TRANSFORMACIONES

Se llama representación, transformación o mapeo (dudosa traducción del inglés mapping, pero muy usada) al proceso de darle valores a la variable compleja z y obtener los correspondientes valores de la función w = f(z).

De esta manera, a un punto cualquiera en el plano de la variable z le corresponderá un punto en el plano de la función w, llamado punto imagen del primero. Y a una sucesión de puntos, trayectoria o curva C en el plano de la variable le corresponderá una determinada trayectoria C 1 en el plano de la función, llamada curva imagen de la primera.

Dado que, tanto la variable como la función son magnitudes complejas, el punto en el plano de la variable z debe definirse dando valores a x é y, mientras que en el plano de la función w se obtendrán valores de u y v, siendo:

z = x+jy

w= u+jv

y

x

v

u

z1

x1

y1 w1

u1

v1

x

y

u

vC C1

Transformación conforme:

Cuando se trata de funciones analíticas, puede suceder que la forma general o contorno de la curva se mantenga al pasar del plano de la variable al plano de la función. En este caso se dice que el mapeo es conforme.

Geométricamente se dice que el mapeo es conforme si se mantienen o conservan los ángulos de las curvas orientadas, al pasar de un plano al otro, tanto en magnitud como en sentido.

El hecho de conservar la forma general de la curva implica que podría haber un factor de ampliación o reducción lineal que afecta el tamaño pero no el contorno, e incluso una figura podría estar girada respecto de la otra en un cierto ángulo.

Cuando se trate de trayectorias rectilíneas, la transformación es conforme si todos los ángulos son iguales, o sea que es isogonal.

En realidad, se puede demostrar que la transformación es conforme en todos los puntos en que la derivada sea distinta de cero.

Las transformaciones conformes más comunes son las siguientes:

1) Traslación:

No sólo no modifica los contornos sino que mantiene inalterable la forma y el tamaño de cualquier curva, desplazando todos sus puntos en la misma proporción. En general, mapea una circunferencia en una circunferencia.

La forma básica es:

w = z + c

donde:

c = a + jb

por lo tanto, todos los puntos (x,y) pasarán a [(x+a); (y+b)]

y

x

u

v

a

b

2) Rotación :

Responde a la forma general:

w = ℮jα z

pero como z = r ℮jθ

entonces:

w = r ℮j(α+θ)

Esta transformación hace que el vector z que une un punto z con el origen de coordenadas gire un ángulo α en sentido antihorario, y lo mismo ocurre para cada punto z del contorno o curva en el plano de la variable.

3) Dilatación:

También llamada extensión uniforme. Sucede cuando la transformación responde a la forma:

w = p z

donde:

|p| > 1

de manera que todos los valores del módulo de z se ven ampliados en un valor p al pasar al plano de la función.

α

x

y

u

v

Rotación

4) Compresión :

De hecho, es también una extensión, pero cuyo resultado en lugar de aumentar el tamaño de la curva del plano de la variable, lo disminuye al pasar al plano de la función. Obviamente la forma es:

w = q z

donde |q| < 1

5) Combinación:

La transformación más general que puede obtenerse de las tres anteriores es:

w = a z + b

donde:

a = |a| ℮jα

b = xb + j yb

luego la transformación es en definitiva:

w = |a| ℮jα z + (xb + j yb)

por lo tanto habrá una rotación en un ángulo α, una dilatación o compresión según la magnitud del

x

y

u

v

x

y

u

v

módulo de a sea mayor o menor que la unidad, y una traslación en b.

6) Transformación lineal fraccionaria:

Responde a la forma:

w = z/(z+2)

Dando valores a x é y, se obtendrán los valores de u y v que, si se parte de un cuadrado de medios lados iguales a la unidad, dan lugar a una curva aproximadamente igual a la que se presenta en el gráfico siguiente, formada por arcos de circunferencia, cuyas tangentes en los puntos de encuentro se cortan a 90°. A su vez la curva en el semiplano izquierdo de la función resulta una semicircunferencia de radio unitario.

