NIVELACIÓN MATEMÁTICA

Manual del Alumno: Resolución de Problemas

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2015

2 Nivelación

PRESENTACIÓN

Estimado alumno:

Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelación

matemática para el alumno Inacapino. Éste será el documento guía de la asignatura de nivelación

correspondiente y te servirá como apoyo paralelo a la asignatura que cursas.

Debes tener presente que para aprender matemática debes ejercitar siempre, pero además, debes

comprender lo que ejercitas. Por esta razón, este primera asignatura será de resolución de problemas, con

el objetivo de que el énfasis se realice en el razonamiento, más que en los cálculos (para ello podrás utilizar

calculadora).

En esta asignatura revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente,

otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y

procedimientos más importantes de la unidad.

Al finalizar esta asignatura, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolución de

problemas utilizando las representaciones que estimes necesarias y, por supuesto, tu calculadora.

3 Nivelación

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Esta asignatura contribuye a que puedas: Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias matemáticas relacionadas con aritmética y operatorias algebraicas, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Materiales: Manual de nivelación para el alumno. Calculadora. Bibliografía.

Tiempo: 6 horas pedagógicas.

Clase 1

El objetivo de esta clase es que puedas apropiarte de la estrategia para resolver problemas que te

presentamos. Esto considera que comprendas los cuatro pasos que te proponemos y que los apliques en

cada uno de los ejercicios y problemas que debas resolver.

Pasos para resolver un problema:

1° Leer y comprender

• Leer el enunciado del problema.

• Identificar datos y pregunta del problema.

2°Proponer y fundament

ar

• Proponer una estrategia de resolución.

• Explicar la estrategia y justificarla.

3° Resolver y

comprobar

• Resolver el problema aplicando procedimientos matemáticos.

• Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema

4°Comunicar

• Comunicar los resultado de manera acorde a la situación e interlocutores.

4 Nivelación

Problema resuelto:

Claudia está haciendo un balance de su cuenta corriente, considerando

los últimos gastos y abonos realizados. El saldo inicial era de $350.890,

con este dinero, pagó dos cuentas de $40.600, gastó $32.981 en el

supermercado, recibió $219.756 por un trabajo realizado y, finalmente,

compró seis sillas para su terraza, donde cada una costó $19.990. ¿Cuál es

el saldo final?

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál

es la pregunta del problema?

Datos del problema:

Saldo inicial:

$350.890

Gastos:

Dos cuentas de 40.600

$32.981

Seis sillas de $19.990 cada una.

Ingresos:

$219.756

Pregunta:

Debemos calcular cuánto dinero tiene Claudia, al final de todos los

gastos e ingresos.

2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será tu estrategia para resolver el

problema? ¿Por qué funcionará tu estrategia?

La estrategia será sumar el saldo inicial con el ingreso y, a esto, restarle el

total de los gastos:

Esto funcionará siempre que se aplique correctamente la prioridad de las

operaciones.

Hay varias estrategias

¿Cuál se te ocurre a ti?

5 Nivelación

3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado

coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al

problema.

Saldo inicial + ingreso = 350.890 + 219.756

Gastos: = 2 x 40.600 + 32.981 + 6 x 19.990

Operación:

(350.890 + 219.756) – (2 x 40.600 + 32.981 + 6 x 19.990) =

570.646 – (81.200 + 32.981 + 119.940) =

570.646 – 234.121 =

336.525

Para comprobar, debes verificar que cada uno de los pasos y cálculos

realizados, está hecho correctamente.

4° Paso: Comunicar. Escribe tu respuesta de acuerdo a la situación e

interlocutores.

Como todos los integrantes del curso, alumno y profesor, saben el

contexto del problema. Basta con responder:

Claudia tiene $336.525 de saldo final.

Prioridad de las

operaciones:

- Paréntesis

- Potencias

- Multiplicaciones y

divisiones.

- Sumas y restas.

6 Nivelación

Problema resuelto:

Se quiere embotellar 500 litros de bebida, en botellas 750 cc llenas.

¿Cuántas botellas se necesitarán para poder realizarlo? ¿Quedará bebida

sin embotellar?

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál

es la pregunta del problema?

Datos:

Hay 500 litros de bebida.

Las botellas tienen una capacidad de 750 cc.

Las botellas deben quedar llenas al máximo de su capacidad.

Pregunta:

Determinar la cantidad de botellas que se llenarán.

Determinar si queda bebida sin embotellar.

2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver

el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

Primero, haremos la conversión de litros a cc, para poder trabajar con

la misma unidad de medida.

Luego, haremos la división entre los litros de bebida y la capacidad de

cada botella.

Esta división funcionará porque:

1° Ambas cantidades estarán expresadas en la misma unidad de

medida.

