Función logaritmo.

Función Exponencial.

1

Def.-

Para x > 0, definamos la función ( )ln x , que denominamos función logaritmo natural, mediante

���( )ln x d�

�

����1

x1t

t

2

Observaciones :

3

� Notar que ln esta bién definida, ya que1t

define una

función continua en [1,x], para cada x > 0. � Ademas, ln resulta derivable con ln´(x) = 1/x.

4

� Si x, y son números reales positivos, entonces :

(a) ln(1) = 0 (b) ln(x·y) = ln(x) + ln(y). (c) ln(x/y) = ln(x) - ln(y).

(d) ln( xr ) = r ln(x) (e) ln es creciente y concava hacia abajo

(f) ���12

( )ln 2 ���1 ��� ( )ln 3

(g) ���lim���x

( )ln x y ���lim��� +x 0

( )ln x

(h) Rec(ln )= IR

5

Prueba de (a) y de (b).

(a) ���( )ln 1 d�

�

����

1

1

1t

t = 0

(b) Sea g(x) = ln(x y) , entonces g´(x) = 1

x y ·y =

1x

.

Por lo tanto g y ln tienen la misma derivada. Luego, g y ln difieren solo por una constante

ln(x y) = ln(x) + C. Sustituyendo x = 1 en esta ecuación se obtiene

ln(y) = ln(1) + C = C, pues ln(1) = 0 Por tanto,

ln(x y) = ln(x) + ln(y)

6

3.- Idea gráfica

���( )ln x d�

�

����1

x

1t

t

Como ln es continua en IR+existe un x0 que verifica ( )ln x0 =1, tal x0 se denota con la letra " e ".

7

Función Exponencial.

( Recordemos que la función ln es una biyección definida en ]0, [ con recorrido el conjunto de los números

reales. Luego, admite inversa.)

8

Def.-La función Exponencial, denotada con exp, se define como la función inversa de la función ln.

Es decir, �x � IR , �y � IR+

���y exp(x) <==> ���x ( )ln y

Es claro que : Dom(exp) = IR y Rec (exp) = IR+.

9

Algunas Propiedades Importantes

Si f(x) = exp(x), entonces:

1.- f es creciente2.- �x � IR , ���0 ( )f x .

3.- x, y � IR, f( x + y ) = f(x) f(y).4.- x, y � IR, f( x - y ) = f(x) / f(y).

5.- � � Q, ���( )f x ( )f x .

6.- ( )f x tiende a + cuando x tiende a + .

10

Nota.-Sea a � 0 y r � Q .

Como exp (ln(x)) = x, para x ��0,

entonces

���ar exp(ln ar)luego,

ar= exp( r ln a)

Luego, la siguiente definición:

11

Def.

Si a > 0 y x � IR, se define:

ax = exp( x ln a)

12

Notas.

1.- �x � IR , ex = exp( x)

2.- Si b >0 y N � IR+ se define logbN como el número

y � IR tal que���by N

13

Teor.-

Si x >0 , ln x = logex

14

Dem.-

Recordemos que ln(e) = 1 y que ex = exp( x ln e) = exp( x).

Si hacemos y = logex, entonces x = ey y ln x = y ln e = yPor tanto,

ln x = logex .

15

Nota.-

Este teorema nos dice que la función definida como ln no es más que la función logaritmo con base e (logaritmos Neperianos)

16

Teorema.-

Si f(x) = ex, entonces ���( )f ´ x ex

17

Dem. y = ex ==> x = ln y

==> ���1( )y´ xy

==> y´(x) = y

==> y´(x) = ex

.

18

Consecuencia.-

���d����ex x ���ex C

19

Funciones hiperbólicas.

20

Función Seno Hiperbólico

���senh x��ex e-x

2, x � IR

� Dominio: IR, Recorrido: IR� Es una función impar, no acotada y creciente (ver gráfica)

21

Idea Gráfica

22

Función Coseno Hiperbólico

���cosh x���ex e-x

2, x � IR

� Dominio: IR, Recorrido: [1, [ � Es una función par, no acotada y no monótona(ver gráfica)

23

Idea Gráfica

24

Nota: En términos de senh(x) y cosh(x) se definen las siguientes funciones.

F. Tangente Hiperbólico F. Secante Hiperbolico

���tanh xsenh xcosh x

, ���cosh x 0 ���sech x1

cosh x ,

���cosh x 0

F. Cotangente Hiperbólico F. Cosecante Hiperbólico

���coth xcosh xsenh x

, ���sinh x 0 ���csch x1

senh x , ���senh x 0

25

Gráficas

26

Ejercicios

(a) Pruebe que ���1 cosh x para todo x .

(b) Demostrar que lim���x

csch x = lim���x ( )

csch x =0 .

