Los Resueltos de Alf · 2018. 12. 13. · Apuntes de la práctica de Estructura 4 Diciembrede2018...

Apuntes de la práctica de Estructura 4

Diciembre de 2018

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Sobre estos apuntes Estos apuntes/resueltos fueron creados por un alumno mientras cursaba la materia. Es por elloque podrían haber errores de tipeo, errores conceptuales, de interpretación en los resultados, etc. Use estos apuntes conprecaución. Estos apuntes no son oficiales de ninguna cátedra. Lea atentamente el prospecto. En caso de notar algún efectoadverso suspenda inmediatamente su uso y consulte con su profesor de cabecera.

El alumno autor de estos apuntes cursó la materia el segundo cuatrimestre de 2018, este link conduce a la página oficialdel curso.

Encontrá más resueltos de Alf en este link.

Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes?

Estos apuntes están hechos usando un programa llamado Lyxa. Para hacer los dibujos se usó Inkscape y después seinsertó las imágenes en formato svgb directamente en Lyx.En este repositorio de GitHub se encuentra la plantilla (template) que Alf usa actualmente, con todo lo necesariopara compilarla y empezar a divertirse.

aLyx es una interfaz gráfica para Latex que hace que la escritura se vuelva extremadamente fluida y veloz (al punto de podersetomar apuntes en vivo durante una clase).

bsvg es el formato nativo de Inkscape.

Índice1. Guía 1 - Conservación de energía y momento relativistas 4

2. Guía 3 - Simetría SU(3) y modelo de quarks 12

3. Guía 4 - Special Unitary group of dimension 3 133.1. Representación fundamental y antifundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Octete de mesones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Guía 5 - Ecuaciones de onda relativistas 194.1. Ecuación de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Ecuación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1. Partícula en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Práctica 6 - Formulación lagrangiana de modelos relativistas 235.1. Corriente de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1.1. Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.1.2. Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Guía 7A - Teorías de gauge (caso abeliano) 27

1

https://losresueltosdealf.wordpress.com/

http://materias.df.uba.ar/e4a2018c2/


https://www.lyx.org/

https://inkscape.org/es/

https://github.com/SengerM/lyx

ÍNDICE ÍNDICE

7. Guía 7B - Teorías de gauge (caso no abeliano) 297.1. Lagrangianos con SU (2) local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.2. Lagrangianos con simetría SU (N) local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8. Guía 8 - Un mundo sin Higgs 338.1. Sector QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2. Sector electrodébil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9. Guía 9 - Ruptura espontánea de simetría en términos de masa 38

10.Decaimiento beta 42

11.Clase de repaso antes del parcial 43

Índice de boxes1. Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Box 2 - Relación entre el boost de Poincaré y el de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Box 3 - Unidades naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Box 4 - La constante de estructura y los cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Box 5 - Grupo y álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156. Box 6 - Escalares y transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197. Box 7 - Notación slash de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208. Box 8 - Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229. Box 9 - ¿Cuándo algo es cuántico o clásico? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310. Box 10 - El grupo U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611. Box 11 - Sobre los campos de gluones en QCD y los sabores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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←click me!2 Si ves un error, avisale a Alf , 201812131120 CC0


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Índice alfabéticoGuía 1 problema 4, 11Guía 1 problema 5, 9Guía 1 problema 6, 10Guía 2 problema 4, 11Guía 6 problema 3, 27Guía 9 problema 5, 41Guía 9 problema 6, 42

3

1 GUÍA 1 - CONSERVACIÓN DE ENERGÍA Y MOMENTO RELATIVISTAS

1. Guía 1 - Conservación de energía y momento relativistasMecánica newtoniana La mecánica newtoniana es invariante ante transformaciones de Galileo. Es decir, las leyes de Newtontienen simetría ante transformaciones del grupo de Galileo. El grupo de Galileo está compuesto por

las rotaciones espaciales, x′ = Rx donde R ∈ SO (3),

las traslaciones espacio-temporales,x′ = x+ dt′ = t+ t0

los boost v′ = v + v0.

Relatividad En el caso de la relatividad (especial) ésta es invariante ante el grupo de Poincaré, y no ante el grupo de Galileo.El grupo de Poincaré es igual al de Galileo en las rotaciones espaciales y las traslaciones espacio-temporales, pero es distintoen los boost. Un boost en x en el grupo de Poincaré se aplica según

Boost en x de Poincaré→

t′ =(t+ v

c2x) 1√

1− v2

c2

x′ = (x+ vt) 1√1− v2

c2

y′ = y

z′ = z

Box 2 - Relación entre el boost de Poincaré y el de Galileo

El boost de Galileo es el término de orden cero para c→∞ del boost de Poincaré.

Minkowsky Este fue un ruso que le dio un formalismo matemático a todo esto. Creó una visión unificada del espacio yel tiempo, el espaciotiempo o espacio de Minkowsky. En este espacio de cuatro dimensiones

[t x y z

]cada punto es un

evento. Entre dos eventos con coordenadas[

t1 x1 y1 z1][

t2 x2 y2 z2] podemos calcular su distancia espacio-temporal que viene

dada pors2 = c2 (t2 − t1)2 − |x2 − x1 |2 → Distancia entre eventos

y esta distancia espacio-temporal es invariante ante el grupo de Poincaré. En el caso del grupo de Galileo lo que es invarianteson las distancias espaciales y las distancias temporales por separado, pero en el grupo de Poincaré estas cantidades porseparado no son invariantes (por eso existe la dilatación temporal y la contracción espacial).

Diagrama de espaciotiempo Los espacios de Minkowsky se suelen representar en diagramas de espaciotiempo. En estosdiagramas el eje x representa alguna dirección del espacio x, y o z y el eje y representa el tiempo. Por ejemplo

x

t

x = ctx =

-ct

A

B

C

El evento A está en el origen de coordenadas. Si se quiere enviar algo desde A hacia B se puede ya que la velocidad a laque tendría que viajar este “algo” es menor que la velocidad de la luz. En cambio es imposible enviar “algo” desde A hastaC por el hecho de que dicho “algo” debería viajar más rápido que la luz. Esto define los “conos de luz” futuro y pasado queson los eventos que pueden tener conexión causal con A:

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x

t

A

B

C

cono futuro

cono pasdo

"elsewhere" "elsewhere"

Los eventos que tienen conexión causal con A están en su cono de luz pasado o futuro, mientras que los eventos fuera delcono de luz no pueden tener conexión causal. Por ejemplo el evento C, que se encuentra en la región que los libros llaman“elsewhere”, no puede tener conexión causal con A.

También se define la “línea de mundo” que es la “trayectoria” de un objeto en el espaciotiempo. Consideremos unapartícula que comienza en el origen de coordenadas. A medida que pasa el tiempo ésta se podrá mover con lo cual elmovimiento en el diagrama de espaciotiempo es

x

t

A

Línea de mundo

Debido a que nada puede moverse más rápido que la luz, entonces la línea de mundo de una partícula (u objeto) siempreestá dentro de su cono de luz futuro, y nunca puede tener una pendiente mayor que la velocidad de la luz.

Tiempo propio Es el tiempo que transcurre entre dos eventos en aquel sistema de referencia tal que los eventos ocurren enel mismo lugar del espacio. Consideremos dos eventos:

x

t

A

B

Tiempocoordenado

el tiempo propio entre estos dos eventos es el tiempo que transcurre en aquel sistema de referencia en el que las cosas seven así:

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x

t

A

BTiempopropio

con lo cual, si[t x

]son las coordenadas del evento B en algún sistema, el tiempo propio se obtiene según

c2τ2 = c2t2 − |x |2

Como se puede ver el tiempo propio τ siempre es menor que el tiempo coordenado t en cualquier otro sistema (dilatacióntemporal).

Para una partícula que se mueve a lo largo de una línea de mundo completamente arbitraria se puede aplicar esta ideaen forma diferencial y luego integrar a lo largo de todo el movimiento.

Cuadrimomento Consideremos la definición de momento no relativista

No relativista→p = mv

= mdx

dt

La ley de conservación del momento nos dice que

pfinal − pinicial = 0→ Conservación no relativista

Por otro lado, frente a un boost de Galileo, el momento se transforma de manera tal que la conservación es válida para elnuevo sistema también.

Ahora queremos encontrar leyes de conservación tales que ocurra lo mismo pero frente a cualquier transformación delgrupo de Poincaré. Para ello vamos a utilizar la noción de tiempo propio. Vamos a definir el momento relativista como

Relativista→p = mdx

dτ

= mdx

dt

dt

dτdt

dτ= γ → = γm

dx

dt

donde γ = 1√1− v2

c2

.

Por otro lado consideremos la siguiente cantidad

p0 = mcdt

dτ= mcγ

Taylor en v → = mc

(1 + 1

2|v |2

c2

)

Resulta que cuando hacemos una transformación de Poincaré (un boost puntualmente) este objeto se mezcla con las demáscomponentes del p relativista de modo tal que se forma un objeto invariante. Entonces vamos a definir al cuadrimomentocomo aquel cuadrivector cuyas componentes son

pµdef= m

dxµ

dτ→ Cuadrimomento

Su componente temporal, p0, es la energía mientras que las demás componentes son el momento “clásico”.

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Cuadrivectores y transformaciones Así como en Mecánica Clásica se trabaja con vectores de tres dimensiones, “trivectores”,en la mecánica relativista se trabaja con cuadrivectores. Los objetos con los que se trabaja son vectores de cuatro componentesy se usa la notación

xµ→ Componentes del cuadrivector posición

donde µ ∈ 0, 1, 2, 3 indica de qué componente estamos hablando. Cuando hacemos una transformación de Poincaré lascomponentes transformadas del cuadrivector son

x′µ = εµ +3∑

ν=0Λµνxν→ Transformación de Poincaré

donde εµ es la traslación espaciotemporal y Λµν es la rotación y/o boost de la transformación. Como estas sumatoriasaparecen todo el tiempo, se suele usar la notación de Einstein en la que cuando aparecen dos índices repetidos se asumeimplícitamente una sumatoria:

x′µ = εµ + Λµνxν→ Notación de Einstein

Veamos cómo se transforma el cuadrimomento:

p′µ = mdx′µ

dτ← Definición de p′µ

x′µ = Λµνxν + εµ → = mΛµνdxν

dτ= Λµνpν

por lo tanto vemos que p se transforma igual que x, con lo cual ambos son cuadrivectores. Esto implica que

pµpµ = p2→ Es un invariante relativista

es una cantidad que vale lo mismo en cualquier sistema de referencia, es decir que no se modifica frente a una transformaciónde Poincaré. La cantidad pµpµ es análoga al módulo del vector (sin embargo no es definida positiva). Haciendo la cuenta seencuentra que

pµpµ = m2c2

Ley de conservación de cuadrimomento Supongamos que el cuadrimomento se conserva en un sistema de referencia, esdecir

pµfinal − pµinicial = 0 → Asumimos conservación en un sistema

Veamos que si esto ocurre, entonces también se conserva en cualquier otro sistema de referencia relacionado mediante unatransformación de Poincaré:

p′µfinal − p′µinicial = Λµν (pνfinal − pνinicial)︸︷︷︸

=0= 0

con lo cual vemos que sí, también se conserva.Ya vimos que las componentes espaciales de pµ son una redefinición del p clásico. Pero ¿qué es la componente temporal?

Resulta que es la energía. Para ver esto consideremos

p0 = mcγ

= mc2 + otros términos︸︷︷︸Energía cinética relativista

donde mc2 es la energía en reposo por el mero hecho de existir, y “otros términos” son la energía cinética relativista. Eltérmino de orden más bajo es la energía cinética clásica m

2 v2.

Box 3 - Unidades naturales

Por comodidad vamos a usar un sistema de unidades tal que c = 1. Esto implica que, por ejemplo, las unidades detiempo y de espacio serían las mismas. Hacer esto no está mal, es perfectamente correcto y no hay ninguna incon-sistencia.

Entonces tenemos quem2 = E2 − |p |2

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de donde podemos despejar

E =√|p |2 +m2

= m

√1 + |p |

2

m2

Taylor→ = m

(1 + 1

2|p |2

m2 + . . .

