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Diálogos, 63 (1994) pp. 7-45 .

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LOS MODELOS Y IA REALIDAD1

HILARY PUTNAM

Traducido del inglés por Francisco Rodríguez Consuegra y Roberto Torrctti

ADVERTENCIA DE LOS TRADUCTORES. El original inglés de este artículo se publicó bajo el tín1lo "Models and Reality" en joitrnal of Symbolic Logic, 45: 464-82 (1980). Designaremos esa primera edición con la sigla JSL. Más tarde ha reaparecido con ligeras variantes y alguna errata en la segunda edición de la antología de P. Benacerraf y H. Putnam (Philosophy o/ Matheniatics, Cambridge: Cambridge Universiry Press, 1983, pp. 421-44), y en el volumen 3 de los Philo­sophical Papers de Hilary Putnam (Realism and Reason, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, pp. 1-25; en adelante, PP). Agradecemos al Profesor , Putnam su muy favorable reacción ante el primer proyecto de traducción, así con10 su apoyo y amable permiso. Hacemos extensivo nuestro agradecimiento a C. \Vard Henson, Secretario de la Association for Symbolic Logic, y a la Cambridge University Press, por el permiso oficial para imprimir esta traduc-. ,

c1on. Indicamos la paginación del original en JSL [entre corchetes negros] y en PP

[entre corchetes blancosD. Nt1estra traducción se basa en PP, con las excepcio­nes siguientes: (i) En materia de referencias bibliográficas seguimos el ejemplo de JSL, esto es, damos la ficha completa de las obras citadas por el autor (mientras que PP, como es natural, re111ite me<.iiante una abreviatura a la biblio­grafía al final del volumen); pero hemos completado -y, en un caso, corre­gido- las fichas que da JSL a la luz de la bibliografía de PP. No hemos podido hallar las fuentes de todos los textos que Putnam cita sin dar referencias precisas, pero hemos suplido algunas. (ii) En los dos pasajes en que hay

1 Alocución presidencial leída en el Encuentro de Invierno de la Association for Symbolic Logic, en Washington, D.C., el 29 de diciembr~ de 1977. Deseo agradecer a Bas van Fraassen sus valiosos comentarios y críticas a una versión anterior.

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diferencias significativas entre PP y JSL, hemos traducido los dos textos (véanse las notas T21 y T27). (iii) Como JSL y PP siguen reglas diametralmente opuestas en cuanto al uso de comillas -PP las pone simples donde JSL usa dobles, y viceversa-, hemos decidido adoptar en esta materia las convenciones de nuestra revista : comillas dobles para citas, títulos de artículos y para subrayar lo problemático de una expresion utilizada; comillas simples para citas dentro de citas y para mencionar expresiones.

Las notas del autor están numeradas del 1 al 8 como en JSL. Las notas de los traductores, numeradas del 1 al 27, se distinguen con la letra T.

Hemos tenido a la vista una versión castellana inédita de "Models and Reality" por un colega que ha preferido permanecer anónimo.

El artículo "Realismo, indeterminación y teoría de modelos" por Francisco Rodríguez Consuegra, publicado en este mismo número, pp. 47-74, explica el contexto histórico y filosófico de las ideas que Putnam expone aquí.

En las pp. 40-45 publicamos, en el original inglés y traducción castellana, el articulo "Mterthoughts on 'Models and Reality'" que el profesor Putnam escribió en febrero de 1993, accediendo amablemente a nuestra solicitud, para acom­pañar la presente traducción. En él aclara algunas indicaciones, contenidas en otros escritos suyos aparecidos o por aparecer, según las cuales el planteamien­to de algunos problemas en "Models and Reality'' ya no le satisface del todo.

En una conferencia pronunciada ante el Quinto Congreso de Mate­máticos Escandinavos en 1922 Skolem señaló lo que llama una "relatividad de las nociones conjuntistas" .r1 Dicha "relatividad" ha solido reputarse paradójica, pero hoy por hoy, aunque se escucha la expresión "la paradoja de Lowenheim-Skolem", al parecer se la concibe sólo como una paradoja aparente, algo que los iniciados saborean, sin que en serio los inquiete. Así, van Heijenoort escribe: "La existencia de tal 'relatividad' a veces se denomina paradoja de Lowenheim-Skolem, pero no es, por cierto, una paradoja en el sentido de una antinomia, sino una caracterís­tica novedosa e inesperada de los sistemas fo1males" .T2 En este .escrito

TI Thoralf Skolem, "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", reproducida en Skolem, Selected Works in Logic (Oslo: Universitets­forlaget, 1970), pp. 137-152. En la p. 144, Skolem dice que la fundamentación axiomática de la teoría de conjuntos "genera una relatividad de los conceptos de conjuntos" ("führt zu einer Relativitat der Mengenbegriffe"). Putnam traduce "relativity of set-theoretic notions" (como si en alemán dijera "Relativitat der mengentheoretischen Begriffe"). Nuestra traducción se ajusta a la de Putnam.

T2 Jean van Heijenoort, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967), pp. 290s .

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quiero retomar los argumentos de Skolem, no para refutarlos, sino para extenderlos aproximadamente en la dirección a la que él, al parecer, apuntaba. No sostengo que la "paradoja de Lowenheim-Skolem" sea una antinomia en lógica forn1al; pero alegaré que es una antinomia, o algo similar, en filosofía del lenguaje. Además, sostendré que la solución de la antinomia -la única solución a la que logro hallarle un sentido- tiene profundas implicaciones para la gran disputa metafísica sobre el realismo que ha sido siempre la controversia central en la filosofía del lenguaje.

He aquí la estructura de mi argumento. Señalaré que en muchos te­rrenos diferentes hay tres posiciones p1incipales con respecto a la refe­rencia y la verdad: tenemos el platonismo extremo, que nos atribuye fa­cultades mentales no naturales para "captar" forn1as directamente (es ca­racterístico de esta posición que la noción misma de "entender" o "captar" sea irreductible y no se explique); tenemos el verificacionismo, que sustituye la clásica noción de verdad por la noción de verificación o prueba, al menos cuando se trata de describir cómo se entiende el len­guaje; y tenemos la posición realista moderada, que intenta conservar el

• • carácter central de las nociones clásicas de verdad y referencia, sin postular facultades mentales [2] no naturales. Argüiré que, por desgracia, justamente el realismo moderado afronta enormes dificultades debido al teorema de Lowenheim-Skolem y otros resultados afines de la teoría de modelos. Por último, para preservar la perspectiva del realismo científico o empírico que el platonismo arroja por la borda, optaré por el verifica­cionismo, a pesar de que ello significa renunciar al realismo metafisico.

El teorema de Lowenheim-Skolem dice que toda teoría satisfacible de primer orden (en [465] un lenguaje numerable) tiene un modelo nume­rable.T3 Consideren la oración:

(i) "'-./(3J<)(R es biunívoca " El dominio de Re N " El recorrido de Res S)

donde 'N' es un té1mino fo1mal que designa el conjunto de los números enteros y los tres componentes de la matriz se definen como es habitual en el cálculo predicativo de primer orden.

T3 Traducimos 'countable' por 'numerable', 'uncountable' por 'no numerable'. Cuando Putnam usa 'denumerable' como sinónimo de 'countable' y 'nondenumerable' como sinónimo de 'uncountable' también traducimos estas expresiones con 'numerable' y 'no numerable', respectivamente.

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Sustituyan 'S' por el término formal que designa el conjunto de los números reales en su teoría de conjuntos formalizada predilecta. Entonces (i) será un teorema (demostrado mediante el célebre "argu­mento diagonal" de Cantor). Así, la teoría de conjuntos formalizada elegida dice que cierto conjunto (llamémoslo 'S') es no numerable. Por tanto, S tiene que ser no numerable en todos los modelos de esa teoría. En consecuencia, dicha teoría -digamos, ZF (la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel)- tiene sólo modelos no numerables. Pero eso es imposible, ya que, según el teorema de Lowenheim-Skolem, ninguna teoría puede tener sólo modelos no numerables; si una teoría tiene un modelo no numerable, tendrá asimismo modelos infinitos numerables. ¡Contradicción!T4

Como Skolem señala, no es difícil resolver esta aparente contradic­ción (y por cierto no me refería a ella cuando hablé arriba de "una anti­nomia, o algo similar"). Pues (i) sólo "dice" que Ses no numerable si el recorrido de la variable ligada por el cuantificador 3R comprende todas las relaciones incluidas en N x S. Pero cuando fijamos un modelo numerable del lenguaje de la teoría de conjuntos, dicho recorrido no comprende todas esas relaciones, sino sólo aquéllas que pertenecen al modelo. (i) sólo "dice" que Ses no numerable en un sentido relativo, en cuanto ninguna R en el modelo pone los elementos de S en correspon­dencia biunívoca con un subconjunto de N. Un conjunto Spuede ser "no numerable" en este sentido relativo y a la vez ser numerable "en reali­dad". Esto ocurre si existen correspondencias biunívocas entre Sy Npero todas ellas caen fuera del modelo dado. Un conjunto que es "numerable" desde el punto de vista de un modelo puede ser no numerable desde el punto de vista de otro modelo. En suma, como dice Skolem, "hasta los

T4 Antes de seguir, conviene disipar una confusión a que puede dar lugar este pá­rrafo. Para que el teorema de Lowenheim-Skolem sea aplicable, la teoría de conjuntos formalizada elegida tiene que ser una teoría de primer orden. Pero (i) no est~ expre­sada en un lenguaje de primer orden, puesto que el recorrido de la variable ligada R son relaciones, no individuos. No es difícil, empero, expresar (i) en una teoría de con­juntos formalizada de primer orden, por ejemplo, así:

(i1) "-/3:xí.,(x<;;.(NxS)A(VyeN_)(Vze S)(VweS)({y,{y,z}}e XA

{y,{y,w})e x-::::>z•w)A(VueS)(3veN)({v,{v,u))e x))

Obsérvese que, cuánto menor sea el dominio del modelo, menos verosírrúl es que con­tenga un elemento x que satisfaga simultáneamente las condiciones impuestas. No cabe, pues, sorprenderse si la inexistencia de un elemento tal se deduce de axiomas que, por hipótesis, están realizados en el modelo.

