Lugar de las raíces - D E A - Departamento de …dea.unsj.edu.ar/control2/6-Root Locus-Reglas...
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Lugar de las raíces
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El problema de control
( ) ( )( )( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H
G H G H
KN s D sKG sT s
GK s H s D s D s KN s N s
Los polos de T(s) son funciones de K.
Los polos de T(s) no pueden conocerse sin factorizar el
denominador (ecuación característica) 1+KG(s)H(s)=0.
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El problema de control
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Definiendo el lugar de las raíces
( ) ( ) 1 1 (2 1)180 , 0, 1,
0
oKG s H s k k
K
El conjunto de puntos del plano s que satisfacen la
ecuación característica:
cuando el parámetro K varía entre 0 e se denomina el
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
1 ( ) ( ) 0KG s H s
( ) ( ) 1 ; 0
( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,o
K G s H s K
G s H s k k
Las condiciones de módulo y fase son:
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Definiendo el lugar de las raíces
Las condiciones de módulo y fase son:
( ) ( ) 1 ; 0
( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,o
K G s H s K
G s H s k k
K desaparece de la ecuación del ángulo por ser un escalar positivo (no aporta nada a la fase).
Si un determinado valor de s0 satisface la condición angular
entonces existe un valor de K que satisfase la condición de módulo.
0 0
1
( ) ( )K
G s H s
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Ejemplos del Lugar de las Raíces para sistemas simples
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Reglas básicas para construir el lugar geométrico de las raíces
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Regla 1) NÚMERO DE RAMAS: El número de ramas es igual al orden de la ecuación característica F(s) (número de polos a lazo cerrado).
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0G H G HF s KG s H s D s D s KN s N s
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Regla 2) SIMETRÍA: El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real.
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Regla 3) SEGMENTOS EN EL EJE REAL: Un segmento del eje real pertenece al lugar de las raices si está a la izquierda de un número impar de polos o ceros reales finitos.
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Ejemplo: Los polos y ceros complejos conjugados no aportan a la fase del punto P1. Los polos y ceros reales a la izquierda tampoco aportan fase ya que el ángulo de cada uno es cero. Solo el polo real a la derecha de P1 aporta -180o , P1 pertenece al LR.
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Regla 4) PUNTOS DE COMIENZO Y DE FINAL DE UNA RAMA: Las ramas comienzan para K=0 en los polos finitos de L(s)=G(s)H(s) y terminan para K= en los ceros finitos o
infinitos de L(s).
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Regla 5) COMPORTAMIENTO EN EL INFINITO: Las ramas se aproximan asintóticamente a lineas rectas cuando el lugar se aproxima a infinito.. Las asíntotas interceptan el eje real en el centróide a con ángulos a
Re( ) Re( )a
polos ceros
polos ceros
(2 1), 0, 1,a
kk
polos ceros
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Ejemplo del comportamiento en el infinito
, 03(2 1) (2 1), 1
4 15
, 23
a
kk k
kpolos ceros
k
Re( ) Re( ) ( 1 2 4) ( 3) 4
4 1 3a
polos ceros
polos ceros
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Ejemplo del comportamiento en el infinito
4
3a
/ 3 , 0
, 1
5 / 3 , 2a
k
k
k
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Regla 6) Conservación de la Suma de las Raíces del Sistema
1 1
n n
j jj j
p r
Si pj son los polos a lazo abierto (polos de L(s) incluyendo los polos en el origen) y rj son los polos a lazo cerrado (raíces de la ecuación característica F(s)=1+KL(s)), entonces se verifica la siguiente igualdad:
Esta ecuación nos dice que a medida que la ganancia K del sistema varía de cero a infinito, la suma de las raíces del sistema permanecen constante independientemente del valor que toma K.
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Ejemplo de Conservación de la Suma de las Raíces del Sistema
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Regla 7) PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: En los puntos de ruptura, las ramas de lugar de las raíces forman un ángulo de 180o/n con respecto al eje real, donde n es el número de polos a lazo cerrado que arriban o parten del punto de ruptura. Para el caso normal de dos polos, los brazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.
VER EJEMPLOS
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PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL
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PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: Para el caso normal de dos polos, los brazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.
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PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: Para el caso normal de dos polos, los brazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.
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Ejemplo de punto de ruptura en el eje real
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Los puntos de ruptura se pueden determinar de dos maneras:
1 ) Encontrando las raíces de: 0 0dK dL
óds ds
1 1
1 1m n
i ii iz p2 ) Resolviendo la ecuación:
PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL
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1 1
1 1m n
i ii iz p
211 1 1 1
11 26 61 03 5 1
.45
2 3.28
2
2
( 8 15)( ) ( )
3 2
K s sKG s H s
s s2
2
3 2
8 15
s sK
s s
2
2 2
11 26 610
( 8 15)
dK
ds
21.
11 26 6.2
13
045
8
Ejemplo
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Regla 8) CRUCES DE LAS RAMAS POR EL EJE IMAGINARIO jω: El lugar de las raíces cruza el eje imaginario en los puntos donde : Para encontrar los puntos de cruze por jω se puede utilizar el criterio de Routh-Hurwitz.
( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,oG s H s k k
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Regla 9) ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA: Desde un polo o un cero de L(s) se puede determinar el ángulo de salida o llegada respectivamente al suponer un punto s1 que está muy próximo al polo o cero y aplicar la condición de fase:
1 1 1 11 1
( ) ( ) ( ) ( ) (2 1)180
0, 1,
m no
i ji j
G s H s s z s p k
k
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ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA
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ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA
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Regla 10) Calibrado del lugar de las raíces: Todo punto del lugar de las raíces satisface las condiciones de módulo y fase. La ganancia K en cualquier punto del lugar de las raices es:
( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,oG s H s k k
1
( ) ( )
módulode los polosK
G s H s módulode los ceros
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clear, clc,close all
sys=zpk([-3],[0 -1 -2 -4],1)
rlocus(sys,0:.005:150)
axis([-5 2 -2.5 2.5 ])
Aprender a utilizar el comando rlocus de Matlab
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clear, clc,close all
sys=zpk([-3],[0 -1 -2 -4],1)
rlocus(sys,0:.005:150)
axis([-5 2 -2.5 2.5 ])
[k,poles] = rlocfind(sys)
Aprender a utilizar el comando rlocfind de Matlab