2° El cociente entre las dos cantidades no dará como resultado la

cantidad de veces que “cabe” 750 cc en 500 litros.

Si convertimos los cc a litros. ¿Cómo quedaría la división? El cociente es el resultado de una división.

7 Nivelación

3° Paso: Resolver y comprobar.

Primero, convertimos 500 litros, en centímetros cúbicos.

1 litro de líquido, corresponde a 1.000 cc. Por lo tanto,

500 litros de líquido, corresponden a 500.000 cc.

Ahora, podemos hacer la división:

500.000 : 750 = 666, 6

Como el resultado no es una división exacta, haremos la multiplicación de

750 x 666 = 499.500

Es decir, hay 500 cc de bebida que no podrán ser embotellados.

4° Paso: Comunicar.

Se necesitan 666 botellas para poder embotellar 499 litros y medio de

bebida.

Además, sabemos que quedarán 500 cc sin embotellarse.

Aquí utiliza tu calculadora.

500.000 : 750 = 666,66…

Este tipo de número se

llama decimal infinito

periódico.

El periodo es el número

que se repite.

8 Nivelación

Problema propuesto grupal:

A continuación se muestra un cuadrado con 15 tubos de ensayo.

Algunos tubos pueden estar vacíos, otros pueden contener más o menos

líquido. Los números dan la cantidad de porciones de tubo (casillas)

llenas en la respectiva fila o columna. Los tubos están rellenos desde el

bulbo en adelante; vale decir que si una parte del tubo está llena,

también lo está todo el resto hacia el bulbo. Pinta los tubos de ensayo de

acuerdo al llenado, basándote en las características indicadas arriba.

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál

es la pregunta del problema?

El razonamiento es parte

fundamental de la

resolución de problemas;

diremos, incluso, más

que los cálculos que se

puedan realizar.

9 Nivelación

2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el

problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide

con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.

10 Nivelación

4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu

profesor(a) cuál es la respuesta al problema.

Para discutir:

¿Todos llegaron a la misma

respuesta? ¿Será posible

encontrar más de una

respuesta al problema?

11 Nivelación

Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas

al respecto.

1. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa disminuye $24 cada

día.

a. Si hoy valen $850 ¿Cuánto valdrán en 6 días más?

b. Suponiendo que el comportamiento hace un mes que es igual ¿Cuánto

valían hace 3 días? (¿por qué debo hacer este supuesto para responder esta

pregunta?)

2. Un grupo de 28 alumnos de Vallenar decide viajar a Santiago. El pasaje

en bus cuesta $5.200 por persona, solo de ida. Un bus de arriendo les cobra

$250.000 ida y vuelta por todo el grupo. Suponiendo que el valor del pasaje,

en bus, de vuelta vale lo mismo que de ida, los alumnos eligen la alternativa

más económica ¿Cuánto ahorran en su elección?

3. Una bomba extrae petróleo de un pozo a 975 metros de profundidad

(respecto de la superficie) y lo transporta a un depósito situado a 48 metros

de altura (respecto de la superficie) ¿Cuál es la distancia mínima que recorre

el petróleo desde que se saca del pozo hasta que llega al depósito?

4. Un alambre mide 586 cm. Se desea cortarlo en dos pedazos, de tal

manera que uno exceda al otro en 114 cm. ¿Cuánto debe medir cada trozo?

5. Francisco gana $600.000 al mes y gasta $380.000, mientras que su esposa

Teresa gana el doble y, también, gasta el doble. ¿Cuánto pueden ahorrar

entre los dos?

6. Un submarino se encuentra a 203 metros bajo el nivel del mar. Comienza a subir lentamente, a razón de 3,75 metros cada media hora. ¿Cuál será su ubicación 15 horas después?

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

próxima clase.

12 Nivelación

Clase 2

El objetivo de esta clase es que resuelvas problemas, aplicando los pasos que ya aprendiste la clase anterior,

aplicando estrategias algebraicas para el planteamiento y resolución de ecuaciones.

Tres aspectos claves para que recuerdes:

Identificar incógnita(s), para eso

debes nombrarla.

Generalmente, utilizamos la letra

“x” para designar a las incógnitas,

pero puedes utilizar cualquier

letra.

1°

Plantear una ecuación, utilizando

la información que se explicita en

el enunciado del problema,

considerando la incógnita. 2°

Reducir términos semejantes y

resolver la ecuación. 3°

13 Nivelación

Problema resuelto:

Acertijo: la suma de las edades de tres personas es 105 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio tiene 10 años menos que la mayor. Encuentra las edades. Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema?

¿Cuál es la pregunta del problema?

2° Paso: Proponer y fundamentar.