)

Vemos que el término de orden cero es la energía en reposo y el primer término que le sigue es la energía “clásica” p2

2m .Utilizando la forma en que se transforman los cuadrivectores, i.e. p′µ = Λµνpν , vemos que en los distintos sistemas de

referencia el cuadrimomento (o cualquier cuadrivector) vive en una hipérbola:

x

t p en sistema en reposo

p en otros sistemas boosteados

La métrica de Minkowsky La métrica de Minkowsky es un “cuadritensor” ηµν cuyas componentes son

ηµν ∼

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

→ Métrica de Minkowsky

y es tal que

p2 ≡ p · p ← Producto interno de Minkowsky= pµpµ

= pµηµνpν

Es decir que la métrica se usa para “subir y bajar índices” del siguiente modo

Subir y bajar índices→pµ = ηµνpν

pµ = ηµνpν

Consideremos dos partículas con momentos p1µ y p2

µ. Entonces el momento total del sistema es

ptotalµ = p1

µ + p2µ

y vemos que

p2total = ptotal · ptotal

= p21 + p2

2 + 2p1 · p2

p2i = m2

i → = m21 +m2

2 + 2 (E1E2 − p1 · p2)p1 · p2 = |p1 | |p2 | cosφ→ = m2

1 +m22 + 2 (E1E2 − |p1 | |p2 | cosφ)

...≥ (m1 +m2)2

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Ejemplo de violación de conservación de pµ Consideremos el proceso en el que un electrón y un positrón se aniquilan ydan origen a un fotón

e− + e+ → γ → Viola conservación de p

y veamos que es un proceso prohibido por el hecho de que es imposible que se conserve el cuadrimomento. El cuadrimomentoinicial es

pµinicial = pµe− + pµe+

pµfinal = pµfotón

Se puede hacer toda la cuenta y convencerse, pero es más fácil verlo en forma gráfica. Como el electrón y el positrón tienenmasa distinta de cero, entonces sus cuadrimomentos están adentro del cono de luz, pero nunca pueden estar sobre el conode luz. En consecuencia el pinicial estará en el interior del cono de luz. Por otro lado el fotón tiene masa nula con lo cual sucuadrimomento está sobre el cono de luz. Entonces es imposible que ambos momentos sean iguales. Gráficamente es así:

x

t

e-e+

fotón

Es imposible sumar dos momentos en el interior del cono para que den uno que está sobre el cono.Sin embargo el proceso

e− + e+ → γ + γ → Está permitido

puede darse ya que existen formas de que se conserve el cuadrimomento:

x

t

e-

e+

fotón 1

fotón 2

Guía 1, ejercicio 5Una partícula se desintegra en otras dos

1→ 2 + 3

Como la partícula inicial tiene masa m1 > 0 entonces nos paramos en el sistema en reposo de esta partícula, con lo cual

pµinicial =p1 = 0E1 = m

La conservación de cuadrimomento impone que

pµfinal = pµinicial ⇒

p2 + p3 = 0E2 + E3 = E1

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Supongamos que ambas partículas salen en la dirección x. En este caso tenemos quep2 = p2x

p3 = −p2x

y entoncesm =

√m2

2 + |p2 |2 +

√m2

3 + |p3 |2

m ≥ m2 +m3

Guía 1, ejercicio 6Queremos estudiar el proceso

π+ → µ+νµ

Las masas de cada partícula, según el Particle Data Group (o Wikipedia más fácil), esmπ = 140 MeVmµ = 106 MeVmν ≈ 0 MeV

Las vidas medias1 de cada partícula son τπ = 2,6× 10−8 sτµ = 2,2× 10−6 s

Las vidas medias anteriores son medidas en el tiempo propio de cada partícula, es decir en los sistemas en que las partículasestán en reposo. Si lo miramos desde la tierra, sistema en el que la partícula se está moviendo con velocidad v, entonces lalongitud que la partícula puede recorrer antes de decaer es

L = v∆t∆t = γτ → = vγτ

= |p |m

τ

Para analizar la conservación del momento vamos a usar la siguiente notación

π+ ≡ 1 µ+ ≡ 2 νµ ≡ 3

con lo cual la conservación esp1µ = p2

µ + p3µ→ Cuadri-conservación

Elevando al cuadrado obtenemos

p23 = (p1 − p2)2

= p21 + p2

2 − 2p1µp2µ

Por otro lado sabemos que

p2

1 = m2π

p22 = m2

µ

p23 = m2

ν

. Entonces (?)

m2π − 2mπEµ +m2

µ = m2ν

con lo cual

Eµ =m2π +m2

µ −m2ν

2mπ

= 110 MeV

Por conservación de la energía

Eν = Eπ − Eµ= 30 MeV

1En realidad las vidas 1e.

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http://pdg.lbl.gov/





Ahora usamos que mν = 0 con lo cualEν = |pν |

2

y como estamos en el sistema centro de masa entonces

|pν |2 =

∣∣pµ ∣∣2y finalmente la longitud que recorre el muón es

Lµ =∣∣pµ ∣∣mµ

τµ

≈ 180 m

Esa es la distancia que recorre el muón.

Guía 1, ejercicio 4Consideremos una situación en la que inciden dos partículas y salen dos partículas, i.e. un scattering típico. El proceso es

1 + 2→ 3 + 4

La conservación del cuadrimomento esp1µ + p2

µ = p3µ + p4

µ

De la componente temporal µ = 0 tenemos la conservación de la energía con lo cual√m2

1 + |p1 |2 +

√m2 + |p2 |

2 =√m3 + |p3 |

2 +√m4 + |p4 |

2

Así como está esto no nos dice nada.Restrinjamos a un caso particular: el scattering elástico en el que las partículas iniciales son iguales a las finales, es decir

A+B → A+B

con lo cual tenemos que√m2A +

∣∣pinicialA

∣∣2 −√m2A

∣∣pfinalA

∣∣2 = −(√

mB +∣∣pinicialB

∣∣−√mB +∣∣pfinalB

∣∣2)La única posibilidad para que haya solución es que cada uno de los miembros sea nulo (sale a ojo por prueba y error paradistintos valores de los módulos de los p) con lo cual necesariamente∣∣pinicialA

∣∣ =∣∣pfinalA

∣∣∣∣pinicialB

∣∣ =∣∣pfinalB

∣∣Guía 2, ejercicio 4

No vamos a resolver el ejercicio pero sí hacer algunos comentarios sobre la importancia de las resonancias. En F1 definíamoslos sistemas ligados o no ligados en función de si existe una limitación entre la máxima separación entre los cuerpos. Porejemplo entre dos objetos que están en órbita decimos que estos objetos están ligados si la región del espacio que abarca sumovimiento está acotada en el espacio. En el caso cuántico la idea es similar, el estado ligado se caracteriza por el hecho deque la función de onda está concentrada en una región del espacio. En cambio un estado no ligado tendrá probabilidad nonula en cualquier lugar del espacio.

En el caso de este ejercicio lo que tenemos es que la sección eficaz de la reacción tiene un pico en una determinada energía,algo así:

Energía

Secc

ión e

fica

z

1660 MeV

Este pico es un indicador de que existe un estado ligado en esa energía. Entender por qué ocurre esto es muy complicado,se conoce como distribución de Breit-Wigner.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_Breit%E2%80%93Wigner_distribution




2 GUÍA 3 - SIMETRÍA SU(3) Y MODELO DE QUARKS

2. Guía 3 - Simetría SU(3) y modelo de quarksSU (n) es el grupo de matrices ∈ Cn×n unitarias y con determinante 1.Sea M ∈ SU (n), entonces

M ∈ SU (n) ⇐⇒M† = M−1 → UnitariadetM = 1 → Determinante 1...

Por otro lado tenemos el grupo SO (n) que es el grupo de matrices ortogonales reales de determinante 1, es decir

M ∈ SO (n) ⇐⇒MT = M−1 → OrtogonaldetM = 1

Por otro lado se tiene que SU (2) “está incluido” en SU (3). En este caso algo hace ruido pues las matrices de SU (2) sonde 2× 2 mientras que las de SU (3) son de 3× 3, entonces cómo pueden estar incluidas? La noción de inclusión se relacionacon el concepto de grupo y no con el concepto de conjunto. Es decir que como conjunto no ocurre que las matrices de SU (2)están contenidas en SU (3), pero como grupo sí está incluido.

Ejemplo Consideremos dos grupos isomorfos. En particular consideremos U (1) que es el grupo de números complejos demódulo 1 (unitarios). Entonces

α ∈ U (1) ⇐⇒ α∗α = 1 ⇒ α = eiθ

con θ ∈ R. Consideremos por otro lado el grupo SO (2) que es el grupo de matrices ortogonales de norma 1. Como conjuntopodemos parametrizar estas matrices según

SO (2) =[

cosβ sin β− sin β cosβ

]Vamos a ver que estos dos grupos son isomorfos

U (1) ≈ SO (2) → Son isomorfos

es decir que en verdad son el mismo grupo. Para que dos grupos sean isomorfos lo que tiene que ocurrir es que existe unmapa biyectivo entre ambos grupos y que respeta la estructura de grupo. Es decir que si tenemos dos grupos A y B y hay

un mapa f que unef (a1) = b1

f (a2) = b2entonces tiene que ocurrir que

f (a1a2) = b1b2

Si existe una f tal que hace esto entonces los grupos son isomorfos, i.e. son el mismo grupo. En el caso de U (1) y SO (2) elmapeo es trivial

f(eiθ)

=[

cos θ sin θ− sin θ cos θ

]Es trivial ver que es inyectivo (para θ ∈ [0, 2π)) y ahora lo que tenemos que ver es que

f(eiθeiφ

)=

[cos θ sin θ− sin θ cos θ

]·[

cosφ sinφ− sinφ cosφ

]... Hay que hacer la cuenta...

f(ei(θ+φ)

)=

[cos (θ + φ) sin (θ + φ)− sin (θ + φ) cos (θ + φ)

]Ejemplos de matrices de SU (3) Una forma de obtener matrices de SU (3) es la siguiente

A =

M00

0 0 1

con M ∈ SU (2). Para verificar esto consideremos

AA† =

M00

0 0 1

·M† 0

00 0 1

=

MM†00

0 0 1

y como M ∈ SU (2) entonces MM† = 1 lo cual implica que AA† = 1.

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3 GUÍA 4 - SPECIAL UNITARY GROUP OF DIMENSION 3

Representación de grupos Dado un grupo G, una representación de este grupo es un “grupo de objetos” que satisfacentodo lo del grupo. Por ejemplo consideremos el conjunto de matrices de la forma

G =

Matrices de la forma

M00

0 0 1

con M ∈ SU (2)

Debido a que existe un mapa (trivial) entre SU (2) y G entonces ambos grupos son isomorfos. Se dice que G es unarepresentación de SU (2) en las matrices de 3× 3. Entonces si M ∈ SU (2) entonces tenemos las siguientes representacionestriviales de SU (2):

Distintas representaciones triviales de SU (2)→

M ∈ C2×2 M00

0 0 1

∈ C3×3

M00

00

0 0 1 00 0 0 1

∈ C4×4

En el caso de M es la representación fundamental ya que es la de matrices de menor dimensión posible. En el caso de lasotras dos son representaciones con matrices de 3× 3 y 4× 4 respectivamente con lo cual no son fundamentales.

