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Manuales HEDIMA(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)
�DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA 06071-BADA JOZ (Spain)
Universidad de Extremadura
Departamento de Matemáticas
Grupo HEDIMA
Temas básicos de Análisis Matemático, Álgebra Lineal y
Geometría
C. Calvo Jurado, C. Gutiérrez Pérez, C. Marín Porgueres, P. Martín Jiménez, R. Martínez
Quintana, P. Monfort Vinuesa, J. Navarro Garmendia, I. Ojeda Martínez de Castilla.
http://matematicas.unex.es/HEDIMA
Badajoz, octubre de 2012
Índice general
Portada 1
Índice general 5
Introducción 7
Parte 1. Análisis Matemático 10
1. Continuidad 11
2. Derivadas 64
3. Aplicaciones de las derivadas 93
4. Gráficas de funciones 119
5. Cálculo de primitivas 160
6. Integral definida 207
7. Aplicaciones de la integral 224
Parte 2. Álgebra lineal y geometría 250
8. Matrices 251
9. Determinantes 347
10. Vectores en el espacio tridimensional 457
11. Geometría en el plano 508
12. Geometría en el espacio 543
Introducción
El presente material es el resultado del grupo de trabajo HEDIMA (Herramientas Digitales de Matemáticas), forma-do por profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Extremadura. Incluye exposiciones mediantediapositivas de un conjunto de temas de Análisis Matemático y Álgebra Lineal y Geometría básicos para que los alum-nos de primer curso de enseñanza universitaria de ingeniería o ciencias pueda entender y manejar otros conceptosmás avanzados de Matemáticas o de otras materias relacionadas. Los temas desarrollados constituyen el curriculumde la asignatura Matemáticas II de bachillerato en educación secundaria. En este sentido, se podría considerar comoun curso de nivelación para alumnos de nuevo ingreso en la universidad.
Complementando este material expositivo, el grupo HEDIMA desarrolla un conjunto de cuestionarios de auto-aprendizaje y autoevaluación que están disponibles en la plataforma Moodle de la Universidad de Extremadura. Parael uso de estos cuestionarios, es necesario ser usuario de dicha plataforma (campusvirtual.unex.es), bien como miembrode la Universidad de Extremadura (AVUEX), bien como miembro de algún instituto de bachillerato de la ComunidadAutónoma de Extremadura (AVEXTENSA), así como solicitar autorización escribiendo un correo electrónico a [email protected].
Los temas incluyen los conceptos teóricos y están ilustrados con numerosos ejemplos. Pueden además ampliarsecon prácticas de ordenador desarrolladas en Octave/MATLAB (cálculo científico y visualización de datos) y MAXIMA
7
(cálculo simbólico y numérico) por profesores del Departamento de Matemáticas dentro del proyecto SMAD (Soft-ware Matemátio Aplicado a la Docencia). Junto con las prácticas, es posible encontrar tutoriales de ayuda sobre losprogramas utilizados.
Badajoz, octubre de 2012.
Parte 1
Análisis Matemático
1. Continuidad
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Bloque: Analisis Matematico
Tema: Funciones. Lımites. Continuidad
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Indice
Definicion de funcion
Lımite de una funcion
Definicion de lımite
Propiedades de los lımites
Calculo de lımites
Continuidad de una funcion
Definicion de continuidad
Propiedades elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad en un intervalo
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
1. Definicion de funcion
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de funcion
Definicion
Dados dos conjuntos A y B, una funcion o aplicacion entre A y B es unaley que asocia a cada elemento de A un unico elemento de B. Se denota por
F : A→ B
a→ b
Definicion
Se llama funcion real de variable real a toda aplicacion entre dos conjuntos Ay B de R
F : A→ B
x→ f(x)
A f(x) se le llama imagen por f de x y se dice que x es la antiimagen def(x)
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definiciones
Sea f una funcion real de variable real:
Dominio
Llamamos dominio de f al subconjunto de R donde la funcion esta definida.Se denota por Domf .
Imagen
Llamamos imagen de f al subconjunto de R formado por todos los numerosque son imagen por f de algun elemento de Domf . Se denota por Imf ,
Imf = {y ∈ R : y = f(x) para algun x ∈ Domf}
Grafica
Llamamos grafica de f al subconjunto de R2, denotado por Gf , siguiente
Gf = {(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ Domf}
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplo de Funcion, Dominio, Imagen y Grafica
Ejemplo
Consideramos la siguiente funcion:
F : R→ Rx→ f(x) =
√x
Dominio: {0} ∪ R+
Imagen: {0} ∪ R+
Grafica:
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Operaciones
Operaciones con funciones
Dadas dos funciones f, g : A→ R, definimos las siguientes operaciones:
Suma:
f + g : A→ Rx→ f(x) + g(x)
Producto:
f · g : A→ Rx→ f(x) · g(x)
Cociente: siempre que g(x) 6= 0
f/g : A→ Rx→ f(x)/g(x)
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplos de operaciones con funciones
Ejemplos
Suma: la suma de las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x2 + 3 es lafuncion (f + g)(x) = 3x2 + 3
Producto: el producto de las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x) es lafuncion (f · g)(x) = 3x cos(x)
Cociente: el cociente de las funciones f(x) = x3 − 5 y g(x) = 3 es la
funcion(
fg
)(x) = x3−5
3
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
2. Lımite de una funcion
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de lımite
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de lımite
Definicion
Una funcion f(x) tiene lımite L en el punto x = a, si para todo numero realε > 0, existe otro numero real δ > 0, tal que si
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Interpretacion grafica de la definicion de lımite
Para cada ε > 0:
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Interpretacion grafica de la definicion de lımite
existe un δ > 0:
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Interpretacion grafica de la definicion de lımite
tal que si 0 < |x− a| < δ:
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Interpretacion grafica de la definicion de lımite
entonces |f(x)− L| < ε:
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplos del calculo de lımites
Ejemplo
lımx→2
(x2 + x+ 1) = 7
Ejemplo
lımx→∞
2x2 + x+ 2
x2= lım
x→∞
(2 +
1
x+
2
x2
)= 2
Ejemplo
lımx→1
x2 − 1
x− 1= lım
x→1
(x+ 1)(x− 1)
x− 1= lım
x→1(x+ 1) = 2
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Propiedades de los lımites
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Propiedades de los lımites
(Unicidad del lımite) Si una funcion tiene lımite en un punto, este esunico.
Si los lımites laterales de una funcion en un punto son distintos, entoncesla funcion no tiene lımite en el.
Si una funcion tiene lımite distinto de cero en un punto, entonces existeun entorno del mismo en el que los valores que toma la funcion tienen elmismo signo que el lımite.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Operaciones con lımites
Sean f y g dos funciones tales que existan lımx→a f(x) y lımx→a g(x), ysea c un numero real, entonces:
Adicion:
lımx→a(f + g)(x) = lımx→a f(x) + lımx→a g(x)
lımx→a(−f)(x) = − lımx→a f(x)
lımx→a(f − g)(x) = lımx→a f(x) − lımx→a g(x)
Multiplicacion:
lımx→a(fg)(x) = lımx→a f(x) · lımx→a g(x)
lımx→a
(1f
)(x) = 1
lımx→a f(x)
lımx→a
(fg
)(x) =
lımx→a f(x)lımx→a g(x)
lımx→a(cf)(x) = c lımx→a f(x)
Potenciacion:
lımx→a f(x)g(x) = lımx→a f(x)lımx→a g(x)
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplos de operaciones con lımites
Ejemplos
Adicion: dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x2 + 3, se tiene que:
lımx→2
(f + g)(x) = lımx→2
3x2 + 3 = lımx→2
f(x) + lımx→2
g(x)
= lımx→2
x2 + lımx→2
2x2 + 3 = 4 + 11 = 15
Multiplicacion: dadas las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x), se tieneque:
lımx→3
(f · g)(x) = lımx→3
3x cos(x) = lımx→3
f(x) · lımx→3
g(x)
= lımx→3
3x · lımx→3
cos(x) = 9 cos(3)
Potenciacion: dadas las funciones f(x) = 2x3 y g(x) = x2, se tiene que:
lımx→1
(f(x))g(x) = lımx→1
(2x3)x2
= lımx→1
f(x)lımx→1 g(x)
= lımx→1
(2x3)lımx→1 x2
= 21 = 2
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Operaciones con lımites
Las relaciones anteriores son ciertas siempre que tengan sentido las opera-ciones definidas. En caso contrario, no es posible obtener el lımite del primermiembro a partir del lımite del segundo.
Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso de indetermina-cion. Esto significa que la aplicacion directa de las operaciones anteriores esimposible.
Los casos de indeterminacion son:
k
0,
0
0,∞∞ , 0 · ∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Calculo de lımites
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Calculo de lımites de funciones racionales
a) Indeterminacionk
0, k 6= 0
Esta indeterminacion se elimina calculando los lımites laterales. Si soniguales, la funcion tiene lımite +∞ o −∞, en caso contrario no existe ellımite.
Ejemplo
La aplicacion de la propiedad del lımite de un cociente a la funcion
f(x) =1
x− 1,
en el punto x = 1 da 1/0, que carece de sentido. Al calcular los lımiteslaterales obtenemos:
lımx→1−
1
x− 1= −∞ y lım
x→1+
1
x− 1= +∞,
como son distintos, la funcion no tiene lımite en ese punto.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Calculo de lımites de funciones racionales
b) Indeterminacion0
0
Esta indeterminacion desaparece descomponiendo en factores elnumerador y denominador y simplificando.
Ejemplo
La aplicacion de la propiedad del lımite de un cociente a la funcion
f(x) =x3 − 1
x− 1,
en el punto x = 1 da 0/0, que carece de sentido. Descomponiendo enfactores el numerador y el denominador y simplificando obtenemos:
lımx→1
x3 − 1
x− 1= lım
x→1
(x− 1)(x2 + x+ 1)
x− 1= lım
x→1(x2 + x+ 1) = 3.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Calculo de lımites de funciones racionales
c) Indeterminacion∞∞
Esta indeterminacion desaparece dividiendo numerador y denominadorpor la potencia maxima del denominador.
Ejemplo
La aplicacion de la propiedad del lımite de un cociente a la funcion
f(x) =4x2 + x− 1
x2 + 1,
cuando x tiende a ∞ da ∞/∞, que carece de sentido. Dividiendo numeradory denominador por x2 obtenemos:
lımx→∞
4x2 + x− 1
x2 + 1= lım
x→∞
4− 1x− 1
x2
1 + 1x2
= 4.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Calculo de lımites de funciones irracionales
a) Indeterminaciones0
0y ∞−∞
Esas indeterminaciones en funciones con radicales desaparecenmultiplicando y dividiendo la funcion por la expresion radical conjugada.
Ejemplo
La aplicacion de la propiedad del lımite de un cociente a la funcion
f(x) =x
1−√
1− x ,
en el punto x = 0 da 0/0, que carece de sentido. Al multiplicar y dividir porel conjugado obtenemos:
lımx→0
x
1−√
1− x = lımx→0
x(1 +√
1− x)
(1−√
1− x)(1 +√
1− x)
= lımx→0
x(1 +√
1− x)
1− (1− x)= lım
x→0(1 +
√1− x) = 2.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Calculo de lımites de funciones irracionales
b) Indeterminacion∞∞
Esta indeterminacion en funciones con radicales desaparece dividiendonumerador y denominador por la potencia maxima del denominador.
Ejemplo
lımx→∞
√x2 + x
x= lım
x→∞
√1 + 1
x
1= 1.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
3. Continuidad de una funcion
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de continuidad
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de continuidad
Definicion
Una funcion es continua en un punto si existe lımite en el y coincide con elvalor que toma la funcion en ese punto, es decir,
f continua en x = a⇔ lımx→a
f(x) = f(a)
La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas trescondiciones:
Existe el lımite de la funcion f(x) en x = a
La funcion esta definida en x = a, es decir, existe f(a)
Los dos valores anteriores coinciden
Si una funcion no es continua en un punto, diremos que es discontinua enese punto.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplo de funcion continua
Ejemplo
La funcion f(x) = x2−1x+1
es continua en x = 1 porque
Existelımx→1 f(x) = lımx→1
x2−1x+1
= lımx→1(x−1)(x+1)
x+1= lımx→1 x− 1 = 0
La funcion esta definida en x = 1 puesto que su dominio de definicion estodo R
f(1) = 0 por tanto el valor del lımite coincide con f(1)
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Otra definicion de continuidad
Definicion
Una funcion f es continua en el punto x = a si a cada numero real positivo εse puede asociar otro numero real positivo δ, tal que,
|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplo grafico de discontinuidad
Funcion discontinua: f(x)=[x] (parte entera)
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplo grafico de continuidad
Funcion continua: f(x) = 2 sin(x2/3)
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Propiedades elementales
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Funciones:
lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Propiedades de las funciones continuas
1. Unicidad del lımite.
Si una funcion es continua en un punto, entonces tiene lımite en esepunto.
2. Teorema del signo
Si una funcion es continua en un punto x = a y f(a) 6= 0, entoncesexiste un entorno simetrico de x = a en el que los valores que toma ftienen el mismo signo que f(a).
3. Anulacion de la funcion
Si una funcion continua toma valores positivos y negativos en cualquierentorno simetrico del punto x = a, la funcion se anula en el.
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lımite ycontinuidad
HEDIMA
Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Propiedades de las funciones continuas
4. Acotacion de la funcion
Si una funcion es continua en el punto x = a, entonces esta acotada enese punto, es decir, existe un entorno simetrico de x = a en el que lafuncion esta acotada.
5. Continuidad y operaciones
Las operaciones con funciones continuas en x = a dan como resultadootra funcion continua en un entorno simetrico de x = a, siempre quetenga sentido la operacion.
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lımite ycontinuidad
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Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Tipos de discontinuidad
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lımite ycontinuidad
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Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de discontinuidad
Definicion
Una funcion es discontinua en un punto cuando no existe lımite en el o,existiendo, no coincide con el valor de la funcion en el mismo.
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Definicion defuncion
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Calculo delımites
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Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Tipos de discontinuidad
Discontinuidad evitable
Una funcion tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existelımite en el y no coincide con el valor de la funcion en el mismo.El valor que deberıamos dar a la funcion en dicho punto para que fueracontinua en el se llama verdadero valor de la funcion en el mismo.
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Propiedadesde los lımites
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Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplo de discontinuidad evitable
Ejemplo
Consideremos la siguiente funcion:
f(x) =
{x2−1x−1
si x 6= 1
3 si x = 1
Esta funcion es continua en todos los puntos distintos de x = 1. Veamos quesucede en x = 1:
lımx→1
x2 − 1
x− 1= lım
x→1
(x+ 1)(x− 1)
x− 1= lım
x→1(x+ 1) = 2.
Puesto que f(1) = 3 y el lımite en ese punto vale 2, la funcion es discontinuaen ese punto. Ahora bien, si en vez de f(1) = 3, hubieramos tomadof(1) = 2, la funcion f serıa continua en toda la recta real. En este sentidodecimos que la discontinuidad era evitable.
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lımite ycontinuidad
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Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Tipos de discontinuidad
Discontinuidad inevitable
Una funcion tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existenlos lımites laterales en el y son distintos.Si f es discontinua en el punto x = a, el valor
| lımx→a+
f(x)− lımx→a−
f(x)|
se llama salto de la funcion en ese punto, y puede ser finito, si es un numeroreal, o infinito.
