Manual matematicas1
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7/17/2019 Manual matematicas1
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Tema: Polígonos y ángulos.
Las rectas y los ángulos. Clasificación de los ángulos.
Ángulos: como se mide. Uso de transportador y compás.
LAS RECTAS EN EL PLANO
Según la posición que adopten las rectas en el plano, estas se pueden clasificar en paralelas o secantes (incidentes).
Dos rectas son paralelas cuando, por más que las alarguemos, estas no se cortan. Dos rectas son secantes si se cortan en algún punto. A su vez, dentro de las rectas secantes podemos distinguir dos clases: las rectas perpendiculares (al cortarse forman un ángulo de
90º ) y oblicuas (al cortarse forman 4 ángulos que no son de 90º).
En el mapa que vemos arriba, encontramos que las calles Catamarca y La
Rioja son paralelas, ya que no se cruzan. Por otro lado, las calles Catamarca y Moreno son perpendiculares porque
se cruzan (se cortan) formando
un
ángulo
de
90º (ángulo recto).
CONSTRUCCION DE RECTAS SECANTES Y PARALELAS
Podemos construir rectas, paralelas y secantes, fácilmente utilizando una regla y una escuadra. La escuadra, es una herramienta que tiene la forma de un triángulo rectángulo, es decir, consta de un ángulo recto (ángulo de 90°) y en uno de sus catetos podemos encontrar una escala graduada en centímetros (generalmente) para realizar mediciones.
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A continuación, veremos cómo construir rectas paralelas utilizando regla y escuadra.
EJEMPLO:
Dibujar dos rectas, una en color azul y otra en color verde, que sean paralelas a la que podemos ver en la hoja.
Primer paso: alineamos con la recta el cateto mayor de la escuadra.
Segundo paso: alineamos la regla con el cateto menor. De esta manera, podremos desplazar la escuadra de abajo hacia arriba y viceversa, obteniendo así todas las rectas paralelas a la primera (en color negro).
Escala graduada,
útil
para
realizar
mediciones.
Catetos
ESCUADRA
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Tercer
paso: dibujamos las rectas paralelas.
Por último, el dibujo que nos queda es el siguiente. A cada una de las rectas le asignamos un nombre y para ello utilizamos alguna letra del alfabeto en mayúscula.
También podemos expresar, de forma simbólica, lo que vemos en el dibujo.
A
B
C
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A // B // C
Se lee: A es paralela a B y B es paralela a C.
¿COMO DIBUJAR RECTAS PERPENDICULARES CON REGLA Y ESCUADRA?
Al utilizar la escuadra, todo resulta más sencillo. Primero trazamos una recta y a continuación alineamos con esta, uno de los catetos de la escuadra (hacemos uso del ángulo recto que tiene la escuadra).
EJEMPLO: dibujar dos rectas perpendiculares a la que se ve dibujada en color rojo.
Recta inicial, sobre la cual debemos dibujar dos rectas perpendiculares.
Alineamos uno de los catetos de la escuadra con la recta inicial (en color rojo). Luego, nos desplazamos hacia un lado y al otro trazando las rectas perpendiculares.
Dibu o final
A
B
C
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EJERCICIO 1
Copiar la siguiente figura utilizando, regla y escuadra.
EJERCICIO 2
a)
Trazar una recta perpendicular ( ) a la recta A (en color negro), que pase por el punto azul. Y una recta oblicua ( ) a la recta A, que pase por el punto rojo.
Nota: para construir dos rectas secantes y oblicuas, basta con utilizar la regla y dibujar dos
rectas que se corten en algún punto, sin dejar que se forme un ángulo de 90°.
Rectas
secantes
y
oblicuas.
[Espacio destinado para dibujar]
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Por último, escribimos: A B
(la recta A es perpendicular con la recta B) y A
C
(la recta A
y la recta C
son
oblicuas).
b) Trazar una recta paralela ( // ) a la recta A, que a su vez pase por el punto de color verde. Y una recta oblicua ( ) a la recta A, que pase por el punto amarillo.
Finalmente escribimos: A
//
B (la recta A es paralela a la recta B) y A C (la recta A
y la recta C son oblicuas).
MEDIATRIZ
La mediatriz es la recta que divide en dos partes iguales a un segmento. Es decir, pasa por el punto medio del segmento quedando de esta forma, cada punto de la mediatriz, a la misa distancia de los extremos del mismo.
A
C
B
A
C
B
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¿COMO
TRAZAR
LA
MEDIATRIZ
UTILIZANDO
COMPAS?
El compás, es un instrumento que se utiliza para dibujar circunferencias o arcos. También se utiliza para medir distancias. Como vemos en la imagen de la derecha, el instrumento consta de dos “brazos”. En uno de
ellos, hay una punta metálica que nos permite fijar la herramienta al papel (al dibujar una
circunferencia, la punta metálica, se debe colocar en el centro de la misma). Y en el otro
encontramos un lápiz, el cual, nos permitirá dibujar la figura deseada.
El compás se puede utilizar para trazar la mediatriz de un segmento. A continuación vemos un
ejemplo donde se trazará la mediatriz del segmento ab.
Primer
paso: utilizando el compás, pinchamos en uno de los extremos del segmento ab y tomamos una medida, que sea al menos, mayor que la mitad de la longitud del segmento. Luego trazamos dos arcos, cada uno, a ambos lados de ab.
a b
M En la imagen, podemos ver que la recta M
(mediatriz) pasa por el punto medio del segmento ab, dividiéndolo en dos partes
iguales. La
mediatriz
y el
segmento
son
perpendiculares. Si observamos con atención, veremos que
cualquier punto de la mediatriz está a la
misma distancia, tanto del punto “a” como del punto “b”.
a b
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Segundo paso: repetimos el primer paso pero ahora pinchando en el otro extremo del segmento ab, manteniendo la misma abertura del compás.
Tercer
paso:
trazamos
la
recta
(la
mediatriz)
que
pasa
por
los
puntos
que
se
formaron
a
partir
de la intersección de los pares de arcos.
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1
Copiar la siguiente figura de la izquierda tomando como base el dibujo de la derecha, utilizando únicamente regla y compás. Pista: trazando la mediatriz, resulta más sencillo.