3. Guía 4 - Special Unitary group of dimension 3La simetría SU (3) que estamos viendo ahora, que tiene que ver con la fuerza fuerte (sabor), es trucha. Luego vamos a

ver la simetría de sabor que ahí sí va a ser una simetría posta.El grupo SU (3) es el grupo de matrices M ∈ C3×3 que son unitarias y tienen determinante 1. Es decir

M ∈ SU (3) ⇐⇒

M−1 = M†

detM = 1

El grupo SU (3) es un grupo de Lie, es decir que tiene una estructura de variedad diferencial. Se lo puede pensar como unasábana suave. En consecuencia todo elemento de SU (3) se puede expresar como

M = eB ∀M ∈ SU (n)

donde B es otra matriz. (Esto no es válido para todos los grupos de Lie, pero sí para la mayoría. En particular es válido paraSU (n).) Veamos cuáles son las propiedades de B. Existe una identidad que dice que

det(eB)

= eTr(B) → Identidad

En particular si M ∈ SU (3)⇒ detM = 1 con lo cual

det(eB)

= 1 ⇐⇒ TrB = 0

Por otro lado el hecho de que M−1 = M† impone que(eB)† =

(eB)−1

eB†

= e−B

Usando ahora que eB es una función inyectiva entonces

B† = −B

Entonces tenemos que

eB ∈ SU (n) ⇐⇒

Tr (B) = 1B† = −B

Por una simple cuestión de comodidad y tradición vamos a hacer el cambio de variable

B = iA→ Cambio de variableLos resueltos de

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lo cual va a implicar que

eiA ∈ SU (n) ⇐⇒

Tr (A) = 1A† = A

En el caso de SU (3) tenemos que su dimensión es dim (SU (3)) = 32 − 1 = 8, con lo cual las matrices M se podránparametrizar utilizando 8 números. Lo mismo aplica a las A, producto de la inyectividad de eiA. Una base para el espaciode las A’es es

Generadores de SU (3)

Λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

Λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

Λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

Λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

Λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

Λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

Λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

Λ8 = 1√3

1 0 00 1 00 0 −2

Obsérvese que Λ1,Λ2 y Λ3 son de la forma Λi =

σi00

0 0 0

donde σi son las matrices de Pauli. Esto tiene lógica pues

ya dijimos que SU (2) está en SU (3). Obsérvese además que Λ8 podría haber sido

0 0 00 1 00 0 −1

con lo cual se volverían

a obtener las matrices de Pauli en Λ6,Λ7 y Λ8. No se usa esta forma para Λ8 por una cuestión de convención que luegoveremos. Utilizando estos generadores todo elemento de SU (3) se puede escribir de la siguiente forma

M = exp

8∑j=1

αjTj

donde Tj = iΛj y αj son parámetros reales.

Álgebra Dados M1 = eiA1 y M2 = eiA2 , como las M forman un grupo entonces M3 = M1M2 ∈ SU (3) con lo cual

eiA1eiA2 = eiA3

Existe una identidad (la típica del primer parcial de Teórica 2) que es

eiA1eiA2 = eiA1+iA2+[A1,A2]+...→ Chequear que esté bien!

Entonces se dice que las matrices A satisfacen una determinada álgebra que viene definida por los conmutadores entre losdistintos A’es. Esto permite que por más que los A sean distintos objetos (matrices de 3 × 3 o matrices de 4 × 4) si estosobjetos satisfacen la misma álgebra entonces eiA es el mismo grupo.

El álgebra su (3) Vamos a decir que las matrices A satisfacen el álgebra su (3). En particular para su (3) vale que

[Λ1,Λ2] = 2iΛ3

y

[Λ6,Λ7] = 2

0 0 00 i 00 0 −i

= combinación de Λ3 y Λ8

= 2i(

Λ3 +√

3Λ8

)× algo

En general tenemos que

[Λi,Λj ] = i

8∑k=1

fkijΛk→ Define un álgebra!

donde fkij es la constante de estructura. La unidad imaginaria i se debió añadir por el hecho de que forzamos a que M = eiA

en lugar de laburar con M = eB .

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Box 4 - La constante de estructura y los cambios de base

La constante de estructura fkij que define las relaciones de conmutación [Λi,Λj ] = i∑8k=1 f

kijΛk puede cambiar si

cambiamos la base en la que representamos a las Λ. Con lo cual la constante de estructura define el álgebra, perono es única para una determinada álgebra.

Box 5 - Grupo y álgebra

Vimos que M ∈ SU (n) se puede expresar según M = eiA. Entonces lo que tenemos es que

grupo = eálgebra

y se nota SU (n) es el gruposu (n) es el álgebra asociada

Representaciones Las matrices del grupo SU (3) son matrices de 3×3, con lo cual actúan sobre vectores de tres componentes

u =

100

d =

010

s =

001

Si queremos combinar múltiples elementos de SU (3) lo que hacemos es aplicar el producto tensorial. Es lo que habitualmentedenotamos 3× 3 = multipletes. Por ejemplo consideremos una combinación de dos elementos de SU (3):

uu ud us du dd ds su ds ss

Ahora nos queremos preguntar cómo representamos a Λ3 en este espacio de combinación de dos objetos de SU (3). En larepresentación fundamental sabemos cómo es:

En la representación fundamental→

Λ3u = u

Λ3d = d

Λ3s = s

y en la representación producto tensorial tenemos que

Λ3 (uu) = (Λ3u)u+ u (Λ3u)= 2uu

y aquí tenemos que Λ3 es la representación de Λ3 en este nuevo espacio más grande.

Clase pública en la plazaEl álgebra su (3) tiene ocho generadores que son las matrices λi ( de Gell-Mann creo). En particular

λ3 =

1−1

0

λ8 = 1√3

11−2

Una base de autovectores de ambas matrices son

Dimensión 3→

u =

100

d =

010

s =

001

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3.1 Representación fundamental y antifundamental 3 GUÍA 4 - SPECIAL UNITARY GROUP OF DIMENSION 3

Consideremos ahora el producto tensorial 3× 3× 3. Cada uno de esos 3 es un espacio de estos uds de dimensión 3. Entonces3× 3× 3 es una combinación de 3 objetos u, d, s, por ejemplo uds o uus, etc. Es un espacio de 3× 3× 3 = 27 dimensiones.

Veamos cómo actúa Λ3 sobre un elemento de 3× 3× 3. Para ello usamos la “regla de las derivadas” (regla de Leibnitz simal no escuché)

Λ3uds = (Λ3u) ds+ u (Λ3d) s+ ud (Λ3d)= 0

El motivo de esto es queΛ(3×3×3)

3 = Λ3 × 1× 1+ 1× Λ3 × 1+ 1× 1× Λ3

Si quisiéramos actuar con Λ8 entonces hacemos lo mismo

Λ(3×3×3)8 = · · · = 0

Se define una cantidad llamada “hipercarga” (o algo así) de la siguiente manera

Y = 1√3

Λ8

Ahora vamos a hacer un gráfico de los autovalores:

ud

s

1/2-1/2

1/3

-2/3

Usando las matrices de Gell-Mann podemos construir los operadores de subida y bajada. Ahora, a diferencia del espín,tenemos tres operadores que corresponden a cada una de las direcciones siguientes

ud

s

1/2-1/2

1/3

-2/3

3.1. Representación fundamental y antifundamentalConsideremos la representación fundamental que ya conocemos con las matrices de Gell-Mann:

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 = 1√3

1 0 00 1 00 0 −2

Si los objetos Λi satisfacen el álgebra tal que generan el grupo SU (3) y les asignamos las matrices

Λi → λi→ Representación fundamentalLos resueltos de

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3.1 Representación fundamental y antifundamental 3 GUÍA 4 - SPECIAL UNITARY GROUP OF DIMENSION 3

obtenemos la representación fundamental. Podemos, sin embargo, asignar las matrices de otra forma tal que NO ES UNSIMPLE CAMBIO DE BASE pero que igual todo funciona del siguiente modo

Λi → λi ≡ − (λi)∗ → Representación antifundamental

Tanto los objetos Λi como las representaciones λi y λi satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra:

[Λi,Λj ] = ifkijΛk ⇒

[λi, λj ] = ifkijλk[λi, λj

]= ifkij λk

Lo notable es que@M tal que λi = M−1λiM→ No es un cambio de base

es decir que no es un simple cambio de base. En matemática esto se conoce como una base conjugada, o algo así.En forma explícita las matrices de la representación antifundamental son

λ1 =

0 −1 0−1 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

−1 0 00 1 00 0 0

λ4 =

0 0 −10 0 0−1 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 −10 −1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 = 1√3

−1 0 00 −1 00 0 2

Los elementos de la base antifundamental son

Base antifundamental→

u =

100

d =

010

s =

001

Los “operadores” son las Λi mientras que las λi y λi son representaciones en función de en qué espacio actúan. Por ejemplo

Λ3u ≡ λ3

100

= u

Λ3u ≡ λ3

100

= −u

Entonces Λi → Son los operadores abstractosλi → Representación de Λi en el espacio de quarksλi → Representación de Λi en el espacio de antiquarks

Obsérvese que λiu y λiu son cosas que no tienen sentido. O sea, como u ≡ u en la representación de vectorsitos, la cuentase puede hacer y da bien. Pero conceptualmente está mal! Entonces

Operación abstracta Operación bien hecha Operación MAL hecha

Λiu λiu λiu

Λiu λiu λiu

A nivel de dibujitos todo esto es

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3.2 Octete de mesones 3 GUÍA 4 - SPECIAL UNITARY GROUP OF DIMENSION 3

s

udIsospín

Extrañeza

s

u d Isospín

Extrañeza

Usando todo esto tenemos queI− = Λ1 − iΛ2

2 → Operador abstracto de bajada de isospín

I− = λ1 − iλ2

2 → Representación de I− en el espacio de antiquarks

Haciendo las cuentitas con las matrices vemos que I−u = 0I−d = −uI−s = 0

lo cual tiene sentido.

3.2. Octete de mesonesUsando todo lo anterior vamos a construir el octete de mesones. Los mesones se forman combinando un quark y un

antiquarkMesón = qq

En este espacio de mesones los operadores van a ser

Λ3 ∼ λ3 ⊗ 1+ 1⊗ λ3→ En espacio de mesones

Combinando los distintos mesones nos podemos construir el octete. Comenzamos con

ud

que tiene isospín −1 y extrañeza 0. Si ahora aplicamos el operador abstracto

V+ =Λ4 + iΛ5

2 → Operador abstracto

a nuestro estado abstracto |ud〉 vamos a obtener

V+ |ud〉 = |sd〉 → En notación abstracta

La forma de hacer esa cuenta es

V+ |ud〉 =Λ4 + iΛ5

2 |ud〉 ← Notación abstracta

Notación matricial→ ∼ 12(λ4u+ λ4d+

[λ5u+ iλ5d

])...= |sd〉

A continuación podemos seguir aplicando cualquiera de los operadores de subida y bajada en forma arbitraria y vamos aencontrar que

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4 GUÍA 5 - ECUACIONES DE ONDA RELATIVISTAS

El isospín total es 1/2 (o similar)

El isospín no está biendefinido si me muevo

en U o en V

Levemente distintaa la eta 8

La partícula η8 (que es muy parecida a la η pero en verdad es una combinación lineal de π0 y η8) tiene que satisfacerη8 = αuu+ βdd+ γss

I± |η8〉 = 0〈η1| η8〉 = 0

donde η1 es la partícula que queda en el singlete de 3 × 3 = 8 + 1. De la condición con el I± se obtiene que α = β. De laotra condición 〈η1| η8〉 = 0 se termina de encontrar cuánto tiene que valer γ y por normalización termina quedando cuántotiene que valer todo. En particular se tiene que

η1 = uu+ dd+ ss→ Es el singlete simétrico

Entonces〈η1| η8〉 ∼ 2α+ γ = 0 ⇒ γ = −2α

y finalmenteη8 = uu+ dd− 2ss

4. Guía 5 - Ecuaciones de onda relativistas4.1. Ecuación de Klein-Gordon

Vamos a definir∂µ

def= ∂

∂xµ→ Operador diferencial covariante

de modo tal que el dalembertiano es

2 ≡ ηµν∂µ∂ν→ Dalembertianoηµν∂µ = ∂ν → = ∂µ∂µ

La ecuación de Klein-Gordon se puede escribir entonces(∂µ∂µ +m2)φ = 0→ Eq. de Klein-Gordon

donde φ es un escalar, esto quiere decir que es un invariante de Lorentz.Box 6 - Escalares y transformaciones de Lorentz

Sea φ (x) una cantidad (aún no sabemos si escalar o no escalar). Cuando le aplicamos una transformación de Poin-caré yµ = Λµνxν + aµ la cantidad transformada será

φ′ (y) = f (φ (y)) → Transformación

con f alguna función que dependerá del tipo de objeto que sea φ. Si

f (φ) = φ→ Para un escalar

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4.2 Ecuación de Dirac 4 GUÍA 5 - ECUACIONES DE ONDA RELATIVISTAS

entonces se dice que φ es un escalar.Si φ fuera un espinor entonces

f (φ) = S (Λ)φ→ Para un espinor

4.2. Ecuación de DiracLa ecuación de Dirac es

(iγµ∂µ −m) Ψ = 0→ Dirac

donde γµ ∈ C4×4 (para cada µ ∈ 0, 1, 2, 3, o sea

γ0 ∈ C4×4

γ1 ∈ C4×4

γ2 ∈ C4×4

γ3 ∈ C4×4

) y Ψ es una 4-úpla.

