión. ;e $is!inguen $i5eren!es !i'os $era#onamien!o4 $e acuer$o con su 5orma ( su gra$o $e rigor%

1H El deducti!o% 6ue consis!e en $eri-ar un caso 'ar!icular $e un 'rinci'io general !alra#onamien!o4 'uramen!e lógico4 es riguroso4 'ero 'ara algunos es!éril2H El inducti!o% 6ue consis!e en e8!raer $e algunos casos4 rigurosa ( me!ó$icamen!e e8amina$os4una le( general es un ra#onamien!o mu( crea!i-o4 'ero a -eces no mu( es!ric!o. Es!e ra#onamien!oes 'ro'io $e las ciencias na!urales ( en algunos casos $e las socioGumanas."H El ra5onamiento matemtico% s*n!esis $e los $os 'rece$en!es4 6ue al mismo !iem'o es riguroso (5ecun$o. E$mon$G&éonce Loblo! 1MMG1F"H llamó al ra#onamien!o ma!em!ico4 una in$ucciónrigurosa ( una $e$ucción cons!ruc!i-a 'or eem'lo4 2 [ 2 ` / en 'ura lógica% 2 [ 2 ` 2 [ 2 la 'ro$ucción $el n9mero / es una s*n!esis cons!ruc!i-a.

2.&. R"3ON"M'EN1O LÓG'$O

En es!e a'ar!a$o se 're!en$e es'eci5icar con ma(or 'recisión el signi5ica$o $el !érmino -li$o4!enien$o en cuen!a lo e8'ues!o en el *!em 2.".". Por lo 6ue al consi$erar el siguien!e ra#onamien!o%



;i ,ari!egui escribió las obras a!ribui$as a ,ar84 en!onces ,ari!egui era un gran escri!or.,ari!egui era un gran escri!or.&uego4 ,ari!egui escribió las obras a!ribui$as a ,ar8.

En !al ra#onamien!o 'o$emos es!ar $e acuer$o con las 'remisas4 'ero no con la conclusión4 'ues el

ra#onamien!o no es -li$o. ;e $emues!ra 6ue no es -li$o me$ian!e el mé!o$o $e la analog*a lógica.<s* se 'ue$e re'licar% lo mismo 'o$r*a $ecir $. 6ue%;i Cas!illa 5ue asesina$o4 en!onces Cas!illa es! muer!o.Cas!illa es! muer!o.&uego4 Cas!illa 5ue asesina$o4( es e-i$en!e 6ue es!o no 'ue$e $. sos!ener seriamen!e 'ues en es!e caso se sabe 6ue las 'remisasson -er$a$eras ( 6ue la conclusión es 5alsa consecuen!emen!e4 es!e ra#onamien!o no es -li$o. &a!écnica $e re5u!ación 'or analog*a lógica in$ica el camino acia un mé!o$o general e8celen!e 'ara$e!erminar si su ra#onamien!o es o no -li$o. Para 'robar 6ue un ra#onamien!o no es -li$o bas!a5ormular o!ro ra#onamien!o 6ue !enga%1H la misma 5orma 6ue el 'rimero2H 'remisas cier!as ( una conclusión 5alsa.

Es!e mé!o$o se sus!en!a en 6ue la -ali$e# o la in-ali$e# son carac!er*s!icas 'uramen!e 5ormales $elos ra#onamien!os4 ( ello e6ui-ale a $ecir 6ue $os ra#onamien!os 6ue !ienen la misma 5orma4 o bienambos son -li$os4 o bien in-li$os4 sin 'oner en consi$eración los $i5eren!es con!eni$os a los 6ue se 'ue$an re5erir.<l simboli#ar los enuncia$os ,ari!egui escribió las obras a!ribui$as a ,ar84 ,ari!egui era ungran escri!or4 Cas!illa 5ue asesina$o ( Cas!illa es! muer!o con las le!ras ,4 C4 <4 D4res'ec!i-amen!e4 'o$emos 5ormular los ra#onamien!os siguien!es%

, ⊃ C <⊃ DC ( D ∆ , ∆ <

El anlisis $e las 5ormas $e los ra#onamien!os4 nos e8ige con!ar con un mé!o$o 'ara simboli#ar las5ormas mismas. 'ara ac!i-ar $ico mé!o$o se in!ro$uce la noción $e -ariable4 6ue la simboli#amoscon el em'leo $e le!ras min9sculas4 re'resen!an$o ca$a le!ra a un enuncia$o com'ues!o o sim'le.&a 5orma $e ra#onamien!o se la $e5ine como una secuencia $e s*mbolos4 6ue con!iene -ariables $eenuncia$os4 'ero no enuncia$os4 $e !al manera 6ue cuan$o se reem'la#an las -ariables $eenuncia$os 'or enuncia$os4 el resul!a$o es un ra#onamien!o. <s* la e8'resión%

' ⊃ 66 ∆ '

-iene a ser una 5orma $e ra#onamien!o4 ( si se reem'la#an las -ariables $e enuncia$o ' ( 6 'or losenuncia$os , ( L4 res'ec!i-amen!e4 el resul!a$o es el 'rimer ra#onamien!o ci!a$o an!eriormen!e. ;ilas -ariables ' ( 6 se reem'la#an 'or los enuncia$os < ( D4 el resul!a$o es el segun$o ra#onamien!o.To$o ra#onamien!o 6ue resul!a $e la sus!i!ución $e -ariables 'or enuncia$os4 en una 5orma $era#onamien!o4 es llama$o un eem'lo $e sus!i!ución $e es!a 5orma. &a 5orma $e un ra#onamien!o$a$o es la 5orma $e la cual resul!a el ra#onamien!o al sus!i!uir ca$a -ariable $e enuncia$o $is!in!a 'or un enuncia$o sim'le $i5eren!e. <s*4 la 5orma $e ra#onamien!o an!erior es la 5orma $e losra#onamien!os 'rece$en!es ( son eem'los $e sus!i!ución $e la siguien!e 5orma $e ra#onamien!o%

' 6

∆ r



$e la cual resul!an me$ian!e el rem'la#o $e las -ariables $e enuncia$o '4 64 ( r 'or los enuncia$os ,⊃ L4 L ( ,4 res'ec!i-amen!e4 ( C ⊃ D4 D ( C4 res'ec!i-amen!e. Pero és!a no es la 5orma $eninguno $e los $os ra#onamien!os4 'ues las sus!i!uciones 'ara ob!enerlos inclu(en el rem'la#o $euna -ariable 'or un enuncia$o com'ues!o. Para !o$o ra#onamien!o a( una 9nica 5orma 6ue sea la5orma $el mismo.

