Manual Para El Calculo de Columnas de Concreto Armado
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REPBLICA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL DESARROLLO URBANO
MANUAL PARA EL CLCULO DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO JOAQUN MARN ANTONIO GELL
FUNDACIN VENEZOLANA DE INVESTIGACIONES SISMOLGICAS FUNVISIS 1984
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REPBLICA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL DESARROLLO URBANO
MANUAL PARA EL CLCULO DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO JOAQUN MARN ANTONIO GELL
FUNDACIN VENEZOLANA DE INVESTIGACIONES SISMOLGICAS FUNVISIS 1984
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell i
PRESENTACIN
La Comisin de Normas para Estructuras de Edificaciones del Ministerio del Desarrollo
Urbano, se complace en publicar a travs de la Fundacin Venezolana de Investigaciones
Sismolgicas, FUNVISIS, su "Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado", cuyos
autores son los Profesores Joaqun Marn y Antonio Gell.
Con este Manual, la Comisin espera brindar a los Ingenieros estructurales una obra de
notable utilidad y, a la vez, agradece a sus usuarios los comentarios y sugerencias para el
perfeccionamiento de futuras ediciones.
La Comisin agradece especialmente al Ing. Jos E. Garantn, Director General del
Ministerio del Desarrollo Urbano, la colaboracin prestada para publicar esta obra; en Caracas, abril
de 1987,
Nicols Colmenares, Presidente.
Jos A. Delgado, Secretario.
Henrique Arnal
Arnim de Fries
Salomn Epelboim
Jos Grases
Csar Hernndez
Carmen Lobo de Silva
Joaqun Marn
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ii MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
PRLOGO
En estas pginas se publica por primera vez la mayor parte de los resultados obtenidos desde
1967 en la Investigacin UCV de las Columnas Cortas de Concreto Reforzado, aplicados conceptual
y numricamente a las Normas venezolanas COVENIN - MINDUR 1753, "Estructuras de Concreto
Armado para Edificaciones, Anlisis y Diseo", a solicitud de la Comisin de Normas para
Estructuras de Edificaciones del Ministerio del Desarrollo Urbano en 1982.
La mayora de los resultados son originales y establecen principios y algoritmos generales,
sencillos y tiles para el proyecto, clculo y revisin de columnas de concreto armado sometidas a
solicitaciones flexoaxiales. Estos se completan con las disposiciones pertinentes para considerar el
confinamiento del concreto, los efectos de la esbeltez y las fuerzas cortantes.
Este trabajo se cie a la primera versin de las nuevas normas venezolanas para estructuras
de concreto armado, publicadas en 1981, basadas en las normas 1977 del Instituto Americano del
Concreto, ACI 318-77, con las que cumple fielmente. Las rayas negras verticales en los mrgenes
izquierdos advierten que las lneas abarcadas tienen alguna modificacin en las ediciones posteriores
COVENIN - MINDUR 1753-85 o ACI 1983. Dentro de este mbito, stas slo cambian,
respectivamente, el factor de mayoracin de acciones ssmicas y el coeficiente de magnificacin de
momentos para desplazamientos laterales; vanse los Captulos 10 y 18.
Joaqun Marn, Dr. Ing. Instituto de Materiales y Modelos Estructurales, IMME-UCV.
Antonio Gell, M. S. Departamento de Ingeniera Estructural.
Profesores de la Facultad de Ingeniera, Universidad Central de Venezuela.
JM/ew
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell iii
NDICE pg.
CAPITULO 1 CONCEPTOS 1.1 GENERALIDADES. 1
1.1.1 Resumen y Alcance.. 1
1.1.2 Definiciones.. 3
1.1.3 Notacin 6
1.2 RESISTENCIA FLEXOAXIAL.. 9
1.2.1 Naturaleza del Problema Resistente. 9
1.2.2 Clculo de la Resistencia.. 10
1.2.3 Superficies de Falla y sus Representaciones Planas. 11
1.2.4 Convenios y Variables Adimensionales... 15
1.3 SOLICITACIONES MAYORADAS... 19
1.4 CRITERIOS DE DISEO Y REVISIN 22
1.5 MATERIALES. 29
1.6 SECCIONES. 30
1.6.1 Circulares.. 32
1.6.2 Rectangulares 36
1.6.3 Cruciformes.. 36
1.6.4 Ejes 36
1.7 FORMULAS. 37
1.8 COLUMNAS LARGAS... 43
1.9 REFUERZOS TRANSVERSALES. 44
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iv MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
ndice (continuacin) pg.
CAPITULO 2 MTODOS DE CLCULO 2.1 INTRODUCCIN 47
2.2 COMBINACIONES DE SOLICITACIONES MAYORADAS.. 49
2.3 EFECTOS DE ESBELTEZ.. 51
2.3.1 Casos a Considerar... 51
2.3.2 Clculo de la Esbeltez Efectiva 51
2.3.3 Necesidad de Considerar los Efectos de Esbeltez 53
2.3.4 Evaluacin Aproximada de los Efectos de Esbeltez 55
2.4 RESISTENCIAS DE DISEO 57
2.4.1 Factores de Minoracin de Resistencias.. 57
2.4.2 Columnas con Ligaduras.. 57
2.4.3 Columnas con Zunchos 58
2.5 VARIABLES ADIMENSIONALES... 58
2.5.1 Resistencia 58
2.5.2 Acero 59
2.5.3 Variables Geomtricas. 60
2.6 CUANTAS MNIMAS Y MXIMAS DE ACERO
LONGITUDINAL 60
2.7 DETERMINACIN DE LA CUANTA REQUERIDA DEL ACERO
LONGITUDINAL 62
2.7.1 Introduccin. 62
2.7.2 Flexin Simple con un Diagrama de Interaccin. 64
2.7.3 Flexin Desviada con Dos Diagramas de Interaccin.. 66
2.7.4 Diseo con Isocargas 68
2.7.5 Flexin Simple con Frmulas.. 69
2.7.6 Flexin Desviada con Frmulas... 70
2.8 DETERMINACIN DEL ACERO TRANSVERSAL 71
2.8.1 Ligaduras Mnimas... 71
2.8.2 Diseo por Corte.. 71
2.8.3 Diseo de los Zunchos. 73
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell v
ndice (continuacin) pg.
CAPITULO 3 EJEMPLOS NMERICOS 3. Ejemplos Numricos 75
3.1 Diseo en Flexin Simple con un Diagrama de Interaccin de una
Columna Rectangular... 77
3.2 Diseo en Flexin Simple con un Diagrama de Interaccin de una
Columna Circular. 87
3.3 Diseo en Flexin Desviada con dos Diagramas de Interaccin de una
Columna Cruciforme 94
3.4 Diseo en Flexin Desviada con Frmulas de una Columna
Rectangular.. 103
3.5 Diseo en Flexin Simple con Frmulas de una Columna Circular 109
3.6 Diseo con Isocargas de una Columna en Ele. 111
CAPITULO 4 BACOS 4.1 Introduccin. 119
4.2 Columnas Circulares. Diagramas, N 1 a 8 123
4.3 Columnas Rectangulares. Diagramas, N 9 a 24 131
4.4 Columnas Cruciformes. Diagramas, N 25 a 48 147
4.5 Columnas en Forma de Ele. Isocargas, N 49 a 90 163
CAPITULO 5 COEFICIENTES DE LAS FORMULAS 5. Coeficientes de las Frmulas 213
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 217
219
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 1
1. CONCEPTOS 1.1 GENERALIDADES 1.1.1 RESUMEN Y ALCANCE
Estas pginas contienen conceptos, procedimientos, frmulas, bacos y ejemplos numricos
para analizar, disear y revisar columnas de concreto reforzado segn las Normas COVENIN-
MINDUR 1753-81 "Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones. Anlisis y Diseo",
elaboradas por la Comisin de Normas para Estructuras de Edificaciones del Ministerio del
Desarrollo Urbano.
Los conceptos y los conocimientos bsicos requeridos se resumen en este Captulo 1, donde
se trata de orientar al usuario con una abundante informacin concisa y completa para que pueda
aplicar este Manual con criterios de seguridad en el proyecto y clculo de los soportes de las
edificaciones, ampliar su estudio de las columnas y elaborar otros bacos.
En el Captulo 2 se exponen con detalle los procedimientos y algoritmos para la utilizacin-
de los grficos y frmulas, los cuales se ilustran numricamente en el 3. El Captulo 4 contiene 90
bacos para el clculo a mano de columnas de seccin circular, rectangular, cruciforme y ele, y el 5
los coeficientes de las frmulas que permiten disear automticamente las tres primeras secciones
tanto en flexin simple como desviada. El texto finaliza con una lista de referencias bibliogrficas.
Tanto los bacos de las secciones rectangulares con carga en la diagonal y todos los de las
cruciformes y eles, como las frmulas globales para las circulares, rectangulares y cruciformes, se
publican aqu por primera vez, as como tambin varias conclusiones fundamentales y
procedimientos de clculo.
Este Manual constituye la primera divulgacin masiva de los resultados obtenidos en las
investigaciones que, slo en forma ocasional, evolucionan original e independientemente en la
Facultad de Ingeniera de la Universidad Central de Venezuela desde 1967, y se han denominado
"La investigacin UCV de las columnas cortas". Tiene como objetivo principal el obtener
algoritmos y ayudas para el clculo de secciones de columnas y muros con cualquier geometra
sometidas a tensiones flexoaxiales, pero algunos resultados han transcendido a otros problemas y
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2 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
disciplinas, como se revela en 1.2.2. En la Referencia {19} se hallan ms datos sobre estos trabajos,
cuyos logros se publican en los Boletines Tcnicos del IMME {15 a 22}, y deben culminar con la
Ref. {26}.
Las referencias bibliogrficas estn numeradas entre llaves { } en orden alfabtico, y pueden
ampliarse con la bibliografa especializada de la Ref. {19}. En las Secciones 1.1.2 y 1.1.3 de este
Captulo se precisan las definiciones y los smbolos usados.
Las frecuentes citas a las Normas COVENIN-MINDUR 1753, abreviadas simplemente como
"Normas de Concreto" {2}, se destacan colocando sus captulos y secciones entre los smbolos .
Por su gran utilidad, adems de las cinco normas vigentes para el proyecto de edificaciones que aqu
se citan {2 a 4 y 9}, se recomienda disponer de la compilacin de todas las normas venezolanas para
la industria de la construccin y sus correspondientes del antiguo Comit Conjunto del Concreto
Armado de Venezuela, CCCA, y de las ASTM norteamericanas, publicada en la Ref. {25}.
Para completar este Captulo informativo, se sugieren la Ref. {19}, donde se halla una
interesante resea del estado del clculo de las columnas de concreto reforzado, y la Ref. {21}, cuya
revista de los conocimientos insiste particularmente en las de seccin no rectangular.
Como nuestras Normas de Concreto estn basadas en el cdigo del Instituto Americano del
Concreto ACI {7} y las diferencias son menores en este tema de las columnas, los colegas de otros
pases no deben tener dificultades en la interpretacin y empleo de este Manual. As, se espera que
estos conceptos, frmulas y bacos sean tiles a todos los ingenieros estructurales hispa-
noamericanos.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 3
1.1.2 DEFINICIONES
ACI = Instituto Americano del Concreto, "American Concrete Institute".
Anlisis = Conocido un miembro estructural, hallar cunto resiste. En las
solicitaciones flexoaxiales, hallar su superficie resistente.
Carga adimensional = Coeficiente de carga axial definido segn (1-3), llamado tambin
"especfico".
COVENIN = Comisin Venezolana de Normas Industriales.
Cuanta mecnica = Parmetro adimensional que mide la cantidad relativa del refuerzo junto
a la calidad de los materiales (1-6).
Diagrama de
interaccin
= Traza de una superficie o volumen de falla flexoaxial correspondiente a
un acimut de momentos constante.
Diseo = En un miembro estructural, conocidas sus solicitaciones, la
determinacin racional y econmica de sus dimensiones, as como la
distribucin y detallado adecuados de todos sus materiales y componentes,
satisfaciendo a cabalidad las normas.
Diseo para los
estados lmites
= Un mtodo de diseo consistente en determinar todos los modos
potenciales de falla o inutilidad (estados lmites), y mantener unos niveles
de seguridad aceptables contra su ocurrencia, los cuales se establecen
habitualmente con criterios probabilsticos.
Ductilidad = Capacidad de deformacin rebasado el lmite de proporcionalidad
resistente.
Estado lmite = Situacin en la que una estructura, miembro o componente estructural
queda intil para su uso previsto, sea por su falla resistente, deformaciones
excesivas, inestabilidad, deterioro, colapso, o cualquier otra causa.
Factor de seguridad = Cociente de la resistencia de agotamiento dividida entre la resistencia de
utilizacin o prevista.
Falla balanceada = Agotamiento resistente que corresponde a la frontera ideal entre las
fallas de compresin y traccin; el concreto comprimido se tritura justo
cuando algn refuerzo cede en traccin.
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Falla en compresin = Falla frgil caracterizada porque el concreto comprimido se tritura antes
que el refuerzo ceda en traccin.
Falla en traccin = Falla con ductilidad que ocurre cuando el concreto comprimido se tritura
despus que algn refuerzo en traccin ha cedido.
Flexin simple = Dcese cuando la flexin puede describirse por un solo componente, por
ejemplo, cuando el plano de carga es un eje de simetra.
Flexin desviada = Dcese cuando la flexin requiere ser descrita mediante dos
componentes.
Flexoaxial = Aplicase al caso de cargas axiales y momentos flectores simultneos, es
decir, originado por tensiones normales.
FUNVISIS = Fundacin Venezolana de Investigaciones Sismolgicas.
Isobara = Traza de una superficie de falla; lnea plana correspondiente a una
cuanta mecnica constante.
Isocarga = Contorno plano de una superficie de falla correspondiente a una carga
axial constante.
MINDUR = Ministerio del Desarrollo Urbano.
Modelo matemtico = Formulacin de la situacin real en forma idealizada, adecuada para el
clculo y con propsitos de prediccin y control.
Momento
adimensional
= Coeficiente de momento flector definido segn (1-4), (1-5) o (1-8),
llamado tambin "especfico".
Normas de Concreto = Normas "Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones. Anlisis y
Diseo", COVENIN-MINDUR 1753.
Relacin de aspecto = En un contorno rectangular, cociente del lado mayor dividido entre el
lado menor; tambin llamado relacin de rectangularidad.
Relacin de esbeltez = Cociente de la altura libre de una columna entre la dimensin transversal
a su posible desplazamiento.
Resistencia nominal = Resistencia obtenida al utilizar los principios y parmetros normativos
correspondientes al estado lmite del agotamiento resistente, sin aplicar
factores de minoracin.
Resistencia de diseo = En las Normas de Concreto, la resistencia nominal multiplicada por un
factor de minoracin de resistencias.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 5
Resistencia requerida = Trmino usado en las Normas de Concreto para referirse a las
solicitaciones mayoradas que se emplean al disear en el agotamiento
resistente.
Revisin = Verificacin del diseo determinando sus factores de seguridad.
Solicitaciones
mayoradas
= Sumatorias de las solicitaciones de servicio o utilizacin previstas que
actan simultneamente en una seccin, obtenidas mediante el clculo
estructural, multiplicadas por factores de mayoracin fijados en las
normas, destinadas a proyectar los miembros estructurales en el estado
lmite del agotamiento resistente. Vase el Artculo 1.3.
Superficie de falla
flexoaxial
= Lugar geomtrico de las combinaciones de carga axial y momentos
flectores simultneos que conducen al agotamiento resistente de un
miembro sometido a tensiones normales.
Volumen de falla
flexoaxial
= Conjunto de las superficies de falla sobrepuestas que se obtiene al variar
proporcionalmente la cuanta mecnica de una seccin.
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6 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
1.1.3 NOTACIN A = Polinomio que modela la resistencia del concreto.
= Vector de las solicitaciones de servicio o utilizacin previstas.
Ac = rea del ncleo confinado de la seccin incluyendo los zunchos.
Ag = rea total de la seccin.
Ast = rea total de los refuerzos longitudinales.
u = Vector solicitaciones mayoradas, igual a la resistencia requerida.
Az = rea del refuerzo transversal.
B = Falla balanceada. Polinomio que modela la resistencia del acero.
C = Falla en compresin; polo de la compresin axial pura.
C = Vector tridimensional de la resistencia del concreto.
Cm = Coeficiente definido en (2-8).
CP = Accin permanente.
CV = Accin variable.
D = Dimetro de una seccin.
F = Factor de mayoracin de una solicitacin de servicio.
FS = Factor de seguridad global.
Mu = Momento flector mayorado.
Mud = Momento flector mayorado respecto a la diagonal.
Mux = Momento flector x mayorado.
Muy = Momento flector y mayorado.
M1 = El menor momento mayorado en los extremos; positivo si hay flexin con una sola
curvatura, negativo si hay doble curvatura.
M2 = Mximo momento mayorado en los extremos de un miembro comprimido, siempre
positivo.
Nu = Carga axial mayorada simultnea con fuerza cortante.
O = Origen de coordenadas en el baricentro de la seccin.
Pc = Carga crtica de Euler (2-6).
Pu = Carga axial mayorada ( + compresin) .
R = Vector tridimensional que describe la resistencia nominal.
S = Vector tridimensional de la resistencia del acero unitario.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 7
SIS = Accin ssmica.
T = Falla en traccin; polo de la traccin axial pura.
Vc = Fuerza cortante resistida por el concreto.
Vs = Fuerza cortante resistida por el refuerzo transversal.
Vu = Fuerza cortante mayorada.
a = Lado de una seccin.
ai = En los modelos, coeficiente de la resistencia del concreto solo.
ax = Dimensin mayor de referencia en la direccin x de la seccin.
ay = Dimensin mayor de referencia en la direccin y de la seccin.
b = Espesor.
bi = En los modelos, coeficiente de la resistencia del acero unitario.
bw = Ancho del alma de una seccin.
d = Diagonal de una seccin.
d = En las frmulas de corte, altura til.
fc = Resistencia especificada del concreto a la compresin.
fc = Resistencia de clculo del concreto = 0.85 fc .
fy = Resistencia cedente especificada del acero.
k = Coeficiente de longitud efectiva.
lu = Luz libre o longitud no arriostrada.
r = Recubrimiento de clculo.
rx = Radio de giro en la direccin x.
ry = Radio de giro en la direccin y.
s = Separacin del refuerzo transversal.
x = Abscisa o coordenada geomtrica x.
y = Ordenada o coordenada geomtrica y.
= Relacin de estrechez (1-17).
= Contribucin de la resistencia en la diagonal (1-19), (2-28).
d = Valor absoluto de la relacin d2l momento mximo mayorado de la carga permanente
entre el momento mximo mayorado de la carga total.
= Relacin de recubrimientos (1-16).
= Factor de magnificacin de momentos.
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= Momento flector adimensional, vase 1.2.4.
d = Momento flector diagonal adimensional (1-8).
d = Momento flector diagonal adimensional (2-19).
m = Momento flector adimensional en la mediatriz (2-27).
o = Momento flector trasladado a la mediatriz (2-29).
x = Momento flector x adimensional (1-4).
y = Momento flector y adimensional (1-5).