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conceptos 'finito', 'infinito', 'secuencia simplemente infinita', etc. , se tor­nan puramente relativos dentro de la teoría axiomática de conjuntos."T5

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El problema itlosófico

En alguna medida todos los comentaristas están de acuerdo sobre lo que implica la existencia de interpretaciones "no deseadas", vgr. modelos en que lo que "se supone que son" conjuntos no numerables, "en reali­dad" son numerables. Todos los comentaristas concuerdan en que la existencia de tales modelos demuestra que el sistema formal no "aprehende" la interpretación "deseada" o, como prefieren decir algunos, la "noción intuitiva de conjunto". Pero si la "noción intuitiva de conjunto" no puede ser captada por axiomas, ¿qué podría aprehenderla?T6

Es oportuno citar aquí un dato técnico: hay una versión fuerte del teorema ·de Lowenheim-Skolem (el llamado "teorema de Lowenheim­Skolem descendente") que presupone el axioma de elección; según ella, todo modelo de una teoría de primer orden (en un lenguaje numerable) contiene un submodelo numerable.17 En otras palabras, dado un modelo no numerable M de una teoría, podemos encontrar un 1nodelo numera­ble M' de esa misma teoría en el cual los símbolos de predicados repre­sentan las mismas relaciones que en el modelo original (pero restringidas como es obvio al universo más pequeño). La única diferencia entre My M' es que el "universo" de M 1 -esto es, el recorrido de las variables de cuantificación- es un subconjunto propio del "universo" de M.

[466] Ahora bien, el argumento de Skolem, que muestra que "la no­ción intuitiva de conjunto" (si es que hay tal cosa) no es "aprehendida" por ningún sistema formal, muestra asimismo que aun una formalizacü5n de la ciencia total (si fuese posible construir tal cosa), y hasta una fonna­lización de todas nuestras creencias (cuenten ellas como "ciencia" o no), no podrían excluir interpretaciones numerables ni, menos aún, interpre­taciones indeseadas de esa noción.

T5 Skolem, Se/ected Works in Logic, p. 143.

. T6

El lector advertirá que Putnam da aquí por desco11tado que cualquier sistema de axiomas con que se intente "captar" la "noción intuitiva de conjunto" tendría que expresarse en un lenguaje numerable de primer orden.

T7

El texto dice: "a satisfiable first-order theory (in a countable language) has a countable model which is a submodel of any give11 model".

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Esto muestra que los "requisitos teóricos", ya sea que provengan de la teoría de conjuntos misma o de la "ciencia total", no pued.en fijar la interpretación "deseada" de la noción de conjunto. ¿Y qué diremos de los "requisitos operacionales"?T8

De nada serviría admitir que hay una infinidad numerable de "magnitudes" medibles, cada una de las cuales puede ~edirse en núme­ros racionales con la precisión que se quiera (lo que oertamente parece ser una suposición utópica). Pues, por el "teorema de Lowenheim­Skolem descendente", cabe hallar un submodelo numerable del modelo "estándar" (si es que hay tal cosa) en el que se preserve intacta la ex~en­sión de una multitud numerable de predicados (aplicables, respect1:.a­mente a una multitud numerable de cosas). En particular, podemos f11ar los vaiores de una multitud numerable de magnitudes en todos los pun­tos del espacio-tiempo con coordenadas racionales,T9 y [4] hallar, con todo, un submodelo numerable que cumpla todos los requisitos. En suma, parece haber, sin lugar a dudas, un modelo numerab~e .del cuerpo integral de nuestras creencias, que satisface todos los requ1s1tos opera-

cionales. El problema filosófico surge justamente aquí. S! n~s d~~en que "la

teoría axiomática de conjuntos no aprehende la noción intuitiva de con­junto", lo natural es pensar que otra cosa-nuestr~ "e~te~dimiento"-:- sí la aprehende. Pero, al menos para un filósofo de 1ncl1nación naturalista, ¿en qué puede consistir nuestro "entendimiento" que no sea el mo~o en que usamos nuestro lenguaje? El argumento de Skolem puede ampliarse, como acabamos de ver, para mostrar que el uso del lenguaje (determinado a la vez por los requisitos operacionales y, teór~cos) ~o "fija" una "interpretación deseada" única mejor que la teor1a axiomática

de conjuntos por sí sola. Esta observación puede empujar al filósofo de la matemática por dos

caminos diferentes. Si se inclina hacia el platonismó, la tomará como prueba de que la mente tiene misteriosas facultades para ''captar concep-

T8 Aquí, y en todo el artículo, diremos 'requisitos te~ricos' o 'req~isi~os operaciona­les' donde Putnam dice 'theoretical constraints' u 'operational co~tra1nts: Se refiere con ello a condiciones de orden teórico u operacional que constr1nen la libertad de una teoría, o sea, en castellano, a requisitos que ella tiene que cumplir.

T9 El original dice "the values of countable many magnitudes .ªt ali rational space­time points". Nuestra versión castellana significa exactamente lo rrusmo que. esta expre­sión inglesa, p·ero, a diferencia de ésta, no disimula el hecho de .que. una s1m~le trans­formación de coordenadas puede convertir un punto racional en 1rrac1onal o viceversa .

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tos" (o para "percibir objetos matemáticos") de las que el filósofo de in­clinación naturalista nunca logrará dar cuenta. Pero si se inclina hacia al­guna suerte de verificacionismo (es decir, si tiende a identificar la verdad con la verificabilidad, más bien que con alguna versión de la clásica "correspondencia con la realidad"), dirá: "¡qué disparate! lo único que la 'paradoja' revela es que nuestra comprensión de 'los números reales son no numerables' consiste en saber qué constituye una demostración de este aserto, y no en nuestra 'captación' de un 'modelo'." En suma, la pa­radoja de Lowenheim-Skolem alienta, al parecer, las posturas extremas: platonismo y verificacionismo; sólo la posición "moderada" -que intenta evitar miste1iosas "percepciones" de "objetos matemáticos" a la vez que conserva una noción clásica de verdad- resulta gravemente afectada.

Una digresión epistemológico-lógica

El problema señalado es grave para cualquier filósofo o lógico de inclinación filosófica que quiera concebir la teoría de conjuntos como la descripción de una realidad bien determinada que existe independien­temente. Pero puede parecer indiferente desde un punto de vista mate­mático: ¿qué importa que haya muchos modelos diferentes de la teotia de conjuntos, y no un "modelo deseado" único [467], si todos ellos satis­facen las mismas oraciones? Como matemáticos lo que queremos es sa­ber qué oraciones de la teoría de conjuntos son verdaderas, no apode­rarnos de los conjuntos mismos.

Por desgracia, el argt1mento puede a1npliarse. En primer lugar, [5] .. para un filósofo naturalista, los requisitos teóricos a que nos hemos refe-rido deben provenir de dos fuentes nada más: o bien de algo así como una decisión o convención humana, cualquiera que sea el origen de la "naturalidad" de tales decisiones o convenciones, o bien de la experien­cia humana, ya sea experiencia de la naturaleza (que es sin duda la fuente de nuestras "intuiciones maten1áticas" más básicas, aunque no esté de moda decirlo), o experiencia del "quehacer matemático". Cuesta creer que cada una de estas fuentes, o ambas a la vez, puedan darnos jamás un conjunto completo de axiomas para la teoría de conjuntos (pues un conjunto completo de axiomas tendría, desde luego, que ser no recur­sivo, y es difícil hacerse una idea de lo que sería tener disponible un conjunto no recursivo de axiomas en la literatura o en nuestras cabezas, aun en el caso improbable de que el género humano siguiese eterna­mente haciendo teoria de conjuntos). Y si un conjunto completo de axio-

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mas es imposible, y los modelos deseados (en plural) se destaca.n sólo mediante requisitos teóricos y operacionales, entonces cualquier oración independiente de los axiomas a que arribemos en el límite de la investigación conjuntista carece en realidad de un valor veritativo deter­minado; simplemente, será verdadera en algunos modelos deseados y falsa en otros.

Para mostrar las posibles implicaciones de este hecho para la investi­gación conjuntista efectiva, tendré que hacer una breve digresión sobre lógica técnica. En 1938 Godel presentó un nuevo axioma para la teorla de conjuntos: el axioma " V= L" . Aquí L es la clase de todos los conjuntos construibles, es decir, la clase de todos los conjuntos que se pueden de­finir mediante cierto procedimiento constructivo bajo el supuesto de que tenemos nombres para todos los ordinales, por grandes que sean. (Por cierto, esta acepción de 'construible' sería anatema para un matemático constructivista). Ves el universo de todos los conjuntos. Así, "V= L" dice solamente que todo conjunto es constmible. Considerando el modelo in­terno de la teorla de conjuntos en que "V= L'' es verdadero, Godel pudo demostrar la consistencia relativa de ZF y la teoría constituida por ZF

más el axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo.TlO

Matemáticamente hablando, "V= L" es por cierto una oración impor­tante. ¿Es acaso verdadera?

Por un tiempo, Godel pensó en proponer que "V= L" se agregara a los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, como una suerte de es­tipulación semántica, pero pronto cambió de parecer. Su opinión poste­rior fue que "V= L" es en realidad falsa, a pesar de ser consistente con la teoría de conjuntos si esta misma es consistente.

Un amplio sector de los especialistas en teoría de conjuntos comparte esta intuición de Godel; pero ¿tiene sentido?

Sea MAG un conjunto numerable de magnitudes físicas que contiene todas aquellas que pueden efectivamente medir los organismos sensibles

TlO Concretamente, lo que Godel demostró es que, si ZF es consistente, también lo es la teoría formada añadiendo a ZF el axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo. Véase "La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis generali­zada del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos" en Kurt Godel, Obras completas, Introducción y traducción de Jesús Mosterín (Madrid: Alianza, 1989), pp. 231-31 O. El original inglés, Tbe consistency o/ the axiom o/ choice ando/ the generalized continuum bypothesis with the axioms o/ set theory (Princeton: Princeton University Press, 1940), puede ahora consultarse en Godel, Collected Works, Vol. 11 (Oxford: Clarendon Press, 1990).

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que hay en este universo físico (por cierto, no parece plausible esperar [6] que pudiéramos medir más que una multitud numerable de magnitu­des físicas). Sea OP la asignación de valores "correcta"; esto es, aquélla que asigna a cada miembro de MAG el valor que en efecto esa magnitud posee en cada punto del espacio-tiempo con coordenadas racionales. Entonces OP incorpora toda la info1mación que podrían ofrecemos los "requisitos operacionales" (y, de hecho, infinitamente más que eso).

Un término técnico: un ffi-modelo de una teoría de conjuntos es un modelo en el cual los ntímeros naturales están ordenados tal como "debe ser"; esto es, la secuencia de los "números naturales" del modelo es una ffi-secuencia.

