m O CI AL E.2008 JU NR3 PT Ó S R E S O L U C I Ó … · toma una muestra aleatoria de 300...

R E S O L U C I Ó N

a) La distribución de las medias muestrales es: 3

, 8'1, 8'1,0 '3100

N N Nn

Como el nivel de confianza es del 97%, podemos calcular 2

z

2

1 0'970'985 2'17

2z

Aplicando la fórmula, tenemos:

. . (8 '1 2 '17 0 '3) (7 '499;8'751)I C

b) 2

1 0'920 '96 1'76

2z

2

3 1'76 31 1'76 27 '87 28

1E n

n

El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de

media días y desviación típica 3 días.

a) Determine un intervalo de confianza para estimar , a un nivel del 97%, con una muestra

aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8’1 días.

b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar con un error

máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92 %?.

SOCIALES II. 2008 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN A


a) Escribimos todas las muestras posibles de tamaño 2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

b) Construimos la tabla para las medias muestrales:

x f x f 2x f

1 1 1 1

1’5 2 3 4,5

2 3 6 12

2’5 4 10 25

3 3 9 27

3’5 2 7 24’5

4 1 4 16

16 40 110

Media = 40

2'516

i i

i

x f

f

Varianza =

2

2 2 21102'5 0 '625

16

i i

i

x fx

f

Sea la población 1,2,3,4 .

a) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple.

b) Calcule la varianza de las medias muestrales.

SOCIALES II. 2008 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN B


a) El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n

Con los datos del problema calculamos:

450 '15

300 p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z

Luego, sustituyendo, tenemos:

0'15 0'85 0 '15 0 '85. . 0 '15 2 '17 ,0 '15 2 '17 (0 '15 0 '0447) (0 '1053;0 '1947)

300 300

I C

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2

z

0'15 0'851'96 0'0404

300

E menor

Se desea estimar la proporción de individuos zurdos en una determinada ciudad. Para ello se

toma una muestra aleatoria de 300 individuos resultando que 45 de ellos son zurdos.

a) Calcule, usando un nivel de confianza del 97%, el correspondiente intervalo de confianza

para la proporción de individuos zurdos de la población.

b) ¿Sería mayor o menor el error de estimación si se usara un nivel de confianza del 95%?

Razone la respuesta.

SOCIALES II. 2008 RESERVA 1. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A


2

1 0 '990 '995 2 '575

2

z

26 2'575 6

2 2'575 59'67 602

E n

n

Una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviación típica 6. ¿De qué tamaño, como

mínimo, se debe elegir una muestra que nos permita estimar la media de esa variable con un

error máximo de 2 y una confianza del 99%?

SOCIALES II. 2008 RESERVA 1. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B


El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


1

3p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z


1 2 1 2

1 1 13 3 3 3. . 2 '17 , 2 '17 ( 0 '1078) (0 '2255;0 '4411)3 90 3 90 3

I C

Tomada al azar una muestra de 90 alumnos de un Instituto se encontró que un tercio habla

inglés.

Halle, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo de confianza para estimar la proporción

de alumnos de ese Instituto que habla inglés.

SOCIALES II. 2008 RESERVA 2. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A


a) La distribución de las medias muestrales es: 1'2

, 2 '85,40

N Nn


z

2

1 0 '960 '98 2 '06

2

z


1'2. . (2 '85 2 '06 ) (2 '85 0 '3908) (2 '4592 ; 3'2408)

40 I C

b) 2

1'2 2'06 1'20'75 2'06 10'86 11

0'75

E n

n

El tiempo de utilización diaria de ordenador entre los empleados de una empresa sigue una

distribución Normal de media μ y desviación típica 1’2 horas.

a) Una muestra aleatoria de 40 empleados tiene una media del tiempo de utilización de 2’85

horas diarias. Determine un intervalo de confianza, al 96%, para la media del tiempo de

utilización diaria de ordenador.

b) Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra para estimar la media del tiempo

de utilización diaria del ordenador con un error no superior a 0’75 horas y el mismo nivel de

confianza del apartado anterior.




