Los trabajos de investigación en la enseñanza secundaria ...

La Gaceta de la RSME, Vol. 15 (2012), Núm. 4, Págs. 737–750 737

Matemáticas en las aulas de SecundariaSección a cargo de

Inmaculada Fuentes Gil

Los trabajos de investigación en la enseñanza secundaria.La experiencia de Cataluña

por

Jaume Serra y Manel Sol

1. Introducción

Desde que se aprobó la LOGSE hace más de 20 años, los alumnos de bachilleratoen Cataluña hacen un trabajo de investigación. Es un trabajo que realizan indivi-dualmente, dirigidos por un profesor/a tutor/a. Este trabajo es evaluado y tiene unpeso del 10% en la nota final de bachillerato. Antes, durante la ESO, ya se hanhecho algunas actividades que se pueden considerar preparatorias para este tipo detrabajos: nos referimos a los trabajos de síntesis (los créditos de síntesis durante laLOGSE). Además, desde la aprobación de la LOE y la aplicación de los nuevos cu-rrículos desde el 2007, se hacen los proyectos de investigación en 4.o de ESO. Todoello imprime un carácter inequívoco al tipo de enseñanza que se quiere impulsar,una enseñanza orientada a comprender el mundo que nos rodea, a relacionar lasaulas y el entorno. En este artículo vamos a exponer los trabajos introductorios a lainvestigación que se hacen en la ESO y los trabajos de investigación del bachillerato,qué interés tiene hacerlos, cómo se organizan y algunos ejemplos.

2. Antes del bachillerato

Cataluña siempre ha tenido una gran sensibilidad para los temas educativos yculturales, ya que son los que fundamentalmente le han fortalecido sus rasgos deidentidad. Algunos referentes son el movimiento de la Renaixença de finales delXIX, la proliferación de pedagogos a principios del XX como A. Galí, J. Estalella,P. Vila o R. Sensat, los movimientos de renovación pedagógica, la escuela nueva,la fundación del Institut d’Estudis Catalans (IEC), la introducción de los métodos

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de M. Montessori, la creación de la Biblioteca de Cataluña, la escuela industrial. . .Buena parte de todo ello fue impulsado por la Mancomunitat. Durante el franquismose celebraba la escuela de verano de Rosa Sensat que agrupaba a miles de maestrosy profesores para renovarse y mejorar su preparación pedagógica. Con el regreso dela democracia se recuperó y fortaleció esta tradición y así, desde el año 1981, en elque se traspasan las competencias en materia educativa, la Generalitat de Catalunyase apresura a aprovechar todos los resquicios legales para renovar los programas deciclo inicial y medio de la EGB. A partir de 1990, con la aprobación de la LOGSE,Cataluña aprovecha sus márgenes de autonomía para dotarse de un modelo educativocon algunos rasgos diferentes al de las demás comunidades autónomas. Así, diseñaráitinerarios flexibles a nivel de secundaria, unos créditos comunes y unos créditosvariables, los trabajos de síntesis, los proyectos de investigación y los trabajos deinvestigación. Actualmente, y de acuerdo con el currículum vigente, los trabajos desíntesis se imparten en 1.o, 2.o y 3.o de ESO, el proyecto de investigación en 4.o,y el trabajo de investigación en 2.o de bachillerato. Empezaremos por describir losprimeros.

2.1. El trabajo de síntesis

El trabajo de síntesis está formado por un conjunto de actividades de enseñanza yaprendizaje que se han de hacer en equipo, concebidas para desarrollar competenciascomplejas y comprobar si se ha conseguido, y hasta qué punto, que los alumnos soncapaces de relacionar las competencias básicas trabajadas en las diferentes materiaspara la aplicación y la resolución de cuestiones y problemas relacionadas con la vidapráctica. (Art. 9, Decret 143/2007). Se considera como una materia optativa quecada centro decide cómo impartir. Normalmente, durante una semana se suspendenlas clases ordinarias y se hace el trabajo de síntesis. Lo más habitual es dedicar lasemana antes de las vacaciones de Semana Santa o la de final de curso. Se haceuno al año en cada uno de los tres primeros cursos de la ESO, y habitualmentelos elaboran los propios profesores de los centros. El alumno recibe pocas pautas,dejando margen a su capacidad de decisión. Por ejemplo, en un centro se les pidea los alumnos de 1.o de la ESO que preparen un plan de acogida para un amigoamericano que viene a visitar su población. En este caso se les marca qué aspectoshan de describir: una parte de la historia, la actividad económica, las tradiciones,la arquitectura y los edificios emblemáticos de la localidad, etc. En algún momentotambién se les plantea que respondan si es más ventajoso vivir en un pueblo o enuna gran ciudad, lo que les obliga a discutir y llegar a consensos. Acaban elaborandoun dossier que presentarán ante la clase y el tribunal que los evaluará, respondiendoa las preguntas que les planteen tanto sus compañeros como los profesores.