= Carga axial adimensional (1-3).
= Cuanta geomtrica = Ast/Ag .
s = Cuanta volumtrica de los zunchos (2-43).
= Factor de minoracin de resistencias.
1 = Factor de correccin de , Artculo 2.4.
= Coeficiente de rigidez nodal (2-2).
= Cuanta mecnica = fy /fc .
Subndices:
CP = Debido a las acciones permanentes.
CV = Debido a las acciones variables.
SIS = Debido a las acciones ssmicas.
c = Debido al concreto.
d = Respecto a la diagonal.
m = Respecto a la mediatriz.
s = Debido al acero.
u = Solicitacin mayorada o resistencia requerida.
x = En la direccin de las abscisas.
y = En la direccin de las ordenadas.
Otros Smbolos:
< > = Referencia a las Normas de Concreto CQVENIN-MINDUR 1753.
( ) = Frmula en este texto.
{ } = Referencia bibliogrfica. = Modificacin en 1985.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 9
1.2 RESISTENCIA FLEXOAXIAL
Este Artculo contiene un intenso compendio de los conceptos bsicos sobre la
determinacin del agotamiento resistente, que son imprescindibles para utilizar cabalmente este
Manual. Mucha de esta informacin es original, por lo que se extiende y completa con las
numerosas citas a las referencias listadas a continuacin del Capitulo 5 e identificadas entre llaves
{ }, de manera que el usuario pueda elaborar otros bacos.
1.2.1 Naturaleza del Problema Resistente
Se demuestra que la determinacin de la resistencia de agotamiento de una seccin
cualquiera de concreto armado sometida a tensiones normales es un problema matemtico no lineal
ni susceptible a frmulas, abordables por mtodos algortmicos de programacin relativamente
sencilla pero largos, debido a los numerosos detalles a considerar y al enorme volumen de datos
generados {16}.
En general, su fondo mecnico es modesto, consistente en aplicar el equilibrio de tensiones
normales unidimensionales y la suma de fuerzas paralelas, lo que conduce a tres integrales dobles
que determinan la resultante, la cual se aloja cmodamente en un leal, sustancioso y eficiente
espacio vectorial de tres dimensiones, pleno de sentido para el ingeniero estructural: la carga axial
resistente, que se toma como cotas, y dos momentos flectores resistentes alrededor de dos
direcciones x e y {20,21}.
Sin embargo, el hecho de pertenecer al universo de problemas no lineales, con los cuales el
ingeniero todava no est familiarizado, significa que, aunque nos sea arduo de admitir, no podemos
aplicar nuestra intuicin. Esto lo evidencia las numerosas equivocaciones fundamentales, incluso la
eleccin de las propias coordenadas resistentes y su origen, los diversos mtodos oscuros, confusos
y hasta inseguros publicados, y el que an hoy el tan demandado diseo de columnas rectangulares
en flexocompresin desviada est en muy pocos textos, con resultados incomparables, y hasta se
haya calificado inmerecida -mente como uno de los problemas ms difciles de todo el concreto
armado {16,20,21}. En resumen, este asunto no puede subestimarse y, menos, tratndose de los
miembros ms importantes de nuestras estructuras.
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10 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
1.2.2 Clculo de la Resistencia
La resistencia flexoaxial, y especialmente la de agotamiento como un estado lmite en el
proyecto estructural, se obtiene mediante el mtodo directo de anlisis: conocidos los materiales y
sus leyes constitutivas tensiones-deformaciones, la seccin y la cantidad y posicin de las
armaduras, dado un eje neutro, se evala numricamente la expresin aditiva, general y compacta:
SCR += (1-1)
donde R denota el vector resistencia de agotamiento o falla, con sus tres componentes calificados
en las Normas de Concreto como nominales: carga axial resistente nominal Pn, momento flector x
resistente nominal Mnx, y momento flector y resistente nominal Mny. C es el vector que describe la
contribucin del concreto solo; es la conocida "cuanta mecnica", un til escalar adimensional
bsico en el diseo definido por (1-6); y S es lo que resiste el acero correspondiente a una cuanta
mecnica unitaria {16,26}. En las Refs. {10, 27, 12} pueden seguirse ejemplos con todos los
tediosos clculos involucrados.
Aunque el clculo de S es elemental, lo que resiste el concreto C no, porque requiere
determinar la resultante de un volumen de tensiones normales unidimensionales actuando sobre una
zona comprimida cualquiera, dando lugar a las tres integrales dobles que caracterizan el equilibrio
resistente bajo solicitaciones flexoaxiales o presiones normales; vase las Refs. {20}.
Afortunadamente, para el caso comn y prcticamente el nico supuesto de tensiones
polinmicas, en estas investigaciones se ha obtenido la solucin general, sistemtica, exacta y
directa desde los mismos vrtices de la seccin comprimida {15,20}. As, con muy pocas
instrucciones y un nivel de conocimientos matemticos mnimo, mediante un solo operador que
evala momentos de rea de orden superior, es posible programar y calcular automticamente en
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 11
forma muy simple y precisa no solo las columnas y muros de uno o ms materiales, sino tambin
fundaciones y compuertas planas de cualquier geometra {23}, probabilidades de funciones
aleatorias bivariadas y, en general, integrales dobles polinmicas sobre cualquier recinto {24}.
Adicionalmente, como se expone en las Refs. {20}, {23} y {24}, el operador sirve para encontrar
frmulas particulares al tipo de tensiones y presiones normales considerado. Se cree as suministrar
una sencilla herramienta algortmica bsica en el clculo numrico y en la ingeniera, cuyas breves
subrutinas se hallan en la Ref. {23}.
En la frmula anterior se supone que la cantidad de armaduras vara proporcionalmente, lo
cual es algo razonable y fundamental para simplificar los mtodos de diseo. Es decir, cuando se
aumenta el rea total de acero en la seccin Ast, cada una de las barras, o concentracin de stas,
aumenta con la cuota correspondiente a su rea relativa. Esto significa que con los clculos para un
porcentaje de acero y un eje neutro elegidos, se obtiene simultneamente la resistencia de todas las
cuantas de acero que se necesiten; basta dilatar o dividir al vector S proporcionalmente. Como til
consecuencia, el cmputo de un solo diagrama de interaccin produce un baco completo.
Qu opina el concreto reforzado de todo esto?. Las columnas aisladas o unidas a prticos
juzgan que los clculos anteriores con los parmetros ACI se ajustan muy bien a la realidad cerca de
la flexin pura, pero, a medida que las compresiones aumentan, los resultados experimentales
muestran una dispersin creciente, que alcanza hasta ms y menos 15 % para grandes compresiones
{14,21}. Estas desviaciones inherentes al comportamiento del concreto armado justifican la filosofa
de las Normas de especificar conservadoramente un factor de minoracin de resistencias grande para
las cargas axiales mayores, que llega a 0.70, y desaniman el uso de mtodos de clculo refinados.
1.2.3 Superficies de Falla y sus Representaciones Planas
Segn lo anterior, cada eje neutro produce una resultante de las tensiones normales que determina
un punto en el espacio vectorial tridimensional flexoaxial Pn, Mnx y Mny.
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12 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
Figura 1.1.- Superficies de fallas flexoaxiales y sus
representaciones adimensionales planas
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 13
Repitiendo el algoritmo del equilibrio, variando la profundidad y la inclinacin del eje
neutro, los puntos as conseguidos crean una suave y original superficie cerrada, predominantemente
convexa, que contiene al origen de coordenadas, con dos polos correspondientes a la compresin y
traccin axiales puras, y que se denomina "superficie de falla flexoaxial" {21}. Entonces, el
problema resistente se ha transformado en otro geomtrico mucho ms fcil de imaginar y
manipular. Se define, pues, como superficie de falla flexoaxial al lugar geomtrico de las
combinaciones de carga axial y momentos flectores simultneos que conducen al agotamiento
resistente de una seccin sometida a tensiones normales.
Si ahora se considera que el rea de acero aumenta proporcional mente, al aplicar las
propiedades de la Frmula (1-1), de inmediato se obtendrn todas las superficies de falla que se
deseen y permitan la cuanta normativa mxima de armaduras. Se genera as el "volumen de falla
flexoaxial" de una seccin particular para cualquier porcentaje de acero, como superficies
sobrepuestas que tienen espesores variables, tanto individualmente como respecto a sus vecinas;
vase la Figura .1.1.
Una interpretacin tan simple como til, especialmente para el diseo, es imaginar que las
superficies de falla son como los cascos sucesivos que rodean a un ncleo, semejante a una cebolla.
El ncleo es lo que resiste el concreto no reforzado y las capas son el aporte de los incrementos de
armaduras, como ilustran los cortes de la Fig. 1.1.
La investigacin UCV de las columnas cortas es pionera en el estudio de estas superficies de
falla, habindose efectuado numerosos estudios de muchas secciones. La Ref. {21} contiene un
resumen ilustrado con resultados de secciones no rectangulares, el cual puede ayudar a formar una
idea global de estas armoniosas, sorprendentes y pintorescas superficies y volmenes resistentes.
De todo esto se desprende que para ofrecer bacos como ayudas para el diseo y revisin de
columnas hay que buscar modos planos de representar las superficies de falla. Los primeros tiles y
completos fueron los conocidos "diagramas de interaccin", los cuales aparecieron por 1940 y se
han propagado a las columnas de otros materiales {14}.
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14 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
En general, los diagramas de interaccin resultan de seccionar las superficies resistentes a un
acimut dado, como se ilustra en la Fig. 1.1. Esto es directo y sencillo de calcular slo si el plano de
carga es un eje de simetra; en la flexin llamada simple. Cuando una seccin no tiene muchos ejes
de simetra, como en las eles, tes, ces, etc., el uso de diagramas de interaccin es sumamente
delicado y complejo, como se revela y demuestra en la Ref. {22}, y no es recomendable {18,21}.