, 28, 28,0 '99

N N Nn

b)

26 28 29 28(26 29) ( 2 '22 1'11) ( 1'11) ( 2 '22)

0 '9 0 '9

( 1'11) 1 ( 2 '22) 0 '8665 1 0 '9868 0 '8533

p x p z p z p z p z

p z p z

El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue una distribución Normal de

media 28 kg y desviación típica 2’7 kg. Consideremos muestras aleatorias de 9 alumnos.

a) ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?.

b) Si elegimos, al azar, una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que su media esté

comprendida entre 26 y 29 kg?

SOCIALES II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A



2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


600 '24

250 p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z


0'24 0'76 0'24 0'76. . 0 '24 2'17 ,0 '24 2'17 (0 '1814 ; 0 '2986)

250 250

I C

En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que en una muestra de 250 ejemplares de

una especie, 60 son portadoras de una bacteria. Obtenga un intervalo de confianza, al 97%,

para la proporción de aves de esa especie que son portadoras de la bacteria.

SOCIALES II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B



2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


4500 '375

1200 p

2

1 0 '900 '95 1'645

2

z


0'375 0'625 0'375 0'625. . 0 '375 1'645 ,0 '375 1'645 (0 '3611 ; 0 '3889)

1200 1200

I C

En una muestra representativa de 1200 residentes de una ciudad, 450 utilizan habitualmente el

transporte público. Obtenga el intervalo de confianza, al 90%, de la proporción de residentes

en la ciudad que utilizan habitualmente el transporte público.

SOCIALES II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A



, 175, 175,325

N N Nn


z

2

1 0 '900 '95 1'645

2

z


. . (175 1'645 3) (170 '065 ; 179 '935) I C

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2

z

215 1'96 15

2'5 1'96 138'29 1392'5

E n

n

El consumo, en gramos, de un cierto producto sigue una ley Normal con varianza 2225 g .

a) A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 175 g.

Halle un intervalo de confianza, al 90%, para la media del consumo.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de

confianza, al 95%, tenga una amplitud máxima de 5?




, 200, 200,1'59

N N Nn


z

2

1 0'970'985 2'17

2z


. . (200 2 '17 1'5) (196 '745;203'255)I C

b) 2

4'5 2'17 4'51 2'17 95'35 96

1E n

n

La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria

que sigue una ley Normal con desviación típica 4’5 cm. Para estimar la longitud media se han

medido los cables de una muestra aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes

longitudes, en cm:

205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202

a) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables.

b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el

error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza

del apartado anterior.

SOCIALES II. 2008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A



2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


1400 '7

200p

2

1 0 '990 '995 2 '575

2z


0'7 0 '3 0 '7 0 '3. . 0 '7 2 '575 ,0 '7 2 '575 (0 '6166;0 '7834)

200 200I C

Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una

respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la

proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la

población de la que se ha extraído la muestra.

SOCIALES II. 2008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B



, 136, 136,116

N N Nn

Como el nivel de confianza es del 98,5%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '9850 '9925 2 '43

2z


. . (136 2 '43 1) (133'57;138'43)I C

b) 2

4 2'43 41'5 2'43 41'99 42

1'5E n

n

El tiempo (en horas) que permanecen los coches en un determinado taller de reparación es una

variable aleatoria con distribución Normal de desviación típica 4 horas.

a) Se eligieron, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, entre todos, estuvieron 136

horas en reparación. Determine un intervalo de confianza, al 98,5%, para la media del tiempo

que permanecen los coches en ese taller.

b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra que permita estimar la media del

tiempo que permanecen en reparación los coches en ese taller con un error no superior a una

hora y media y con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.

SOCIALES II. 2009 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN A



2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


750 '25

300p

2

1 0 '940 '97 1'88

2z


0'25 0'75 0 '25 0 '75. . 0 '25 1'88 ,0 '25 1'88 (0 '203;0 '297)

300 300I C

b)

0'25 0'751'88 0'047

300E

En un estudio de mercado del automóvil en una ciudad se ha tomado una muestra aleatoria de

300 turismos, y se ha encontrado que 75 de ellos tienen motor diésel. Para un nivel de confianza

del 94%.

a) Determine un intervalo de confianza de la proporción de turismos que tienen motor diésel en

esa ciudad.

b) ¿Cuál es el error máximo de la estimación de la proporción?.

