Manual EST145 - 2015 - Capítulo 2

Estadística EEGGCC 79

Notas

Capítulo 2. Nociones de probabilidad

La probabilidad mide o cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un evento.

La probabilidad es el lenguaje para describir y tratar la incertidumbre.

Ejemplo 61

Asigne un valor numérico entre 0 y 1 a las siguientes frases de acuerdo a la posibilidad de ocurrencia del evento al que hacen referencia:

Posibilidad de ocurrencia del evento

Es muy probable que ocurra …………………….

Es posible que ocurra …………………….

Es poco probable que ocurra …………………….

Es casi imposible que ocurra …………………….

2.1. Conceptos básicos

Experimento aleatorio

Es todo proceso que genera dos o más resultados bien definidos sin que se pueda predecir con certe-za cuál de ellos será observado u ocurrirá en cada realización del proceso.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se le suele simbolizar

como Ω.

Tipos de espacio muestral

Espacio muestral discreto

Cuando es un conjunto con un número o infinito numerable de elementos.

Espacio muestral continuo

Cuando es un intervalo o una unión de intervalos de la recta real.

Evento

Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Al realizar un experimento, diremos que el evento A ha ocurrido si el resultado obtenido es un elemento del evento A.

Capítulo 3. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad 80

Notas

Ejemplo 62

Indique, para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, uno o más eventos que pertenez-can a sus respectivos espacios muestrales.

Experimentos aleatorios Espacio muestral Eventos

Lanzar un dado y anotar el número de puntos de la cara superior

Un jugador registra el resultado de una partida de ajedrez

Lanzar una moneda hasta que salga cara por primera vez

Medir el peso del arroz contenido en una bolsa que indica 1kg.

Evaluar dos productos para determi-nar si cada uno es bueno o defectuo-so.

Contar el número de alumnos que aprueban el examen de Estadística, en un horario con 65 alumnos.

Medir la distancia recorrida por un taxi en un día (en kilómetros)

Anotar el número de accidentes de trabajo ocurridos por mes en un asen-tamiento minero.

Tipos de eventos

Evento elemental o simple: Es un evento que tiene un solo elemento del espacio muestral Ω.

Evento conjunto: Evento conformado por dos o más elementos del espacio muestral Ω.

Evento contrario o complemento del evento A: Está formado por todos los elementos del espa-cio muestral Ω que no pertenecen a A. Se denota Ac

Evento imposible: Ø

Evento seguro o siempre cierto: Ω


Notas

Operaciones con eventos

Unión de eventos

Es el conjunto de los resultados que están en uno o en ambos eventos. Se denota por (A ∪B).

/ BwAwwBA ∈∨∈Ω∈=∪

BA ∪ se expresa como: Al menos uno de los eventos A o B ocurre.

Intersección de eventos

Es el conjunto de los resultados que están en ambos eventos. Se denota por (A ∩B).

/ BwAwwBA ∈∧∈Ω∈=∩

BA ∩ se expresa como: Ambos eventos, A y B ocurren a la vez.

Complemento de un evento

/ AwwAC ∉Ω∈=

CA se expresa como: El evento A no ocurre.


Notas

Diferencia de eventos

/ BwAwwBABAC ∉∧∈Ω∈=∩=−

BA − se expresa como: Ocurre el evento A pero no el evento B.

Diferencia simétrica de eventos

( ) ( ) / BwAwwBABABACC ∈∆∈Ω∈=∩∪∩=∆

BA∆ se expresa como: Ocurre solamente uno de los eventos A o B.

Eventos disjuntos (mutuamente excluyentes)

Dos eventos A y B son disjuntos si φ=∩BA , es decir, si no tienen elementos comunes, es decir,

si ambos no pueden ocurrir a la vez.


Notas

Ejemplo 63

Indique si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes

A: estudio muy poco el curso Estadística, B: apruebo el curso Estadística.

Álgebra de eventos

Sean A, B y C eventos del espacio muestral Ω.

