M 5 CálculoIntegral - CETis 30Las sumas de Riemann son aproximaciones del área bajo una curva, por...

CETis 030 “Emiliano Zapata”

JUNIO 2020

CÁLCULO INTEGRAL

CETIS 030 “EMILIANO ZAPATA”

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CÁLCULO INTEGRAL

Índice Bloque 1 ANTECEDENTES DEL CALCULO INTEGRAL

a. Contenidos Específicos • Antecedentes de variación • Ejemplo de aumento de gases invernadero • Área bajo la curva rectangular • Sumas de Reimann • Sumas de Reimann izquierda y derecha • Subdivisiones uniformes y no uniformes • Problemas de Sumas de Reimann con gráficas • Aproximación sin la ayuda de gráficas • Sobrestimación y subestimación en las sumas de Riemann

b. Aprendizaje Esperado • Identificar y comprender el concepto del área bajo la curva y el método para inferir su área

aproximada haciendo uso de trazos rectangulares.

c. Producto Esperado • Metodología y resultados de rectángulos para el cálculo de un área bajo la curva (Suma de Riemann)

Bloque 2 (OBTENER LA ANTIDERIVADA DE FUNCIONES CON UNA VARIABLE REAL)

a. Contenidos Específicos Definir la antiderivada y la función primitiva. Concepto de constante de integración. Obtener funciones primitivas.

b. Aprendizaje Esperado Aprendizaje Esperado: Que el alumno aprenda a obtener la antiderivada de una función con una variable real, en su entorno académico.

c. Producto Esperado Cuadernillo de trabajo resuelto.


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Bloque 3

a. Contenidos Específicos b. Aprendizaje Esperado c. Producto Esperado

Rúbrica de Evaluación

BLOQUE 1 TEMA VALOR 1.10 20.0 Puntos

BLOQUE 3

TEMA VALOR 3.1 5.0 Puntos 3.2 5.0 Puntos 3.3 5.0 Puntos 3.4 5.0 Puntos 3.5 5.0 Puntos 3.6 5.0 Puntos

Bibliografía Recomendada Calculo Integral, Raúl Moctezuma Bautista, editorial Alec, 2017. https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-3/a/definite-integral-as-the-limit-of-a-riemann-sum https://es.slideshare.net/Pablogyc/calculo-integral-capitulo-1-sucesiones-y-series https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-integracion-areas.html https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/1/7414.pdf CALCULO INTEGRAL con graficación. Autor Marco Antonio García Juárez. Editorial Esfinge SITIO WEB KHAN ACADEMY / Matemáticas / Calculo Integral Colaboradores

Nombre del Docente Correo Electrónico Grupo(s) a Evaluar Cuadernillo -Alicia López García [email protected] -Noemí Cruz Pérez [email protected] -Sonia Zazueta López [email protected]

BLOQUE 2 TEMA VALOR

2.0 10.0 Puntos 2.1 5.0 Puntos 2.2 5.0 Puntos 2.3 5.0 Puntos 2.4 5.0 Puntos


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BLOQUE 1

1.0 ANTECEDENTES DE VARIACION A continuación, se muestran tres gráficas, cada una de las cuales representa la variación de la posición de un objeto con respecto al otro.

En la figura a se muestra que la posición respecto al tiempo tiene un comportamiento constante, en la figura b creciente. Cuando la velocidad de un objeto es constante, la cual puede representarse con la letra v, la distancia que recorre el objeto en un tiempo determinado t, se calcula mediante la expresión

d = vt. En este caso la distancia recorrida se representa mediante el rectángulo que en el eje de las ordenadas representa a la velocidad y en el eje de las abscisas al tiempo


