ECUACIONES Y SUS APLICACIONES

LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO

TEMA: ECUACIONESDOCENTE: JAIRO RAMIREZ M., 

ESTUDIANTE: GINA PAOLA JIMENEZ UNIVERSIDAD :CUN 

ECUACIONES Y SUS APLICACIONES Ecuación es una igualdad que existe entre dos expresiones

algebraicas, en las que intervienen valores conocidos, y desconocidos estos últimos conocidos como incógnitas, que se relacionan por medio de operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

3x – 1 = 9 + x La x es la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los

números 1 y 9 son constantes . En la solución de una ecuación encontramos los valores de las incógnitas que le corresponden. Para el caso dado, la solución es:

X=5

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

Los problemas matemáticos tienen la posibilidad de expresarse en forma de una o más ecuaciones. Hay que tener en cuenta que no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no haya valor de la incógnita que compruebe una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

PARA TENER EN CUENTA

Soluciones de una ecuación de primer grado Un número real: Es cuando normalmente decimos que nos da

solución.

 x + 3 = 5 x + 11 ; x - 5 x = 11 - 3 ; - 4 x = 8 ; x = 8 / - 4 ; x = - 2

 Todo número real: No importa el valor de x, nos da 0 x = 0

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x ; - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 ; 0 = 0

 Incompatible: Se anulan las x y nos da 0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x ; 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 ; 0 x = - 10

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Es ecuación de Primer Grado con la variable x no se encuentra

elevada a ninguna potencia, o sea, tiene como valor 1. Ej. 1: 8-5x = 8+2x

Primer Segundo

termino termino

Se hace “transposición” de los términos agrupando a un solo lado los valores que van acompañados de la x y al otro los que son constantes.

-5x-2x = 8-8

Se debe tener en cuenta los signos, al cambiar de un lado a otro se debe cambiar también el signo, como en el ej. anterior.

Teniendo la ecuación organizada se debe resolver: -7x = 0

Siendo así la solución es: X = 0

Ej. 2:

15-6(2x-4) = 8+2(5x-1)

Como primera medida se resuelve lo que esta dentro de los paréntesis antes de hacer el paso de translación de la siguiente manera:

15-12x+24 = 8+10x-2 Translación

-12x-10x = 8-2-15-24

Resolver -22x = -33 x = 33/22

Sacamos M.C.M y el resultado: X=3/2

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado cuentan con la posibilidad de

dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la solución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0

Ej. 3: De la forma ax² + bx = 0 con este se utiliza la siguiente

formula: X = -b±Vb² - 4ac

2ª

Ejercicio: x²-5x+6

ax² + bx+ c http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

Siendo asi: x = 5± V5² - 4*6 = 5± V25 - 24 = 5± V1 = 5±1

2 2 2 2

X1 = 6 = 3 X1 = 4 = 2

2 2

Remplazamos los valores

según la formula utilizada

Solucionamos lo que esta adentro de la

raíz cuadrada

Raíz de 1 es 1 y resolvemos

las dos condiciones ± presentadas y la solución es

así:

ECUACIÓN CUADRÁTICA AX² + BX + C = 0

Ecuación Cuadrática, una ecuación de forma ax2+bx+c=0 donde a, b, y, c son números reales y a es un Nº diferente de cero. La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación, existen tres formas de solución:

Ej. 4: Factorización x2 + 2x – 8  = 0

a + b + c Buscamos el caso de factorización por el que podamos resolver: “Trinomio del Segundo Grado” Debemos hallar dos números que sumados me den +2 y multiplicados -8

tener muy presente los signos:

( x + 4)   (x  -2) = 0 (PRIMERA SOLUCION) luego podemos comprobar así:

4 + -2 = 2 y 4 * -2 = -8 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

SEGUNDA SOLUCION: x + 4 = 0       x – 2 = 0 

x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2  

COMPLETANDO EL CUADRADO Con este método se debe tener en cuenta para la ecuación la

forma ax2+bx+c, también es regla que la constante de a sea igual a 1 (a=1).

Ej. 5: 4x2 + 12x – 8 = 0 Empezamos despejando el 4 y convirtiéndolo a 1 (a=1) así: 4x2 + 12x – 8  = 0  = x2 + 3x – 2  = 0

 4        4      4      4 Siendo así, ya tenemos que a = 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

Ej. 6: tenemos la siguiente operación que resolveremos así:

x2 + 2x – 8 = 0      Pasamos a c a igualar en nuestro caso 8 x2 + 2x = 8                 Pasar a c al lado opuesto

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ Debemos tener en cuenta los espacios para ubicar allí la mitad de b al cuadrado (12) = 1

x2 + 2x + 1 = 8 + 1 queda de la siguiente manera x2  + 2x + 1 = 9 procedemos a factorizar por trinomio. ( x + 1) (x + 1) = 9 siendo así tendríamos que: ( x + 1) 2 = 9 en este paso se debe tener en cuenta que:

Para eliminar el exponente, debemos

utilizar la Raíz Cuadrada

x2 = 9 xx = ± V9x = ± 3

POR QUE 32 =9 Y (-3) 2 =9

PRIMERA SOLUCIÓN x + 1 =  ± 3 x = -1 ± 3      

SEGUNDA SOLUCIÓN x = -1 + 3       x = -1 – 3 

x = 2               x = -4 

  

FUENTE: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n