VARIABLES ESTADISTICAS BIDIMENSIONALES (V.E.B)

Una variable estadística bidimensional (X,Y) es el resultado de la medida de doscaracterísticas cuantitativas X e Y, en los individuos de una población.Las variables estadísticas bidimensionales se representan por el par (X,Y), donde X toma losvalores Xl, X2, . . ..xn que toma en la población el primer carácter estadístico, e Y los valoresque toma el segundo.Representando los pares en un sistema de ejes caftesianos, se obtiene un conjunto de puntossobre el plano que llamaremos diagrama de dispersión o nube de puntos.

TABLAS ESTADÍSTICAS BIDTMBNSIONALES

Los datos de las variables estadísticas se ordenan en tablas

1) TABLA SIMPLE

2) TABLA SIMPLE CON FRECUENCIAS

J) TABLA DE DOBLE ENTRADA

PARAMETROS ESTADISTICOS EN UNA V.E.B.

1) MEDTASF tx , F t ,x ,

_ . _ L ¿ | l _ L ¿

| |^-;r , - N

Tr"/ J ' t J I

Nv

\ - { . . ,[ L i J t-Tr

f r 2 . . . . . . . . . . f i n

Yr" l/ 2 ' t J I

N

2) DESVIACIONES TÍPICAS

3) COVARIANZA

CORRELACION

Es la relación o dependencia estadística entre dos variables que intervienen en una V.E.B.

Puede ser lineal o curvilínea, según la nube de puntos se condense en torno a una líneao a una curva.Puede ser directa (positiva), cuando a medida que crece una variable, crece también laotra, o inversa (negativa)La correlación es funcional cuando existe una función que determine uno de loscaracteres si se conoce el otro.

Curvilínea positivaDébiI

F f ,x ,y ,t * r=

t -K.Y

Lineal positivaFuerte

Lineal positivaFuncional

urviiínea positivaFuncional

Curvilínea positivaFuerte

RECTA DE REGRESIÓN

Es la recta que mejor se ajusta a una línea de puntos.En función del criterio de definición, se puede hablar de la recta de regresión de Y sobre X :

S * , ,y_y= , ( x_x )s ;

o de la recta de resresión de X sobre Y :

s _" x Y /x -x=- ; ( y -y )s ;

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

r= s * '

- 1< r< ls *s ,

Mide el mayor o menor grado de dispersión de la nube de puntos respecto de la recta deregresión

Si las correlación es positiva, r ) 0, y será más cercana a I cuanto más fuerte sea.Si la correlación es negativa, r ( 0, y será más cercana a -1 cuanto más fuerte sea.

1) Si I t I se aproxima a l, las rectas de regresión prácticamente coinciden .Tienden a separarse, tanto más, cuanto más se aleja I r I de 1

2) Si I r I se aproxima a 1, las rectas de regresión permiten estimar con poco riesgo de eror,el valor de uno de los caracteres estadísticos en función del otro.

SUCESOS ALEATORIOS _ PROBABILIDAD

1) EXPERIMENTO ALEATORIO

2) SUCESO

f Unión (u)I

3) OPERACIONES J

Intersección(n)

lCont ra r io (A)

4) FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA

I 0< f r (A)<1Il f r (E)=1; f t (O) :0

ISl a n B=0; f r (A ur B) : f r (A)+f r (B)

5) DEFINICIÓN INTUITIVA DE PROBABILIDAD p( A ): l im fr(A) =

lo=ofA)<1AXIOMAS I P ( E)= l ; P (0 )=0

l i ' onB=0, p(AuB):pqA)+(B)

REGLA DE LAPLACE

Si los sucesos son equiprobables p(A):ffi

TEOREMAS

Teoremadel contrar io: P(Á): l -P(A)

Teorema de la unión: p(A u B)=p(A)+p(B)-p(A n B)

PROBABILIDAD CONDICIONADA

p( A n B)D(A/B t :4 - p (AnB)=p(A) .p (B i A ) = p (B) .p (A /B)

p( B)

Sucesos independientes: { t l i1 l ] : t ! i ] = p(A n B)=p(A).p(B)I p t B/A) :p(B)

PROBABILIDAD TOTAL

FORMULA DE BAYES

P(A, /B ¡ : P (A ' nB) - P (A ' ) 'P (B /A ' )p (s ' ) p (B)

NORMAL

VARIABLE ALEATORIA

Si asociamos a cada suceso elemental de un experimento aleatorio, un número real, ésterecibe el nombre de variable aleatoria asociada-al experimento.

Puede ser: l) DISCRETA, cuando los posibles valores de la variable son finitos

2) CONTINUA, cuando los posibles valores de la variable son infinitos

Estudiaremos de forma especial la variable discreta binomial, y la variable continua normal.

VARIABLE DISCRETA BI|{OMIAL X B(n,p)

Supongamos la repetición n veces, de un experimento aleatorio, con dos posibles resultados,dep robab i l i dad f i j a p y 1 -p=qLa variable binomial representa el número de veces que se verifica el resultado al queasignamos la probabilidad p, y que etiquetaremos como ,,éxito,,

Si un jugadoracierta el80%o de los tiros que realiza,ylanza l0 veces, el número de aciertoses una variable binomial, con n = r0 y p = 0,g -+ X B(r0, 0,g)

La,probabilidad de que se produzcan r éxitos, de n pruebas, con p probabilidad de éxito encaOa una de el las es:

MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE LA VARIABLE BINOMIAL

La media mide el número de éxitos obtenidos, por término medio, si la prueba se repitemuchas veces.Es el número de éxitos que puede esperarse, por término medio.Su valor es : p=n.p

p(x= , )=(" )p, t l -p) , ' - ,= I n . ) .0 , .0 , , - ,

\ r / \ . r / '

El caso pafticular, de obtención de 0 éxitos, tiene una probabilidad p( "

: 0 ) : qn

La desviación típica de la variable será: o=Jnpq

VARIABLE CONTINUA NORMAL X N (p,o)

Muchas veces el valor de una variable aleatoria depende de gran cantidad de factores quetienden a compensarse entre sí. En ese caso decimos que la variable aleatoria se distribuye deforma normal.En este caso los valores de la densidad de población son máximos en los alrededores del valormedio ( tt ) V van disminuyendo a medida que los valores de la variable se alejan de éstos.

Se demuestra que la curva de densidad, sigue la llamada campana de Gauss :

Esta curva tiene un máximo en el valor medio ¡-r de la variable y dos puntos de inflexiónsituados a una distancia de o (desviación típica) de dicho valor medio.

La probabilidad de que un individuo de la población tenga como valor de la variable unacantidad comprendida entre xr y xz . p( xr ( x ( x, ). es el área que la campana de Gaussencierra entre dichos valores v el eie OX

p(x r I * . ^ r )

Los cálculos de probabilidad se realizan apoyándonos enZ N( 0, I ), llamada normal estándaro tipificada, a partir de una tabla.

Para ello 1) Habrá que tipificar los valores de x

x-uo

2) calcular las probabilidades a partir de los valores de z obtenidos.

Nota

Si X B( n, p ) es una variable binomial, en la que np y nq se alejan significativamente de 5,los cálculos de probabilidad en la binomial se hacen imposibles en la piáctica.Sin embargo se observa que los valores de la probabilid;d binomial sÉ aproximan a los quetoma la normal de igual media y desviación típica:

X'N( np , . /npq ;

Utilizaremos esta última variable para calcular las probabilidades asociadas a las variablesbinomiales "srandes"