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1.1 EJEMPLO AUMENTO DE GASES INVERNADERO Aún en los países más industrializados, como los pertenecientes a la Unión Europea, en donde las fábricas y los procesos agrícolas y ganaderos producen grandes cantidades de contaminantes, la polución ocasionada por los medios de locomoción es la responsable del 25% de las emisiones de dióxido de carbono (CO2), del 87% de las de monóxido de carbono (CO) y del 66% de las de óxido de nitrógeno (NO), las cuales no sólo contribuyen al calentamiento global, sino que afectan directamente a la salud de los habitantes. Para reducir la cantidad de gases contaminantes, en los automóviles se colocan dispositivos llamados convertidores catalíticos o catalizadores, que reducen la cantidad de contaminantes que se emiten a la atmósfera. A pesar de la colocación de los dispositivos señalados en los automóviles, la emisión de contaminantes es muy elevada. Por ejemplo, el 2008 en España la emisión sólo de dióxido de carbono de los automóviles fue de 148 g/km, lo cual nos lleva a concluir que en una etapa de 1000 km un automóvil, emite 148 kg de dióxido de carbono. Para analizar con más detalle la situación descrita, se puede decir que los convertidores catalíticos bajan su rendimiento de forma continua y que por esa razón los automóviles emiten cada vez más contaminantes. En la tabla siguiente se proporcionan los datos de emisión de gases de invernadero de un automóvil, en el cual se realizaron 6 mediciones, al inicio de cada etapa de 1000 km de recorrido del automóvil.


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Veamos si es posible hacer un cálculo de la emisión total de contaminantes que el automóvil había efectuado durante el lapso de las 5 etapas consideradas. Para hacerlo, tomando en cuenta que el deterioro en el funcionamiento del convertidor catalítico es continuo, unimos en una gráfica los puntos señalados en la Tabla 1.1

Para darnos una idea de cómo hacer el cálculo de la emisión total de gases emitidos por el automóvil, nos formulamos la interrogante de qué pasaría si el convertidor catalítico hubiera conseguido mantenerse funcionando igual que al principio, dejando pasar siempre 200 g/km o, lo que es lo mismo, 200 kg/Etapa De esta manera establecemos que la emisión de contaminantes del automóvil durante las etapas consideradas es una cantidad que se ubica entre 1 y 1. 3 toneladas. Para tener una idea más aproximada, sigamos ahora la siguiente estrategia: Así como tomamos primero la cantidad menor de emisiones en todas las etapas, podemos hacerlo para cada una de dichas etapas. Esto quiere decir que consideramos que durante los primeros 1000 kg de recorrido la emisión de contaminantes podía ser constante e igual a 200 kg, en la segunda etapa tomar el valor menor, que en este caso es igual 212 kg y así hasta considerar la quinta etapa con una emisión de 248 kg. El cálculo de emisión de gases contaminantes seguiría siendo una aproximación por defecto a la cantidad real, pero más parecida que a la del cálculo anterior. 1.2 AREA BAJO LA CURVA RECTANGULAR Otra fuente importante de emisión de gases de invernadero es originada por las fábricas que usan energía proveniente del uso de la gasolina, diésel, carbón y otros combustibles fósiles.


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Así como en los automóviles se emplean convertidores catalíticos, en las fábricas se emplean depuradores de los gases contaminantes que con el paso del tiempo se hacen menos eficientes. En la Tabla 1.2 se muestra el caso de una fábrica en el que se toman medidas al inicio de cada mes durante 6 meses, de la velocidad con la que se escapan gases contaminantes de tipo invernadero a la atmósfera, medido en toneladas por mes.

Para analizar la efectividad de la estrategia seguida, veamos con más detenimiento lo que se ha realizado y la forma de continuar con el proceso. En una gráfica el cálculo realizado para aproximar por defecto la cantidad total de gases emitidos a la atmósfera por un automóvil, obtenemos las siguientes figuras:


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1.3 SUMAS DE REIMANN Supón que queremos encontrar el área bajo esta curva:

Tal vez luchemos para encontrar el área exacta, pero podemos aproximarla usando rectángulos:

Y nuestra aproximación mejora si usamos más rectángulos:


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Este tipo de aproximaciones se llaman sumas de Riemann, y son una herramienta fundacional del cálculo. Nuestro objetivo, por ahora, es enfocarnos en comprender dos tipos de sumas de Riemann: sumas de Riemann izquierdas y sumas de Riemann derechas.

1.4 SUMAS DE RIEMANN IZQUIERDA Y DERECHA

Para construir una suma de Riemann, debemos escoger cómo vamos a hacer nuestros rectángulos. Una posible solución es hacer nuestros rectángulos tales que toquen la curva con sus esquinas superiores izquierdas. A esta suma la llamamos suma de Riemann izquierda.

Otra elección es hacer que nuestros rectángulos toquen la curva con sus esquinas superiores derechas. A esta suma la llamamos suma de Riemann derecha.

