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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER

Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica

M Q U I N A S E L C T R I C A S I (061C)

Profesor de la Asignatura:

Ing. Pedro Ramiro Marav Gutarra

Huancayo, 2014

2

MQUINAS ELCTRICAS I

Introduccin. - La Mquina Elctrica, es un dispositivo que a travs de la accin de un

campo magntico convierte energa mecnica en energa elctrica (generador), o convierte

energa elctrica en energa mecnica (motor), o convierte energa elctrica de corriente

alterna de un nivel de voltaje en energa elctrica de otro nivel de voltaje, a una misma

frecuencia y manteniendo la potencia prcticamente constante (transformador).

Son mquinas limpias, silenciosas, verstiles, compactas, de fcil mantenimiento.

Clasificacin de las Mquinas Elctricas:

a) Mquinas Elctricas Estticas; aquellas que para realizar conversin de energa no

requieren del movimiento de una de sus partes como los transformadores,

autotransformadores, conversores e inversores.

b) Mquinas Elctricas Rotativas; aquellas que poseen rotor como los generadores de

corriente continua (dinamos), motores de corriente continua, generadores sncronos

(alternadores), motores sncronos (generadores de potencia reactiva), generadores

asncronos, y motores asncronos.

MATERIALES MAGNETICOS

1. Materiales Ferromagnticos (Fe, Co, Ni), la imantacin que adquieren en los

campos magnticos es alta; y pueden convertirse en imanes permanentes, conservando

la imantacin fuera de los campos donde la obtuvieron, generan lneas de flujo con

facilidad, tienen r >>1. Por lo que se usan en circuitos magnticos.

2. Materiales Paramagnticos (Al, Pt, Mn, Aire) y Diamagnticos (Ag, Cu, H2O),

la imantacin que adquieren es proporcional al campo, siendo dbil en el primero y

dbil negativo en el segundo, son malos conductores del flujo magntico.

MATERIALES FERROMAGNETICOS: Los circuitos magnticos tienen la funcin

de llevar el flujo magntico por un determinado camino, reduciendo as su dispersin;

por lo que se usa como ncleo magntico, tienen r >>1 que permite la obtencin de

altas densidades de flujo (B) con intensidades de campo (H), pequeos, as:

.B uH B u Hpequea

El ms usado es el hierro y sus aleaciones con otros metales, as tenemos:

- Hierro Puro: Tiene propiedades magnticas excelentes.

- Acero Silicio: Contiene de 0,25 a 5 % de silicio que al recibir tratamiento trmico,

aumenta su permeabilidad y aumenta su resistencia elctrica que es importante

para disminuir las prdidas por corrientes parsitas de Foucault, sus derivados son:

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Silicio Grado electrical; Acero Silicio Grado transformador - 72; Acero laminado

en fro; Acero Fundido; Hierro fundido.

PERMEABILIDAD MAGNETICA DEL MATERIAL ( ).- Es la facilidad

relativa que presenta un material para que en l se establezca un campo magntico.

PERMEABILIDAD DEL ESPACIO LIBRE (AIRE): 70 4 10Hr

m

PERMEABILIDAD RELATIVA DE UN MATERIAL ( r ); es la relacin entre su

propia permeabilidad y la del espacio libre: r = /0; 0.r ; sirve para comparar

la facilidad con que se magnetiza los materiales. Los aceros utilizados en mquinas

tienen r de 2000 a 6000 y aun ms; significa que para una corriente, en una pieza de

acero, se establece un flujo de 2000 a 6000 veces mayor que en una superficie igual a

la del espacio libre (aire). El ncleo de hierro al tener r >>1 concentra la mayor parte

del flujo magntico, dentro del ncleo en vez de pasar a travs del aire circundante.

Lamentablemente los materiales ferromagnticos no tienen la permeabilidad relativa

constante sino que vara con la densidad de flujo con que trabaja el material, es decir,

luego de alcanzar un valor mximo baja notablemente cuando se llega a la zona de

saturacin del ncleo magntico, ya que despus de haber alcanzado el flujo de

saturacin, el material ya no contribuye con su ferromagnetismo al aumento de

densidad de flujo magntico, en otras palabras el flujo adicional se dispersa en el aire .

Existen aleaciones antimagnticas o aislantes magnticos (r=1.1- 1.4), como el

acero al Mn y el acero al Ni utilizadas como perno de amarre en los ncleos de trafos.