Mediatriz
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Lo primero que haremos, será trazar la mediatriz utilizando el compás. Luego, con la regla tomamos la medida de uno de los lados (al tratarse de un cuadrado, todos los lados son iguales) guiándonos con las dos diagonales dibujadas previamente.
EJERCICIO 2
Copiar la siguiente figura de la izquierda tomando como base el dibujo de la derecha, utilizando únicamente escuadra y compás. No hace falta utilizar la escala de la escuadra para medir.
Para comenzar, trazaremos la bisectriz de cada uno de los lados del cuadrado utilizando el compás y la escuadra.
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Una vez que trazamos la bisectriz, borramos las líneas excedentes. Pinchando con el compás en el punto medio de uno de los lados, tomando al mismo tiempo la medida hasta uno de los vértices, dibujamos una circunferencia. Repetimos el procedimiento en cada uno de los lados del cuadrado.
Colocando el compás en cada uno de los vértices del cuadrado, vamos dibujando los arcos necesarios para trazar la bisectriz (utilizando la escuadra).
Dibujaremos una circunferencia como esta, pinchando con el compás, en cada uno de los lugares donde encontramos un punto rojo ( ).
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LOS ÁNGULOS
Llamamos ángulo a la región comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.
CLASIFICACION DE ÁNGULOS
Los ángulos se pueden ser:
Ángulo
Vértice
SemirrectaSemirrecta o
p r
Para nombrar un ángulo, generalmente, se utilizan las letras griegas α (alfa), β (beta), γ (gamma), entre otras. Por ejemplo:
Otra forma que tenemos para nombrar un ángulo es:
Se
lee:
ángulo
alfa ( α ).
Se lee: ángulo
beta ( β ).
o p r
Utilizando las letras que vemos en la
figura, nombramos el ángulo pôr .
Al vértice, por lo general, se le asigna la
letra “ o” , pero podría utilizarse otra letra.
Al nombrar un ángulo de esta manera,
siempre debemos colocar la letra que
corresponde al vértice en el medio.
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Agudos: Un ángulo es agudo, si su valor está comprendido entre 0º y 90º.
Rectos: Un ángulo es recto, si su valor es 90º.
Obtusos: Un ángulo es obtuso, si su valor está comprendido entre 90º y 180º.
Llanos: Un ángulo es llano, si su valor es igual a 180º.
Un giro: Un ángulo es un giro completo, cuando su valor es igual a 360º.
0°
<
<
90°
=
90°
90° < < 180°
= 180°
=
360°
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Nulo: Un ángulo es nulo, cuando su valor es igual a 0º.
A
continuación,
vemos
la
representación
de
algunos
ángulos
con
sus
valores.
= 0°
ANGULOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
Un ángulo
que
tiene
una
amplitud
mayor
a 180°
y menor
a 360° ,
se
llama
cóncavo.
Un ángulo que tiene una amplitud mayor a 0° y menor a 180° , se llama convexo.
(Convexo)
(Cóncavo)
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¿COMO UTILZAMOS EL TRANSPORTADOR?
Para medir los ángulos, utilizamos el transportador.
EJEMPLO 1
Medir el siguiente ángulo con transportador.
Primer
paso: tomamos el transportador y hacemos coincidir el centro del mismo con el vértice, luego el cero del transportador debe pasar por uno de los lados.
El transportador,
es
un
instrumento
que
puede
tener una forma circular o semicircular. Y está
dividido en 360 partes iguales (en el caso del circular) y en 180 partes iguales (si es el semicircular). Cada una de esas partes representa a 1°. El transportador se utiliza tanto para medir, como para construir ángulos.
Vértice
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Segundo paso: el otro lado pasa por la escala graduada del transportador dándonos el valor del ángulo en grados.
Observemos
que
el
transportador
tiene
una
doble
escala,
la
cual
es
útil
para
medir
ángulos
en
un
sentido
u
el
otro.
EJEMPLO 2
Construir un ángulo de 50° utilizando transportador.
Primer paso: trazamos una recta y marcamos un punto sobre ella. Este punto, más adelante, será nuestro vértice.
Segundo
paso: colocamos el transportador sobre la recta y alineamos el cero del mismo con la
línea, también hacemos coincidir el centro del transportador con el punto.
Tercer
paso: buscamos la medida (50°) sobre la escala graduada, marcamos un punto (de color
rojo, en este caso) en el lugar y luego unimos este punto con el primer punto (en color negro).
= 165°
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Cuarto
paso: borramos las líneas excedentes y le asignamos un nombre al ángulo marcando su
valor.
Cuando comparamos dos ángulos en particular, estos pueden ser:
Consecutivos: comparten un lado y un mismo vértice.
=
50°
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Los
ángulos
son
dos
ángulos
consecutivos
y
además:
+=180°
Por
lo
tanto,
son
adyacentes.
Opuestos por el vértice: son ángulos iguales y sus lados son semirrectas opuestas.
Suplementarios:
dos
ángulos
son
suplementarios,
cuando
sumados
dan
como
resultado
180°.
Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando sumados dan como resultado
90°.
ÁNGULOS ADYASENTES
Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y a la vez son suplementarios.
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo, es la semirrecta que surge en el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales. Cada punto de la bisectriz respecto a cada uno de los lados, que forman el ángulo, se
encuentra a la misma distancia.
CONSTRUCCION DE LA BISECTRIZ CON REGLA Y COMPÁS
Utilizando regla y compás podemos trazar la bisectriz de cualquier ángulo siguiendo estos pasos.
Primer
paso: tomamos el compás (con una abertura cualquiera) y pinchamos con él en el vértice. Luego trazamos un arco de circunferencia que corte los lados del ángulo.
Segundo paso: conservando la misma abertura del compás, pinchamos sobre los puntos en color rojo y dibujamos dos arcos.
Tercer paso: los arcos dibujados en el paso anterior, se cortan en un punto (indicado en color verde). Por último, utilizando la regla dibujamos una semirrecta (bisectriz) que una el vértice con el punto de color verde.