Ninguna elección es estrictamente mejor que la otra.


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1.5 SUBDIVISIONES DE LAS SUMAS DE RIEMANN

Los términos "subdivisiones" o "particiones" son comúnmente mencionados cuando se trabaja con sumas de Riemann. Estos se refieren al número de partes en las que dividimos el intervalo en xxx para construir los rectángulos. Dicho de forma sencilla, el número de subdivisiones (o particiones) es el número de rectángulos que usamos. Las subdivisiones pueden ser uniformes, lo que significa que tienen iguales longitudes, o no uniformes.

1.6. PROBLEMAS DE SUMAS DE RIEMANN CON GRÁFICAS

Imagina que se nos pide aproximar el área entre y=g(x) y el eje x de x=2a x=6.

Y que decidimos usar una suma de Riemann izquierda con cuatro subdivisiones uniformes.


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Observa: cada rectángulo toca la curva con su esquina superior izquierda porque estamos usando una suma de Riemann izquierda. Al sumar las áreas de los rectángulos, obtenemos 20 unidades2, que es una aproximación para el área bajo la curva. Para este problema, podemos simplemente contar las unidades cuadradas de cada rectángulo, pero en general necesitamos multiplicar las alturas con las bases para encontrar el área.

Entonces, después de encontrar las áreas individuales, las sumamos para obtener 20 unidades2

1.7 APROXIMACIONES SIN LA AYUDA DE GRÁFICAS

Imagina que se nos pide aproximar el área entre el eje x y la gráfica de f desde x = 1 a x=10 usando una suma de Riemann derecha con tres subdivisiones iguales. Para lograrlo, nos dan una tabla de valores de f.


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Un buen primer paso es determinar la longitud de cada subdivisión. La longitud del área entera que estamos aproximando es 10-1 = 9 unidades. Si estamos utilizando tres subdivisiones iguales, entonces la base de cada rectángulo mide 9/3 = 3 unidades. De aquí, necesitamos determinar la altura de cada rectángulo. Nuestro primer rectángulo descansa en el intervalo [1,4]. Como estamos usando una suma de Riemann derecha, su vértice superior derecho debe estar sobre la curva cuando x=4, por lo que su valor y es f(4) = 8. De forma similar, podemos encontrar que el vértice superior derecho del segundo rectángulo, que descansa en el intervalo [4,7], está en f(7)=3. Nuestro tercer (y último) rectángulo tiene su vértice superior derecho en f(10)=5 Ahora todo lo que resta es hacer las cuentas.

Entonces, después de haber encontrado las áreas individuales, las sumamos para obtener nuestra aproximación: 48 unidades2

1.8 SOBRESTIMACIÓN Y SUBESTIMACIÓN EN LAS SUMAS DE RIEMANN

Las sumas de Riemann son aproximaciones del área bajo una curva, por lo que casi siempre serán un poco más grandes que el área real (una sobrestimación) o un poco más pequeñas que el área real (una subestimación).


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¿Esta suma de Riemann es una sobrestimación o subestimación del área real?

1.9 Sobrestimación y subestimación

Cuando usamos sumas de Riemann, a veces obtenemos una sobrestimación y otras veces una subestimación. Es bueno ser capaces de razonar sobre si una suma de Riemann particular está sobrestimando o subestimando. En general, si la función siempre es creciente o siempre es decreciente en un intervalo, podemos decir si la aproximación por suma de Riemann será una sobrestimación o una subestimación con base en si es una suma de Riemann derecha o izquierda.


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1.10 EJERCICIOS: 1.- En una grafica de variación de velocidad, el eje “x” representa: a) La velocidad b) El Tiempo c) La distancia recorrida 2.- En una grafica de variación de velocidad, el eje “y” representa: a) La velocidad b) El Tiempo c) La distancia recorrida 3.- Cuando la velocidad de un objeto es constante, la cual puede representarse con la letra v, la distancia que recorre el objeto en un tiempo determinado t, se calcula mediante la expresión: a) t = dv b) d = vt. c) v = dt 4.- Para hacer un análisis del área bajo la curva, la estrategia a seguir es dibujar bajo la curva una serie de: a) polígonos b) círculos c) rectángulos 5.- Uno de los métodos para comprender el calculo del area bajo la curva se llama: a) sumas de Riemann izquierdas y sumas de Riemann derechas b) polígonos transversales c) calculo de areas divergentes 6.- La siguiente grafica es una aproximación de sumas… a) Suma de Riemann izquierda b) Suma de Rieman derecha