[468] Ahora un pequeño teorema.2

TEOREMA. ZF más V= L tiene un ro-modelo que contiene cada conjunto numerable dado de números reales.

DEMOSTRACIÓN. Puesto que un conjunto numerable de reales puede codificarse como un único real mediante técnicas fam iliares, basta de­mostrar que para cada niímero real s, hay un M tal que M es un ro­modelo de ZF más V= L y s está representado en M

En virtud del "teorema de Lowenheim-Skolem descendente", esta aseveración es verdadera si y sólo si lo es esta otra:

Para cada número real s, hay un conjunto numerable M que es un ro-modelo de ZF más V= 1 y s está representado en M.

Las· estructuras numerables con la propiedad de que los "números naturales" de la estructura forman una ro-secuencia pueden codifi­carse como reales mediante técnicas usuales. Cl1ando esto se hace bien, el predicado 'Mes un ro-modelo de ZF niás V= L y s está repre­sentado en M se convierte en un predicado artt1nético diádico de los reales M y s. Así, la oración arriba destacada tiene la forma lógica (para cada real s) (hay un real M) (···M, s, ·· ·). En suma, la oración es una oración del tipo II2.

Consideremos ahora esta oración en el modelo interno V= L. Para cada s en el modelo interno -esto es, para cada sen L- hay un mo-

2 J. Barwise ("Infinitary methods in the model theory of set theory", en R. O. Gandy Y C. E. M. Yates (ecls.), Logic Colloquium 69, Amsterdam, 1971, 53-66) ha demostrado el siguiente teorema, mucho más fuerte: Cada modelo numerable de ZF tiene una exten­sión final propia que es un modelo de ZF + V .. L. Yo demostré antes de 1963 el teo­rema reproducido en el texto.

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delo -a saber, el mismo L- que satisface 'V= L' y contiene a s. Por el teorema de Lowenheim-Skolem descendente, hay un submodelo numerable que es elementalmente equivalente a L y contiene a s. (Aquí, en rigor, no sólo necesitamos el teorema de Lowenheim-Sko­lem descendente, sino la construcción del "casco de Skolem" utilizada . .

para demostrarlo). Por los resultados de Godel, este mismo submodelo numerable está en L, y, como se comprueba fácilmente, también lo está el número real que lo codifica. Así, la oración de tipo TI2 arriba enunciada es verdadera en el modelo interno V= L.

Pero Shoenfield ha demostrado que las oraciones de tipo Il2 son absolutas: si una [7] oración de ese tipo es verdadera en L, tiene que serlo en v. Por lo tanto, la oración arriba enunciada es verdadera en V.O

Este teorema resulta asombroso a la luz de de la reflexión siguiente: Supongamos que Godel tiene razón, y que 'V= L' es falsa ("en reali­dad"). Supongamos que existe, en efecto, un número real no construible (como Godel también cree). Puesto que el predicado "es construible" es absoluto en los ~-modelos -esto es, en aquellos modelos en los que cada "buen orden" relativo al modelo es un buen orden "en realidad" (¡recuérdese la "relatividad de las nociones conjuntistas" a que se refiere Skolem!)- ningún modelo que contenga un número real s no cons­truible puede satisfacer "ses construible" y ser a la vez un P-modelo. Pero, según el teorema referido, un modelo que contenga a s puede satis­facer 's es construible' (porque satisface 'V= L', y 'V= L' dice que todo es construible) y ser a la vez un ro-modelo.

Supongamos ahora que el lenguaje entero de la ciencia se ha formali­zado dentro de la teoría de conjuntos ZF más V= L. Cualquier modelo de ZF que contenga un conjunto abstracto isomorfo a OP puede extenderse a un modelo para este lenguaje formalizado de la ciencia que sea están­dar con respecto a OP; por consiguiente, aun cuando OP no sea cons­truible "en realidad", será posible encontrar un modelo para el lenguaje entero de la ciencia que satisfaga "todo es construible' y que asigne los valores correctos a todas las magnitudes físicas en MAG en todos lós puntos del espacio-tiempo con coordenadas racionales.

[469] Godel sostiene que 'V= L' es falso "en realidad", pero, ¿qué de­monios puede querer decir eso? Debe significar, en todo caso, que en la situación que acabamos de imaginar, ·el modelo descrito en el cual '1 V= L" es verdadero no sería el modelo deseado. Pero, ¿por qué no? El

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modelo cumple con todos los requisitos teóricos, y hemos hecho grandes esfuerzos para asegurar que también cumpla todos los requisitos opera-cionales.

Alguien propondrá quizás que 'V ;é L' (o un aserto que implique que v no es igual a L) se agregue a los axiomas de ZF como un "requisito teórico" más. (Godel suele hablar de nuevos axiomas que algún día se harán evidentes.) Pero, aunque esto sea aceptable desde una toma de posición no realista, difícilmente puede serlo desde una realista. Pues la posición realista es que hay un hecho pertinenteT11 -un hecho inde­pendiente de lo que podamos legislar- con respecto a si V= Lo no. Un realista como Godel sostiene que tenemos acceso a una "interpretación deseada" de ZF, y no por pura estipulación lingüística.

El argumento anterior muestra que si la "interpretación deseada" la fi­jan sólo los requisitos teóricos y operacionales, entonces, si 'V ;é L' no se deduce de aquellos requisitos -si no decidimos hacer a V= L verdadero o hacerlo falso habrá entonces modelos "deseados" en los que V= L sea verdadero. Si tengo razón, [8] la "relatividad de las nociones conjun-

• • tistas" se extiende a una relatividad del valor de verdad de" V= L" (y, por argumentos parecidos, también del axioma de elección y de la hipótesis del continuo). ·

Requisitos operacionales y aseveraciones contrafácticas

Cabe pensar que en el concepto de lo que se puede medir u observar hay una ambigüedad grave, que pone en peligro la tesis al parecer deci­siva de que la información que podemos reunir consiste a lo sumo en una multitud numerable de hechos. Figúrense un aparato de medir que en cada minuto que marca su reloj simplemente registra la presencia de una partícula -durante todo ese minuto en el interior de un volumen finito dv en torno al· centro geométrico del aparato. Por cierto producirá a lo sumo una multitud numerable de datos (sí o no), incluso si se lo deja -funcionar eternamente. Pero, ¿cuántos son los hechos que nuestro aparato jXJdria registrar? Bueno, si vibrara un poquito -digamos, aleato­riamente- su centro geométrico se desplazaría r centímetros en cierta dirección. Entonces registraría hechos completamente distintos. Como

TllEI original dice "afact of the matter' .

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esto puede ocurrir para cada número real r, T12 el número de datos que el aparato podría producir es no nu1nerable, aunque nosotros mismos y el propio aparato seamos incapaces de distinguir cada número real r de los demás. El problema concierne lisa y llanamente al alcance del término modal "puede". En mi argumento tengo que identificar lo que llamo re­quisitos operacionales, no con la totalidad de los hechos que podrían re­gistrarse mediante observaciones -esto es, con los que se registrarán, o que se registrarían si ocurriesen ciertas perturbaciones aleatorias-, sino con la totalidad de los hechos que se registrarán u observarán de hecho, sean los que sean.

Como respuesta, yo señalaría que aunque el aparato de medir fuera desplazado rcentímetros en una dirección dada, sólo podríamos conocer una aproxi1nación racio11al del número real r. Pero si todos los intervalos envueltos son racionales, habrá sólo una multitud nume·rable de hechos de la forma: si se realizara la acción A (una acción cuya índole, tiempo y lugar se describen con cierta "tolerancia" finita), entonces el resultado r+ e (un resultado descrito con una tolerancia expresada en racionales) se obtendría con probabilidad comprendida en el intervalo (a, b). Conocer todos los hechos de esta forma sería [470] conocer la distribu­ción de probabilidad de todos los resultados observables posibles de to­das las acciones posibles. Nuestro argumento muestra que es posible construir un modelo que concuerde con todos estos hecl1os.

Con todo, esta objeción da lugar a una observación que cala más hondo. Vamos a suponer que el discurso contrafáctico se expresa en un lenguaje de primer orden,T13 digarnos que por la vía de incluir sitcesos en la ontología de nuestra teoría, así con10 un predicado ("hace subjuntiva­mente necesario que") referente a la conexión contrafáctica entre sucesos no realizados de cierto tipo, en cierro tiempo y lugar. Entonces nuestro [9] argumento demuestra que hay un modelo ajustado a todos los hechos que efectivamente se registrarán u observarán, así como a nuestros requisitos teóricos, y este modelo induce una interpretación del n1odismo contrafáctico (una "métrica de la similaridad definida sobre mundos posibles", según la teoría de David Lewis) ,T14 que 11ace verdaderos

Tl2 En rigor, ello puede ocurrir sólo para cada número real r dentro de algún inter­valo finito. Pero esta condición omitida por Putnam no restringe su conclusión, ya que la multitud de números reales contenida en el más pequeño intervalo no es numerable.

Tl3 El autor escribe aquí: "Suppose we 'first orderize' counterfactual talk".

T1 4 Véase, por ejemplo, David Lewis, Counte1factuals (Oxford: Basil Blackwell, 1973).

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recisamente los contrafácticos que lo son en al~una teoría completa que p 1 a a la nuestra Tl5 Así, con apelar a observaciones contrafácticas no inc uy · . ,,

consigue excluir absolutamente n1ngun modelo, a menos que la :~terpretación misma del modismo contrafáctico esté ya fijada por algo que rebasa los requisitos operacionales y teóricos.

(En sus Investigaciones Filosóficas, Wittgenstein señala algo relacio­nado con esto:TI6 quien habla de lo que una máquina ideal o el mismo Dios podrían computar discurre -en forma disfrazada- dentro de la matemática, así que este género de discurso no sirve para fijar la inter­pretación de la matemática. También "Dios" tiene muchas interpretacio­

nes.)

"Decisión" y "convención"

He empleado el término "decisión" a propósito de las cuestiones no resueltas de la teoría de conjuntos, aunque obviamente no es un término apropiado. No puede uno sentarse en su estudio y "decid.i~" sin más que "v = L" o el axioma de elección han de ser verdaderos. Ni sería apro­piado que la comunidad matemática convocase una conferencia interna­cional para legislar sobre estas materias. Sin embargo, me parece que, si encontráramos una especie extraterrestre de seres inteligentes que hu­biera desarrollado una matemática refinada y resultase que ellos recha­zaban el axioma de elección (tal vez debido al teorema de Banach­Tarski), 3 sería erróneo considerar simplemente que están equivocados. Hacerlo equivaldría, en mi opinión, a declarar que la aceptación del axioma de elección es parte integrante de nuestro concepto de racionali­dad, y no me parece que sea así. Por cierto, no aceptamos el axioma de elección arbitrariamente. Lo respaldan toda suerte de "intuiciones" (basadas, seguramente, en la experiencia con lo finito), así como su fe­cundidad matemática; pero ello no basta para que tengamos derecho a

T15 En el original se lee: "according to sorne completion of our theory".