En otra modalidad del mismo, se sale unos días de colonias y se aprovecha parahacer algún trabajo centrado en la naturaleza, reconocer plantas y animales, geo-grafía, etc. Incluso hay algunas empresas que venden sus trabajos de síntesis a losinstitutos para que estos no se tengan que dedicar a su elaboración.

A medida que los alumnos se hacen mayores las exigencias aumentan. Por ejem-plo, se les pide que se organicen como una ONG y que diseñen algún proyecto de

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cooperación internacional o, bajo un título como ¡Búscate la vida! se les lleva aestudiar el mundo laboral de los jóvenes en diferentes sectores.

¿Qué tiene que ver todo esto con los trabajos de investigación de bachillerato?En la manera de trabajar existen algunas similitudes. Han de gestionar su tiempo,han de colaborar entre ellos, han de buscar información y seleccionarla. Cuando seencuentran con alguna dificultad han de aprender a plantearla a sus compañerospara resolverla. Han de enfrentarse a problemas reales que han de resolver aplicandolos conocimientos aprendidos durante el curso. Les obliga a llegar a conclusiones,ponerlas por escrito y defenderlas ante la clase y el tribunal.

2.2. Proyecto de investigación en 4.o de ESO

El proyecto de investigación lo realizan todos los alumnos de 4.o de ESO organi-zados en grupo. Este proyecto ha de estar constituido por un conjunto de actividadesde descubrimiento e investigación realizadas por el alumnado en torno a un temaescogido y acotado, en parte, por él mismo, bajo la guía del profesor (Art. 10, Decret143/2007). Se considera como una materia optativa, con una dedicación de unas 30horas lectivas que figuran en el horario semanal de los alumnos. Se organiza o biencon una hora lectiva a la semana durante todo el curso, o bien con dos horas lectivasdurante el segundo cuatrimestre. En este planteamiento se pueden observar diferen-cias sustanciales respecto a los trabajos de síntesis de los cursos anteriores. Está másorientado a la investigación, a resolver alguna pregunta que se hayan planteado losalumnos, centrado en una materia en concreto. Un profesor se responsabiliza del se-guimiento para orientar y no dejar que traten de resolver cuestiones que les supereno, al contrario, que simplifiquen demasiado el tema hasta que no tenga interés.

Normalmente, desde cada departamento se ofrecen algunos proyectos de inves-tigación y los alumnos seleccionan algunos de ellos según sus prioridades. De estamanera se asigna a cada alumno un trabajo o una materia que es de su interés. Por loque se refiere a matemáticas, la oferta que hacemos desde nuestro departamento estáorganizada en tres bloques. El primero se refiere a aplicaciones de las matemáticasa situaciones reales, el segundo a matemáticas y tecnología, y el tercer bloque a laprofundización de las matemáticas. En todos ellos se da por supuesto el uso de lasTecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), pero en este artículo no en-traremos a destacar el papel que desempeñan. También hay que decir que al alumnono le llegan propuestas completamente cerradas, sino que se le sugieren ideas paraasí desencadenar un proceso en el que el alumno llegue a concretar una propuesta, lasuya, la que a él le interese. A continuación presentamos algunas de las propuestas.

2.2.1. Matemáticas aplicadas a situaciones reales

En este apartado se proponen una serie de ámbitos en los que se pueden plantearproblemas que se resuelven gracias a las matemáticas.

Las formas de la naturaleza. Existen en la naturaleza una serie de formas queresultan armoniosas y que cumplen una determinada función. Nos planteamos


si estas formas tienen propiedades matemáticas, y si el conocimiento de estaspropiedades nos permite un uso que beneficie a las personas. Por ejemplo, elparaboloide que aparece en las orejas de muchos animales para dirigir los so-nidos hacia el oído, tiene desde el punto de vista matemático y físico algunaspropiedades que se pueden estudiar y comprobar. Después se puede estudiarcómo el hombre aprovecha estos conocimientos para diseñar objetos que leson útiles, como por ejemplo la antena parabólica. Otras formas son la esfe-ra, el huevo (ovoide de revolución), las espirales, las hélices, los fractales, lascatenarias, etc.