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7.- ¿Cuál es la descripción correcta de las subdivisiones en esta suma de Riemann?

a) Cinco subdivisiones uniformes b) Cinco subdivisiones no uniformes c) Seis subdivisiones uniformes d) Seis subdivisiones no uniformes 8.- Aproxima el área entre y = h y el eje x de x = -2x a x=4 usando una suma de Riemann derecha con tres subdivisiones iguales. ¿Cuál es el valor del area en unidades?

9.- Si la curva es creciente y utilizamos una suma de Riemman derecha, estamos hablando qu habrá una Subestimación Sobrestimación 10.- Entre mas rectángulos se trazen bajo la curva, la aproximación será más: a) estadística b) exacta c) inexacta


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DESARROLLO DEL BLOQUE 2 2.0 ¿Qué es Antiderivada y Función Primitiva? El Cálculo Integral no hay regla general que pueda aplicarse para integrar las diferenciales. En la práctica cada caso necesita un trato especial. La integración es un proceso de ensayos mediante varias fórmulas y métodos para facilitar su estudio. En el cálculo diferencial una línea, un área o un volumen se dividen infinitesimalmente. En cambio, en el cálculo integral la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se desea: Una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro. ANTIDERIVADA En el cálculo diferencial se obtiene la derivada de una función f’(x). Ahora nos preocuparemos del proceso inverso, es decir, dada la derivada f’(x) buscaremos obtener la función inicial F(x), la cual llamaremos antiderivada o función primitiva INTEGRACIÓN El proceso de antidiferenciación a menudo se denomina la integración o la integración indefinida. Para indicar que la antiderivada de f(x) = 4x3 es F(x)= x4 + C, escribimos:

!𝟒𝒙𝟑 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝑪

Decimos que la antiderivada o Integral indefinida de 4x3 con respecto a x es igual a x4 +C En general:

!𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪

Signo integral integrando variable de integración Constante de integración. Cuando encontramos funciones antiderivadas en realidad encontramos una solución general a una ecuación diferencial.

!𝒇$(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) + 𝑪

Solución general


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Una ecuación diferencial en X y Y es una ecuación que implica X,Y y la derivada de Y . Aquí unos ejemplos de ecuaciones diferenciales:

Y’ = 2x

F’(x) = 4x3 + 6

𝒅𝒚𝒅𝒙 =

𝟏𝒙

EJERCICIOS: Escribe la diferencial, la derivada o la antiderivada según corresponda.

Número DIFERENCIAL

DERIVADA ANTIDERIVADA

1.- dy = 2e2x dx

f ’(x) = 2e2x F(x) = e2x

2.- dy = 6x – 8 dx

3.- f ’(x) = 𝟏𝒙

4.- dy = - 𝟏'𝟏(𝒙𝟐

𝒅𝒙

5.-

F(x) = 3x3 – 2x2 + 3x

6.- dy = 𝟏𝒙𝟑− 𝟑

𝒙𝟐 dx

7.-

f ’(x) = 2x5/4 + 6x ¼ + 3x- 4

8.-

F (x) = Sec U

9.-

f ’(x) = Cos X

10.- dy = 𝟏'𝟏(𝒙𝟐

𝒅𝒙


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2.1. CONCEPTO DE CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Si se requiere saber con exactitud el valor de la constante de integración “C” de alguna función utilizamos la pendiente de la recta tangente y un punto de la función primitiva. La constante de integración (C) se la pone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una infinidad de funciones que tienen la misma derivada y que solo varían en una constante. Ejercicio 1: Calcula la constante de integración de la función primitiva que tiene pendiente m = 6x – 8 en el punto ( 2 , 3 )

a) – 1 b) + 7 c) – 7 d) + 1

Ejercicio 2: Calcula la constante de integración de: f ‘ (x) = √𝟒𝒙 + 𝟏 en el punto ( 5 , 4 )

a) - 0.6 b) - ¾ c) 0.6 d) ½

Ejercicio 3: Calcula la constante de integración de: f ‘ (x) = x + 4 en el punto ( 2 , 4 )

a) – 6 b) + 6 c) + 1 d) – 1


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Ejercicio 4: Calcula la constante de integración de: f ‘ = Sen X en el punto 1𝝅

