Los números enteros

El conjunto de los números enteros  está formado por:

 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.  Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a  los números naturales son un subconjunto de los enteros .

Operaciones con números enteros

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto  de un número entero  es el número natural  que resulta al suprimir su signo .

|−a| = a

|a| = a

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b   

3 + (−5)   

2. Asociativa :

(a + b) + c = a + (b + c)  ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro :

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al  minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b   

10 − (−5)   

2. No es Conmutativa :

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación  de varios números enteros  es otro número entero , que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos  y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la  regla de los signos .

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b   

2 · (−5)   

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro :

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división  de dos números enteros  es otro número entero , que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos  y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos .

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna :

(−2) : 6 

2. No es Conmutativo :

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero  es otro número entero , cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia  y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0 = 1 ·

a1 = a

am  · a n  = am+n

(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

am  : a n  = am - n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2  = (−2)3 = −8

(am)n  = am · n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

an  · b n  = (a · b) n

(−2)3  · (3)3  = (−6) 3 = −216

an  : b n  = (a : b) n

(−6)3 : 3 3  = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Ejercicios de potencias de números enteros

1 (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

2 (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=

(−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729

3 (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3

4 3−2 · 3−4  · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

5 52 : 53 = 5−1 = 1/5

6 5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125

7 52 : 5−3 = 55 = 3125

8 5−2 : 5−3 = 5

9 (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =

(−3)1 · (−3)6· (−3)− = (−3)3

10 [(−3)6 : (−3)3]3 · (−3)0  · (−3)−4 =

[(−3)3]3 · (−3)0· (−3)−4 =

(−3)9 · (−3)0 · (−3)−4 = (−3)5 = −243

Operaciones combinadas con números enterosPrioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..

2º.Calcular las potencias y raíces .

3º.Efectuar los productos  y cocientes .

4º.Realizar las sumas y restas .

Ejercicios de operaciones combinadas de números enteros

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 2 3 : 2) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

Si el paréntesis va precedido del  signo +  , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.

Si el paréntesis va precedido del  signo −  , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo  a todo los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6

Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] = − 5 + (5 + 2)= − 5 + 7= 2

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 + 7 − 3 + 6] + 5 =

= 5 − 14 + 5 = −4

3 9 : [6 : (− 2)] = 9 : (− 3) = −3

4 [(− 2)5 − (− 3)3]2 =

= [− 32 − (− 27)] = (−32 + 27) 2 =

= (−5)2 = 25

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2) 2 =

= 2 · 5 : 12 =

= 2 · 5 : 1 = 10 : 1 = 10

6 [(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

= [(2)3 + (−5)2] : [(−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : [(−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : 11 =

= 33: 11 = 3

7 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 9 − (−3) = 9 + 3 =12

8 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =

= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =

= 1 − (4) − (5 − 4 − 2)=

= 1 − (4) − (−1) =

= 1 − 4 + 1 = −2

9 − 12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

= − 12 · 3 + 18 : (− 12 : 6 + 8) =

− 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =

= −12 · 3 + 18 : 6 =

= −36 + 3 = −33

10 2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =

= 2 · [24 : 6 +3 : (−3)] − 6 =

= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =

2 · 3 − 6 = 6 − 6 = 0

11 [(−2)5 · (−3)2] : (−2)2 =

(−32 · 9) : 4 = −288 : 4 = −72

126 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

= 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =

= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =

6 + 6 − 5 = 7