T16 Según nos informa el profesor Putnam, él se refiere aqul a los §§ 193 y 194 de las Investigaciones filosóficas de Wittgenstein.

3 Este teorema es una consecuencia muy antiintuitiva del axioma de elección. Digamos que dos objetos A y B son 'congruentes por descomposición finita' si pueden dividirse en una multitud finita de conjuntos disjuntos de puntos, A1,. . ., An, B 1,. . ., Bn,

tales que A• A1 u Ai, u ... u An, B - B1 u Bi. u ... u Bn, y A¡ es congruente con B; para cada i • 1, 2,. .. , n. Tarski y Banach demostraron que todas las esferas son con­gruentes por descomposición finita.

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juzgar que una cultura no menos próspera que la nuestra es irracional si basa su matemática en principios incompatibles con el axioma de elección (por ejemplo, en el llamado "axioma de determinación").4

[lOD [471] Pero si ambos sisten1as de teoría de conjuntos -el nuestro y el de los extraterrestres- cuentan como racionales, ¿qué sentido tiene llamar a uno verdadero y al otro fa/.()o? A un platónico no le cuesta nada responder a esta pregunta. Si cree en el axioma de elección, dirá: "el axioma de elección es verdadero -verdadero en el modelo-; nosotros tenemos razón y los extraterrestres se equivocan." Pero, ¿qué es el mo­delo? Si el modelo deseado se singulariza mediante requisitos teóricos y operacionales, tenemos que, en primer lugar, "el" modelo deseado son mucl1os, no uno (de manera que el artículo "el" es inadecuado;T17 nues­tros requisitos teóricos y operacionales se ajustan a muchos modelos, no sólo a uno, y otro tanto cabe decir de los de los extraterrestres, como ya se vio). En segundo lugar, nuestros modelos deseados satisfacen por cierto el axioma de elección y los de los extraterrestres no; como no ha­blamos de los mismos modelos, no cabe una '¡equivocación" de una o la otra parte.

El platónico replicará que esto muestra en efecto que tenemos una misteriosa facultad de "captar conceptos" (o de "intuir objetos matemáti­cos") y que lo que nos capacita para fijar un n1odelo como el modelo es esto, y no sólo una serie de requisitos operacionales y teóricos; pero esta apelación a facultades n1isteriosas parece episte!J10lógica1nente inútil y científicamente nada persuasiva. Al fin y al cabo, ¿qué proceso neural admite que lo describan co1no percepción de un objeto matemático? ¿Por qué de u1i objeto matemático más bien que de otro? No dudo de que al­gunos axiomas matemáticos están integrados en nuestra noción de racio­nalidad ("todo número tiene un sucesor"); pero si el axioma de elección y la hipótesis del continuo no lo están, propongo que el argumento de Skolem o la precedente extensión de él arrojan dudas sobre la idea de

4 .Este axioma, estudiado por vez primera por]. Mycielski ("On the axiom of deter­minacy", Fundamenta Mathe1natícae, 53 (1963), 2), asevera que los juegos infinitos cort información perfecta están determinados, esto es, que hay una estrategia ganadora para el primero o el segundo jugador. El axioma de determinación implica que existe una medida bivalente no trivial numerablemente aditiva en los números reales, lo cual con­tradice una consecuencia bastante conocida del axioma de elecci611.

T17 Curiosamente, Putnam dice en inglés: · "so the 'the' is inappropriate"; lo cual no es cierto, pues en ese idioma el artículo definido plural es idéntico al singular. Pero tra­ducido al castellano, resulta tener razón.

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que estos enunciados tienen un valor veritativo independiente de la teo-ría en la que están inmersos. ·

supongamos ahora que esto es cierto, y que el axioma de elección es verdadero si se lo entiende en el s~ntido que le da nuestra teoría, y falso en el que le confiere la teoría extrate1Testre. Este relativismo que preco­nizo no es un relativismo desenfrenado. No dudo que existan algunos cánones objetivos de racionalidad (aunque evolutivos); dudo tan sólo de que sirvan para resolver este tipo de cuestiones y menos aún para distinguir una única "teoría de conjuntos racionalmente aceptable". Si esto es así, uno tenderá a decir que los extraterrestres han decidido que el axioma de elección sea falso y que nosotros hemos decidido que sea verdadero; o que tenemos "convenciones" diferentes; pero, desde luego, ninguna de estas expresiones es literalmente correcta. Puede muy bien ser que la idea de que los enunciados tienen valores veritativos independientes de la teoría en que se insertan esté tan arraigada en nuestra manera de hablar que simplemente no haya palabras o locuciones del "lenguaje ordinario" [llD para referirse a la dependencia

~ . . del significado y la verdad con respecto a las teorías. Tal vez fue esto lo que movió a Poincaré a exclamar "¡convención, ·Sí! ¡arbitraria, no!" cuando intentaba expresar en otro contexto una idea parecida.

¿Se trata de un problema con la noción de "conjunto"?

Es natural suponer que el problema señalado por Skolem y que con­siste en una sorprendente "relatividad" de nuestros conceptos tiene que ver con el concepto de "conjunto" -en vista de los varios problemas que se sabe rodean a ese concepto o al menos con el problema de la referencia a "objetos m.atemáticos". Pero no es así.

Para ver por qué no es así, consideremos brevemente el muy deba­tido problema de la referencia [ 472] a entidades teóricas en la ciencia fí­sica. Aunque parecería ser un problema para filósofos de la ciencia o fi­lósofos del lenguaje, más bien que para lógicos, éstos han solido intere­sarse por sus aspectos lógicos, como atestiguan las expresiones "enunciado de Ramsey", "traducción de Craig", etc. Aquí una vez más el realista -al menos el realista metafísico empedernido quiere que ver­dad y . aceptabilidad racional sean nociones independientes. Desea, por ejemplo, que lo que los electrones son se distinga (y posiblemente di­fiera) de lo que creemos que son, o aun de lo que creeríamos que son a la luz de los mejores experimentos y de la teoría epistémicamente óp-

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tima. Una vez más, el realista -el realista inetafísico empedernido­sostiene que nuestras intenciones seleccionan "el" modelo, y que nues­tras creencias son por lo tanto verdaderas o falsas en "el" modelo, ya sea que podamos averiguar su valor veritativo o no.

Para ver cómo este problema se ve afectado por el teorema de Lowenheim-Skolem (o por el teorema de suficiencia de GodelTlB -íntimamente relacionado con aquél- y sus generalizaciones modelis­tas), apliquémonos de nuevo por un rato a la construcción de modelos. Esta vez los requisitos operacionales tienen que n1anejarse con más deli­cadeza, ya que debemos distinguir los conceptos operacionales (que describen lo que vemos, sentimos, oímos, etc., al efectuar diversos ex­perimentos, así como también nuestros actos de coger, empujar, estirar, retorcer, mirar, oler, escuchar, etc.) de los conceptos no operacionales.

Para describir nuestros requisitos operacionales necesitaremos tres cosas. Primero tendremos que establecer un "vocabulario observacional" suficientemente amplio. Igual que los empiristas lógicos con su "vocabulario observacional", querremos incluir en este conjunto -llamémoslo el conjunto de los "O-términos"- palabras como 'rojo', 'toca', 'duro ', 'empuja', 'mira', [12D etc. En segundo Jugar, supondremos que existe (independiente1nente de que lo podainos o no definir) un conjunto S que puede entenderse como el conjunto de las cosas y suce­sos macroscópicamente observables (es decir, observables con el senso­rio humano). La noción de cosa o suceso observable es vaga, sin duda; querremos, entonces, que S sea un conjunto generoso, es decir, que si era inevitable que Dios errase en un sentido o en otro al definir el con­junto S, su yerro haya consistido más bien en contar demasiadas cosas y sucesos como "obervables por humanos", y no en excluir ciertas cosas que podrían considerarse marginal1nente "observables". Para un realista, ese conjunto S tiene que existir, por cierto, aunque nuestro conocimiento del mundo y del sensorio humano no permita que nosotros lo definamos en este momento. Adn1itin1os que S contenga sucesos (y no sólo cosas) porque, como ha señalado Richard Boyd,T19 algunos de los entes que

•

T18 Véase "La suficiencia de los axiomas del cálculo lógico de primer orden" en Kurt Godel, Obras completas, pp. 23-37 (ficha en la nota T l O). El original alemán, "Über die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls", apareció en Monatshefte für Mathematik urid Ph;1sik, 37: 349-360 (1930) y puede ahora consultarse en Godel, Collected Works, Vol. I (Oxford: Clarendon Press, 1986).

T19 El profesor Putnam nos informa que Richard Boyd le hizo este señalamiento en . , una conversac1on.

?? --

podemos observar directamente son fuerzas -podemos sentir las fuerzas-, y · 1as fuerzas no son objetos. Y doy por supuesto que las fuerzas pueden construirse como predicados, ya sea de objetos, vgr. nuestros cuerpos, ya sea de sucesos idóneos.

Lo tercero que presupondremos es una valuació11 (llamémosla una vez más 'OP ') que asigne a cada O-término n-ario (n = 1, 2, 3, ... ) el va­lor veritativo correcto para cada n -tupla de elementos de Sen la cual esté definido.T20 En general, los O-términos también están definidos en cosas no contenidas en S; por ejemplo, dos moléculas demasiado peque­ñas para ser observadas a simple vista pueden estar en contacto, ·una mota de polvo demasiado pequeña para ser vista puede ser negra, etc. Así, OP es una valuación parcial en un doble sentido: está definida sólo para una parte de los predicados del lenguaje, a saber, los O-términos, y sólo determina una parte de la extensión de éstos, a saber, la extensión de Tt S (la restricción de Ta S), para cada O-término T.

[473] Una vez más, nuestros "requisitos operacionales" son aprehen­didos por la interpretación OP. Desde luego, los apresa "desde arriba", ya que puede muy bien contener más información de la que podríamos efectivamente obtener usa.ndo nuestros cuerpos y nuestros sentidos en el mundo.