Box 7 - Notación slash de Feynman

Cuando aparece algo contraído con una γµ se suele usar la notación slash de Feynman que es así:

γµpµ = p γµ∂µ = ∂

La ecuación de Dirac en notación de Feynman es (i∂ −m

)Ψ = 0

Las matrices γµ con µ ∈ 0, 1, 2, 3 son las matrices de Dirac. Éstas satisfacen el álgebra de Clifford que es

γµ, γν = 2ηµν14×4← Álgebra de Clifford

Cualquier conjunto de cuatro matrices γµ que satisfaga esta relación será una buena base con la cual trabajar. Existenmuchas distintas, y todas se relacionan mediante un cambio de base. La “base estándar” de las matrices de Dirac es

Representación de Dirac→

γ0 =

[12×2

−12×2

]γi =

[0 σi

−σi 0

]i ∈ 1, 2, 3

pero existen otras, como por ejemplo la representación quiral o representación de Weyl y la representación de Majorana.Nosotros vamos a usar la de Dirac.

Usemos la representación de Dirac para escribir su afamada ecuación en forma más explícita

(iγµ∂µ −m) Ψ =(iγ0∂0 − iγ1∂1 − iγ2∂2 − iγ3∂3 −m

)Ψ

Rep. de Dirac→ =(i

[12×2

−12×2

]∂0 − i

[0 σ1

−σ1 0

]∂1 − i

[0 σ2

−σ2 0

]∂2 + . . .

· · · − i[

0 σ3

−σ3 0

]∂3 −m

)·

Ψ1Ψ2Ψ3Ψ4

Reemplazando las matrices de Pauli lo que vamos a tener son cuatro ecuaciones que mezclan las componentes del espinorΨi. En particular

Eqs. de Dirac→

i∂0Ψ1 + i∂1Ψ4 −mΨ1 = 0. . .

. . .

. . .

Las soluciones de Dirac y la ecuación de Klein-Gordon Sea Ψ una solución de la ecuación de Dirac. Entonces también essolución de la ecuación de Klein-Gordon. Esto se puede demostrar, pero no lo vamos a hacer acá. Explícitamente de tieneque

(iγµ∂µ −m) Ψ = 0︸︷︷︸Ψ cumple Dirac...

⇒(∂µ∂µ +m2)Ψ = 0︸︷︷︸

... entonces también cumple KGLos resueltos de

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https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_slash_notation

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices#Weyl_(chiral)_basis

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices#Majorana_basis





La recíproca no vale: si φ es solución de Klein-Gordon entonces no necesariamente es solución de Dirac (de hecho la ecuaciónde Dirac espera un Ψ de cuatro componentes, así que (iγµ∂µ −m)φ es una operación que ni siquiera compila...).

Soluciones de la ecuación de Dirac amos a proponer una solución de la forma

Ψ (x) = e−ikxΨ0

donde Ψ0 =

ψ1ψ2ψ3ψ4

∈ C4 independientes de x. Vamos a escribir al Ψ0 como dos objetos de dos componentes Ψ0 =[ΨA

ΨB

]tales

que ΨA,ΨB ∈ C2. El kx del exponente que propusimos es

kx ≡ kµxµ ≡ kµxµ

Ademásk2 ≡ kµkµ = m2

pues, como vimos antes, las soluciones de la ecuación de Dirac son también soluciones de Klein-Gordon.Reemplacemos Ψ (x) en la ecuación de Dirac. Para ello tenemos que

∂µΨ (x) = ∂µ(e−ikxΨ0

)∂µ ≡

∂

∂xµ

kx ≡ kµxµ

→ = Ψ0∂e−ikµx

µ

∂xµ

= Ψ0 (−ikµ) e−ikx

Reemplazando en la ecuación de Dirac (iγµ∂µ −m) Ψ = 0 tenemos que

(kµγµ −m) Ψ = 0

(kµγµ −m)[ΨA

ΨB

]=

Si ahora reemplazamos las γµ por su representación de Dirac lo que nos queda es[(k0 −m)1 σiki−σiki − (k0 +m)1

] [ΨA

ΨB

]= 0[

(k0 −m)1 −σ · kσ · k − (k0 +m)1

] [ΨA

ΨB

]= ←

ki ≡ kki ≡ −k

Este sistema nos genera las siguientes dos ecuaciones(k0 −m) ΨA − σ · kΨB = 0σ · kΨA − (k0 +m) ΨB = 0

Esto se resuelve como cualquier sistema de ecuaciones, sólo que debemos ser cuidadosos con el signo de k0 (energía positivao negativa).

Soluciones con energía positiva De la segunda ecuación despejamos

ΨB = σ · kk0 +m

ΨA

y si lo metemos en la primera nos queda

(k0 −m) ΨA − σ · kσ · kk0 +m

ΨA = 0

Usando(

σi)2 ≡ 1

σi, σj

= 2δij1se puede mostrar que (σ · k) ≡ −k2 por lo tanto nos queda

(k0 −m) ΨA −|k |2

k0 +mΨA = 0

(k0)2 −m2 − |k |2

k0 +mΨA =

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por lo tanto la única opción es que kµkµ = m2, es decir que también satisface la ecuación de Klein-Gordon.De lo anterior concluimos que la solución de la ecuación de Dirac es

Ψ (x) = e−ikx[

ΨAσ·kk0+mΨA

]→ Soluciones de energía positiva

Acá no nos interesa normalizar pues no lo vamos a poder interpretar como una función de onda de probabilidades como eraen el caso de Schrödinger.

Soluciones con energía negativa Volviendo al sistemita

(k0 −m) ΨA − σ · kΨB = 0σ · kΨA − (k0 +m) ΨB = 0

, consideremos el signo opuesto para

k0. Oh, me borró el pizarrón. Lo que se termina obteniendo es que

Ψ (x) = e+ikx[σ·kk0+mΨB

Ψb

]→ Soluciones con energía negativa

4.2.1. Partícula en reposo

Consideremos un partícula (energía positiva) en reposo. En este caso tenemos que

k ≡ 0→ Reposo

por lo tanto

Ψ = e−imt[ΨA

0

]→ En reposo

Podríamos obtener la solución de partícula “no en reposo” aplicando un boost de Lorentz a esta solución. Para ello primerotenemos que ver cómo actúa una transformación de Lorentz en el espacio de los espinores, es decir que tenemos que estudiarla representación de Lorentz en el espacio de los espinores (o algo así).

Box 8 - Grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz está formado por todas las matrices que dejan invariante al producto xµxµ = xµxνηµν . A nivelmatemático el grupo de Lorentz se llama

SO (1, 3) → Grupo de Lorentz

que es el grupo de matrices ortogonales con determinante 1 de dimensión 1+3.Consideremos un boost en x. Entonces

t′

x′

y′

z′

=

γ βγβγ γ

11

txyz

lo cual se suele escribir en notación de índices

x′µ = Λµνxν

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie con lo cual está el “mapa exponencial”

Λ = ealgo→ Grupo de Lie

que permite parametrizar a los elementos del grupo de Lorentz usando los elementos del exponente. A estos pará-metros los vamos a llamar

ωαβ

y como el “algo” del exponente debe ser antisimétrico se satisface que

ωαβ = −ωβα

Entonces tenemos queS (ω) = e−

i2ω

αβΣαβ→ Representación del grupo de Lorentz

donde los Σ deben satisfacer el álgebra de Lorentz. Existen muchos bichos Σ que satisfacen el álgebra de Lorentz,y según qué metamos en los Σ vamos a obtener distintas representaciones para S, por ejemplo las Λµν , o las S quetransforman los espinores, etc.

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https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Lorentz

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group#The_exponential_map




5 PRÁCTICA 6 - FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE MODELOS RELATIVISTAS

Para encontrar cómo transforman los Ψ ante una transformación de Lorentz parametrizada por ωαβ lo que vamos a haceres usar la representación S (ω) = e−

i2ω

αβΣαβ en la que

Σαβ = i

4 [γα, γβ ] → Para representación de espinores

Es decirΨ′ = exp

(− i2ω

αβ i

4 [γα, γβ ])

︸︷︷︸Matriz de transformación S(ω)

Ψ→ Transformación de epsinor

Según qué metamos en los ω vamos a tener rotaciones o boosts en distintas direcciones.

5. Práctica 6 - Formulación lagrangiana de modelos relativistasLo que vamos a ver nosotros es una teoría clásica. No vamos a ver cosas cuánticas acá, ya que los campos van a ser

campos y no operadores de campo. Eso se ve en QFT.Box 9 - ¿Cuándo algo es cuántico o clásico?

Partícula (campo en una dimensión)

Pensemos en un sistema clásico de una partícula. Las partículas se pueden pensar como una teoría de campos enuna única dimensión que es el tiempo t. Esto es, pensemos en el campo f : R→ R3, entonces la posición

q = f (t)

y f es el campo en una dimensión. Este campo respeta las ecuaciones de Euler-Lagrange tal que el lagrangiano pa-ra una partícula libre es L = 1

2 q2 y obtenemos

q = 0→ Eq. de movimiento

Procedimiento de cuantización Luego procedemos a cuantizar todo esto para generar una teoría cuántica. Paraello podemos usar la cuantización canónica. Normalmente usamos la función de onda, sin embargo podemos usar elformalismo del esquema de Heisenberg que es más similar a la Mecánica Clásica. Para pasar al esquema de Heisen-berg simplemente planteamos una ecuación de movimiento para cada uno de los operadores, por ejemplo

¨q (t) = 0→ Heisenberg

En la Mecánica Cuántica existen (los vimos en Teórica 2) estados semiclásicos. Estos estados son tales que tienenmuy poca dispersión, y en algún límite la dispersión se hace nula. Lo que pedimos es que⟨(

q (t) −⟨q (t)

⟩)2⟩

= 0→ Para estados semiclásicos

Campo (muchas dimensiones)

En el mundo clásico podemos tener campos que son sistemas con infinitos grados de libertad. Por ejemplo el campoelectromagnético. En el caso del campo electromagnético tenemos que

LMaxwell lire = 14F

µνFµν

que las ecuaciones de Euler-Lagrange para esto son

∂νFµν = 0→ Eqs. de Maxwell

que resultan ser las ecuaciones de Maxwell cuando uno desarrolla todo.

Proceso de cuantización Cuando tenemos la teoría de campos clásicos lo que hacemos es cuantizarla, de manerasimilar al “campo en una dimensión”. Lo que vamos a hacer es promover a lo campos a operadores

Fµν → Operador tensor electromagnético

tal que las ecuaciones que éstos satisfacen son∂ν Fµν = 0

Luego existirán ciertos observables que podremos medir, por ejemplo el campo eléctrico y todo eso.

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5 PRÁCTICA 6 - FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE MODELOS RELATIVISTAS

Estados semiclásicos El proceso de cuantización nos permite definir el concepto de partículas que son los mínimoscuantos de energía-momento que puede tener el campo. Y podemos definir estados semiclásicos para elcampo electromagnético tal que tienen muy poca dispersión. Estos estados semiclásicos se “van a ver”como campos clásicos que satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Estos estados semiclásicos, llamadosestados coherentes, son estados con miles de millones de fotones.

Estados cuánticos También existirán estados cuánticos “puros” en los que hay, por ejemplo, un único fotón.