<ora 'o$emos 'recisar la !écnica $e la re5u!ación 'or analog*a lógica. ;i la 5orma $e unra#onamien!o !iene alg9n eem'lo $e sus!i!ución cu(as 'remisas sean cier!as ( cu(a conclusión sea5alsa4 en!onces el ra#onamien!o en cues!ión no es -li$o.

También 'o$emos 'recisar la e8'resión $e in-li$o4 mani5es!an$o 6ue una 5orma $e ra#onamien!o esin-li$a si4 ( solamen!e si4 !iene un eem'lo $e sus!i!ución con 'remisas cier!as ( conclusión 5alsa.&a re5u!ación 'or analog*a lógica se basa en el eco $e 6ue !o$o ra#onamien!o cu(a 5orma esin-li$a4 no es un ra#onamien!o -li$o. En!onces4 !o$a 5orma $e ra#onamien!o 6ue no sea in-li$a$ebe ser -li$a. na 5orma $e ra#onamien!o es -li$a si4 ( sólo si4 no !iene ning9n eem'lo $esus!i!ución con 'remisas cier!as ( conclusión 5alsa.;i una 5orma $e ra#onamien!o con!iene $os -ariables $e enuncia$os $i5eren!es4 ' ( 64 !o$os suseem'los $e sus!i!ución son el resul!a$o $e sus!i!uir ' ( 6 'or enuncia$os cier!os4 o bien un

enuncia$o cier!o en lugar $e ' ( o!ro 5also en lugar $e 64 o bien uno 5also en lugar $e ' ( o!ro cier!oen lugar $e 64 o bien ambos 5alsos 'ara ' ( 6. Para $e!erminar si es o no -li$a la 5orma $era#onamien!o ' ⊃ 64 6 ∆ '4 cons!ruimos la siguien!e !abla $e -er$a$%

' 6 ' ⊃ 6 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1

Ca$a 5ila re'resen!a a !o$a una clase $e eem'los $e sus!i!ución. &as $os columnas iniciales sir-en$e gu*a ( los n9meros re'resen!an los -alores $e cer!e#a $e los enuncia$os 6ue sus!i!u(en a las-ariables ' ( 6 en la 5orma $e ra#onamien!o. ;e llena la !ercera !oman$o como re5erencia lascolumnas iniciales ( la $e5inición $e la erra$ura. El encabe#amien!o $e la !ercera columna es la 'rimera 'remisa $e la 5orma $e ra#onamien!o4 el $e la segun$a columna es la segun$a 'remisa (el $e la !ercera es la conclusión.

&a -ali$e# $e la 5orma $el silogismo $is(un!i-o ' - 64 Y' ∆ 64 la mos!ramos cons!ru(en$o lasiguien!e !abla $e cer!e#a% ' 6 ' - 6 ¬ ' 1 1 1 0 0 1 1 11 0 1 0

0 0 0 1

Debao $e las columnas iniciales o $e gu*a4 se a escri!o !o$os los 'osibles -alores $e -er$a$$i5eren!es $e los enuncia$os 6ue 'ue$en sus!i!uir a las -ariables ' ( 6. ;e llena la !ercera columnacon re5erencia a las $os 'rimeras4 ( la cuar!a con re5erencia solo a la 'rimera. <s*4 la segun$a 5ila esla 9nica en la cual a'arecen unos $ebao $e ambas 'remisas columnas !ercera ( cuar!aH ( $e laconclusión segun$a columnaH. Por !an!o4 la !abla nos mues!ra 6ue es!a 5orma $e ra#onamien!o no!iene ning9n eem'lo $e sus!i!ución con 'remisas cier!as ( conclusión 5alsa4 lo cual $emues!ra la-ali$e# $e la misma.

En el siguien!e eem'lo4 el ra#onamien!o ilus!ra el !i'o ms sim'le $e ra#onamien!o in!ui!i-amen!e-li$o en el 6ue 5igura un enuncia$o i'o!é!ico%

;i el segun$o are6ui'eño $io la -er$a$4 en!onces solamen!e uno $e los are6ui'eños es 'ol*!ico.

El segun$o are6ui'eño $io la -er$a$.&uego4 solamen!e uno $e los are6ui'eños es 'ol*!ico.



Es!a 5orma $e ra#onamien!o4 conoci$a como mo$us 'onen$o 'onens4 es ' ⊃ 64 ' ∆ 6 ( se 'rueba 6uees -li$o con la siguien!e !abla%

' 6 ' ⊃ 6 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1

&as $os 'remisas es!n re'resen!a$as 'or la !ercera ( 'rimera columna4 ( la conclusión 'or lasegun$a. ;ólo la 'rimera 5ila re'resen!a los eem'los $e sus!i!ución en las 6ue ambas 'remisas soncier!as ( el uno $e la segun$a columna mues!ra 6ue en es!os ra#onamien!os la conclusión es!ambién cier!a. Es!a !abla mues!ra la -ali$e# $e !o$o ra#onamien!o $e la 5orma mo$us 'onens.

O!ro !i'o com9n $e ra#onamien!o in!ui!i-amen!e -li$o 6ue con!iene e8clusi-amen!e enuncia$osi'o!é!icos ( 6ue se llama ;ilogismo i'o!é!ico4 es%

;i el 'rimer are6ui'eño es 'ol*!ico4 en!onces mien!e.

;i mien!e4 en!onces niega 6ue es un 'ol*!ico.&uego4 si el 'rimer are6ui'eño es un 'ol*!ico4 en!onces niega ser un 'ol*!ico.