SOCIALES II. 2009 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN B



, 17 '5, 17 '5,0 '08100

N N Nn


z

2

1 0 '940 '97 1'885

2z


. . (17 '5 1'885 0 '08) (17 '3492;17 '6508)I C

b)

0'81'885 0 '1508

100E

En una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido, para la edad, una media de 17.5

años. Se sabe que la edad en la población, de la que procede esa muestra, sigue una distribución

Normal con una desviación típica de 0.8 años.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 94%, para la edad media de la población.

b) ¿Qué error máximo se comete en la estimación anterior?.

SOCIALES II. 2009 RESERVA 1. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN A



, 110, 110,325

N N Nn

113 110( 113) ( 1) 1 ( 1) 1 0 '8413 0 '1587

3p x p z p z p z

b) Al aumentar el tamaño de la muestra, el cociente n

disminuye, con lo cual al tipificar el

cociente x

aumenta y, por lo tanto, la probabilidad disminuye.

El cociente intelectual de los alumnos de un centro educativo se distribuye según una ley

Normal de media 110 y desviación típica 15. Se extrae una muestra aleatoria simple de 25

alumnos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media del cociente intelectual de los alumnos de esa

muestra sea superior a 113?.

b) Razone cómo se vería afectada la respuesta a la pregunta anterior si el tamaño de la muestra

aumentase.

SOCIALES II. 2009 RESERVA 1. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN B


Las muestras posibles son:

(8,8) (8,10) (8,12)

(10,8) (10,10) (10,12)

(12,8) (12,10) (12,12)

Construimos la tabla para las medias muestrales:

x f x f 2x f

8 1 8 64

9 2 18 162

10 3 30 300

11 2 22 242

12 1 12 144

9 90 912

Media = 90

109

i i

i

x f

f

Varianza =

2

2 2 291210 1'33

9

i i

i

x fx

f

Escriba todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple (con

reemplazamiento), se pueden extraer del conjunto 8,10,12 y determine el valor de la varianza

de las medias de esas muestras.




, 50, 50, 1'12564

N N Nn

48 50 52 50(48 52) ( 1'77 1'77) 2 ( 1'77) 1 2 0 '9616 1 0 '9232

1'125 1'125p x p z p z p z

b)

900 150

30180

xx

personas de mantenimiento

900 450

90180

xx

personas de operaciones

900 200

40180

xx

personas de servicios

900 100

20180

xx

personas de cargos directivos

a) En una población, una variable aleatoria X sigue una distribución Normal de media 50 y

desviación típica 9. Se elige al azar, una muestra de tamaño 64 de esa población. ¿Cuál es la

probabilidad de que la media muestral está comprendida entre 48 y 52?.

b) En una empresa de gas trabajan 150 personas en mantenimiento, 450 en operaciones, 200 en

servicios y 100 en cargos directivos. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere

seleccionar una muestra de 180 trabajadores de esa empresa por muestreo aleatorio

estratificado con afijación proporcional, ¿qué número de trabajadores se debe elegir de cada

grupo?.



a) Calculamos la media: 7 '0 6 '4 8'0 7 '1 7 '3 7 '4 5'6 8'8 7 '2

7 '29


z

2

1 0 '970 '985 2 '17

2z


0 '9. . 7 '2 2 '17 (6 '549;7 '851)

9I C

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2z

7'494 7'2 0'294E

Luego: 0'9

0 '294 1'96 36nn

Una variable aleatoria X se distribuye de forma Normal, con media y desviación típica

0.9 .

a) Una muestra aleatoria de tamaño 9 ha proporcionado los siguientes valores de X:

7.0 , 6.4 , 8.0 , 7.1 , 7.3 , 7.4 , 5.6 , 8.8 , 7.2

Obtenga un intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza de 97%.

b) Con otra muestra, se ha obtenido que un intervalo de confianza para , al 95%, es el

siguiente (6.906 , 7.494). ¿Cuál es el tamaño de la muestra utilizada?.




