MANUAL DE ESTRUCTURASNOMBRE:SECCIN:Despejes de variables:Se deben sumar trminos semejantes: las x con las x las y con las y.Primero se suma y se restan los trminos, se deben colocar de una lado de la igualdad los trminos correspondiente de la variable a despejar y del otro los otros trminos (de otras variables e independientes).Luego el coeficiente de la variable pasa dividiendo si es un entero, o pasa dividiendo si es una fraccin, (si es una fraccin impropia, el numerador pasa al otro lado dividiendo y el denominador pasa multiplicando).Si la variable es de forma exponencial (Xn), pasa al otro lado como una raz-enesima.Si es una raz e-nesima de la variable pasa en forma exponencial.Hay otros casos, como cuando la variable es exponencial, pero no se estudiar en este curso.

Ejemplos:5x 4x -7 = 6 -8x -95x -4x + 8x = 6-9 +7 Se agrupan los trminos9x=4 Se suman y restan trminos por ambos lados de la igualdadX= 4/9 El coeficiente que acompaa a la X pasa dividiendo para el otro lado de la igualdad.

Observaciones: Cuando el trmino a despejar es negativo, puede pasar por el otro lado con signo positivo y los otros trminos permanecen de signo, ahora si el trmino a despejar es positivo cambia los trminos hacia el otro lado cambiado de signo.4 -3x + 7 = 63x= 4 +7 -6 (Los trminos 4 y 7 no cambia de signo, ya que el trmino -4x paso a ser 4x a pasar al otro lado de la igualdad)3x= 5X= 5/3P.D: Cuidado al sumar un trmino semejante con un coeficiente de una variable, esto no se hace, para eso hay que agrupar trminos semejantes de un lado y del otro de la igualdad o desigualdad:Ej: 5+ 7x = 3 12x=3 (Est malo) 7x=3-5 (Est correcto)Ejercicios:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) despejar para este caso h

9) despejar para este caso x

10)

11)

12) despejar para este caso x y luego rEs decir dos ejercicios primero x y en otro a parte r

13)

14) despejar x y luego a parte despejar m

15) despejar y16)

17) despejar y y luego x

Teorema de PitgorasEl teorema de Pitgoras o de la escuela de Pitgoras se refiere a los lados de un tringulo rectngulo. En efecto, los lados tiene nombres especiales: Los catetos, lados que conforman el ngulo recto y la hipotenusa, el teorema establece una relacin que permite calcular la longitud de la hipotenusa cuando se conocen las longitudes de los catetos.

En este orden de ideas, el teorema de Pitgoras es tal vez la proposicin ms estudiada por los matemticos profesionales y aficionados.

ca

b

Donde:a ,b: catetosc: hipotenusaEjercicios:1.Es un tringulo rectngulo un cateto mide 8 cm y la medida de la hipotenusa excede en 4 cm, a la longitud del otro cateto.La medida de la hipotenusa es:A.6B. 10C.12D. 2 2.Cul es la medida del cateto de mayor longitud de un tringulo rectngulo si la hipotenusa mide 40 cm y la medida del otro cateto excede en 8 cm a la medida del cateto menor?A. 48cmB.32 cmC. 24 cmD. 8 3. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. Cunto mide el otro cateto? 4. El lado de un cuadrado mide 10 cm. Cunto mide su diagonal? (Aproxima el resultado hasta las dcimas). 5. Dos de los lados de un tringulo rectngulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cunto mide su hipotenusa y halla su permetro y su rea.6. Observa la figura. Si a = 10 cm, cunto mide el lado b?

7. Una escalera de 10 m de longitud est apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. Qu altura alcanza la escalera sobre la pared?8. Calcula lo que mide la diagonal de un rectngulo sabiendo que uno de sus lados mide 8 cm y que su permetro es de 30 cm.

Descomposicin de Fuerzas.

Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30 al Sur-Este y F3 = 7N 45 al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la direccin a donde se mueve.Solucin:Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces

Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitgoras

Calcular la direccin

Grafica de la solucin

1. Descomponer una fuerza de 15 Kg-peso de dos componentes que forman ngulo recto. La lnea de accin de una componente forma un ngulo de 45 con la lnea de accin de la fuerza de 15 Kg-peso. Realizar el grfico y obtener la magnitud de las componentes. Sol: F1=F2 = 10,57 Kg-peso.

