Aode la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

Universidad: Universidad Nacional del Callao

Facultad: Ingeniera Ambiental Y Recursos Naturales

Ciclo: llCurso: matemtica IITema: LONGITUD DE ARCO

Integrantes: Camposano Meza Giuseppe RudyPampas Rivera KarenRodrguez Rosales XimenaVilca Ramrez Libnytch

Fecha: 30/06/2015

LONGITUD DE ARCO

Qu se entiende cuando se habla de longitud de una curva? Necesitamos una definicin precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos trminos en que desarrollamos los conceptos de rea y de volumen.Si la curva es un polgono, es fcil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polgono. (Para la distancia entre los extremos de cada segmento podemos usar la frmula conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una curva general aproximndola con un polgono y entonces tomando un lmite cuando el nmero de segmentos del polgono aumenta, Este proceso es bien conocido para el caso de lacircunferencia, en el que la circunferencia es el lmite de las longitudes de los polgonos inscritos.Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la ecuacin, dondefes continua en. Obtenemos una aproximacin poligonal a C dividiendo el intervaloensubintervalos con los extremosy todos de la misma longitud. Si, entonces, el puntoest en la curva C y el polgono con vrtices. La longitud de L de C es aproximadamente igual a la longitud de este polgono y la aproximacin es mejor cuando crece. Por lo anterior, definimos lalongitud, L, de la curva C, cuya ecuacin es,, como igual al lmite de la suma de las longitudes de esos polgonos inscritos (si existe el lmite):

Observar que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al empleamos al definir el rea y el volumen. Dividimos la curva en un gran nmero de partes pequeas. Luego calculamos las longitudes aproximadas de las partes pequeas para despus sumarlas. Por ltimo sacamos el lmite cuando.La definicin de longitud de arco, expresada por la ecuacin 1, no es muy cmoda para fines de cmputo, pero podemos deducir una frmula integral a fin de calcular L en el caso en quetenga una derivada continua. Una funcin as, se denomina funcinlisao funcinsuave, porque el cambio deorigina una pequea alteracin de.Con, entonces

Al aplicar el teorema del valor medio a, en el intervalo, vemos que hay un nmero,entreytal que

Esto es, por

Consiguiente,Entonces, segn la definicin 1,Reconocemos que esta expresin es igual ade acuerdo con la definicin de una integral definida. Esta integral existe porque la Funcines continua; por consiguiente, hemos demostrado el teorema siguiente:

Frmula de longitud de arco,sies continua en, la longitud de la curva, es

Con la notacin de Leibniz de derivadas podemos escribir la frmula de la longitud de arco de esta manera:

Ejemplos:1. Encontrar la longitud de arco para la funcin dada:para el intervalo de [0,1], derivamos la funcin y obtenemos lo siguienteluego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos esto:operamos de la siguiente manera:Solucin:Hacemos una sustitucin:

sacamos la primitiva y por el Teorema fundamental del clculo:La longitud de arco es 6.10

2. en el intervalo de

Integramos por partes

Integramos

ResolvemosEntonces 13,122.39 - 44.01=13,078.37

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Artculo principal:Coordenadas cartesianasEn unespacio eucldeoun sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejesortogonalesigualmenteescalados, dependiendo de si es un sistemabidimensionalotridimensional(anlogamente ense pueden definir sistemasn-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a laproyeccin ortogonaldel vector de posicin de dicho punto () sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes est definido por unvector directory por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el ejexest definido por el origen de coordenadas (O) y unversor() tal que:, cuyomduloes.El valor de la coordenadaxde un punto es igual a la proyeccin ortogonal del vector de posicin de dicho punto sobre el ejex.

Sistema de coordenadas cilndricas

Significado de las coordenadas cilndricas.

El sistema de coordenadas cilndricasse usa para representar los puntos de unespacio eucldeotridimensional. Resulta especialmente til en problemas consimetra axial. Este sistema de coordenadas es una generalizacin del sistema de coordenadas polares del plano eucldeo, al que se aade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ngulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenadazque determina la altura del cilindro.Sistema de coordenadas esfricas

Al igual que las coordenadas cilndricas, el sistema de coordenadas esfricas se usa en espacios eucldeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esfricas est formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ngulos que es necesario girar para alcanzar la posicin del punto.Coordenadas geogrficas

Este tipo de coordenadas cartogrficas, subtipo de las coordenadas esfricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esfrica. Hay varios tipos de coordenadas geogrficas. El sistema ms clsico y conocido es el que emplea lalatitudy lalongitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos: DD ---Decimal Degree(Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM ---Degree:Minute(Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS --Degree:Minute:Second(Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00Tambin se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra, utilizando unaproyeccin cartogrfica. El sistema de coordenadas cartogrficas proyectadas ms habitual es el sistema decoordenadas UTM.Coordenadas curvilneas generales Artculo principal:Coordenadas curvilneasUn sistema de coordenadas curvilneos es la forma ms general de paramtrica o etiquetar los puntos de un espaciolocalmenteeucldeoovariedad diferenciable(globalmente el espacio puede ser eucldeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente eucldeoMde dimensinm, podemos construir un sistema de coordenadas curvilneo local en torno a un puntopsiempre a partir de cualquierdifeomorfismoque cumpla:

Para cualquier puntoqcercana apse definen sus coordenadas curvilneas:

Si el espacio localmente eucldeo tiene la estructura devariedad de Riemannse pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilneas ensistema de coordenadas ortogonalesy cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Lascoordenadas cilndricasy lascoordenadas esfricasson casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio eucldeo.COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES Un sistema de coordenadas curvilneas se llama ortogonal cuando eltensor mtricoexpresado en esas coordenadas tiene unaforma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las frmulas del clculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudindose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplosimetra axial,esfricao de otro tipo fcilmente representable en esas coordenadas curvilneas ortogonales.Las coordenadas esfricas y cilndricas son casos particulares de coordenadas curvilneas ortogonales.CAMBIO DE CORDENADAS En la resolucin de problemas fsicos y matemticos es comn la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero ms simple, que permite encontrar la solucin con mayor facilidad.Ms formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por undifeomorfismoo aplicacin biyectiva ydiferenciable(con inversa tambin diferenciable) entre dos conjuntos de, aqu llamadosy:

Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:

Donde:Representa la funcin que pretende integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordenadas.Es eljacobinodel cambio de coordenadas.Es el dominio de integracin expresado en las viejas y las nuevas coordenadas.Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en trminos de las nuevas coordenadas se usan las leyes detransformacin tensorial:

LONGITUD DE UNA CURVA EN CORDENADAS POLARESEl proceso que culmina en una frmula para el rea de una regin polar es paralelo al del rea en coordenadas cartesianas, pero utiliza sectores circulares en lugar de rectngulos como elementos bsicos.

A travs de la historia de las matemticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arqumedes haba descubierto una aproximacin rectangular para calcular el rea bajo una curva con un mtodo de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las lneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es comn en el clculo, a travs de aproximaciones: los matemticos de la poca trazaban un polgono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de ste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban ms segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtena una aproximacin cada vez mejor.Consideramos quees un parmetro, y escribimos las ecuaciones paramtricas de la curva en la forma:

Al derivar con respecto detenemos:

y

Ahora usando

Suponemos quees continua entonces podemos usar el teorema:

EJEMPLOS:1. Calcular la longitud de arco del cardioide

2. Encontrar la longitud de un arco de la cicloide:

Solucin:

Ahora hacemos la integral: