I . r!

DERIVADA

Derivada de una función en un punto. Tasa de variación media

f (xo+ ! t

Sea la función y: (x) y A(x6, f(x6)) un punto

de la gráfica de la función.

Si modificamos en un valor h (incremento de x)

el de la variable independiente, ésta pasa a valer

xo*h y el puntocorrespondientede lagráfrca,

B , tiene una ordenada que valdrá f(xs+ h).

x o + h

* Se define la tasa de variación media de (x), en el intervalo ( xe, xo* h), (cociente incremental),

al cociente entre el incremento de la función y el de la variable independiente en dicho intervalo.

Así,

v - l(x)IB t , ,

/ L y - l { x o + h ) - l ( x o )

(x o) At/

TVM= AY _h

f (xo + h) - f (xo )

* El valor del límite de este cociente cuando h -+ 0 recibe el nombre de tasa de variación puntual

de f(x) €n Xs, o derivada de f(x) €f l Xs, y se representa como f ' (xo):

f ' ( x ^ ) : l i m 4 I : t ¡ t f ( x o + h ) - f ( x o )

h + 0 l ' ¡ h - O h

"La derivadade unafunción f(x) en un punto xo ( f ' (xo)) es el l ímite delcociente entreel

incremento de la función y el de la variable independiente cuando este último tiende a cero"

* Interpretación seométrica:

i v - (x ) . ' sI

f (x^+ h) l B l . ' "

Por lo tanto, f ' ( x n ) : l i m

" h + 0

* El cociente incremental 4I es la pendiente de la rectah

s , secante ala gráfrca y = (x), definida por los puntos:

A ( x o , f ( x o ) ) y B ( x s + h , ( x ¡ + h ) ) d e l a m i s m a .

* Ello será cierto, independientemente deltamaño de h.

* Cuando h -+0 , el punto B se acerca, por y = f(x), todo

lo que queramos a A , y en el límite definirá con A la

recta t, tangente a y = f(x) en A.

l im m, : f f i th + 0

Ay_h

"La derivada de una

tangente ala gráfica

función f(x) en un punto

y = f(x) en el punto A, de la

X 3 es la medida de la pendiente de la recta

misma, de abscisa xs".

. ¿

Ecuación de las rectas tangente )¡ normal a f(x) en un punto

Una vez definida la recta tangente a f(x) en A, llamaremos recta normal a (x) en A a la

perpendicular alatangente en el punto de tangencia, A .

Sus ecuaciones respectivas serán:

I A (xs , f ( *o ) )

I t , = f ' ( xo )

IA t *n . f ( xo ) )I

n= l Il l i l - :

I f ' ( xo )

= t : y - f ( x o ) : f ' ( x o ) ( x - x o )

= n = y - f ( xo ) : -=+(x -xo)I . ( x o

)

Derivadas laterales en un punto: Una vez definida la derivada como un límite, a los

correspondientes Iímites laterales se les llama derivadas laterales por la derecha y por la izquierda,

respectivamente, de f(x) en x s. Así:

f ( x o + h ) - f ( x o ). . ayf ' ( x ; ) : l i m

' J - l i mh + o * h n - o -

- . A y , , f ( * , + h ) - f ( x o )f ' ( - x n ¡ : l i m

- J - l i m \ u '

h > o - h ¡ - o h

Representan las pendientes de las rectas tangentes a f(x) a la derecha y a Ia izquierda de X 0 ,

respectivamente.

Por las propiedades de los límites, sabemos que para que exista "fl

lí*it" deben existir los dos

límites laterales y coincidir.

En este caso:

l ) S i f ' ( * ü ) = f ' ( x o ) - ) l f ' ( x o ) y

Ello significa que las tangentes laterales a (x) en xs

2 ) S i f ' ( x ü ) + f ' ( x n ) - + Z f ' ( x o )

Ello significa que las tangentes laterales a f(x) en x ¡

No existe una tangente única a f(x) en x e .

' , . 9 i x - )

I , +,: t,

' ¡ . 1 . . , ¡ , - -

t l -

"Los puntos de la gráfica de f(x) en los que la recta tangente tiene un cambio finito en su pendiente

carecen de derivadas"

f ' ( x o ) : f ' ( x ü ) : f ' ( x ó ) ( f i g . l )

coinciden (tangente única en x s ) .

( f ie.2)

tienen distinta pendiente.

+-\ f t '\ I í\¡^,

| -- \17 'r:

a \

I \, l/I \(

n',-n Í "1--¡l

t ',/,-/'

z' i-'I

Derivabilidad y continuidad:

Si una función tiene derivadas finitas en un punto x0, entonces es continua en dicho punto:

E n e f e c t o : s i f ' ( x i ) : k ' ( f i n i t o ) y f ' ( x o ) = k 2 ( f i n i t o ) ,

, . f ( x n + h ) - f ( x n ) , .l i m w ' ' r . - u l - k r = l i m [ f ( x 6 + h ) - f ( x s ) ] : l i m h ' k r : 0 =h + o + h ¡ + o + h - + o +

+ lim f(x ¡ + h) = (x e) ::) f(x) es continua a la derecha de x sh + 0 -

, . f ( * n - h ) - f ( x o ) , .trm ---i---i--------= : K2 =) l im [f(xs+ h) - f(xo) ]= l im h . kz:0 -

h + o - h n - o - h - + o -

+ Iim (xs+ h) = (xs) = f(x) es continua a la izquierda de xsh + 0 -

Si f(x) es continua a la derecha y alaizquierda de x6, f(x) es continua en Xs .

Ello significa que si f(x) tiene derivada en Xe , ha de ser continua en dicho punto.

Si f(x) no es continua en x 6 , crrr€c€ de tangente en dicho punto y por tanto también carece de

derivada.

Función derivada: Dada la función y = f(x), definimos una nueva función; llamamos función

derivadaprimeradef(x) ( f ' (xf ó y ') a laqueasigna acadavalor x elvalordeladerivada

de f(x) en dicho punto.

Se obtiene de la definición de derivada de f(x), obteniendo su valor en un punto genérico x en

lugar del punto concreto x¡ .

A s í f ' ( x ) = y ' : l i m f ( x + h - ) - f ( x )

' h - o h

Para obtener elvalor de la derivada de (x) en un punto concreto xe, bastará sustituir x por Xs,

en la expresión de la función derivada f '(x) .

Si consideramos f '(x) como una función, su función derivada recibe el nombre de función

derivada segunda de f(x) ( f"(x) ó y " ).

Su función derivada ( f "'(x) ó y "') será la función derivada tercera de f(x), y así podemos

seguir sucesivamente, mientras la función sea derivable.

Reslas de derivación. Derivadas de las funciones básicas

Las reglas de derivación son métodos, basados en la definición de la derivada, para poder obtener

las derivadas de los distintos tipos de funciones, sin necesidad de referirnos a dicha definición.

4

* Derivada de Ia función compuesta y : f (u(x))

, , . f ( u ( x + h ) ) - f ( u ( x ) ) , . , f ( u ( x + h ) ) - f ( u ( x ) ) u ( x + h ) - u ( x ) .t r r ¡ ¡ ¡ . . , . . |

- - |' h+0 f i t r+o -

u (x + h ) - u (x ) h

, . f ( u ( x + h ) ) - l ( u ( x ) ) , , u ( X + h ) - u ( x ): l r mh + 0 u ( x + h ) - u ( x ) l r + 0 h

Si u (x ) esde r i vab le , se rácon t i nuaen x - l g t u t *+h ) -u (x ) l : , l im Au :0 l uego ,

( t )+ y ' : l im f ( u ( x )+ ¡u ) - [ ( u ( x ) )

r im ] : f , l . r lh + 0 A U h + 0 h

'

"La derivada de la función compuesta f (u(x)) es el producto de la derivada de f respecto de u

(como si u fuera la variable independiente) por la derivada de u respecto de x ".

x Derivada de la función constante y : k:

Y= i<

f ( x+h ) - f ( x ) , . k - kf ' t x ) : l im ' ' ' : t rm - : l im0=0

h + 0 h h + o I h + 0

La gráfica de la función constante es una recta

horizontal.' L t

"La derivada de cualquier constante es siempre cero".

* Derivada de la función identidad y: x:

f ( x + h ) - f ( x ) : t i m ( x + h ) - x : l i m . [ : , , _ , : , .r ( x ) : ' l T l -

[ h + o f ¡ t r + o [ ¡ h + o

" S i y : " , Y ' : I "

* Detivada de la función logarítmica y : L x:

- t f ( x + h ) - f ( x ) : l i m L ( x + h ) - L x :

l i m f l I _ f * * h l l :

r ( x ) : ; ' i l - f i n - o h h - o ' h \ x ) '

: r imr l l .Lfr+I l r : r ¡mi l . t ( t*¡) l ' : l . r ¡ ' r f ' * ' )X :h + o ' ¡ h I x ) ' h + o ' ¡ \ x / x h + o I r / t r , l

: t L . :

t .X X

I" S i y : L X , Y ' :

j - " .