Arquitectura. En la arquitectura intervienen muchos elementos matemáticos. Loque proponemos es caracterizar por sus formas y/o proporciones algunos es-tilos, por ejemplo el románico, el gótico, el modernismo, etc., para acabarelaborando una guía para reconocimiento y clasificación de construcciones.

El modelo humano. Se trata de tomar una serie de medidas de las personas paracontrastarlas con los modelos de Vitruvio (que más tarde utilizó Miguel Ángel)y el Modulor de Le Corbusier.

Isometrías. Primero han de estudiar el grupo de las isometrías. Luego, se analiza-rán cenefas, mosaicos o logotipos para clasificarlos, y así, finalmente, hacer suspropios diseños.

2.2.2. Matemáticas y tecnología

Existen algunos mecanismos en los que para comprender su funcionamiento in-tervienen las matemáticas. Por ejemplo:Engranajes y rodamientos. Son los mecanismos para la transmisión de movi-

miento de rotación, pueden ser sencillos o tan complicados como se quiera. Suestudio se puede aplicar al cambio de marchas de la bicicleta.

Figuras planas articuladas. Se propone el estudio de los paralelogramos y tra-pecios articulados que permiten la transmisión del movimiento, como en elcaso de las máquinas de tren, los limpiaparabrisas, la dirección del coche, loscolumpios, los juguetes que se balancean, los coches de pedales, etc.

2.2.3. Profundización de las matemáticas

En este apartado se presentan trabajos en el ámbito puramente matemático.Entre otros, se proponen:Demostraciones con GeoGebra. Se les propone diseñar «applets» con el progra-

ma GeoGebra que permitan hacer demostraciones y comprobaciones de teore-mas y propiedades referidas a contenidos que hayan estudiado o que suponganuna ampliación asequible.

Modelización. Se trata de modelizar situaciones de la vida real. Las más típicasen este caso son el chut de fútbol o el mate de baloncesto, que luego se puedenextender a otras situaciones como el estudio de la forma de algunos puentes ya la trayectoria del agua de algunas fuentes.


Figura 1: El chut de la pelota.

2.3. Un ejemplo: la modelización del chut de fútbol

Este trabajo lo han realizado dos alumnos. La memoria que han presentado sigueel siguiente esquema. Una primera parte de historia del estudio de las seccionescónicas haciendo referencia a Menecmo, Proclo, Eratóstenes y Apolonio. Le sigueun estudio teórico de la parábola. A continuación explican cómo se ha hecho todo elproceso, en especial la obtención de datos. Se han situado en una pista uno enfrentedel otro a unos 8 metros de distancia. Han dispuesto una cámara de vídeo que captaraen un plano frontal el chut (un detalle importante para que todo salga bien). A partirde esta grabación y con la ayuda del programa de tratamiento de imágenes GIMPsuperpusieron diferentes fotogramas de manera que obtenían una sola imagen en laque se podía ver la trayectoria de la pelota como se puede ver en la figura 1.

Con esta imagen puesta como fondo en la pantalla del GeoGebra, sitúan los ejesde coordenadas con el origen en el momento de inicio del chut y, como conocían ladistancia real a la que se encontraban, escalaron los ejes de manera que los valoresde los ejes coincidieran con la realidad. A partir de aquí trataron de encontrar unaparábola que se ajustara con la mayor precisión a la trayectoria de su pelota. Deesta manera encuentran su función y = −0,23x2 + 1,78x. A partir de ella puedencalcular la altura máxima que ha alcanzado la pelota, que ha sido 3,89 metros, asícomo la velocidad inicial con la que se ha iniciado el chut, que ha sido de 32,9 km/h.La memoria de su trabajo acaba con una serie de conclusiones y reflexiones finales.

El papel del profesor es clave en estos proyectos. Él les ha sugerido la manerade obtener una imagen de la trayectoria de la pelota con el uso de la cámara devídeo y el programa GIMP. La mayor dificultad que han encontrado los alumnos hasido en relacionar los elementos matemáticos con los elementos de la realidad. Estoes, relacionar que el pie de donde sale la pelota es el origen de coordenadas; que elpunto donde vuelve a caer a tierra es el punto de corte con el eje de abscisas; quela graduación de los ejes se podía hacer con las medidas reales, pero que en casocontrario haría falta un cambio de escala a partir de los datos que se obtuvierande la función. La interacción del profesor con los alumnos nunca es para darles lasrespuestas a sus problemas, sino hacer sugerencias para que sean ellos mismos losque las encuentren. Preguntarles dónde está la parábola en la fotografía, dónde seimaginan los ejes, situarlos donde digan y probar a encontrar la ecuación, darsecuenta de las dificultades que aparecen según donde se pongan, descubrir que si el


origen se sitúa en el pie del alumno que chuta simplifica las cosas. En resumen, elprofesor ha de tener la habilidad para dar a los alumnos la mínima ayuda para quepuedan trabajar ellos solos.

