Los Números Enteros

Números Enteros

+20

Buena temperatura ambiental + 20°C

+10

Jorge Tiene 10 años

Los juegos Olímpicos

empezaron el año 776 antes de Cristo

- 8

+70

- 70

El Buzo llegó hasta los 70 metros bajo el nivel

del mar

---- 776

Los números naturales se consideran enteros positivos

Se pueden escribir tanto 4 como + 4

Los números enteros están formados por

los enteros positivos, los enteros negativos

y el cero

Por cada entero positivo, se corresponde un entero negativo+5 , - 5, ………+ 3 , - 3 …….. + 357 , - 357 , etc.

Representación de los números enteros

Para representar los números enteros en una recta se deben seguir los siguientes pasos

1° Se traza una recta y se elige un punto para representar el cero

2° A la derecha del cero se ubica el + 1

3° La distancia entre el cero y el + 1 será la distancia entre dos enteros consecutivos.

0 1 2 6-4

-6

4° A la derecha del cero se colocarán los enteros positivos

5° A la izquierda del cero se colocarán los enteros negativos

Positivos Negativos

-1

Valor Absoluto de un número

Los números +4 y -4 están a la misma distancia del 0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Es evidente que +4 y -4 están asociados al mismo número natural 4. Esto se utiliza para definir el valor absoluto de un número.

Valor absoluto de un número es la distancia a que se encuentra del origen del sistema, es decir, la distancia

a que se encuentra del 0. Se simboliza con un par de barras.

Ejemplos:

| +4 | = 4

| - 4 | = 4Están a la misma distancia del 0

|- 2 | = 2

|+2 | = 2

Del mismo modo:

|+35 | = 35|- 42 | = 42

Hay varias definiciones de valor absoluto, pero sesimplifica diciendo que el valor absoluto de un número

corresponde al valor del número sin el signo (a su valor positivo).

Operatoria con Números Enteros

SumaResta

MultiplicaciónDivisión

Suma de enteros de igual signo

a) Suma de enteros positivos

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

También se escribe: (+2) + (+3) = + (2 + 3) = + 5

(+4) + (+7) = + 11

(+2) + (+3) = + 5

b) Suma de enteros negativos

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

(-3) + (-5) = - 8

(-4) + (-7) = - 11

También se escribe : (-4) + (-7) = - ( 4 + 7) = - 11

En resúmen:

Para sumar números del mismo signo:

1° Se suman sus valores absolutos.2° Se antepone el signo que tenían los números.

(+16)+(+14) = +30(+5)+(+21)+(+7)

= +33(+28)+(+56) = +84 (-35)+(-72) = -107

(-15)+(-81)+(-93) = -189

(-15) = (-8)+(-7)

Suma de números de distinto signo

Veamos algunos ejemplos:

a) Compramos una docena de huevos

Quebramos 8 huevos

Nos quedan:(+ 12)+ (-8) = + 4

b) Nos dieron $ 16.000 para comprar

gastamos $ 19.000

El saldo de la cuenta es:

(+$16.000) + (- $19.000) = - $3.000

Para sumar dos números de distinto signo:

1° Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor

2° Al resultado se le coloca el signo del sumando demayor valor absoluto.

Suma de varios números enteros

Veamos un ejemplo:(+100) + (-40) + (-70) + (+50) = (+100) + (+50) + (-40) + (-70)

= (+150) + (-110)

= + 40

Para sumar varios números enteros:1° Se suman separadamente los números enteros

positivos y negativos.2° Se suman el número entero positivo y el número

entero negativo obtenidos.

(+100) + (-40) + (-70) + (+50) = (+100) (+50) (-40) (-70)++ +

Opuesto de un número entero

4 y -4 son dos números simétricos respecto de cero. tienen el mismo valor absoluto per distinto signo. Se llaman opuestos.

4 = op (-4)

-4 = op(+4)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(-3) = op (+3) (+3) = op(-3)

* El opuesto del opuesto de un número es el mismo número

a ba + b

Op (a+b) Op a Op bOp (a) + opp

´(b)

8 -2 6 - 6 - 8 2 -8 + 2 = -6

-7 -5 5 12 -12 7 7 + 5 = 12

* El opuesto de la suma es igual a la suma de los opuestos, como lo demuestra la siguiente tabla.

