PRIMITIVA DE LTNA FTINCION

* Dadas dos funciones F(x) y f(x) que están relacionadas por la igualdad F'1x¡ : f (x) ,

diremos que:

i) f(x) es la función derivada de F(x).

2) F(x) es un4 función primitiva de f(x).

Dec imos una,porques i F(x ) es f .p . (p r im i t i va) de f (x ) , también loserá F(x )+C, VCe f r ;

por ello, al sumar una constante cualquiera a una primitiva de f(") obtenemos otra función

primitiva de f(x).

Además, si o (x) es f. p. de f(x) = o'(x) = f(x) I| = @'(x) - F ' (x) : [o (x) - F (x) ] '= 0

si F (x) es f. p. de f(x) + F'(x) - f(x) )

= O (x)-F (x) : C (constante).

Es decir, dos funciones primitivas de (x) se diferencian únicamente en el valor C de una

constante.

Al conjunto de todas las funciones primitivas de (x) se le llama " primitiva general de (x) " o

"integral indefinida de f(x) " , Que se simboliza como [f1*¡ a* ( se lee " integral indefinida de

fde x diferencial de x ").

rendremos pues que Jrr*ra* : F(x) + c con I llil,l;"t"H:".,"

!

Por lo tanto siempre que F'(x) : f(x) , tendremos que [f1*; O* : F(x) + C .- J

E j e m p l o ; S e a n ; F ( x ) : x 2 y f 1 x ¡ = 2 x

Como, F ' (x ) :2x : (x ) + [ t { * ¡U* : F (x ) *C; esdec i r :

[ z * ¿ * = x 2 + c .J

* Propiedades: Las propiedades de las integrales indefinidas se obtienen, por lo tanto, de las

propiedades de las funciones derivadas, sin más que escribirlas en forma integral. Así:

.De IFrx)+G(x) ] ' : F ' , (x )+ G ' , (x ) - J [ t r . t+g(x¡ ]dx : f t , - 'ax+Jetx ldx

. De I k Ftx) ] ' : k F'(x) = [ [r . r1*l ]a* : r . [r t* l a* .J -

' J

2

Tabla de primitivas o de integrales inmediatas: Llamaremos integrales inmediatas a las

funciones derivadas fundamentales. expresadas en forma integral.

Jo* = **c¡ r l

I x " dx - ^ +C

J n+ l

i1 ¿*= L lx l+cJ x

I I

| . u " d * = u* *cJ L a

J. ' A* = e* +C

J"or* dx : senx+C

Jr"n* dx : - cosx*c

[ f - dx = rgx +CJ cos - x

f - ! dx = -c tsx¿c '. , sen-x

l'-+ dx = arc sen x + C' V l - x '

f l

J ¡ * ¡ dx = a r c tgx+c

Ju'ar : u+C

I u n * l

J u ' un dx :

; . , .C . pa ra n É - l

| . {¿*=L lu l+cJ u r l

| . r ' ' u " d x = a + C 'J L a

J r ' ' " ' dx : eu +C

Jr , ' ' "o ru dx : senu*C

Jr . r ' ' r " r ru dx : - cosu*C

l ' -+dx=tsu+C.r cos- u

t -+ dx = -crsu+C. , s e n - u

I#F dx = arctgu+c

Integral definida

* Definición : Supongamos una función f(x) > 0 y continua en [a, b]. Su gráfica, el eje OX

y lasver t i ca les x :a y x :b fo rmanunrec in to

cerrado. Intentemos calcular su área (S).

Para simplificar el esquema, supongamos que f(x)

es creciente en [a, b] , y subdividamos [a, b] en

"n" subintervalos que, también para simplificar,

haremos de anchura constante ¡ : b -a obtenién-

n1 x ' l L t

d o s e l o s p u n t o s X o : B , X 1 , X 2 t . . . ¡ X n - 1 , X ¡ : b .