Vértice
Bisectriz
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Como podemos ver, siguiendo estos pasos podemos trazar la bisectriz de cualquier ángulo.
EJERCICIO 1
En la siguiente figura, podemos encontrar ángulos que corresponden a las clases ya vistas hasta el momento. ¿Cuántos puedes encontrar?
Ejemplo:
sôq es un ángulo recto.
uôr es un ángulo agudo.
Los ángulos uôr y rôm son complementarios.
EJERCICIO 2
Calcular el ángulo complementario y suplementario para cada uno de los siguientes ángulos.
Ejemplo:
= 15°
Calculamos el ángulo complementario de .
o
q p
s
t i
u
r
m
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Sabemos que la suma de dos ángulos complementarios da como resultado 90°. Teniendo esto en cuenta, completamos el valor de hasta llegar a 90°.
+ …. = 90°
15° + 75° = 90°
Respuesta: el valor del ángulo complementario a es 75°.
Ahora calculamos el ángulo suplementario. Teniendo en cuenta que dos ángulos son suplementarios si sumados dan 180°, planteamos:
+ …. = 180°
15° + 165° = 180°
Respuesta: el valor del ángulo suplementario a es 165°.
Ángulos:
= 25° = 53° eût = 67°
EJERCICIO 3
Dibujar, utilizando regla y compás, la bisectriz de los siguientes ángulos. Luego, comprobar los resultados midiendo los ángulos con el transportador. Nota: el ángulo que medimos desde uno de los lados hasta la bisectriz, debe ser la mitad del ángulo inicial.
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SISTEMA SEXAGESIMAL
El
sistema
sexagesimal
se
utiliza
para
medir
ángulos.
En
este
sistema,
un
giro
equivale
a
360°
y
cada grado es igual a 60 minutos (1° = 60’) y a su vez cada minuto es igual a 60 segundos (1’ =
60’’).
[Tomar esta imagen como ejemplo. Se disponen las operaciones en una tabla. Las operaciones se deben cambiar por las siguientes cuentas.]
ADICION
12° 15’ 40’’ + 4° 30’ 25’’ = 16° 46’ 5’’
SUSTRACCION
40° 45’ 20’’ ‐ 32° 30’ 45’’ = 8° 14’ 35‘’
MULTIPLICACION
110° 35’ 25’’ X 3 = 331° 46’ 15’’
DIVISION
33° 25’ 40’’ ÷ 2 = 16° 42’ 50’’
EJERCICIO 1
Nota: si no recuerdan como son las operaciones con el sistema sexagesimal, pueden
repasarlo volviendo al tema:
medidas
–
Unidades
de
tiempo.
Operaciones. Los procedimientos son los mismos, sólo que en este caso cambiamos la unidad de tiempo
(horas) por la unidad de medida de los ángulos (grados).
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Calcular el ángulo faltante.
EJERCICIO 2
Resolver las siguientes operaciones con ángulos.
235° 75’ 25’’ ÷ 5 =
47° 12’ x 8 =
78° 54’ 63’’ ÷ 4 =
301° 9’ 47’’ x 4=
EJERCICIO 3
a) Obtener el valor del ángulo adyacente a y dibujarlo.
= 93° 14’ 7’’
b) Obtener el ángulo complementario a y dibujarlo.
= 5° 53’ 31’’
22° 15’’ 59’’ 51° 18’’ 36’’ 13° 5’’ 57’’
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TRIÁNGULOS: CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS O SUS LADOS. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.
TRIÁNGULOS
Comenzaremos por la definición: un triángulo es un polígono de tres lados. Los triángulos se pueden clasificar por sus lados o también por sus ángulos interiores.
Estudiando las partes de un triángulo encontramos:
Si tomamos un triángulo y prolongamos cada uno de sus lados con una línea de puntos, veremos que se forma un ángulo entre la línea de puntos y el lado siguiente del triángulo. A
este ángulo lo llamamos ángulo
exterior .
Los ángulos , y son los ángulos exteriores. En el dibujo de arriba, los puntos “a”, “e” y “u” son los vértices del triángulo. En este caso, utilizaremos también las letras a, e y u para nombrar a los ángulos interiores â, ê
y û.
Clasificación de triángulos:
Ángulo
exterior Ángulo
interior
Lado
Lado
Lado
Vértice
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EJERCICIO
RESUELTO
Clasificar los siguientes triángulos por sus lados y por sus ángulos.
a) Como podemos ver, el siguiente triángulo tiene todos sus lados distintos, es decir,
cada
uno
de
sus
lados
tienen
distintas
longitudes.
Por
lo
tanto,
si
clasificamos
el
triángulo
por
sus
lados
diremos
que
es
escaleno.
Por
otro
lado,
si
analizamos
los
ángulos
interiores
del
triángulo
nos
daremos
cuenta
que todos sus ángulos son agudos (son menores a 90°). Por lo tanto, si clasificamos la
figura por sus ángulos, diremos que es un
triángulo
acutángulo.
Ángulo agudo
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b) Si observamos con atención el triángulo que vemos a continuación, notaremos que
dos de sus lados tienen la misma longitud mientras que el restante no, por lo tanto, si clasificamos a la figura por sus lados diremos que es un triángulo isósceles.
Ahora si analizamos los ángulos interiores del triángulo, veremos que hay dos ángulos agudos
y
uno
recto
(90°),
por
lo
tanto
el
triángulo
es
un
triángulo
rectángulo.
c)
En el siguiente triángulo, podemos ver que todos sus lados tienen distintas longitudes. Por lo tanto, se trata de un triángulo
escaleno.
Por otro lado, podemos ver que el triángulo tiene un ángulo recto, por lo tanto se trata de un
triángulo
rectángulo.
Ángulo
de 90°
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EJERCICIO 1
Clasificar los siguientes triángulos por sus lados y sus ángulos.
a)
b)
c)
d)
PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS
En todo triángulo la suma de los lados más
pequeños es mayor que el lado más
largo. De lo
contrario no podría formarse el triángulo. Verifiquemos esto con algunos ejemplos:
2
5
6
5 5
8
Como vemos en este triángulo, el lado más largo mide 6 cm y los
lados más pequeños miden 2 cm y 5
cm respectivamente.