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Definicion defuncion
Lımite de unafuncion
Definicion delımite
Propiedadesde los lımites
Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplo de discontinuidad inevitable
Ejemplo
Consideremos la siguiente funcion:
f(x) =
1 si x > 0
0 x = 0
−1 si x < 0
Es evidente que la funcion es discontinua en x = 0. Los lımites laterales son:
lımx→0+
f(x) = 1 y lımx→0−
f(x) = −1.
Puesto que los lımites laterales son distintos, no puede atribuirse a la funcionningun valor para que sea continua. Diremos que se trata de unadiscontinuidad inevitable.
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Definicion defuncion
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Definicion delımite
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Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Continuidad en un intervalo
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Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Definicion de continuidad en un intervalo
Definicion
Una funcion es continua en un intervalo abierto (a, b), si lo es en cada unode sus puntos.
Definicion
Una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], si lo es en todos lospuntos del intervalo abierto (a, b) y ademas es continua por la derecha en a ypor la izquierda en b.
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Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplos de continuidad en un intervalo
Ejemplo
La funcion f(x) = x2 es continua en cualquier intervalo cerrado o abierto dela recta real.
Ejemplo
La funcion f(x) = 1x
no es continua en el intervalo [−1, 1], porque noesta definida en el punto x = 0.
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Definicion decontinuidad
Propiedadeselementales
Tipos de dis-continuidad
Continuidaden unintervalo
Ejemplos de continuidad en un intervalo
Ejemplo
La funcion
f(x) =
{x2 si x < 1
2 si x ≥ 1
no es continua en el intervalo [0, 1], porque no es continua por la izquierdaen x = 1, ya que
lımx→1−
f(x) = 1 6= 2 = f(1).
Sin embargo, esta funcion sı es continua en cualquier intervalo de la forma[1, b], ya que en el punto x = 1 es continua por la derecha, pues
lımx→1+
f(x) = 2 = f(1).
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Calculo delımites
Continuidadde unafuncion
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Continuidaden unintervalo
Teoremas
Teorema [Weierstrass]
Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene maximo ymınimo en ese intervalo.
Interpretacion intuitiva
Intuitivamente, esto significa que la grafica de la funcion debe tener un puntomas alto o igual que los demas y otro mas bajo o igual que los restantes.
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Continuidaden unintervalo
Ejemplo del Teorema de Weierstrass
Ejemplo
La funcion f(x) = x2 − x+ 1 es continua en el intervalo [1/2, 1] entoncespor el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que tiene maximo y mınimoen ese intervalo.
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Continuidaden unintervalo
Teoremas
Teorema [Bolzano]
Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], y toma valores designos opuestos en los extremos, entonces existe al menos un punto interior cdel intervalo en el que f(c) = 0.
Interpretacion intuitiva
Intuitivamente, esto significa que la grafica de la funcion corta al eje deabscisas, ya que pasa por un punto situado por debajo de el a otro que seencuentra por encima o recıprocamente.
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Ejemplo del Teorema de Bolzano
Ejemplo
La funcion f(x) = x3 + x2 − 7x+ 1 es continua en el intervalo [−1, 1] ytoma valores de signos opuestos en los extremos:
f(−1) = 8 y f(1) = −4,
entonces por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que existe un punto cen el interior de ese intervalo de modo que la funcion se anula en el, es decirf(c) = 0
Ejemplo de aplicabilidad del Teorema de Bolzano
Podemos asegurar la existencia de al menos una solucion de la ecuacion:
x3 + x− 5 = 0,
en el intervalo [1, 2] utilizando el Teorema de Bolzano, pues la funcionf(x) = x3 + x− 5 es continua en dicho intervalo y f(1) = −3 y f(2) = 5.
2. Derivadas
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Derivada enun punto
Interpretaciongeometrica
Funcionderivada
Derivadaselementales
Algebra dederivadas
TeoremasFundamenta-les del CalculoDiferencial
Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
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Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Indice
Derivada en un punto
Interpretacion geometrica
Funcion derivada
Algebra de derivadas
Regla de la cadena
Tabla de derivadas
Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
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Derivada enun punto
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Funcionderivada
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Algebra dederivadas
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Teorema delvalor mediode Lagrange
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Regla deL’Hopital
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Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Derivada en un punto
Dada una funcion f : D ⊆ R→ R, se dice que es derivable en a ∈ R, siexiste y es finito el siguiente lımite
lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(equivalente a lım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
)
El valor de este lımite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por
f ′(a) odf
dx(a)
De modo que:
Definicion
f ′(a) = lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
o bien
f ′(a) = lımx→a
f(x)− f(a)
x− a
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Funcionderivada
Derivadaselementales
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Derivada en un punto
Ejemplo
Calculemos la derivada de f(x) = x2 en el punto a = 1:
f ′(1) = lımh→0
f(1 + h)− f(1)
h=
= lımh→0
(1 + h)2 − 1
h=
= lımh→0
1 + h2 + 2h− 1
h=
= lımh→0
h(h+ 2)
h=
= lımh→0
h+ 2 = 2
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Interpretacion geometrica
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Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Interpretacion geometrica
La derivada de una funcion f(x) en un punto a es un valor numerico queindica la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto deabcisa x = a.Por tanto, la ecuacion de esta recta tangente se escribe
Recta tangente a la grafica de f(x) en x = a
y − f(a) = f ′(a)(x− a)
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Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Interpretacion geometrica
Ejemplo
La recta tangente a la funcion f(x) = x2 en el punto a = 1 tiene la siguienteecuacion:
y − f(1) = f ′(1)(x− 1)
es decir,y − 1 = 2(x− 1)
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Funcion derivada
La funcion derivada f ′(x) de una funcion dada f(x) es la que asigna a cadavalor de x el valor de la derivada en ese punto
Funcion derivada
f ′(x) = lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h
Si la funcion f ′(x) es derivable, podemos calcular su derivada, quellamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′(x) o f2)(x). De formasimilar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.
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Funcion derivada
Ejemplos de derivadas de funciones elementales
f(x) = K ∈ R f ′(x) = 0f(x) = Kx (K ∈ R) f ′(x) = Kf(x) = xn (n 6= −1) f ′(x) = nxn−1
Ejemplo
Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3
f(x) = 45 f ′(x) = 0 f ′(3) = 0f(x) = 34x f ′(x) = 34 f ′(3) = 34f(x) = x5 f ′(x) = 5x4 f ′(3) = 5 · 34
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Funciones derivadas elementales
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Funciones derivadas elementales
Funcion seno
y = sen(x) y′ = cos(x)
Funcion coseno
y = cos(x) y′ = −sen(x)
Funcion tangente
y = tg(x) y′ =1
cos2(x)
Funcion logaritmo
y = L(x) y′ =1
x
Funcion exponencial
y = ax y′ = ax · L(a)
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Algebra de derivadas
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Algebra de derivadas
Suma de funciones
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
Producto de una funcion por un numero λ
(λf(x))′ = λf ′(x)
Producto de funciones
(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Cociente de funciones(f(x)
g(x)
)′=f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)
(g(x))2
Composicion de funciones (regla de la cadena)
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
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Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Funciones derivadas elementales
Ejemplos
(x2 + sen(x))′ = 2x+ cos(x)
(3 · sen(x))′ = 3 · cos(x)
(x2 · sen(x))′ = 2xsen(x) + x2 cos(x)(
x2
sen(x)
)′=
2xsen(x)− x2 cos(x)
(sen(x))2
(sen(x2))′ = cos(x2) · 2x(cos(x3))′ = −sen(x3) · 3x2
(tg(x2))′ =1
cos2(x2)· 2x
(L(x4))′ =1
x4· 4x3
(3x2
)′ = 3x2 · L(3) · 2x
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del Calculo Diferencial
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Teorema
Si una funcion f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en esepunto.La implicacion contraria no es cierta, es decir, una funcion puede sercontinua en un punto y no ser derivable en ese punto
Ejemplo
f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.
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Teorema de Rolle
Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),
f(a) = f(b)
entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0
Ejemplo
Como f(x) = 2x2 − 8x + 11es continua y derivable en [1, 3]y f(1) = f(3), entonces existec = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′(2) = 0
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Teorema de Lagrange
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Algebra dederivadas
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Teorema del valor medio de Lagrange
Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),
}entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) = f(b)−f(a)b−a
Ejemplo
Como f(x) = 2x2− 8x+ 11 escontinua y derivable en [1, 4],existe c = 2′5 ∈ [1, 4] tal quef(4)−f(1)
4−1= 2 = f ′(2′5)
Es decir, existe un punto c = 2′5 en donde la pendiente de la recta tangentees igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).
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Derivadaselementales
Algebra dederivadas
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Teorema de Cauchy
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Algebra dederivadas
TeoremasFundamenta-les del CalculoDiferencial
Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Teorema del valor medio generalizado de Cauchy
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,f y g son derivables en (a, b),
entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c)(g(b)− g(a) = g′(c)(f(b)− f(a))
Si en lo anterior g′(c) no es cero, entonces se puede expresar como
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c)
es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente delas derivadas en el algun punto intermedio.
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Derivada enun punto
Interpretaciongeometrica
Funcionderivada
Derivadaselementales
Algebra dederivadas
TeoremasFundamenta-les del CalculoDiferencial
Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Regla de L’Hopital
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Derivada enun punto
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Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se haeliminado el punto a, por ejemplo, (a− r, a) ∪ (a, a+ r), con r > 0.
Regla de L’Hopital
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,
O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞
g′(x) no se anula en el entorno reducido,
∃ lımx→a
f ′(x)
g′(x),
entonces existe lımx→a
f(x)
g(x)y
lımx→a
f(x)
g(x)= lım
x→a
f ′(x)
g′(x)
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La Regla de L’Hopital es una herramienta para calcular lımites quepresentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±∞∞ .
Ejemplo
Para calcular el siguiente lımite
lımx→0
sen(x)
x
podemos utilizar la Regla de L´Hopital:
lımx→0
sen(x)
x= lım
x→0
sen′(x)
x′= lım
x→0
cos(x)
1= 1
La regla tambien es valida para calcular lımites laterales. En este caso,sera necesario que las dos funciones f(x) y g(x) esten definidas a la derechao a izquierda del punto a, segun el lımite lateral que queramos calcular. Porejemplo:
Ejemplo
lımx→0+
L(x)
x= lım
x→0+
L′(x)
x′= lım
x→0+
1/x
1=∞
3. Aplicaciones de las derivadas
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de la derivada
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
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Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Indice
Crecimiento y decrecimiento
Maximos y mınimos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexion
Problemas de optimizacion
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Problemas deoptimizacion
Crecimiento y decrecimiento
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Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Crecimiento y decrecimiento
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R y un intervalo I ⊆ Df es creciente en I si
para todo x, y ∈ I
si x < y =⇒ f(x) ≤ f(y)
f es decreciente en I si
para todo x, y ∈ I
si x < y =⇒ f(x) ≥ f(y)
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Crecimiento y decrecimiento
Si f : D ⊆ R −→ R es derivable en I ⊆ DCondicion necesaria y suficiente para que f sea creciente en I
f ′(x) ≥ 0 para todo x, y ∈ I
m
f es creciente en I
Condicion necesaria y suficiente para que f sea decreciente en I
f ′(x) ≤ 0 para todo x, y ∈ I
m
f es decreciente en I
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Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Maximos y mınimos
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Maximos y mınimos relativos
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R
f alcanza un maximo relativo en a ∈ D
si ∃ δ > 0 tal que si
x ∈ (a− δ, a+ δ) ⊂ Dentonces
f(x) ≤ f(a)
f alcanza un mınimo relativo en a ∈ D
si ∃ δ > 0 tal que si
x ∈ (a− δ, a+ δ) ⊂ Dentonces
f(x) ≥ f(a)
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Maximos y mınimos absolutos
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R
f alcanza un maximo absoluto en a ∈ D
si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D
f alcanza un mınimo absoluto en a ∈ D
si f(x) ≥ f(a) para todo x ∈ D
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Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Condicion necesaria y suficiente para extremo relativo
Si f(x) : D ⊆ R −→ R es derivable en D,
f(x) alcanza un maximo relativo en a ∈ D si
es creciente a la izquierda de a
es decir, x < a =⇒ f ′(x) ≥ 0
y es decreciente a la derecha de a
es decir, x > a =⇒ f ′(x) ≤ 0
f(x) alcanza un mınimo relativo en a ∈ D si
es decreciente a la izquierda de a
es decir, x < a =⇒ f ′(x) ≤ 0
y es creciente a la derecha de a
es decir, x > a =⇒ f ′(x) ≥ 0
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Condicion necesaria de extremo relativo
Extremos relativos y derivada
Si f(x) es derivable en a y alcanza en a un maximo o mınimo relativoentonces
f ′(a) = 0
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Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Ejemplo
Sea h(x) = 1 + x2 + x3 + x4. Los posibles extremos relativos de h(x) seranlos valores de x que anulen la derivada:
h′(x) = 2x+ 3x2 + 4x3 = x(2 + 3x+ 4x2)
En x = 0 se anula la derivada y sera un posible maximo o mınimo. Y notendra mas posibles maximos o mınimos, porque 2 + 3x+ 4x2 solo tieneraıces complejas, y al ser una funcion continua, sus valores seran siemprepositivos o siempre negativos. En este caso, sustituyendo por cualquier valorde x, comprobamos que son siempre positivos.Consecuencia de lo anterior es que el signo de la derivada h′(x) es elsiguiente:
h′(x) < 0 si x ∈ (−∞, 0) (⇒ h(x) decrece si x ∈ (−∞, 0))
h′(x) > 0 si x ∈ (0,∞) (⇒ h(x) crece si x ∈ (0,∞))
En consecuencia, en x = 0 hay un mınimo relativo para la funcion h(x).Ademas, visto el crecimiento y decrecimiento de la funcion, el mınimo es unmınimo absoluto.
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Concavidad y convexidad
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Concavidad
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, diremos que
f es concava en a ∈ Dsi existe un entorno de a en el que la grafica de la funcion queda por encimade la recta tangente en a
Funcion concava creciente Funcion concava decreciente
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Convexidad
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, se dice que
f es convexa en a ∈ Dsi existe un entorno de a en el que la grafica de la funcion queda por debajode la recta tangente en a
Funcion convexa creciente Funcion convexa decreciente
Los conceptos de convexidad y concavidad pueden encontrarse definidosde forma diferente en algunos textos, de forma que lo que aquı se entiendepor concavidad, allı serıa convexidad y viceversa.
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Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Concavidad y convexidad
Si f : D ⊆ R −→ R tiene derivada segunda en I ⊆ D, entonces
Condicion necesaria y suficiente para que f sea concava en I
f ′′(x) ≥ 0 ∀x, y ∈ I
m
f es concava en I
Condicion necesaria y suficiente para que f sea convexa en I
f ′′(x) ≤ 0 ∀x, y ∈ I
m
f es convexa en I
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Puntos de inflexion
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Crecimiento ydecrecimiento
Maximos ymınimos
Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
Problemas deoptimizacion
Puntos de inflexion
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, se dice que tiene un punto de inflexionen a ∈ D si es concava a la izquierda de a y convexa a la derecha o viceversa.
La condicion necesaria para que f tenga punto de inflexion en a ∈ D es quef ′′(a) = 0
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Concavidad yconvexidad
Puntos deinflexion
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Puntos de inflexion y maximos y mınimos
Condiciones suficientes para puntos de inflexion, concavidad y convexidad:
Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera derivada en a deorden mayor que 1 que no se anula es de orden
1 par y positiva, entonces a es un punto de concavidad para f(x);
2 par y negativa, entonces a es un punto de convexidad para f(x);
3 impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).