2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


200 '25

80p

2

1 0 '900 '95 1'645

2z


0'25 0'75 0 '25 0 '75. . 0 '25 1'645 ,0 '25 1'645 (0 '171;0 '329)

80 80I C

Tomando, al azar, una muestra de 80 empleados de una empresa, se encontró que 20 usaban

gafas. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la

proporción de empleados de esa empresa que usan gafas.



a) Calculamos la media: 539 '79 509 '41

524 '62

b) Como el nivel de confianza es del 97%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '970 '985 2 '17

2z

539'79 524'6 15'19E

Luego: 80

15'19 2 '17 130,6 131nn

El gasto que hacen las familias españolas en regalos de Navidad sigue una ley Normal de media

desconocida y desviación típica 84 euros. Para estimar esta media se seleccionó una muestra

aleatoria y se obtuvo el intervalo de confianza (509.41 , 539.79), con un nivel de confianza del

97%.

a) ¿Cuál ha sido la media de la muestra escogida?.

b) ¿Qué tamaño tenía la muestra?.




, 7, 7,0 '2564

N N Nn


z

2

1 0 '970 '985 2 '17

2z


. . (7 2 '17 0 '25) (6 '4575;7 '5425)I C

b)

20 '25 2 '17 301'3 302n

n

Los jóvenes andaluces duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley

Normal de media desconocida, , y desviación típica 2 horas. A partir de una muestra de 64

jóvenes se ha obtenido una media de 7 horas.

a) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la media poblacional .

b) Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar

la media de horas de sueño, cometiendo un error máximo de 0.25 horas?.



a) 2

1 0 '950 '975 1'96

2z

0'2 0'80 '03 1'96 682'95 683E n

n

b) El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


0 '25p

2

1 0 '990 '995 2 '575

2z


0'25 0'75 0 '25 0 '75. . 0 '25 2 '575 ,0 '25 2 '575 (0 '184;0 '316)

280 280I C

Se desea estimar la proporción de fumadores de una población mediante una muestra

aleatoria.

a) Si la proporción de fumadores en la muestra es 0.2 y el error cometido en la estimación ha

sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95%, calcule el tamaño mínimo de la

muestra.

b) Si en otra muestra de tamaño 280 el porcentaje de fumadores es del 25%, determine, para

un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de

fumadores de esa población.

SOCIALES II. 2009 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN A



, 5'2, 5'2,0 '125

N N Nn


z

2

1 0 '970 '985 2 '17

2z


. . (5 '2 2 '17 0 '1) (4 '983;5'417)I C

b) 2

1 0 '960 '98 2 '055

2z

20'5 2'055 0'5

0'5 2'055 4'22 50'5

E nn

El tiempo que se tarda en la caja de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley

Normal con media desconocida y desviación típica 0.5 minutos. Para una muestra aleatoria de

25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5.2 minutos.

a) Calcule un intervalo de confianza, al nivel del 97%, para el tiempo medio que se tarda en

cobrar a los clientes.

b) Indique el tamaño muestral mínimo necesario para estimar dicho tiempo medio con un

error máximo de 0.5 y un nivel de confianza del 96%.

SOCIALES II. 2009 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN B



2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


1180 '236

500p

2

1 0 '930 '965 1'81

2z


0'236 0'764 0'236 0'764. . 0 '236 1'81 ,0 '236 1'81 (0 '202;0 '27)

500 500I C

b)

0'236 0'7641'81 0'034

500E

Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores

de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118

afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%,

a) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera.

b) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.