Conmutativa ABBA ∩=∩ ABBA ∪=∪

Identidad φφ =∩A AA =Ω∩

Complemento Ω=∪ CAA φ=∩ CAA

Distributiva ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∪∩=∪∩ ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪

Idempotencia AAA =∩ AAA =∪

Acotamiento AA =Ω∩ φφ =∩A

Absorción ( ) ABAA =∩∪ ( ) ABAA =∪∩

Asociativas ( ) ( ) CBACBA ∪∪=∪∪ ( ) ( ) CBACBA ∩∩=∩∩

Involución ( ) AACC =

Opuestos Ω=Cφ φ=ΩC

de De Morgan ( ) CCC BABA ∪=∩ ( ) CCC BABA ∩=∪

Ejemplo 64

Alberto y Bruno deben asistir a una reunión de negocios. Se definen los eventos: A = Alberto asiste a la reunión y B = Bruno asiste a la reunión. Describa en términos de A y B los eventos siguientes:

C = Alguno de los dos asiste a la reunión

D = Ambos asisten a la reunión

E = Sólo Alberto asiste a la reunión


Notas

F = Solamente uno asiste a la reunión

G = Ninguno asiste a la reunión.

Ejemplo 65

Sean A1, A2,…, An, eventos de Ω. Describa los siguientes eventos en términos de los Ai:

A = Por lo menos uno de los eventos Ai ocurre

B = Todos los eventos Ai ocurren a la vez

C = Ninguno de los eventos Ai ocurre

D = Alguno de los eventos Ai no ocurre

Ejemplo 66

Un experimento consiste en observar el número de televisores vendidos por semana en cierta tienda de electrodomésticos.

Se definen los siguientes eventos:

A = En una semana se venden menos de cinco televisores

B = En una semana se venden 25 televisores

C = En una semana se venden más de ocho televisores

a. Describa por comprensión los eventos BA ∪ , CA ∪ y BA ∩


Notas

b. ¿Son los eventos A y B mutuamente excluyentes?

c. Describa el evento complementario de A.

Ejemplo 67

Un inspector revisa un proceso de producción de tres etapas. Cada una de las etapas puede o no haber sido concluida satisfactoriamente. Se define los eventos Ai:= la etapa i del proceso concluyó satisfactoriamente, i = 1, 2, 3. Describa los siguientes eventos en términos de los Ai :

a. Las tres etapas concluyeron satisfactoriamente.

b. Por lo menos una de las etapas del proceso concluyó satisfactoriamente.

c. Solo dos de las etapas concluyeron satisfactoriamente.

d. La primera y la tercera etapa concluyeron satisfactoriamente.

2.2. Definición axiomática de probabilidad

La probabilidad es una función P que a cada evento A del espacio muestral Ω le hace corresponder el número P(A) que satisface los siguientes axiomas:

Axioma 1. 0)(: ≥Ω∈∀ APA

Axioma 2. 1)( =ΩP

Axioma 3. Sean A1 y A2 eventos de Ω, si φ=∩ 21 AA , entonces )()()( 2121 APAPAAP +=∪


Notas

Propiedades

Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio muestral Ω, se cumple que:

Si φ=A , entonces ( ) 0=AP , pero si ( ) 0=AP esto no implica necesariamente que φ=A

1)()( =+ CAPAP

)()( BPAPBA ≤→⊂

( ) 1≤AP

( ) ( ) ( )BAPAPBAP ∩−=−

( ) ( ) ( )CBAPBAPAP ∩+∩=

En general, ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Ejemplo 68

La probabilidad de que una computadora cualquiera de cierto instituto de computación tenga insta-lado el programa A es 0,6; de que tenga el programa B es 0,5 y la probabilidad de que tenga instala-dos los dos programas es 0,2. Si se selecciona al azar una de las computadoras de este instituto, cal-cule la probabilidad de los siguientes eventos:

a. La computadora tiene instalado alguno de los dos programas.

b. La computadora tiene el programa A pero no el B.

c. La computadora tiene el programa B pero no el A.

d. La computadora tiene sólo uno de los dos programas.

e. La computadora no tiene ninguno de los dos programas.


Notas

Ejemplo 69

En el último informe del Gerente de Recursos Humanos de cierta empresa se indica que el 70% de los trabajadores de la empresa son casados, el 45% tienen hijos y que el 40% de los trabajadores son casados y tienen hijos. Si se selecciona al azar un trabajador de esta empresa:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado sea casado pero no tenga hijos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado no sea casado ni tenga hijos?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado sea casado o tenga hijos?

Ejemplo 70

La probabilidad que se fracase en el negocio A es de 1/3, que se tenga éxito en al menos uno de los negocios es 5/6 y que se fracase en el negocio B es 1/2. Determine la probabilidad de que solamente se tenga éxito en uno de los negocios.