"S i y : L ( u ( x ) ) . y ' : I ' u ' " .u ( x )

5

* Derivada del producto de una constante por una función y: k ' f(x):

Tomando logaritmos neperianos Ly : L k + L f(x)

Der i vando 1 ' y ' : g * - l ' f ' ( x )

= y ' : y + ' f ' ( x ) : k f 11 * i + ' f ' ( x )y f(x) - f(x) f(x)

Y ' : k ' f ' ( x )

"La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la

función ".

* Derivada del producto de dos funciones y = f(x) ' g(x):

Tomando logaritmos neperianos Ly : L (x) + L g(x)

Der i vando I ' y ' : + ' f ' ( x ) * - ] - ' g ' ( x )y t (x) g(x)

. [ f ' r * ) s ' ( x ) l ^ [ f ' r * ) s . ' ( x ) - ]v ' : \ , . 1 ' + " ' l : t ( x ) . s ( . \ ) ' l ' + " ' I

I f (x ) e(x) I L f (x) s(x) .1

y ' : f ' ( x ) ' g (x ) + f (x ) ' g ' (x )

" La derivada del producto de dos funciones es la suma de la derivada del primer factor por el

segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo".

* Derivada del cociente de dos fünciones ,: f!*]

,- c(x)

Tomando logaritmos neperianos Ly : L f(x)-L g(x)

D e r i v a n d o I

u ' - I ' f ' ( x ) - I ' q ' ( x )

y -

f (x ) s (x ) -

_ , _ . Ir '(*) g'(x)-l _ f.txf Ir ' t*) g(x) - g'(x) f(x)-l) - Y Lr. l

- *(.) l- s(-) L JG)s(-) l

. , _ f ' ( x ) g ( x ) - g ' ( x ) l ( x )' -

(tt.')'

"La derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador sin

derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo ello dividido por

el cuadrado del denominador".

* Derivada de la función potencial y: xn

Tomando logaritmos neperianos Ly : n' Lx

D e r i v a n d o 1 '

y ' = n ' I = Y ' : n ' ! ' t n - n x n - ly x x

t t S i y = X n , y t : ¡ 1 ̂ n - l r r .

" S i y : u n , y ' : n u n - l ' r r " .

' Casos particulares :

- S i y : sen x :

Y= x t t 2 : J ; _+ , ]y , : - X' 2

IS l n : - .

2 '

:J ; -+

:Ju -+

, lY : - , .

X -

, IY: - ) u

u -

¿ N X

S i

S i

' S i n : - 1 ,

Iv: - --)

X

Iv: - -+

u

Si

S i

J - '

24xI

Y : -----_ u- ^ l

z i u1

l ¡Y: x --)

X

s e n ( x + h ) - s e n x

hh

cos (f+ ^ ) ' sen;

, y : c o s x , y : t g x :

^ 2 x + h hr, cos sen

: t imh + 0

. , r - |J

- - r^ 1

x - t : - - 1X '

* Derivada de la función exponencial y : a * (a > 0) :

Tomando logaritmos neperianos Ly : x' La

D e r i v a n d o 1 ' y ' : L a - + y ' : y ' L a : a ' L a :v

Si y : a* - - ) y ' : a* L ,a .

S i Y = a t ' - ) y ' : a u ' t ' ' L a

' Caso particular : S i a : € * + y : e x - ) y , : { . L e : e * :

S i Y : e x - + Y ' : e " '

S i Y : e u - ) Y ' : e u ' u ' '

* Derivada de las funciones trigonométricas y : sen x

Y': JTl

: l imh + 0 hl2

Z : l ¡ * cos (x* l l . ¡ ¡ , - -2 =l imh + 0 2 ' h + o h l 2

hsen

lt ": l i 1cos(x - \ t l : cosx :

S i y : senx -+ y ' : cosx .

s i y : senu -+ y ' : v ' ' cosu '

- S i y : cosx : sen ( ] - " )' 2

l n \ l Ty ' : i i - * l cos ( i - * ) : - l ' senx : - senx :

