Lógica proposicional
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LOGICA
1
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Proposición
Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa
Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un
predicado, tiene un valor afirmativo. Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no
afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.
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Ejemplos– 1 + 4 = 5 (Verdad)
– La Pampa es una nación. (Falso)– 8 + 23 (no es proposición)– María (ídem anterior)
Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?
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Proposición Atómica
Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.
Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa.
Ejemplos:– La casa es grande. (es atómica)
– La casa no es grande. ( no es atómica)
– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
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Proposición Molecular
Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.
Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.
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Proposiciones Moleculares
Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.– No es cierto que Juan llegó temprano– Juan no llegó temprano– Luis es arquitecto y Martín es médico.– La medalla no es de plata y el diploma parece
falso.– Matías aprobó pero Lucas no.
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Simbolización
Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas.
Ejemplo:– El Sr.Domínguez es el gerente.
Si se considera
p = “El Sr.Domínguez es el gerente”
esta proposición puede ser simbolizada como p.
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Simbolización
Para simbolizar un proposición– Identificar las proposiciones simples o atómicas– Simbolizar las proposiciones simples o
atómicas encontradas.– Utilizar los conectivos lógicos para
relacionarlas.
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Simbolización
Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
p : “Vamos en bicicleta”.
q : “Vamos a pie”
Simbolización: p v q– No es cierto que Juan llegó temprano
p = “Juan llegó temprano”.
Simbolización : p
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Simbolización
Ejemplo– La medalla no es de plata y el diploma
parece falso.
p : “La medalla es de plata”.
q : “El diploma parece falso”
Simbolización: p ^ q
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Simbolización
Ejemplo– Matías aprobó el examen pero Lucas no.
r = “Matías aprobó el examen”.
s = “Lucas aprobó el examen”
Simbolización : r ^ s
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La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.
Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve”
La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los
17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que
no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.
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Tabla de Verdad
La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
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Negación
Indique el valor de verdad de:– El número 9 no es divisible por 3.– No es cierto que los perros vuelan.
p
p p
V F
F V
p
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Conjunción
Indique el valor de verdad de :– 6 es un número par y divisible por 3.– ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Disyunción
Indique el valor de verdad de :– 2 es primo o es impar.– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Construcción de tablas de verdad
¿Cuántas filas tiene la tabla?– 1 proposición 2 valores (V o F)– 2 proposiciones 4 valores de verdad– 3 proposiciones 8 valores de verdad– .........– n proposiciones 2n valores de verdad.
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Ejemplos
Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
p ^ q
( p v q ) ^ p
(p ^ r ) v ( p ^ q)
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Ejercicio
Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes:
(p ^ q ) v (r ^ p ) v s
(q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )
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Ejercicio
Sabiendo que
(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera
indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen
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Ejercicio
Sabiendo que
( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa
indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen
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Proposiciones moleculares
Según su valor de verdad pueden ser
– Tautología
– Contradicción
– Contingencia
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Tautología
Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Ejemplo: p v p
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Contradicción
Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Ejemplo: p ^ p
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Contingencia
Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos.
Ejemplo: p ^ q
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¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología?
¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?
EjerciciosFormaliza las siguientes proposiciones:
No es cierto que no me guste bailarMe gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción.Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.
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Equivalencia Lógica
Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)
Ejemplo: (p q) p q
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Ejemplo:
p q p v q (p q)
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
p q p q p q
V V F F F
V F F V F
F V V F F
F F V V V
(p q) p q
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Leyes de De Morgan
La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.
(p q) p q
La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.
(p q) p q
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Proposición condicional
Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe
p q
donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.
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Proposición condicional
Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos
entonces aprenderemos matemática
p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos "
q = "aprenderemos matemática"
Simbolizando: p q
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Proposición condicional
Ejemplo:
Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano
p = "vamos a la fiesta"
q = "nos acostaremos temprano"
Simbolizando: p q
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Tabla de verdad del condicional
p q p q
V V V
F V V
V F F
F F V
La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso
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Proposición Condicional
Existen distintas formas de leer un condicional:– “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”.
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Distintas formas de indicar una proposición condicional Ejemplo:
p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par
– Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par
– Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par
– Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.
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Proposición condicional
La contra positiva de la proposición condicional p q es la proposición
q p
Muestre la equivalencia lógica:
p q q p
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Proposición bicondicional
Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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39
p q (p q) ^ (q p)
p q p q q p (p q) ^ (q p)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
![Page 40: Lógica proposicional](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052304/55725c20497959da6be89a08/html5/thumbnails/40.jpg)
40
1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa.
a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas
2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que
( p q ) r ( s t ) sea falsa
3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones
a) ( p q ) q
b) ( p q ) ( p q )
c) q ( p q)