Condiciones suficientes de puntos de inflexion, maximo o mınimo relativo:
Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera derivada en a seanula y la de orden mayor que 1 que no se anula es
1 de orden par y positiva, entonces a es un mınimo relativo para f(x);
2 de orden par y negativa, entonces a es un maximo relativo para f(x);
3 de orden impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).
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Ejemplo
Sea f(x) = Ln(1 + x2). Para estudiar la convexidad y concavidad de f(x)calculamos su derivada segunda:
f ′(x) =2x
1 + x2f ′′(x) =
2(1 + x2)− 4x2
(1 + x2)2=
2− 2x2
(1 + x2)2
Por lo tanto, la derivada segunda f ′′(x) se anula en x = ±1, y su signo es elsiguiente:
f ′′(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ x ∈ (1,∞)
f ′′(x) > 0 si x ∈ (−1, 1)Es decir
f(x) es convexa si x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)
f(x) es concava si x ∈ (−1, 1).
En x = ±1 hay sendos puntos de inflexion por pasar de concava aconvexa o viceversa. Ademas se puede comprobar que f ′′′(x) 6= 0 enx = ±1.
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Problemas de optimizacion
El objetivo es encontrar los valores que hacen que una funcion alcance suvalor maximo o mınimo.Pasos a seguir en la resolucion del problema:
Identificar la funcion que se trata de maximizar o minimizar
Establecer las relaciones entre las variables que hacen que se cumplantodas las condiciones del problema (ligaduras)
Para que alcance un maximo o mınimo, la condicion necesaria es que laderivada primera de la funcion debe ser cero
Ademas se deben verificar las condiciones suficientes de maximo omınimo ( Ver condiciones suficientes de maximo y mınimo )
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Ejemplo
Una ventana tiene forma rectangular conun semicırculo en su parte superior. Sabien-do que el perımetro es 4 metros, hallar lasdimensiones para que sea maxima la canti-dad de luz que la traviesa.
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Ejemplo (resolucion)
Para un maximo de luz ha de ser maxima la superficie con cristal. Sean R, By h las dimensiones de la ventana tal y como se senalan en el dibujo.Evidentemente B = 2R. En este caso la funcion a maximizar es la superficieS:
S = B h+1
2π R2 = B h+
π
2
(B
2
)2
Puesto que el perımetro es 4 metros, ha de ser B + 2h+ πR = 4, por tanto,
h =4−B(1 + π/2)
2
La funcion a maximizar se puede escribir entonces en funcion de una solavariable
S = B4−B(1 + π/2)
2+π
2
(B
2
)2
Derivando e igualando a cero se obtiene que ha de ser
B =8
4 + π
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de la derivada
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Ejemplo (resolucion)
B = 84+π
es un posible maximo o mınimo de la funcion superficie.La derivada segunda de la funcion superficie S es la siguiente
S′′(B) = −π4− 1
que es evidentemente negativa para el valor B = 84+π
.
Por tanto, el valor B = 84+π
es un maximo de la funcion superficie.Para este valor de B, el valor de h es
h =4
π + 4.
4. Gráficas de funciones
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Asıntotas
Verticales
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Puntos decorte
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Graficas dealgunasfunciones
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Tema: Representacion grafica de funciones
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Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Indice
Representacion grafica de funciones
Dominio
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Intervalos de crecimiento
Intervalos de concavidad y convexidad
Graficas de algunas funciones
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Graficas dealgunasfunciones
Grafica de una funcion
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Grafica de una funcion
Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, la representacion grafica de f es launion de todos los puntos del plano de coordendas (x, f(x)), siendo x ∈ D
Grafica de f(x) = x e−x
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Intervalos deconcavidad
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Estudio de una funcion
Para hacer la representacion grafica conviene estudiar los siguientes aspectos
Dominio
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Asıntotas
Puntos de corte
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Verticales
Horizontales
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Dominio
El dominio D de un funcion f(x) son todos los valores de x ∈ R para loscuales esta definida
Ejemplos
f(x) =4
x2 − 4D = R− {−2, 2}
f(x) =√x− 1 D = [1,∞)
f(x) = L(x2 − 5x + 4) D = (−∞, 1) ∪ (4,∞)
f(x) =ex
ex − 1R− {0}
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Asıntotas
Verticales
Horizontales
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Puntos decorte
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Con lasasıntotas
Intervalos decrecimiento
Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Simetrıas
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Horizontales
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Con lasasıntotas
Intervalos decrecimiento
Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Simetrıa par
Una funcion f : D ⊆ R −→ R tiene simetrıa par si
f(−x) = f(x) ∀x ∈ D
La grafica de una funcion par es simetrica respecto al eje OY
Ejemplo f(x) =x2
x2 − 4
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Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Simetrıa impar
Una funcion f : D ⊆ R −→ R tiene simetrıa impar si
f(−x) = −f(x) ∀x ∈ D
La grafica de una funcion impar tiene doble simetrıa respecto al eje OY y aleje OX
Ejemplo f(x) = x3
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Asıntotas
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Horizontales
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Puntos decorte
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Intervalos deconcavidad
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Asıntotas verticales
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Horizontales
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Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Asıntotas verticales
La recta vertical x = a es asıntota vertical de f si al menos uno de los lımiteslaterales en a es infinito. Es decir, si
lımx→a+
f(x) = ±∞ y/o lımx→a−
f(x) = ±∞
La grafica de f se acerca a su asıntota vertical x = a conforme x→ a por laderecha o por la izquierda
Ejemplo: f(x) =x2
x2 − 4tiene dos asıntotas verticales, x = 2 y x = −2
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Intervalos deconcavidad
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Asıntotas horizontales
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Intervalos deconcavidad
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Asıntotas horizontales
La recta horizontal y = b es asıntota horizontal de f si
lımx→+∞
f(x) = b y/o lımx→−∞
f(x) = b
La grafica de f se acerca a su asıntota horizontal y = b conforme x→ +∞ ox→ −∞
Ejemplo: f(x) =ex − 1
ex + 1tiene dos asıntotas horizontales, y = 1 e y = −1
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Asıntotas oblıcuas
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Intervalos deconcavidad
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Asıntotas oblıcuas
Definicion
La recta y = mx + n es asıntota oblıcua de f si
lımx→+∞
[f(x)− (mx + n)] = 0 y/o lımx→−∞
[f(x)− (mx + n)] = 0
La grafica de f se acerca a su asıntota oblıcua y = mx + n conformex→ +∞ o x→ −∞
Calculo
Si y = mx + n es asıntota oblıcua de f en +∞ entonces
lımx→+∞
f(x)
x= m y lım
x→+∞(f(x)−mx) = n
De manera analoga se calculan los valores de m y n cuando x→ −∞.
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Asıntotas oblıcuas
Ejemplo
La funcion f(x) =ex − 1
ex + 1tiene dos asıntotas oblicuas ,
y = x en x→ +∞
y = −x en x→ −∞
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Dominio
Simetrıas
Asıntotas
Verticales
Horizontales
Oblıcuas
Puntos decorte
Con los ejes
Con lasasıntotas
Intervalos decrecimiento
Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Puntos de corte con los ejes
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Horizontales
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Con los ejes
Con lasasıntotas
Intervalos decrecimiento
Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Puntos de corte con los ejes
Cortes con el eje OX
Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de la ecuacion
f(x) = 0
Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta al eje OX.
Cortes con el eje OY
El punto de corte con el eje OY es
(0, f(0))
Si 0 /∈ D, la grafica de f(x) no corta al eje OY
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Intervalos decrecimiento
Intervalos deconcavidad
Graficas dealgunasfunciones
Puntos de corte con asıntotas
Cortes con las asıntotas horizontales y = a
Los puntos de corte con las asıntotas horizontales son las soluciones de laecuacion
f(x) = a
Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta a las asıntotashorizontales.
Cortes con las asıntotas oblicuas y = mx + n
Los puntos de corte con las asıntotas oblicuas son las soluciones de laecuacion
f(x) = mx + n
Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta a las asıntotasoblıcuas.
La grafica de una funcion f(x) nunca corta a sus asıntotas verticales
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Intervalos de crecimiento
Son intervalos donde el comportamiento de la funcion es monotono, o escreciente o es decreciente.
Los intervalos de crecimiento vienen delimitados por los puntos dondecambia el signo de la derivada
porque se anula f ′(x)
o porque f(x) presenta una discontinuidad.
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Intervalos de crecimiento
Ejemplo
La funcion f(x) =x2
x2 − 4, tiene como derivada f ′(x) = 8x
(x−2)2(x+2)2), por
tanto f ′(x)
tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2
su derivada se anula en x = 0, es decir f ′(0) = 0
Los intervalos de crecimiento son entonces
(−∞,−2), (−2, 0), (0, 2), (2,∞)
Para conocer el comportamiento de la funcion en cada uno de ellos bastaestudiar el signo de la derivada en cualquier punto perteneciente al intervalo.El resultado es
(−∞,−2) f ′ > 0 f es creciente(−2, 0) f ′ > 0 f es creciente(0, 2) f ′ < 0 f es decreciente(2,∞) f ′ < 0 f es decreciente
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Grafica de la funcionx2
x2 − 4
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Intervalos de concavidad
Son intervalos donde la funcion es concava o convexa.
Los intervalos de concavidad o convexidad vienen delimitados por los puntosdonde cambia el signo de la segunda derivada
porque se anula f ′′(x)
o porque f ′′(x) presenta una discontinuidad.
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Intervalos de concavidad
Ejemplo
La funcion f(x) =x2
x2 − 4, tiene como derivada segunda 8(3x2+4)
(x−2)3(x+2)3, por
tanto, f ′′(x)
tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2
su derivada no se anula en ningun punto.
Los intervalos de concavidad y convexidad son entonces
(−∞,−2), (−2, 2), (2,∞)
Para conocer el comportamiento de la funcion en cada uno de ellos bastaestudiar el signo de la derivada segunda en cualquier punto perteneciente alintervalo. El resultado es
(−∞,−2) f ′′ > 0 f es concava(−2, 2) f ′′ < 0 f es convexa(2,∞) f ′′ > 0 f es concava
Volver a ver la grafica de f(x) = x2
x2−4
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Estudio global de una grafica
Ejemplo: grafica de la funcion f(x) = x3
x2−1.
Dominio: D = {x ∈ R/ x 6= {−1, 1}}.
Simetrıas: es impar porque f(−x) = (−x)3
(−x)2−1= − x3
x2−1= −f(x).
No es periodica.
Puntos de corte con los ejes: con el eje OX se corta en el punto (0, 0) ycon el eje OY se corta tambien el punto (0, 0).
Signo de la funcion:
-1 0 1
x3 - - - 0 + + +x2 − 1 + 0 - - - 0 +
x3
x2−1- · + 0 - · +
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Estudio global de una grafica
Ejercicio (continuacion)
Puntos de discontinuidad: en los puntos x = ±1 tiene discontinuidadesesenciales de salto infinito, porque los lımites en esos puntos valen ∞ o−∞ (segun los calculemos por la derecha o por la izquierda).
Asıntotas:
Horizontales: no tiene porque lımx→±∞ f(x) = ±∞Verticales: son las rectas x = 1 y x = −1 porque
lımx→1±
f(x) = ±∞ y lımx→−1±
f(x) = ±∞
Oblicuas: la recta y = x es asıntota oblicua cuando x tiende a infinito:
lımx→+∞
f(x)
x= 1 y lım
x→+∞f(x)− x = 0.
la recta y = x es asıntota oblicua cuando x tiende a menos infinito:
lımx→−∞
f(x)
x= 1 y lım
x→−∞f(x)− x = 0.
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Estudio global de una grafica
Ejercicio (continuacion)
Para el crecimiento, estudiamos el signo de f ′(x) = x4−3x2
x4−2x2+1
−√
3 -1 0 1√
3
x4 − 3x2 + 0 - - - 0 - - - 0 +x4 − 2x2 + 1 + + + 0 + + + 0 + + +
x4−3x2
x4−2x2+1+ 0 - · - 0 - · - 0 +
Por tanto, crece si x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,∞) y decrece six ∈ (−
√3,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,
√3)
Maximos o mınimos relativos. Viendo lo anterior, se deduce que hay unmaximo relativo en x = −
√3 y un mınimo relativo en x =
√3.
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Estudio global de una grafica
Ejercicio (continuacion)
Las regiones de concavidad y convexidad las determinamos estudiando el
signo de f ′′(x) = 2x3+6xx6−3x4+3x2−1
:
-1 0 1
2x3 + 6x - - - 0 + + +(x2 − 1)3 + 0 - - - 0 +2x3+6x(x2−1)3
- · + 0 - · +
Por tanto, es concava si x ∈ (−∞,−1) ∪ (0, 1) y convexa six ∈ (−1, 0) ∪ (1,∞).
Puntos de inflexion. Observando lo anterior, se deduce que el puntox = 0 es un punto de inflexion.
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Grafica de algunas funciones
Grafica de la funcion x3
x2−1
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Ejemplo: grafica de f(x) =x3
(1 + x)2
D = R− {−1, 1}
AV: x = −1
AO: y = x− 2
Corte con los ejes (0, 0)
Corte con la AO(− 2
3,− 8
3)
(−∞,−3) ∪ (−1,∞) ↑
(−3,−1) ↓
(∞,−1) ∪ (−1, 0)⋂
(0,∞)⋃
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Grafica de algunas funciones
Ejemplo: grafica de f(x) =2x2 + 2x + 1
x2
D = R− {0}
AV: x = 0
AH: y = 2
Corte con la AH (− 12, 2)
(−∞,−1) ∪ (0,∞) ↓
(−1, 0) ↑
(−∞, −32
)⋂
(−32, 0) ∪ (0,∞)
⋃
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Grafica de algunas funciones
Grafica de f(x) = x e1/x
D = R− {0}
AV: x = 0+
AO: y = x + 1
(−∞, 0) ∪ (1,∞) ↑
(0, 1) ↓
(−∞, 0)⋂
(0,∞)⋃
5. Cálculo de primitivas
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Tecnicas deintegracion
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Primitiva deuna funcion
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I. Por cambiode variable
II. Por partes
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Tema: Integral de Riemann. Tecnicas deintegracion
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Indice
Introduccion
Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
Integrales inmediatas
Metodos de integracion
Metodo de integracion por partes
Integracion de funciones racionales
Integracion de funciones trigonometricas
Integracion de funciones irracionales
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I. Por cambiode variable
II. Por partes
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Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
El calculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el dearea de una region, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otrasaplicaciones.
Los orıgenes del calculo deareas se pueden encontraren el metodo de exhauciondesarrollado por los griegoshace mas de 2000 anos.
Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque rigurosoactual.
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II. Por partes
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Primitiva de una funcion.Definiciones y propiedades
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Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
Definicion
Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la funcion fen un conjunto de valores D si:
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ D.
Ejemplo
Si f(x) = 2x, entonces
F (x) = x2 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2)′ = 2x = f(x).
Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2 + 7)′ = 2x = f(x).
Se deduce facilmente que
Observacion
Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) enD, siendo C cualquier numero real.
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Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades
Definicion
Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y
se denota por
∫f(x)dx. De la observacion anterior se deduce que si F (x) es
una primitiva de f(x), entonces∫f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.
Propiedades (de la integral indefinida)
Sea f : I ⊂ R→ R. Se tiene que
1 Si k ∈ R, entonces
∫k f(x)dx = k
∫f(x)dx.