2.3. Definición clásica de probabilidad

Si el espacio muestral Ω tiene un número finito de elementos equiprobables, la probabilidad de la ocurrencia del evento A es:

)(

)()(

Ω==

n

An

muestralespaciodelelementosdenúmero

AeventodelelementosdenúmeroAP


Notas

Ejemplo 71

Demuestre que la probabilidad clásica cumple los tres axiomas de probabilidad.

Ejemplo 72

De un baraja de 52 cartas (sin comodines) se saca una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea de corazones o mayor a 10?.

Ejemplo 73

Se sabe que en determinada urbanización viven 120 familias, de las cuales 90 son propietarias y el resto inquilinas. Si se escoge una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea inquilina?

Ejemplo 74

Se entrevistó a 3500 clientes de una empresa de telefonía celular que adquirieron un paquete pro-mocional que permitía llamar ilimitadamente a otros dos celulares de la misma empresa durante tres meses. La siguiente tabla muestra la distribución de los clientes entrevistados por sexo y por su in-tención de renovar el paquete promocional.

Sexo Sí renueva No renueva

Masculino 1 000 900

Femenino 1 200 400

Si se selecciona al azar uno de los clientes entrevistados, calcule la probabilidad de que el cliente seleccionado:

A = Sea mujer


Notas

B = Tenga intención de renovar el paquete promocional

C = Sea hombre y no tenga intención de renovar el paquete promocional

D = Sea mujer o no tenga intención de renovar el paquete promocional

Principios básicos de conteo

Principio de la adición

• Si A y B son eventos finitos y φ=∩BA , entonces ( ) ( ) ( )BnAnBAn +=∪

• En general, si A y B son eventos finitos, entonces ( ) ( ) ( ) )( BAnBnAnBAn ∩−+=∪

Ejemplo 75

Sofía debe leer una novela y le han indicado que puede escoger entre dos autores: León Tolstói o Émile Zola. Cuando va a biblioteca sólo encuentra disponibles tres novelas de Tolstoi y cuatro de Zola; un ejemplar de cada novela. ¿De cuántas formas diferentes puede elegir Sofía la novela que debe leer?

Principio de la multiplicación

• El experimento E1 tiene n1 resultados posibles y el experimento E2 tiene de n2 resultados posibles, entonces, si estos experimentos se realizan en forma consecutiva, el número total de resultados posibles del experimento compuesto es n1*n2.

• En general, si el experimento Ei tiene ni resultados posibles, para todo i = 1,2,3, … , k; entonces, si estos k experimentos se realizan en forma consecutiva, el número total de resultados posibles del experimento compuesto es n1*n2*n2*…….*nk

• Si Ω1 y Ω2 son espacios muestrales finitos, entonces: ( ) ( ) ( )2121 ΩΩ=Ω×Ω nnn

• Si Ω1, Ω2, …., Ωk son espacios muestrales finitos, entonces: ( ) ( ) ( ) ( )kk nnnn ΩΩΩ=Ω××Ω×Ω ......... 2121


Notas

Ejemplo 76

De una baraja (sin comodines) se seleccionan cinco cartas al azar, una por una y sin reposición. De-termine la probabilidad de que las cinco cartas seleccionadas sean de números diferentes.

Regla de conteo para combinaciones

El número de formas diferentes de seleccionar un subconjunto de k elementos de un conjunto con n elementos (k ≤ n), es:

( )!!

!

knk

nCn

k −=

Propiedad de combinaciones

10 == nn

n CC

nCn =1

nkn

nk CC −=

∑=

=n

i

nniC

0

2

Ejemplo 77

Se va a sortear dos iPad entre los cinco postulantes que ocuparon los primeros puestos en el examen de admisión a una universidad. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir a los ganadores?

Ejemplo 78

En una caja hay 12 piezas de las cuales dos son defectuosas. Si se seleccionan dos piezas al azar de esta caja, calcule la probabilidad de que sean las dos defectuosas si la selección se realiza:

a. Una por una y con reposición

b. Una por una y sin reposición.


Notas

c. Todas a la vez.

Ejemplo 79

En una caja hay 12 piezas de las cuales dos son defectuosas. Si se seleccionan tres piezas al azar de esta caja, calcule la probabilidad de que salgan las dos defectuosas si se selecciona:

a. Una por una y con reposición

b. Una por una y sin reposición.

c. Todas a la vez.

d. Compare las probabilidades obtenidas en b. y c.

Ejemplo 80

Un dado se lanza sucesivamente hasta obtener el primer seis.

a. Describa el espacio muestral Ω del experimento aleatorio descrito.

b. Asigne probabilidades a cada uno de los elementos del espacio muestral.