El campo de Dirac

Nosotros aprendimos el campo de Dirac Ψ que satisface la ecuación de Dirac (iγµ∂µ −m) Ψ = 0. Esto es una teoríaclásica de campos. Esto se debe a que Ψ no es ningún bicho cuántico, es un campo clásico que “nosotros creímosque era cuántico”. Pero por el momento Ψ es una cosa clásica. Cuando uno se vuelve un experto en Teoría Cuánticade Campos uno sabe que al cuantizar el campo de Dirac se encuentra que las partículas que surgen son fermiones.Y esto hace que EL CAMPO DE DIRAC NO PUEDA TENER ESTADOS SEMICLÁSICOS ya que nopuedo superponer múltiples estados con electrones de la misma frecuencia.

Para un lagrangiano determinado, por ejemplo

L = q2

2podemos obtener la ecuación de movimiento para q utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange

∂t

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q= 0→ Euler-Lagrange

Si tenemos una partícula con N grados de libertad qi vamos a tener N ecuaciones de Euler-Lagrange

∂t

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0→ Euler-Lagrange

La generalización de lo anterior al caso de un campo

φ (x, t) → campo

es un lagrangiano (densidad lagrangiana) que depende de φ y de sus derivadas ∂µφ, es decir

L (φ, ∂µφ) → Densidad lagrangiana

El hecho de que estemos usando la notación ∂µ no implica que lo anterior sea invariante relativista. La ecuación de Euler-Lagrange para este campo será

∂µ

(∂L

∂ (∂µφ)

)− ∂L

∂φ= 0→ Una sola ecuación

y como se puede ver hay una única ecuación por cada uno de los campos, no una ecuación por cada coordenada espacial. Osea, esto tiene sentido ya que hay una ecuación por cada variable y acá las variables son los campos, los puntos del espacioson simplemente puntos...

Si tenemos un lagrangiano con múltiples campos

L (φ1, φ2, . . . , ∂µφ1, ∂µφ2, . . . )

entonces vamos a tener una ecuación de Euler-Lagrange por cada campo

∂µ

(∂L

∂ (∂µφi)

)− ∂L

∂φi= 0→ Una ecuación por cada campo φi

Ejemplo: Klein-Gordon real Consideremos el lagrangiano

L = 12∂

µφ∂µφ−m2

2 φ2→ Klein-Gordon

= 12η

µν∂µφ∂νφ−m2

2 φ2

= 12

((∂0φ)2 − (∇φ)2

)− m2

2 φ2

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5.1 Corriente de Noether 5 PRÁCTICA 6 - FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE MODELOS RELATIVISTAS

con φ ∈ R. En este lagrangiano podemos pensar que12

(∂φ

∂t

)2es el término cinético

(∇φ)2 + m2

2 φ2 es el término de energía potencial

Calculemos la ecuación de Euler-Lagrange para este lagrangiano. El primer término es

∂L

∂ (∂µφ) = ∂

∂ (∂µφ)

[12η

ρσ∂ρφ∂σφ

]= 1

2ηρσ ∂ (∂ρφ)∂ (∂µφ)∂σφ+ 1

2ηρσ∂ρφ

∂ (∂σφ)∂ (∂µφ)

∂ (∂µφ)∂ (∂νφ) = δνµ → = 1

2ηρσδµρ∂σφ+ 1

2ηρσ∂ρφδ

µσ

= 12η

µσ∂σφ+ 12η

ρµ∂ρφ

= ∂µφ = ∂φ

∂t+ ∇φ

mientras que el segundo es muy fácil ver que ∂L∂φ = m2φ por lo tanto la ecuación de Euler-Lagrange es(

∂µ∂µ +m2)φ = 0

que es la ecuación de Klein-Gordon.

Ejemplo: Klein-Gordon complejo El lagrangiano podría ser el mismo que antes pero cambiando φ por φ∗, sin embargo seomiten los 1

2 por una cosa que vamos a ver más adelante. Entonces

L = ∂µφ∗∂µφ−m2φ∗φ→ Klein-Gordon complejo

Se puede definirφ

def= φ1 + iφ2√2

tal que podemos escribir al lagrangiano como la suma de dos campos reales φ1, φ2 ∈ R que son independientes entre sí.Entonces podemos considerar que φ y φ∗ son independientes.

Términos de interacción Dado un lagrangiano, los términos de interacción serán todos aquellos que no sean los términoscinético o potencial.

5.1. Corriente de NoetherSupongamos que el lagrangiano tiene una simetría continua. Entonces tenemos la corriente de Noether que es

Jµ = ∂L

∂ (∂µφi)δφi −

(∂L

∂ (∂µφi)∂νφi − δµνL

)︸︷︷︸Tµν tensor de momento energía

δxν→ Corriente de Noether

El segundo término, que no está en la expresión que vimos hoy en la teórica, aparece cuando la transformación de simetríaque estamos considerando modifica las coordenadas (por ejemplo una traslación). En este curso no lo vamos a ver, sino quesólo vamos a ver simetrías internas que sólo modifican a los campos φi pero no tocan las coordenadas. Es decir que

Jµ = ∂L

∂ (∂µφi)∆φi→ Para simetrías internas

Nótese que hemos cambiado la notación δφ por ∆φ. Esto es porque

Notación→δφ denota cualquier transformación∆φ denota sólo transformaciones internas

Simetría interna Una simetría interna (o transformación interna deberíamos decir, creo) es una tal que sólo se transfor-man los campos φ′ (x) = f (φ (x)) pero no se tocan las coordenadas x. En contraposición la transformación φ′ (x) = φ (x+ 2)no es una “simetría interna” (o transformación interna).

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5.1 Corriente de Noether 5 PRÁCTICA 6 - FORMULACIÓN LAGRANGIANA DE MODELOS RELATIVISTAS

5.1.1. Klein-Gordon

Consideremos el lagrangiano de Klein-Gordon L = ∂µφ∗∂µφ − m |φ |2. Consideremos además la transformación φ′ =

e−iαφ. La corriente de Noether será Jµ = iα (φ∂µφ∗ − φ∗∂µφ).

5.1.2. Dirac

El lagrangiano de Dirac esLDirac = ψ (iγµ∂µ −m)ψ

A simple vista se ve que la transformaciónψ → ψ′ = e−iαψ

es una simetría ya que L ′ = L . Entonces tiene que haber una corriente conservada. Como se trata de una transformacióndel campo entonces usamos

Jµ = ∂L

∂ (∂µφi)∆φi

= ∂L

∂ (∂µψ)∆ψ + ∂L

∂(∂µψ

)∆ψ

∂L

∂ (∂µψ) = iψγµ

∂L

∂(∂µψ

) = 0

∆ψ = −iαψ∆ψ = iαψ

→ = αψγµψ

Obsérvese que esto es justamente lo que habíamos definido antes, que nos tomaron en el parcial.

Box 10 - El grupo U(1)

La transformación de simetría que consiste en agregar una fase, i.e. ψ′ = e−iαψ , es una transformación del grupoU (1). Es decir que

e−iα ∈ U (1)

Simetría axial En Dirac tenemos otra simetría más cuando trabajamos con fermiones sin masa:

ψ′ = e−iαγ5ψ→ Otra simetría de LDirac con m = 0

Esta simetría también es e−iαγ5 ∈ U (1). Verifiquemos que esto es una simetría, es decir verifiquemos que L ′ = L + ∂µFµ

con Fµ cualquier cosa. Para esta transformación en particular es más fácil enchufarla derecho en el lagrangiano y hacer lacuenta, sin preocuparse par estar a orden 1 en α (o sea, lo hacemos para todo orden en α). Esto es

L ′ = ψ′ (iγµ∂µ −m)ψ′

ψ′ = e−iαγ5ψ

ψ′ = ψ′†γ0 = ψ†eiαγ5†γ0

γ5† = γ5

→ = ψ†eiαγ5γ0 (iγµ∂µ −m) e−iαγ

5ψ

γ5, γµ

= 0⇒ eiαγ

5γ0γµe−iαγ

5= γ0γµ → = iψγµ∂µψ︸︷︷︸

Esto ya está

− ψ†eiαγ5γ0me−iαγ

5ψ

Lo mismo de antes→ = iψγµ∂µψ −mψe−2iαγ5ψ

Si consideramos que los fermiones no tienen masa entonces el último término se anula y esto resulta ser, en efecto, unasimetría. Debido que esto es una simetría cuando m = 0, existe una corriente asociada. Para encontrarla hacemos “lo desiempre”, es decir

Jµ = iψγµ(−iαγ5ψ

)︸︷︷︸∆ψ

= αψγµγ5ψ→ Corriente axialLos resueltos de

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6 GUÍA 7A - TEORÍAS DE GAUGE (CASO ABELIANO)

Se puede verificar que la corriente axial es un pseudo-cuadrivector. Como tarea para el hogar queda verificara que

∂µJµ = 0 ⇐⇒ m = 0

La conservación de la corriente axial NO se cumple en el caso cuántico, es sólo algo clásico.

Guía 6, ejercicio 3La consigna nos da un lagrangiano de dos campos que interactúan que es

L1def= ψ1iγ

µ∂µψ1︸︷︷︸ψ1 libre

+ ψ2iγµ∂µψ2︸︷︷︸

ψ2 libre

+ 12∂

µφ∂µφ−12mφ

2︸︷︷︸φ libre

+ g(ψ1φψ2 + ψ2φψ1

)︸︷︷︸Interacción

Para ver cuáles simetrías tiene este lagrangiano, procedemos a ojo. Consideremos la siguiente transformación

Probamos con esta transformación→ψ′1 = e−iα1ψ1

ψ′2 = e−iα2ψ2

Como se puede ver es una transformación con dos parámetros, que podemos pensarla como dos transformaciones separadassi queremos. Para verificar si esto es una simetría del lagrangiano, tenemos que ver cómo queda luego de aplicarla. Para lostérminos libres ya sabemos que es una simetría, ya lo calculamos mil veces en el pasado. En cuanto al termino de interaccióntenemos que ⌈

ψ1φψ2 + ψ2φψ1⌋luego de transformar = ψ′1φψ2 + ψ′2φψ

′1

= ψ1eiα1φe−iα2ψ2 + ψ2e

iα2φe−iα1ψ1

y ahora notamos que para el caso en que

α1 = α2 ⇒⌈ψ1φψ2 + ψ2φψ1

⌋luego de transformar = ψ1φψ2 + ψ2φψ1

por lo tanto

la transformación

ψ′1 = e−iαψ1

ψ′2 = e−iαψ2

φ′ = φ

es una simetría del L1

Busquemos ahora la corriente conservada

Jµ = α(ψ1γ

µψ1 + ψ2γµψ2

)← Hemos usado que ∆φ = 0

Reglas de Feynman Salen de los términos de interacción. Los términos de interacción en el lagrangiano nos dicencómo podrán interactuar las partículas. Para este problema en particular el término tenemos

6. Guía 7A - Teorías de gauge (caso abeliano)El término gauge fue introducido en forma medio turbia por Hermann Weyl.Para el campo electromagnético tenemos que Fµν es el tensor de campo que se define de modo tal que

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ

y el lagrangiano de Maxwell esLMaxwell = −1

4FµνFµν

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6 GUÍA 7A - TEORÍAS DE GAUGE (CASO ABELIANO)

con el factor − 14 puramente convencional, se obtienen las ecuaciones de movimiento

∂µFµν = 0→ Euler Lagrange

que son las ecuaciones de Maxwell. Podemos cambiar el gauge realizando una transformación de gauge

Aµ → Aµ + ∂µΛ (x) → Transformación de gauge

con Λ (x) una función de las coordenadas del espacio tiempo.

Klein-Gordon Consideremos el lagrangiano de Klein-Gordon complejo L = (∂µφ)∗ (∂µφ)−m2φ∗φ y la transformación

φ→ eiαφ→ Transformación U (1) global

con α ∈ R una constante. En este caso tenemos lo de la vez pasada. Sin embargo si consideramos que

φ→ eiα(x)φ→ Transformación U (1) local

ahora ya no es invariante el lagrangiano. En particular los términos con derivadas harán que aparezcan cosas que hacen queno es invariante.