Esto se debe principalmente a que las superficies de falla solo tienen garantizado un meridiano {16},
y las de estas secciones suelen tener sus polos C y T fuera del eje de las cotas, como se ve en la Fig.
1.1. Adems, las mayores resistencias no tienen por qu ocurrir en el eje de simetra, como sucede
en las eles y aqu se puede verificar en los bacos 41 a 90. En estos casos, el modo ideal y eficiente
de representacin plana son las "isocargas" o paralelos, con los que siempre es posible describir un
volumen.
Las isocargas se obtienen al cortar las superficies de falla por planos con cargas axiales
constantes, como se dibuja en la Fig. 1.1. Si bien contienen la informacin ms completa e
inmediata cuando se trata de flexin desviada y de secciones diferentes a las circulares o
rectangulares simtricas, su clculo no es directo y es muy costoso {16}, a menos que se siga el
rpido algoritmo que se resume en la Ref. {18}.
En este Manual se presentan 90 bacos: 40 diagramas de interaccin para las secciones
circulares, rectangulares y cruciformes que se detallan en el Artculo 1.6, y 50 isocargas para las
secciones ele. Todos los bacos han sido elaborados automticamente .con un trazador electrnico
{11}, pudindose seguir las etapas de su tcnica de produccin en la Ref. {18}. Los de las secciones
cruciformes y eles se publican aqu por primera vez, as como las frmulas modeladas para los
diagramas de interaccin; vase 1.7 ms adelante.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 15
Conviene definir como una "isobara" a la traza o lnea que resulta de la interseccin de una
superficie de falla con un plano, esto es, correspondiente a una cuanta de acero constante. Pues
bien, las isbaras punteadas que aparecen en los diagramas de interaccin a altas compresiones,
advierten que ah controlan las cargas axiales resistentes mximas normativas, y que, de acuerdo con
, no se puede emplear esa resistencia para los fines de proyecto. Vase el Artculo 2.6.
Como se sabe, en el diseo sismo-resistente es necesario indagar si el agotamiento resistente
tiene un comportamiento frgil, llamado "falla en compresin", o dctil, denominado "falla en
traccin" {14,9}; vase las definiciones en 1.1.2. La frontera entre las dos recibe el nombre de "falla
balanceada". En los diagramas de interaccin, bacos 1 a 40, sta se seala mediante las rectas B-B.
En los semiplanos superiores, donde hay mayores compresiones, las fallas deben ser frgiles,
mientras que en los inferiores hay ductilidad. En cambio, en las isocargas de las el es, bacos 41 a
90, como las fallas balanceadas ocurren sobre una extraa superficie alabeada, sus intersecciones
con las isocargas se han dibujado con lneas punteadas, y las letras C o T vecinas identifican cul
tipo de falla es de esperar a cada lado.
1.2.4 Convenios y Variables Adimensionales
Al ser vectorial el espacio donde se representa geomtricamente la resistencia, las
coordenadas para describirlo por completo y sin problemas han de ser independientes, as como
tambin los factores elegidos para lograr la adimensionalidad que nos independiza de los tamaos y
de una casustica ilimitada de secciones. Como se dice en matemticas elementales, las coordenadas
tienen que constituir una base; de lo contrario, ocurrirn singularidades y dificultades insolubles,
como atestiguan los fracasos de varios mtodos {21,22}.
Esto excluye el uso de excentricidades, variable popular pero superflua e indefinida en el
importante entorno de la flexin pura, lo que hace inusables las frmulas que las emplean sin
necesidad; rechaza al movedizo y enredoso "centro plstico" como origen de momentos {22}; y a
variables adimensionales donde los denominadores pueden anularse o son dependientes de la
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16 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
cuanta de acero, que es precisamente la incgnita principal en el diseo, como, por ejemplo, Pn /Pn0,
donde Pn0 sera la resistencia a carga axial pura. La Ref. {22} abunda en este tema crucial y obvio,
pero antes totalmente descuidado. Ciertamente, el problema de la resistencia flexoaxial no se puede
resolver sin consultar a las matemticas filosficas ni a las numricas.
Tras varios aos de examinar estas cuestiones, se concluy que las variables y convenios
ms idneos y simples para calcular y manejar las superficies resistentes son los siguientes:
1) "El origen de coordenadas y centro de momentos debe ser el baricentro de
la seccin total", como en el clculo estructural.
2) "Se debe trabajar directamente con las cargas axiales y los momentos
flectores x e y, nunca con excentricidades".
3) Sea f" es la resistencia de clculo del concreto a la compresin. Segn :
cc ff '85.0" = (1-2)
donde fc es la resistencia especificada del concreto a la compresin; Ag el rea total de la seccin
transversal de la columna; ax una longitud de referencia de la seccin en direccin de las abscisas,
usualmente la mayor; y ay otra anloga en la direccin de las ordenadas. Entonces, las coordenadas
adimensionales ms tiles y dciles son las siguientes:
= carga adimensional = Pu /(fc Ag ) (1-3)
x = momento-x adimensional = Mux /(fc Ag ay ) (1-4)
y = momento-y adimensional = Muy /(fc Ag ax ) (1-5)
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 17
= cuanta mecnica = fy /fc (1-6)
donde es la cuanta geomtrica de todas las armaduras Ast referidas a la seccin total Ag :
p = cuanta geomtrica = Ast /Ag (1-7)
y para la resistencia en la diagonal de las secciones de contorno rectangular se introduce:
d = momento diagonal adimensional = Mud /(fc Ag d) (1-8)
donde d es la longitud de la diagonal.
El convenio de signos positivos es compresin para las cargas axiales y el tirabuzn girando
a derechas para los momentos flectores.
En las frmulas anteriores, los subndices u denotan "resistencias de diseo", concepto
bsico en nuestras Normas que requiere ampliarse.
Como se pauta en la Seccin de las Normas de Concreto, para obtener la resistencia
de diseo hay que reducir la resistencia nominal anteriormente comentada mediante un factor de
minoracin de resistencias . Este coeficiente trata de tomar en cuenta la dispersin de los
resultados experimentales, as como las diferencias entre el control de los materiales en el
laboratorio y las condiciones reales de la obra.
En este Manual, tanto en los bacos como en las frmulas, el factor de minoracin de
resistencias es nico e igual a 0.70; el ms exigente normativo correspondiente a las columnas
ligadas . Esta decisin conservadora tiene dos propsitos:
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18 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
El primero es tratar de proteger las lecturas de los usuarios apresurados. El segundo es cuidar
estos trabajos, especialmente los hermosos contornos de los diagramas e isocargas, de los futuros
cambios y correcciones en el valor del factor minorante de resistencias que, por su actual falta de
solidez, inevitablemente han de ocurrir como ya pasara antes. Como las Normas reglamentan otros
valores de este factor en diversas condiciones y para diferentes niveles de la carga axial, en el
Artculo 2.4 se introduce un factor de correccin 1 al valor constante de 0.70, lo cual permite al
usuario aprovecharse de estas disposiciones en una forma sencilla sin modificar ni requerir ms
bacos.
Entre las numerosas virtudes de este conjunto de coordenadas independientes, se demuestra
matemticamente que la resistencia de diseo adimensional de una seccin cuadrada y la de todas
las secciones rectangulares afines a ella son iguales, siempre que los estados de tensiones sean
idnticos {22}. Esto significa que, tericamente, el usuario no tiene que preocuparse por la relacin
de aspecto o rectangularidad, y que un baco elaborado para una seccin de contorno cuadrado tiene
infinidad de aplicaciones. Consecuentemente, la simplificacin y la condensacin de informacin
obtenidas son enormes.
Esta es la cuestin llamada de las secciones "afines", resuelta tambin en estas
investigaciones. En la Ref. {22} se encuentra la teora general que, con un sumando adimensional
ms, abarca secciones distorsionadas; un ejemplo de cmo calcular secciones paralelogrmicas,
usadas en los puentes en esviaje, a partir de la resistencia de una cuadrada afn; y varios algoritmos y
recomendaciones para calcular en flexin desviada. El ms prctico y ms interesante
econmicamente, consistente en ampliar a dos diagramas de interaccin el mtodo de la carga
trasladada a la mediatriz, tan utilizado en Venezuela en forma demasiado conservadora, se detalla
lgica y numricamente en la Seccin 2.7.3.
En resumen, mediante la relacin (1-1) el clculo de un diagrama de interaccin de una
seccin conocida para un solo porcentaje de acero se extiende fcilmente a todas las cuantas que se
desee. Adems, con las variables adimensionales (1-3) a (1-7), basta cambiar linealmente las escalas
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 19
del diagrama as ampliado para que sirva no solo para infinitas combinaciones de dimensiones, sino,
tambin, para diferentes proporciones de rectangularidad de su contorno. Sin embargo, en el caso
de isocargas, estas extensiones no pueden aplicarse directamente sino a travs de otro concepto
sencillo, el de las "isogonas" {16,18,26}, fuera del alcance de este trabajo; vase no obstante el
Artculo 1.4.
Hay que advertir que en lo anterior se supone que los estados de tensiones entre las secciones
afines son idnticos. Aunque las normas actuales no reconocen efectos de forma ni de escala en los
clculos flexoaxiales, inevitablemente debe haberlos. Sin embargo, la costosa experimentacin en
los laboratorios necesaria para avalar y ratificar o cambiar los parmetros normativos del ACI,
establecidos hace casi 30 aos para secciones muy simples, estn ahora peligrosa y criticablemente
muy a la zaga de los resultados numricos o las ristras de cifras que hoy se sacan, a precios
insignificantes y a menudo sin discusin.