SOCIALES II. 2010 JUNIO. EJERCICIO 4 OPCIÓN A


a)

4500 personas 2000 hom bresx 60 hom bres

135 x

4500 personas 2500 mujeresx 75 mujeres

135 x

La muestra debe estar formada por 60 hombres y 75 mujeres.

b) La media de las medias muestrales es la misma que la media de la población, luego:

6 8 11 a10 '3 a 16 '2

4

a) En una población de 2000 hombres y 2500 mujeres se quiere seleccionar una muestra de 135

personas mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿cuál sería la

composición de la muestra?.

b) Dada la población { 6, 8, 11, a }, ¿cuánto debe valer a sabiendo que la media de las medias

muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 10.3?

SOCIALES II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A



2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


50 1

350 7 p

2

1 0 '980 '99 2 '33

2

z


1 6 1 6

1 17 7 7 7. . 2 '33 , 2 '33 (0 '0993;0 '1863)7 350 7 350

I C

b) Si, ya que 2

0 '133 (0 '0993;0 '1863)15

De una muestra aleatoria de 350 individuos de una población, 50 son adultos.

a) Calcule un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de adultos de esa población.

b) ¿Puede admitirse, a ese nivel de confianza, que la proporción de adultos de esa población es

2

15?.




2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n


2000 '4

500 p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z


0'4 0 '6 0 '4 0 '6. . 0 '4 2 '17 ,0 '4 2 '17 (0 '3525;0 '4475)

500 500

I C

b) 2

1 0 '990 '995 2 '575

2

z

2

2

0'2 0'8 2'575 0'2 0'80'05 2'575 424'36 425

0'05

E n

n

Se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político mediante una

muestra aleatoria.

a) Si de una muestra de 500 personas 200 dicen que lo votan, calcule con un nivel de confianza

del 97% un intervalo para la proporción de votantes a ese partido en la población.

b) Si la proporción de votantes en otra muestra ha sido 0.2 y el error cometido en la estimación

ha sido inferior a 0.05, con un nivel de confianza del 99%, calcule el tamaño mínimo de dicha

muestra.




, 0 '3, 0 '3,0 '0425

N N Nn


z

2

1 0 '940 '97 1'88

2

z


. . (0 '3 1'88 0 '04) (0 '2248 ; 0 '3752) I C

b) 2

1 0 '900 '95 1'645

2

z

20'2 1'645 0'2

0'05 1'645 43'29 440'05

E n

n

Se sabe que el tiempo de reacción a un determinado estímulo se distribuye según una ley

Normal de media desconocida y desviación típica 0.2 segundos.

a) Observada una muestra aleatoria de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral de 0.3

segundos. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de

confianza del 94%.

b) A un nivel de confianza del 90%, ¿cuál será el tamaño muestral mínimo si el error cometido

es inferior a 0.05?.

SOCIALES II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN B



, 6 '85, 6 '85,0 '0649

N N Nn


z

2

1 0 '960 '98 2 '055

2

z


. . (6 '85 2 '055 0 '06) (6 '7267 ; 6 '9733) I C

b) 2

1 0 '980 '99 2 '33

2

z

20'42 2'33 0'42

0'125 2'33 61'29 620'125

E n

n

Luego, no es suficiente el tamaño de la muestra.

En los individuos de una población, la concentración de una proteína en sangre se distribuye

según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0.42 g/dl. Se toma una muestra

aleatoria de 49 individuos y se obtiene una media muestral de 6.85 g/dl.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 96%, para estimar la concentración media de la

proteína en sangre de los individuos de esa población.

b) ¿Es suficiente el tamaño de esa muestra para obtener un intervalo de confianza, al 98%, con

un error menor que 0.125 g/dl?.



a) 2

1 0 '980 '99 2 '33

2z

111 2 '33 656 '89 657E n

n

b) Las muestras posibles son:

(10,10) (10,12) (10,17)

(12,10) (12,12) (12,17)

(17,10) (17,12) (17,17)

Construimos la tabla para las medias muestrales:

x f x f 2x f

10 1 10 100

11 2 22 242

12 1 12 144

13’5 2 27 364’5

14’5 2 29 420’5

17 1 17 289

9 117 1560

Media = 117

139

i i

i

x f

f

Desviación típica =

2

2 2156013 2'08

9

i i

i

x fx

f

a) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media

desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra

aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1

cm, con un nivel de confianza del 98%.

b) Dada la población {10, 12, 17}, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo

aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.