Aparentemente Dios decidió usar lagrangianos que son invariantes frente a transformaciones U (1) locales. Esto implicaque vamos a tener que hacer lo que haya que hacer tal que el lagrangiano nos queda invariante. La forma de lograr esto esañadir un campo Aµ tal que se logra la invariancia. En particular lo que haremos es definir la “derivada covariante” (vernota sobre el nombre en la teórica)

∂µ → Dµdef= ∂µ + igAµ→ Derivada covariante

de modo tal que el lagrangiano modificado va a ser

Lmodificado = (Dµφ)∗Dµφ+ Lcinético para Aµ −m2φ∗φ.

Debido a que queremos que Lmodificado sea invariante frente a transformaciones de gaugeφ′ = eiα(x)φ

A′µ = Aµ + algo

entonces vamos a buscar “algo” tal que el lagrangiano es invariante. Entonces lo que queremos es que

D′µφ′ = eiα(x)Dµφ→ Es lo que queremos

de donde vamos a obtener cómo debe ser A′µ. Haciendo las cuentitas se encuentra que

A′µ = Aµ −1g∂µα

A veces, por una cuestión meramente convencional, se definen las cosas de modo tal de absorber ese g adentro del α. Sabiendotodo esto ahora sí podemos terminar de escribir el lagrangiano modificado que será

Lmodificado = (Dµφ)∗ (Dµφ)−m2φ∗φ− 14FµνF

µν

Si bien parece que no hay términos de interacción, éstos están escondidos adentro del D. Los términos de interacción sontodos aquellos que son más que cuadráticos en los campos. Los términos de interacción que surgen son

Términos de interacción→g2AµAµφ

∗φ

igAµφ∗∂µφ

A continuación se puede hacer Euler-Lagrange y obtener las ecuaciones de movimiento. Lo que se encuentra, parece, es que

Euler-Lagrange→∂µF

µν = Jν → Análogo a eqs. de Maxwellotra ecuación para φ → Análogo a fuerza de Lorentz

donde Jν = φ∂νφ∗ − φ∗∂νφ es la corriente de Klein-Gordon que habíamos visto antes.Los nodos de Feynman para este lagrangiano son

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7 GUÍA 7B - TEORÍAS DE GAUGE (CASO NO ABELIANO)

y a las partículas del campo φ las vamos a llamar h y h en analogía al bosón de Higgs. Entonces podemos pensar alproceso

h+ h→ h+ h

de la siguiente forma

Acá está la interacción

También podemos pensar la interacción usando sólo nodos de tipo g que serían

7. Guía 7B - Teorías de gauge (caso no abeliano)Vamos a tener un “vector de campos” que será

Φ =[φAφB

].→ Ejemplo para SU (2)

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7 GUÍA 7B - TEORÍAS DE GAUGE (CASO NO ABELIANO)

A este objeto lo vamos a transformar según

Φ→ Φ′ = e−igeneradores de SU(N)Φ.

En el caso de SU (2) puntualmente los generadores son las matrices de Pauli. Entonces vamos a tener la transformación

Φ′ = e−iαa(x)TaΦ→ Transformación ∈ SU (N)

dondea ∈

1, . . . , N2 − 1 = dimensión de SU (N)

,

αa (x) son los parámetros de la transformación y Ta son los generadores (matrices de Pauli para SU (2), matrices de Gell-Mannen SU (3), etc).

Ahora vamos a definir a la “derivada covariante” del siguiente modo

Dµ = ∂µ + igAaµ (x)Ta→ Derivada covariante

donde Aaµ son N2 − 1 campos de gauge. En el caso de SU (2) esto es

Dµ =[∂µφA∂µφB

]+ igA3

µ

[ 12φA−12 φA

]+ igA1

µ

[ 12φB12φA

]+ . . . .→ Ejemplo en SU (2)

Ahora vamos a fabricarnos el lagrangiano tal que es invariante local SU (2):

Linvariante SU(2) local = (DµΦ)† (DµΦ) + algo.

Queremos encontrar el “algo”, y para ello nos fijamos cómo se transforman los campos de gauge Aaµ. Partimos de

(Dµ)′Φ′ = Ω (x)DµΦ

donde (Dµ)′ = ∂µ + igAaµTa. Me perdí un poco:

(Dµ)′ΩΦ = ΩDµΦ

(Dµ)′Ω = ΩDµ

y entonces(Dµ)′ = ΩDµΩ−1.

En el caso abeliano podíamos conmutar libremente el Ω con el Dµ y entonces esto se cancelaba y éramos felices. Sin embargoahora no podemos. Entonces el Aaµ tiene que transformarse de una forma tal que valga (Dµ)′ = ΩDµΩ−1. Esta cuenta lahicimos en la teórica, y también hay un problema de la guía para hacer la cuentita.

Ahora definimosGµν = [Dµ, Dν ] ∈ matriz de N ×N

que lo vamos a usar para definir el lagrangiano de los campos de gauge “libres”, es decir de los Aaµ. “Libres” va entre comillaspues interactúan entre ellos, pero son independientes de los campos Φ. Se puede definir Gaµν ∈ C tal que

Gµν = GaµνTa.

Para encontrar, finalmente, el término que nos falta en el lagrangiano buscamos un escalar que quede invariante anteensanguchamientos con la matriz Ω, o algo así. El truco para eso es usar la traza

Linvariante SU(2) local = (DµΦ)† (DµΦ) + factor× Tr (GµνGµν) .

Usando las propiedades de la traza se puede ver que

[Tr (GµνGµν)]′ = Tr((Gµν)′ (Gµν)′

)= Tr

(ΩGµνGµνΩ−1)

Tr (AB) = Tr (BA)→ = Tr (GµνGµν) .⇒ Es invariante de gauge ♥

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7.1 Lagrangianos con SU (2) local 7 GUÍA 7B - TEORÍAS DE GAUGE (CASO NO ABELIANO)

7.1. Lagrangianos con SU (2) localVamos a comenzar con SU (2) que es más manejable, y luego iremos a SU (N).Consideremos un doblete de campos escalares complejos (representación fundamental)

Φ =[φ1φ2

]y consideremos el lagrangiano

L = (DµΦ)† (DµΦ)−m2Φ†Φ.

Consideremos la transformaciónΦ′ → ΩΦ→ Transformación ∈ SU (2)

con Ω ∈ SU (2). Recordemos que la derivada covariante es

Dµ = ∂µ + igAµ→ Derivada covariante

donde g es la constante de acople yAµ = AaµT

a

siendo Aa los campos de gauge (en total 2N − 1) y T a los generadores de SU (N), es decir que

T a ∈ su (N) .→ Álgebra generadora de SU (N)

Pongamos m = 0 y veamos cómo queda el lagrangiano si lo expandimos en términos de Aµ. Lo que nos queda es

L = (∂µΦ + igAµΦ)† (∂µΦ + igAµΦ)Aµ = AaµT a → =

(∂µΦ† − igΦ†Aµ

)(∂µΦ + igAµΦ) .

Para ser completamente explícitos consideremos el siguiente cálculo

AaµTaΦ =

(A1

µT1 +A2

µT2 +A3

µT3) [φ1

φ2

]T i = σi

2 en SU (2)→ = 12A

1µ

[φ2φ1

]+ i

2A2µ

[−φ2φ1

]+ 1

2A3µ

[φ1−φ2

].

Ahora metamos esto en el lagrangiano para ver qué da

L = ∂µφ∗1∂µφ1 + ∂µφ

∗2∂µφ2︸︷︷︸

∂µΦ†∂µΦ

+ términos de interacción.

Uno de los términos de interacción es

ig∂µΦ†ΦAµ = ig

2[∂µφ∗1 ∂µφ∗2

]·(A1

µ

[φ2φ1

]+ iA2

µ

[−φ2φ1

]+A3

µ

[φ1−φ2

])= ig

2(∂µφ∗1A

1µφ2 + ∂µφ∗2A

1µφ1 − i∂µφ∗1A1

µφ2 + i∂µφ∗2A2µφ1 + ∂µφ∗1A

3µφ1 − ∂µφ∗2A3

µφ2)

y da lugar a los siguientes diagramas de Feynman, entre otros,

ig/2

2

1

1ig/2

2

1

1g/2

2

1

2

Lo importante es que los campos conjugados salen y los campos no conjugados entran. El tipo de línea nos dice qué tipode campo es

A QPPPPPPR

φ 99K← tipos de línea

mientras que el número al lado de cada línea nos dice el número de campo.Los resueltos de

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7.2 Lagrangianos con simetría SU (N) local 7 GUÍA 7B - TEORÍAS DE GAUGE (CASO NO ABELIANO)

7.2. Lagrangianos con simetría SU (N) localGeneralicemos lo de la clase pasada. Pensemos en un lagrangiano con N campos φ o ψ (Klein-Gordon o Dirac, pero sólo

de un tipo de campos). Consideremos que tenemos N campos φi tales que

Φ =

φ1...φN

.

La transformación SU (N) va a estar dada porΦ→ Φ′ = ΩΦ

con Ω ∈ SU (N) una matriz de la representación fundamental. En consecuencia

Ω = exp (−iα · T ) ∈ SU (N)

con α =

α1 (x)...

α2N−1 (x)

los parámetros de la transformación y T =

T1...

T2N−1

los generadores de SU (N). Obsérvese que los

generadores Ti satisfacen el álgebra su (N), el álgebra generadora del grupo SU (N). En notación coloquial

SU (N) = esu(N).→ Notación coloquial

Existen 2N − 1 generadores pues esta es la dimensión de SU (N),

dim SU (N) = 2N − 1.

Entonces queremos un lagrangiano que sea invariante frente a una transformación de este tipo. Proponemos un lagrangianode la forma

L = (DµΦ)† (DµΦ)−m2 |Φ |2 − 12Tr (GµνGµν)

donde

Dµ = ∂µ + igAµ

Aµ = AaµTa → = ∂µ + igAaµTa

y

Gµν = 1gi

[Dµ, Dν ]

... Reemplazar los D y sufrir un rato

= ∂µAν − ∂νAµ + ig AaµAbµ

ifabcTc︷︸︸︷[Ta, Tb]︸︷︷︸

[Aµ,Aν ]

Aµ = AcµTc → =(∂µA

cν − ∂νAcµ + igAaµA

bνifabc

)︸︷︷︸Gcµν∈RN

2−1

Tc

= GcµνTc.

Vamos a definir el lagrangiano de Yang-Mills

LYang-Millsdef= −1

2Tr (GµνGµν)

= −12Tr

(GaµνTaG

bµνTb)

Gaµν son numeritos→ = −GaµνG

bµν

2 Tr (TaTb)︸︷︷︸12 δab

= −14G

aµνGa

µν

Gaµν = · · · → = −14(∂µA

aν − ∂νAaµ − gfabcAbµAcν

)(∂µAaν − ∂νAaµ − gfadeAdµAeν) .