2
∫(f(x)± g(x)) dx =
∫f(x)dx±
∫g(x)dx.
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Integrales inmediatas
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Integrales inmediatas
Definicion
Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente delas reglas de derivacion.
En la tabla de la pagina siguiente se muestran algunas integralesinmediatas.
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Algunas integrales inmediatas
∫k dx = kx ∀k ∈ R
(n 6= −1)∫xn dx = xn+1
n+1
∫f(x)nf ′(x) dx = f(x)n+1
n+1∫1xdx = ln |x|
∫ f ′(x)f(x)
dx = ln |f(x)|∫ex dx = ex
∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x)∫
ax dx = ax
ln a
∫af(x)f ′(x) dx = af(x)
ln a∫sen(x) dx = − cos(x)
∫sen(f(x))f ′(x) dx = − cos(f(x))∫
cos(x) dx = sen(x)∫cos(f(x))f ′(x) dx = sen(f(x))∫
1sen2(x)
dx = − cotg(x)∫ f ′(x)
sen2(f(x))dx = − cotg(f(x))
∫1
cos2(x)dx = tg(x)
∫ f ′(x)cos2(f(x))
dx = tg(f(x))∫
11+x2
dx = arctg(x)∫ f ′(x)
1+(f(x))2dx = arctg f(x)
∫1√
1−x2dx = arcsen(x)
∫ f ′(x)√1−(f(x))2
dx = arcsen f(x)
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Integracion por sustitucion ocambio de variable
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Metodos de integracion: sustitucion o cambio de variable
Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que
sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.
Teorema
Sea x = φ(t) una funcion derivable respecto de t (entonces dx = φ′(t)dt).
Podremos calcular
∫f(x)dx ası:
∫f(x)dx =
∫f(φ(t))φ′(t)dt
Encontraremos solucion siempre que sepamos calcular la ultima primitiva de la
igualdad anterior.
Ejemplo
∫cos(2x)dx =
{t = 2x;x = t/2
dt = 2dx
}=
∫cos(t)
dt
2=
1
2sen(t)+C =
1
2sen(2x)+C
∫ecosxsen(x) dx =
{t = cosxdt = −sen(x) dx
}= −
∫etdt = −et+C = −ecos(x)+C
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Metodos de integracion: integracion por partes
Integracion por partes
Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que
(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)
se deduce que
u(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)
y por tanto, si se puede integrar respecto de x:∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x)dx
Ejemplo
∫xn lnx dx =
{u(x) = lnx ⇒ du(x) = 1
xdx
dv(x) = xndx ⇒ v(x) = xn+1
n+1
}=
=xn+1
n+ 1lnx−
∫xn
n+ 1dx =
xn+1
n+ 1
(lnx− 1
n+ 1
)+ C.
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Metodos de integracion: integracion por partes
Ejemplo
∫arctg(x)dx =
{u = arctg(x)⇒ du = dx
1+x2
dv = dx⇒ v = x
}=
= x arctg(x)−∫
x
1 + x2dx = x arctg(x)− 1
2ln |x2 + 1|+ C.
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Integracion de funciones racionales
Integracion de funciones racionales
Son integrales de la forma∫f(x)dx =
∫p(x)
q(x)dx,
donde p(x) y q(x) son polinomios.
Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el metodo de descomposiciondescrito a continuacion.
En otro caso, debemos efectuar la division de polinomios:
f(x) =p(x)
q(x)= c(x) +
r(x)
q(x),
donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y elpolinomio resto de la division.
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Tecnicas deintegracion
HEDIMA
Introduccion
Primitiva deuna funcion
Integralesinmediatas
Metodos deintegracion
I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Bibliografıa
Integracion de funciones racionales
Ejemplo
Calculemos∫
x2
x−1dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x+ 1)(x− 1) + 1,
por tanto:
∫x2
x− 1dx =
∫ [(x+ 1) +
1
x− 1
]dx =
∫(x+ 1) dx+
∫1
x− 1dx = x2/2 + x+ ln(|x− 1|+ C)
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Integracion de funciones racionales
Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 1. grado(q) = n con todas las raıces reales y simples:
q(x) = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)
Se realizara una descomposicion en fracciones simples como sigue:
p(x)
q(x)=
A1
a0(x− x1)+
A2
x− x2+ . . .+
Anx− xn
, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.
A continuacion se integraran los sumandos de la descomposicion obtenida:∫p(x)
q(x)dx =
∫A1
a0(x− x1)dx+
∫A2
x− x2dx+ . . .+
∫An
x− xndx =
=A1
a0ln |x− x1|+A2 ln |x− x2|+ . . .+An ln |x− xn|+ C.
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Ejemplo
Calcula∫
2x−3x2−3x+2
dx
Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que
2x− 3
x2 − 3x+ 2=
A1
x− 1+
A2
x− 2⇒ 2x− 3
x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)
(x− 2)(x− 1))
2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{
2 = A1 +A2
−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1
Por tanto
∫2x− 3
x2 − 3x+ 2dx =
∫1
x− 1dx +
∫1
x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C
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Ejemplo
Calcula∫
2x−3x2−3x+2
dx
Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que
2x− 3
x2 − 3x+ 2=
A1
x− 1+
A2
x− 2⇒ 2x− 3
x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)
(x− 2)(x− 1))
2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{
2 = A1 +A2
−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1
Por tanto
∫2x− 3
x2 − 3x+ 2dx =
∫1
x− 1dx +
∫1
x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C
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Integracion de funciones racionales
Ejemplo∫
2x− 3
2x3 − x2 − xdx =
{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)
}=
=
∫ (A
x+
B
x− 1+
C
2x+ 1
)=
= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8
3ln |2x+ 1|+ C,
donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:
2x−32x3−x2−x = A
x+ Bx−1
+ C2x+1
=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)
x(x−1)(2x+1)=
=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A
2x3−x2−x ,
para lo que se debe cumplir que:
0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A
⇒
A = 3B = −1
3C = −16
3
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Ejemplo∫
2x− 3
2x3 − x2 − xdx =
{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)
}=
=
∫ (A
x+
B
x− 1+
C
2x+ 1
)=
= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8
3ln |2x+ 1|+ C,
donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:
2x−32x3−x2−x = A
x+ Bx−1
+ C2x+1
=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)
x(x−1)(2x+1)=
=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A
2x3−x2−x ,
para lo que se debe cumplir que:
0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A
⇒
A = 3B = −1
3C = −16
3
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Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 2. grado(q) = k con alguna raız real de multiplicidad k:
q(x) = a0(x− x0)k
Descomposicion en fracciones simples:
p(x)
q(x)=
A1
a0(x− x0)+
A2
(x− x0)2+
A3
(x− x0)3+ . . .+
Ak(x− x0)k
.
Integracion de los sumandos obtenidos:
∫p(x)
q(x)dx =
∫A1
a0(x− x0)dx+
∫A2
(x− x0)2dx+
∫A3
(x− x0)3dx+ . . .+
∫Ak
(x− x0)kdx
=A1
a0ln |x−x0|+A2
(x− x0)−1
−1 +A3(x− x0)−2
−2 +. . .+Ak(x− x0)−k+1
−k + 1+C.
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Ejemplo
Calcula∫
3x+5x3−x2−x+1
dx
Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:
3x+5x3−x2−x+1
= A1x+1
+ A2(x−1)
+ A3(x−1)2
⇒
3x+5x3−x2−x+1
=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)
(x+1)(x−1)2
y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:
3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)
de donde0 = A1 +A2
3 = −2A1 +A3
5 = A1 −A2 +A3
⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4
Por tanto∫
3x+ 5
x3 − x2 − x+ 1dx =
∫1/2
x+ 1dx +
∫ −1/2(x− 1)
dx +
∫3
(x− 1)2dx =
1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| − 4
(x− 1)
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Ejemplo
Calcula∫
3x+5x3−x2−x+1
dx
Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:
3x+5x3−x2−x+1
= A1x+1
+ A2(x−1)
+ A3(x−1)2
⇒
3x+5x3−x2−x+1
=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)
(x+1)(x−1)2
y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:
3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)
de donde0 = A1 +A2
3 = −2A1 +A3
5 = A1 −A2 +A3
⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4
Por tanto∫
3x+ 5
x3 − x2 − x+ 1dx =
∫1/2
x+ 1dx +
∫ −1/2(x− 1)
dx +
∫3
(x− 1)2dx =
1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| − 4
(x− 1)
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Ejemplo
∫2x− 3
x3 − 3x2 + 3x− 1dx =
{Teniendo en cuenta:x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3
}=
=
∫ (A
x− 1+
B
(x− 1)2+
C
(x− 1)3
)dx =
=
∫ (0
x− 1+
2
(x− 1)2+
−1(x− 1)3
)dx = −2 1
(x− 1)+
1/2
(x− 1)2+ C
donde :
2x−3x3−3x2+3x−1
= Ax−1
+ B(x−1)2
+ C(x−1)3
=Ax2+x(−2A+B)+(A−B+C)
(x−1)3
lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.
Observacion
Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raıces reales y complejas(simples y/o multiples). Aquı solo se tratara el caso anterior, y el caso en quela raız compleja es de multiplicidad 1.
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Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 3. q(x) tiene alguna raız compleja simple.
q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]
con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccion deesta forma:
∫p(x)
q(x)dx =
∫ (A1
1
x− x1+ · · ·+ Aα1
1
(x− x1)α1+ . . .
· · ·+ A1p
x− xp+ · · ·+ A
αpp
(x− xp)αp+
+M1x+N1
[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk
[(x− bk)2 + c2k]
)dx
siendo Mj , Nj ∈ R
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Ejemplo∫
1x3+1
dx
Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:
1x3+1
= A1x+1
+ A2x+A3x2−x+1
=A1(x
2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)
(x+1)(x2−x+1)⇒
⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)
Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores
0 = A1 +A2
0 = −A1 +A2 +A3
1 = A1 +A3
⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3
Por tanto∫
1x3+1
dx =∫ 1/3x+1
dx+∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1|+
∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−4
x2−x+1dx =
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Integracion de funciones racionales
Ejemplo∫
1x3+1
dx
Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:
1x3+1
= A1x+1
+ A2x+A3x2−x+1
=A1(x
2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)
(x+1)(x2−x+1)⇒
⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)
Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores
0 = A1 +A2
0 = −A1 +A2 +A3
1 = A1 +A3
⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3
Por tanto∫
1x3+1
dx =∫ 1/3x+1
dx+∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1|+
∫ −1/3x+2/3
x2−x+1dx
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−4
x2−x+1dx =
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Integracion de funciones racionales
Ejemplo (continuacion)∫
1x3+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−1+1−4x2−x+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6
∫2x−1
x2−x+1+ 1/6
∫3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫3
x2−x+1dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫3
(x−1/2)2+3/4dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫ 3·4/34/3[(x−1/2)2+3/4]
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6
∫4(
2x−1√3
)2+1
dx
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1
6·√
32
∫ 4·2/√3(
2x−1√3
)2+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1√
3
∫ 2/√3(
2x−1√3
)2+1
dx =
= 13ln |x+ 1| − ln |x2−x+1|
6+ 1√
3arctg
(2x−1√
3
)
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Integracion de funciones racionales
Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))
Caso 3.q(x) tiene alguna raız compleja multiple
Por ejemplo,∫
2x3−2x2+16x(x2+4)2
dx
Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodo deHermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas decocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados ensucesivos pasos.
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Integracion de funciones
trigonometricas
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Integracion de funciones trigonometricas
Integrales racionales-trigonometricas:
∫f(sen(x), cos(x))dx
Se convierten en integrales racionales mediante la sustitucion trigonometrica
t = tan(x
2) , como sigue:
∫f(sen(x), cos(x))dx =
{t = tan(x
2) dx = 2dt
1+t2
sen(x) = 2t1+t2
cos(x) = 1−t21+t2
}=
=
∫f
(2t
1 + t2,1− t21 + t2
)2
1 + t2dt,
que es la integral de una funcion racional.
Ejemplo
∫dx
sen(x)dx =
{t = tan(x
2) dx = 2dt
1+t2
sen(x) = 2t1+t2
cos(x) = 1−t21+t2
}=
=
∫1
tdt = ln |t|+ C = ln
∣∣∣tan(x2)∣∣∣+ C.
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Integracion de funciones trigonometricas
Observaciones
Existen varios tipos de integrales trigonometricas que se pueden racionalizarcon cambios mas sencillos. Son los siguientes:
1
∫f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).Cambio t = cos(x) .
2
∫f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(sen(x),−cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).Cambio t = sen(x) .
3
∫f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(−sen(x),−cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = tan(x) .
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Integracion de funciones trigonometricas
Ejemplo
∫dx
sen(x)dx =
{t = cos(x) dx = −dt√
1−t2
sen(x) =√1− t2 cos(x) = t
}=
= −∫
1
1− t2 dt =1
2ln
∣∣∣∣t− 1
t+ 1
∣∣∣∣+ C =1
2ln
∣∣∣∣cos(x)− 1
cos(x) + 1
∣∣∣∣+ C.
Ejemplo
∫cos3(x) dx =
t = sen(x) dx = dt√1−t2
cos(x) =√1− t2 sen(x) = t
=
=
∫1− t2dt = t− t3
3+ C = sen(x)− sen3(x)
3+ C.
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Integracion de funciones
irracionales
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Integracion de funciones irracionales
Integrales del tipo
∫f(x,
√x2 ± a2)dx,
∫f(x,
√a2 − x2)dx
con a ∈ R, se convierten en integrales trigonometricas mediante los cambios
1 f(x,√a2 − x2)dx: cambio x = a sen(t) .
2 f(x,√x2 − a2)dx: cambio x =
a
sen(t).
3 f(x,√x2 + a2)dx: cambio x = a tan(t) .
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II. Por partes
Funcionesracionales
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Funcionesirracionales
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Integracion de funciones irracionales
Ejemplo∫ √
a2 − x2dx =
{x = a sen(t)dx = a cos(t)dt
}= a2
∫cos2(t)dt
que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2(t) se transforma en
a2∫cos2(t) dt =
a2
2t+
a2
4sen(2t) + C =
a2
2t+
a2
42sen(t) cos(t) + C =
a2
2t+
a2
42 sen(t)
√1− sen2(t) + C =
a2
2arc sen
x
a+x
2
√a2 − x2 + C.
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I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Bibliografıa
Integracion de funciones irracionales
Ejemplo
∫ √x2 + a2dx =
{x = a tan(t)dx = adt
cos2(t)
}= a2
∫1
cos3(t)dt =
=
{y = sen(t) dt = dy√
1−y2
cos(t) =√
1− y2 sen(t) = y
}= a2
∫1
(1− y2)2 dt =
= a2
4
∫ (1
(1− y)2 +1
(1− y) +1
(1 + y)2+
1
(1 + y)
)dt =
= a2
4
(2y
1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1
∣∣∣)+ C =
=
{Deshaciendo los cambios:
y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)
= x√x2−a2
}=
= x2
√x2 + a2 + a2
4ln
∣∣∣∣x+√x2+a2
x−√x2+a2
∣∣∣∣+ C
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Integral deRiemann.