En la medida que se conservan los cuatro ángulos resulta ser una transformación conforme aunque no lo parezca a primera vista.

7) Transformación exponencial :

Esta es una muy particular que resulta de colocar la variable en el argumento de la base neperiana ℮ del siguiente modo:

w = ℮z

dado que z = x + jy resultará:

w = ℮x+jy

por lo tanto:

w = ℮x ℮jy

pero por fórmulas de Euler, resulta ser:

℮jy = cos y + j sen y

x

y

v

u

entonces:

w = ℮x cos y + j ℮x sen y

pero, a su vez, w = u + jv

por lo tanto resulta:

u = ℮x cos y

v = ℮x sen y

La trayectoria que se elige en el plano de la variable para mapear al de la función es R e [z] = b; lo que significa “parte real de z igual a b”, y por ende se trata de una recta que pasa por el punto real b, como se muestra en el gráfico correspondiente a continuación.

También podría expresarse la misma trayectoria diciendo que: z es tal que (x=b; y=y)

De manera tal que resulta en la función:

w = ℮b cos y + j ℮b sen y

cuyo módulo elevado al cuadrado resulta:

|w|2 = ℮2b (cos y)2 + ℮2b (sen y)2

Si se saca factor común:

|w|2 = ℮2b [(cos y)2 + (sen y)2]

pero [(cos y)2 + (sen y)2] = 1

luego:

|w|2 = ℮2b y, en consecuencia |w| = ℮b

Pero también |w|2 = u2 + v2

entonces:

u2 + v2 = ℮2b

pero u2 + v2 = r2 es la ecuación de una circunferencia de radio r = ℮b en el plano de la función, centrada en el origen.

En este caso, la transformación también es conforme, porque se supone que se ha mapeado una circunferencia en una circunferencia, dado que la recta en el plano de la variable se considera el caso límite de una circunferencia de radio infinito, mientras que el tramo de la línea recta que se representa en el dibujo se considera el caso límite de un arco de circunferencia para un radio de curvatura infinito.

La función, en definitiva, para esta transformación y con la trayectoria elegida en el plano de la variable, queda:

w = ℮b ℮jy

que para los distintos valores que puede adoptar y representa una circunferencia en el plano w, tal como se representa en el diagrama a continuación:

8) Transformación de Moebius:

Se trata de una transformación fraccionaria muy particular, según la relación que se presente entre los coeficientes del polinomio numerador y el polinomio denominador.

La forma es:

w = (az + b) / (cz + d)

si se opera algebraicamente, se puede expresar lo mismo de la siguiente manera:

w (cz + d) = az + b

wcz + wd = az + b

wcz = az + b – wd

w = az / cz + b / cz – wd / cz

entonces, simplificando y reemplazando w por su expresión original en el segundo miembro:

w = a / c + b / cz – [(az + b) / (cz + d)] d / cz

en la expresión anterior se puede resolver la operación indicada entre el segundo y tercer términos, sacando común denominador entre ellos, así:

y

bx u

v

r = ℮b

Re [z] = b w = ℮b ℮jy

w = a / c + [(cz + d)b - (az + b) d] / cz (cz + d)

resolviendo:

w = a / c + [czb + db – azd - bd] / cz (cz + d)

simplificando +bd y –bd

w = a / c + [czb – azd] / cz (cz + d) volviendo a simplificar:

w = a / c + [cb – ad] / c (cz + d)

si los coeficientes fueran tales que bc = ad

entonces resultaría

w = a/c

por ejemplo, si la función es w = (0,5 z + 2) / 10 z + 40

donde:a = 0,5b= 2c= 10d = 40y la relación entre ellos es la indicada.

Esta transformación, con estos valores de los coeficientes, no es conforme. Por el contrario, se denomina transformación degenerativa, porque mapea todo el plano de la variable a un solo punto en el plano de la función. Cualquiera sea el valor de z que se elija, el de w resulta siempre a/c

Ing. Hugo Biritos - 2006

x

y v

ua/c