LQR ejemplo

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PS2316. Control optimo. El regulador linear cuadratico -

LQR

Williams Colmenares M.

Universidad Simon Bolıvar

Departamento de Procesos y Sistemas

4 de marzo de 2006

1. Introduccion

Hasta ahora hemos presentado metodos que construyen la ley de control como una de reali-mentacion de estados en la que, si el sistema es controlable, los polos del sistema de lazo cerradopueden ubicarse en cualquier locacion del plano “s”. De igual forma, hemos presentado posiblesubicaciones de los polos del sistema que aseguran una respuesta temporal predeterminada.

En este capıtulo presentaremos un enfoque diferente a la construccion de la ley de control,que se basa en encontrar una ley de control que minimice la suma de los esfuerzos de control ylas desviaciones de la senal de salida de su valor deseado. Este problema se conoce como el deControl Optimo. Pasemos ahora a formular este problema.

Considere un sistema modelado en representacion de estados de la forma:

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)

(1)

donde x(t) ∈ Rn y las senales de entrada y salida (u(t), y(t)) son escalares.Se desea encontrar una ley de control uopt(t) que minimice:

J (x, u) = ∞

0 (xT

(t)Qx(t) + ru2

(t))dt

La solucion del problema de optimizacion planteado, que demostraremos en el apendice, es:

uopt(t) = −K optx(t) = −r−1BT Px(t)

donde la matriz P se obtiene de la siguiente ecuacion algebraica de Riccati:

AT P + PA− PBr−1BT P + Q = 0 (2)

es decir, la ley de control optima resulta ser una de realimentacion de estados en la que laganancia de realimentacion se obtiene de una ecuacion algebraica de Riccati.

Recordemos que la funcion de transferencia asociada al sistema (1) es:

G(s) = C (sI − A)−1B

1



Supongamos que Q = C T C , se puede demostrar (ver apendice) que, si el par (A,C ) esobservable, los autovalores de A− BK opt, i.e. los polos del sistema optimo de lazo cerrado, son

las raıces estables de: ∆(s) = 1 + r−1G(s)G(−s) = 0 (3)

Basandonos en este hecho podemos utilizar la estrategia de Control Optimo para ubicar lospolos del sistema en las locaciones que salgan del Lugar de las Raıces (3).

2. Caso de estudio

Retomemos el sistema que hemos venido trabajando en estos apuntes, al que le hemos anadidoun integrador (la tercera variable de estado) para asegurar rechazo perfecto de perturbacionesestacionarias.

x1(t)x2(t)y(t)

=

−3 −0,25 0

8 0 00 0,5 0

A

x1(t)

x2(t) (y(τ )dτ )

+

0,5

00

B

u(t)

y(t) =

0 0,5 0 x1(t)

x2(t) (y(τ )dτ )

y(τ )dτ =

0 0 1

C

x1(t)x2(t)

(y(τ )dτ )

que equivale, en representacion entrada salida, entre la senal de control y la nueva variable deestado (u→

y), a:

G(s) =2

s(s2 + 3s + 2)

Observe que:

G(−s) =−2

(−s3 + 3s2 − 2s)

El Lugar de las Raıces de 1 + kG(s)G(−s) se muestra en la figura (1).

Observe que, con k = 0,22, todos los polos que se obtendrıan con la estrategia de ControlOptimo serıan reales (dos de ellos en -0.682) por lo que la respuesta serıa del tipo sobreamorti-guada (sin oscilacion), con un tiempo de estabilizacion del orden de 6 s.

Tomemos Q = C T C y r = 1/k, entonces:

Q =

0 0 0

0 0 00 0 1

; r = 4,5.

Resolviendo (2) se obtiene:

P =

6,8900 2,7486 4,24262,7486 1,1124 1,79404,2426 1,7940 3,4170

; K opt =

0,7656 0,3054 0,4714

2



Root Locus

Real Axis

I m a g A x i s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−6

−4

−2

0

2

4

6

System: tGain: 0.22Pole: −0.682Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.682

Figura 1: Lugar de las Raıces. Ubicacion de polos de ∆(s).

Los polos del sistema a lazo cerrado estan en: −2,0177 y −0,6825 ± 0,0375i. El margen defase es de 72o y el del ganancia 21 dB.

La respuesta del sistema a lazo cerrado se muestra en la figura (2).

3



Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 2: Lugar de las Raıces. Ubicacion de polos de ∆(s).

4

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