1.3 SOLICITACIONES MAYORADAS
Para el estado lmite del agotamiento resistente, es decir, las condiciones pertinentes a la
resistencia mxima, las solicitaciones para el diseo de una seccin se determinan sumando las
solicitaciones de servicio o utilizacin previstas, que actan simultneamente sobre ella,
multiplicadas por factores de mayoracin, cuyos valores se especifican en las normas con criterios
probabilsticos y dependen del origen de las acciones. Esto puede expresarse en notacin compacta
como:
= iiu AFA (1-9)
donde uA denota vectorialmente la solicitacin mayorada, sea carga axial,
momento flector x, momento flector y, o fuerza cortante mayoradas, calificada por el subndice "u"
empleado internacionalmente para identificar este estado lmite, que, por cierto, no significa
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20 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
"ltimo" en nuestro idioma. Fi son los factores de mayoracin, y tA las solicitaciones de servicio o
utilizacin, sean cargas axiales, momentos flectores o fuerzas cortantes previstas. Habitualmente, la
sumatoria tiene un mximo de solo tres trminos, o sea, i = 1, 2, 3.
Como se sabe, las solicitaciones de servicio previstas se obtienen mediante el anlisis
estructural de las diversas acciones a que se espera est sometida la edificacin: permanentes,
variables, de sismo, viento, empuje de tierras, sobrecargas de construccin, extraordinarias, etc..
Estas se reglamentan en las Normas COVENIN-MINDUR 2002, 1756 y 2003 , Referencias {9} y
{5}, respectivamente. Las tres primeras se denotan aqu con sus subndices CP, CV y SIS.
En nuestras Normas de Concreto, las solicitaciones mayoradas se denominan
equivalentemente "resistencia requerida", y tanto las combinaciones como; factores de mayoracin a
considerar se estipulan en la Seccin .
La interpretacin de las combinaciones de solicitaciones tomando en cuenta el sismo,
Secciones a da lugar a un crecido nmero de casos de diseo, los cuales se deducen
a continuacin, tomando en cuenta la posibilidad que hay varios casos de cargas variables, es decir,
movimientos de cargas, los cuales se indican con el subndice j.
1) Para cargas gravitacionales solamente, la Frmula (9-1) de las Normas se expresa en
nuestra notacin como:
jAAA CVCPu ,7.14.1 += (1-10)
lugar a j casos a considerar.
2) Para la estructura cargada sometida al sismo de proyecto, suponiendo que acta en dos
direcciones ortogonales SISX y SISY, la Frmula (9-2) de las Normas tiene que ser
reescrita y bifurcada dos veces:
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 21
( )SISXCVCPu AjAAA 9.1,7.14.175.0 += ( )SISYCVCPu AjAAA 9.1,7.14.175.0 += (1-11)
lo que causa 4 j casos. ( denota modificacin en 1985 ).
3) Para la estructura descargada sometida al sismo de proyecto, hay que bifurcar tambin la
Frmula (9-3) de las Normas:
SISXCPu AAA 4.19.0 = SISYCPu AAA 4.19.0 = (1-12)
que aportan 4 ms. (Desde 1985 todos los FSIS son 1.0 ).
Consecuentemente, como cada columna tiene dos secciones crticas, la de su extremo
superior y la del inferior, el nmero total de diseos a realizar es el doble de la suma de los casos
anteriores:
Nmero de casos = 10 j +8 (1-13)
Si no se mueven cargas j = 1. Por lo tanto, siempre habr que disear cada columna, como
mnimo, para dieciocho combinaciones simultneas de carga axial y momentos flectores mayorados:
9 para la seccin superior y otras 9 para la seccin inferior. Si se requiere mover las cargas
variables, usualmente de cinco maneras, entonces ser necesario disear cada columna o muro para
58 casos.
Al estar nuestras ciudades y edificaciones importantes en zonas ssmicas {9}, lo anterior
significa un elevadsimo nmero de clculos por estructura, que puede ser todava mayor si hay que
considerar otras acciones adicionales (un conocido programa contempla 75), y hace pensar que se
requiere un procesamiento automatizado y, an as, buscar simplificaciones. Por otra parte, como se
advierte en 1.2.3 que las superficies resistentes tienen formas muy peculiares difciles de anticipar,
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22 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
se infiere que, tanto por las solicitaciones como por la resistencia, va a ser arduo y consumir mucho
tiempo el poder desarrollar una intuicin para vaticinar el porcentaje de armaduras del caso crtico
{21}.
Respecto a abreviar y aliviar esta impresionante cantidad de diseos de acero cuando
sabemos que slo el de ms rea controla, es lgico pensar en algn medio de eliminar los casos de
solicitaciones superfluas. Como las superficies son predominantemente convexas {21}, el
equivalente geomtrico de esta idea es simplemente encontrar la envolvente exterior de la nube de
puntos que las solicitaciones mayoradas sitan en el espacio tridimensional resistente, y disear los
refuerzos slo para los que la determinan. Lamentablemente, como en el proyecto de columnas nada
puede subestimarse, este problema no ha sido resuelto todava en el espacio y tiene nombre en las
matemticas algortmicas: "el problema del casco convexo" {19}.
Sin embargo, en el Captulo 2, Seccin 2.7.2, se presenta una simple y eficiente solucin
para el caso plano de los diagramas de interaccin y la flexin simple denominada "El Algoritmo de
los Casos Superfluos" {16}. Esta es muy sencilla y breve de programar, y ahorra alrededor de 2/3 de
los diseos {19}. Su extensin a la flexin desviada slo es posible cuando se emplea el conocido
criterio ultraconservador de "la carga trasladada paralela a la diagonal", la cual se detalla en 2.7.2.
Ambos casos se ilustran numricamente en el Captulo 3.
1.4 CRITERIOS DE DISEO Y REVISIN
Una de las ventajas del diseo en el estado lmite del agotamiento resistente es la clara y til
separacin entre resistencias y solicitaciones, las cuales en la teora de las tensiones admisibles estn
siempre mezcladas. La resistencia es una propiedad nica de la seccin o miembro; las
solicitaciones son algo externo, que pueden tener tantos valores como acciones y combinaciones
necesite considerar el proyectista. En consecuencia, adems de operar con conceptos explcitos,
tenemos el control de los factores de seguridad y la posibilidad de modificarlos cuando sea
oportuno.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 23
La determinacin de la resistencia se asocia al problema de anlisis y comportamiento de los
materiales, y en el caso de nuestras columnas se ha expuesto en forma resumida en el Artculo 1.2.
Encontrar las solicitaciones es asunto de la modelacin y clculo estructural pero, por referirse
todava slo a las acciones de servicio o utilizacin previstas, hay que multiplicar stas por factores
de mayoracin para hallar las de diseo en el agotamiento, como se ha descrito en el Artculo 1.3.
Geomtricamente, en el cmodo espacio de representacin de cargas axiales y momentos
flectores, la resistencia flexoaxial minorada R es una superficie cerrada, suave y armoniosa, con
dos polos distinguidos C y T; vase la Fig. 1.1. Por otra parte, como las solicitaciones mayoradas
uA , Frmula (1-9), significan la demanda de resistencia, al ubicarlas en el mismo espacio vectorial
son simplemente puntos. Si el punto queda dentro de la superficie de falla la columna resiste esa
combinacin mayorada de acciones; si cae fuera no la resiste. As de fcil es la interpretacin
geomtrica de la relacin entre una y otras, la cual hay que cumplir y cuantificar cuidadosamente,
como se indica a continuacin.
Corresponde al diseo y a la revisin relacionar y sintetizar la resistencia minorada con las
solicitaciones mayoradas. Como se sabe, el objetivo del diseo es encontrar la adecuada cantidad y
distribucin econmica de los materiales. Conocido ya el miembro, el propsito de la revisin es
averiguar los factores de seguridad que ste tiene ante cualquier accin esperada.
Evidentemente, la resistencia minorada de una seccin ha de ser igual o superior a todas las
resistencias requeridas por las solicitaciones mayoradas. Entonces, pensando en los volmenes de
falla flexoaxiales como la superposicin de superficies resistentes cuando se aumentan
proporcionalmente las reas de acero, Fig. 1.1 y Frmula (1-1), y en el til smil de la cebolla
propuesto en la Seccin 1.2.3, el determinar la cantidad de armaduras equivale a encontrar cul
casco encierra a todos los puntos uA . Esto se escribe mediante la siguiente expresin, donde sus
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24 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
trminos se subrayan con los nombres que se utilizan para designarlos, tanto en las Normas de
Concreto como en la literatura especializada:
RAFA iiu = (1-14)
la cual tiene que cumplirse para todos los casos de solicitaciones simultneas que exigen las
Normas; vase (1-13).
El diseo se realiza segn los siguientes mtodos resumidos, los cuales se precisan en el
Captulo 2 y sus ejemplos numricos en el 3:
Obtenidas todas las combinaciones de solicitaciones mayoradas S por las Frmulas (1-10) a
(1-12), afectadas por la correccin al factor de minoracin de resistencias si no es 0.7, y aumentadas
por los efectos de esbeltez cuando sean aplicables, vase 1.8 y los detalles respectivos en 2.3 y 2.5,
se pasan a las cargas y momentos adimensionales definidos por (1-3) a (1-5) y (1-8). Si las columnas
tienen secciones circulares, rectangulares o cruciformes se usarn los diagramas 1 a 40 del Captulo
4, y las isocargas 41 a 90 si son en forma de ele, dependiendo de la combinacin de materiales,
vase 1.5, y de la forma de la seccin, como se describe en 1.6.