4

2. CARACTERISTICAS DE LOS MATERIALES MAGNETICOS

Curva de Saturacin o de Magnetizacin; llamada tambin curva B H.

El Lazo Histresis; Muestra la relacin instantnea entre la densidad de Flujo (B)

y la intensidad (H) en un ciclo completo de operacin.

Curva de Saturacin o de Magnetizacin.- Es una caracterstica principal de los

materiales magnticos, resulta de graficar la ecuacin: B uH , donde es considerada

constante (o lineal) slo en la zona no saturada. La curva B H se obtiene aplicando una

corriente continua (I) a la bobina arrollada en el ncleo, comenzando con 0 amperios y

luego aumentando lentamente hasta la corriente mxima permisible; observndose que a

medida que se aumenta la corriente en la bobina (NI), aumentar la intensidad de campo H

y a cada valor de H le corresponde un valor de B; graficando B H, tenemos:

La pendiente de la curva B H , es por definicin la permeabilidad () del ncleo, pues:

Btg

H

, es decir, si a cada valor de H le corresponde un valor de B, entonces la

permeabilidad ser: B

H . La curva muestra que la permeabilidad es grande y

relativamente constante en la regin no saturada y luego decrece gradualmente hasta un

valor muy pequeo (en a b c) cuando el ncleo est muy saturado.

Como .B A y . mNI H l se observa que, para un ncleo dado, la intensidad

magnetizante H es proporcional a la fuerza magnetomotriz

(NI) y que la densidad de flujo (B) es proporcional al flujo

( ). Por lo tanto la relacin de vs NI tiene la misma

forma que la curva B H .

Se observa que al comienzo, un pequeo incremento en la

f.m.m. produce un gran crecimiento del flujo resultante:

5

tramo o-a; despus de un cierto punto, incrementos adicionales de f.m.m. producen

crecimientos relativamente pequeos en el flujo: tramo a-b; finalmente un aumento en la

f.m.m. no produce ningn cambio de flujo: tramo b-c; la regin en la cual la curva se hace

horizontal se llama regin de saturacin y se dice que el hierro est saturado. Al contrario

la regin o-a, donde el flujo cambia rpidamente se llama regin no saturada, se dice que el

hierro no est saturado. La zona de transicin entre la zona saturada y la zona no saturada

es a-b, y se llama el codo de la curva.

Otra curva caracterstica de los ferromagnticos es la curva

H , la que con las curvas B H y NI permiten

realizar clculos y disear los ncleos de las mquinas

elctricas.

Estas curvas han sido obtenidas en base a un conjunto de

pruebas experimentadas. Se exponen en el siguiente orden:

Curva N 1: B H en escala semilogartmica: 2lgmKlineasB

pu y

lgmA VH

pu .

Curva N 2: B H en escala simtrica: 2lgmKlineasB

pu y

lgmA VH

pu

aplicable en mtodo grfico.

Curva N 3: B H en escala simtrica: 2mWbB

m y m

A VHm

aplicable en

mtodo grfico.

Curva N 4: B H en escala semilogartmica para acero laminado M-19 2mWbB

m y

mA VH

m

Curva N 5: B H en escala simtrica: mB Gauss y mA VH

cm

Curva N 6a: B H y H en escala semilogartmica para acero H23 0.35 mm

(0,014 pulg). Facilita clculo de valores pequeos: 2mWbB

m y A VH

m

Curva N 6b: B H y H en escala simtrica para acero H23 0.35 mm (0,014

pulg). Facilita clculo de problemas con valores iniciales: 2mWbB

m y A VH

m

Curva N 7a: B H y H en escala logartmica para acero H23 0.50 mm (0,020

pulg). Facilita clculo de valores pequeos: 2mWbB

m y A VH

m

6

Curva N 7b: B H y H en escala simtrica para acero H23 0.50 mm (0,020

pulg). Facilita el empleo del mtodo grfico, usando la recta de pendiente modificada:

2mWbB

m y A VH

m

Unidades Empleadas en electromagnetismo:

MAGNITUD SIMBOLO UNIDAD

cgs

UNIDAD

MKS

UNIDAD

SISTEMA INGLES

Intensidad de

campo

H oersted Ampere vueltam

lgAmpere vuelta

pu ada

Densidad de flujo B gauss 2

Weberm

2lgkilolineas

pu ada

Flujo Magntico max well

Weber kilolinea

Fuerza

Magnetomotriz

Fmm=NI Gilbert Ampere vuelta Ampere vuelta

Inductancia L abhenrio

Henrio Henrio

Factores de conversin:

DADO MULTIPLIQUE POR PARA OBTENER

Kilolineas 1000 Lneas o Maxwells

Kilolineas 1.0 x 10-5 Webers

Weber 1.0 x 105 Kilolneas

Weber 1.0 x 108 Lneas o Maxwells

2Weber

m

1.0 Tesla

2Weber

m

64.52 2lg

kilolineaspu

2Weber

m

1.0 x 104 Gauss o Lneas/cm2

2lgkilolineas

pu

155.0 Gauss

2lgkilolineas

pu

0.0155 2

Weberm

Ampere vueltam

2.54 x 10-2 lg

Ampere vueltapu

lgAmpere vuelta

pu 39.37 Ampere vuelta

m

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El Ciclo de Histresis: Al aplicar corriente alterna a los devanados del ncleo, mientras la

corriente crece, el flujo en el ncleo vara segn la curva a-b, esta es bsicamente la curva

de magnetizacin; cuando la corriente disminuye, el flujo decrece describiendo la curva b-

c-d, cuando la corriente vuelve a aumentar, vara segn la curva d-e-b, generando menores

flujos para corrientes iguales: para un mismo valor de I1 segn la trayectoria a-b produce

un flujo 1 , mientras en la curva d-e-b produce

1 , donde '

1 1 . La trayectoria cerrada

b-c-d-e-b se denomina ciclo de histresis o lazo de histresis.

La variacin del flujo en el ncleo segn la curva, ser a-b-c, no regresa a cero, sino que

queda un campo magntico, cuyo flujo es el segmento a-c, este valor es el flujo residual,

la energa correspondiente es el rea de la regin achurada. As se produce imanes

permanentes, para lograr que el flujo vuelva a ser cero es necesario aplicar, en sentido

contrario, una de fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz coercitiva: Fmmc.

Principio Del Fenmeno De Histresis.- Dentro del material magntico hay regiones

pequeas llamadas dominios magnticos; en cada dominio todos los tomos estn

alineados con sus campos magnticos en la misma direccin, cada dominio acta como un

pequeo imn permanente. La razn por la que el hierro aparezca sin flujo es que la gran

cantidad de minsculos dominios estn orientados al azar dentro del material.

Al aplicar un campo magntico exterior a esta barra de hierro, los dominios tienden a

orientarse en la direccin de dicho campo, creando el flujo magntico en el hierro, el cual a

su vez hace que nuevos tomos y dominios cambien su orientacin incrementando la

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intensidad del campo magntico. Este proceso de realimentacin positiva hace que el

hierro alcance una permeabilidad mayor que la del aire.

Cuando casi todos los tomos y dominios se hayan alineado con el campo exterior, un

nuevo aumento de la fmm solo podr causar un incremento en el flujo igual al que se

lograra en el espacio libre; el hierro est saturado con el flujo (regin saturada de la curva

de magnetizacin). La causa de histresis radica en que, cuando se suspende el campo

magntico exterior no todos los dominios se reorientan al azar nuevamente, sino que se

requiere cierta energa de un campo magntico exterior.

3. PERDIDAS EN EL NUCLEO

Si alimentamos con corriente continua a una bobina con ncleo de hierro, no se produce

calentamiento en el hierro, las nicas prdidas sern las que se producen en la resistencia

interna de la bobina. Si la corriente de magnetizacin es alterna, el ncleo se calienta y se

producen unas nuevas prdidas llamadas prdidas en el ncleo, que son debido a la

variacin del campo magntico y flujo magntico. Estas prdidas son de dos tipos:

-Prdidas por Histresis.

-Prdidas por corrientes Parsitas o de Foucault.

Prdidas por Histresis (Ph).- Es la energa necesaria para lograr la reorientacin de los

dominios durante cada ciclo de corriente alterna aplicada al ncleo. Esto se cuantifica en el

flujo residual (o magnetismo remanente) que retiene todo material ferromagntico. El rea

encerrada por la curva o lazo de histresis es proporcional a la energa perdida en un ciclo.

Esta prdida est dada por la frmula experimental: max. . .n

hP vol f B (1)

Donde: = coeficiente de STEINMETZ

n = exponente de STEINMETZ

vol = volumen material del ncleo

f = frecuencia de la corriente alterna.

La demostracin sera: Fem = e = Nd /dt = d/dt ....... (2)

= N es el flujo concatenado; es el valor instantneo del flujo variable con el tiempo.