Si sumamos 2
cm
+
5 cm obtenemos como resultado 7 cm que
efectivamente es una longitud
mayor que 6
cm.
En esta figura, el lado más largo
mide 8 cm mientras que los
lados más pequeños miden 5
cm. Si
sumamos
5
cm
+
5
cm
obtenemos como resultado 10
cm, y este valor efectivamente
es más largo que 8 cm.
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EJERCICIO
1
Los valores que se encuentran a continuación, corresponden a los lados de un triángulo. Indicar con cuáles de estos conjuntos de valores es posible formar un triángulo y dibujarlo.
EJEMPLO
Tenemos el siguiente conjunto de valores: 4
cm, 8 cm y 10 cm. Debemos indicar si con este conjunto de valores podemos formar un triángulo, entonces, primero buscamos el lado más largo (en este caso 10 cm) y luego sumamos los valores restantes (4
cm y 8 cm). El resultado de la suma es 12
cm.
Como 12
cm
es
mayor
que
10
cm
(el
lado
más
largo),
entonces
es
posible formar
un
triángulo
con estos valores.
En el
siguiente
conjunto
de
valores
realizamos
los
mismos
pasos
que
en
caso
anterior.
7
cm,
3
cm
y
2
cm
Sumamos los lados más pequeños (2 cm y 3 cm) obteniendo como resultado 5 cm, pero 5 cm
es más pequeño que 7 cm (el cual sería el lado más largo). Por lo tanto, no
es
posible
formar
un
triángulo con estos valores.
a)
2 cm, 5 cm y 6 cm.
b)
3 cm,
3 cm
y 6 cm.
4 cm
8 cm
10 cm
7 cm
2 cm 3 cm
Como
vemos
en
el
dibujo,
no
se
puede
completar
la
figura
de
un
triángulo
con
estos
valores
de
longitud.
7/17/2019 Manual matematicas1
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c)
4 cm, 35 mm y 50 mm.
d)
24
mm,
53
mm
y
90
mm.
CONSTRUCCION DE TRIÁNGULOS CON REGLA Y COMPÁS.
Para construir triángulos fácilmente podemos ayudarnos si utilizamos una regla y un compás. Vamos a ver cuáles son los pasos a seguir (para construir un triángulo con regla y compás) con
un ejemplo.
Las
medidas
del
triángulo
son:
5
cm,
4
cm
y
2
cm.
Primer paso: elegimos una de las tres medidas y la dibujamos, en este caso dibujaremos un
segmento de 5 cm.
Segundo
paso: tomamos el compás y (tomando la siguiente medida, 4 cm) pinchamos en uno
de los extremos del segmento, luego trazamos un arco con el compás por encima del segmento.
Tercer
paso: tomamos la última medida con el compás (2 cm) y pinchamos en el otro extremo
del segmento, a continuación dibujamos un arco el cual se cortará (en un punto, indicado en
color rojo) con el arco anterior.
5 cm
5 cm
5 cm
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Cuarto
paso: finalmente, con la regla dibujamos los segmentos que van a unir los extremos del segmento mayor (5 cm) con el punto indicado en color rojo. De esta forma, logramos dibujar el triángulo cuyos lados miden 5 cm, 4 cm y 2 cm.
EJERCICIO
Construir los siguientes triángulos con regla y compás a partir de las siguientes medidas. Luego
clasificarlos por sus lados y sus ángulos.
8 cm, 6 cm y 3 cm.
3 cm, 3 cm y 4,2 cm.
3
cm,
4
cm
y
4
cm.
5 cm 5 cm
4 cm 2 cm
Espacio
para
dibujar
7/17/2019 Manual matematicas1
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CONSTRUCCION DE TRIÁNGULOS CON REGLA Y TRANSPORTADOR
También
podemos
utilizar
regla
y
transportador
para
construir
triángulos.
En
ocasiones
tenemos como datos, para construir un triángulo, solo dos lados y un ángulo. En estos casos, los pasos a seguir son los siguientes:
Construir un triángulo que tenga un lado de 5 cm, otro de 4 cm y además que el ángulo
comprendido entre ellos sea de 22°.
Primer
paso: dibujamos un segmento de 5 cm.
Segundo
paso: tomamos el transportador y ubicamos el centro del mismo sobre el extremo
izquierdo del segmento, alineando al mismo tiempo el cero (del transportador) con el segmento. Luego marcamos los 22° sobre la hoja con un punto rojo.
Tercer paso: trazamos, con la regla, una línea de puntos (en color verde) que une el extremo
izquierdo del segmento con el punto rojo. Esta línea nos servirá de guía y sobre ésta
dibujaremos un segmento de 4 cm a continuación del primer segmento.
Cuarto
paso: por último, unimos los extremos (con un segmento, que en este caso mide 2 cm) que quedan libres, cerrando la figura y quedando así un triángulo.
5 cm
5 cm
5 cm
4 cm
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EJERCICIO
Dibujar los siguientes triángulos y luego clasificarlos por sus lados y sus ángulos. A
continuación se dan las medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
5
cm,
5
cm
y
40°.
6 cm, 3 cm y 43°.
4 cm, 4,5 cm y 120°.
ANGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO
En
todo
triángulo
se
cumple
que
la
suma
de
todos
sus
ángulos
interiores
es
igual
a
180°.
Podemos comprobar esto partiendo de la siguiente figura.
4 cm
5
cm
2 cm
Espacio
para
dibujar
7/17/2019 Manual matematicas1
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A continuación veremos un caso particular.
Dibujamos un rectángulo cualquiera, es decir, no importa las medidas que elijamos para sus lados.
Luego, dividimos el rectángulo anterior (en dos partes iguales) cortándolo a lo largo de una de
las diagonales
del
mismo.
Es preciso aclarar que esto es un caso particular, que utilizamos para poder visualizar de
manera gráfica, como deducir la suma de los ángulos interiores de un triángulo a partir de una
datos conocidos (como lo son los ángulos interiores de un rectángulo, donde cada uno mide
90°).