;u 5orma es ' ⊃ 64 6 ⊃ r ∆ ' ⊃ r. al con!ener !res -ariables $e enuncia$o $is!in!as4 la !abla $e-er$a$ $ebe !ener !res columnas iniciales o $e gu*a4 lo cual re6uiere oco 5ilas 'ara consignar !o$olos eem'los $e sus!i!ución 'osibles. <$ems $e las !res columnas iniciales4 se re6uiere o!ras !rescolumnas4 $os 'ara las 'remisas ( una !ercera 'ara la conclusión. <s* !enemos%

' 6 r ' ⊃ 6 6 ⊃ r ' ⊃ r1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 1 0 1 10 0 1 1 1 11 1 0 1 0 00 1 0 1 0 11 0 0 0 1 00 0 0 1 1 1

En es!a cons!rucción4 se llena la cuar!a columna !oman$o como re5erencia la 'rimera ( la segun$a4la 6uin!a !oman$o como re5erencia la segun$a ( la !ercera4 ( la se8!a !oman$o como re5erencia la 'rimera ( la !ercera. &as 'remisas son cier!as sólo en las 5ilas 'rimera4 segun$a4 cuar!a ( oc!a-a4 (en !o$as es!as la conclusión es cier!a.;i se consi$eran 5ormas $e ra#onamien!o ms com'le!a$as4 se necesi!an !ablas $e -er$a$ ma(ores 'ara some!erlas a un !es! $e -ali$e#4 'ues 'ara ca$a -ariable $e enuncia$o $i5eren!e 6ue a'are#ca enla 5orma $e ra#onamien!o4 es necesario in!ro$ucir una columna inicial o $e gu*a se'ara$a.

2.(. R"3ON"M'EN1O S'LOG;S1'$O 4E4$1':O

<ris!ó!eles a5irmó% El silogismo es un ra#onamien!o en el cual4 'ues!as algunas cosas4 o!ra las siguenecesariamen!e 'or lo mismo 6ue a6uellas son. Dicien$o 'or flo mismo 6ue a6uellas sonf4 6uiso$ecir 6ue $e ellas se $e$uce algo (4 'or o!ra 'ar!e4 al $ecir f$e ellas se $e$uce algof4 6uiso $ecir 6ueno es necesario agregar na$a e8!erior 'ara 6ue la $e$ucción siga necesariamen!e. El silogismo no eso!ra cosa 6ue la $e$ucción $e una 'ro'osición a 'ar!ir $e o!ra.El ra#onamien!o silog*s!ico es el as'ec!o ms im'or!an!e en la lógica. ;u -ali$e# o in-ali$e# $e'en$ee8clusi-amen!e $e su 5orma ( es com'le!amen!e in$e'en$ien!e $e su con!eni$o es'ec*5ico o $el !emaal 6ue se re5iere. <s*4 en el silogismo%

To$o , es PTo$o ; es ,To$o ; es P



es un ra#onamien!o 'lenamen!e -li$o4 cual6uiera 5uere el !ema $el 6ue !ra!a es!o es4 cuales6uiera6ue 5ueren los !érminos 6ue re'resen!en a ca$a una $e las le!ras en la 5orma es!ableci$a4 elra#onamien!o ser -li$o. <s*4 'or eem'lo%

To$os los 'eruanos son ombres

To$os los are6ui'eños son 'eruanosPor !an!o4 !o$os los are6ui'eños son ombres.

n silogismo ca!egórico -li$o es un ra#onamien!o 5ormalmen!e -li$o4 es!o es4 -li$o en su 5orma4e8clusi-amen!e. &o cual signi5ica 6ue si un cier!o silogismo es -li$o4 cual6uier o!ro silogismo $e lamisma 5orma ser !ambién -li$o. si un silogismo carece $e -ali$e#4 cual6uier o!ro silogismo $e lamisma 5orma carecer $e -ali$e#. &a meor 5orma $e e8'oner el carc!er 5ala# $e un silogismo ser*acons!ruir o!ro ra#onamien!o 6ue !enga e8ac!amen!e la misma 5orma4 'ero cu(a 5al!a $e -ali$e#a'are#ca $e mo$o inme$ia!o as* 'or eem'lo%

To$os los ra!ones son mu( -eloces<lgunos 'erros son mu( -eloces

Por !an!o4 algunos 'erros son ra!ones.Es!e ra#onamien!o no se 'ue$e $e5en$er seriamen!e4 'or6ue no se !ra!a $e una cues!ión rela!i-a a losecos. <$ems4 sabemos 6ue las 'remisas son -er$a$eras4 'ero la conclusión es 5alsaconsecuen!emen!e4 el ra#onamien!o no es -li$o.

;i bien el 'o$er elabora una analog*a lógica con 'remisas -er$a$eras ( conclusión 5alsa $emues!ra6ue la 5orma no es -li$a4 el no 'o$er lograrlo no $emues!ra 6ue la 5orma sea -li$a4 'ues ello 'ue$e$ear solamen!e las limi!aciones $e nues!ro 'ensamien!o. Pue$e $arse una analog*a 6ue in-ali$e unra#onamien!o aun cuan$o no seamos ca'aces $e 'ensarla. ;e re6uiere u mé!o$o ms e5ec!i-o 'araes!ablecer la -ali$e# o in-ali$e# 5ormal $e los silogismos ca!egóricos.

2.2. R"3ON"M'EN1O "N"LÓG'$O

El !érmino analog*a 'roce$e $el griego αναλογον4 6ue signi5ica seg9n 'ro'orción. En !érminosgenerales4 es la correlación en!re los !érminos $e $os o -arios sis!emas u ór$enes4 es $ecir4 lae8is!encia $e una relación en!re ca$a uno $e los !érminos $e o!ro. &a analog*a e6ui-ale4 en!onces4 ala 'ro'orción. El ra#onamien!o analógico 'ue$e $e5inirse as*% La argumentación) a traés de lacual) de una proposición descubierta por nosotros) inferimos otra proposición no descubierta . Por lo cual4 es claro 6ue el argumen!o $e la analog*a meri!oriamen!e se llame in$ucción im'er5ec!a4 $a$o6ue la in$ucción 'roce$e $e las 'ar!es acia !o$o el género ( la analog*a 'roce$e $e la 'ar!e acia la 'ar!e4 la 6ue $e cual6uier mo$o se con!iene bao el mismo género.