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8 GUÍA 8 - UN MUNDO SIN HIGGS

8. Guía 8 - Un mundo sin HiggsComencemos a familizarizarnos con la “tabla del modelo estándar” que es

Cuando escribamos el lagrangiano del modelo estándar vamos a tener que todos los fermiones son campos de Dirac,mientras que los bosones son campos cuadrivectoriales (espín 1)

→ 8 gluones, interacción fuerte

→ Fotón, interacción electromagnética

→ Bosones de interacción débilCampos de Dirac

Existe un diagrama que nos ayuda a ver cuáles son las interacciones que aparecen en el lagrangiano del modelo estándar.El diagrama de interacciones del modelo estándar es

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https://www.google.com/search?q=standard+model+table&client=ubuntu&hs=qfP&channel=fs&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiC7__s-L_eAhUGE5AKHa0eD8UQ_AUIDigB&biw=1366&bih=668#imgrc=RkocNfOuDbGlYM:

https://www.google.com/search?client=ubuntu&hs=V04&channel=fs&biw=1366&bih=668&tbm=isch&sa=1&ei=qqDhW6aOEMnEwATT6oGABA&q=standard+model+interactions&oq=standard+model+interactions&gs_l=img.3..0i30k1.396284.398252.0.398431.13.6.0.5.5.0.293.293.2-1.1.0....0...1c.1.64.img..7.6.315....0.VKlubEL2SvE#imgrc=oaSrcjKg0XPoBM:




8.1 Sector QCD 8 GUÍA 8 - UN MUNDO SIN HIGGS

Sector fuerte

→ Interacción entre gluones

gfuerte

8.1. Sector QCDEl sector QCD o sector fuerte se obtiene “apagando” todas las constantes de acople menos la gfuerte. El lagrangiano

resultante tiene simetría SU (3) de color. Consideremos el lagrangiano con simetría SU (3) global

Lglobal =6∑i=1

L(i)Dirac libre si masa

=6∑i=1

Ψiiγµ∂µΨi

donde no hemos incorporado la masa ya que eso vendrá a través del mecanismo de Higgs más adelante. Acá el índice i recorrelos sabores de quarks que son u, d, c, s, t, b. Ahora vamos a proponer que cada Ψi son tres espinores (un triplete), uno decada color

Ψi =

Ψredi

Ψgreeni

Ψbluei

.→ Triplete de color, i es el sabor i ∈ u, d, c, s, t, b

Obsérvese que además

Ψji =

Ψji,1

Ψji,2

Ψji,3

Ψji,4

.→ cada Ψcolorsabor es un espinor de 4 componentes

Teniendo en cuenta todo esto podemos ver fácilmente que

Ψiiγµ∂µΨi→ Tiene simetría U (3) de color

ya queΨi → Ψi

′ = MiΨi→ Transformación U (3)

con Mi ∈ U (3) deja el lagrangiano invariante.Ahora vamos a gaugear esta simetría lo cual significa promover la simetría global a una simetría local. Haciendo todo

esto obtenemos el lagrangiano de QCD que es

LQCD =6∑i=1

Ψiiγµ (∂µ + igAaµTa)︸︷︷︸

Dµ

Ψi −14G

aµνGa

µν

Box 11 - Sobre los campos de gluones en QCD y los sabores

Obsérvese que recién cuando gaugeamos la simetría SU (3) global a local, le pusimos el mismo Aaµ a todos los sa-bores. O sea, los Aµ no distinguen el sabor. Podríamos haber sido más generales y postular una transformación de

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8.2 Sector electrodébil 8 GUÍA 8 - UN MUNDO SIN HIGGS

gauge tal que nos daba un Aµ distinto para cada sabor de quark (o sea que los A dependan del índice i). El temaes que esto haría que los quarks de distintos sabores queden desacoplados y en la naturaleza se observa que sí estánacoplados. Entonces el campo es el mismo para todos.

8.2. Sector electrodébilPreliminares U (1) Consideremos un lagrangiano sin masa (para simplificar) con dos campos de Dirac

L = Ψ1iγµ∂µΨ1 + Ψ2iγ

µ∂µΨ2.

Este lagrangiano tiene una simetría que es Ψ1 → e−iα1Ψ1

Ψ2 → e−iα2Ψ2→ U (1)×U (1)

y como α1 y α2 son completamente independientes, entonces son dos simetrías U (1). Consideremos que queremos gaugearun único U (1), lo que vamos a hacer entonces es

Llocal = Ψ1iγµD1µΨ1 + ΨiγµD2µΨ2

con D1µ = ∂µ + ig1Bµ

D2µ = ∂µ + ig2Bµ.

Obsérvese que B es el mismo para los dos, o sea que los dos se acoplan al mismo campo de gauge. Lo único que cambia esla constante de acoplamiento gi. Este lagrangiano es simétrico frente a la siguiente transformación local

Simetría de L →

Ψ1 → e−ig1α(x)Ψ1

Ψ2 → e−ig2α(x)Ψ2

Bµ → Bµ + ∂µα (x).

Si quisiéramos describir el electrón, el neutrino y el campo electromagnético entonces tendríamos que elegir gν = 0 ya queno tiene carga eléctrica.

Preliminares electrodébil En la teoría electrodébil tenemos que tener a todos los fermiones (seis quarks y seis leptones).Por el momento es todo sin masa, la masa vendrá en la siguiente guía de problemas con la ayuda de Higgs). Entonces vamosa tener en primer lugar un lagrangiano

Lfermiones =∑

i∈quarks∪leptonesΨiiγ

µΨi.

Ahora podemos agruparlos en dobletes de generaciones, es decir

Lfermiones =3∑i=1

qiiγµqi + liiγ

µli

donde i recorre las generaciones de quarks y leptones yqi =

[Ψquark de arriba de la generación iΨquark de abajo de la generación i

]→ Quarks

li =[Ψνe

Ψe

],

[Ψνµ

Ψµ

],

[Ψντ

Ψτ

]→ Leptones

Consideremos ahora un único de estos dobletes

Ψ =[Ψ1Ψ2

]. por ejemplo Ψ =

[Ψneutrino electrónico

Ψelectrón

]Este lo podemos descomponer en

Ψ = ΨR + ΨL

= 1+ γ5

2 Ψ + 1− γ5

2 Ψ

con γ5ΨR = ΨR

γ5ΨL = −ΨL

.

El tema es que las partes left y right van a acoplar de distinta manera.Los resueltos de

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Fase 1: lagrangiano desacoplado Pensemos en un lagrangiano para un doblete de espinores sin masa

Lglobal = ΨLiγµ∂µΨL + ΨRiγ

µ∂µΨR

donde ΨL y ΨR son dobletes, es decir ΨL =[Ψ1LΨ2L

]y lo mismo pal otro. Como estos espinores no tienen masa, entonces la

parte left y right no se mezclan (ver la guía de problemas de Dirac). Este lagrangiano tiene la simetría global

Simetría global U (1)×U (1)×U (1)×U (1)→

Ψ1L → e−iα1Ψ1L

Ψ2L → e−iα2Ψ2L

Ψ1R → e−iα3Ψ1R

Ψ2R → e−iα3Ψ2R

.

Ahora vamos a gaugear esta simetría, es decir promoverla a simetría local y hacer ∂ → D.

Fase 2: gaugear Para gaugear lo anterior lo que vamos a hacer es proponer un

Gaugeamos→

D(L)

µ = ∂µ + ig′

2 YLBµ

D(R)µ = ∂µ + i

g′

2 YRBµ

(el 12 es convencional) con Bµ (x) ∈ R el campo de gauge y

Hipercarga→

YL =[Y L11 00 Y L22

]YR = . . .

.

La transformación de simetría del lagrangiano tal que eso funciona es

Transformación U (1) local→

ΨL → e−iα(x)g′YLΨL

ΨR → e−iα(x)g′YRΨR

.

La transformación es U (1) pues α es el mismo para los dos (si fuesen dos α’s distintos pero independientes entonces seríaU (1)×U (1)). Ahora transformamos el lagrangiano global en uno local

Llocal = ΨRiγµD(R)

µΨR + ΨLiγµD(L)

µΨL −14FµνF

µν .

Este lagrangiano tiene la simetría U (1) local previa pero que se manifiesta de manera distinta para la parte left y la right,producto de la hipercarga.

Fase 3: gaugear SU (2) en la parte left Por algo que ahora no estoy entendiendo vamos a pedir que

YL ∝ 1.

Para gaugear lo que hacemos es modificar el ∂µ. Lo que obtenemos es

LU(1)Y ×SU(2)L = ΨRiγµ

(∂µ + ig′Bµ

YR2

)ΨR + ΨLiγ

µ

(∂µ + igBµ

YL2 + gW a

µσa2

)ΨL + . . .

· · · − 14FµνF

µν − 14G

aµνGa

µν

donde Fµν es para el campo Bµ y Gaµν para los W aµ.

Como si todo lo anterior fuera poco, los campos que se observan experimentalmente son combinaciones lineales de los By los W , que vienen dadas por los ángulos de Weinberg. Parece que son

Aµ = Bµ cos θW +W 3µ sin θW

Zµ = W 3µ cos θW +Bµ sin θW

.

Experimentalmente se encuentra que θW es pequeño, entonces Aµ ∼ Bµ y Zµ ∼W 3µ. Haciendo no sé qué se obtiene

g′ cos θW = g sin θW = e→ carga del electrón

y además los constrains experimentales nos fijan las matrices de hipercarga YL e YR. Ya habíamos visto que YL ∝ 1. Porconvención se elige que

YL = −1.→ Para νe y eLos resueltos de

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Nueva clase

L = iΨLDµγµΨL +

lo que dé∑i=1

ΨiRDµiγ

µΨR→?

ΨLDµγµΨL = ΨPRDµγ

µPLΨγ5, γµ

= 0→ = ΨDµγ

µPLPLΨPLPL = PL → = ΨDµγ

µPLΨ

ΨL =[ψ1L

ψ2L

]ΨR = ídem tales que Ψ = ΨL + ΨR =

[ψ1ψ2

]con ψi espinores de cuatro componentes.

Left→ ig′YL2 Bµ + igW a

µTa

Right→ ig′YR2 Bµ

YL ∝ 12×2

Vértices

Acá vemos que si quisiéramos que Bµ = Aµ (es decir si quisiéremos que fuese el fotón) precisaríamos que YL = YR, peroen realidad esto no ocurre.

Tenemos el cambio de variable [BµW 3

µ

]=[cos θW − sin θWsin θW cos θW

] [AµZµ

]donde θW es el ángulo de Weinberg. Veamos cómo afecta esto al término cinético

−14FµνF

µν = −14 (∂µBν − ∂νBµ) + otras cosas que no nos importan ahora

= −14

cos θW [∂µAν − ∂νAµ]︸︷︷︸Aµν

− sin θW

Zµν︷︸︸︷[∂µZν − ∂νZµ]

+ . . .

= −14(cos2 θWAµνA

µν + sin θWZµνZµν − 2 cos θ sin θAµνZµν)

+ . . .

Ahora hacemos lo mismo con el Gµν de los bosones W , nos interesa sólo el de W 3:

14G

3µνG3

µν = −14

∂µW 3ν − ∂νW 3

µ + if3bcW bµW

cν︸︷︷︸

No aportan cinético

+ . . .

= −14(cos2 θWZµν + sin2 θWZµν no veo el pizarrón y no entiendo nada

)iΨLγ

µ

(∂µ + ig′

Y1

2 Bµ + igW aµTa

)ΨL

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9 GUÍA 9 - RUPTURA ESPONTÁNEA DE SIMETRÍA EN TÉRMINOS DE MASA

del término W aµTa nos interesa sólo W 3

µT3. Entonces la parte que nos interesa es:

−[Ψ1Lγ

µ Ψ2Lγ

µ](

g′Bµ

[YL2

YL2

]+ gW 3

µ

[ 12− 1

2

])[Ψ1L

Ψ2L

]= −

2∑i=1

ΨiLγ

µ

(g′Bµ

YL2 + gW 3

µti3

)ΨiL

ti3 = ±12→ Anotó unos símbolos que interpreté así

−2∑i=1

ψiLγµ

[(g′YL2 cos θW + gti3 sin θW

)Aµ +

(−g′YL2 sin θW + gti3 cos θW

)Zµ

]ΨiL

Right

−2∑i=1

ΨiRγ

µ

(g′Y iR2 cos θWAµ − g′

12Y

iR sin θWZµ

)ΨiR

Q1 −Q2 = e

(g′

yL

2 cos θW + g

(12

)sin θW −

g′yL2 cos θW + g

(−1

2

)sin θW

)= e⇒ g sin θW = e

−ψiLγµ

(g′ cos θW

yL2 + e

(13

)Aµ +

(−g′ yL2 sin θW + g cos θW ti3

)Zµ

)ΨiL

−ΨiRγ

µ

(g′ cos θW

Y iR2 Aµ − g′ss sin θW

Y iR2 Zµ

)Ψ′R

Qie = g′ cos θ yL2 + etie = g′ cos θWyRi2

Para leptones→yL = −1yR = 2Qi

9. Guía 9 - Ruptura espontánea de simetría en términos de masaPara entender esto realmente habría que hacer aproximadamente 4 cursos de QFT. O sea, nosotros vamos a ver “Higgs

para dummies”.Recordemos el lagrangiano del modelo estándar que teníamos

LSM sin masa =∑

i∈quarks∪leptones

ψiiγµ∂µψi︸︷︷︸

Cinéticos fermiones

+∑

i,j∈quarks∪leptones

ψi(Campos de gauge A,Z,W±

)ψj︸︷︷︸

Interacción eletrodébil

+ . . .