𝟐 , 𝟏3

a) +1 b) – 1 c) +3 d) – 1

Ejercicio 5: Calcula la constante de integración de: f ‘ (x) = e2x en el punto ( 0 , -1 )

a) – 3/2 b) + 3/2 c) + 1 d) – 1

2.2. La Integral Indefinida de funciones polinomiales mediante el uso del formulario. Integral indefinida Al proceso de calcular la antiderivada de una diferencial se llama integración y se utiliza el símbolo ∫ es una “S” alargada que significa suma. La notación para calcular la antiderivada es:

!𝒇$(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪


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Para iniciar la integración de las funciones, usaremos algunas fórmulas básicas de integración las cuales tienen relación con las fórmulas de las derivadas de funciones.


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Integre las siguientes funciones diferenciales. Ejercicio 1: ∫1𝒙𝟑3 𝒅𝒙 =

a) 𝒙𝟐

𝟔+ 𝑪

b) 𝒙𝟑

𝟔+ 𝑪

c) 𝒙𝟐

𝟑+ 𝑪

d) 𝒙𝟑

𝟑+ 𝑪


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Ejercicio 2: ∫(𝒚𝟑 −𝟏𝟎𝒚𝟐 + 𝟏)dy =

a) 𝒚𝟒

𝟒−𝟏𝟎𝒚

𝟑

𝟑+ 𝒚 + 𝑪

b) 𝒚𝟒

𝟑−𝟏𝟎𝒚

𝟑

𝟒+ 𝒚 + 𝑪

c) 𝒚𝟒

𝟐−𝟏𝟎𝒚

𝟑

𝟑+ 𝒚 + 𝑪

d) 𝒚𝟒

𝟐−𝟏𝟎𝒚

𝟑

𝟒+ 𝒚 + 𝑪

Ejercicio 3: ∫1𝟓𝒙 − 𝒙

(𝟐3 𝒅𝒙 =

a) 𝟓𝑰𝒏(𝒙) +𝟏𝒙+ 𝑪

b) 𝟓𝑰𝒏(𝒙𝟐) +𝟏

𝒙+ 𝑪

c) 𝟓𝑰𝒏(𝒙) + 𝟏

𝒙𝟐+ 𝑪

d) 𝟓𝑰𝒏(𝒙𝟐) + 𝟏

𝒙𝟐+ 𝑪

Ejercicio 4: ∫9𝟏𝟖𝒙𝟐/𝟑 + 𝟒𝒙𝟑; 𝒅𝒙 =

a) 𝟓𝟒𝒙𝟓/𝟑

𝟓+ 𝒙𝟒 + 𝑪

b) 𝟓𝟒𝒙𝟑/𝟓

𝟓+ 𝒙𝟒 + 𝑪

c) 𝟓𝟒𝒙𝟓/𝟑

𝟓/𝟑+ 𝒙𝟒 + 𝑪

d) 𝟓𝟒𝒙𝟓/𝟑

𝟓+ 𝒙𝟐 + 𝑪


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Ejercicio 5: ∫ 1𝒙𝟒(𝟑𝒙𝟐0𝟏𝟏

𝒙3𝒅𝒙 =

a) 𝒙𝟒

𝟒−𝟑𝒙

𝟐

𝟐+ 𝟏𝟏𝒍𝒏𝒙 + 𝑪

b) 𝒙𝟒

𝟐−𝟑𝒙

𝟐

𝟐+ 𝟏𝟏𝒍𝒏𝒙 + 𝑪

c) 𝒙𝟒

𝟐−𝟑𝒙

𝟐

𝟒+ 𝟏𝟏𝒍𝒏𝒙 + 𝑪

d) 𝒙𝟐

𝟒−𝟑𝒙

𝟐

𝟐+ 𝟏𝟏𝒍𝒏𝒙 + 𝑪

2.3 Integrales de Funciones Trigonométricas Las integrales trigonométricas se resuelven con las siguientes fórmulas y en algunos casos por cambio de variable o utilizando identidades trigonométricas.