Datos:

Hay tres personas: La mayor, la del medio, la menor.

Sus edades suman 105 años.

La mayor tiene 20 años más que la menor.

La del medio tiene 10 años menos que la mayor.

Pregunta:

Determinar las edades de las tres personas.

Le estrategia serpa realizar una ecuación, con los datos entregados.

1° Identificamos las incógnitas, para esto, traduciremos la información

a lenguaje algebraico.

Mayor = Menor + 20

Medio = Mayor – 10

Por lo tanto,

Edad de la persona mayor = x

Entonces,

x = Menor + 20

Medio = x – 10

2° Plantearemos una ecuación, con el primer dato que nos da el

enunciado:

Menor + Medio + Mayor = 105

3° Resolveremos la ecuación, determinando los resultados.

Suponemos que

escribimos:

Mayor: para abreviar la

edad de la persona mayor.

Medio: para abreviar la

edad de la persona del

medio.

Menor: para abreviar la

edad de la persona menor.

14 Nivelación

3° Paso: Resolver y comprobar. 4° Paso: Comunicar

Aplicando los datos establecidos en el paso 2, procedemos a

reemplazar:

Menor + Medio + Mayor = 105

(x – 20) + (x – 10) + x = 105

x – 20 + x – 10 + x = 105

3x – 30 = 105

3x = 105 + 30

3x = 135

x = 135 / 3

x = 45

Mayor = 45

Menor = Mayor – 20 = 45 – 20 = 25

Medio = Mayor – 10 = 45 – 10 = 35

Con estos resultados, podemos comprobar que la mayor tiene 20 años

más que la menor y que la del medio, tiene 10 años menos que la

mayor.

Eliminamos paréntesis.

Reducimos términos semejantes.

Despejamos la incógnita

Las edades de las tres personas, de mayor a menor son: 45, 35 y 25.

15 Nivelación

Problema propuesto grupal: Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?

Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál

es la pregunta del problema?

2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver

el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

Recuerda los tres pasos

1° Identificar la incógnita

2° Plantear la ecuación

3° Resolver la ecuación

16 Nivelación

3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide

con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.

4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu

profesor(a) cuál es la respuesta al problema.

17 Nivelación

Problema propuesto grupal: El área de un triángulo isósceles es 120 cm2. La base es 1 cm más corta que cada uno de los otros dos lados. Si la altura respecto a la base mide 15 cm. ¿Cuál es su perímetro? Solución:

1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál

es la pregunta del problema?

2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver

el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?

Recuerda que:

𝐴(∆) = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2

Recuerda que un

triángulo isósceles es

aquel que tiene dos

lados de igual medida.

18 Nivelación

3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su

estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide

con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.

4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu

profesor(a) cuál es la respuesta al problema.

19 Nivelación

Problemas propuestos individuales:

Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has

aprendido y entrenado en esta clase.

Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que

puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que

tengas al respecto.

1. Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y

martes lee 1/5 del libro y el miércoles lee 1/3 del resto. Si para los

restantes días de la semana quedan 64 páginas de lectura, entonces

¿Cuál es el número total de páginas del libro?

2. La suma de tres números enteros consecutivos es 72. ¿Cuáles son

los tres números?

3. Lucía viajó una cierta distancia en 4 horas y de regreso recorrió la

misma distancia en 3,5 horas. Si de regreso su rapidez era 5 km/h más

que su rapidez en el viaje de ida. Determina la rapidez a la que hizo el

viaje de regreso.

4. Ignacio puede pintar una pieza en 6 horas. Su hermana Francisca puede pintar la misma pieza en ocho horas. ¿Cuánto tiempo demorarán en pintar la pieza si trabajan juntos? 5. Dos hermanas deciden ahorrar lo que han ganado en sus trabajos de verano. Al final de este período lograron reunir $ 75.000. Si la hermana mayor ahorró el cuádruple de lo que ahorró la menor, ¿cuánto ahorró cada una? 6. Dos lados de un triángulo son 6 cm más cortos que el doble del tercero. Si el perímetro es 23 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados? 7. Nicolás compró estampillas de $200 y $130. Si compró 37 estampillas y gastó $5.720 en total ¿Cuántas estampillas de cada clase compró?

Si no alcanzas a realizar

estos ejercicios en la

clase, puedes hacerlos en

tu casa, como tarea, y

aclarar tus dudas la

próxima clase.

Recuerda que:

𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Recuerda que el

perímetro de una figura

es la suma de la medida

de sus lados.

20 Nivelación

Clase 3

El objetivo de esta clase es que aclares tus últimas dudas y resuelvas el taller de evaluación de manera grupal. Aquí, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntárselas a tu profesor.