3. El trabajo de investigación en el bachillerato

El decreto 142/2008 de la Generalitat de Catalunya, que establece la ordenaciónde las enseñanzas del bachillerato en Cataluña y concreta el desplegamiento de laLOE, indica que durante esta etapa los alumnos deberán desarrollar un trabajo deinvestigación. Este ha de contribuir de manera decisiva a alcanzar la consecución dela competencia en este sentido, así como las competencias de gestión y tratamientode la información, digital, comunicativa, conocimiento e interacción con el mundo, eincluso las competencias personal e interpersonal.

Académicamente es una materia de segundo curso y se valora como un 10% dela nota final de bachillerato, aunque no tiene asignada ninguna hora lectiva en elhorario del alumno. Se pide que su dedicación suponga unas 70 horas de trabajo.

Hay centros en los que un profesor tutoriza varios trabajos de investigación (en-tre 6 y 8), todos de un mismo ámbito. En este caso, tiene en su horario semanal unahora lectiva para atender a sus alumnos. Otros centros reparten más la tutorización,de manera que todos los profesores acaban siendo tutores de algún trabajo. En esteotro caso, no se dispone de ninguna hora lectiva.

Se deja a criterio de cada centro el calendario concreto de aplicación, así como suorganización. En este sentido, pueden encontrarse centros que lo desarrollan duranteel primer curso, otros que lo hacen durante los dos cursos u otros que lo hacenprincipalmente en el segundo curso.

El decreto indica que se trata de un trabajo individual, pero deja abierta laposibilidad de desarrollarlo en grupo; así podemos encontrar centros que proponeneste trabajo directamente a grupos de alumnos y otros en que esta situación se darara vez.

El alumno escoge el ámbito en el que quiere desarrollar su trabajo, y un profesorle ayuda a delimitarlo y le orienta. El trabajo puede estar enmarcado dentro de unamateria o bien puede ser transversal. Para la realización del trabajo serán necesariasactividades de laboratorio, o actividades de campo o búsqueda bibliográfica. De estamanera, el alumno se prepara para afrontar situaciones parecidas que se encontraráen su posterior vida académica o profesional.

En ningún caso se pretende la realización de un trabajo que obtenga resultadoscientíficos nuevos, al nivel de la investigación en ámbitos educativos o profesionalessuperiores. La finalidad principal es aplicar un método lógico para la resolución deproblemas que estén a su alcance, que permita una aportación personal del alumnoy que sea compatible con la dedicación horaria al resto del currículum.

3.1. La elección del tema

Los alumnos de 1.o de bachillerato saben, ya sea mediante el tutor o mediantecompañeros suyos, que deberán hacer un trabajo de investigación.


A principios de febrero, el día en que los de 2.o exponen sus trabajos (lo hacen porámbitos, con lo cual pueden hacerse una media docena de exposiciones simultáneas),la mayor parte del público lo constituye el alumnado de 1.o, ya que así se va haciendouna idea del tipo de trabajo que se espera de él, al mismo tiempo que ve ejemplos otemas que le pueden servir como inspiración para el suyo.

Algunas semanas más tarde empieza la campaña para que los alumnos vayandecidiéndose por algún tema o ámbito y para que consulten a profesores la viabilidadde sus ideas; algunos ya solicitan a algún profesor que sea el tutor del trabajo.

No siempre la petición que llega al profesor está clara. Muchas veces es muyvaga y el profesor consultado debe orientar o ayudar a enfocar el trabajo. Por ejem-plo, una vez nos llegó una alumna que nos dijo que quería hacer un trabajo sobrematemáticas, pero que no tenía ningún tema preferido; tal como hizo la petición,se le fueron sugiriendo títulos del ámbito estrictamente matemático, pero ningunole convencía; pasamos a sugerir títulos del ámbito de matemáticas aplicadas (erauna alumna que cursaba la modalidad tecnológica, y estaba orientada claramentehacia las ingenierías), pero tampoco encontraba el que le gustase; finalmente, sela abordó por otro flanco, preguntándole sobre sus aficiones, y allí se encontró laidea; esa alumna practicaba el atletismo, y le gustó la idea de estudiar una carrera;acabó haciendo una modelización de los 100 metros lisos. A veces, se da el caso deque el alumno escoge primero al profesor tutor por afinidad personal y después vadelimitando el tema.