;e a abla$o !ambién $e analog*a como semean#a $e una cosa con o!ra4 $e la simili!u$ $e unoscarac!eres o 5unciones con o!ros. En es!e caso4 la analog*a consis!e en la e8'resión $e una

corres'on$encia4 semean#a o correlación. Con es!e !érmino se e8'resa an!e !o$o la analog*a $elconocimien!o4 el cual concibe un en!e 'or su relación con o!ro $is!in!o. El ser $e un en!e es4 'or consiguien!e4 in5eri$o o al menos aclara$o4 com'arn$olo con o!ro $i5eren!e4 eem'lo4 el 'ensamien!ome -ino como un ra(o.

&a analog*a su'one 6ue el ser con el cual a $e reali#ar la com'aración 'or lo menos $es$e el 'un!o$e -is!a $e la mismaH es conoci$o4 ( 6ue en!re ambos a( a la -e# coinci$encia ( $i-ersi$a$. ;incoinci$encia $esa'arece !o$a 'osibili$a$ $e com'aración sin $i-ersi$a$4 la com'aración $a comoresul!a$o una mera re'e!ición $e lo mismo sin nue-a aclaración.

De a* 6ue el conocimien!o analógico !enga sus ra*ces en la analog*a $el en!e4 gracias a la cual $os oms en!es coinci$en ( al mismo !iem'o se $is!inguen en su ser. Aa( ra#onamien!os 6ue no as'iran a

$emos!rar la -er$a$ $e sus conclusiones como $eri-ación necesaria $e sus 'remisas4 sino 6ue sóloa5irman su 'robabili$a$4 o sea 6ue 'robablemen!e son -er$a$eras. Es!os ra#onamien!os



generalmen!e reciben el nombre $e in$uc!i-os ( son realmen!e $is!in!os $e a6uellos $e la -arie$a$$e$uc!i-a4 'ues son ra#onamien!os 'or analog*a.

;obre el 'ar!icular4 es conoci$o el ra#onamien!o analógico 6ue 5ormula Neus!a$! Kiener cuan$oa5irma% &a 'rimera re-olución in$us!rial4 la re-olución $e los sombr*os !alleres sa!nicos4 signi5icóla $es-alori#ación $el bra#o umano 'or la com'e!encia $e las m6uinas. No a( ning9n salario con

el cual 'ue$a -i-ir un obrero $e 'ico ( 'ala en los Es!a$os ni$os 6ue sea bas!an!e bao como 'aracom'e!ir con el !rabao $e una e8ca-a$ora mecnica.De manera similar4 la mo$erna ci-ili#ación in$us!rial com'u!a$oras elec!rónicas $e al!a -eloci$a$4llama$as m6uinas 'ensan!esH es! $es!ina$a a $es-alori#ar el cerebro umano4 al menos en sus$ecisiones ms sim'les ( ru!inarias. Claro es! 6ue4 as* como el car'in!ero4 el mecnico ( la mo$is!abiles an sobre-i-i$o4 en cier!a me$i$a4 a la 'rimera re-olución in$us!rial4 $el mismo mo$o elcien!*5ico ( el a$minis!ra$or biles 'ue$en sobre-i-ir a la segun$a. !oma$o $e C(berne!icsH

Igual ra#onamien!o analógico encon!ramos en el 5ilóso5o escocés Tomas Rei$4 cuan$o en su 1ssayson t"e ,ntellectual !o2ers of +an a5irma%Po$emos obser-ar una gran simili!u$ en!re la Tierra 6ue abi!amos ( los o!ros 'lane!as4 ;a!urno4J9'i!er4 ,ar!e4 +enus ( ,ercurio. To$os ellos giran alre$e$or $el ;ol4 al igual 6ue la !ierra4 aun6ue a

$is!ancias ( en 'er*o$os $i5eren!es. To$os ellos !oman su lu# $el ;ol4 lo mismo 6ue la Tierra. ;e sabe6ue -arios $e ellos giran alre$e$or $e sus ees4 como la Tierra4 ( $ebi$o a es!o $eben $e 'resen!ar una sucesión $e $*as ( noces. <lgunos $e ellos !ienen lunas 6ue les $an lu# en ausencia $el ;ol4como lo ace nues!ra &una 'ara noso!ros. En sus mo-imien!os4 !o$os ellos es!n some!i$os a lamisma le( $e gra-i!ación4 como ocurre con la Tierra. Toman$o como base !o$as es!as semean#as noes $is'ara!a$o 'ensar 6ue4 al igual 6ue la Tierra4 esos 'lane!as 'ue$en es!ar abi!a$os 'or seres-i-ien!es $e $i-ersos ór$enes. Es!a conclusión $eri-a$a 'or analog*a cuen!a con cier!a 'robabili$a$ asu 5a-or.

No 'o$emos ol-i$ar 6ue la analog*a cons!i!u(e el 5un$amen!o $e la ma(or*a $e nues!rosra#onamien!os or$inarios en los 6ue4 a 'ar!ir $e e8'eriencias 'asa$as4 !ra!amos $e $iscernir lo 6ue 'ue$e reser-arnos el 5u!uro. Es cier!o 6ue ninguno $e es!os ra#onamien!os es seguro4 o$emos!ra!i-amen!e -li$o. Ninguna $e sus conclusiones $eri-an 'or necesi$a$ lógica $e sus 'remisas.

&ógicamen!e4 es 'osibles 6ue lo ocurri$o a los !rabaa$ores manuales no ocurra a los !rabaa$oresin!elec!uales4 6ue la Tierra sea el 9nico 'lane!a abi!a$o4 6ue los nue-os #a'a!os no $en resul!a$o (6ue el 9l!imo libro $el au!or 're5eri$o no sea lo meor. Es 'osible lógicamen!e 6ue un 5uego 'ue$a6uemar ( o!ro no. Por !an!o4 ning9n ra#onamien!o 'or analog*a 're!en$e ser ma!em!icamen!eseguro. &os ra#onamien!os analógicos no 'ue$en clasi5icarse como -li$os e in-li$os. Pues lo 6uese es'era $e ellos es una cier!a 'robabili$a$.

Tra#ar una analog*a en!re $os o ms en!i$a$es es in$icar uno o ms as'ec!os $e ella en los 6ue sonsimilares. Es!o e8'lica 6ué es una analog*a4 'ero subsis!e el 'roblema $e carac!eri#ar elra#onamien!o 'or analog*a. ;i !omamos como eem'lo el ra#onamien!o $e 6ue mi nue-o 'ar $e

#a'a!os me $ar buen resul!a$o 'or6ue mis #a'a!os -ieos4 com'ra$os $e la misma !ien$a4 me $ieron buen resul!a$o4 ( consi$eran$o similares los $os 'ares $e #a'a!os4 obser-amos !res 'un!os $eanalog*a im'lica$os ( los as'ec!os en los cuales se asemean son%1H 6ue son #a'a!os42H 6ue an si$o com'ra$os en la misma !ien$a4"H 6ue $an buen resul!a$o.