Consideramos el valor que toma la función en dichos puntos y planteamos la suma:

n - l n - l

Jl ',,., o,.. , h: IF {x )J " : F (b ) - F (a )

Sn : f ( xs )h+ f ( x r )h+ . . . + ( x , - 1 )h : I f 1x ¡ ¡h I f ( x ¡ ) dxi = 0 i = 0

que representa la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en el recinto, según la definición.

Cuando n-+ oo <) h-+ 0 , definiremos "intuitivamente" el área ( S ) del recinto

propuesto como:

n - l n - lS : . l im^ S " : . l im f f 1x ¡ )h . l i . ^ | f t x ¡ ¡ dx

h ) u n + U i = 0 n + U i = 0

A este r"t", ol-, .. ," ;; integral definida o]-n, * entre a y b y se simbolizaa lt h

c o r n o I - f ( x ) d x .Ir a

El área buscada, por tanto, puede expresarse como S : f b

f1*.¡A* .J a

f t"Si f(x) > 0 y continua en [a, b] =

l" ftx)Ox define y calcula elárea S del recinto

r a

establecido"

* Regla de Barrow: Barrow demostró que:

Si f(x) es continua en [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x) , entonces:

* Propiedades: Puedén demostrarse, a partir de la definición, las propiedades siguientes:

f ' t r rx)+e(x)] dx : fn t ,*)dx + fo er* la*J a J u J u

fnu r (x )dx : k [n t , ^ ,0* .J a J a

'tJ-;, '*1 .'t-;, f." '+ .b

Jo rt*l a"

Jo rt*l o*

* Area comprendida entre dos funciones: Supongamos querer calcular el área encerrada por f(x)

y g ( x ) e n t r e x : a y x = b .

Distinguiremos dos casos:

. a) f(x) > g(x) / Vx e [a,t] = de la definición

f x f h f h .A = lu f ( * )¿* - l " g (x)o* : l " I r tx l -s (x ) ]dx

J a J a J a

" Si una función se encuentra "por encima" de la otra

vx e I a, b] , el área comprendida entre ambas es la

=fJj r,", o.

. t,,,,0" .

I: f(x)dx

integral definida entre a y b

que toma valores menores en

de la diferencia de la función que toma valores mayores (f(x)) y la

[a, b] (g(x)).

. b) Si la posición relativa de las funciones cambia en

[a, b] , se divide [a, b] en subintervalos en los que

se cumpla la condición a).

Así:

^ : f; I r(*)- g(x)]dx. J: te(x)- r(x)ldx

EJERCICIOS

Integral

l . f ( "+e*¡dx

Jfz* * 3)2 dx

J#i.*f, ,

- sen rm) dx

It'¡0,.

Jz,,' a*

Je'r*J*"-*t a*

fx+t) 'ox

I*0"

J *'' a* fJlto.

Jfa.

!¿"X

5) dx

2z* d*

* d x

y '= *

Y =x -2

dx

II

sen x e"ott dx

"o .21* ' * l ¡

sen x dx

Jcos (z* +

j.o, z* r"of*

+ cos 2nx) dx

I*P2.- Si f" (x) : 6 x- 6, hallar f(x) si sabemos que pasa por A(2, - 4)y B(1' - 2)'

_ x

3.- Si ftrl: -l- , hallar laprimitiva que pasapor P(0, 1).. Y

e ' + l

4.- lntegral definida:

5.- Área limitada por

6.- Atea limitada por

L- Arealimitada por:

iv=* '1-l y=x

¡ l , f l

Jo x 'dx Jy : - x ' +2 * ye le j eoX .

y :3x2 -x3 ye le j eOX.

J,"IJ

8. -

9.-

f u t =* [ y= - *2 *4* l y '= *

t;=. lr:*t-r* lr=-*

f r=* ' -Zx+z fy=x4

] la tangent€ €t X = 3 I la tangent€ €il X = I

I eje ox leje ov

! = x 2

sus tangentes desde P(0, - 1)

Área limitada por:

Área limitadu oo.,{