Cuando hay flexin simple, el primer paso para el diseo con diagramas es localizar el baco por la
geometra y separacin de armaduras de la seccin y el plano de carga, vase 1.6. Seleccionado ste
la interseccin de la carga adimensional con el momento adimensional mayorados define la cuanta
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 25
mecnica u (1-6) buscada. Los mtodos de clculo en flexin desviada con diagramas de interaccin
se presentan en 2.7.3, aprovechando la resistencia en la mediatriz y la resistencia en la diagonal, con
lo que se consiguen grandes ahorros.
El diseo con isocargas es directo en flexin desviada: basta ubicar el baco de acuerdo con
la estrechez de la seccin y el nivel de carga axial adimensional, y entonces la interseccin de los
momentos adimensionales x e y definir la isobara buscada.
Si los valores de los bacos no coinciden con las solicitaciones puede interpolarse
linealmente tomando en cuenta los conceptos resistentes compendiados en 1.5 y 1.6.
En todo lo anterior slo se ha tratado el diseo de los refuerzos por ser el de inters rutinario.
Como se sabe, cuando las dimensiones de la seccin tambin son desconocidas, hay que
determinarlas por tediosas aproximaciones sucesivas.
El diseo de las secciones circulares, rectangulares y cruciformes, sea en flexin simple o
desviada, se puede realizar automtica e instantneamente por medio de los modelos matemticos
aproximados de una sola frmula que para los diagramas de interaccin han evolucionado en estas
investigaciones desde 1965 {16,19}. Una introduccin se halla en el Artculo 1.7, sus
procedimientos de clculo en 2.7.5 y 2.7.6, varios ejemplos en el Captulo 3, y las tablas de sus
coeficientes en el Captulo 5.
Como se ha mencionado en 1.3, el impresionante nmero de combinaciones de solicitaciones
mayoradas que especifican las normas hace pensar que los bacos y tablas para el clculo de
columnas tienen que ser sustituidos por procesamientos electrnicos. Pues bien, en las
investigaciones de la UCV tambin se ha resuelto el diseo automatizado desde 1973, sea cual fuese
la seccin, materiales y grado de pretensin de los refuerzos {16}; tema que est fuera de los
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26 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
objetivos y extensin de este Manual. Como se esboza en las Refs. {18}, se realiza mediante las
"isogonas", definidas como las lneas alabeadas que corresponden a inclinaciones iguales del eje
neutro, las cuales viajan sobre las superficies resistentes desde un polo a otro cambiando de rumbo
varias veces {16,18,21}. As, los volmenes de falla se determinan en forma directa, rpida y
compacta slo con la pareja de valores que proveen la resistencia del concreto y la del acero
unitario; es decir los conceptos que extractan la Frmula (1-1). Entonces las cuantas mecnicas se
obtienen aplicando el mtodo de Newton-Raphson al modelo paramtrico que los describen
eficientemente en el espacio {16}. Tal procedimiento debe publicarse en la monografa en
elaboracin {26}.
En general, se define como "factor de seguridad" al cociente de dividir una condicin que
conduce a la inutilidad entre la condicin de servicio o utilizacin prevista. En palabras simples, el
factor de seguridad mide cuan lejos se est de un peligro. Pese a dar un solo valor, este es un
estimador muy prctico e informativo, aplicable hasta en cuestiones econmicas. En el vocabulario
resistente, el factor de seguridad global FS es la relacin de la resistencia de agotamiento respecto a
la resistencia requerida por las acciones de servicio, cuyos valores mnimos se especifican en las
Normas de Acciones {4}.
Consecuentemente y con rigor, el factor de seguridad depende de la trayectoria que las
acciones de servicio seguirn en el espacio resistente hasta llegar a la superficie de falla. Si s seala
el camino, en nuestra notacin:
( ) ( )AsRsFS /= (1-15)
En el problema de revisin se conoce el miembro y, por tanto, su resistencia mediante 1.2.
Aun en el supuesto ideal que se tuvieran los valores precisos de las acciones de servicio, el problema
de evaluar la Frmula anterior radica en que no se sabe cmo se va a llegar a la falla. En efecto, si el
problema fuera simplemente unidimensional, como un momento flector puro, no hay duda que sera
slo a expensas de aumentar las fuerzas que lo producen. Pero la resistencia flexoaxial tiene tres
componentes, as que a la falla se podra llegar bien aplicando una excentricidad constante, como en
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 27
los primeros ensayos de columnas {14}; bien aumentando los momentos y dejando las cargas
axiales constantes, o sea a travs de una isocarga, por cierto difcil de obtener en el laboratorio sobre
miembros aislados; manteniendo los momentos constantes y aumentando la carga axial; o con
cualquier otra senda, como ocurre cuando en los prticos las rigideces de los miembros se
modifican, en forma complicada y aun oscura, por los efectos de esbeltez y el factor llamado P-
{10}, descargndose unos y esforzndose ms otros hasta que se llega al colapso plsticamente.
As que la revisin es por esencia un problema probabilstico y tampoco sencillo. A
continuacin, y mientras las normas no pauten otros, se recomiendan unos criterios simples para
estimar los factores de seguridad globales en los casos ordinarios, los cuales se han utilizado en el
proyecto y verificacin de edificios altos, en muros estructurales e incluso hasta plantas completas
{16,21} . Esto es factible porque, segn 1.2.2, las superficies de falla pueden determinarse ahora en
forma exacta y econmica satisfaciendo todos los requisitos de los reglamentos vigentes. En estas
recomendaciones se fija la trayectoria de las acciones previstas hasta su interseccin con la
superficie resistente conocida {16}.
En el caso de cargas gravitacionales sin sismo, a falta de otra informacin, es lgico suponer
que las solicitaciones de utilizacin previstas CVCP AA + alcanzarn la superficie de falla a expensas del crecimiento de las acciones variables solamente, es decir, de prolongar este vector, como se
ilustra en la Fig. 1.2a. De esta forma, segn (1-15), el factor de seguridad global ser igual a la
longitud de la lnea OPR dividida entre la longitud OPV.
Cuando se considera el sismo, las solicitaciones de servicio se ubican sumando a los vectores
anteriores de las acciones verticales el vector del sismo de diseo previsto, el cual puede ocurrir en
los dos sentidos opuestos: ms y menos SISA , llamados "sismo directo" y "sismo inverso"; Fig. 1.2b.
Lo ms simple y razonable es admitir que hay dos trayectorias hasta la superficie de falla, obtenidas
al prolongar a uno y otro lado los vectores del sismo. As, los factores de seguridad globales bajo ese
sismo se pueden estimar como los cocientes de las sendas de longitudes (OPV VR) divididas entre
-
28 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
a) A
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 29
la longitudes (OPV + VS). Anlogamente se efectuara para la combinacin del sismo y el miembro
descargado.
Los factores de seguridad as calculados deben satisfacer los valores mnimos recomendados
por las normas {2,9}; vase (1-10) a (1-12). Principalmente, de su examen e interpretacin se
pueden deducir y juzgar tanto la idoneidad, eficiencia y economa de los miembros diseados, como
la eficacia de toda la estructura y el aprovechamiento logrado de sus materiales.
1.5 MATERIALES
En este Manual se presentan frmulas y bacos para dos combinaciones de materiales:
fc 280 y fy = 2800 kgf/cm2
fc 350 y fy = 4200 kgf/cm2
por considerarse que comprenden las resistencias con que se construye actual -mente en Venezuela.
Esto significa que los concretos utilizados con aceros de calidad 2800 kgf/cm2 pueden estar
comprendidos entre una resistencia de 200 y 280 kgf/cm2, mientras que los empleados con aceros de
4200 kgf/cm2 pueden tener una resistencia entre 200 y 350 kgf/cm2.
Las cmodas y amplias variables adimensionales definidas en 1.2.4 son muy poco sensibles
a los cambios de la resistencia del concreto, mientras que, por lo contrario, la influencia de variar la
resistencia del acero es muy grande. Como puede verificarse en los bacos del Captulo 4, la
resistencia adimensional disminuye a medida que la calidad del acero fy aumenta.
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30 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
Consecuentemente, la equivocacin de utilizar los bacos o las frmulas de fy = 2800 cuando los
aceros especificados son de 4200 es grande y en contra de la seguridad.
En el caso de refuerzos de 3500 kgf/cm2 se puede interpolar linealmente entre los bacos
correspondientes de las dos combinaciones de materiales presentadas.
1.6 SECCIONES
En este Manual se encuentran frmulas y bacos para el proyecto de columnas de concreto
reforzado con cuatro tipos de secciones: circulares, rectangulares, cruciformes y eles. En las Figuras
1.3 a 1.5 se resumen su geometra, la distribucin de sus aceros y los planos de carga considerados,
as como la numeracin pertinente de los 90 bacos del Captulo 4.
La resistencia de las secciones circulares, rectangulares y cruciformes se ha calculado con
diagramas de interaccin (8,16 y 16 respectivamente), y la de las eles con isocargas (50 grficos).
Adems, se presentan modelos matemticos que describen en forma satisfactoria y simple los
diagramas: 2 frmulas para las secciones circulares, 4 para las rectangulares y 16 para las
cruciformes; vase 1.7.
La seleccin del baco a emplear depende de las dos combinaciones de materiales
disponibles, vase 1.5; del tipo de seccin; de la relacin de recubrimientos del refuerzo en las
circulares y rectangulares, o de la estrechez de la seccin en las cruciformes y eles; y del plano de
carga, sea la mediatriz o la diagonal de la seccin en las rectangulares y cruciformes, o del nivel de
carga axial en las eles.