Es cier!o 6ue los !res 'un!os $e analog*a no $esem'eñan i$én!ico 'a'el en el ra#onamien!o. &os $os 'rimeros a'arecen en las 'remisas4 mien!ras 6ue el !ercero es a5irma$o en la conclusión. Por !an!o4 elra#onamien!o 'ue$e $escribirse como un ra#onamien!o en el 6ue las 'remisas a5irman la similari$a$$e $os cosas en $os as'ec!os ( la conclusión a5irma 6ue son !ambién similares en un !ercer as'ec!o.

No !o$os los ra#onamien!os analógicos se re5ieren e8ac!amen!e a $os cosas4 o e8ac!amen!e a !resas'ec!os $i5eren!es. Es el caso $el ra#onamien!o $e Tomas Rei$ 1:10G1:FH 6ue !ra#a analog*a



en!re seis cosas 'lane!asH en unos oco as'ec!os. Pero $ean$o $e la$o las $i5erencias numéricas4!o$os los ra#onamien!os analógicos !ienen la misma es!ruc!ura o es6uema com9n.

&os ra#onamien!os analógicos 'ue$en ser es!ima$os en base a la ma(or o menor 'robabili$a$ con6ue es!ablecen sus conclusiones. Por ello señalamos algunos criterios 6ue se a'lican a es!a clase $era#onamien!os%

1H El nmero de entidades en!re las cuales se a5irman las analog*as es im'or!an!e 'ara laa'reciación $e un ra#onamien!o analógico. Es algo 6ue nace $el sen!i$o com9n. <s*4 si (o sugieroa un !ercero 'ara 6ue no en-*e su ro'a a una $e!ermina$a la-an$er*a 'or6ue o!ros clien!es!u-ieron resul!a$os semean!es a los 6ue !u-e4 !ales 'remisas sir-en 'ara es!ablecer la conclusióncon ma(or 'robabili$a$. Pues la 'robabili$a$ es ma(or en $ie# casos 6ue en uno.

2H El nmero de asectos en los cuales se es!ablecen analog*as en!re las cosas en cues!ión es elcri!erio 'ara u#gar ra#onamien!os analógicos. En el eem'lo $el 'ar $e #a'a!os4 !enemos 6ue eleco $e 6ue el nue-o 'ar com'ra$o en el mismo negocio $on$e se a$6uirió el 'ar an!iguo 6ue$io buenos resul!a$os4 cons!i!u(e cier!amen!e una 'remisa4 $e la cual se $es'ren$e 6ue el nue-o 'ar $é 'robablemen!e buen resul!a$o.

"H La Cuer5a de sus conclusiones con res'ec!o a las 'remisas es el !ercer cri!erio 'or el cual 'ue$e

u#garse los ra#onamien!os analógicos. <s*4 si &uis !iene un au!omó-il 6ue recorre 0 Uilóme!ros 'or galón $e gasolina4 ,oisés 6ue cuen!a con un au!omó-il $el mismo mo$elo ( marca 6ue &uis4concluir 6ue !en$r !ambién el mismo ren$imien!o. &a 'robabili$a$ es!ar oscilan$o en base a lacercan*a $el ren$imien!o $el au!omó-il $e &uis.

/H El cuar!o cri!erio 'ara la es!imación $e los ra#onamien!os analógicos se relaciona con el nmerode desemeBan5as o $i5erencias en!re los eem'los menciona$os en las 'remisas ( el eem'lo al6ue se re5iere la conclusión. Pues la ma(or o menor -eloci$a$ aumen!a o re$uce la 'robabili$a$$e la conclusión.

H El 6uin!o cri!erio 'ara u#gar los ra#onamien!os analógicos4 es 6ue cuanto ms desemeBantes sonlos eem'los menciona$os en las 'remisas4 !an!o ms Cuerte es el ra5onamiento. Es!e cri!erioe8'lica la im'or!ancia $el 'rimero 'ues a ma(or n9mero $e eem'los menciona$os4 ma(or serel n9mero $e $esemean#as 6ue 'ue$an señalarse en!re ellos.

2.=. O1ROS R"3ON"M'EN1OS

En el lenguae or$inario ( seg9n la argumen!ación 'o$emos 'ercibir -arias es'ecies $e silogismo4en!re ellas% en!imema4 e'i6uerema o 'roban#a ( $ilema.

2.=.&. LOS EN1'MEM"S

En!imema es el silogismo mutilado4 e-i$en!emen!e es un silogismo en 6ue se calla una $e las 'remisas4 'or6ue sin e8'resarla se la sobren!ien$e. <s* el silogismo% !o$o me!al es mineral el 'lomoes me!al luego el 'lomo es mineral se 'ue$e con-er!ir en uno cual6uiera $e es!os en!imemas%

To$o me!al es mineral

luego el 'lomo es mineral. o El 'lomo es me!al &uego es mineral.

;u uso es 5recuen!e4 sobre !o$o cuan$o se omi!e a6uello 6ue se en!ien$e 'or s*4 ( 5cilmen!e 'ue$eser su'li$o 'or los o(en!es. <9n alguna -e#4 a causa $e la clari$a$ $e las enunciaciones4 el mismoen!imema se cons!ringe en una 'ro'osición4 cier!amen!e en la conclusión4 $e 'aso inser!a a a6uella 'or ra#ón4 6ue $emues!ra a la misma como en el siguien!e eem'lo%

El us!o Dios -engar.Es!as 'ro'osiciones se $icen en!imem!icas.

&a 'remisa 6ue en el en!imema se calla4 'ue$e ser (a la ma(or4 (a la menor 'ero cual6uiera 6ue

sea4 5cilmen!e se $es'ren$e4 si se no!a 6ue uno $e los $os e8!remos es inclui$o en el an!ece$en!e $elen!imema. Pues si en el an!ece$en!e es! el e8!remo ma(or4 la 'ro'osición su'rimi$a ser la menor



si en el an!ece$en!e es! el e8!remo menor4 la omi!i$a ser la ma(or. En el eem'lo siguien!e 5al!a lama(or%

Ning9n ombre a $e ser menos'recia$o.