Nota:

- ( - 6) = +6 - (+ 6) = -6

Resta de Números enteros

Si observas que:

(+9) – (+4) = 5

Es lo mismo que:

9 – 4 = (+9) + (-4) = 5

Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo

a) (+9) – (-4) = 9 + 4 = 13b) (-9) – (+4) = (-9) + (-4) = (-13)c) (-9) – (-4) = (-9) + (+4) = (-5)

Ejemplos:

Entonces:

El uso del paréntesis

Vamos a calcular:

9 – (12 + 3) = ¿?

1° Realizando primero las operaciones del paréntesis

9 – 15 = - 6

2° También se puede hacer usando los opuestos:9 – (12 + 3) = 9 + op (12) + op(3) = 9 + (-12) + (-3)

= 9 + (-15) = - 6

Se obtiene el mismo resultado

Calculemos ahora: 12 – ( 10 – 6)

1° Resolviendo primero el paréntesis:

12 – ( 10 – 6) = 12 – 4 = 8

2° Sumando los opuestos:

12 – (10 – 6) = 12 + op(10) + op(-6)= (+12) + (-10) + (+6)= 18 + (-10) = 8

El mismo resulta

do

Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (-), sepuede operar de dos maneras diferentes:1° Resolviendo primero el paréntesis.2° Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los

números que contiene.

Multiplicación de Números Enterosa) Dos enteros positivos

(+4) · (+8) = (+8) + (+8) + (+8) + (+8) = +32

b) Un entero positivo por otro negativo

(+4) · (-8) = (-8) + (-8) + (-8) + (-8) = -32

(-4) · (+8) = (+8) · (-4)

c) Dos enteros negativos

Luis consumirá tres frutas cada día durante sus Vacaciones, entonces, si Luis disminuye sus vacaciones en cinco días, ¿cuánta fruta ahorra’

Cada día ahorra 4 frutas

Deja de ir 8 días

Ahorra las frutas que no consumió

-4

-8

+32

(-4) · (-8) = +32

= (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4) = - 32

Resumiendo:

a) (+4) · (+8) = + 32

b) (+4) · (-8) = - 32

c) (-4) · (+8) = - 32

d) (-4) · (-8) = + 32

El producto de dos números enteros es un número entero que:

1°) Su valor absoluto será igual al producto de los valores absolutos de los factores.

2°) Su signo será:Positivo cuando los factores tienen el mismo signo.Negativo, si los dos factores son de signo distinto.

Regla de los signos

Para multiplicar (y dividir) números enteros hay que tener en cuenta el signo de cada uno de sus factores,ya que existen cuatro posibilidades.

+ ● + = ++ ● - = -- ● + = -- ● - = +

Producto de varios enteros

Calculemos (-4) · (+8) · (-3) = ¿?

Observa:

a) -4 · 8 · (-3) = -32 · (-3) = +96

b) -4 · 8 · (-3) = -4 · (-24) = +96

Se obtiene el mismo

resultado

Para multiplicar varios números enteros, se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera (propiedad asociativa) y se realizan las multiplicaciones porparejas.

División de números enteros

Recordemos que la división es la operación inversa dela multiplicación, entonces:

¿Cuál es el número que multiplicado por (-8) da como resultado 32?

X · (-8) = + 32

X = (+32) : (-8) = (-4)

Por lo que ya hemos visto, ese número es (-4), entonces:

Las propiedades del cociente de dos números enteros son las mismas que las del producto de dos números enteros.

El cociente de dos números enteros es un número entero que:

1°) Su valor absoluto será igual al cociente de los valores absolutos de los factores.

2°) Su signo será:Positivo cuando los factores tienen el mismo signo.Negativo, si los dos factores son de signo distinto.

Tendemos entonces que podemos resumir como:

Regla de los signos

Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo de cada uno de sus factores, ya que existen cuatro posibilidades.

+ : + = ++ : - = -- : + = -- : - = +