Notas

c. Pruebe que P(Ω) = 1.

d. Si A y B juegan tirando el dado alternadamente, calcule la probabilidad de que el juego acabe antes del cuarto lanzamiento.

e. Si A y B juegan tirando el dado alternadamente, ¿cuál es la probabilidad de que A gane, si A lanza primero?

Definición frecuencial de probabilidad

• La probabilidad de ocurrencia de un evento se puede determinar por la observación de la propor-ción de veces que este evento ocurre cuando el experimento se realiza un número grande de ve-ces, es decir, la probabilidad del evento de interés se aproxima por su frecuencia relativa de ocu-rrencia.

• Si un experimento se realiza n veces y si en nA de ellas ocurre el evento A, la probabilidad de A es:

n

nAP

A

n ∞→= lim)(

Ejemplo 81

Se define el experimento E = lanzar una moneda y observar el resultado en la cara superior. Repita el experimento 25 veces y use la definición frecuencial para asignarle probabilidad al evento A = sale cara.


Notas

Ejemplo 82

En un bosque donde hay miles de aves de una cierta especie, se captura, para luego dejarlas libres, a 85 de ellas y se observa que 4 padecen una cierta enfermedad. Aproximar la probabilidad de que una ave de dicha especie padezca la enfermedad.

Probabilidad subjetiva

Es la valoración que hace un individuo de las posibilidades de obtener un resultado, basado en su experiencia, opinión personal y análisis que él hace de la situación particular que se evalúa (estado de información de la persona).

Por ejemplo:

• La probabilidad de que el rendimiento de la Bolsa de Valores de Lima este mes sea mayor que el obtenido el mes pasado es mayor que 0,7.

• La probabilidad de que Perú clasifique para la Copa Mundial del de Fútbol 2018 es _________.

• La probabilidad de que apruebe el curso de Estadística es ___________.

• La probabilidad de que llueva mañana en Lima es ___________.

2.4. Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de que ocurra el evento A si se sabe que el evento B ya ha ocurrido pre-viamente se denomina probabilidad condicional de A dado B, se denota P(A/B) y está dada por:

0)()(

)()( >∩= BPcon

BP

BAPBAP

Se cumple que: ( ) ( )BPBP =Ω/

En un espacio muestral finito y equiprobable: 0>∩= )()(

)()( Bncon

Bn

BAnBAP

Ejemplo 83

A continuación se presenta la distribución de una muestra de personas inscritas en un gimnasio de acuerdo a su edad y peso.

18 a 30 años 31 a 50 años Más de 50 años Total

Bajo de peso 3 2 1

Peso adecuado 20 10 4

Sobrepeso 6 14 9

Total


Notas

Si se selecciona al azar una de las personas de la muestra:

a. Calcule la probabilidad de que la persona tenga más de 50 años y tenga peso adecuado.

b. Si se sabe que la persona seleccionada tiene más de 50 años, calcule la probabilidad de que tenga

el peso adecuado.

c. Si se sabe que la persona seleccionada tiene peso adecuado, calcule la probabilidad de que tenga

más de 50 años.

d. Calcule la probabilidad de que la persona seleccionada tenga bajo peso dado que tiene de 18 a 30

años.

Ejemplo 84

Se entrevistó a 120 personas que visitaron B&B, una nueva tienda por departamentos, durante el fin de semana pasado. Se sabe que fueron entrevistadas 84 mujeres y que 30 de las personas entrevis-tadas tenían la tarjeta de crédito de la tienda; también se sabe que un tercio de los hombres tenían la tarjeta de crédito de la tienda.

a. Calcule la probabilidad de que una de las personas entrevistadas, elegida al azar, sea hombre y tenga tarjeta de crédito de la tienda.


Notas

b. Se selecciona uno de los entrevistados al azar y se verifica que tiene la tarjeta de crédito de la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente entrevistado sea hombre?

Ejemplo 85

En un estudio se determinó que el 30% de clientes de cierto banco tiene inversiones en fondos mu-tuos, el 65% tiene algún crédito pendiente de pago y el 10% tiene inversiones en fondos mutuos pero no tiene créditos pendientes de pago . Si se selecciona uno de estos clientes al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga inversiones en fondos mutuos y créditos pendientes de pago?

b. Si se sabe que el cliente seleccionado no tiene créditos pendientes de pago, ¿cuál es la probabi-lidad de que tampoco tenga inversiones en fondos mutuos?