2. Dos hombres y un nio desean empujar un bloque en la direccin marcada con x en la figura. Los hombres empujan con fuerzas F1 y F2, cuyos valores y sentidos estn indicados en la figura. Encontrar la magnitud y la direccin de la fuerza mxima que debe ejercer el nio. Sol: 128 New y 21.

3. Cuatro vectores fuerzas coplanarios estn aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar su resultante.

4. Descomponer un vector fuerza de 1000 Kp que forma un ngulo de 53 con la horizontal en sus componentes vertical y horizontal. Sol: Fx = 602 Kp y Fy = 799 Kp

5. Encontrar la resultante del siguiente conjunto de fuerzas por el mtodo de descomposicin rectangular: 80 Kp verticalmente, hacia abajo; 100 Kp y 53 por encima de la horizontal, hacia el NE; 60 Kp horizontalmente, hacia la izquierda. Comprobar por el mtodo del polgono. Sol: 0

6. Utilizar el mtodo por descomposicin rectangular para encontrar la resultante del siguiente conjunto de fuerzas, y el ngulo que forma con la horizontal: 200 Kp, a lo largo del eje x, hacia el E; 300 Kp y 60 hacia el NE; 100 Kp y 45 hacia el NO; 200 Kp hacia el sur. Sol: 30 Kp y 25.

7. Hallar la resultante de los cinco vectores coplanarios F1 = 19 kp hacia el E; F2 = 15 KP y 60 hacia el NE; F3 = 16 Kp y 45 hacia el NO; F4 = 11 Kp y 30 hacia el SO y F5 = 12 Kp hacia el Sur. 8. Hallar la resultante de los ocho vectores coplanarios F1 = 150 kp y 50 hacia el NE; F2 = 180 KP hacia el E; F3 = 130 Kp y 45 hacia el NO; F4 = 125 Kp y 25 hacia el SO. F5 = 110 Kp hacia el S, F6 = 115 Kp hacia el N, F7 = 90 Kp hacia el S y F8 = 85 Kp hacia el N.

9. Pedro y Marta sujetan en sus manos los extremos de una cuerda. Pedro tira de la cuerda con una fuerza de 50 Kp. Marta se opone con una fuerza de 50 Kp. Quin ganara?

10. Una fuerza de 100New forma un ngulo de 60 con la horizontal. Grafica y calcula sus componentes rectangulares.

Vigas Estticamente DeterminadasEcuaciones de Equilibrio:Fx=0 Fy=0Mo=0 (En casos de vigas con cargas gravitacionales solo se aplican las 2 ltimas).

Ejercicios:Hallar las reacciones de las siguientes vigas:

500 K/m1.BA6m

300K2. 5m5mBA

200 K/m

3. 4m6mBA

4. 4 m10 m400KAB

BA400K

300 K/m5.5 mB2 m6 m4 m

200 K/m500K6.A 2 m3 m

500K200 K/m7. 5 m 3 m 2 m 3 mABCD

300K

B200 K/mCD6m 3 m8. B 2 m 3 m 1 mA

500 K/m7m 2 m 1 mCDB9. 4 mA

300K

200K400 K/m10. 3 m 2 m 1 m 3 mBA7mCDMTODO DE CROSS Creado por Harry Cross en 1932. Mtodo para la resolucin de estructuras hiperestticas. No utiliza sistemas de ecuaciones como otros mtodos. En su poca no existan comercialmente las computadoras. Se requera de una gran labor aritmtica para resolver los sistemas de ecuaciones en la resolucin de sistemas estticamente indeterminados Permite verificar las condiciones de equilibrio en cualquier etapa de la solucin. Otra caracterstica significativa es que permite entender con claridad el funcionamiento de una estructura, en cuanto a sus cargas y geometra.

Trminos Bsicos

Tabla de Momentos de Empotramiento Perfecto

Carga uniformemente distribuida de valor q

Carga triangular de valor mximo q0

Carga puntual de valor P

Momento de valor M0

Nota: Si la carga concentrada est aplicada a mitad de la longitud o luz del miembro los Momentos de Empotramientos son PL/8 y +PL/8.Si el momento concentrado est aplicado a mitad de la longitud o luz del miembro los Momentos de Empotramientos son M/4 y +M/4 .

El mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que sirve para determinar los momentos flexionantes en las secciones o cortes ms interesantes de una viga, claro o prtico. Cuando las secciones son constantes, se calculan las rgideces lineales, los factores de distribucin, los momentos de empotramiento perfecto y los factores d transporte, para luego proceder a la distribucin de momento a los tramos y su posterior transporte. Este ciclo iterativo se realiza hasta llegar a cifras despreciables (0,1 t-m, 100 Kg-m a un 5% de los momentos de empotramientos iniciales), luego se puede calcular las fuerzas cortantes que tambin son importante para el diseo estructural. En el caso de elementos estructurales de secciones variables, se tendran que calcular previamente las deformaciones por rotacin debido a la variacin del momento de inercia, en esta ocasin se le presenta el clculo por un mtodo nmerico llamado de Nexwark, aunque se puede hacer por los mtodos de las deformaciones o de la fuerzas, luego de haber obtenidos los momentos de empotramiento perfecto. Desde la pgina 148 a la 155, se encuentran varios ejercicios sobre el clculo de deformaciones y rotaciones utilizando el Mtodo de Nexwark que se utilizar para el clculo de los momentos de empotramientos, la rigidices angulares, y los factores de transporte para secciones transversales. Cabe notar, que se debe suponer el valor de la rotacin , en este caso se hizo en el tramo 1-2 y se sigue un proceso anlogo como se hizo para la fuerza cortante V. (Lea muy bien la pgina 430 del Libro de Gonzlez Cuevas si es posible ms de dos veces y compare con los resultados obtenidos).Para la resolucin de estos ejercicios se debe dividir el elemento en 3partes, primero con una configuracin isstatica, luego con un momento flector por un extremo y finalmente con un momento final en el otro extremo (sistema parecido al mtodo de las fuerzas y rotaciones, le invito a que revisen sus cuadernos de apuntes e instructivos de la asignatura anterior donde se hablaba de sistema primario y sistemas complementarios).Si se recuerdan tambin, se tenan que resolver un sistema de ecuaciones segn el grado de hiprestacidad, en este caso tenemos que resolver tres de sistemas de ecuaciones, primero para el clculo de los momentos de empotramientos perfectos (Que si compara son totalmente distintos cuando la seccin es constante), y otros dos para el clculo de las rigideces angulares, primero con al primero ecuacin iguala a 1 y la otra a 0, y la tercera ecuacin igualada a 0 la primera y la otra igual a 1. El factor de transporte se calcula como el cociente de las rigideces lineales, tengan cuidado con la divisin en el caso de Mba/Mab se divide las segunda ecuacin (la que es igual a 0) por la primera (la que es igual a 19,en el caso del factor de transporte Mab/Mba se hace a la viceversa.

Ejercicios:500K300K200 K/m1.DAC2mE2m2mB6m5m3m

IoIo2Io2Io

C200 K/m500K300 K/mDEF2m6m5m3m2m2. A2mB

5mIo3m2mIo2Io3Io4Io250 K/m300K500KABCD2m2m6m2Io2IoIo

E3.

C4Io3Io2Io500 K/m300K400KABIoDE2m1m6m5m3m3m4.

D500 K/m300K400KA200 K/mEG6m5m3m3m2IoIo4Io2Io5.FB3m1m1mC

MTODO DE CROSS PARA PRTICOS O MARCOS SIN DESPLAZABILIDADEl mtodo de clculo es anlogo al mtodo utilizado para vigas continuas, se recomienda utilizar una tabla donde se coloca por nodo las juntas, as es ms sencillo que realizando el mtodo sobre el prtico que tiende a enredar ms si no tiene la prctica necesaria. Se calculan los momentos de inercias, si no estn presentados por un momento de inercia de referencia, las rigideces angulares, los factores de distribucin por junta y los momentos de empotramiento perfecto por miembro cargado, en caso de no estar cargado, los momentos de empotramientos son mulos.

Luego de colocados en la tabla por nodo, las juntas, se coloca los factores de distribucin, luego los momentos de empotramiento perfecto por juntas, y se procede a calcular los momentos equivalentes por nodo, para luego hacer la primera distribucin, recordar que al distribuir se cambia el signo del momento en la junta para que exista el equilibrio, luego se realiza el transporte en las juntas intermedias y extremos articuados, en las juntas empotradas no se realiza transporte, recordar que el factor de transporte es de .