De esta manera, entre abril y mayo la mayoría de alumnos han escogido un tema yhan acordado con un profesor que sea el tutor. Desde la coordinación de bachilleratose sigue este proceso para poder ayudar a los que han quedado al margen. Estosson alumnos cuya timidez les ha impedido ir a hablar con un profesor, o alumnoscuya autosuficiencia ha impedido cualquier acuerdo con su tutor, o alumnos cuyadespreocupación les ha llevado a no ir a entrevistarse aún con nadie, o alumnos queprevén que van a repetir y deciden no empezar esta etapa.

En el tiempo que dura este proceso se llega a la recta final de curso, momentoen que es imposible empezar cualquier investigación, puesto que los alumnos estáninmersos en la realización de exámenes y trabajos.

Pasado este trance, los alumnos retoman el contacto con el tutor y empiezan aesbozar las líneas maestras del trabajo, que les permitan avanzar en algunos aspectosdurante las vacaciones. Según el alumno y el tema, esto se puede solucionar en unasola reunión; otras veces ha habido varias entrevistas hasta principios de julio, osucesivos intercambios de correos electrónicos.

Durante los primeros días de septiembre, los alumnos que han hecho algún pro-greso durante las vacaciones vienen a mostrarlo, y a partir de este punto se diseñaun plan de trabajo para el trimestre.

El primer trimestre del curso es esencial, puesto que en él se ha de terminar elcuerpo del trabajo, dejando para las vacaciones de Navidad el proceso de redacciónfinal, y para el mes de enero las revisiones y la preparación de la exposición pública.

Este es el calendario ideal, el que se explica desde un principio y se intenta seguir.Pero el día a día va poniendo diferentes escollos que entorpecen este ritmo ideal: hay


alumnos que no han hecho nada (ellos dicen que no han podido hacer) durante lasvacaciones, con lo cual deben empezar de cero en septiembre; hay alumnos que hancambiado de opinión durante el verano y ahora proponen desarrollar otro tema, ypor lo tanto también empiezan de cero en septiembre; incluso hay algunos que hacenel primer contacto con el tutor a la vuelta de vacaciones. Durante el trimestre, losdeberes diarios, los trabajos que deben hacerse en las diferentes asignaturas y losexámenes van entorpeciendo el desarrollo del trabajo, de manera que se debe seguirde cerca la evolución de cada alumno y advertirlo cuando hay indicios de retraso.

3.2. Temas para el trabajo

Desde el ámbito de las matemáticas, podemos distinguir algunos tipos de traba-jos:

Aquellos en los que predomina la búsqueda bibliográfica, como los que re-construyen algún aspecto de la Historia de las Matemáticas. Por ejemplo: Losdescubrimientos de Arquímedes; El número pi; La sucesión de Fibonacci.Los que se apoyan en recursos de las Tecnologías del Aprendizaje y la Comuni-cación (TAC), como los que desarrollan demostraciones con herramientas TAC,o crean animaciones. Por ejemplo: Propiedades y teoremas sobre triángulos conGeoGebra; Animación de las secciones cónicas con POVRay (o Blender); Si-mulación de tráfico.Los que buscan aplicaciones de las matemáticas en la realidad, como los quemodelizan situaciones físicas, biológicas o económicas, o los que muestran apli-caciones matemáticas en la arquitectura o la ingeniería. Por ejemplo: Estudiodel movimiento de un cohete de agua; Modelización de paisajes; Los relojesde Sol; ¿Pueden usarse las matemáticas cómo un método para la composiciónmusical?; Estudio de Abu Simbel; La cartomagia.

Un buen trabajo de investigación en el ámbito de las matemáticas no va ligadonecesariamente a un alumno con buenas notas en esta materia. Es más importanteel acierto en el tema, que al mismo tiempo motive al alumno y tenga un desarrolloadecuado a sus capacidades. Estas dos condiciones facilitan enormemente el segui-miento del trabajo, puesto que el interés por parte del alumno es máximo. En estesentido, opinamos que hay que estar abiertos a propuestas de trabajos que, de entra-da, no los juzguemos muy matemáticos, puesto que, si conseguimos que el alumnose ilusione con su trabajo, ya tenemos el mayor ingrediente para el éxito.