· · ·+∑

i,j∈quarks

ψi (Gluones Aa)ψi︸︷︷︸Interacción fuerte

+ Términos cinéticos de campos de gaugeA,Z,W±

∪ Aa

Recordemos que este lagrangiano fue obtenido haciendo todo eso de la simetría de gauge haciendo la “derivada covariante”Dµ = ∂µ + igAaµTa y toda esa bola.

Las interacciones del modelo estándar son las del típico dibujito que encuentra Google:

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cúbicos

cúbicos ycuárticos

Electrodébil

Véase que ahora entra el Higgs como un nuevo campo que se acopla con todos los que tienen masa. Para agregar estostérminos de interacción con el Higgs vamos a tener “dos momentos”: uno es antes de la ruptura espontánea de la simetría yluego de la ruptura espontánea de la simetría. Vamos a agregar el Higgs de modo tal que no rompa las simetrías de gauge.Para ello añadimos un doblete de campos escalares

Φ =[φAφB

]→ Doblete de escalares

donde φA, φB ∈ C y para que mantenga la simetría de gauge lo vamos a añadir usando la derivada covariante:

LHiggs∪Bosones de gauge = (DµΦ)†DµΦ + V (Φ) → Aún no hay fermiones

donde Dµ va a incorporar a los campos de gauge, de modo tal que le vamos a dar masa a estos campos. Entonces

Dµ = ∂µ + ig′BµY

2 + igW aµσa2

donde Y ∝ 1 es la “hipercarga de Higgs”.El término V (Φ) es el potencial del cual va a salir la masa, creo. Parece que Dios eligió que

V (Φ) = f(√

Φ†Φ)

= f (|Φ |)

y el potencial es un polinomio de grado 4:

Módulo de Phi

V(P

hi)

Véase que como el potencial depende de |Φ | y como Φ ∈ C2 entonces hay 4 grados de libertad. O sea, si sólo movemosla componente φA tenemos lo siguiente:

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y lo mismo se replica para φB .Parece que

V (Φ) = λ

(|Φ |2 − v2

2

)2

y

Φ0 es tal que |Φ0 |2 = v2

2 .

Debido a que existen infinitos Φ0 que satisfacen esto, todos situados en una hiperesfera de 4 dimensiones, vamos a elegir unode estos en particular. Esto se conoce como “fijar el gauge” de modo tal que

Φ0 =[

0v√2

]→ Fijamos el gauge

y entonces

Φ = Φ0 +[

0ρ(x)√

2

].

La masa de los campos de gauge (los W±) va a surgir de su acoplamiento con el Φ0, mientras que ρ es el “verdadero campode Higgs”. Para entender esto fijemos

ρ (x) = 0→ Por un momento

y hagamos la cuenta usandoDµ = ∂µ + ig′Bµ

Y

2 + iW 3µσ3

2 + i(W+

µJ+ +W−µJ−)

donde J± = subida y bajada en SU (2). Desarrollemos entonces (DµΦ)† (DµΦ). Veamos lo siguiente

dDµΦcρ(x)=0 = Dµ

[0v√2

]= i

v√2

[gW+

µ

g′Bµy2 − g

12W

3µ

]donde y es el número de la diagonal de Y ∝ 1. Ahora hacemos⌈

(DµΦ)† (DµΦ)⌋ρ=0

= v2g

2︸︷︷︸m2W2

W−µW+µ + v2

2︸︷︷︸∝m2

Z

(g′Bµ

y

2 −g

2W3µ

)︸︷︷︸

∝Z

2

y como podemos ver nos aparece un término de masa para losW±, y nos aparece algo de donde vamos a sacar la masa del Z,

usando la constante de proporcionalidad correcta para la combinación lineal. O sea, usamos[AµZµ

]=[

cos θW sin θW− sin θW cos θW

] [BµW 3

µ

]y “ya sabíamos porque resolvimos a la perfección la guía anterior y somos expertos” que

g sin θW = g′ cos θW = e→ Carga del electrón

por lo tantog′

g= tan θW cos θ = g√

g2 + g′2

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Ahora hay que usar lo anterior y elegir el y tal que

g′Bµy

2 −g

2W3µ = Z = cos θWW 3 − sin θWB.

Estamos yendo a las chapas, pero parece que si y = 1 todo funciona. Se obtiene que

m2Z = v2 (g′2 + g2) .

Parece que una relación importante esm2Z

m2W

= (cos θW )±2

donde el ± es una incógnita por el momento.

Guía 9, ejercicio 5Recordemos el lagrangiano con Higgs

LH = (DΦ)† (DΦ) + V (Φ)

donde

Φ =[φ1φ2

]... Truco del potencial sombrero mexicano

=[

0v2

]+[

0h(x)

2

]→ Al elegir este Higgs hemos elegido un vacío cuántico

con v ∈ R una constante que es la posición del mínimo de potencial y h (x) ∈ R el campo de Higgs. Además tenemos laderivada covariante que será

Dµ = ∂µ + ig′BµY

2 + igWµ

donde Bµ y W aµσa2 son los mismos campos de gauge que para los demás campos, g′ y g también son los mismos, y acá

Y ∈ R2×2 será la hipercarga del Higgs, que es distinta que para el electrón, distinta de la del neutrino, etc. O sea:

Derivada covariante electrodébil→Dµ =

∂µ + ig′BµYH2 + igWµ → Para el Higgs

∂µ + ig′BµYe2 + igWµ → Para el electrón

∂µ + ig′BµYνe2 + igWµ → Para el neutrino electrónico

...

es decir que cada uno tiene su propia constante Yi ∈ R2×2 pero lo demás es todo igual.Consideremos una transformación

e−i2 (Y2 α+T3β)

[0v

]donde α, β ∈ R son parámetros de transformación y T3 = σ3

2 . La transformación anterior ∈ U (1)×U (1). Asumiendo β = α(o sea, condensamos lo anterior en una única U (1) CREO) y poniendo Y = 1 obtenemos

e−i2 (Y2 α+T3β)

[0v

]→(Y

2 + T3

)[0v

]= 0

(no entiendo)

e−i2 (Y2 +T3)θ(x)

[0v

]=[0v

]donde θ (x) = α (x) = β (x).

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10 DECAIMIENTO BETA

Guía 9, ejercicio 6

Vamos a darle masa a los fermiones. Antes teníamos términos de la forma ΨMΨ donde Ψ =[Ψ1Ψ2

]. El problema es que,

como vimos en guías previas, esto no es invariante SU (2) cuandoM 6= m1. O sea, si queremos que tengan distintas masas(electrón y neutrino, por ejemplo) tenemos el problema de que no es invariante SU (2). Entonces metemos el mecanismo deHiggs.

Lo que vamos a hacer es lo siguiente

[ν e

]L

ΦeR =[ν e

]L

[0v+h

2

]eR

= eL

(v + h

2

)eR

= eLv

2eL + eLh

2 eL

eRΦ†[νe

]L

= eR[0 v+h

2] [νe

]L

= eRv

2eR + eRh

2 eR

Ahora juntamos los términosTérmino de masa de e︷︸︸︷v

2 (eLeR + eReL)︸︷︷︸ee

+ h

2 (eLeR + eReL)︸︷︷︸ee

Para los quarks va a ser lo mismo.

LYukawa = f eR︸︷︷︸YR=2

Y=−1︷︸︸︷Φ†

[νe

]L︸︷︷︸

YL=−1

+ f[ν e

]L︸︷︷︸

Y=1

Y=1︷︸︸︷Φ eR︸︷︷︸

YR=−2

Para darle masa a un doblete de quarks lo único que hay que hacer es los mismos términos pero en lugar de usar Φ hayque usar

Dos representaciones distintas→

Φ =

[v+h

20

]→ Le da masa a las componentes de arriba

Φ =[

0v+h

2

]→ Le da masa a las componentes de abajo

y entonces para quarksΨdoblete de quarks

(Φ + Φ

)Ψdoblete de quarks → Le damos masa a los dos quarks

Ψdoblete de leptonesΦΨdoblete de leptones → Le da masa sólo a los de abajo

10. Decaimiento betaVeamos cómo podemos entender el decaimiento beta usando los diagramas de Feynman. El decaimiento β es

n→ p+ e+ νe→ Decaimiento β

que en términos de quarks es:

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11 CLASE DE REPASO ANTES DEL PARCIAL

u

d

d

u

d

u

e

νe

np

y los términos del lagrangiano que nos dan estos vértices son

uW+d y eW−νe.

11. Clase de repaso antes del parcialVamos a poner todos los vértices del modelo estándar menos los que tienen el ángulo de Cabibo.

Vértices fermión-Higgs Tienen dos patas fermiónicas y una pata de Higgs. Esto es una regla general del modelo estándar:siempre que hay fermiones y bosones hay dos patas fermiónicas y una bosónica:

donde Ψ(a) es cualquier fermión, salvo los neutrinos, y ma su masa. Por ejemplo Ψ(electrón) y melectrón.

Vértices bosón de gauge-Higgs Además de los fermiones son los otros objetos que tienen masa, así que acoplan con elHiggs. El acoplamiento del Z es

mientras que para el W es

Obsérvese que hay un W que entra y uno que sale, que luego en los procesos serán W+ y W− dependiendo de hacia adónde apunta el tiempo.

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Vértices Higgs-Higgs Recordemos que el potencial de Higgs es

V (Φ) =

− u2 |Φ |2 + λ |Φ |4

λ

(|Φ |2 − v2

2

)2 → Sólo difieren en una constante

donde las dos formas de escribir el potencial son equivalentes a menos de una constante. A nosotros nos gusta más la segunda,creo. Si tomamos la segunda forma de escribirlo y reemplazamos |Φ | ∼ v+h√

2 obtenemos

V (Φ) ∼ λ

4h2 (h+ 2v)2

y entonces tenemos vértices cuadráticos y cúbicos

Vértices de fermiones-campos de gauge Recordemos que todos los fermiones acoplan en vértices que son “dos fermiones- un bosón”. En el sector electrodébil tenemos:

Todos los fermionesmenos el neutrino Todos los fermiones

mientras que en el sector de los fortachones (un fortachón es una partícula del sector fuerte)

Sólo quarks

Obsérvese que en lo anterior los campos fermiónicos son Ψ(a) en ambas patas, así que los diagramas previos no mezclancampos. Para mezclar distintos campos fermiónicos tenemos los siguientes

ACÁ TODO ES LEFT(arriba)

(abajo)

Indica que está sin techar

Indica que estátechado

(arriba)

(abajo) Indica que está sin techar

Indica que estátechado

campo "W-"partícula "W-"

campo "W+"partícula "W+"

Obsérvese que hemos dibujado el W± campo, no el partícula. Cuando dibujemos un proceso entre partículas, diremosque la partícula es W± en función de la conservación de la carga.

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Vértices entre gluones puros Hay 8 campos de gauge de gluones. No les dimos nombres como sí lo hicimos para los camposelectrodébiles. Así que los vamos a etiquetar con un índice Aa, Ab, Ac, . . . . Los vértices serán

× algo con 4 índices

donde “algo con 4 índices” es algo a lo que no le vamos a dar mucha bola en este curso.

Acoplamiento entre campos de gauge electrodébiles Tenemos lo siguiente:

y además:

donde las patas que dicen “A o Z” pueden valer A o Z en forma independiente una de la otra. Es decir que vamos a tenerel mismo diagrama con WWAA, otro WWAZ, otro WWZA y por último WWZZ.

The End

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Los Resueltos de Alf · 2018. 12. 13. · Apuntes de la práctica de Estructura 4 Diciembrede2018...

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