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Ejercicio 1: ∫𝟓(𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝒅𝒙 =

a) 𝟓(𝒕𝒈𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝑪 b) 𝟓(𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒕𝒈𝒙) + 𝑪 c) 𝟓(𝒕𝒈𝒙𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝑪 d) 𝟓(𝒕𝒈𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐) + 𝑪

Ejercicio 2: ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐√𝒙√𝒙

𝒅𝒙 =

a) −𝟐𝑪𝒕𝒈√𝒙 + 𝑪 b) +𝟐𝑪𝒕𝒈√𝒙 + 𝑪 c) −𝟐𝑪𝒕𝒈√𝒙𝟐 + 𝑪 d) +𝟐𝑪𝒕𝒈√𝒙𝟐 + 𝑪

Ejercicio 3: ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 − 𝟒)(𝒙𝟐) 𝒅𝒙 =

a) −𝟏𝟑𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟒) + 𝑪

b) −𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 − 𝟒) + 𝑪

c) −𝟏

𝟑𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 − 𝟒) + 𝑪

d) +𝟏

𝟑𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟒) + 𝑪

Ejercicio 4: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

a) 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙

+ 𝑪

b) 𝟏𝒔𝒆𝒏𝒙

+ 𝑪

c) − 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙

+ 𝑪

d) − 𝟏𝒔𝒆𝒏𝒙

+ 𝑪


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Ejercicio 5: ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒚𝟐 𝒅𝒚 =

a) +𝟐𝒍𝒏 D𝒔𝒆𝒏 𝒚𝟐D + 𝑪

b) +𝟐𝒍𝒏 D𝒕𝒈 𝒚

𝟐D + 𝑪

c) −𝟐𝒍𝒏 D𝒔𝒆𝒏 𝒚

𝟐D + 𝑪

d) −𝟐𝒍𝒏 D𝒕𝒈 𝒚

𝟐D + 𝑪

2.4 Ejercicio: Relacione columnas de terminología del tema 2.

DEFINICIÓN TERMINO

a) Significa Suma ( ) Antiderivada o función primitiva b) Se resuelven en algunos casos por

cabio de variable. ( ) Las fórmulas de las derivadas de funciones.

c) Las fórmulas básicas de integración tienen relación con.

( ) Constante de Integración

d) Al proceso inverso, es decir, dada la derivada f’(x) buscaremos obtener la función inicial F(x), la cual llamaremos

( ) ∫

e) Se la pone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una infinidad de funciones que tienen la misma derivada y que solo varían en una constante

( ) Integrales trigonométricas


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CÁLCULO INTEGRAL

BLOQUE 3 En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo, empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral. DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA

Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

INTEGRACIÓN. Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacía en el cálculo de derivadas.

Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en el intervalo I, si Dx F (x) = f (x) es decir F´(x) = f (x)

ò f ( x)dx = F (x) + C


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CÁLCULO INTEGRAL

Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales.

ò senh xdx = cosh x + C

x arccos + C 1

a a a 2 2 x x - a 1 dx = arcsen + C =

18. ò a

arctg⎜ ⎟ + C 1 a

dx = 2 2 a + x

1

1

+ C

dx = arcsen 1

a 2 - x 2 ò

ò

16. 17.

ò

ln a

6.

5. a dx = + C

dx = ln x + C

xn+1

n + 1 x dx = + C ; n ¹ -1 2.


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ò x2 dx

2 +1 3

1 dx = x - 12 dx =

x

2 2

Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las fórmulas que se proporcionaron para derivadas. Ejemplo 1

Calcular

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la fórmula 2.

ò x 2 dx = x 2+1

+ C = x 3

+ C

Ejemplo 2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la fórmula 2.

- 1 +1

ò ò - 1 +1 3.1 Ejercicio 1 Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades. PROPIEDADES. La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

Calcular dx 1 x ò

+ C

Calcular dx 1 4 + x 2 ò

1. ò [ f ( x) ± g (x)]dx = ò f (x)dx ±ò g (x)dx 2. ò kf ( x)dx = k ò f (x)dx; k Î R


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CÁLCULO INTEGRAL

3.2. Ejercicio 2

Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo.

TECNICAS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN DIRECTA.

Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las fórmulas se puedan encontrar antiderivadas.

