Los números reales y naturales.
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Los números reales y naturales.
Clasificación de los números.Propiedades de los números reales.
Potencias y radicales.Leyes de los exponentes.
Operaciones con números enteros.Orden de las operaciones.
Docente: Esaú Abimael Ruiz Palomo
Complejos
Reales
Imaginarios
Irracionales
Racionales
Naturales
Cero
Negativos
Uno
Primos
CompuestosEnteros
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Clasificación de los números
Dar clic en el nombre para revisar cada uno
Se sugiere revisar primero las subclasificaciones.
Números complejos• Los números complejos son de la forma binómica: a + bi
El número a es la parte real del número complejo.En número b es la parte imaginaria del número
complejo.Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = aSi a = 0 el número complejo se reduce a bi y se dice que es un número imaginario puro.Al conjunto de los números complejos se le denomina
Números reales• Es el conjunto de números racionales e irracionales.
Se designa por• Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
Dar clic en el operaciones.
Números imaginarios• Un número imaginario se denota por bi, donde :
b es un número reali es la unidad imaginaria:
Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.x2 + 9 = 0
Números racionales• Se llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
Números irracionales• Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
Ejemplos:Π = 3.14159265359…e = 2.71828182845…
Números enterosEl conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.Z = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Números fraccionarios• Son aquellos que generalmente se presentan como un
número decimal o como una fracción.• Una fracción es una comparación de números naturales mediante una división.
2/3=0'666666...
Propiedades de los números reales
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Conmutativa Suma Multiplicación
a+b = b+a ab = ba
El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.
2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Asociativa Suma Multiplicación
a+(b+c)=(a+b)+c a(bc) = (ab)c
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.
7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Identidad Suma Multiplicación
a + 0 = a a x 1= a
Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es laidentidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1es la identidad multiplicativa.
-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Inversos Suma Multiplicación
a + ( -a) = 0
a x (1/a) = 1
La suma de opuestos es cero.El producto de recíprocos es 1.
15+ (-15) = 0
2 x (½) = 1
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Distributiva Suma respecto aMultiplicación
a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.
2(x+8) =2(x) + 2(8)
Potenciación y radicaciónPotenciación o exponenciación: Multiplicación de varios factores iguales. Por ejemplo3 x 3 x 3 x 3 = 34 ó 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46
34
Radicación: Operación opuesta a la potenciación.
BaseExponente
Índice del radical.
Radicando
Leyes de los exponentes• El resultado de multiplicar dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuya potencia es la suma de los dos exponentes, es decir:
an x am = an+m
23 X 26 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 23+6 = 29
• El resultado de dividir dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuya potencia es la resta de los dos exponentes, es decir:
= an-m
= = 7 x 7 = 75-3 = 72
Leyes de los exponentes• El resultado de elevar una potencia a un nuevo exponente es otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los dos exponentes, es decir:
(an)m = anxm
(103)4 = 103 x 103 x 103 x 103 = 103+3+3+3 = 103 x 4 = 1012
• Para elevar un producto de varios números a una potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia, es decir:
(a x b x c)n = an x bn x cn
(2 x 3 x 4)2 = (2 x 3 x 4) x (2 x 3 x 4) = 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 = 22 x 32 x42
Leyes de los exponentes• Para elevar un cociente de dos números a una
potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia, es decir:
()n = ()3 = x x = =
• Un exponente negativo puede representarse de la siguiente manera:
a-n = = = = = 6-2
Leyes de los exponentes.• Cualquier número elevado a la potencia cero es igual
a uno.a0 = 1
= = = 1 = 50
• Cualquier número elevado a la potencia uno es el mismo número, es decir:
a1 = a = = = 5 = 51
Leyes de los exponentes
• Puedes acceder a la siguiente página para desarrollar ejercicios acerca del tema:
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1129
Operaciones con números enteros.• Suma o adición: a + bAl sumar cantidades del mismo signo el resultado también es de ese signo.9 + 6 = 15 -8 -9 = -17
Para sumar cantidades de diferente signo, se hace la resta de éstas, sin tomar en cuenta el signo, el resultado tiene el signo del número mayor.-9 + 6 = (9 – 6 = 3)-9 + 6 = -3
Operaciones con números enteros.• Resta o sustracción (a – b):Al restar cantidades y juntar dos signos se aplica la ley de los signos.19 – (-14) = 19 + 14 = 33
• Multiplicación o cociente (a x b; a*b; ab):Para poder realizarlas se deben tomar en cuenta la ley de los signos.(-9) (5) = -45 (+) (+) = +(-5) (-6) = 30 (+) (-) = - (-) (+) = -
(-) (-) = +
Operaciones con números enteros.• División, cociente o razón (a b; a : b; ):Para poder realizarlas se deben tomar en cuenta la ley de los signos.
= 5
Orden de las operacionesParéntesis.Exponentes.Multiplicación.División.Adición.Sustracción.
+2 (5 – 3) 2 = +2 (2) 2 = +2 (2) 2 =4 + 2 (2) 2 =4 + 2 = 6
Fuentes revisadas• http://www.ditutor.com/numeros_naturales/clasificacion_numeros.html• http://
www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/prope/htmlb/SEC_26.HTM• http://
www.aulafacil.com/cursos/l10824/ciencia/matematicas/numeros-decimales/numeros-decimales-exactos-periodicos-puros-periodico-mixto
• https://sites.google.com/site/mago9292/unidad-1-numeros-reales/1-3---propiedades-de-los-numeros-reales
• Ramírez M. (2013) Matemáticas I. Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosí.
• S/A (2008) Enciclopedia Temática ilustrada, Tomo II. Arquetipo Grupo Editorial.• SEP (2011) Curso propedéutico para el fortalecimiento de la habilidad
matemática y lectora de los estudiantes de nuevo ingreso a la educación media superior.