Tecnicas deintegracion
HEDIMA
Introduccion
Primitiva deuna funcion
Integralesinmediatas
Metodos deintegracion
I. Por cambiode variable
II. Por partes
Funcionesracionales
Funcionestrigonometri-cas
Funcionesirracionales
Bibliografıa
Integracion de funciones irracionales
Ejemplo
∫ √x2 + a2dx =
{x = a tan(t)dx = adt
cos2(t)
}= a2
∫1
cos3(t)dt =
=
{y = sen(t) dt = dy√
1−y2
cos(t) =√
1− y2 sen(t) = y
}= a2
∫1
(1− y2)2 dt =
= a2
4
∫ (1
(1− y)2 +1
(1− y) +1
(1 + y)2+
1
(1 + y)
)dt =
= a2
4
(2y
1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1
∣∣∣)+ C =
=
{Deshaciendo los cambios:
y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)
= x√x2−a2
}=
= x2
√x2 + a2 + a2
4ln
∣∣∣∣x+√x2+a2
x−√x2+a2
∣∣∣∣+ C
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Primitiva deuna funcion
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Funcionesirracionales
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Integracion de funciones irracionales
Integrales del tipo
∫f
(x, n
√ax+ b
cx+ d
)dx
Se convierten en integrales racionales mediante el cambio
t = n
√ax+ b
cx+ d
Ejemplo
∫dx
1 + 3√x+ 1
dx =
Cambio:t = 3√x+ 1
dx = 3t2dt
= 3
∫t2dt
1 + t=
= 3
∫(t− 1)dt+ 3
∫dt
1 + t=
3
2t(t− 2) + 3 ln(t+ 1) + C =
=3
23√x+ 1( 3
√x+ 1− 2) + 3 ln( 3
√x+ 1 + 1) + C
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Matematico
Tema:Integral deRiemann.
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Primitiva deuna funcion
Integralesinmediatas
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II. Por partes
Funcionesracionales
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Bibliografıa
Bibliografıa
T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverte, 1989).
J. BURGOS, Calculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).
B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Analisis Matematico (Paraninfo,1980).
M. SPIVAK, Calculus (Reverte, 1987).
6. Integral definida
Bloque:Analisis
Matematico
Tema: Laintegraldefinida
HEDIMA
Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
Bloque:Analisis
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Tema: Laintegraldefinida
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Propiedades
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Bloque: Analisis Matematico
Tema: La integral definida
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Tema: Laintegraldefinida
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Integraldefinida
Propiedades
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Indice
La integral definida. Definicion y ejemplos
Propiedades
Bibliografıa
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Tema: Laintegraldefinida
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Propiedades
Bibliografıa
La integral definida.
Definicion y ejemplos
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Tema: Laintegraldefinida
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Integraldefinida
Propiedades
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La integral definida
Sean
f : [a, b] −→ R una funcion continua y positiva.
Af [a, c]: area contenida entre la funcion, el eje OX, y las rectas x = a yx = c. En lo que sigue, a sera fijo y c sera variable.
Relacion entre las funciones Af [a, ·] y f
Cuando f es continua en c, se verifica que para cualquier h > 0 (pequeno) elvalor de Af [a, c+ h]−Af [a, c] es aproximadamente f(c)h, o lo que es lomismo,
Af [a, c+ h]−Af [a, c]h
∼ f(c)
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
La integral definida
Tomando ahora lımite cuando h −→ 0 en ambos miembros de la expresion
Af [a, c+ h]−Af [a, c]h
∼ f(c)
y usando la definicion de derivada, se tiene que
A′f [a, c] = f(c)
es decir, Af [a, ·] es una primitiva de f .
Teorema (Teorema fundamental del calculo y Regla de Barrow)
Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b]. Entonces Af [a, ·] es derivable y suderivada es f , o lo que es equivalente, Af [a, ·] es una primitiva de f .
A′f [a, c] = f(c)
Ademas, si φ es primitiva de f , el area Af [a, b] se puede calcular ası:
Af [a, b] = [φ(x)]ba = φ(b)− φ(a),
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
La integral definida
Definicion (Integral de Riemann)
Llamamos integral definida o de Riemann de f en el intervalo [a, b] al valorde Af [a, b], que normalmente se denota con la expresion
∫ b
a
f(x)dx
En caso de a > b, se define:
∫ a
b
f(x)dx = −∫ b
a
f(x)dx.
Para calcular la integral definida de una funcion continua basta conoceruna de sus primitivas φ(x):
∫ b
a
f(x) dx = [φ(x)]ba = φ(b)− φ(a).
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
La integral definida
Ejemplos
∫ 2
0
x2dx =x3
3
∣∣20 =
8
3
∫ π/4
0
sen(x)dx = −cos(x)∣∣∣π/40 = −cosπ/4 + cos0 = −
√2
2+ 1
∫ 5
1
√5x+ 1dx =
2(5x+ 1)3/2
15
∣∣51 =
2(26)3/2
15− 2(6)3/2
15
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
Propiedades de la integraldefinida
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Propiedades
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Propiedades de la integral definida
Propiedades
1 Si m y M son respectivamente el valor mınimo y maximo de f en [a, b],entonces
m(b− a) ≤∫ b
a
f(x)dx ≤M(b− a).
2
∫ b
a
(f(x)± g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx±∫ b
a
g(x)dx.
3
∫ b
a
cf(x)dx = c
∫ b
a
f(x)dx, ∀c ∈ R.
4
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx, ∀c ∈ (a, b).
5 Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f(x)dx ≤∫ b
a
g(x)dx.
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Tema: Laintegraldefinida
HEDIMA
Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
Propiedades de la integral definida
Teorema
Toda funcion continua en un intervalo [a, b] es integrable en [a, b]. Ademas,se tiene
1 Si f : [a, b] −→ R es una funcion integrable en [a, b], y f(x) ≥ 0,
entonces
∫ b
a
f(x)dx es igual al area de la region entre la grafica de f y
el eje OX desde a hasta b.
2 Si f es integrable en [a, b], entonces
1
∫ b
af(x)dx es igual al area por encima del eje OX menos el area por
debajo del eje OX
2
∫ b
a|f(x)|dx es igual al area de la region entre la grafica de f y el eje
OX desde a hasta b.
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Tema: Laintegraldefinida
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
Propiedades de la integral definida
Ejemplo
La integral entre a y b de la funcion f(x) del dibujo inferior es
A2 +A4 − (A1 +A3)
Asimismo, se tiene que
∫|f(x)|dx = A1 +A2 +A3 +A4.
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Tema: Laintegraldefinida
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
Propiedades de la integral definida
Observacion
Hemos supuesto que f : [a, b] −→ R es una funcion continua en [a, b].Sin embargo, todo sigue siendo valido si admitimos que f presenta unnumero finito de discontinuidades de salto finito.Basta descomponer [a, b] en intervalos donde f sı sea continua y podamosaplicar las propiedades anteriores.
Ejemplo
Por ejemplo, f : [0, 5] −→ R definida por
f(x) =
{ex si x ∈ [0, 3]x si x ∈ (3, 5]
presenta una discontinuidad de salto finito enx = 3. Su integral definida en [0, 3] es
∫ 5
0
f(x)dx =
∫ 3
0
ex dx+
∫ 5
3
x dx = [ex]30 +
[x2
2
]5
3
= (e3 − 1) + 8.
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Tema: Laintegraldefinida
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Propiedades
Bibliografıa
Propiedades de la integral definida
Observacion
Es posible extender el concepto de integral definida a un marco mas general.Por ejemplo, se pueden considerar funciones que no esten acotadas o queesten definidas sobre intervalos no acotados (llamadas integrales impropias).Sin embargo, estas cuestiones superan los objetivos de esta leccion.
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Matematico
Tema: Laintegraldefinida
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Integraldefinida
Propiedades
Bibliografıa
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T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverte, 1989).
J. BURGOS, Calculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).
B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Analisis Matematico (Paraninfo,1980).
M.A. MULERO DIAZ, I. OJEDA MARTINEZ DE CASTILLA,Matematicas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).
M. SPIVAK, Calculus (Reverte, 1987).
7. Aplicaciones de la integral
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Matematico
Tema:Aplicacionesde la integral
Grupo
HEDIMA
Introduccion
Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
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auto-aprendizaje para Matematicas
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Areas
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Longitud dearco
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Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Indice
Introduccion
Calculo de areas de superficies planas
Longitud de un arco de curva plana
Volumen de un solido de revolucion
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Longitud de un arco de curva plana
Volumen de un solido de revolucion
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Areas
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Longitud dearco
Volumen derevolucion
Bibliografıa
Introduccion
En muchos fenomenos fısicos, economicos, sociales,... el area bajo la curvade una funcion representa una magnitud relevante que conviene saber medir.
Por ejemplo, si representamos la velocidad de un movil en funcion deltiempo, el area bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.
En esta leccion usaremos el calculo integral para formalizar conceptossencillos e intuitivos como el de area de una region, volumen de un cuerpo, ylongitud de curvas planas.
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Areas
Una curva
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Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Calculo de areas de superficiesplanas
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Areas
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Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
Bibliografıa
Calculo de areas de superficies planas
I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)
Si f(x) ≥ 0, entonces el valor del area es
∫ b
a
f(x)dx.
Si f(x) ≤ 0, entonces el valor del area es −∫ b
a
f(x)dx.
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Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
Bibliografıa
Calculo de areas de superficies planas
I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)
Si la funcion tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar losintervalos donde f(x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Porejemplo, si f(x) ≥ 0 en [a, c] y f(x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor delarea es:
∫ c
a
f(x)dx−∫ b
c
f(x)dx.
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Areas
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Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
Bibliografıa
Calculo de areas de superficies planas
II. Area determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f(x) ey = g(x)
Si f(x) ≥ g(x), entonces el valor del area es:
∫ a
b
(f(x)− g(x))dx.
En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes encada intervalo.
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Areas
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Volumen derevolucion
Bibliografıa
Calculo de areas de superficies planas
Ejemplo: Area del cırculo
Sin perdida de generalidad podemos suponer queel cırculo tiene su centro en el origen decoordenadas.Gracias a la simetrıa de la figura, el areasera igual a cuatro veces el area de la parte delcırculo encerrado en el primer cuadrante.
La curva que define el contorno de un cırculo de centro (0, 0) y radio r es
x2 + y2 = r2 , luego y =√r2 − x2 y el area sera
4
∫ r
0
√r2 − x2dx = 4r
∫ r
0
√1− x2
r2dx =
Cambio de variablexr= sent
dx = rcost
=
= 4r2∫ π
2
0cos2tdt = 4r2
∫ π2
0
1 + cos(2t)
2dt = 4r2
(t
2+sen(2t)
4
) ∣∣∣π20 = πr2
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Longitud de un arco de curvaplana
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Longitud de un arco de curva plana
Longitud de un arco de curva
Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una funcion derivable en D y tal que su derivada f ′
es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva
L = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b]},
viene dada por
L =
∫ b
a
√1 + f ′(x)2dx
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Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Longitud de un arco de curva plana
Ejemplo
Calculemos la longitud L del arco de curva y =√x3 entre los puntos (0, 0) y
(4, 8). Se tiene que
∫ 4
0
√1 + (
3
2x
12 )2 dx =
∫ 4
0
√1 +
9
4x dx =
8
27(10√10− 1).
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Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Volumen de un solido derevolucion
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Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Volumen de un solido de revolucion
Solidos de revolucion
Los solidos de revolucion son cuerpos que se generan al girar una regionplana alrededor de un eje.
Por ejemplo:
El cilindro surge al girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.
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Volumen derevolucion
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Volumen de un solido de revolucion
Volumen de un solido por secciones
∀x ∈ [a, b], sea A(x) el area de la seccion de obtenida al cortar un solidocomo el de la figura por un plano transversal al eje OX.
El volumen del mismovendra dado por
V =
∫ b
a
A(x)dx
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Areas
Una curva
Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Volumen de un solido de revolucion
Volumen de un solido de revolucion
Sean
f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b]
A(x) la seccion transversal al eje x del solido generado al girar lafuncion alrededor del eje OX. Se tiene que:
A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b]
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Areas
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Volumen derevolucion
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Volumen de un solido de revolucion
Volumen de un solido de revolucion
Teniendo en cuenta que A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumendel solido obtenido al girar y = f(x) alrededor del eje OX viene dado por
V = π
∫ b
a
f(x)2dx
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Volumen derevolucion
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Volumen de un solido de revolucion
Ejemplo
El volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar el trozo de parabolay =√x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:
V = π
∫ 4
0
(√x)2dx = π
∫ 4
0
x dx = π
[x2
2
]4
0
= 8π
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Areas
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Longitud dearco
Volumen derevolucion
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Volumen de un solido de revolucion
Ejemplo: Calculo del volumen de una esfera de radio r
Sin perdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en elorigen de coordenadas.En ese caso la esfera es generada al girar el semicırculo y = +
√r2 − x2,
x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto
π
∫ r
−r
(√r2 − x2
)2dx = π
∫ r
−r
(r2 − x2)dx = π
[r2x− x3
3
]r
−r
=4
3πr3.
Bloque:Analisis
Matematico
Tema:Aplicacionesde la integral
Grupo
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Areas
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Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
Bibliografıa
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Grupo
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Areas
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Dos Curvas
Longitud dearco
Volumen derevolucion
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T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverte, 1989).
J. BURGOS, Calculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).
B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Analisis Matematico (Paraninfo,1980).
M.A. MULERO DIAZ, I. OJEDA MARTINEZ DE CASTILLA,Matematicas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).
M. SPIVAK, Calculus (Reverte, 1987).
Parte 2
Álgebra lineal y geometría
8. Matrices
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
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HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
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Universidad de Extremadura
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
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Bloque: Algebra lineal
Tema: Matrices y determinantes
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
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Indice
Matrices
Operaciones con matrices
Determinante de una matriz
Propiedades de los determinantes
Aplicacion: Calculo de la matriz inversa
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determinan-tes
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
Bibliografıa
Matrices
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
Bibliografıa
Matrices
Definicion
Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectangulo. Se representa por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
.
Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
Bibliografıa
Matrices
Definicion
Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectangulo. Se representa por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
.
Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).
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Tema:Matrices y
determinan-tes
HEDIMA
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Definicion
Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectangulo. Se representa por
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
.
Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).
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Matrices
Definicion
Sea A ∈Mm×n(K).
El escalar que se encuentra en la fila i-esima y la columna j-esima se llamaelemento (i, j)-esimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .
Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz
a1j...
amj
∈Mm×1(K)
se llama columna j-esima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz
(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)
se denomina fila i-esima de A.
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Definicion
Sea A ∈Mm×n(K).
El escalar que se encuentra en la fila i-esima y la columna j-esima se llamaelemento (i, j)-esimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .
Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz
a1j...
amj
∈Mm×1(K)
se llama columna j-esima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz
(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)
se denomina fila i-esima de A.
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Determinantede una matriz
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Matrices
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
∈M3(R); a23 = 5;
(6 2 3
)∈M1×3(R)
B =
(3 5 1 0−1 0 2 12
)∈M2×4(R); b14 = 0;
(50
)∈M2×1(R)
C =
(3 + 5i −1−i 1 + i
)∈M2(C); c22 = 1+i;
(−i 1 + i
)∈M1×2(C)
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Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
∈M3(R); a23 = 5;
(6 2 3
)∈M1×3(R)
B =
(3 5 1 0−1 0 2 12
)∈M2×4(R); b14 = 0;
(50
)∈M2×1(R)
C =
(3 + 5i −1−i 1 + i
)∈M2(C); c22 = 1+i;
(−i 1 + i
)∈M1×2(C)
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Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
∈M3(R); a23 = 5;
(6 2 3
)∈M1×3(R)
B =
(3 5 1 0−1 0 2 12
)∈M2×4(R); b14 = 0;
(50
)∈M2×1(R)
C =
(3 + 5i −1−i 1 + i
)∈M2(C); c22 = 1+i;
(−i 1 + i
)∈M1×2(C)
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Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.