A continuacin presentamos un ejemplo del Libro Gonzlez Cuevas que aparece en la pgina N 448.

Ejercicios:Determine por el Mtodo de Cross los Momentos Flectores Finales y realice los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector. W1W2

Viga

Tramobh

a1b2cab30.0060.00

bc30.0050.00

345HColumna

Tramobh

ad30.0045.00

defbe30.0050.00

cf30.0045.00

L1L2

W1= 2.60 Tn/m

W2= 2.00 Tn/m

L1=5.00m.

L2=6.00m.

H=3.00m.

Mtodo de las Fuerzas

Al inicio del semestre, se dijo que las estructuras estticamente indeterminadas o hiperestticas, son aquellas que no presentan movimiento, pero que la cantidad de vnculos necesarios para permanecer estticos son mayores a las necesarias (para que los GDL=0), es decir, hay una cantidad de vnculos llamados superabundantes.

Por lo tanto, los mtodos vistos anteriormente no son suficientes para calcular las fuerzas y las deformaciones de las estructuras, por lo que debemos utilizar artificios para determinar el estado de la estructura que servir posteriormente para realizar el diseo, segn el tipo de material y normas de construccin pertinente.

Uno de estos mtodos es el mtodo de las fuerzas o de la flexibilidad, donde vamos a calcular el nmero de redundantes hiperestticas (aquellas vinculaciones adicionales para que el sistema sea estticamente determinado). Esta cantidad de vinculaciones adicionales la llamaremos Grado de Hiperestaticidad, y con ella determinamos el nmero de redundantes hiperestticas.

Este mtodo es vlido tanto para vigas continuas, como prticos o marcos y armaduras o cerchas, se pueden incluir tambin las deformaciones producidas por movimiento de apoyos y por temperatura en los miembros.Se trabajar con un sistema primario o 0, que ser la imagen isosttica de la estructura, suprimiendo los vnculos superabundantes, con sus cargas reales y las deformaciones anteriormente sealadas, y tanto sistemas complementarios como redundantes tenga, all se trabajar el Principio de los Trabajos Virtuales y se le colocar una carga virtual asociada a la restriccin de la redundante hiperesttica (externa o interna).Al final, obtendremos lo que se llama Ecuaciones de Compatibilidad o de Equilibrio, ellas dependern del nmero de redundantes hiperestticas, donde las incgnitas ser las solicitaciones de dichas redundantes, se resuelva en forma matricial, por el mtodo de Cramer o por sistemas de ecuaciones. Obtenido estos resultados, las solicitaciones faltantes las obtendremos aplicando la ecuaciones de equilibrio. Sin ms prembulos comencemos con este fabuloso tema.

Ejercicios: Los 5 primeros de viga continua del Mtodo de Cross con EIo y si el extremo es empotrado lo coloca articulado.

Mtodo de las Fuerzas en armaduras planas o celosas

El mtodo es muy parecido al de las vigas continuas, con la diferencia que si recordamos en Resistencia de los Materiales, que este tipo de estructuras trabajan internamente con fuerzas axiales, por lo que el parmetro de rigidez ser medido por AE, que es el producto del rea de la seccin transversal por su modulo de elasticidad (rigidez axial), se divide el ejercicio en un sistema primario y un complementario (trabajaremos con GH=1, con indeterminaciones externas o internas), y por lo tanto, se trabaja con una ecuacin de compatibilidad de desplazamiento, que en el caso de no existir movimiento de apoyo la ecuacin sera:

Donde el primer trmino sera los desplazamientos del sistema primario que seran el producto de las fuerzas axiales del sistema primario con el sistema complementario 1.

El segundo trmino sera los desplazamientos del sistema complementario que seran el producto de las fuerzas axiales del sistema complementario 1 elevado al cuadrado.Luego, se despeja la redundante X, y ya calculada se obtienen las fuerzas axiales definitivas que sern usadas para posterior diseo del material, que ser la suma de las fuerzas axiales del sistema primario ms el producto de cada fuerza axial del sistema complementario por la redundante calculada.

MTODO DE LAS DEFORMACIONES O DE LA RIGIDEZ