Pero, ¿y las matemáticas? ¿Deberíamos aceptar cualquier propuesta solo por elhecho que es un tema que ilusiona al alumno? Sabemos que las matemáticas seaplican a campos muy diversos, con lo cual no será difícil orientar el trabajo paraque haga una incursión en ello; por otra parte, si el alumno ha podido escoger untutor de esta materia, ya indica que tiene cierta predisposición, con lo cual se dejaráorientar y aceptará sin demasiados problemas nuestras sugerencias. Pero ello tieneun inconveniente para el profesor: no siempre dominará el tema propuesto. Opinamosque el trabajo de investigación es una oportunidad para el profesor para enriquecer


su bagaje, y que el enfrentarse a un tema (semi)desconocido le proporcionará nuevasperspectivas sobre las que seguir desarrollando la labor docente.

3.3. El seguimiento del trabajo

El proceso de seguimiento del trabajo de investigación es diverso, y dependemucho del tema que se desarrolla, del estilo de trabajo del alumno y del profesor, yde la relación que se ha establecido entre ellos. Habitualmente se realiza medianteentrevistas, en las que el alumno explica al profesor el estado actual de su trabajo y lemuestra los resultados conseguidos hasta el momento. También se hace el seguimientode manera virtual, en la que el alumno va enviando al profesor pequeños documentosque muestran su avance en diferentes aspectos de su trabajo, y el profesor los valeyendo, comentando y corrigiendo. Es importante que desde un primer momentose haga un esfuerzo para tener un índice del trabajo, aunque este sea totalmenteprovisional: es como una hoja de ruta que ayuda a tener las ideas claras sobre quése ha hecho y qué queda por hacer. Es importante también que todo avance en eltrabajo, por pequeño que parezca, acabe en un escrito, ya que el conjunto de estosayudará a la confección de la memoria final.

También es muy recomendable pedirles que muestren la versión final de la me-moria un par de semanas antes del plazo de presentación, puesto que es la primeravez que los alumnos desarrollan un trabajo de esta extensión y suele ser necesarioayudarlos en aspectos de ordenación lógica del trabajo.

Una vez los alumnos han presentado la memoria, se produce una relajación quese debe cortar, puesto que en pocos días (no suelen ser más de dos semanas) se hacenlas exposiciones públicas. En esta fase se encuentran alumnos que creen que podránimprovisar y, de momento, no se preocupan por ello. El tutor los tiene que convencerde la necesidad de crear una presentación correcta, que se centre en aquellos aspectosesenciales del trabajo, que sea de comunicación clara y amena, que evite largos textosen las diapositivas, y que se atenga la duración establecida (entre 15 y 20 minutos).

Así mismo, el discurso no se puede improvisar, ya que no se trata de una conver-sación entre amigos; hay que tener un guión establecido y hay que estar preparadopara que los nervios no te dejen en blanco, especialmente al principio de la exposi-ción. Se les ha de mostrar la importancia de la posición y de las posturas corporales.En este sentido, se nota mucho los alumnos que han practicado teatro.

Si se usan recursos audiovisuales, hay que ensayarlos varias veces y tener un planalternativo por si fallan en el momento crucial.

3.4. Un ejemplo: el cohete de agua

Un alumno nos propuso el estudio de todo lo relativo a un vuelo espacial. En laprimera conversación con el alumno ya se consiguió acotar al estudio de las fuerzasque impulsan un cohete, desde su lanzamiento en la Tierra hasta su destino. Enla segunda entrevista el alumno reconoció que la poca información que había en-contrado no la conseguía entender, lo que se aprovechó para plantear una sucesiónde trabajos de complejidad creciente: el primer objetivo sería entender el problema


Figura 2: El cohete ya construido.

del despegue, o sea, los primeros minutos del movimiento; el segundo objetivo yaabarcaría hasta llegar al espacio interplanetario; el tercer objetivo abarcaría hastael aterrizaje en el objeto más cercano (por ejemplo, la Luna); finalmente, el cuartoobjetivo ya abarcaría la interacción con otros planetas en un viaje más lejano (porejemplo, a Neptuno). Solo se pasaría a otro objetivo si el anterior estaba entendido.Se le facilitó al alumno un texto de Física que explicaba el movimiento de cuerposde masa variable para que lo estudiara. El alumno siguió buscando información porsu cuenta, y se iba dando cuenta de que el trabajo que se planteaba excedía de lasposibilidades de un alumno de 2.o de bachillerato, tanto por extensión como porcomplejidad.