Definicion
Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
; submatriz
(9 52 3
)
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Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.
Definicion
Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
; submatriz
(9 52 3
)
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Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.
Definicion
Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.
Ejemplos
A =
5 7 42 9 56 2 3
; submatriz
(9 52 3
)
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Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.
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Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.
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Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.
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Determinantede una matriz
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Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (o matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.
Con la notacion habitual de la delta de Kronecker
δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
se tine que In = (δij) ∈Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.
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Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (o matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.
Con la notacion habitual de la delta de Kronecker
δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
se tine que In = (δij) ∈Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.
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Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (o matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,
In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.
Con la notacion habitual de la delta de Kronecker
δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
se tine que In = (δij) ∈Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.
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Matrices
Ejemplos
A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Ejemplos
A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Ejemplos
A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Ejemplos
A =
(0 0 00 0 0
)∈M2×3(R); matriz nula
B =
3 0 00 1 00 0 0
= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal
C =
(1 00 1
)= I2 ∈M2(R); matriz unidad
E =
2 1 40 5 00 0 −1
∈M3(R); matriz triangular superior
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Operaciones con matrices
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Matrices
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definicion
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definicion
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definicion
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definicion
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Matrices
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definicion
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definicion
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definicion
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definicion
Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ ·A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.
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Determinantede una matriz
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Operaciones con matrices
Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.
Definicion
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es
cij =
p∑
l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Operaciones con matrices
Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.
Definicion
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es
cij =
p∑
l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Operaciones con matrices
Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.
Definicion
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es
cij =
p∑
l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Operaciones con matrices
Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.
Definicion
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es
cij =
p∑
l=1
ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,
i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.
ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.
Definicion
Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es
cij =
p∑
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ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Operaciones con matrices
Ejemplos(
4 2 12 −3 0
)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
=
(7 143 8
)producto
1 02 40 1
·
(1 3 2−1 2 0
)=
1 3 2−2 14 4−1 2 0
no es conmutativo
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4 2 12 −3 0
)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
=
(7 143 8
)producto
1 02 40 1
·
(1 3 2−1 2 0
)=
1 3 2−2 14 4−1 2 0
no es conmutativo
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)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
=
(7 143 8
)producto
1 02 40 1
·
(1 3 2−1 2 0
)=
1 3 2−2 14 4−1 2 0
no es conmutativo
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Matrices
Operacionescon matrices
Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa
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Operaciones con matrices
Ejemplos(
4 2 12 −3 0
)+
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)suma
2
(4 2 12 −3 0
)=
(8 4 24 −6 0
)producto escalar
(1 3 2−1 2 0
)·
1 02 40 1
=
(7 143 8
)producto
1 02 40 1
·
(1 3 2−1 2 0
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1 3 2−2 14 4−1 2 0
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Operaciones con matrices
Definicion
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definicion
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simetrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At =
4 2 12 −3 01 0 5
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Definicion
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definicion
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simetrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At =
4 2 12 −3 01 0 5
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Definicion
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definicion
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simetrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At =
4 2 12 −3 01 0 5
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Definicion
Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.
Ejemplo
A =
(4 2 12 −3 0
); At =
4 22 −31 0
Definicion
Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simetrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; At =
4 2 12 −3 01 0 5
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Operaciones con matrices
Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es unica, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es unica, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es unica, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es unica, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.
Ejemplo
A =
(1 20 1
); A−1 =
(1 −20 1
); A ·A−1 = A−1 ·A = I2
Definicion
Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.
Ejemplo
A =
(0 1−1 0
); At =
(0 −11 0
); A ·At = At ·A = I2
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Operaciones con matrices
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al numero
tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; tr(A) = 6
Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)
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Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al numero
tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; tr(A) = 6
Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)
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Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al numero
tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Ejemplo
A =
4 2 12 −3 01 0 5
; tr(A) = 6
Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)
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Determinante de una matriz
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:
|A| =∑
σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simetrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
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Determinante de una matriz
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:
|A| =∑
σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simetrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo.
Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Determinante de una matriz
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:
|A| =∑
σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simetrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n).
El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Determinante de una matriz
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:
|A| =∑
σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simetrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Determinante de una matriz
Definicion
Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:
|A| =∑
σ∈Sn
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
donde Sn denota al grupo simetrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
(1 2 33 2 1
)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16;
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
ya que S2 =
{(1 21 2
),
(1 22 1
)}, con signos {1,−1},
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
Ejemplos
A =
(4 22 −3
); |A| = −16; B =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |B| = −8
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Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=n∑
i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=n∑
i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=n∑
i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=n∑
i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=n∑
i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Matrices
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Determinantede una matriz
Propiedadesde losdeterminantes
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij |Aij |,
Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |
=
n∑
i=1
(−1)i+jaij |Aij |.
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Determinante de una matriz
Ejemplos
B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣(
1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4
|B| = −8
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B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣(
1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4
|B| = −8
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B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣(
1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4
|B| = −8
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B =
1 2 01 0 3−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|
|A12| =∣∣∣∣(
1 3−1 1
)∣∣∣∣ = 4
|B| = −8
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinacion lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Ası, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre sı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinacion lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Ası, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre sı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinacion lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Ası, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre sı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinacion lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Ası, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre sı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a′pj + a′′pj , entonces el determinante deA es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B esta formada por los elementos a′pj y la fila p de Cesta formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.
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Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a′pj + a′′pj , entonces el determinante deA es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B esta formada por los elementos a′pj y la fila p de Cesta formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.
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Sea A = (aij) ∈Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a′pj + a′′pj , entonces el determinante deA es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B esta formada por los elementos a′pj y la fila p de Cesta formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.
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Ejemplos
P1.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
1 1 −12 0 00 3 1
; |A| = |B| = −8
P2.
A =
1 2 02 4 0−1 0 1
; |A| = 0
P3.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
1 0 31 2 0−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
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Ejemplos
P1.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
1 1 −12 0 00 3 1
; |A| = |B| = −8
P2.
A =
1 2 02 4 0−1 0 1
; |A| = 0
P3.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
1 0 31 2 0−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
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Ejemplos
P1.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
1 1 −12 0 00 3 1
; |A| = |B| = −8
P2.
A =
1 2 02 4 0−1 0 1
; |A| = 0
P3.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
1 0 31 2 0−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
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Ejemplos
P4.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
−1 −2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
P5.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
0 2 01 0 3−1 0 1
; C =
1 0 01 0 3−1 0 1
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8
P6.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
2 2 31 0 3−1 0 1
; |A| = |B| = −8
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Ejemplos
P4.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
−1 −2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
P5.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
0 2 01 0 3−1 0 1
; C =
1 0 01 0 3−1 0 1
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8
P6.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
2 2 31 0 3−1 0 1
; |A| = |B| = −8
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Ejemplos
P4.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
−1 −2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8; |B| = 8
P5.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
0 2 01 0 3−1 0 1
; C =
1 0 01 0 3−1 0 1
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8
P6.
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; B =
2 2 31 0 3−1 0 1
; |A| = |B| = −8
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Definicion
Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).
Lema
Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que
A · adj(A) = adj(A) ·A =
|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . |A|
= |A| · In.
Teorema
La condicion necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A−1 =1
|A| adj(A).
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Definicion
Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).
Lema
Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que
A · adj(A) = adj(A) ·A =
|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . |A|
= |A| · In.
Teorema
La condicion necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A−1 =1
|A| adj(A).
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Definicion
Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).
Lema
Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que
A · adj(A) = adj(A) ·A =
|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . |A|
= |A| · In.
Teorema
La condicion necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A−1 =1
|A| adj(A).
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −1
8
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
=
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
·
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
=
1 0 00 1 00 0 1
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −1
8
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
=
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
·
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
=
1 0 00 1 00 0 1
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −1
8
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
=
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
·
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
=
1 0 00 1 00 0 1
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Ejemplo
A =
1 2 01 0 3−1 0 1
; |A| = −8 6= 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
A−1 = −1
8
0 −2 6−4 1 −30 −2 −2
=
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
1 2 01 0 3−1 0 1
·
0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250
=
1 0 00 1 00 0 1
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I.Ojeda, J.Gago-Vargas Metodos Matematicos para Estadıstica.Manuales UEx, no. 58 (2008).
9. Determinantes
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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auto-aprendizaje para Matematicas
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Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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lineales
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Discusion conparametros
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Expresion matricial
Resolucion de SEL
Clasificacion de SEL
Discusion con parametros
Interpretacion geometrica de SEL
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lineales
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lineales
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Conceptos basicos
Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
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Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 2
1 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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Clasificacionde SEL
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Conceptos basicos
Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
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El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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Expresion matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
(xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
(xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
(xy
)=
3−15
;
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Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
(xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
(xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
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y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
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y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
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y = 2x = 1
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La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
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(43
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y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
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(43
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y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
Bloque:AlgebraLineal
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lineales
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Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Bibliografıa
Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
,
Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Discusion conparametros
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Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Discusion conparametros
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Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Clasificacion de SEL
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
,
Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Clasificacionde SEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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lineales
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3
Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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lineales
HEDIMA
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1
No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Resolucion deSEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Clasificacionde SEL
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Bibliografıa
Clasificacion de SEL
Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
,
Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Clasificacion de SEL
Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Clasificacionde SEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Discusion con parametros
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Clasificacionde SEL
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Interpretacion geometrica de SEL
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
Interpretacion geometrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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Discusion conparametros
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Bibliografıa
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Ejemplo
Los tres planos se cortan en un punto. SEL compatible determinado
−200
2040
−10
0
10
20−10
−5
0
5
10
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Ejemplo
Los planos se cortan en un misma recta. SEL compatible indeterminado
−20 0 20 40−10
0
10
−10
−5
0
5
10
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Ejemplo
Los planos se cortan dos a dos. SEL incompatible
−30−20−100102030−10−5
05
10−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
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lineales
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Conceptosbasicos
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bibliografıa
I.Ojeda, J.Gago-Vargas Metodos Matematicos para Estadıstica.Manuales UEx, no. 58 (2008).
10. Vectores en el espacio tridimensional
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espaciotridimensional
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
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Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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espaciotridimensional
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Dependenciae indepen-dencialineal
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Tema: Vectores en el espacio tridimensional
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Dependenciae indepen-dencialineal
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Productovectorial
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Indice
Espacio vectorial real
Combinacion lineal de vectores
Dependencia e independencia lineal
Operaciones con vectores
Producto escalar. Propiedades. Significado geometrico
Producto vectorial. Propiedades. Significado geometrico
Producto mixto. Propiedades. Significado geometrico
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espaciotridimensional
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
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1. Espacio vectorial real
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espaciotridimensional
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Espacio vectorial real
Definicion
Consideremos un conjunto V = {u,v,w, ...}, en el que definimos lassiguientes operaciones:
Suma: u+ v
Producto por escalares: ku, (k ∈ R)
El conjunto V, con las operaciones suma y producto por escalares, es unespacio vectorial si se verifican las propiedades que veremos a continuacion
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Espaciovectorial real
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Espacio vectorial real
Propiedades
Asociativa: (u+ v) +w = u+ (v +w)
Conmutativa: u+ v = v + u
Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal quecualquiera que sea el elemento u se verifica u+ 0 = u
Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, −u(opuesto de u), tal que u+ (−u) = 0
k(u+ v) = ku +kv (k ∈ R)
(k + h)u = ku +hu (k, h ∈ R)
k(hu) = (kh)u (k, h ∈ R)
1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los numerosreales
A los elementos de V se les llama vectores
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espaciotridimensional
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Ejemplos de espacios vectoriales reales
Ejemplos de espacios vectoriales
Los conjuntos R2 = R × R; R3 = R × R × R;...;Rn = R × ...n × R,con las operaciones suma y producto por numeros reales. Por ejemplo,en el espacio vectorial R3, cada vector es una terna de numeros reales(x, y, z), y las operaciones suma y producto por un numero real λ son lassiguientes:
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′) λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)
El conjunto de las matrices de numeros reales de m = 2 filas y n = 3columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de unescalar por una matriz (valido tambien para otros valores de m y n).
El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor oigual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios yproducto de un polinomio por un numero real (valido tambien para otrosvalores de n).
El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1],con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de unafuncion por un numero real.
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espaciotridimensional
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Combinacion lineal de vectores
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
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Combinacion lineal de vectores
Definicion
Un vector u de V es combinacion lineal de los vectores u1,u2, ...,un de V,si puede expresarse ası:
u = a1u1 + a2u2 + ...+ anun,
siendo a1, a2, ..., an numeros reales.
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, podemos escribir el vector (−4, 4, 32), comocombinacion lineal de los vectores: (2, 3, 4), (1, 0,−1) y (−1,−1, 3) de lasiguiente manera:
(−4, 4, 32) = 3(2, 3, 4)− 5(1, 0,−1) + 5(−1,−1, 3)
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Subespacio engendrado
Definicion
Sea V un espacio vectorial. Se dice que W es un subespacio vectorial deV, si se verifican las siguientes condiciones:
1 W es un subconjunto no vacıo de V
2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W
3 El producto de un numero real por un vector de W es otro vector de W
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Ejemplo de subespacio engendrado
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, consideremos el subconjunto W formado por losvectores cuya tercera componente es nula, es decir,
W = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.
W verifica:
1 Es un subconjunto no vacıo de R3, ya que, al menos, el vector nulopertenece a W
2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W
3 El producto de un numero real cualquiera por un vector de W es otrovector de W
El conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones suma y productopor un numero real usadas en el espacio vectorial R3. Por lo tanto, W es unsubespacio vectorial de R3.
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Dependenciae indepen-dencialineal
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Subespacio engendrado
Definicion
Sea S = {u1,u2, ...,un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.Se llama subespacio engendrado por S, y se le designa por L(S) o por< u1,u2, ...,un >, al subespacio vectorial formado por todas lascombinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S, es decir:
L(S) = {a1u1 + a2u2 + ...+ anun}
Los vectores u1,u2, ...,un se dice que forman un sistema generador delespacio L(S)
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, el subespacio vectorial engendrado por losvectores u = (1,−1, 3) y v = (2,−5, 6) es:
L(u,v) = < u,v > = {a1u+ a2v} == {a1(1,−1, 3) + a2(2,−5, 6)} == {(a1 + 2a2, −a1 − 5a2, 3a1 + 6a2)}
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Dependencia e independencialineal
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Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
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Dependencia e independencia lineal
Definicion
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno deellos se puede expresar como combinacion lineal de los restantes. En casocontrario se dice que son linealmente independientes.
Ejemplo
En el ejemplo que veıamos anteriormente, los vectores: (−4, 4, 32), (2, 3, 4),(1, 0,−1) y (−1,−1, 3) son linealmente dependientes pues el primero sepuede escribir como combinacion lineal del resto.
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Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Dependencia e independencia lineal
Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:
Definicion
Los vectores u1,u2,...,un son linealmente dependientes si existe unacombinacion lineal de los vectores con algun coeficiente no nulo que sea igualal vector cero, es decir:
a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,
con algun ai 6= 0,i = 1, ..., n.
Definicion
Los vectores u1,u2,...,un son linealmente independientes si cualquiercombinacion lineal de los vectores que sea igual al vector cero, tiene quetener todos los coeficientes nulos, es decir:
a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,
solo es posible con todos los ai = 0, i = 1, ..., n.