Regla del producto

Si se conoce la probabilidad del evento A, P(A), y la probabilidad condicional del evento B dado A, P(B/A), entonces, se puede determinar la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez,

P(A∩B), con la siguiente igualdad:

( ) )/()( ABPAPBAP =∩

Ejemplo 86

En un lote de 50 computadoras hay 20 que son HP. Si se escoge al azar y una por una dos compu-tadoras del lote, encontrar la probabilidad de que la primera sea HP y la segunda no lo sea.

Solución

Sean los eventos A y B, definidos como:

A:=La primera computadora escogida es HP B:=La segunda computadora escogida no es HP

Interesa calcular la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez y por la información del ejer-

cicio se sabe que ( ) ( ) 6122,049

30/,4,0

50

20 ==== ABPAP

Por la regla del producto tenemos que: 2249,06122,0*4,0)/()()( ===∩ ABPAPBAP

Por lo tanto, la probabilidad de que la primera sea HP y la segunda no lo sea es 0,2249.


Notas

Ejemplo 87

De los adultos empleados en cierto país, el 90,3% completó la enseñanza media y de ellos, el 30,8% completó la universidad. Calcular la probabilidad de que un adulto empleado de ese país, selecciona-do al azar, haya completado la enseñanza media y también la universidad.

Partición del espacio muestral Ω

Los eventos A1, A2,…, Ak son una partición del espacio muestral Ω, si:

),...,2,1(,0)( kiAP i =≠

)(, jiAA ji ≠=∩ φ

Uk

iiK AAAA

121 .....

=

Ω==∪∪∪

Teorema de Probabilidad Total

Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak que constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B de Ω se cumple lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk ABPAPABPAPABPAPBP /...// 2211 +++=

Teorema de Bayes

Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak que constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento B de Ω se cumple lo siguiente, si P(B) > 0:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk

iii

iABPAPABPAPABPAP

ABPAP

BP

BAPBAP

/...//

/

2211 +++=

∩=


Notas

El teorema de Bayes establece una relación muy importante en la teoría de probabilidades y es la base para la revisión de la asignación de probabilidades a la luz de información adicional.

Ejemplo 88

En una fábrica, los discos compactos (CD) son producidos en tres máquinas: M1, M2, M3. La produc-ción diaria de cada máquina es de: 500, 300 y 200 CD, respectivamente. El porcentaje de CD defec-tuosos producidos por cada máquina es de: 1%, 1,5% y 0,5% respectivamente.

a. Si se escogió un CD producido en la fábrica, calcule la probabilidad de que el CD sea defectuoso.

b. Si el CD escogido es defectuoso, calcule la probabilidad que haya sido producido por M1.

Solución Sean los eventos Ai :=El CD es producido por Mi, (i = 1, 2, 3); B:=El CD es defectuoso

( ) ( ) ( ) 200001

20030

0001

30050

0001

500321 ,,, ====== APAPAP

Además, se sabe que:

( ) ( ) ( ) 00500150010 321 ,/,,/,,/ === ABPABPABP

a. ( ) ( ) ( ) 01050005020015030010503

1

,,,,,,,/ =×+×+×==∑=i

ii ABPAPBP

La probabilidad de que el CD seleccionado sea defectuoso es 0,0105.

b. ( ) ( ) ( )( ) 47610

01050

01050111 ,

,

,,// =×==

BP

ABPAPBAP

Si se sabe que el CD seleccionado resultó defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina M1 es 0,4761.

Ejemplo 89 Los registros de los delitos en una ciudad muestran que 20% de ellos son violentos y 80% son no vio-

lentos. Se señala también que son denunciados el 90% de los delitos violentos y solo el 70% de los

delitos no violentos

a. Estime la proporción global de delitos que se denuncian en la ciudad, es decir, calcule la proba-

bilidad de que un delito sea denunciado en esta ciudad.


Notas

b. Si no se denuncia un delito ante la policía, ¿cuál es la probabilidad de que el delito sea violento?

Ejemplo 90

En una zona de la ciudad, durante las noches de los fines de semana, la policía sabe por experiencia

que el 20% de los conductores ha consumido alcohol, por lo que realiza operativos para detectar a

los conductores que han consumido alcohol. Para realizar las pruebas usan unos dispositivos que

detectan al consumidor de alcohol en el 95% de los casos y que se equivocan al indicar que una per-

sona ha consumido, cuando en realidad no lo ha hecho en el 3% de los casos.

a. Con la información anterior estime el porcentaje de conductores para los que el dispositivo da

positivo al consumo de alcohol.

b. Si la persona ha dado positivo para consumo de alcohol, calcule la probabilidad de que en reali-

dad no haya consumido alcohol.