Buscando información sobre los cohetes a escala que se construyen y sobre elcombustible utilizado, el alumno se topó con los cohetes de agua (cohetes construi-dos con materiales presentes en cualquier casa, principalmente con una botella derefresco de 2 litros, que se llenan de agua y aire a presión, cuyo vaciado actúa comoelemento propulsor) (ver la figura 2). El tutor desconocía la existencia de los mismos,pero el alumno ya se había preocupado de seleccionar algunos vídeos que mostrabansu comportamiento; además, el estudio de dichos cohetes permitía su construcción,fase que el alumno tenía ganas de llevar a cabo, una construcción que hubiera sidoprácticamente imposible si se hubiera mantenido la idea de un cohete más conven-cional. Así quedó delimitada la idea inicial del trabajo: construcción de un cohetede agua y estudio de su movimiento.

El alumno fue totalmente autónomo en la parte de la construcción del cohete,pero necesitó alguna ayuda en el aparato físico-matemático. El alumno conocía per-fectamente la segunda ley de Newton, y sabía aplicarla correctamente a los casosque se estudian en 2.o de bachillerato, pero el caso de un cuerpo de masa variable,con una fricción no constante (proporcional al cuadrado de la velocidad), y con unafuerza impulsora no constante, excedía sus capacidades.

Se planteó la ecuación del movimiento a partir de la segunda ley de Newton,pero quedó rápidamente descartada la resolución analítica del problema. De todasmaneras si se convertían los diferenciales a incrementos, es decir, se discretizaba la


ecuación, el problema era abordable. El alumno no tenía conocimientos de progra-mación, con lo que quedó descartado realizar el proceso de esta manera. En cambio,sí estaba algo familiarizado con el uso de una hoja de cálculo y de sus fórmulas, porlo que se identificaron las variables relevantes (masa del cohete, velocidad, presióndel aire dentro del cohete, flujo saliente de agua, etc.), se discretizaron sus ecuacio-nes de evolución y se escribieron cada una de ellas en una columna de la hoja decálculo. Con los valores de estas variables conocidos en un instante, esas ecuacionescalculaban que variación había en un intervalo fijado (pequeño), y así se redefiníanlas variables en el instante posterior.

Para el instante inicial se conocía la velocidad del cohete, la masa, la presióndel aire en el interior del cohete y el volumen que ocupa. Con estos datos se podíacalcular con qué velocidad salía despedida el agua por la tobera, así se calculabacuánta agua había salido despedida en un pequeño intervalo de tiempo, la variaciónde la masa del cohete, la variación de la presión del aire dentro del cohete, asícomo la variación del volumen que ocupa. Con todo ello se calcula la variación dela velocidad del cohete. Se aplican todos los incrementos encontrados a las variablesy así conocemos sus valores en el instante posterior. Este proceso se va repitiendotantas veces como se crea conveniente.

Periódicamente se hacían entrevistas en las que el alumno mostraba sus progre-sos en la construcción del cohete y planteaba sus dudas en la incorporación de lasfórmulas en la hoja de cálculo.

Tanto la construcción del cohete como la confección de la hoja de cálculo llevómás tiempo del previsto, con lo que la parte experimental se tuvo que hacer en menostiempo y quedó más corta de lo que se deseaba inicialmente.

El alumno hizo un primer lanzamiento en el garaje de su casa y solo pudo cons-tatar que la velocidad de salida era importante. Por ello, realizamos un segundolanzamiento al aire libre, concretamente en el patio de deportes del instituto. Elcohete fue a parar a la escuela vecina, nos lo devolvió una maestra que con su caranos decía claramente que no podíamos bombardearlos. ¡Y eso que habíamos llenadoel cohete solo con aire, para así reducir su alcance!

Buscamos un espacio en el que no pudiéramos molestar a nadie, y se nos ocurrióir a la playa (ver la figura 3). La tarde escogida era poco ventosa, pero lo suficientepara desviar el cohete bien hacia el mar, bien hacia la vía del tren. A pesar de estosinconvenientes, pudimos hacer algunos lanzamientos que acabaron con la rotura delas alas y consiguiente suspensión de los lanzamientos.

La siguiente tentativa tenía que ser la definitiva, puesto que el tiempo apremiabay se querían contrastar las medidas experimentales con los resultados del modelo.Volvimos al patio de deportes del instituto, y nos centramos en un lanzamientovertical (así la probabilidad de que el cohete cayera a la escuela vecina se minimizaba)(ver la figura 4). Se pudieron hacer algunos lanzamientos. . . hasta que los tres cohetesque había construido el alumno aterrizaron, uno tras otro, en un tejado de difícilacceso, y así se acabó el experimento.