¿Qué haremos con los 'requisitos teó1icos'? Supongamos que hay una formalización posible de la totalidad de la ciencia actual, que llamaremos 'T', y otra de la teoría científica ideal, que llamaremos ' r¡. T¡ ha de ser 'ideal' en cuanto sería epistémicamente ideal para los humanos. La idea­lidad, en esre sentido, es una noción un tanto vaga; pero supondremos que, cuando Dios fabrica T¡, construye una teoría cuya aceptación por parte de los científicos sería racional, o que es un límite al cual conver­gen -a medida que se acumula más y más información- las teorías que sería racional aceptar; supondremos asimismo que la teoría que Dios fa­brica es compatible con la valuación OP.

Ahora bien, cabe suponer que la teoría T está bien confirmada en el momento actual, y que por lo tanto puede aceptársela racionalmente so­bre la base de la información que tenemos ahora; [13D pero hay un sen-

T20 Un término n-ario toma uno y sólo uno de los valores veritativos 'verdadero' y 'falso' en cada n-tupla de objetos comprendida en su dominio. Cabe, pues, considerarlo como una función definida e11 ese dominio. Cada n-tupla contenida en éste es un ar­gumento en el cual el término está• definido (en lugar de en habríamos podido decir para, pero hemos preferido no repetir esta preposición) .

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tido en el cual claramente puede ser falsa. En efecto, bien puede condu­cirnos a predicciones falsas, y así entrar en conflicto con OP. Pero T¡, por hipótesis, no lleva a ninguna predicción falsa. Con todo, e l realista metafísico sostiene que T¡ puede ser falsa en realidad-y justamente esta tesis es lo que hace de é l un realista metafísico en vez de un realista empírico. Según una concepción realista de esta clase, lo incognoscible puede, sin embargo, ser verdadero y aquello que epistémicamente más se justificaría creer puede, sin embargo , ser falso. La conexión llamativa entre las cuestiones d isputadas de la filosofía de la ciencia y las de la filosofía de la matemática estriba en que esta suerte de realismo tropieza precisamente con las 1nismas dificultades en que vimos tropezar al platonismo. Detengámonos a comprobarlo.

Puesto que la teoría ideal T¡ tiene en todo caso que ser conststente -icualesquiera que sean sus demás atributos-, el teorema de suficiencia de Godel (cuya demostración, como todos los lógicos saben, está ínti­mamente relacionada con una de las demostraciones de Skolem del teo­rema de Lowenheim-Skolem) implica que T¡ tiene modelos. Supondre-

mos que para cada m iembro del conjunto S de las 'cosas y acaecimientos observables' hay en T¡ un térrnino prin1itivo o definido que lo denota. Nuestro supuesto de que T¡ es cornpatible con OP significa que todos los enunciados acerca de miembros de S que sean verdaderos en virtud de OP son teoremas de T1. Por lo tanto, cualquier modelo M de T1 ha de contener un miembro correspondiente a cada miembro de S. Hasta podemos sustituir cada miembro de M correspondiente a un miembro de S por éste miembro de S y, reajustando de acuerdo con esto la interpre­tación de las letras de predicado, obtener un modelo M' en el que cada término que denota a un miembro de Sen la interpretación 'deseada' denote en efecto a dicho miembro de S. Entonces la extensión de cada O-término en ese modelo será parcialmente correcta, en la medida en que OP la determina; o sea que, en cualquier modelo así y para cada 0-término P, todo lo que OP "dice" que está en la extensión de P está en la extensión de P, y todo lo que OP "dice" que está en la extensión del complemento de P está en la extensión del complemento de P. En suma, tal modelo es estándar relativamente a P ~ S (P restringido a S), para cada O-término P.

Ahora bien, un modelo con tales características cumple todos las re­quisitos operacionales, puesto que es compatible con OP. Satisface ade­más los requisitos teóricos que impondríamos en el límite ideal de la in­vestigación. Así, parece una vez n1ás que cualquier modelo así es un

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modelo 'deseado', pues, ¿qué otra cosa podría distinguir un modelo 'deseado'' Pero si esto es lo que significa ser un [474] 'modelo de­

comdo , T tien~ que ser verdadera ¡en todos los modelos deseados! sea o , / .,, .

Pues que la pretensión del realista metaf1s1co de qu e aun la teo-Parece, ' h d 1 · · 1· ·bl ·d 1 T pudiera ser falsa "en realidad" se un e en o in1nte 1gi e. ría t ea /

Por supuesto, cabría sostener que 'verdadero' no se infiere de [14] , <ladero en todos los modelos deseados'. Pero, desde todos los puntos ver ·, d d ·sea 'verdadero' es lo mismo que 'verdadero en la tnterpretacion e-. ev1 , d

da' (o 'en todas las interpretaciones deseadas', si puede haber más e ~~a interpretación deseada -o permitida- por el hablante). Así que

ara seguir por este camino -que juzgo correcto- hay que desarrollar ~na teoría en que las interpretaciones se especifiquen de otro modo que

especificando modelos. una vez más, hay quienes apelan a misteriosas facultades de la

mente. Chisholm (que sigue la tradición de Brentano) alega que la mente tiene la facultad de referirse a objetos externos (o tal vez a propiedades externas), que él llama -con un buen término familiar ..... ' intencio~a­lidad'. y una vez más la mayoría de los filósofos de tendencia naturalista (y, desde luego, los psicólogos) hallan que postul~r facultade~ mentales inexplicadas es epistemología inútil y además, casi con seguridad, mala

ciencia. En lo relativo al modo en que se fija la referencia de los términos teó­

ricos, hay en la filosofía de la ciencia dos tendencias principales (vacilo en llamarlas 'puntos de vista', pues cada una está representada por mu­chos puntos· de vista que difieren en los detal les). Seg?n una de ~llas, que podemos llamar la tendencia de Ramsey, y cuyas diversas versiones constituyeron el punto de vista generalmente aceptado durante muchos años los términos teó1icos se presentan en series o grupos. Cada grupo -po

1

r ejemplo, el que forrnan los términos primitivos de la teoría elec­tromagnética- es definido por una teoría, en el sentido de que t?dos los modelos de esa teoría que sean estándar con respecto a los términos ob­servacionales cuentan como modelos deseados. La teoría es 'verdadera ' justamente en caso d e que tenga un modelo así. ~El 'enunciado de Ramsey' de la teoría es simplemente la oración de segundo orden que asevera la existencia de tal modelo.) Una versión refinada de esta concepción, que equivale a relativizar el enunciado de Ramsey a un

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conjunto abierto de 'aplicaciones deseadas', ha sido propuesta hace poco por Joseph Sneed.T21

La otra tendencia es el realismo. Aunque los realistas difieren entre sí aún más que los proponentes del punto de vista (antes) aceptado, todos concuerdan, sin embargo, en que una teoría puede tener un enunciado de Ramsey verdadero y no ser verdadera (en realidad).

La primera de las dos tendencias que he descrito, la tendencia de Ramsey, representada en los Estados Unidos por la escuela de Rudolf Carnap, aceptaba la 'relatividad de las nociones teóricas', abandonando las intuiciones realistas. La segunda tendencia es más compleja. Su ala conservadora, por llamarla así, representada por Chisholm, se une a Platón y a los antiguos al postular poderes misteriosos con los que la me.nte 'capta' los conceptos, con10 ya hemos dicho. Si, para fijar el modelo deseado, tenemos a nuestra disposición algo n1ás que requisitos teóricos y operacionales, el problema desaparece. El [15] ala pragmatista radical, representada quizás por Quine, está dispuesta a descartar la intuición de que T1 podría ser falsa 'en realidad'. Esta ala radical es 'realista' en cuanto que está dispuesta a sostener que la ciencia actual, tomada más o menos al pie de la letra (esto es, sin reinterpretación filosófica) es al menos aproximadamente verdadera; y es 'realista' tam­bién en cuanto considera que la referencia es trans-teórica (una teoría con un enunciado de Ramsey verdadero puede ser falsa, porque la investigación posterior puede establecer que una teoría incompatible es mejor); pero no es realista metafísica. Una vez más es el "centro" moderado de la tendencia realista, el centro [475] que querría mantener el realismo metafísico si1i postular misteriosos poderes de la mente, el que está sumido en graves dificultades.

Retrotrayendo el problema: la eskolemización de absolutamente todo

Hemos visto que las cuestiones de filosofía de la ciencia relacionadas con la referencia de los términos teóricos y las cuestiones de filosofía de la matemática relacionadas con el problema de caracterizar un "modelo deseado" único para la teoría de conjuntos están ligadas con el teorema

T21 Joseph Sneed, The Logical Structt1re'of Mathematical P/Jysics (Dordrecht: Reidel, 1971). Véase ahora Wolfgang Balzer, C. U. Moulines y joseph Sneed, A1i Architecto1iic for Science: The structuralist progranz (Dordrecht: Reidel, 1987).

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h ·m Skolem y su pariente cercano, el teorema de suficiencia d 1owen et - .

e . d 1 En filosofía también surgen cuestion·es relativas a la referencia de GéJ e · 1 ·d 1 b" · l

6 ·ro de los datos de os sent1 os y os o Jetos materia es, y, una a prop si bl d 1 ... d ás estas cuestiones se enlazan con los pro emas e a teor1a e vez m ' d d. . d (E . d modelos que hemos esta o 1scut1en o. n cierto mo o, parece que en realidad la paradoja de Skolem está en la raíz de los problemas característicos de la filosofía del siglo XX.)

Aunque el filósofo John Austin y el psicólogo Fred Skinner trataron de expulsar de lo existente a los datos de los sentidos, me parece que la mayoría de filósofos y psicólogos piensan que hay algo así como sensa­ctones 0 qualia. Puede que no sean objetos de la percepción, como an­tes se pensaba (cada día está más de moda considerarlos como estados o afecciones del sujeto sensible, como Reichenbach recomendaba hace años); puede que no tengamos de ellos un conocimiento que no admite rectificación; puede que sean entidades algo mal definidas y no los parti­culares perfectamente determinados que alguna vez se creyó que eran; pero parece razonable sostener que son parte del tema J~gítimo de la psicología cognitiva y la filosofía, y no meras pseudoentidades inventa­das por una mala psicología y una mala filosofía.