\ z ) z

S i Y : c o s x - + Y ' : * s e n x

S i Y : c o s u - ) Y ' : - u ' ' S e n u

SCN X- 5 r Y : t gCOS X

_. , _ (sen x ) ' cos x - (cos x ) ' sen x _t ' l

COS- X

cos2 x + sen2x

cos2 x: -+ : sec2x = 1+ tg2x :

COS_ X

- + : s e c 2 x : l + t g 2 xcos' x

- ) y ' : -+ . u ' : u ' . sec2u : u ' . (1+ tg2u)cos- u

- Si y: cotsx : tsf * -

" l

( , \ I Ia l s e r l * - " 1 : - t - + y ' = - 1 _

: - . ) : - c o s e c ' * = - ( 1 + c o t g 2 x ) :\ 2 ) cos r t J_ * ) sen ' x

S i y : co tgx - ) y ' : - - + : - cosec ' * : - ( 1 +co tg2x ) .S E N - X

S i y = c o t g u - + y ' : - - + ' u ' : - u ' ' c o s e c ' x : - u ' ' ( 1 + c o t g 2 x ) .sen-u

* Derivadas de las inversas de las funciones trigonométricas:

- S i y : a r c s e n x - > x : s e n y :

Der ivando 1 :y ' cosy = y ' : 1 :+cos y ,,ft lr"nrv J 1- I

Si y: arc sen x -+ y '

Si y: arc sen u -) y '

- S i y = a r c c o s x - ) x : c o s y :

S i y : t g x

S i y : t g u

r "r /1 -x '

t ,: - . l l

r . -r/ I - u'

Derivando

Si

S i

- S i y = a r c t g x

Derivando

Si y = a r c t g x - + y

y : a r c t g u - ) y

l : - y , sen yseny J l -*J y f i=

y : arc cos x -->

y : arc cos u --)

- + x : t g y :

l : ( l + t g ' y ) ' y '

. 1r ¡ ' = -J r - .

r / l - x 'I

, lt / : _ - . l IJ r--------: "

r l l - u '

, l l- ! : - :' r

1 + t g 2 y l + x 2

' = |

1 + x 2

II:

" . ul +u 'S i

EJERCICIOS

Derivada

l . - Apar t i rde ladef in ic ióndeder ivada,ob tener lasder ivadasde y :x -1 . y : J . - ¡ . V

2.- Estudiar la derivabilidad de las funciones sisuientes:

r( .) :J * ' s i x <' , ,*) =f * ' * ]l 2 * - l s i x> l l 3 - * '

(^): | "-21 f(-) : | * ' - t l

3.- Derivar y simplificar (en la medida de lo posible) :

Y : x L x - l

y - eJlx

LxX

Y:LI

y: arc sen -X

s i x < - l

s i x > - l

1+xy: arc tg -- -

l - x

Ir , ,(* l : j "

- '

I x + l

SI

si

x < l

x > l

1 ^ )y : x ' y=3x ' - 7x+1I x 2 + 1

Y : .' x ' - l

- x - l

y : L c o s x y : s e n e * y : L x ' , e n * 'y = x 2 L Q - x )

u: ,-f ,"- -t ' l"

[ e . + l ]

y=x + a2 arc sen

4.- Halla la recta tangente a: a)

9.-

10 . -

11 . -

x n -"*.y: arc t"n

6; y: arc tg{

l + cos x

x + l, e n x o : + b ) ( x ) : * e l l " e n x ¡ : 1 .

{ x

y - e - x 2 + 2 * * 1 " n

X o = l .

X

a

f(x) =

5.- Ecuación de la tangente y normal a

f

Í d e m c o n Y : e - x ' + x + l

6 . - E c u a c i ó n d e l a t a n g e n t e a y = x L x , p a r a l e l a a 2 x - y - 5 : 0 .

7 . - S i f ( x ) : * 3 - 3 x 2 . H a l l a r l a t a n g e n t e p a r a l e l a a 3 x * y - 5 : 0 .

8.- Si f(x) : Lx ¿tangente a la curva, paralela a la recta que pasa por los puntos de la curva x: I y

x=e?

Tangen tesu y : J r .n5x en x : x f6 ya y : L tg2x enx : n /8 .

Tangentes a y=x2 desde P(2,3).

Determinar m para que la tangente a y :

perpend icu la ra y : mx.

en el punto de abscisa x: 4 sea

x + l

v : r l zx2-7x+1