Ejemplo 91

Un comerciante vende equipos electrónicos por Internet y estima que el 48% de los pedidos que recibe se envían a países europeos, el 32% a países de América y el resto a otros países. Para realizar ventas por internet, un aspecto importante son las opiniones de clientes anteriores, por eso el co-merciante hace lo posible para cumplir los plazos de entrega ofrecidos en su página web, sin embar-go, a veces ocurren imprevistos que ocasionan entregas atrasadas. Haciendo una revisión de sus registros, el comerciante estima que los porcentajes de entregas atrasadas son: 1,2%, 2,2% y 3,4% para pedidos enviados a Europa, América y otros países, respectivamente. El comerciante ha recibido una queja de un cliente porque su pedido no ha llegado dentro del plazo ofrecido, calcule la probabi-lidad de que este cliente haya solicitado el envío a un país de Europa o América.


Notas

2.5. Eventos independientes

Los eventos A y B son independientes si y solo si saber que el evento B ha ocurrido no modifica la probabilidad de ocurrencia del evento A, es decir, si:

( ) ( ) 0>= )(;/ BPAPBAP

Equivalentemente, podemos afirmar que dos eventos A y B son independientes si y solamente si se cumple que:

( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩

Tres eventos A, B y C son independientes si y solamente si se cumplen las condiciones:

( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩

( ) ( ) ( )CPAPCAP =∩

( ) ( ) ( )CPBPCBP =∩

)()()()( CPBPAPCBAP =∩∩

Sean dos eventos A y B de tales que P(A) ≠ 0 y P(B) ≠ 0, entonces:

o Si los eventos A y B son independientes, entonces A y B no son disjuntos

o Si los eventos A y B son disjuntos, entonces A y B no son independientes

Si los eventos A y B son independientes, entonces:

o A y Bc son eventos independientes

o Ac y Bc son eventos independientes

Ejemplo 92

Se lanza un dado diez veces, encontrar la probabilidad de que el seis aparezca por lo menos una vez.

Solución


Notas

Ejemplo 93

Un televidente ve de manera independiente los programas A y B. La probabilidad de que vea el pro-grama A es 0,2 y de que vea el programa B es 0,3, calcule la probabilidad de que:

a. vea los dos programas.

b. vea alguno de los dos programas.

c. vea sólo el programa A.

d. vea sólo el programa B.

e. vea sólo uno de los dos programas.

Solución:

Sean los eventos: A:= El televidente ve el programa A y B:= El televidente ve el programa B

a. 06,03,02,0)()()( =×==∩ BPAPBAP

La probabilidad de que el televidente vea ambos programas es 0,06.

b. ( ) 44,056,01)()(1)(1))((1 =−=−=∩−=∪−=∪ CCCCC BPAPBAPBAPBAP

La probabilidad de que el televidente vea alguno de los dos programas es 0,44.

c. ( ) 14,07,02,0)()()( =×=×=∩=− CCBPAPBAPBAP

La probabilidad de que el televidente vea solamente el programa A es 0,14.

d. ( ) 24,08,03,0)()()( =×=×=∩=− CCAPBPABPABP

La probabilidad de que el televidente vea solamente el programa B es 0,24.

e. ( ) ( )[ ] 38,024,014,0)()( =+=−+−=∩∪∩ ABPBAPBABAP cc

La probabilidad de que el televidente vea solamente uno de los dos programas es 0,38.

Ejemplo 94

En una empresa, los obreros A y B realizan trabajos riesgosos. En cierta tarea, la probabilidad de que el obrero A tenga un accidente laboral es del 0,1; mientras que para el obrero B es 0,25. Si al realizar dicha tarea, la ocurrencia de los accidentes se puede considerar independiente.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los obreros tenga un accidente laboral?

¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los obreros tenga un accidente laboral?


Notas

Ejemplo 95

Un empresario está interesado en invertir en tres proyectos diferentes: envasar aguaymanto deshi-

dratado, envasar pulpa de aguaymanto o producir helados de aguaymanto. El empresario estima que

las probabilidades de tener éxi to en cada uno de estos proyectos son 0,45; 0,6 y 0,72 respect iva-

mente. Si los tres proyectos son independientes, calcular la probabilidad de:

a. Tener éxito en los tres proyectos.

b. No tener éxito en ninguno de los tres proyectos.

c. Tener éxito en solo uno de los proyectos.

d. Tener éxito en el proyecto de envasar pulpa o en el de producir helados de aguaymanto.