La relacin de recubrimientos y mide la distancia relativa de las armaduras extremas y es una
variable de influencia importante en la resistencia a la flexin de las secciones circulares y
rectangulares. Se suele definir como el cociente de la distancia entre armaduras ms lejanas dividida
entre el tamao de la seccin en la direccin considerada. Por ejemplo:
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( ) ara /2= (1-16)
donde a es un lado y r el recubrimiento de clculo de las capas de barras ms distantes
perpendiculares a ese lado; vase la Fig. 1.3. En este Manual se adoptan cuatro valores: 0.6 que
corresponde a lados mnimos de 0.25 metros, 0.7 para mayores de 0.30 m, 0.8 para dimensiones de
columnas mayores de 0.50 m, y 0.90 para tamaos superiores a un metro. Para casos intermedios se
interpola linealmente o se toma conservadoramente el valor inferior. Lgicamente, mientras ms
separadas se coloquen las barras dentro de la seccin, y entonces y es mayor, ms momento se
puede absorber.
La relacin de estrechez interviene en las secciones cruciformes y eles. Se mide por el
coeficiente , definido como el cociente de dividir el lado entre el espesor:
ba /= (1-17)
Claramente, mayores relaciones de estrechez indican columnas y muros ms grandes.
Las necesidades de ser lo ms simple y general posible, para facilitar las tediosas y mltiples
labores de los usuarios, as como el limitar el nmero de bacos a una cantidad prctica y realista se
guiaron por los criterios que se sintetizan ms adelante. Otros pormenores se hallan en la Ref. {19}.
Particularmente, las secciones ele, resueltas por primera vez en estas investigaciones, se describen
con amplitud en cualquiera de las Refs. {18}.
Nunca estar de ms recordar e insistir que para abaratar la obra, simplificar su inspeccin y
control, y, en definitiva, llegar a materializar la estructura concebida, es necesario especificar muy
pocos tipos de armados, repetitivos y de comprobada factibilidad y sencillez de construccin.
Asimismo, el arte del detallado de los refuerzos, que un Manual como ste solo esboza, debe ser
capaz de lograr un hormigonado y vibrado efectivo, evitar concentracin de tensiones con una
distribucin de barras generosa, proveer un atado de las barras longitudinales y un confinamiento del
concreto adecuados, y tambin permitir ahorrativos solapes y prolongaciones a las columnas
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32 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
contiguas. Son los detallados de las secciones que van a la obra lo que cuenta y lo que cuesta; no los
clculos {13,27 Captulo 13}.
Es importante tener presente que aunque todas las secciones incluidas son simtricas, el uso
de sus bacos puede extenderse fcilmente para disear otras asimtricas afines, mediante la nueva
teora, procedimientos e ilustraciones grficas y numricas que se exponen en la Ref. {22}. Esto
significa que, por ejemplo, las columnas paralelogrmicas y rmbicas pueden calcularse con los
diagramas de las rectangulares, y que la resistencia de muchas secciones elpticas, de necesitarse, se
deduciran directamente de los grficos de las circulares.
Como informacin complementaria para otros tipos de secciones, en la Ref. {26} se deben
publicar los diagramas que ya se han obtenido para las columnas anulares y rectangulares huecas,
citados en la Ref. {21}. En el caso de secciones rectangulares sin armaduras laterales, una
disposicin poco recomendable o imposible en zonas ssmicas, los diagramas adimensionales
pioneros de la Ref. {8} de 1970 siguen siendo indiscutiblemente los mejores, mientras que todas sus
ediciones posteriores son inconvenientes por no estar en nuestras unidades. En la sntesis de la Ref.
{21} se hallan ms colecciones de bacos calculados segn las recomendaciones europeas, que, al
especificar factores de minoracin de resistencias diferentes para el concreto y para el acero, son
muy difciles de aprovechar. De entre ellos merecen destacarse los del famoso texto de la Ref. {12}.
1.6.1 Circulares
En las secciones circulares, diagramas de interaccin 1 a 8, el refuerzo se ha considerado
dispuesto en un anillo continuo, lo cual es en favor de la seguridad y preciso ya con solo 8 barras;
vase la Fig. 1.3a.
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Figura 1.3.- Secciones Circulares y Rectangulares calculadas
con Diagramas: = 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9
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Figura 1.4.- Secciones Cruciformes calculadas con
Diagramas, bacos N 25 a 40.
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Figura 1.5.- Secciones Ele calculadas con Isocargas
bacos N 41 a 90.
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1.6.2 Rectangulares
En las secciones rectangulares, Fig. 1.3b y diagramas 9 a 24, se seleccion exclusivamente la
disposicin de refuerzos perimetral X igual a Py, con porcentajes de acero iguales y simtricos en
las dos direcciones; es decir, la misma cantidad de acero en las cuatro caras. Esta disposicin no solo
es cercana a la ideal de tener las barras lo ms distribuidas posible en el contorno de la seccin, es la
ms razonable y equirresistente en zonas ssmicas, as como sencilla de especificar para la
construccin, sino tambin es la ms conservadora cuando al detallar el acero el usuario se ve
obligado a apartarse de este patrn {16,19}. Por otro lado, permite el diseo ms simple de todas las
secciones rectangulares; ibid..
Como se demuestra en la Ref. {22}, con las variables adimensionales aqu adoptadas, el
proyectista no tiene que preocuparse por las diferentes "relaciones de aspecto", como se denomina
ahora a la relacin de rectangularidad, o sea la proporcin del lado largo respecto al lado corto,
siempre que pueda mantener la disposicin del refuerzo sealada.
1.6.3 Cruciformes
En la Figura 1.4 estn las cuatro secciones cruciformes, cuya resistencia se presenta en los
diagramas 25 a 40, correspondientes a las relaciones de estrechez a igual a 2, 3, 5 y 7 o ms,
elegidas tras estudiar la influencia de esta variable, con refuerzo supuesto continuo y una relacin de
recubrimientos nica y conservadora de 0.8.
1.6.4 Eles
En la Figura 1.5 se detallan las cinco secciones eles que se seleccionaron despus de una
extensa investigacin {18}. Como puede observarse, la distribucin de los refuerzos est supeditada
a la estrechez y al confinamiento requerido en las zonas ssmicas. Estas secciones, como en todas las
que carecen de muchos ejes de simetra, se calcularon con isocargas, bacos 41 a 90. Cinco grficos
dobles por cada seccin y combinacin de materiales, o sea diez niveles de carga axial adimensional
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 37
por columna, permiten precisar mediante paralelos sus bellas, armoniosas y sorprendentes
superficies de falla {18,21}.
1.7 FORMULAS
Como se sostiene en 1.2.1, las superficies de falla flexoaxiales no son formulables. Por lo
tanto, hay que recurrir a la bsqueda de modelos matemticos razonablemente aproximados y
prcticos para el clculo rutinario de las numerosas solicitaciones mayoradas a considerar. En la
Seccin 5.9 de la Ref. {21} se encuentra una revista de este problema.
En este Manual los diagramas de interaccin se describen con una sola frmula mediante el
sencillo "modelo traslacional ", y las isocargas de las secciones rectangulares y cruciformes se
aproximan satisfactoria y conservadoramente con poligonales {16,19}. En contraste, las
sorprendentes isocargas de las secciones ele no tienen modelos y ni siquiera se ha comenzado su
investigacin.
El modelo traslacional, cuya versin para las normas venezolanas de teora clsica se aplica
cotidianamente desde 1970, obtiene el momento resistente adimensional segn la siguiente
expresin general y simple {16,19}:
( ) ( ) BA += (1-18)
donde A y B son polinomios de tercer grado que dependen solo de la carga axial adimensional ,
definida en (1-3). Como se observa, en el anlisis la frmula se aplica directamente y en el diseo la
cuanta del refuerzo se despeja linealmente. As, el clculo con diagramas de interaccin es
instantneo y se puede programar incluso en los minicomputadores de menor capacidad. Como
adems aqu se suministran frmulas que incorporan en B la relacin de recubrimiento y en funcin
continua de la carga adimensional, basta una frmula para cada combinacin de materiales y plano
de carga; vase 2.7.5, 2.7.6 y los ejemplos numricos en 3.4 y 3.5. As, para las secciones circulares
hay que manejar nicamente dos frmulas, y tanto para las rectangulares como para cada una de las
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38 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
cruciformes solo se necesitan dos frmulas para cargas en la mediatriz y otras dos para cargas en la
diagonal.
Cuando se tiene una expresin como la anterior para la resistencia en la mediatriz y otra
semejante para la resistencia en la diagonal, al suponer que las isocargas que las unen son rectas, la
cuanta mecnica se despeja de una ecuacin de segundo grado; vase (2-39). Este mtodo realista y
conservador que aqu se estrena, constituye la solucin ms satisfactoria, completa, sencilla y rpida
para resolver actualmente el problema del diseo en flexin desviada de las columnas rectangulares,
as como el primero enteramente automatizable y capaz de ser aplicado hasta en los calculadores
programables mnimos {19,21}.
Las Figuras 1.6 y 1.7 ilustran la bondad que puede esperarse del ajuste de estos modelos a
sus prototipos de superficies resistentes de falla.
En general, en los diagramas de interaccin los errores mayores ocurren en la vecindad de
los casos extremos y tericos de las compresiones y las tracciones puras; son siempre conservadores
y montan a una cuanta mecnica de +0.1. En cambio, los errores en contra de la seguridad son
bastante pequeos y suceden a unas excentricidades relativas, /, del orden de 0.3; vase la Fig.
1.6. La decisin de aproximar por rectas las isocargas entre la diagonal y la mediatriz es siempre
conservadora {21} y el error mximo es del orden de igual a + 0.1; vase la Fig. 1.7. Este es un
precio bajo por unas frmulas que son tan sencillas como tiles y de tan amplio alcance.
