5. Lugar geométrico de puntos

Lugar geométrico: es el conjunto de todos los puntos y sólo aquellos puntos que satisfacen una condición dada.

Círculo: es un lugar geométrico de los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto dado.

Teorema 1: el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de los lados de un ángulo es el bisector del ángulo.

Describa el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de dos puntos fijos P y Q.

El lugar geométrico es una recta que es el bisector perpendicular de PQ.

Teorema 2: el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de los puntos extremos de un segmento de línea es el bisector perpendicular de ese segmento de línea.

M representa el punto medio de AB. Entonces AM es congruente con MB. Debido a que AX = BX, se sabe que AX es congruente con BX. Debido a que XM es congruente con XM, ∆AMX es congruente con el ∆BMX. Los ángulos 1 y 2 son congruentes y MX intersecta AB. Por definición, MX es el bisector perpendicular de AB, así X se encuentra en el bisector perpendicular de AB.

Si un punto está en el bisector de ángulo, entonces es equidistante de los lados del ángulo.

BD bisecta al ángulo ABC; por tanto el ángulo ABD es congruente con el ángulo CBD. De intersecta BA y DF intersecta BC, por lo que el ángulo DEB y el ángulo DFB son ángulos rectos. Entonces DE es congruente con DF.