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Productoescalar
Productovectorial
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Dependencia e independencia lineal
Ejemplo
Supongamos que queremos estudiar la dependencia lineal en R3 del conjuntode vectores:
{(3, 3, 2), (1, 1,−1), (2, 2, 3)}.Vamos a tratar de escribir un vector como combinacion lineal del resto:
(3, 3, 2) = a1(1, 1,−1) + a2(2, 2, 3)
Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema:
3 = a1 + 2a2
3 = a1 + 2a2
2 = −a1 + 3a2
La solucion de este sistema es a1 = 1 y a2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2)se puede escribir como combinacion lineal del resto y, en consecuencia, losvectores dados son linealmente dependientes.
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Base de un espacio vectorial
Definicion
Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se diceque B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones:
B es un sistema generador de V
B es linealmente independiente
Definicion
Llamamos dimension del espacio V al numero de elementos que tienecualquiera de sus bases.
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Ejemplos de bases y dimensiones de espacios vectoriales
Ejemplos
1 El espacio vectorial R2 esta formado por pares de numeros reales (x, y).Tiene como base canonica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque
B es sistema generador de R2 porque cualquier par de numeros reales(x, y) es combinacion de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
B es linealmente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0),entonces x = 0 e y = 0.
Por tanto, R2 tiene dimension 2.
2 El espacio vectorial R3 esta formado por ternas de numeros reales(x, y, z). Tiene como base canonica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},por lo que tiene dimension 3.
3 En R3, el espacio vectorial W engendrado por el vector u = (1, 2, 3)tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo elespacio W . Por tanto la dimension de W es 1.
4 La base mas sencilla del espacio vectorial de los polinomios de gradomenor o igual a 2 es {x2, x, 1} y por lo tanto tiene dimension 3.
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Espaciovectorial real
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Coordenadas de un vector
Definicion
Sea V un espacio vectorial de dimension n y B = {u1,u2, ...,un} una basede V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B,al conjunto de numeros reales a1, a2, ..., an, que permite expresar el vector vcomo combinacion lineal de los vectores de la base, es decir:
v = a1u1 + a2u2 + ...+ anun
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Coordenadas de un vector
Ejemplo
En el espacio vectorial R3, vamos a calcular las coordenadas del vector(1, 0, 0), respecto de la base:
B = {(1,−1, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 1)}
Para ello planteamos,
(1, 0, 0) = a1(1,−1, 0) + a2(0, 0, 2) + a3(3, 0, 1),
e igualamos coordenada a coordenada para obtener el siguiente sistema deecuaciones
1 = a1 + 3a3
0 = a1
0 = 2a2 + a3
cuya solucion:a1 = 0, a2 = −1/6, a3 = 1/3,
son las coordenadas del vector (1, 0, 0) en la base B
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2. Operaciones con vectores
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Vectores fijos en el espacio
Definicion de vector fijo
Llamamos vector fijo de un espacio a un segmento orientado cuyos extremos
estan determinados. Designaremos por−→AB a un vector fijo del espacio que
tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.
Definicion de vector nulo
Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice que es el vectorfijo nulo.
Todo vector fijo no nulo−→AB en el espacio queda caracterizado por un par
de puntos (A,B) o por su modulo, direccion y sentido.
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Vectores fijos en el espacio
Definicion de modulo de vector fijo
Se llama modulo del vector−→AB, y se denota |−→AB|, a la longitud del
segmento de extremos los puntos A y B.
Definicion de direccion de un vector fijo
Se llama direccion del vector−→AB a la direccion de la recta que pasa por A y
B.
Definicion de sentido de un vector fijo
Se llama sentido del vector−→AB al sentido de recorrido de la recta AB
cuando nos trasladamos de A a B.
Como estandar, denotaremos −→u o −→v a los vectores fijos.
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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene igual modulo, direccion y sentido.
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Dependenciae indepen-dencialineal
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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion y sentido pero distintomodulo.
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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion pero distinto moduloy sentido.
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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene distinto modulo, direccion y sentido.
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Producto escalar. Propiedades.Significado geometrico
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Definicion de producto escalar
Definicion
El producto escalar de dos vectores −→u y −→v se designa por −→u · −→v y seobtiene del siguiente modo:
−→u · −→v =
{|−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ), si −→u y −→v son no nulos
0 si −→u o −→v es el vector nulo
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Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar de un vector por sı mismo es un numero positivo onulo: −→u · −→u ≥ 0
2. El producto escalar es conmutativo: −→u · −→v = −→v · −→u
3. Propiedad homogenea: k(−→u · −→v ) = (k−→u ) · −→v o k(−→u · −→v ) = −→u · (k−→v )siendo k ∈ R.
4. Propiedad distributiva respecto de la suma:−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
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Productoescalar
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Significado geometrico del producto escalar
Consideremos las figuras anteriores donde se representan los vectores −→u y−→v . Al proyectar el vector −→v sobre la direccion del vector −→u o viceversa,obtenemos:
Proyeccion de −→v sobre −→u = medida del segmento−→AB = |−→AB| = vector
proyeccion de −→v sobre −→u
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Significado geometrico del producto escalar
El producto escalar de dos vectores cualesquiera −→u y −→v es igual almodulo de −→u por la proyeccion de −→v sobre −→u o viceversa:
−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→u |(proyeccion de −→v sobre −→u )
−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v )
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Calculo del modulo y el angulo de un vector
Calcularemos el modulo de un vector como la raız cuadrada positiva delproducto escalar del vector por sı mismo:
|−→u | =√−→u · −→u
Diremos que un vector −→u es unitario si tiene modulo igual a 1 (|−→u | = 1).
Calcularemos el coseno del angulo formado por dos vectores como la divisiondel producto escalar entre el producto de sus modulos:
cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v|−→u ||−→v |
Diremos que dos vectores −→u y −→v son ortogonales si su producto escalar es0.
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Expresion analıtica del producto escalar
Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base cualquiera y −→u ,−→v dos vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el producto escalar de ambos vectores en terminos decoordenadas se puede expresar ası:
−→u · −→v = (x−→u1 + y−→u2 + z−→u3) · (x′−→u1 + y′−→u2 + z′−→u3)
= xx′(−→u1 · −→u1) + xy′(−→u1−→u2) + xz′(−→u1 · −→u3)
+ yx′(−→u2 · −→u1) + yy′(−→u2−→u2) + yz′(−→u2 · −→u3)
+ zx′(−→u3 · −→u1) + zy′(−→u3−→u2) + zz′(−→u3 · −→u3)
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Expresion analıtica del producto escalar
B es una base normada si esta formada por vectores unitarios, es decir,
−→u1 · −→u1 = −→u2 · −→u2 = −→u3 · −→u3 = 1.
En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:
−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′ + (xy′ + yx′)(−→u1−→u2)
+ (xz′ + zx′)(−→u1 · −→u3) + (yz′ + zy′)(−→u2 · −→u3)
B es una base ortogonal si los vectores de la base son ortogonalestomados de dos en dos, es decir,
−→u1 · −→u2 = −→u1 · −→u3 = −→u2 · −→u3 = 0.
En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:
−→u · −→v = xx′(−→u1−→u1) + yy′(−→u2
−→u2) + zz′(−→u3−→u3)
B es una base ortonormal si es una base normada y ortogonal. En estecaso, la expresion analıtica del producto escalar es:
−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′
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Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Ejemplos de producto escalar
Ejemplo
El producto escalar de dos fuerzas f1 y f2 en el espacio, que tienen,respectivamente, 5 y 2 newton de intensidad y forman un angulo de 60o es:
f1 · f2 = |f1||f2| cos(f1, f2) = 5 · 2 · 0,5 = 5
Ejemplo
Puesto que
−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v ),
la proyeccion del vector −→u = (2, 1, 3) sobre el vector −→v = (−3, 4, 2)considerando una base ortonormal es:
proyeccion de −→u sobre −→v =−→u · −→v|−→v | =
2(−3) + 1 · 4 + 3 · 2√(−3)2 + 42 + 22
=4√29
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Tema:Vectores en el
espaciotridimensional
HEDIMA
Espaciovectorial real
Combinacionlineal devectores
Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Producto vectorial. Propiedades.Significado geometrico
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Dependenciae indepen-dencialineal
Operacionescon vectores
Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Definicion de producto vectorial
Definicion
El producto vectorial de dos vectores −→u y −→v es otro vector que se designapor −→u ×−→v y que se obtiene del siguiente modo:
1 Si −→u y −→v son dos vectores no nulos, y no proporcionales, −→u ×−→v es unvector que tiene:
modulo: |−→u ||−→v | sin(−→u ,−→v )direccion: perpendicular a los vectores −→u y −→vsentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de−→u a −→v .
2 Si −→u =−→0 o −→v =
−→0 o si −→u y −→v son proporcionales, entonces se tiene
que −→u ×−→v =−→0
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Dependenciae indepen-dencialineal
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Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa: −→u ×−→v = −−→v ×−→u
2. Homogenea: k(−→u ×−→v ) = (k−→u )×−→v = −→u × (k−→v ) (k ∈ R).
3. Distributiva respecto de la suma: −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w
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Productoescalar
Productovectorial
Productomixto
Significado geometrico del producto vectorial
Sean −→u y −→v los vectores de la figura.
Si trazamos por B una perpendicular a la recta−→OA, corta a esta en el
punto B′ y se verifica que:
sin(−→u ,−→v ) = |−−→BB′||−→v | ,
de donde:
|−−→BB′| = |−→v | sin(−→u ,−→v ).
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Productomixto
Significado geometrico del producto vectorial
Multiplicando ambos miembros por el modulo del vector −→u obtenemos:
|−→u ||−−→BB′| = |−→u | |−→v | sin(−→u ,−→v ) = |−→u ×−→v |,
y como |−→u ||−−→BB′| es el producto de la base por la altura del paralelogramo
OACB se tiene que el modulo del producto vectorial de −→u y −→v es igualal area del paralelogramo que tiene por lados los vectores −→u y −→v .
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Expresion analıtica del producto vectorial
Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v dos vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el vector −→u ×−→v tiene las siguientes componentes:
−→u ×−→v =
(∣∣∣∣y zy′ z′
∣∣∣∣ ,∣∣∣∣z xz′ x′
∣∣∣∣ ,∣∣∣∣x yx′ y′
∣∣∣∣),
Podemos recordar lo anterior relacionandolo con el calculo de losdeterminantes:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣
−→u1−→u2
−→u3
x y zx′ y′ z′
∣∣∣∣∣∣
(El ultimo determinante solo es una regla para recordar el calculo de unaproducto vectorial, puesto que no tiene sentido matematico el determinantede una matriz cuyos elementos sean vectores mezclados con numeros)
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Ejemplo de producto vectorial
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado:
(1, 2, 3)× (0, 3, 5) =
∣∣∣∣∣∣
−→u1−→u2
−→u3
1 2 30 3 5
∣∣∣∣∣∣= u1 − 5u2 + 3u3,
es decir el vector (1,−5, 3)
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Producto mixto. Propiedades.Significado geometrico
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Definicion de producto mixto
Definicion
El producto mixto de tres vectores −→u , −→v y −→w es un numero real que sedesigna por [−→u ,−→v ,−→w ] y que se obtiene del siguiente modo:
[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w )
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Propiedades del producto mixto
1. [−→u ,−→v ,−→w ] = [−→v ,−→w ,−→u ] = [−→w ,−→u ,−→v ]
2. [−→u ,−→w ,−→v ] = [−→v ,−→u ,−→w ] = [−→w ,−→v ,−→u ] = −[−→u ,−→v ,−→w ]
3. [−→u ,−→v ,−→w ] = 0 si y solo si, −→u , −→v , −→w son linealmente dependientes.
4. [a−→u , b−→v , c−→w ] = abc[−→u ,−→v ,−→w ]
5. [−→u +−→u′ ,−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v ,−→w ] + [
−→u′ ,−→v ,−→w ]
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Significado geometrico del producto mixto
Sean −→u , −→v y −→w los vectores de la figura.
|[−→u ,−→v ,−→w ]| = |−→u · (−→v ×−→w )| = |−→u ||−→v ×−→w || cos( −→u ,−→v ×−→w )|
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Significado geometrico del producto mixto
Como |−→u || cos( −→u ,−→v ×−→w )| = |−−→OH| es la altura del paralelepıpedoconstruido sobre los tres vectores, y como |−→v ×−→w | es el area de la base,resulta que:
|[−→u ,−→v ,−→w ]| = base · altura = volumen.
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual alvolumen del paralelepıpedo que tiene por aristas a los tres vectores.
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Expresion analıtica del producto mixto
Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v ,−→w tres vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z),(x′, y′, z′) y (x′′, y′′, z′′). Entonces el producto mixto [−→u ,−→v ,−→w ] tiene lasiguiente expresion analıtica:
[−→u ,−→v ,−→w ]
= −→u · (−→v ×−→w )
= (x−→u + y−→v + z−→w ) ·(∣∣∣∣
y′ z′
y′′ z′′
∣∣∣∣−→u +
∣∣∣∣z′ x′
z′′ x′′
∣∣∣∣−→v +
∣∣∣∣x′ y′
x′′ y′′
∣∣∣∣−→w)
= x
∣∣∣∣y′ z′
y′′ z′′
∣∣∣∣+ y
∣∣∣∣z′ x′
z′′ x′′
∣∣∣∣+ z
∣∣∣∣x′ y′
x′′ y′′
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
x y zx′ y′ z′
x′′ y′′ z′′
∣∣∣∣∣∣= det(−→u ,−→v ,−→w )
es decir,[−→u ,−→v ,−→w ] = det(−→u ,−→v ,−→w )
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Ejemplo de producto mixto
Ejemplo
El producto mixto de los vectores (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es:
[(0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)] = det((0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)) = 4
11. Geometría en el plano
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Rectas
Ecuacionesde las rectas
Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
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Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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Rectas
Ecuacionesde las rectas
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Indice
Rectas
Ecuaciones
Paralelismo
Angulos
Distancias
Otras figuras notables del plano
Triangulos
Circunferencias
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Rectas
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Puntos y vectores en el plano real
En el plano real R2, conviene distinguir entre punto y vector :
Puntos y vectores
Si consideramos R2 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R2 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..
Aparentemente, esta distincion carece de sentido, puesto que tanto unpunto P como un vector v se representan por una pareja de numeros reales,que se llaman sus coordenadas.
Notacion
Al escribir P (2, 1), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1).Analogamente, la notacion v(2, 1) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1).
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Rectas
Ecuacionesde las rectas
Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
Bibliografıa
Puntos y vectores en el plano real
Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es que tiene sentido trasladar
un punto por un vector:
Traslacion de un punto por un vector
Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define comoel punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).
Ejemplo
La traslacion del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto decoordenadas:
(3, 2) .
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Rectas
Ecuacionesde las rectas
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Bibliografıa
Puntos y vectores en el plano real
Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es que tiene sentido trasladar
un punto por un vector:
Traslacion de un punto por un vector
Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define comoel punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).
Ejemplo
La traslacion del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto decoordenadas:
(3, 2) .
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Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
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Estudio de las rectas en el plano
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Paralelismo,Angulos yDistancias
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Ecuaciones
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Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
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Ecuaciones de las rectas en el plano
Definicion
Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por Pcon la direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:
-Existe un λ ∈ R tal que:X = P + λv
para algun λ ∈ R .
Conviene recordar:
La direccion de una recta es un espacio vectorial de dimension uno, 〈v〉.
Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una unica recta, que denotamosP +Q:
P +Q := P + λ ~PQ .
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Rectas
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Bibliografıa
Ecuaciones de las rectas en el plano
Definicion
Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por Pcon la direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:
-Existe un λ ∈ R tal que:X = P + λv
para algun λ ∈ R .
Conviene recordar:
La direccion de una recta es un espacio vectorial de dimension uno, 〈v〉.
Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una unica recta, que denotamosP +Q:
P +Q := P + λ ~PQ .
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Paralelismo,Angulos yDistancias
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Ecuaciones de las rectas en el plano
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).
Dado que ~PQ = (−1, 1), la recta definida por P y Q es el conjunto depuntos X(x, y) en el plano que satisfacen:
(x, y) = (1, 0) + λ(−1, 1)
para algun λ ∈ R.
La direccion de esta recta P +Q es el espacio vectorial
〈 ~PQ〉 = 〈(−1, 1)〉 .
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Rectas
Ecuacionesde las rectas
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Geometria deotras figurasnotables
Bibliografıa
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuaciones parametricas
Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con direccion v es elconjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:
{x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
para algun λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).
Como ~PQ = (−1, 1), las ecuaciones parametricas de la recta P +Q son:
{x = 1− λy = λ
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Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuaciones parametricas
Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con direccion v es elconjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:
{x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
para algun λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).
Como ~PQ = (−1, 1), las ecuaciones parametricas de la recta P +Q son:
{x = 1− λy = λ
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Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
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Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuacion general
Toda recta admite una ecuacion del tipo:
ax+ by = c
para ciertos numeros a, b, c ∈ R.
Observacion
A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:
La direccion perpendicular a la recta:
〈(a, b)〉 .
La direccion de la recta:〈(b,−a)〉 .
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Ecuacion general
Toda recta admite una ecuacion del tipo:
ax+ by = c
para ciertos numeros a, b, c ∈ R.
Observacion
A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:
La direccion perpendicular a la recta:
〈(a, b)〉 .
La direccion de la recta:〈(b,−a)〉 .
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Ecuacionesde las rectas
Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
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Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion de la recta P +Q esel espacio vectorial
〈(−1, 1)〉 .Por tanto la direccion ortogonal es 〈(1, 1)〉 y la ecuacion general de la rectaes de la forma:
x+ y = c .
Como el punto P (1, 0) esta en la recta, su ecuacion es:
x+ y = 1 .
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Ecuacionesde las rectas
Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
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Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuacion, dados dos puntos
La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite laecuacion:
P +Q ≡ x− p1q1 − p1
=y − p2q2 − p2
.
Ejemplo
La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es:
x− 2
−2 =y − 1
3− 1
Es decir, la ecuacion de tal recta es:
x+ y = 3 .
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Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuacion, dados dos puntos
La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite laecuacion:
P +Q ≡ x− p1q1 − p1
=y − p2q2 − p2
.
Ejemplo
La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es:
x− 2
−2 =y − 1
3− 1
Es decir, la ecuacion de tal recta es:
x+ y = 3 .
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Paralelismo, Angulos y Distancias
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Paralelismo de rectas
Definicion
Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccion.Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:
cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.
o bien
cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.
Condicion de paralelismo
Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son paralelas si y solosi:
a
a′=
b
b′.
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Paralelismo de rectas
Definicion
Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccion.Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:
cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.
o bien
cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.
Condicion de paralelismo
Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son paralelas si y solosi:
a
a′=
b
b′.
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Paralelismo de rectas
Ejemplo
Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una unica rectaparalela a la dada y que pasa por dicho punto.Calculemos, a modo de ejemplo, la recta paralela a r ≡ 2x− y = 5 y quepasa por el punto (1, 3).Si una recta es paralela a r, entonces ha de tener la ecuacion:
2x− y = c
para cierto c ∈ R.Si ademas nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces quedacompletamente determinada:
2x− y = −1 .
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Ecuacionesde las rectas
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Angulo entre dos rectas
Definicion
Dadas dos rectas r y s, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, s), sedefine como el unico angulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatroangulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la direccion de r yotro vector de la direccion de s.
Rectas perpendiculares
Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son Perpendiculares siy solo si:
aa′ + bb′ = 0 .
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Angulo entre dos rectas
Definicion
Dadas dos rectas r y s, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, s), sedefine como el unico angulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatroangulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la direccion de r yotro vector de la direccion de s.
Rectas perpendiculares
Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son Perpendiculares siy solo si:
aa′ + bb′ = 0 .
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Angulos entre de rectas
Ejemplo
Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una unica rectaperpendicular a la dada y que pasa por dicho punto.Calculemos, a modo de ejemplo, la recta perpendicular a r ≡ 2x− y = 5 yque pasa por el punto (1, 3).Si una recta es perpendicular a r, entonces ha de tener la ecuacion:
x− 2y = c
para cierto c ∈ R.Si ademas nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces quedacompletamente determinada:
x− 2y = −5 .
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el plano
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Rectas
Ecuacionesde las rectas
Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
Bibliografıa
Distancia de un punto a una recta
Calculo
La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuacion ax+ by = c vale:
dist(P, r) =|ap1 + bp2 − c|√
a2 + b2.
Ejemplo
La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuacion 2x+ 2y = −4 vale:
dist(P, r) =|2 · 3 + 2 · 1− (−4)|√
22 + 22=
12
2√2=
6√2.
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Distancia de un punto a una recta
Calculo
La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuacion ax+ by = c vale:
dist(P, r) =|ap1 + bp2 − c|√
a2 + b2.
Ejemplo
La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuacion 2x+ 2y = −4 vale:
dist(P, r) =|2 · 3 + 2 · 1− (−4)|√
22 + 22=
12
2√2=
6√2.
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Otras figuras notables del plano
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Paralelismo,Angulos yDistancias
Geometria deotras figurasnotables
Bibliografıa
Triangulos
Teorema del coseno
Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .
Teorema del seno
Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:
a
senα=
b
senβ=
c
sen γ.
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Triangulos
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Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .
Teorema del seno
Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:
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senα=
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Circunferencias
Definicion
Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geometrico de lospuntos del plano que distan ρ del punto C.
Ecuacion
Si C ≡ (c1, c2), entonces la ecuacion de la circunferencia con centro en C yradio ρ es:
(x− c1)2 + (y − c2)2 = ρ .
Recuerdese tambien que:
La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ.
El area encerrada en su interior vale πρ2.
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Circunferencias
Definicion
Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geometrico de lospuntos del plano que distan ρ del punto C.
Ecuacion
Si C ≡ (c1, c2), entonces la ecuacion de la circunferencia con centro en C yradio ρ es:
(x− c1)2 + (y − c2)2 = ρ .
Recuerdese tambien que:
La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ.
El area encerrada en su interior vale πρ2.
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Geometria deotras figurasnotables
Bibliografıa
Bibliografıa
V. BOLOS et. AL., Algebra Lineal y Geometrıa (Manuales UEX - 50,2007).
J. BURGOS, Algebra Lineal y Geometrıa Cartesiana (Mc Graw Hill,2002).
J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matematicas II, Bachillerato (Anaya,2009).
F. GARZO et. AL., Matematicas (Mc Graw Hill, 1992).
V. GONZALEZ VALLE, Examenes resueltos de Selectividad, (2011).http://www.vicentegonzalezvalle.es/.
12. Geometría en el espacio
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Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Bibliografıa
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de innovacion didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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Tema: Geometrıa en el espacio
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Planos
Ecuaciones
Rectas
Ecuaciones
Paralelismo y angulos
Distancias y areas
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Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Bibliografıa
Puntos y vectores en el espacio
En el espacio R3, conviene distinguir entre punto y vector :
Puntos y vectores
Si consideramos R3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..
Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna denumeros reales, que se llaman sus coordenadas.
Notacion
Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0).Analogamente, la notacion v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1, 0).
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Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Bibliografıa
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P
por un vector v:
Traslacion de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).
Ejemplo
La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:
(1, 2, 10) .
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Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P
por un vector v:
Traslacion de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).
Ejemplo
La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:
(1, 2, 10) .
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Geometria de rectas y planos enel espacio
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Planos en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:
X = P + λe+ µv
para algunos λ, µ ∈ R .
Conviene recordar:
La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.
Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:
P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .
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Planos en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:
X = P + λe+ µv
para algunos λ, µ ∈ R .
Conviene recordar:
La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.
Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:
P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .
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Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Dado que ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), el plano definido por estostres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en el espacio que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1) .
La direccion de este plano P +Q+R es el espacio vectorial
〈 ~PQ, ~PR〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .
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Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones parametricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2
z = p3 + λ e3 + µ v3
λ, µ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:
x = 1− λ− µy = λ
z = µ
.
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Ecuaciones parametricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2
z = p3 + λ e3 + µ v3
λ, µ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:
x = 1− λ− µy = λ
z = µ
.
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Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuacion general
Todo plano admite una ecuacion del tipo:
ax+ by + cz = d
para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.
Observacion
A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:
La direccion perpendicular al plano:
〈(a, b, c)〉 .
La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:
〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣
b c−a 0
∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a cb 0
∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a bb −a
∣∣∣∣)〉 .
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Ecuacion general
Todo plano admite una ecuacion del tipo:
ax+ by + cz = d
para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.
Observacion
A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:
La direccion perpendicular al plano:
〈(a, b, c)〉 .
La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:
〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣
b c−a 0
∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a cb 0
∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a bb −a
∣∣∣∣)〉 .
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Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion del plano P +Q+Res el espacio vectorial
〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .Para calcular la direccion ortogonal, puede establecerse un sistema deecuaciones, o bien (por estar en dimension 3), utilizar el producto vectorial:
~PQ× ~PR =
∣∣∣∣∣∣
x y z−1 1 0−1 0 1
∣∣∣∣∣∣= x+ y + z
de modo que la direccion ortogonal al plano es 〈(1, 1, 1)〉 y su ecuaciongeneral es de la forma x+ y + z = d.Como el punto P (1, 0, 0) esta en el plano, su ecuacion general ha de ser
x+ y + z = 1 .
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Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuacion, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 .
Observacion
Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.
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Ecuacion, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 .
Observacion
Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.
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Ejemplo
La ecuacion del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) yR(0, 0, 2) tiene como ecuacion:
0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 12 0 0 10 2 0 10 0 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
x y z2 0 00 2 0
∣∣∣∣∣∣− 2
∣∣∣∣∣∣
x y 12 0 10 2 1
∣∣∣∣∣∣
= 4z − 2(4− 2x− 2y) = 4(x+ y + z − 2) .
Es decir, la ecuacion de tal plano es:
x+ y + z = 2 .
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Rectas en el espacio
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Rectas en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
X = P + λv
para algun λ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .
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Rectas en el espacio
Definicion
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
X = P + λv
para algun λ ∈ R .
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .
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Ecuaciones parametricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
z = p3 + λ v3
para algun λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:
x = 1 + λ
y = λ
z = λ
.
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Ecuaciones parametricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
z = p3 + λ v3
para algun λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:
x = 1 + λ
y = λ
z = λ
.
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Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuacion, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:
x− p1q1 − p1
=y − p2q2 − p2
=z − p3q3 − p3
.
Ejemplo
La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:
x− 1
2− 1=
y
1− 0=
z
1− 0,
es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:
r ≡{x − 2y = 1
y − z = 0.
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Ecuacion, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:
x− p1q1 − p1
=y − p2q2 − p2
=z − p3q3 − p3
.
Ejemplo
La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:
x− 1
2− 1=
y
1− 0=
z
1− 0,
es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:
r ≡{x − 2y = 1
y − z = 0.
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Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
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Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuacion general
Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:
r ≡{ax + by + cz = d
a′x+ b′y + c′z = d′
siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.
Ejemplo
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:
π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .
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Ecuacion general
Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:
r ≡{ax + by + cz = d
a′x+ b′y + c′z = d′
siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.
Ejemplo
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:
π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .
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Paralelismo y angulos
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Distancias yareas
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Paralelismo de rectas y planos
Definicion
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.
Condicion de paralelismo
Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.
Bloque:Geometrıa
Tema:Geometrıa en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuacionesde los planos
Rectas
Ecuacionesde la recta
Paralelismo yangulos
Distancias yareas
Bibliografıa
Paralelismo de rectas y planos
Definicion
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.
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Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.
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Bibliografıa
Paralelismo de rectas y planos
Ejemplo
Los planos paralelos al plano 2x− y + z = 1 son los que vienen dados porecuaciones del tipo:
2x− y + z = d
siendo d ∈ R una constante cualquiera.
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Angulos entre rectas y planos
Definicion
Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.
Definicion
Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.
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Angulos entre rectas y planos
Definicion
Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.
Definicion
Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.
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Angulos
Ejemplo
El angulo que forman los planos π ≡ x+ y + z = 1 y el planoπ′ ≡ 2x− y − z = −3 es el angulo que forman sus vectores normales,(1, 1, 1) y (2,−1,−1).Es decir,
∠(π, π′) =π
2.
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Distancias y areas
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Distancia de un punto a plano
Calculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:
dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√
a2 + b2 + c2.
Ejemplo
La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:
dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√
22 + 22 + 22=
16
2√3=
8√3.
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Distancia de un punto a plano
Calculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:
dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√
a2 + b2 + c2.
Ejemplo
La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:
dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√
22 + 22 + 22=
16
2√3=
8√3.
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Distancia de un punto a una recta
Calculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖
donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.
Ejemplo
Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =
‖(1, 1, 1)‖√2
=
√3
2.
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Distancia de un punto a una recta
Calculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖
donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.
Ejemplo
Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:
dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =
‖(1, 1, 1)‖√2
=
√3
2.
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Paralelogramos
Definicion
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.
Area de un paralelogramo
El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:
Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .
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Paralelogramos
Definicion
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.
Area de un paralelogramo
El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:
Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .
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Area de un paralelogramos
Ejemplo
Sea el paralelogramo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0).
Los lados vienen determinados por los vectores ~PQ = (1, 1, 0) y~PS = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0,−3), de modo que el area
que encierra el paralelogramo es:
Area del paralelogramo = ‖(0, 0,−3)‖ = 3 .
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Triangulos
Definicion
Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:
Area de un triangulo
El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR
Area del triangulo =1
2‖ ~PQ× ~PR‖ .
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Triangulos
Definicion
Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:
Area de un triangulo
El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR
Area del triangulo =1
2‖ ~PQ× ~PR‖ .
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Area de un triangulo
Ejemplo
Sea el triangulo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0).
El producto vectorial de los lados ~PQ = (1, 1, 0) y ~PR = (3, 0, 0) es(0, 0,−3), de modo que el area que encierra el triangulo es:
Area del triangulo =1
2‖(0, 0,−3)‖ = 3
2.
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La esfera
Definicion
Dados un punto C y un numero positivo r, la esfera de centro C y radio r esel lugar geometrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto C esigual a r.Si C(c1, c2, c3), la condicion anterior se expresa en coordenadas:
(x− c1)2 + (y − c2)2 + (z − c3)2 = r2 .
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Bibliografıa
Bibliografıa
V. BOLOS et. AL., Algebra Lineal y Geometrıa (Manuales UEX - 50,2007).
J. BURGOS, Algebra Lineal y Geometrıa Cartesiana (Mc Graw Hill,2002).
J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matematicas II, Bachillerato (Anaya,2009).
F. GARZO et. AL., Matematicas (Mc Graw Hill, 1992).
V. GONZALEZ VALLE, Examenes resueltos de Selectividad, (2011).http://www.vicentegonzalezvalle.es/.