<$ems4 si se no!a el lugar 6ue ocu'a el e8!remo en el an!ece$en!e4 se conocer !ambién la 5igura4acia la cual el en!imema com'le!o $ebe re-ocarse. Por eem'lo en es!e eem'lo%

Ning9n a-aro es 5eli#&uego alg9n rico no es 5eli#4

se calla la menor4 6ue 'ue$e ser su'li$a $e $oble mo$o4 o 'or es!e acuer$o%<lg9n rico es a-aro4

( as* el silogismo se saca $e la 'rimera 5igura o !ambién%<lg9n a-aro es rico4

( as* se !iene el silogismo $e la !ercera 5igura% Ning9n a-aro es 5eli# alg9n a-aro es rico luego4alg9nrico no es 5eli#.

En lenguae co!i$iano4 ( aun en la ciencia4 la ma(or*a $e la in5erencias se e8'resanen!imem!icamen!e 'ues en la ma(or*a $e $iscusiones4 a( una gran can!i$a$ $e 'ro'osiciones $elas cuales se 'resumen 6ue son $e conocimien!o com9n. Lran n9mero $e ora$ores se aorran

mucas moles!ias al no re'e!ir 'ro'osiciones bien conoci$as. <$ems4 no es $e ning9n mo$o raro6ue un ra#onamien!o sea re!óricamen!e ms 'o$eroso ( 'ersuasi-o cuan$o se lo enunciaen!imem!icamen!e 6ue cuan$o se lo enuncia con !o$o $e!alle.

Leneralmen!e los en!imemas an si$o $i-i$i$os en ór$enes seg9n 6ué 'ar!e $el silogismo se $eeim'l*ci!a.

Es $e 'rimer or$en4 a6uel en el 6ue no se enuncia la 'remisa ma(or $el silogismo.Es $e segun$o or$en4 a6uel en el cual sólo se enuncian la 'remisa ma(or ( la conclusión.Es $e !ercer or$en4 a6uel en el 6ue se enuncian ambas 'remisas4 'ero se $ea im'l*ci!a la conclusión.

Aa( $os 'asos necesarios 'ara $e!erminar si un en!imema es o no -li$o. El 'rimero es agregar las 'ar!es $el ra#onamien!o 6ue 5al!an el segun$o es some!er a un !es! $e -ali$e# el silogismo resul!an!e.Con !o$o4 la $e!erminación $e la -ali$e# o in-ali$e# $e un en!imema se ace 'or los mismos mé!o$os6ue se a'lican a los silogismos 'ues la $i5erencia en!re los en!imemas ( los silogismos ca!egóricoses re!órica ms 6ue lógica.

2.=.(. EL SOR'1ES

El Sorites4 $el griego sωορευω ` amon!onarH es el raciocinio com'ues!o $e una serie $e 'ro'osiciones enca$ena$as4 $e mo$o 6ue el 're$ica$o $e ca$a una 'asa a ser sue!o $e la siguien!e4as!a 6ue en la conclusión se une el 'rimer sue!o con el 9l!imo 're$ica$o. Tulio s. +I a.C.H loin!er're!aba como lo acumulable o gra$ación4 es una serie $e silogismos abre-ia$os o !ambién4 esla serie $e 'ro'osiciones cone8as $e !al manera4 6ue el 're$ica$o $e la 'rimera se ace sue!o $e lasegun$a4 el a!ribu!o $e la segun$a se ace sue!o $e la !ercera4 ( as* sucesi-amen!e4 as!a 6ue

5inalmen!e se ob!enga la conclusión4 unien$o el sue!o $e la 'rimera 'ro'osición con el 're$ica$o $ela 9l!ima. Ae a6u* el eem'lo%

El 6ue no corrige sus 'asiones4 mucas cosas $eseaEl 6ue mucas cosas $esea4 necesi!a $e mucas cosasEl 6ue $esea mucas4 -i-e in6uie!oEl 6ue in6uie!o -i-e4 es miserable

&uego el 6ue no corrige sus 'asiones4 es miserable.

Es un silogismo enca$ena$o4 seg9n lo in!er're!aba Tulio. <s*4 'or eem'lo%

To$os los $i'lom!icos son 'ersonas $e !ac!o.

<lgunos 5uncionarios $el gobierno son $i'lom!icos.&uego4 algunos 5uncionarios $el gobierno son 'ersonas $e !ac!o.To$os los 5uncionarios $el gobierno son ombres 6ue 'ar!ici'an en las cues!iones '9blicas.



&uego4 algunos ombres 6ue 'ar!ici'an en las cues!iones '9blicas son 'ersonas $e !ac!o.

Tal ra#onamien!o no es un silogismo4 sino una ca$ena $e silogismos ca!egóricos conec!a$os 'or laconclusión $el 'rimero4 6ue -iene a ser la 'remisa $el segun$o4 ( en la cual sólo a( $os eslabones4 'ues a( ra#onamien!os muco ms e8!ensos.

El sori!es lo u!ili#ó Senón naci$o en Elea acia el /F0 a. $e C. ( Eub9li$es $e ,egara siglo I+a.C.H. El 'rimero se $iriger con!ra la -eraci$a$ $el conocimien!o sensible (4 en 'ar!icular4 $el o*$o% siuna me$i$a $e !rigo ace rui$o al caer4 ca$a grani!o ( ca$a 'ar!e $el grano $eber*a4 al caer4 acer rui$o4 lo 6ue no suce$e. El argumen!o $e Eub9li$es consis!e en 'regun!ar cun!os granos $e !rigo senecesi!an 'ara 5ormar un mon!ón >bas!a 6ui# con un solo grano? >bas!an $os granos? e!c. Como esim'osible $e!erminar cun$o comien#a un mon!ón4 es!e argumen!o se a$uce en con!ra $e la 'lurali$a$ $e las cosas.