SOCIALES II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B


a)

1000 250 10 100040

10 250x

x

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2z

61 1'96 138'29 139E n

n

a) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200.

Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10

individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra?

b) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación

típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del

95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg.

SOCIALES II. 2011 JUNIO. EJERCICIO 4 OPCIÓN B


a)

2

1 0 '940 '97 1'885

2z

La media es: 5274

146 '536


7. . 146 '5 1'885 (144 '30 ;148'69)

36I C

b)

71'5 1'885 77 '38 78E n

n

El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria

Normal con media y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han

dado un peso total de 5274 gramos.

a) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media .

b) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como

muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?



a)

2

1 0 '970 '985 2 '17

2z


0 '04. . 1'73 2 '17 (1'7188 ;1'7412)

60I C

b)

0 '040 '04 2 '17 4 '70 5E n

n

Se sabe que la estatura de las personas de una población es una variable aleatoria que sigue

una distribución Normal cuya desviación típica es 0.04 m. Para estimar la media de esta

variable se ha tomado una muestra aleatoria de 60 personas de esa población y se ha

encontrado una estatura media de 1.73 m.

a) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel del 97%, para la media de la distribución de

estaturas.

b) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población, para que la amplitud

de un intervalo de la media con este nivel de confianza sea inferior a 0.08 m.




6'2 ; 6 '2 ; 0 '225

N N

b)

6 6'2 6 '6 6 '2

(6 6 '6) ( 1 2) ( 2) 1 ( 1)0 '2 0 '2

0 '9772 1 0'8413 0'8185

p x p z p z p z p z

En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de

media 6.2 puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de

tamaño 25.

a) Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 25.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas

muestras esté comprendida entre 6 y 6.6 puntos?.




, 70, 70,84

N N Nn

b)

65 70 72 70

(65 72) ( 0 '625 0'25) ( 0 '25) 1 ( 0 '625)8 8

0'5987 1 0'7324 0'3311

p x p z p z p z p z

c)

70 70( 70) ( 0) 0 '5

8p x p z p z

El peso de los adultos de una determinada población sigue una distribución Normal de media

70 Kg y desviación típica 16 Kg. Si elegimos, al azar, muestras de tamaño 4,

a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido

entre 65 y 72 Kg?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70 Kg?.



a) Como el nivel de confianza es del 95%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '950 '975 1'96

2z

Calculamos la media: 1'2 0 '9 1 1'2 1'1 1 0 '8 1'1

1'03758


0 '25. . (1'0375 1'96 ) (0 '8643 ; 1,2107)

8I C

b)

0 '251'96 0 '1732

8E

c) Si aumentamos el tamaño de la muestra, en la fórmula del error aumenta el denominador y, por lo

tanto, disminuye el error. Luego, la amplitud sería menor.

Con el fin de estudiar el peso medio de los perros recién nacidos de una determinada raza, se

tomó una muestra en una clínica veterinaria y se obtuvieron los siguientes pesos, medidos en

Kg: 1.2 0.9 1 1.2 1.1 1 0.8 1.1

Se sabe que el peso de los cachorros de esta raza se distribuye según una ley Normal con

desviación típica 0.25 Kg.

a) Obtenga un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, al 95%.

b) Halle el error máximo que se cometería usando el intervalo anterior.

c) Razone cómo variaría la amplitud del intervalo de confianza si, manteniendo el mismo nivel

de confianza, aumentásemos el tamaño de la muestra.




50 ; 50 ; 116

N N

b)

47 '5 50 52'5 50

(47 '5 52'5) ( 2 '5 2 '5) ( 2 '5) 1 ( 2 '5)1 1

2 ( 2'5) 1 2 0'9938 1 0'9876

p x p z p z p z p z

p z

Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de

tamaño 16.

a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral.

b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47.5 y 52.5?.

SOCIALES II. 2011 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4 OPCIÓN B

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