Calcular 3 sin x - 4e dx


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INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas. En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable.


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3.3 Ejercicios:


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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha clasificado de la siguiente manera:


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De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.


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3.4 Ejercicios:

RELACION ENTRE AREA E INTEGRAL DEFINIDA AREA ENTRE DOS GRAFICAS

El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos planos acotados y definidos por curvas o gráficas de funciones. El cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar al alumno a comprender la potencia del cálculo integral y a familiarizarse con aspectos prácticos del mismo. Ha de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología, Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir magnitudes a través de la medida de áreas.


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CÁLCULO INTEGRAL

GRAFICA AREA ENTRE DOS GRAFICAS

El área encerrada entre las gráficas de las funciones ff y gg en el intervalo [a,b][a,b] viene dada por la integral de la resta de las funciones:

A=∫ba(f(x)−g(x))dxA=∫ab(f(x)−g(x))dx

Observad que la integral anterior es la resta de las áreas que encierran, por separado, ambas gráficas con el eje de abscisas:

∫ba(f(x)−g(x))dx=∫ab(f(x)−g(x))dx= =∫baf(x)dx−∫bag(x)dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx

Consideraciones:

• El integrando debe ser la función cuya gráfica está arriba menos la función cuya gráfica está abajo. • Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas o bajo dicho eje, hay que proceder según

se explicó anteriormente. • Observad que los extremos del intervalo de la integral son los puntos donde las gráficas intersecan.

Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)=x(x−2)f(x)=x(x−2) y las rectas verticales x2=1 Las rectas verticales son

x=−1, x=1x=−1, x=1


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CÁLCULO INTEGRAL

Como tenemos que integrar la función f, es mejor desarrollar el producto:

f(x)=x(x−2) =x2−2xf(x)=x(x−2) =x2−2x

Representamos la gráfica y las rectas para ver si el eje horizontal divide la región:

Como el eje OX divide la región en dos (una sobre el eje y otra bajo éste), tenemos que calcular dos integrales. El resultado de la integral correspondiente al área que está por debajo será negativo, por lo que tenemos que cambiar el signo (o escribir el valor absoluto). Los intervalos de x de las regiones son:

[−1,0], [0,1][−1,0], [0,1]

Nota: el extremo 0 se calcula resolviendo la ecuación

f(x)=0f(x)=0 Estos intervalos son los extremos de las integrales. La integral indefinida de f es

∫f(x)dx=∫(x2−2x)dx=∫f(x)dx=∫(x2−2x)dx= =∫x2dx−∫2xdx=x33−x2=∫x2dx−∫2xdx=x33−x2


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CÁLCULO INTEGRAL

Calculamos las áreas calculando las integrales definidas mediante la regla de Barrow:

El área es la suma del valor absoluto de los resultados obtenidos:

Por tanto, el área de la región es 2 3.5 RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS PROBLEMA 1 Calcular el área de la región delimitada entre la gráfica de la función coseno, f(x)=cos(x)f(x)=cos(x), y las rectas verticales=±π PROBLEMA 2 Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de la hipérbola ff y el eje de abscisas, siendo f(x) = (1 / x ), 2 < I x I < 3


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CÁLCULO INTEGRAL

PROBLEMA 3 Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta y la parábola siguientes: f( x ) = x g( x ) = x2 Las conocidas fórmulas de la integral de Riemann de una función continua f en un intervalo cerrado [ a,b ]

!!

"𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

#→%&+#'(

)*+

𝑏 − 𝑎𝑛

𝑓(𝑎 + 𝑘𝑏 − 𝑎𝑛

),

!7

8𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

9→0;K9

𝑏 − 𝑎𝑛 𝑓(𝑎 + 𝑘

𝑏 − 𝑎𝑛 ),

se pueden usar para calcular límites de sucesiones. En particular, para el intervalo [0,1]

3.6 RELACIONA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

1.-En la antigüedad existían dos problemas a resolver

___la derivada

2.-El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con

___puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas

3.-significa calcular antiderivadas o primitivas ___es necesario utilizar identidades trigonométricas

4.-Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas

___Integración

5.-Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa

___el de la recta tangente y el área bajo una curva

M 5 CálculoIntegral - CETis 30Las sumas de Riemann son aproximaciones del área bajo una curva, por...

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