Con !o$o4 el sori!es 'ro'iamen!e !al4 se $a cuan$o un ra#onamien!o $e es!e género es 5ormula$oen!imem!icamen!e4 en el 6ue sólo 5iguran las 'remisas ( la conclusión 5inal. Igualmen!!e4 el n9mero$e 'remisas $e un sori!es 'ue$e ser !res4 cua!ro o ms. También4 el sori!es o gra$ación es una serie$e silogismos abre-ia$os. <s*%

&a misericor$ia es -ir!u$ la -ir!u$ es agra$able a Dios lo 6ue es agra$able a Dios alcan#a 'remio &uego la misericor$ia alcan#ar 'remio.

E6ui-ale a es!os silogismos% &a misericor$ia es -ir!u$ la -ir!u$ alcan#ar 'remio &uego la misericor$ia alcan#ar 'remio.;e 'rueba la menor% lo 6ue es agra$able a Dios alcan#ar 'remio

la -ir!u$ es agra$able a Dios luego la -ir!u$ alcan#ar 'remio.

El eem'lo clsico $e sori!es es el $a$o 'or &eibni# ( 6ue lo 'resen!a Aorace Killiam . Jose'1M:G1F/"H en An ,ntroduction to logic%

El alma umana es algo cu(a ac!i-i$a$ 'ro'ia es el 'ensar. <lgo cu(a ac!i-i$a$ 'ro'ia es el 'ensar es una cosa cu(a ac!i-i$a$ 'ue$e a'reen$erse inme$ia!amen!e4 sin ninguna re'resen!ación $e 'ar!esen ella. na cosa cu(a ac!i-i$a$ 'ue$e a'reen$erse inme$ia!amen!e sin ninguna re'resen!ación $e 'ar!es en ella es una cosa cu(a ac!i-i$a$ no con!iene 'ar!es. na cosa cu(a ac!i-i$a$ no con!iene 'ar!es es una cosas cu(a ac!i-i$a$ no es mo-imien!o. na cosa cu(a ac!i-i$a$ no es mo-imien!o noes un cuer'o. &o 6ue no es un cuer'o no es! en el es'acio. &o 6ue no es! en el es'acio no 'ue$e!ener mo-imien!o. &o 6ue no 'ue$e !ener mo-imien!o es in$isoluble 'ues la $isolución es un

mo-imien!o $e las 'ar!esH. &o 6ue es in$isoluble es incorru'!ible. &o 6ue es incorru'!ible esinmor!al. &uego4 el alma umana es inmor!al.

&a -ali$e# $e !al sori!es 'ue$e -eri5icarse 5cilmen!e.

2.=.2. EL 4'LEM"

<$ems $e lo señala$o en el i!em 1."./.4 $ebemos in$icar 6ue el $ilema4 $el griego διληµµα ` $obleingreso o 'remisa4 es una argumen!ación 6ue cons!a $e una 'ro'osición $is(un!i-a4 ( $e $oscon$icionales4 ambas con$ucen!es a una misma conclusión es $ecir4 se llama dilema a laargumen!ación 6ue se $eri-a $e la 'ro'osición $is(un!i-a. Pues el $ilema es la argumentacióncompuesta) en la cual con dos cosas disyuntiamente propuestas al adersario) se muestra que decada

miembro se concluye algo contra el mismo

de donde se infiere) que esto mismo "a de ser

concluido. <s*4 'or eem'lo4 es l*ci!o arg7ir con!ra los escé'!icos4 6uienes niegan 6ue alguna -er$a$ 'ue$a ser conoci$a 'or la men!e umana%



O es!a -ues!ra 'ro'osición es -er$a$era o 5alsa.;i es -er$a$era4 es (a 5also 6ue la -er$a$ no 'ue$a ser encon!ra$a 'or el ombre 'or6ue alguna

-er$a$ es encon!ra$a 'or -oso!ros.;i es 5alsa4 nue-amen!e es 5also 6ue la -er$a$ no 'ue$a ser encon!ra$a 'or6ue la 'ro'osición

6ue a5irma es!o es 5alsa4 seg9n reconocen us!e$es.

&uego cuales6uiera cosa $igan4 es 5also 6ue la -er$a$ nunca 'ue$a ser encon!ra$a 'or el ombre.

En es!e argumen!o4 se 'ercibe 6ue el $ilema *n!egro cons!a $e cua!ro enunciaciones4 aun6ue no seanecesario 6ue siem're se e8'resen !o$as%&a 'rimera es disyuntia.&a segun$a es condicionada3causal és!a asume la 'rimera 'ar!e $e la $is(unción ( $e a6uellaconclu(e con!ra el a$-ersario4 a$ucien$o la ra#ón $e la conclusión.<s* mismo la !ercera sigue en cuan!o a la segun$a 'ar!e $e la $is(unción ( 'or lo cual la misma escondicionada3causal .&a cuar!a4 5inalmen!e4 a6uello 6ue $e las 'ar!es i'o!é!icamen!e se conclu(ó4 a5irma uni-ersal (ca!egóricamen!e.

Por6ue en es!a argumen!ación la $is(unción cons!a $e $os miembros4 como $e mucos ms4 'or ello4es!a argumen!ación es llama$a $ilema. Pero si las $is(un!i-as mani5es!aran ms $e $os miembros4 laargumen!ación se llamar*a trilema4 cuatrilema4 e!c.4 ( las 'ro'osiciones con$iciona$as causalessern o!ros !an!os miembros $e la $is(un!i-a.

En 5orma semean!e4 en el siguien!e eem'lo%el mun$o se con-ir!ió al cris!ianismo con milagros o sin milagros si con milagros4 el cris!ianismo!iene milagros en su 5a-or4 ( 'or !an!o es -er$a$ero si sin milagros4 el cris!ianismo i#o un granmilagro4 con-ir!ien$o el mun$o sin milagros luego !ambién es -er$a$ero.

El $ilema es una erencia $e -ieos !iem'os4 'ar!icularmen!e cuan$o la lógica ( la re!órica es!abanes!recamen!e -incula$as. ;i bien $es$e la 'ers'ec!i-a $e la lógica el $ilema no 'resen!a mucoin!erés e im'or!ancia4 en la $iscusión4 es una arma $e-as!a$ora. Pues4 en un $eba!e se u!ili#a el$ilema 'ara 'resen!ar al a$-ersario -arias 'osiciones en!re las cuales $ebe elegir ( luego $emos!rar 6ue4 sea cual 5uere su elección4 es! obliga$o a llegar a una conclusión 6ue es $esagra$able 'ara él.