Medimos el tiempo que tardaba el cohete en alcanzar la altura máxima y eltiempo que tardaba en tocar al suelo. A partir de fotografías pudimos hacer una


Figura 3: Lanzamiento del cohete desde la playa.

estimación de la máxima altura alcanzada, que se contrastaba con la altura calculadaa partir del tiempo de caída (suponiendo una caída libre).

La idea inicial era analizar el movimiento de un cohete de agua, pero la realidadnos impuso quedarnos solo con el cohete de aire comprimido. Inicialmente se queríanhacer muchos lanzamientos, controlando el ángulo de salida y trabajando a diferentespresiones, pero la realidad nos obligó a hacer lanzamientos verticales y no muynumerosos. El cohete, aunque estaba bien construido, no aguantaba el impacto conel suelo, que debilitaba o rompía alguna de sus partes, especialmente los alerones.Además, el viento en altura (variable que no controlábamos) nos jugó la mala pasadade desviarnos los cohetes a un tejado vecino. Así pues, el contraste entre la teoría yla (inicialmente prevista) gran muestra de resultados quedó reducida a un contrasteentre la teoría y una muestra de poco significativa (9 lanzamientos).

A una presión inicial de 3, 4 o 5 bar, encontramos una gran concordancia entrelos valores calculados en la hoja de cálculo y los medidos experimentalmente, pero,en cambio, a 2 bar, la discrepancia fue importante, debida probablemente a la pocaprecisión del manómetro de la bomba de hinchar usada para introducir el aire apresión dentro de la botella.

Después de las expectativas iniciales, podría parecer que el resultado final deltrabajo había sido decepcionante. Pero, desde nuestro punto de vista, el trabajorealizado ha sido más que satisfactorio, a pesar de no haber estudiado las fuerzas queactúan sobre un cohete que viaja a Neptuno, a pesar que el estudio se haya restringidoal cohete de aire comprimido, a pesar que los datos experimentales recogidos seanpocos.

En primer lugar, se ha situado el trabajo a un nivel que el alumno podía asumir,por lo tanto ha sido una parte activa en su desarrollo. En segundo lugar, ha podidosentir en primera persona las dificultades reales de la experimentación, lo que le daráun criterio muy certero a la hora de valorar proyectos futuros. En tercer lugar, el


Figura 4: Uno de los vuelos del cohete desde el patio de deportes del instituto.

alumno ha podido construir su propio prototipo, y lo ha ido mejorando a medidaque aparecían dificultades en el proceso.

Pudimos ver con qué convicción explicaba este alumno su trabajo a los visitantesde la muestra ExpoRecerca Jove 2011. Era la prueba definitiva que el trabajo habíasido un éxito.

4. Reflexión final

Los alumnos suelen interesarse por estos tipos de trabajos que hemos presentado,ya que lo viven como algo muy personal, se sienten propietarios de cómo se desa-rrollan las ideas y se confía en ellos para que tomen decisiones. Características biendiferentes de la mayoría de trabajos que se realizan en el resto de las materias, yaque el cumplimiento con un programa lo dificulta mucho. Los alumnos descubren la


relación entre lo que estudian y sus aplicaciones, lo que normalmente les hace ver laimportancia y el interés para su formación.

La mayoría de investigadores en didáctica consideran estos tipos de trabajos muyadecuados para conseguir el desarrollo de las competencias básicas que se plantea elcurrículum actual. Sin duda, para el profesorado genera más trabajo que impartiruna asignatura normal, pero al mismo tiempo hay que destacar que la relación quese establece con los alumnos es muy agradecida. A medida que pasa el tiempo, seacumula experiencia, se amplía la oferta de trabajos y todo el proceso se hace másfácil. Desde nuestro punto de vista, consideramos muy interesantes la realización deestos trabajos con los alumnos de secundaria.

Referencias

Grup Vilatzara (2001): Experiencias sobre proyectos e investigaciones matemá-ticas en secundaria, NÚMEROS: Revista de didáctica de las matemáticas 46,29–47.

Grup Vilatzara (2002): La acción tutorial en los trabajos de investigación en elbachillerato, SUMA: Revista sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas40, 7–17.

Jaume Serra y Manel Sol, Profesores de matemáticas del Instituto Vilatzara de Vi-lassar de Mar (Barcelona) y miembros del Grup Vilatzara del ICE de la UniversitatAutònoma de BarcelonaCorreo electrónico: [email protected]

Los trabajos de investigación en la enseñanza secundaria ...

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