La teora y los detalles que sustentan al modelo traslacional se hallan en la Ref. {26}. Hasta
que sta se publique se recomienda consultar las Refs. {16} y {19}. Por otra parte, en el Artculo 4.1
se hace una til y sencilla aplicacin del otro modelo propuesto, ms refinado a costa de una mayor
complicacin y apenas explorado, titulado el "modelo polar" {16}.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 39
Figura 1.6.- Ejemplo tpico de la bondad del ajuste del
Modelo Trasnacional para los diagramas
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Figura 1.7.- Isocargas tpicas de las secciones rectangulares
simtricas x = y. Bondad del modelo lineal.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 41
La aproximacin conservadora y simple de que las isocargas son poligonales ofrece otras
aplicaciones y frmulas tiles para las secciones rectangulares y cruciformes. Si se supone que las
resistencias en la mediatriz se unen mediante rectas con las resistencias en la diagonal,
correspondientes a la misma carga axial e igual cuanta mecnica , como la Fig. 1.7 expone, se
deduce fcilmente que cuando x y las ecuaciones de tales isocargas pueden expresarse as:
yxm += (1-19)
donde m es la resistencia a la flexin en la mediatriz, y es la tangente del ngulo que mide la
convexidad que suministra la resistencia a flexin en la diagonal d, pudindose demostrar {22} que
vale:
11
=
d
m
(1-20)
En otras palabras mucho ms significativas y prcticas, mide la ineficacia de la diagonal.
En efecto, dados los momentos mayorados de una accin, x y y, el momento resistente que se
requiere en la mediatriz ser menor cuanto ms resista la diagonal y, consecuentemente, valga
menos.
Como sabemos por 1.2.3 que las superficies de falla son predominantemente convexas, es
decir que, en general, no presentan entrantes, y de haberlos son pequeos, la resistencia mnima que
puede esperarse en la diagonal corresponde a un valor de igual a la unidad; sin haber entrantes ni
salientes. Entonces las isocargas se reducen a unas rectas a 45 que cierran cada cuadrante, o sea los
contornos de la superficie de falla a cargas constantes formaran rombos regulares.
Esta es la base del mtodo de clculo aproximado para las secciones rectangulares en flexin
desviada denominado de la "carga trasladada", que ha sido muy popular en Venezuela desde las
normas de 1967, y citado en las Refs. {12} y {27}. Intenta convertir el problema de flexin desviada
en otro equivalente de flexin simple, utilizando nicamente los diagramas de interaccin
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42 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
disponibles en la mediatriz. Lgicamente, fue muy til cuando no haban bacos con la resistencia
en la diagonal {22}, por lo que se dedicaron muchos esfuerzos para determinar los valores
apropiados de y los parmetros de otras curvas ms complicadas, como las superelipses
{12,16,19}. No obstante, como la contribucin de la resistencia diagonal depende de muchas
variables: el nivel de carga axial, la cuanta mecnica, la relacin de recubrimientos, la calidad del
acero y la geometra de la seccin, se llega as a un problema ms formidable que el original
{16,19,26}.
La tctica ms simplista, cmoda y conservadora, a veces en demasa, recomendadas en las
mencionadas normas venezolanas, consiste en trasladar la accin en flexin desviada a la mediatriz
segn la recta (1-19) con igual a 1, ignorando la contribucin de la resistencia en la diagonal.
Entonces basta sumar los dos momentos mayorados componentes y se demuestra que la recta de
traslado es paralela a la diagonal de la seccin. No obstante, es importante advertir que esta
aproximacin es vlida y da el acero total mnimo slo cuando se calcula con bacos que disponen
aceros iguales en las cuatro caras {19}.
En este Manual el mtodo de diseo de la carga trasladada se presenta en la Seccin 2.7.3
con el sencillo algoritmo por aproximaciones sucesivas publicado en la Ref. {22}. Este aprovecha
mucho ms precisa y eficientemente los diagramas de interaccin, ya que utiliza tanto los bacos en
la mediatriz como los de la diagonal para corregir la convexidad de las isocargas directamente.
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 43
1.8 COLUMNAS LARGAS
Se entiende por "columna larga" o "esbelta" cuando su longitud es lo suficientemente grande
para que sus flechas laterales produzcan un sensible incremento del momento flector mximo.
Este tema complejo y mltiple es toda una especialidad inagotable, bajo el dominio de los
investigadores de las estructuras metlicas, y actualmente en gran desarrollo. En general, se lo
denomina "inestabilidad estructural" o "pandeo", y la definicin anterior solo implica el caso
calificado como "longitudinal".
La literatura especializada para los miembros de concreto reforzado es abundante y
creciente, pero con resultados todava discutibles, de manera que las normas y los procedimientos de
clculo aun estn en evolucin. Los textos de las Refs. {10} y {12} contienen toda la informacin
bsica para poseer una rpida introduccin cabal de las facetas de este problema. En las pginas 200
a 225 de la Ref. {16} se exponen sus principios histricos y conceptuales, pudindose seguir las
grandes modificaciones que han habido en los reglamentos del ACI.
En este Manual los efectos de la esbeltez se tratan en el Artculo 2.3 y varios ejemplos
numricos se hallan en el Captulo 3.
El clculo de las columnas largas ms sencillo, y realmente el nico hoy factible, consiste en
determinar la resistencia de sus secciones como se ha expuesto en 1.2, o sea como columnas
"cortas", y aumentar sus momentos mayorados tomando ah en cuenta y en forma aproximada los
efectos de la esbeltez. Se entiende por "relacin de esbeltez" al cociente de la altura libre o no
arriostrada de una columna entre la dimensin transversal a su posible desplazamiento. Como se
asienta tericamente en la Seccin de las Normas, la aplicacin de un mtodo "exacto"
requiere el cambio sustancial y amplio del anlisis estructural, a fin de considerar la influencia de las
cargas axiales y la variacin de la inercia de los miembros en las matrices de rigidez.
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44 MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell
El problema se transfiere entonces a averiguar en cunto deben de aumentarse los momentos.
Como se sabe, ste es un asunto matemticamente complicado y difcil de tipificar o precisar en
unas pocas reglas universales, debido a las numerosas variables que intervienen, muchas de ellas
polmicas y complejas de modelar. Por ejemplo, el grado de restriccin en los extremos de una
columna es fundamental tericamente y muy sensible a los cambios, pero en la prctica slo
podremos estimar llenos de dudas el aporte que proveen las vigas y placas contiguas. Anlogamente,
tampoco parece posible el cuantificar en unas pocas recetas las importantes influencias que las
cargas sostenidas y el grado de agrietamiento tienen en este problema.
Nuestras Normas de Concreto, basadas en las del ACI, reconocen como stas la gran
experiencia de los especialistas en acero estructural del Instituto Americano de la Construccin de
Acero AISC, vase nuestras Normas de Acero {3}, donde los efectos de la esbeltez se consideran
multiplicando el mximo momento extremo mayorado por un factor , por lo que recibe el nombre
del mtodo de la "magnificacin de momentos". Este se describe aqu en la Seccin 2.3.4 y, a
diferencia de normas anteriores, sus pasos y frmulas son muy sencillos de seguir. El estudio de las
extensas Secciones y del Comentario es esencial para su aplicacin cabal, y
la informacin docente se puede encontrar en el texto de la Ref. {10}.
1.9 REFUERZOS TRANSVERSALES
Las experiencias acumuladas en los ltimos sismos han demostrado fehacientemente que el
confinar las columnas y los nodos es algo esencial en las edificaciones sismo-resistentes {1,27}.
Es interesante destacar que en nuestras normas anteriores, como en muchas otras, se
desalentaba el uso de las columnas zunchadas o confinadas, algo ms costosas que las ligadas,
mientras que en las ACI fueron las columnas zunchadas las bsicas desde 1936. Adems, las normas
del Instituto Americano del Concreto, slo desde 1971 acompaadas de comentarios, siempre han
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MINDUR. Manual para el Clculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marn, A. Gell 45
asignado la misma resistencia a ambas, por lo que todo contribuy lgicamente a que las columnas
confinadas fueran rechazadas por quienes no conocan su comportamiento ni las razones de sus
frmulas; principalmente porque esa informacin fue inaccesible durante muchos aos. En el
Captulo 2 de la Ref. {14} se presenta minuciosamente el comportamiento de las columnas
confinadas con refuerzos transversales a travs de las diversas y costosas investigaciones en
compresin pura que fueron patrocinadas por el ACI por ms de dos dcadas.
Como se demuestra en la Ref. {14} y ahora se resume en el Comentario de nuestras Normas
, las tericas resistencias nominales en compresin pura de las columnas zunchadas y
ligadas son las mismas, simplemente porque se especifica colocar el volumen mnimo de armaduras
transversales de confinamiento para que esto ocurra. No obstante, aunque las resistencias sean
iguales, los comportamientos y las deformaciones son muy diferentes. Las columnas as confinadas
exhiben una gran ductilidad y, ante un sismo severo, podrn mantener la estructura en pie, como se
ha comprobado y se puede observar en las numerosas imgenes de la Ref. {1}.
El confinamiento del ncleo de un miembro de concreto reforzado es el nico modo de modificar la
curva constitutiva tensiones-deformaciones del concreto y obtener ductilidad cuando est sometido a
altas compresiones y/o fuerzas cortantes {14,27}. Especialmente el texto de la Ref. {27} es uno de
los primeros en detallar los refuerzos recomendados en zonas ssmicas, producto de muchas
experiencias e investigaciones. El Captulo 18 de nuestras Normas trata las reglamentaciones sismo-
resistentes y hay muchas recomendaciones de inters en sus comentarios .
Paralelamente, hay que disponer armaduras transversales, en forma de estribos, cercos y
grapas, para resistir las fuerzas cortantes en las columnas. Las especificaciones pertinentes se
encuentran en las Secciones < 11.3 > y < 11.4 > y no ofrecen dificultades conceptuales para los que
estn acostumbrados