En
todo
triángulo,
ya
sea
rectángulo,
obtusángulo
o
acutángulo
la
suma
de
sus
ángulos
interiores
es
igual
a
180°.
Como podemos
ver
este
rectángulo
posee 4 ángulos rectos, es decir, tiene 4
ángulos de 90°. Si sumamos cada uno de sus ángulos interiores:
90° + 90° + 90° + 90° = 360°
Al cortar el rectángulo por la diagonal, obtenemos un triángulo. Es decir, dividimos el rectángulo en dos partes iguales y lo mismo sucede con la suma de
sus ángulos interiores.
Suma de los ángulos interiores de un
rectángulo: 360°.
360°:2 = 180°
Analizando los dibujos, llegamos a
obtener la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
En todo triángulo la suma de sus ángulos
interiores es igual a 180°.
7/17/2019 Manual matematicas1
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También podemos asegurar, que en todo triángulo la suma de su ángulo interior más el exterior es igual a 180° (medio giro o llano).
Por último diéremos que en todo triángulo, el perímetro es igual a la suma de todos sus lados.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO
En todo triángulo la altura es igual a la longitud del segmento que nace perpendicularmente en
la base de triángulo, y llega hasta el vértice opuesto a la misma. Todos los triángulos se pueden dibujar tres alturas, una por cada vértice.
180°
Ángulo exterior Ángulo interior
5 cm
7 cm
3 cm Perímetro = 5 cm + 7 cm + 3 cm
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Dibujando todas las alturas de cada triángulo:
h
h h
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
La altura del triángulo la indicamos como
un segmento (en color rojo). En este caso, la
altura
coincide
con
uno
de
los
catetos
del triángulo.
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
La altura del triángulo la indicamos como
un segmento
(en
color
rojo),
en
este
caso
el segmento que indica la altura cae afuera
de la figura. Para este triángulo, nos ayudamos dibujando una línea auxiliar (línea de puntos) que prolonga la base.
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
La altura
del
triángulo
la
indicamos
como
un segmento (en color rojo) el cuál es perpendicular a la base y llega hasta el vértice opuesto a la misma.
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EJERCICIO 1
Calcular el perímetro de los siguientes triángulos y calcular el ángulo faltante.
EJEMPLO
¡OBSERVACIÓN!
El segmento que representa la altura en un triángulo isósceles es también bisectriz del
ángulo opuesto
a la
base.
BisectrizAmbos ángulos
son iguales.
Triángulo
isósceles
h
3 cm
60° 60°
Sabemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos interiores debe ser igual a 180°. En el dibujo vemos que dos de sus ángulos valen 60°, por lo tanto el ángulo en color rojo también vale
60°. 60° + 60° + 60° = 180°
En todo
triángulo,
el
perímetro
es
igual
a la
suma
de
todos
sus
lados.
En
este
caso,
el
triángulo tiene todos sus lados iguales (triángulo equilátero).
Perímetro = 3 cm + 3 cm + 3 cm
Perímetro
=
9
cm
¡Observación! Todo triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos interiores iguales.
3 cm 3 cm
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a)
b)
c)
d)
EJERCICIO 2
Dibujar todas las alturas de los triángulos del ejercicio 1.
EJERCICIO 3
5,8 cm 3 cm
5 cm
30° 57’ 49’’
5 cm
60°
11 cm
53° 7’ 48’’
8,9 cm 5 cm
26° 23’ 54’’
6 cm30°
6 cm
10,4 cm
60°
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Calcular la amplitud de los ángulos exteriores de cada uno de los triángulos del ejercicio 1.
EJEMPLO
Calcular los ángulos exteriores (en color rojo) del siguiente triángulo.
Sabiendo que la suma del ángulo interior y exterior de un triángulo es igual a 180°, planteamos lo siguiente para el triángulo anterior:
= 180° ‐ 29° 55’ 35’’ = 150° 4’ 25’’
= 180° ‐ 86° 10’ 39’’ = 93° 49’ 21’’
= 180° ‐ 63° 53’ 46’’ = 116° 6’ 14’’
29° 55’
35’’ 63°
53’
46’’
86° 10’ 39’’
150°
4’
25’’
93°
49’
21’’
116°
6’
14’’
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TEMA: POLÍGONOS Y ÁNGULOS.
POLÍGONOS
REGULARES.
POLÍGONOS
Un polígono es una figura cerrada cuyos lados son segmentos. La palabra polígonos se puede
interpretar
como:
figura
de
muchos
ángulos.
Los
triángulos,
por
ejemplo
son
polígonos
de
tres
lados.
Los
cuadrados,
rectángulos,
paralelogramos,
rombos,
romboides
y
trapecios
son
también
polígonos
(en
este
caso
son
polígonos de cuatro lados).
Los
polígonos
llevan
distintos
nombres
según
la
cantidad
de
lados
que
tengan.
La tabla que vemos a continuación indica los nombres para cada polígono.
Cantidad de lados del polígono
Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5
Pentágono
6 Hexágono
7
Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11
Undecágono
12 Dodecágono
20
Icoságono
Cuando
tenemos
polígonos
de
muchos
lados,
también
podemos
nombrarlos
de
la
siguiente
forma,
por
ejemplo:
Cantidad de lados: 17
Lo indicamos diciendo: polígono de 17 lados.
Los puntos a, b, c, d, e y f son los vértices del polígono.
Cada uno de los segmentos ab, bc, cd, de, ef y
fa conforman los lados del polígono.
Los
ángulos
,
,
, ,
y
son
los
ángulos
interiores
del
polígono
mientras
que
los
ángulos
,
,
,
,
y
corresponden
a
los
ángulos
exteriores del polígono.
b
a
c
d
e
f
Diagonal:
es
el
segmento
que
uno
dos
vértices
no
consecutivos.
7/17/2019 Manual matematicas1
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POLÍGONOS
CONVEXOS
Al
trabajar
con
polígonos
simbolizaremos
la
cantidad
de
ángulos
interiores
y
exteriores,
la
cantidad
de
lados
y
la
cantidad
de
vértices
utilizando
la
letra
n según
corresponda.
La cantidad de diagonales que se pueden dibujar desde un vértice, se calcula haciendo la
siguiente
cuenta:
n‐3 (cantidad de lados del polígono menos tres).