Si aceptamos esto, y tomamos ahora como requisito operacional el requisito de que la teona ideal prediga correctamente todos los datos de los sentidos, se ve fácilmente que el argumento precedente puede repe­tirse, esta vez para mostrar que -si los modelos "deseados" son los que satisfacen las constricciones operacionales y teóricas ahora adoptadas, o aun las que impusiéramos en cierto caso límite- o bien la teotia actual es "verdadera", en el sentido de ser "verdadera en todos los modelos de­seados", con tal que no lleve a predicciones falsas acerca de los datos de los sentidos; o bien la teoría ideal es "verdadera". La primera alternativa procede si entendemos que los requisitos teóricos están representados por la teoría actual; con la segunda, si entendemos que lo están por la teoria ideal. Pero esta vez ocurrirá que incluso términos referentes a ob­jetos materiales ordinarios -términos como 'gato' y 'perro'- serán di­versamente interpretados en los diferentes modelo~ "deseados". Parece que esta vez ni siquiera podríamos referirnos a los objetos físicos ordina­rios de tamaño mediano, salvo como constructos fonnales interpretados de distintos modos en distintos modelos.

Además, si estamos de acuerdo con Wittgenstein en que la relación de stmilitud entre datos de los sentidos que tenemos en momentos dife­rentes no está ella misma presente ante mi mente -que en realidad no

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se discierne una relación de similitud con sólo "fijar la atención" en un dato de los sentidos y pensar que "por 'rojo' entiendo cualquier cosa que sea como esto"- y damos el paso natural de suponer que los modelos deseados de mi lenguaje, cuando hablo de ahora en adelante acerca de los datos de los sentidos que tuve en un tiempo pasado t0, son seleccio-nados por los requisitos operacionales y teóricos, entonces resultará que mis datos sensoriales pasados son meros constructos formales que se in­terpretan de modo diferente (476] en diversos modelos. Si además con­v~nimos con Wittgenstein en que la noción de verdad requiere un len­guaje público (o al menos requiere estados del yo en tiempos diferentes, pues un "lenguaje privado para un solo presente especioso"T22 no tiene sentido), entonces incluso los presentes datos de mis sentidos están en el mismo saco ... En suma, uno puede "eskolemizar" absolutamente todo. Parece absolutamente imposible fijar una referencia detern1inada (sin apelar a poderes mentales no naturales) para término alguno; y ¿qué ocurre si aplicamos el argumento al propio metalengl1aje utilizado para hablar de este aprieto en que estamos ... ?

El mismo problema ha surgido también recientemente en el campo de la psicología cognitiva. En este campo, el modelo estándar del cere­bro/mente es una con1putadora moderna. Dicha computadora se concibe dotada de algo similar a un lenguaje formalizado en el que hace sus cómputos. (Este hipotético lenguaje cerebral ha sido incluso bautizado "mentalés" .) Lo que hace que el modelo de la psicología cognitiva sea un modelo cognitivo es que el "mentalés" se concibe como un medio con el que el cerebro construye una representaciórz i1iternct del mundo externo. Esta idea tropieza ensegu ida con el siguiente [17Il problema: si el "mentalés" ha de servir de vehículo para describir el mt1ndo externo, en­tonces las distintas letras de predicado deben tener extensiones que sean

T22 La expresión "presente especioso" (en inglés, "specious present") fue introdu­cida por E.R. Clay, quien designa con ella el tiempo que contiene lo dado en la expe­riencia actual. Según Clay, éste es "algo muy diferente del lindero entre pasado y futuro que la filosofía designa con el nombre Presente. El presente a que lo dado se refiere es realmente una parte del pasado -un pasado reciente- dado engañosamente como si fuera un tiempo interpuesto entre el pasado y el futuro" (The Alternative, p. 167; citado por William James, The Principies of Psychology, New York: Holt, 1890, vol. I, p. 609). El adjetivo "especioso" se eligió, pues, para indicar que el presente genuino es el ahora indivisible y sin duración de la física aristotélica y moderna. Pero James citaba a Clay en otro espíritu: para él "el parangón y prototipo original de todos los tiempos concebidos es el presente especioso, de cuya breve duración nos percatamos inmediata e incesan­temente" (James, o.e., vol. 1, p. 631).

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conjuntos de cosas externas (o conjuntos de n-tl1plas de cosas externas). pero si el "mentalés" se "entiende" -en las estructuras profundas del ce­rebro que computa, registra, etc., en este "lenguaje"- a través de lo que los investigadores de la inteligencia artificial lla1nan "semántica procesal"; esto es, si el programa del cerebro para usar el "mentalés" incluye toda su "comprensión" del "mentalés" - donde un programa para usar el "mentalés" (al igual que cualquier otro programa) se refiere sólo a lo que hay dentro de la computadora- entonces, ¿cómo hacen su aparición las extensiones? En la terminología que he venido empleando, el problema es éste: si la extensión de los predicados en "mentalés" la fijan los re­quisitos teóricos y operacionales que están "soldados en la cablería" del cerebro, o incluso si la fijan los que éste desarrolla en el curso de la in­vestigación, tales requisitos no le fijarán una extensión determinada a ningún predicado. Si pensar es algo que en último término se hace en "mentalés", entonces 1iinguno de los conceptos que poseemos tendrá una extensión determinada. O al menos así parece.

• • Significación de las teorías causales de la referencia

Inicialmente el término "teoría causal de la re ferencia" designaba mi teoría sobre la referencia de los términos aplicables a clases naturales y la teoría de Kripke sobre la referencia de los nombres propios.T23 Estas teorías no intentaban definir la referencia, sino más bien decir algo acerca de cómo se la fija, cuando no es asociando descripciones defini­das con los términos y nombres en cuestión. Kripke y yo sostuvimos que la intención de mantener la referencia a través de una cadena histórica de usos y la intención de cooperar social1nente en la fijación de la refe­rencia permiten usar con éxito un término para referirse a algo aunque no todos los hablantes que lo usan asocien con él una y la 1nis1na des­cripción definida. Estas teorías dan por supuesto que se puede distinguir un individuo con el propósito de "bautizarlo", así como inferir con éxito la existencia de entidades teóricas definidas (a los que luego es posible asignarles nombres). Así, estas teorías no abordaron la cuestión de cómo un término puede adquirir una referencia determinada (o cómo puede

T23 Aquí hemos traducido el teA'tO de JSL: "and Kripke's theory of the reference of proper names". En vez de eso, PP dice: "and to Kripke's theory (see pp. 70-75 for an account)". La teoría de Putnam puede estudiarse en sus PliilosojJhícal Papers, vol. 2, caps. 11, 12 y 13 (Cambridge: Cambridge University Press, 1975); la de Kripke en su li­bro Naming and Necessity (Oxford: Blackwell, 1980).

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adquirirla un gesto cualquiera, tal co1no apuntar con el dedo; por cierto, la "referencia" de los gestos es tanto· o más problemática que Ja referen­cia de los términos). Últi1namente, sin embargo, [477] varios autores han sugerido que apelando al concepto de "cadena causal" se puede explicar cómo opera la referencia de algunos tipos básicos de términos, por lo menos. Una versión, que evoca llamativamente las teorías de Ockham y otros lógicos del siglo XN, sostiene que un término se refiere a "la [18] fuente dominante" de las creencias en que figura.5 Suponiendo que po­damos esquivar el problema de que la causa dominante de nuestras creencias sobre los electrones bien pudiera consistir en libros de texto, 6

importa advertir que, aunque pueda elaborarse una concepción correcta de este tipo, en nada contribuirá a la solución del problema que hemos estado discutiendo aquí.

El problema es que al agregar a nuestro hipotético lenguaje formali­zado de la ciencia un cuerpo de teoría denominado "teoría causal de la referencia" no hacemos sino añadir más teoría. Pero el argumento de Skolem y nuestras extensiones de él no se ven afectados al ampliar la te­oría. De hecho, aunque supusiéramos que la teoría consta de todas las oraciones verdaderas, habrá muchos modelos que satisfacen toda la teo­ría y que difieren entre sí en lo que respecta a la extensión de cada tér­mino cuando ella no esté fijada por OP (o por lo que entendamos que es OP en un contexto dado). Si el predicado 'se refiere a' puede definirse en el metalenguaje de nuestra teo1ía en términos de uno o más predica­dos causales, entonces, puesto que cada modelo del lenguaje objeto se deja extender de un modo natural a un modelo co11·espondiente del metalenguaje, resultará que, eri cc1da tnodelo M, referenciaM es definible en términos de cattSarM; pero ello no le fija una extensión detenninada a 'se refiere a', a menos que el vocablo 'causar', o los predicados causa­les en cuestión, cualesquiera que sean, ya estén pegados con cola meta­física a una relación determinada.

No quiero decir con esto que la construcción de tal teoría no vale nada como filosofía o como ciencia natura_!. El programa de Ja psicología cognitiva arriba aludido, que propone describir nuestros cerebros como

5 Cf. Gareth Evans, "The causal theory of names", Aristotelian Society Supple­mentary Volume, 47: 187-208 (1973); reimpreso en Naming, necessity and natural kinds, ed. por Stephen P. Schwartz, Cornell University Press, 1977.

6 Para resolver este caso Evans apela a condiciones de idoneidad que ha de cum­plir la cadena causal que conecte la cosa referida con el repertorio de informaciones del hablante.

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computadoras que const1uyen una "representación interna del entorno", requiere, al parecer, que los enunciados en "mentalés" puedan descri­birse, al menos en algunos casos, como el producto causal de mecanis­mos en el cerebro y el sistema nervioso que "transducen"T25 información desde el entorno, y tal descripció~ bien podría ser lo que andan bus­cando los teóricos causalistas. El programa del realismo en filosofía de la ciencia -del realismo empírico, no del metafísico- busca mostrar que las teorías científicas pueden considerarse como representaciones cada vez mejores de un mundo objetivo con el que interactuamos; y si esta concepción, como propugnan los realistas empíricos, ha de formar parte de la ciencia misma, las interacciones con el mundo en virtud de las cuales esa representación se genera y modifica deben también formar parte del asunto representado. Pero el proble1na de cómo la representa­ción total, incluyendo la teoría empírica del conoci1niento que forma parte de ella, puede referirse a algo determinado no es uno que se pueda resolver desan·ollando más teo1ia empírica, aunque sea mejor.

[19] • •

La.~ teorías ideales y la verdad

Ante el problema que he planteado cabe reaccionar proclamando que hay muchas teorías ideales, vale decir, teorías que satisfacen los requisi­tos operacionales y poseen además todas las virtudes -simplicidad, co­herencia, [478] presencia del axioma de elección, etc.- que a los huma­nos nos gusta e)Cigir; pero que no hay "hechos pertinentes" que no se reflejen en alguno de los requisitos impuestos a las teorías que son idea­les en este sentido. Por lo tanto, lo qt1e es realmente verdadero es lo que es común a todas esas teorías ideales, y lo realrnente falso es lo que nie­gan todas ellas; y cualquier otra aseveración no es ni verdadera ni falsa.