Ejemplo 96 Cuando se hacen pruebas de sangre para detectar infecciones por VIH, el procedimiento puede ha-cerse de forma más eficiente y menos costosa mezclando muestras de especímenes de sangre. Así , si las muestras de t res personas se combinan y la mezcla da un resultado negativo, sabemos que las tres muestras individuales son negativas. Suponiendo que la probabilidad de que una muestra de sangre individual de positivo es del 0,1, calcule la probabilidad de un resultado positivo para tres muestras independientes combinadas en una.


Notas

Ejercicios

27. Sean A, B y C tres eventos independientes. Demuestre que los eventos (A ∪ B) y C son indepen-dientes.

28. Tres máquinas producen cierto artículo en cantidades muy grandes, de tal manera que cual-quiera de estos artículos resulta defectuoso independientemente de la máquina que lo haya producido. La primera máquina produce 2,5% de artículos defectuosos, la segunda 3,1% y la tercera 1,8%. Se seleccionan al azar tres de estos artículos, el primero producido en la máquina 1, el segundo en la máquina 2 y el tercero en la máquina 3.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los artículos seleccionados de las dos pri-meras máquinas sea defectuoso?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo seleccionado de la tercera máquina sea el segundo defectuoso?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los artículos seleccionados sea defectuoso?

29. Una fábrica de bujías para motores produce un 88% de buenas y un 12% de defectuosas. Antes de enviarlas a los almacenes para su venta, se someten a un control en la que se admiten como buenas las que los son con una probabilidad de 0,91 y las que no los son con una probabilidad de 0,04.

a. Calcule la probabilidad de que una bujía sea considerada como buena en un control.

b. Si una bujía fue considerada como buena en un control, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente buena?

30. Si un vehículo se pasa la luz roja en un cruce que se equipó con una cámara de vigilancia, hay una probabilidad de 0,95 de que reciba una multa de tránsito. Si durante las últimas tres horas cinco vehículos se han pasado la luz roja en el referido cruce, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos reciba una multa?

31. En cierta galaxia, las estrellas pueden de manera independiente ser de neutrones o no. La pro-babilidad de que una estrella sea de neutrones es 1/n, donde n es el número de estrellas en la galaxia. Encontrar la probabilidad de que alguna estrella de la galaxia sea de neutrones, supo-niendo que hay infinitas estrellas en la galaxia.

32. La probabilidad de cerrar cada uno de los cuatro relés del circuito que se muestra en la figura siguiente es p. Sabiendo que la corriente pasa por un relé cuando está cerrado y que todos los relés del circuito funcionan independientemente, calcule la probabilidad de que la corriente pa-se del terminal I al terminal D.

I D


Notas

33. Se estima que sólo un 25% de las personas que compran acciones en la Bolsa de Valores tiene

conocimientos bursátiles. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, sólo un 10% obtienen beneficios. El 5% de los que compran acciones tiene conocimientos bursátiles pe-ro no obtiene beneficios. Si se elige al azar una persona que ha comprado acciones en la Bolsa de Valores y resulta que ha obtenido beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conoci-mientos bursátiles?

34. El Gerente de Proyectos de la empresa Lucet está determinando si debía presentar una oferta para hacerse cargo de la iluminación de un nuevo centro comercial. En el pasado, el principal competidor de Lucet, la empresa Ilumin, ha propuesto ofertas en el 78% de los nuevos proyec-tos. Si Ilumin no presenta ofertas para un trabajo, la probabilidad de que Lucet obtenga el traba-jo es de 0,62. Si Ilumin propone una oferta para el trabajo, la probabilidad de que Lucet obtenga el trabajo es de 0,25. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucet obtenga el trabajo? Con base en este resultado, ¿re-

comendaría usted que la empresa presente una oferta? ¿Por qué? b. Si la empresa Lucet obtiene el trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa Ilumin haya

propuesto una oferta? 35. Un inversionista que tiene acciones en tres compañías: A, B y C, estima que las probabilidades

de tener utilidades son 0,3; 0,6 y 0,4 respectivamente. a. Si la probabilidad de que tenga utilidades en A y B es 0,12, ¿cuál es la probabilidad de que no

tenga utilidades en B dado que sí las tuvo en A? b. ¿El tener utilidades en A es independiente de no tener utilidades en B? Justifique.