La
cantidad
de
triángulos
que
se
pueden
formar
dentro
de
un
polígono
es
igual
a
n‐2.
La cantidad de diagonales que tiene un polígono en total es igual a
.
.
SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
Para
calcular
el
valor
de
la
suma
de
los
ángulos
interiores
de
un
polígono,
podemos
comenzar dibujando todas las diagonales que se puedan trazar desde uno de los vértices, dividiendo de
Para
el
hexágono:
n = 6.
n – 3 = 6 – 3 = 3
La cantidad de diagonales por vértice es 3.
Para
el
hexágono:
n = 6.
n – 2 =
6 – 2 =
4
La
cantidad
de
triángulos
es 4.
Para
el
hexágono:
n = 6.
.
=
.
=
9
La
cantidad
de
diagonales
en
el
polígono
es
9.
7/17/2019 Manual matematicas1
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esta forma al polígono en triángulos. Luego, recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, sumamos tantas veces 180° como triángulos tengamos dentro
de
la
figura.
Razonando
de
esta
forma
llegamos
la
siguiente
expresión:
180°.(n ‐
2)
=
Suma
de
los
ángulos
interiores
del
polígono
La
suma
de
los ángulos exteriores en todo polígono convexo es siempre 360°.
POLÍGONOS CONCAVOS
Un
polígono
cóncavo
es
aquel,
en
el
cual,
podemos
encontrar
al
menos
un
ángulo
interior
mayor a 180°. Vemos un ejemplo:
Otra
forma
que
tenemos
para
diferenciar
entre
un
polígono
cóncavo
y
uno
convexo
es
la
siguiente:
Marcamos dos puntos dentro del polígono y luego los unimos con una línea recta. Si
la
línea
queda
contenida
completamente
dentro
de
la
figura,
entonces,
el
polígono
es
convexo, de lo contrario es cóncavo.
Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Cantidad de triángulos adentro del polígono.
Polígono cóncavo
Ángulo mayor a 180°
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Polígono
cóncavo:
POLÍGONOS
REGULARES
Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos interiores iguales.
En
todo
polígono
regular,
cada
ángulo
interior
es
igual
a
la
suma
de
los
ángulos
interiores
dividido la cantidad de lados.
°
Por
otro
lado,
cada
ángulo
exterior
es
igual
a
360° : n.
Como vemos en el dibujo, al trazar la línea, no
queda
contenida
completamente
dentro
del
polígono.
Por
lo
tanto,
se
trata
de
un
polígono
cóncavo.
En este polígono, sea donde sea que ubiquemos el
par
de
puntos,
el
segmento
que
se
forma
queda
contenido
completamente
dentro
de
la
figura.
Por
lo
tanto,
el
polígono
es
convexo.
7/17/2019 Manual matematicas1
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ANGULO
CENTRAL
DE
UN
POLÍGONO
Para calcular el ángulo central de un polígono regular debemos tomar al ángulo de 360° (un
giro)
y
dividirlo
por
la
cantidad
de
lados
que
tiene
el
polígono.
Ángulo central = 360°:n
Por ejemplo, si queremos calcular el ángulo central de un hexágono debemos seguir estos pasos:
n = 6
360°:6
=
60°
Ángulo
central
=
60°
60°
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onstrucción de polígonos regulares
Todo
polígono
regular
se
puede
dibujar
dentro
de
una
circunferencia,
es
decir,
que
queda inscripto dentro de ella.
¿Cuáles son los pasos a seguir para dibujar correctamente un determinado polígono?
Veamos
el
procedimiento
con
un
ejemplo:
Construir
un
hexágono
regular
inscripto
en
una
circunferencia
de
3
cm
de
radio.
Primer paso:
en
principio
podemos
trazar
una
línea
sobre
la
cual
marcaremos
un
segmento
de 3 cm, medida que corresponde justamente al radio de la circunferencia.
Segundo paso:
pinchamos
en
uno
de
los
extremos
del
segmento
y
tomando
la
medida
del mismo
con
el
compás,
dibujamos
una
circunferencia.
Tercer paso: calculamos el ángulo central correspondiente al polígono que se quiere dibujar. En
este
caso,
el
polígono
es
un
hexágono
y
como
ya
sabemos
el
ángulo
central
correspondiente
a
esta
figura
tiene
un
valor
de
60°
(360°:6
=
60°).
A
continuación,
marcamos
este ángulo en la circunferencia.
3 cm
60°
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Cuarto paso: entre los lados que forman el ángulo y la circunferencia se producen dos intersecciones, entonces, tomamos la regla y unimos con una línea estos dos puntos (con esto
dibujamos
uno
de
los
lados
del
polígono).
Ahora
tomando
la
medida
de
este
segmento
(lado
del polígono) con el compás, nos ubicamos en uno de los extremos del mismo y marcamos, a
lo largo de toda la circunferencia, esa misma longitud hasta completar toda la vuelta.
Quinto paso: finalmente
con
la
regla
completamos
el
dibujo.
EJERCICIO
1
a) Construir un pentágono regular, el cual
se
encuentre
inscripto
dentro de una
circunferencia de radio 2 cm. b) Dibujar un cuadrado, inscripto en una circunferencia de diámetro igual a 8 cm. c)
Dibujar
un
octógono
regular,
inscripto
en
una
circunferencia
de
10
cm
de
diámetro.
EJERCICIO
2
Calcular
el
valor
de
cada
ángulo
interior
de
los
siguientes
polígonos
regulares,
el
ángulo
central
y la cantidad total de diagonales.
60°
60°
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EJEMPLO
Calculamos
lo
pedido
en
el
enunciado,
utilizando
un
eneágono
(polígono
de
9
lados).
a)
b)
c)
n:
cantidad
de
lados
que
tiene
el
polígono.
n = 9
360°:n
Ángulo
central
360°:9
=
40°
.
Cantidad total de diagonales.
.
=
27
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POLÍGONOS IRREGULARES
Los
polígonos irregulares
son
aquellos
que
tienen
sus
lados
y
ángulos
interiores
distintos.