Pero tal reacción redunda1ia en demasiado pocas verdades. Puede que 11aya seres racionales -incluso una especie racional humana- que no empleen nuestros predicados cromáticos, o el predicado 'persona', o el predicado 'terremoto'.7 No veo razón para infe1ir de ello que nuestro discurso acerca de cosas rojas, personas o terremotos, carece de valor de

T24 El autor dice "transduce", verbo derivado del sustantivo 'transducer ' ('transductor'); nos ha p arecido aconsejable formar el verbo correspondiente en caste­llano.

7 Este mismo asunto se examina en David Wiggins, "Truth, invention, and the mea­ning of life", Proceedings of the British Acadenly, 62: 331-78 (1976).

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verdad. Si hay muchas teorías ideales (y si la noción misma de lo 'ideal' en parte depende de intereses), si hay muchas teorías que (en las cir­cunstancias apropiadas) es perfectamente racional aceptar, entonces pa­rece mejor decir que, en la medida en que estas teorias digan cosas dife­rentes (y a veces aparentemente incompatibles), algunos hechos son "flexibles" en cuanto su valor veritativo depende del hablante, de las cir­cunstancias en que habla, etc. Esto es en todo caso lo que aducimos a propósito de la vaguedad con·iente, del discurso causal ordinario, etc. Es lo que alegamos a propósito de los asertos de simultaneidad aparente­mente incompatibles en la teoría especial de la relatividad. Conceder que hay más de una versión verdadera de la realidad no es negar que algu­nas versiones sean falsas.

Desde luego, puede que haya algunas verdades que cualquier espe­cie de investigadores racionales llegará eventualmente a reconocer. (Por otro lado, el conjunto de esas verdades podría estar vacío, o casi vacío.) Mas quien diga que ésas son todas las verdades que hay, por defi1zición, redefine la f?.OCión de verdad de manera su1na1nente restrictiva (y a la vez da por sentado que la noción de "teoría ideal" es perfectamente clara, un supuesto que nos parece lisa y llanamente falso).

El intuicionismo

Es un hecho llamativo que este problema no surja en absolt1to dentro de la concepción intuicionista de la n1atemática. At1nque no habría sor­prendido a Skolem, cuya conclusión era, precisamente, que "los mate­máticos en su mayoría desean que en última instancia la matemática manipule operaciones ejecutables de cón1puto, [20Il y no que consista en enunciados formales sobre objetos llamad~s así o asá" .T24

En el intuicionismo, conocer el significado de una oración o un pre­dicado consiste en asociarlos a un procedimiento que permita reconocer cuándo se tiene una prueba de que la oración es verdadera constructi­vamente (esto es, de que es posible efectuar las construcciones que la oración asevera que son ejecutables), o de que el predicado se aplica a un cierta entidad (esto es, de que cierta oración completa formada con el predicado es verdadera const1uctiva111ente). Lo 111ás lla111ativo acerca de este punto de vista es que la 11oción clásica de verdad ni-tnca se tltiliza; la semántica -i11clusive la se1náritica de la e>..presión '¡Jnteba constructt-

T25 Skolem, Selected Works in Logic, p. 152.

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va'- está dada enteramente en términos de la noción d~ 'prueba cons-. ' truct1va .

Por cierto, los intuicionistas no creen que la noción de 'prueba cons­tructiv;¡i' pueda formalizarse, o que las "construcciones mentales" puedan identificarse con operaciones cerebrales. En general, adoptan en filosofía una actitud marcadamente intencionalista y aprioristica; es decir, dan por supuesta la existencia de entidades mentales llamadas "significados" y de una facultad especial para intuir relaciones constructivas entre dichas en­tidades. [479] No son éstos los aspectos del intuicionismo de los que me voy a ocupar. Deseo considerar más bien el intuicionismo como un ejemplo de lo que Michael DummettT26 llama "semántica no realista"; es decir, una teoría semántica según la cual un lenguaje se entiende cabalmente en cuanto se domina de itn modo idóneo un procedimiento de verificación, y no en cuanto se aprenden ciertas condiciones de verdad (en el sentido clásico).

Como ha subrayado Dummett, el problema con la semántica realista -la semá.ntica de las condiciones de verdad- reside ~I} que, si soste­nemos que la comprensión de, digamos, las oraciones de la teoría de conjuntos, consiste en nuestro conocimiento de sus "condiciones de ver­dad", entonces ¿cómo podríamos decir en qué consiste a su vez ese co­nocimiento? (Como acabamos de ver, no puede consistir en el uso del lenguaje o del "mentalés" controlado por requisitos operacionales y teó­ricos, fijos o en desarrollo, puesto que tales requisitos son demasiado débiles para asignar a los términos una extensión determinada, como el realista requiere.)

Pero si entender las oraciones de una teoría matemática consiste en dominar procedimientos de verificación (que no tienen que fijarse de una vez por codas; podemos admitir un cierto grado de "creatividad"), entonces una teoría matemática puede entenderse cabalmente, sin que

T26 En relación con Jas opiniones y ocurrencias de Dummett a que se alude en el presente ensayo, pueden consultarse Jas tres obras suyas mencionadas en Ja bibliografía de Putnam, Philosophical Papers, vol. 3, a saber: "What is a theory of meaning?" en S. Guttenplan, ed., Mind and Langttage (Oxford: CJarendon Press, 1975), pp. 97-138; ''What is a theory of meaning? (II)" en G. Evans y J. McDowell, eds., Truth and Meaning: Essays in Semantícs (Oxford: Clarendon Press, 1976), pp. 67-137; y Elements of Intuitionis1n (Oxford: CJarendon Press, 1977). También es muy pertinente el libro de Dummett, The Logícal Basis of Metaphysics (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1991), que contiene -en una versió11 elaborada mucho más tarde para la imprenta­las William James Lectures que Dummett dictó en Harvard en 1976 (mientras Putnam dictaba en Oxford las John Locke Lectures "Meaning and Knowledge") .

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tal comprensión presuponga en absoluto la noción de 'modelo', no di­gamos la de 'modelo deseado'.

No es menester que el intuicionisca (o, más generalmente, el semán­tico no realista) renuncie para siempre a la noción de modelo. Tiene que renunciar a referirse a modelos en su explicación del entender, pero, [21] una vez que ha logrado entender un lenguaje lo bastante rico como para servir de metalenguaje a alguna teoria T(la cual puede ser simplemente un sublenguaje del metalenguaje, del modo habitual), entonces puede definir "verdadero en T" a la manera de Tarski, puede l1ablar sobre "modelos" de T, etc. Puede incluso definir 'referencia' (o 'satisfacción') exactamente como lo hizo Tarski.

¿Surge de nuevo íntegra la "paradoja de Skolem" para atorn1entarle en este punto? La respuesta es que no. Para ver por qué, tiene uno que ha­cerse cargo de lo que significa la "existencia de un modelo" en la mate­mática constructiva.

En la matemática constructiva los "objetos" se dan 1nediante descrip­ciones. Esas descripciones no tienen que estar miste1iosa1nente ligadas a esos objetos en virtud de algún proceso no natural (o 1nediante cola metafísica). Antes bien, lo que se afirma cuando se dice que el modelo "existe" es la posibilidad de probar que una. cierta construcción (el "sentido", por así decir, de la desc1ipción del modelo) tiene ciertas pro­piedades constructivas y nada más. En suma, la referericia se da me­diante el sentido, y el sentido se da mediante procedimieritos de verifica­ción y no mediante condiciones de verdad. La "brecha" entre nuestra te­oría y los "objetos" simplemente desaparece; o, mejor dicho, no aparece nunca para empezar~

El intuicionismo liberalizado

Sin embargo, no es mi propósito tratar de convertir a mis lectores al intuicionismo. Puede que la teoría de conjuntos no sea el "paraíso" que Cantor creyó que era,T27 pero no es tampoco un barrio tan malo como para querer abandonarlo voluntariamente. ¿Podemos separar la idea filo­sófica que hay tras el intuicionismo, la idea de una semántica "no rea-

T27 No nos consta que Cantor creyese que Ja teoría de conjuntos fundada por él era un paraíso. Fue David Hilbert quien, en el curso de su vigorosa campaña contra Brouwer y los intuicionistas, escribió la frase: "Del paraíso que Cantor creó para noso­

. tras, no debe poder expulsarnos nadie" ("Über das Unendliche", Mathen1atísche Annalen, 95 (1925), p. 170).

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lista", de las restricciones y prohibiciones que los intuici~nistas del pa­sado queóan imponer a las matemáticas?

La respuesta es que sí podemos. Primero, en lo que toca a la teoóa de conjuntos: la objeción a la impredicatividad -que es la razón por la cual Jos intuicionistas rechazan buena parte de la teoría de conjuntos clásica- tiene poco [ 480] o nada que ver con la insistencia en el verifi­cacionismo. De hecho, la matemática intuicionista es ella misma "impre­dicativa", en cuanto la noción intuicionista de prueba constructiva presu-

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pone pruebas constructivas que se refieren a la totalidad de las pruebas constructivas.

Segundo, en lo relativo al cálculo proposicional: es sabido que las conectivas clásicas pueden reintroducirse en una teoóa intuicionista me­diante reinterpretación. Lo importante no es si uno usa o no el "cálculo proposicional clásico" , sino có1no uno entiende la lógica cuando la usa. Usar la lógica clásica como la entendería un intuicionista significa, por ejemplo, llevar la cuenta de los casos en que una disyunción [22] es se­lectiva (de suerte que uno de sus dos n1iembros es de111qstrable cons­tructivamente), y de aquéllos en no es selectiva; y no parece que ésta sea una mala idea.

En suma, mientras el intuicionismo puede combinarse bien con un interés mayor en la matemática const1uctiva, una versión liberalizada del punto de vista intuicionista no tiene que excluir como ilegítima o ininte­ligible a la matemática "clásica".