36. Según datos del informe Perfil Sociodemográfico del Perú, publicado por el INEI en:

http://www.inei.gob.pe/Anexos/libro.pdf, el 78,78% de la población censada de 18 o más años vive en área urbana y el resto en área rural. En área urbana, el 97,59% de las personas censadas de 18 o más años cuenta con Documento Nacional de Identidad (DNI), y este porcentaje es del 93,65% en área rural. a. Con base en los datos anteriores, calcule el porcentaje de la población censada, de 18 o más

años, que no cuenta con DNI. b. Si se selecciona una persona censada de 18 o más años y tiene DNI, ¿cuál es la probabilidad

que viva en área urbana? 37. El único aeropuerto de cierta ciudad cuenta con tres terminales. El terminal A controla el 50%

del tránsito aéreo, el terminal B controla el 35% y el terminal C el 15%. Las probabilidades de detectar a un pasajero portando armas de fuego en los terminales A, B y C se estiman en 0,96; 0,95 y 0,9, respectivamente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que porte arma de fuego sea detectado en este

aeropuerto? b. Si un pasajero que portaba un arma de fuego fue detectado, ¿cuál es la probabilidad de que

haya sido detectado en el terminal B? 38. De la población de trabajadores de cierta empresa, el 30% han participado en el curso de capa-

citación sobre Control Estadístico de Procesos y el 15% han participado en el curso de capacita-ción en Seis Sigma. Se sabe también que el 37% de los trabajadores han participado en al menos uno de los dos cursos. Si se selecciona uno de estos trabajadores al azar: a. Calcule la probabilidad de que haya participado en ambos cursos de capacitación.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya participado sólo en uno de los cursos?


Notas

39. Un estudio de mejoramiento de la producción de un fabricante de semiconductores proporcio-nó datos de defectos para una muestra de placas de silicio. La siguiente tabla muestra un resu-men de las respuestas a dos preguntas: ¿Se encontraron partículas en el troquel que produjo la placa de silicio?, y ¿la placa resultó buena o mala?

Condición del troquel

Calidad de la placa Sin partículas Con partículas

Buena 320 14

Mala 80 36

Determine si el evento placa buena depende estadísticamente del evento troquel sin partículas. Interprete su respuesta.

40. Al someter a prueba placas de circuito, la probabilidad de que cualquier diodo falle se estima en

0,01. Suponga que una placa de circuito que está siendo probada tiene 24 diodos, ¿cuál es la

probabilidad de que esta placa tenga tres diodos fallados?

41. Un geólogo recolectó 10 especímenes de roca basáltica y 10 especímenes de granito. Su ayu-

dante de laboratorio selecciona al azar 15 de estos especímenes para analizarlos. Calcule la pro-

babilidad de que el asistente seleccione ocho especímenes de granito.

42. Cierto sistema electrónico funciona si al menos una de sus componentes funciona. Si la probabi-

lidad de que una componente funcione es de 0,75 y las componentes funcionan de manera in-dependientes, ¿por lo menos cuantas componentes debería tener el sistema para que la proba-bilidad de que el sistema funcione sea de por lo menos 0,999?

43. Un equipo electrónico tiene tres componentes que funcionan de manera independiente, cuyas probabilidades de fallar son, respectivamente, iguales a 0,01; 0,015 y 0,08. Si se determina que dos de los tres componentes han fallado, determine la probabilidad de que hayan sido el se-gundo y tercer componente

44. Antes de la distribución de cierto software estadístico se prueba si funciona correctamente. El proceso de prueba consiste en correr cuatro programas independientes y verificar los resulta-dos. La tasa de falla para los cuatro programas de prueba son 0,01; 0,03; 0,02; y 0,01 respecti-vamente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el software falle al menos en una prueba? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el software falle al menos en dos pruebas? c. Sabiendo que el software falló al menos en una prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya

fallado sólo una prueba?

45. Una máquina produce piezas metálicas, de las cuales el 5% son de calidad excelente. ¿Cuántas piezas deberán producirse para que la probabilidad de que haya por lo menos una de calidad excelente entre las piezas producidas sea mayor a 0,6?

46. Sean A y B dos eventos del espacio muestral Ω tales que P(A) = P(B) =1. Demuestre que la

P(A∩B)=1.

47. Sean A y B dos eventos de Ω, demuestre que si P(A) = 1 entonces, P(A∩B) = P(B)

Manual EST145 - 2015 - Capítulo 2

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