Los
vértices de un polígono irregular no se pueden dibujar dentro de una circunferencia, es decir, los vértices no quedan inscriptos en la circunferencia.
A
continuación
vemos
algunos
ejemplos:
EJERCICIO: Dibujar un decágono
irregular
(elegir
las
longitudes
de
cada
uno
de
sus
lados).
¿Cómo
podemos
calcular
el
ángulo
faltante
en
un
polígono
irregular?
Lo primero que haremos será dividir el polígono en triángulos trazando todas las diagonales posibles desde uno de los vértices de la figura.
35°
154°
55°¿?
131°
81°
35°
154°
55°¿?
131°
81°
7/17/2019 Manual matematicas1
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Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°, podemos calcular
el
valor
de
la
suma
de
los
ángulos
interiores
del
polígono.
Como
dentro
de
la
figura
se
formaron 4 triángulos, entonces, si sumamos 4 veces 180° obtendremos el valor de la suma de
los ángulos interiores del polígono.
180° + 180° + 180° + 180° = 4 x 180° = 720°
Ahora
sabemos
que
la
suma
de
todos
los
ángulos
interiores
debe
dar
720°,
así
que
procedemos
a
sumar
todos
los
valores
de
los
ángulos
interiores
hasta
completar
720°.
De
esta
forma, podemos averiguar cuál es el valor del ángulo faltante.
131° + 154° + 55° + 81° + X + 35° = 720°
Si
hacemos
las
cuentas,
nos
damos
cuenta
rápidamente
que
el
valor
del
ángulo
faltante
es:
X = 264°
Respuesta: el ángulo faltante tiene un valor de 264°.
EJERCICIO
1
Averiguar el valor del ángulo faltante en las siguientes figuras:
a)
b)
¿?
118°
95°
125°
107°
150°135°
115°
154° 257°
114° 120°
124°
¿?
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PERÍMETRO
DE
UN
POLÍGONO
En todo polígono, el perímetro es igual a la suma de todos sus lados.
EJERCICIO
Calcular
el
perímetro
de
las
siguientes
figuras.
EJERCICIOS
ADICIONALES
1)
Los
siguientes
valores
corresponden
a
la
suma
de
los
ángulos
interiores
de
polígonos
regulares.
Indicar
para
cada
uno
de
los
valores
a
qué
polígono
corresponde.
4 cm
4 cm
6 cm
5 cm
6 cm
Perímetro = 5 cm + 6 cm + 4 cm + 4 cm + 6 cm
Perímetro = 25 cm
6
cm
4 cm
4 cm
5
cm
3,5 cm
4 cm 4 cm
2
cm
3
cm
1,5 cm2,5 cm
3,5
cm
4,5
cm
1,5 cm
7/17/2019 Manual matematicas1
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a) 2700° b) 2340° c)
2880°
d) 1620°
2)
Colocar
una
cruz
en
la
siguiente
tabla
para
indicar
el
nombre
del
polígono
correspondiente. Completar los espacios en blanco con la figura y el nombre del polígono que corresponda.
3) Dibujar un dodecágono regular cuyos lados midan 2 cm.
7/17/2019 Manual matematicas1
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POLÍGONOS Y ÁNGULOS
CUADRILÁTEROS. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican según sus lados opuestos.
PARALELOGRAMO
Si los 2
pares
de
lados
opuestos de un cuadrilátero son
paralelos, entonces lo llamamos paralelogramo.
Dato: en todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.
Dentro de esta clasificación podemos distinguir a los paralelogramos que tienen
4
ángulos
rectos.
A
estos
paralelogramos
los
llamamos
rectángulos.
En el caso que el paralelogramo no tenga los 4 ángulos interiores iguales, pero tenga los 4
lados
iguales, entonces, en este caso lo llamamos rombo.
La
figura
que
vemos
aquí
tiene
dos
pares
de
lados iguales, es decir, el lado 1 es igual al
lado
2
y
el
lado
3
es
igual
al
lado
4.
Además,
cada
uno
de
estos
pares
son
pares
paralelos. El lado 1 es paralelo con el lado 2 y
el lado 3 es paralelo con el lado 4.
Este paralelogramo tiene dos pares de lados
paralelos y además tiene 4 ángulos interiores
rectos, por lo tanto lo llamamos
paralelogramo rectángulo. Aunque muchas
veces,
solo
lo
llamamos
rectángulo.
Este
paralelogramo
tiene
los
cuatro
lados
iguales y no tiene ningún ángulo interior igual
a 90°, entonces lo llamamos rombo.
1
2
3 4
7/17/2019 Manual matematicas1
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Finalmente, dentro de los paralelogramos, llegamos a la figura que tiene los 4
lados
iguales y
4
ángulos
interiores
rectos.
Cuando
la
figura
reúne
estas
características
la
llamamos
cuadrado.
TRAPECIOS
Si el cuadrilátero solo tiene un 1 par de lados paralelos, entonces lo llamamos trapecio.
Cuando encontramos un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos y además tiene dos lados
iguales,
entonces
lo
llamamos
trapecio
isósceles.
Cuando el trapecio tiene un ángulo recto, lo llamamos trapecio rectángulo.
Este paralelogramo tiene los cuatro lados
iguales
y
sus
4
ángulos
interiores
son
iguales
a
90°,
entonces
lo
llamamos
cuadrado.
Este cuadrilátero solo tiene dos lados
paralelos
y
además
tiene
sus
cuatro
lados
distintos,
por
lo
tanto
es
un
trapecio.
Este trapecio, al tener dos lados iguales (de la
misma
longitud),
se
llama
trapecio
isósceles.
En
la
figura
los
lados
1
y
2
son
iguales.
7/17/2019 Manual matematicas1
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TRAPEZOIDES
Los
trapezoides
son
cuadriláteros
que
no
tienen
ningún
lado
paralelo.
ANGULOS
INTERIORES
EN
UN
CUADRILÁTERO.
En
todo
cuadrilátero
la
suma
de
sus
ángulos
interiores
es
igual
a
360°.
Podemos
comprobarlo
gráficamente.