¿Y qué diremos del lenguaje de la ciencia empírica? Aquí hay mayo-•

res dificultades. La lógica intuicionista se presenta en términos de una noción de pnteba, y se supone que ésta constituye un rasgo pennanente de las aseveraciones. Además, la noción de p1ueba no es holística; es posible dar una p1ueba (ya sea en el sentido clásico o en el constructivo) de un enunciado matemático aislado.T28 Pero la verificación en la ciencia empírica es una cuestión de grado, no una cuestión de "sí o no"; incluso

T28 El original dice: "There is such a thing as the proof (in either the classical or the constructive sense) of an isolated mathematical statement." Esta declaración resulta a primera vista desconcertante, puesto que, evidentemente, un enunciado matemático sólo puede demostrarse si se vincula de un modo necesario con otros. "Demostración de una verdad aislada" es una contradicción en los términos. Pero a la luz de lo que Putnam añade enseguida, vemos que lo que quiso decir es que la propiedad de estar demostrado pertenece a cada teorema matemático por sí mismo; mientras que la verifi­cación sólo puede atribuirse colectivamente a las aseveraciones empíricas, es decir, en cuanto integran con otras todo un cuerpo doctrinal.

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si la convertimos en una cuestión de "sí o no" mediante alguna estipula­ción arbitraria, la verificación sigue siendo una propiedad que las aseve­raciones empíricas pueden perder; y en general la "unidad de verifica­ción" en la ciencia empírica es la teoría y no la aseveración aislada.

Estas dificultades muestran que en el contexto de una formalización de la ciencia empírica sería una mala idea apegarse a la concepción in­tuicionista, por más que se la liberalice. Pero no son obstáculo para una semántica "no realista". La cuestión decisiva es ésta: ¿pensamos que el hecho de entender el lenguaje consiste en que los hablantes posean (colectivamente, si no a título individual) una red de procedimientos de verificación en desarrollo, o en que posean un conjunto de "condiciones de verdad"? Si escogemos la primera alternativa, la alternativa de la se­mántica "no realista", nunca surge la "brect1a" entre las palabras y el mundo, entre nuestro uso del lenguaje y sus "objetos" .s Además, la se-

8 A la sugerencia de que identifiquemos la verdad con el estar verificado, o acep­tado, o aceptado a la larga, cabe objetar que una persona podría razonablemente, y po­siblemente con verdad, aseverar lo siguiente:

A; pero podría haber ocurrido que A y nuestro desarrollo científico difirieran de tal modo que A forme parte de la teoría ideal aceptada a la larga; en tal cir­cunstancia, habría sido el caso que A pero A no sería verdad.

Sin embargo, este argumento es falaz, porque el "desarrollo científico" diferente significa aquí la elección de una versión diferente; no podemos suponer que la oración r A, tenga un significado que se fije con independencia de la versión que aceptemos.

De hecho, un realista metafísico puede verse ante el mismo problema. También los realistas tienen que reconocer que hay casos en que la referencia de un término de­pende de la teoría que uno acepte, de modo que A puede ser una oración verdadera si se acepta T1 y falsa si se acepta T2, donde T1 y 72 son ambas teorías verdaderas. Pero entonces imaginemos que alguien diga:

A; pero podría haber ocurrido que A y nuestro desarrollo científico difirieran de tal modo que se aceptara T2; en esa circunstancia, habría sido el caso que A pero A no habría sido verdad.T29

T29 Los dos últimos párrafos reemplazan en PP al siguiente párrafo con que esta nota concluye en JSL:

A un nivel más profundo, como Michael Dummett ha sido el primero en señalar, lo que está en juego aquí no es que identífiquem.os la verdad con la aceptabilidad a la larga (¿hay acaso un hecho pertinente que determine ya lo que a la larga se aceptaría?), sino que distinguimos dos nociones relacionadas con la verdad: la nocíó11 inter1ia de verdad ('la nieve es blanca' sí y sólo sí la nieve es blanca), que puede introducirse absolutamente en cualquier teoría pero no· explica cómo se entiende la teoría (por cuanto 'la nieve es blanca' es verdad si se entie1ule qite significa qtte la 11ieve es blanca, y no a la inversa), y la noción de verificación, no concebida ya como un mero indice

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mántica ''no realista" no es inconsistente con [ 481] la semántica realista; '

simplemente la precede, por cuanto Ja semántica "no realista" es [23Il la que es preciso internalizar si ha de entenderse el lenguaje.

Aunque no sea inconsistente con la semántica realista, la semántica no realista indudablemente afectará nuestro enfoque de las cuestiones relativas a la realidad y la verdad si hacemos de ella nuestra imagen de cómo se entiende el lenguaje. Desde luego, la verificación en la ciencia empírica (y, en menor medida, quizá también en la matemática) depende a veces de lo que hemos llamado "decisión" o "convención". Así, según esta imagen los hechos pueden depender de nuestros intereses, nuestros rasgos distintivos y nuestras decisiones. Habrá muchos "hechos flexibles". (El que V= Lo no es quizá un "hecho flexible".) En lo que a mí respecta, no puedo lamentarlo. Si apariencia y realidad resultan ser los extremos de un continuo, más bien que las dos mitades de una monst1uosa cortadura de Dedekind en la totalidad de lo que concebimos y no con­cebimos, me parece que la filosofía saldrá ganando. La búsqueda del "mobiliario del universo" habrá concluido con el descubrimiento de que el universo no es una habitación amueblada. · ·

¿Dónde dimos un traspié? El problema resuelto

Lo que Skolen1 en efecto nos ha hecho ver es esto: ninguna teoría interesante (en el sentido de teoría de primer orden) puede, por sí misma, determinar sus propios objetos modulo un isomorfismo. Y, como hemos visto,. el argumento de Skolem puede extenderse para mostrar que si los requisitos teóricos no determinan la referencia, esto ta1npoco se va a lograr añ.adiendo nuevos requisitos. Este es el punto en el que la referencia misma empieza a parecer "oculta"; empieza a parecer que uno no puede ser un realista de ninguna clase si no cree en pocleres mentales no naturales. Como advertimos más arriba, se han intentado muchas maniobras para salir de este aprieto. Algunos han propuesto que las formalizaciones de segu1ido orden son la solución, al menos para la matemática; pero el uso del formalismo no fija entonces la interpretación "deseada" (pues el formalismo de segundo orden admite los modelos llamados "de Henl<in", esto es, modelos en que las variables de segundo ord~n no recorren todo el conjunto potencia del universo de individuos), Y es preciso atribuir a Ja mente poderes especiales para "captar nociones

de algún tipo de verdad independiente de la teoría, sino como la cosa misma en términos de Ja cual ente11demos el lenguaje.

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de segundo orden". Algunos han propuesto aceptar la conclusión de que el lenguaje matemático está interpretado sólo parcialmente, y que otro tanto puede decirse del lenguaje con que hablamos de las "entidades te­óricas" en la ciencia empírica; pero ¿salen acaso mejor parados los "objetos materiales comunes y corrientes" o los datos de los sentidos? Tanto el platonismo como el fenomenalis1no se han desbocado varias veces, y en varios lugares, para salir de este aprieto.

Sin embargo, el problema estriba en la situación misma, que [24D nos pone en aprietos sólo porque hicimos estas dos cosas: primero, explica­mos la comprensión del lenguaje en términos de programas y procedi­mientos para usarlo (¿qué otra cosa si no?); y enseguida nos pregunta­mos cuáles era los "modelos" posibles del lenguaje, concibiéndolos como modelos que existen "ahí afuera", indepertdientemmite de cual­quier descripción. En este punto algo extraño e inquietante l1abía ocu­rrido ya, que nos pasó inadvertido. Cualquiera que sea la concepción adoptada, la referencia de los términos tiene que estar dete1minada por la comprensión del lenguaje, o, mejor dicho, ésta debe determinar dicha referencia dado el contexto en que se los usa. Si el uso no determina la referencia, ni siquiera en un contexto determinado, entonces el uso no constituye comprensión. Desde la perspectiva en que nos pusimos al discurrir de ese modo, el lenguaje posee un programa completo de uso; pero todavía le falta una interpretación.

Este fue el paso fatal. Quien adopta una teoría del significado según la cual a un lenguaje (482] cuyo uso se ha especificado cabalmente to­davía le falta algo -a saber, su "interpretación"- acepta un problema que sólo puede recibir soluciones disparatadas. Hablar co1no si mi pro­blema fuera éste: 'sé usar mi lenguaje, pero ¿cómo voy at1ora a fijarle una interpretación determinada?' es un disparate. O bien el uso del lenguaje fija de suyo la 'interpretación' o nada puede fijarla

Tampoco nos ayudan las "teorías causales de la referencia", etc. En el fondo, quien intenta escapar a la dificultad por estos medios espera que el mundo escoja una extensión definida para cada uno de nuestros tér­minos aunque nosotros no seamos capaces de hacerlo. Pero el mundo no escoge modelos ni interpreta lenguajes. Nada interpretará nuestros lenguajes si no lo hacemos nosotros mismos.

Necesitamos, pues, una concepción que vincule uso y referencia jus­tamente como la concepción realista metafísica rehúsa vincularlos; y eso es precisamente lo que hace la "semántica no realista". Desde este punto

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de vista, es trivial decir que un modelo en el cual, como podría ocurrir, se permuta el conjunto de los gatos con el de los perros (esto es, se asigna como extensión a 'gato' el conjunto de los perros y a 'perro' el conjunto de los gatos) es un modelo "indeseado" aunque a fin de cuen­tas se "preserven" - mediante ajustes correlativos en las extensiones de los demás predicados- los requisitos operacionales y teóricos de la ciencia total o de la totalidad de las creencias. Un modelo tal sería inde­seado porque no es nuestra intención que la palabra 'gato' se refiera a los perros. Desde el punto de vista del realismo metafísico, esta respuesta es inoperante, pues no hace más que retrotraer la cuestión al inetalenguaje. El axioma del metalenguaje "'gato ' se refiere a los gatos" no puede ex­cluir aquella interpretación indeseada del lenguaje objeto, a menos que ya se le l1aya fijado su interpretación deseada al metalenguaje; pero, desde ese punto de vista, esta111os en la misma situación respecto al me­talenguaje que respecto al lenguaje objeto, así que todo ha sido en vano. En cambio, desde el [25D punto de vista de la semántica "no realista'', el metalenguaje y el lenguaje objeto se entienden cabalmente; así que po­demos decir y entender "'gato' se refiere a los gatos". Aurique el 1nodelo mencionado satisfaga la teoría, etc., es un modelo "indeseado"; y reco­nocemos que lo es por la descripción mediante la cual está dado (como en el caso intuicionista). Los modelos no son huerfanitos nouménicos en busca de quien les dé nombre; son construcciones dentro de nuestra misma teoría y adquieren su nombre al nacer.

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