(c) Pruebe que lim���x ( )

tanh x = -1

27

Algunas Propiedades

Se verifican las siguientes relaciones1.- ��cosh2 x sinh2 x = 1

2.- ���tanh2 x sech2 x = 1

3.- ��coth2 x csch2 x = 14.- ���( )senh ���x y ���senh x cosh y cosh x senh y5.- ���( )cosh ���x y ���cosh x cosh y senh x senh y

6.- ���( )tanh ���x y���tanh x tanh y

���1 tanh x tanh y

7.- ���cosh2 x���1 ( )cosh 2 x

2���senh2 x

��( )cosh 2 x 12

28

Derivadas de las funciones hiperbólicasSe verifican las siguientes fórmulas de derivación

1.-ddx

sinh x = cosh x 2.-ddx

cosh x = senhx

3.-ddx

tanh x = sech2 x 4.-ddx

coth x = csch2 x

5.-ddx

sech x = - sech x tanh x 6.-ddx

csch x = -csch x coth x

Dem

29

Ejercicio

Encontrar dy/dx en cada uno de los siguientes ejercicios.

(a) y = cosh(x4)

(b) y = sinh2 3 x

(c) y = tanh(ln x)

30

Integración de funciones hiperbólicas

Las anteriores fórmulas de derivación dan lugar a las correspondientes fómulas de integración

1.- d���sinh x x = cosh x +C , 2.- d�

��cosh x x = senhx +C ,

3.- d�

���sech2 x x = tanh x +C , 4.- d

�

���csch2 x x = - coth x +C?

5.- d���sech x tanh x x = -sech x +C

6.- d���csch x coth x x = - csch x +C

31

Ejercicio

Encontrar cada una de las siguientes integrales

(a) d��� ( )cosh ��2 x 3 x (b) d

����x ( )cosh x2 x

(c) d���� tanh x sech2 x x (d) d

����tanh x sech3 x x

32

Funciones Hiperbólicas Inversas

33

Función seno hiperbólico inverso: sinh-1 (o bien argsh )

Se defiene:���y sinh-1 x <==> ���x sinh y , para x � IR e y � IR

Dominio: IR, Recorrido: IR sinh-1 es: impar, no acotada y creciente.

� Se verifica:

���argsh x ( )ln ���x ���x2 1 , �� x � IR

34

Gráfico

35

Función coseno hiperbólico inverso: cosh-1 ( o bien argch)

Se defiene:���y cosh-1 x <==> ���x cosh y , para y � [0,[ e x � [1,[

Dominio: [1,[ , Recorrido: [0,[ cosh-1 es: creciente y no acotada.� Se verifica:

���argch x ( )ln ���x ��x2 1 , �� x ���

36

Gráfico

37

Función tangente hiperbólico inverso tanh-1 ( o bien argth)

Se defiene:

���y tanh-1 x <==> ���x tanh y , para y � IR e x � ]-1,1[

Dominio: ]-1,1[ , Recorrido: IR

tanh-1 es: impar, no acotada y creciente y no acotada.

� Se verifica:

���argth x�

���

�

���ln

���1 x��1 x

, �� x � ]-1,1[

38

Gráfico

39

EjercicioDefinir las inversas coth-1, sech-1, csch-1 de coth, sech, csch respectivamente, y pruebe que:

(a) coth-1 x =�

���

�

���ln

���1 x��x 1

, ���1 x

(b) sech-1 x =�

���

�

���ln

���1 ��1 x2

x , ���0 x ���1

(c) csch-1 x =�

���

�

���ln ���

1x

���1 x2

x , ���x 0

Trazar las respectivas gráficas

40

Derivada de las funciones hiperbólicas inversas

Se verifican las siguientes fórmulas de derivación:

1.-ddx

[ sinh-1 x] =1

���1 x2 , � x

2.-ddx

[ cosh-1 x] =1

��x2 1 , x � 1

3.-ddx

[ tanh-1 x] =1

��1 x2 , x < 1

41

Ejercicio. Pruebe que:

1.-ddx

[ coth-1 x] =1

��1 x2 , x > 1

2.-ddx

[ sech-1 x] = 1

x ��1 x2 , 0 � x � 1

3.-ddx

[ csch-1 x] = 1

x ���1 x2 , ���x 0

42

EjemploCalcular f ´(x) si:

(a) f(x) = x2 ( )argch 3 x .

(b) f(x) = e2x ( )argsh ��3 x 2

(c) f(x) = argsh2 3 x

43

Ejercicios Calcular cada una de las siguientes integrales

(a) d�

�

����

2

5

1

��x2 1x (b) d

�

�

����

5

8

1��16 x2 x

(c) d�

�

����0

3

1

��16 x2 x

44