Si tomamos un cuadrilátero cualquiera y trazamos una de sus diagonales, se formarán dos triángulos.
Teniendo
en
cuenta
que
la
suma
de
los
ángulos
interiores
en
todo
triángulo
es
igual
a 180° y en este caso se forman 2 triángulos, entonces, la suma de los ángulos interiores en un
cuadrilátero
es
igual
a
360°.
Trapezoide
Romboide
Pertenece a los trapezoides y se
caracteriza por tener dos pares de
lados iguales consecutivos.
180°
180°
7/17/2019 Manual matematicas1
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Suma
de
los
ángulos
interiores
de
un
cuadrilátero
=
180°
+
180°
=
360°
¿CÓMO
DIBUJAR
UN
PARALELOGRAMO
CON
REGLA,
COMPÁS
Y
TRANSPORTADOR?
Para
construir
un
rectángulo
nos
basta
con
tener
las
medidas
de
dos
de
sus
lados
y
uno
de
sus
ángulos interiores. Vemos ahora, los pasos a seguir para construir un paralelogramo que tiene un ángulo interior
igual
a
32°,
uno
de
sus
lados
mide
8
cm
y
otro
mide
5
cm.
Primer
paso: utilizando la regla trazamos una línea y a continuación marcamos un segmento
de 8 cm sobre la misma.
Segundo
paso:
con
el
transportador
ubicado
en
uno
de
los
extremos
del
segmento
marcamos
un
ángulo
de
32°
y
trazamos
una
línea
sobre
la
cual
medimos
un
segmento
de
5
cm
(que
corresponde a otro de los lados).
8
cm
32°
32°
5
cm
7/17/2019 Manual matematicas1
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Tercer
paso: ahora tomamos el compás y pinchando en el vértice copiamos la medida de uno
de los lados (por ejemplo el lado de 5 cm), luego nos trasladamos al extremo opuesto de del lado
de
8
cm
y
sin
cambiar
la
amplitud
dibujamos
un
arco.
Cuarto
paso: realizamos el mismo procedimiento que en el paso anterior pero ahora tomando
la medida del otro lado.
Quinto
paso:
finalmente,
con
la
regla,
unimos
los
extremos
de
cada
segmento
con
la
intersección de los dos arcos dibujados anteriormente. De esta forma completamos la figura
32°
32°
32° 32°
32°
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Borramos las líneas excedentes.
Observación:
en
todo
paralelogramo
los
ángulos
opuestos
son
iguales.
Los
ángulos
que
tienen
el
mismo
color
son
iguales.
EJERCICIOS
1) Construir un trapecio isósceles donde uno de su base mayor mida 5 cm. 2) Construir un paralelogramo donde uno de sus ángulos interiores mida 50°, y cada uno
de
sus
lados
midan
7
cm
y
4
cm.
3)
Construir
un
cuadrado
de
3
cm
de
lado.
4)
Copiar
la
siguiente
figura
utilizando
únicamente
escuadra
(sin
hacer
mediciones)
y
compás.
32°
32°
5 cm
8 cm
5
cm
8 cm
32°
148°
148°
32°
32°
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5) Calcular los ángulos faltantes en cada cuadrilátero.
¿CÓMO
CONSTRUIR
UN
ROMBOIDE
CON
REGLA
Y
COMPÁS?
Conociendo la medida de la diagonal mayor y la medida de dos de sus lados distintos podemos construir rápidamente el romboide utilizando regla y compás.
Datos:
Diagonal
mayor:
6
cm
Lado 1 = 2 cm
62° ?
?
90°
90°
90°
?
123°
77°?
39°
51°
? 129°
72°
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Lado 2 = 5 cm
Primer
paso:
dibujamos
la
diagonal
mayor
y
luego
con
el
compás
tomamos
la
medida
de
uno
de
los
lados
(2
cm
por
ejemplo)
y
trazamos
una
circunferencia.
A
continuación
tomamos
la
medida del otro lado (5 cm) y marcamos otra circunferencia.
OBSERVACION: en el ejemplo
anterior
no
es
necesario
dibujar
la
circunferencia
completa,
con
solo
trazar
el
arco
los
arcos
alcanza.
Segundo paso: las
dos
circunferencias
se
cortan
en
dos
puntos
(indicados
en
color
rojo).
Luego
solo
resta
unir
estos
puntos,
con
los
extremos
de
la
diagonal
mayor,
mediante
una
línea
que
trazaremos
con
la
regla.
2
cm 5
cm
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Finalmente
borramos
las
líneas
excedentes
y
colocamos
los
valores
a
cada
uno
de
los
lados.
CIRCUNFERENCIA
La
circunferencia
es
aquella
figura
geométrica
en
la
cual
todos
los
puntos
se
encuentran
a
la
misma
distancia
de
un
punto
al
cual
llamamos
centro.
En toda circunferencia encontramos los siguientes elementos:
Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la
misma.
Radio:
es
el
segmento
que
une
el
centro
de
la
circunferencia
con
un
punto
de
la
misma.
La
longitud del radio, siempre, es igual a la mitad del diámetro.
Cuerda:
es
un
segmento
que
une
dos
puntos
de
la
circunferencia
y
no
pasa
por
el
centro.
Arco
de
circunferencia:
es
un
segmento
de
circunferencia
que
corresponde
a
un
ángulo.
2 cm
5
cm
2 cm
5
cm
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El instrumento que utilizamos para dibujar a las circunferencias es el compás.
¿Cómo dibujar una circunferencia?
Para
poder
dibujar
una
circunferencia,
lo
que
necesitamos
saber
es
el
radio
de
la
misma.
Tomamos la medida del radio con el compás y luego dibujamos.
En el caso de tener como dato
el
diámetro,
antes
de
dibujar,
lo
primero
que
haremos
será
dividirlo
por
dos
(para
obtener
el
radio)
y
luego
trazamos
la
circunferencia.
EJERCICIO
1) Dibujar una circunferencia de radio 3 cm.
2) Dibujar una circunferencia de 10 cm de diámetro e indicar el diámetro y el radio en la
figura.
3) Copiar la siguiente figura con el compás.
Centro
Diámetro
Cuerda
Radio
Circunferencia