Es clsico el siguien!e ra#onamien!o%;i el arancel 'ro'ues!o 'ro$uce escase#4 ser 'eru$icial ( si no 'ro$uce escase# ser in9!il. <ora bien4 'ro$ucir escase# o no la 'ro$ucir. Por !an!o4 el arancel 'ro'ues!o ser4 o bien 'eru$icial4 o bien in9!il.

En !al ra#onamien!o 6ue arrincona ( ani6uila4 la segun$a 'remisa4 la 6ue o5rece al!erna!i-as4 recibeel nombre $e $is(unción. &a 'rimera 'remisa 6ue a5irma 6ue ambas al!erna!i-as !en$rnconsecuencias cier!amen!e in$eseables4 es llama$a conunción. &a conclusión $e un $ilema 'ue$eser o!ra $is(unción 6ue o5re#ca al!erna!i-as4 o 'ue$e ser una 'ro'osición ca!egórica.

En es!a argumen!ación4 la $is(unción cons!a $e $os miembros4 'ero $e mucos ms4 'or ello4 es!aargumen!ación es llama$a $ilema. Pero si las $is(un!i-as mani5es!aran ms $e $os miembros4 laargumen!ación se llamar*a !rilema4 cua!rilema4 e!c.4 ( las 'ro'osiciones con$iciona$as causalessern o!ros !an!os miembros $e la $is(un!i-a.

a tres maneras de Crustrar o reCutar un dilema%

1H Escaar de los cuernos4 reca#an$o su 'remisa $is(un!i-a es el mé!o$o ms 5cil 'ara elu$ir laconclusión $e un $ilema4 'or6ue la $is(unción 'ue$e ser 5alsa4 a menos 6ue la mi!a$ $e la$is(unción sea la con!ra$ic!oria e8'l*ci!a $e la o!ra.

De !o$as maneras4 esca'ar en!re los cuernos no signi5ica $emos!rar 6ue la conclusión es 5alsa4 sinosim'lemen!e mos!rar 6ue el ra#onamien!o no cons!i!u(e base su5icien!e 'ara ace'!ar la conclusión.



2H 1omarlo or los cuernos4 im'lica reca#ar la 'remisa cons!i!ui$a 'or la conunción4 si la 'remisa $is(un!i-a es ina!acable. Para negar una conunción bas!a con negar una $e sus 'ar!es.

En el eem'lo $el arancel4 se 'o$r*a asir el $ilema 'or los cuernos argu(en$o 6ue a9n en el caso $e6ue el arancel 'ro'ues!o 'ro$uera escase#4 no ser*a 'eru$icial 'or6ue la escase# es!imular*a la 'ro$ucción nacional ( $ar*a al 'a*s nue-as 5uen!es $e !rabao4 as* como una in$us!ria ms$esarrolla$a. <s*4 el $ilema original 6ue$ar*a asi$o 5irmemen!e 'or los cuernos.

"H Relicar con un contradilema4 6ue consis!e en cons!ruir o!ro $ilema cu(a conclusión es o'ues!aa la $el original 'u$ien$o usarse cual6uier con!ra$ilema4 'ero lo i$eal es cons!ruirlo con losmismos ingre$ien!es 6ue el original. Es el mé!o$o ms en!re!eni$o e ingenioso 6ue los o!ros.

Es clsico el ra#onamien!o $e la ma$re a!eniense 6ue anela 'ersua$ir a su io 'ara 6ue $ee la 'ol*!ica% ;i $ices lo 6ue es us!o4 los ombres !e o$iarn si $ices lo 6ue es inus!o4 los $ioses !eo$iarn. Pero $ebes $ecir lo us!o o lo inus!o en ambos casos sers o$ia$o.

El io le res'on$ió con o!ro $ilema% ;i $igo lo 6ue es us!o4 los $ioses me amarn ( si $igo lo 6ue esinus!o4 los ombres me amarn. Como $ebo $ecir una cosa u o!ra4 en ambos casos seré ama$o.

En las $iscusiones '9blicas el $ilema es la ms 'o$erosa $e las armas 'olémicas.El con!ra$ilema sir-e 'ara es!ablecer una conclusión $i5eren!e $e la $el $ilema original. Pero al!ra!ar sobre el $ilema no 'o$emos 'asar 'or al!o el célebre li!igio en!re Pro!goras ( su alumnoEula!o. Pro!goras comen#ó el uicio as*%

;i Eula!o 'ier$e es!e caso4 en!onces $ebe 'agarme 'or $ecisión $el !ribunalH si lo gana4 $ebe 'agarme igualmen!e 'or los !érminos $el con!ra!oH. Es!e caso $ebe ganarlo o 'er$erlo $e cual6uier 5orma $ebe 'agarme.

Eula!o re'licó con el siguien!e con!ra$ilema%;i gano es!e caso en!onces no !engo 6ue 'agar a Pro!goras 'or $ecisión $el !ribunalH si lo 'ier$o4!am'oco !engo 6ue 'agar a Pro!goras 'or los !érminos $el con!ra!o4 'ues en!onces no abrégana$o mi 'rimer casoH. Es!e caso $ebo ganarlo o 'er$erlo $e cual6uier 5orma4 no !engo 6ue 'agar a Pro!goras.

2.=.=. EP'+EREM"

Eiquerema, $el grigo επχερηµα ` em'resa4 inen!o4 'ro'ósi!o4 es el silogismo) cuyo fundamento oargumento de una de las dos premisas o también de una y otra está incluido . ;igni5ica 6ue ele'i6uerema4 o 'roban#a es un silogismo cu(as 'remisas inclu(en su $emos!ración o -anacom'aña$as $e 'rueba. <ris!ó!eles lo $e5inió como ra#onamien!o $ialéc!ico. Pero 'os!eriormen!eel mismo <ris!ó!eles lo u!ili#a 'ara in$icar el ar!i5icio 6ue consis!e en escon$er o e8'oner im'er5ec!amen!e algunas 'remisas $e la 'ro'ia argumen!ación.

El siguien!e es un eem'lo e e'i6uerema%To$o en!e sim'le es incorru'!ible 'ues no !iene 'ar!es en las cuales 'ue$a $isol-erse

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