9

Si existe una relacin lineal entre B H por ser constante la permeabilidad del material,

se define e i por medio de la inductancia N

Li i

(3). La inductancia en

funcin del campo: A B e Hl

iN

en (2): 2

2N BA AL NHl l

(4)

2 2

2N NL N Pl R

A

. (5); La reluctancia R depende de la forma y tamao del

material del ncleo. Como en (3): Li en (2): ( )d

e Lidt

. (6)

En los circuitos magnticos estticos la induccin es fija, y la ec. (6) se reduce a:

di

e Ldt

. (7)

En las mquinas, la inductancia puede ser variable con el tiempo, por lo que la ec. (6) ser:

di dL

e L idt dt

. (8)

La potencia en las terminales de la fig. : d

P ie idt

watt, . (9)

La variacin de la energa en un circuito magntico en el intervalo de tiempo t1 a t2 es:

2 2

1 1

t

campt

W Pdt id

. (10)

En funcin del campo: Hlm

iN

( . ) .mN N A B d NAdB

En (10): 2 2

1 1

.B B

camp m m mB B

HlmW N A dB Hl A dB

N

2

1

. .B

camp m mB

W A l H dB . (11)

donde: .m mvol A l = volumen del material del ncleo.

.H dB = densidad de la energa magntica en el ncleo.

2

1

.B

campB

W vol H dB . (12)

10

Si es constante, entonces BB H H

en (12): 2

1

2 2

2 1

2

B

campB

B BBW vol dB vol

Si B1 = 0 y haciendo B2=B

2 . .

2 2camp

volB vol B HW

. (13)

Con constante (ideal), esta energa (ec.13) queda almacenada en el campo magntico y

es devuelta ntegramente cuando B vuelve a anularse. En los materiales ferromagnticos

cuyas permeabilidades varan, no devuelven toda la energa almacenada, una parte se

queda en el ncleo bajo forma de calor.

En la figura, la curva descendente representada por la

lnea ab. Cuando Hc se reduce a cero, slo una parte de la

energa absorbida por el campo durante el periodo de

crecimiento es restituida al circuito, (representado por el

rea abc). El resto de la energa queda, en parte

almacenada en la energa cintica de los electrones

productores del flujo residual, en parte se disipan en prdidas debidas al ordenamiento de

sus dominios (histresis) y a las corrientes parsitas y se manifiestan en forma de calor.

La energa total absorbida por el ncleo en el proceso de ascenso y descenso oab est

representada por el rea oabo. Si la variacin es lenta, o sea con bajas frecuencias

(0

11

las prdidas por histresis pueden determinarse por el rea comprendida en la curva o lazo

de histresis.

La ec.12 aplicado al ciclo de histresis: . .hW vol H dB joule .. (14)

La integral cclica .H dB representa el rea del ciclo, si el ciclo se repite a una

frecuencia f, entonces se disipar f veces por segundo de energa:

. . .hP vol f H dB Watt (Prdidas por Histresis.)..(15)

La integral cclica es complicada, pues dificulta la variacin magntica del material; el

estudioso Steinmetz ha hecho experimentos y pruebas del cual se sac un promedio y

determin una ecuacin emprica que involucra una buena aproximacin:

maxn

hW B Ergio/unidad de volumen (16)

Y las prdidas para una frecuencia f y un volumen dado del ncleo Vol; ser:

max. . .n

hP vol f B (17)

Para determinar los valores de y n se pueden proceder de la siguiente manera:

Dividimos a ambos miembros por la f y vol y tomamos logaritmos:

maxlog .log log.

hP n B y nx avol f

(ecuacin de una recta).

En papel logartmico se puede trazar la recta, una vez que se hayan determinado por

mediciones directas varios valores de Ph y Bmax. La pendiente de la recta nos proporcionar

n y su interseccin con el eje y nos dar el valor de

Prdidas por Corrientes Parsitas de Foucault (PF).- Cuando se magnetiza un ncleo

ferromagntico con una corriente alterna el flujo que se produce resulta ser tambin

variable, este flujo variable induce en el ncleo tensiones alternas, de la misma manera que

hace un devanado sobre l: d

e Ndt

(18)

Como el ncleo es conductor de la corriente elctrica, esta tensin inducida produce

remolinos de corriente elctrica (corrientes parsitas) que fluyen dentro del ncleo, cuyo

12

promedio representamos por I, esta corriente produce prdidas 2RI , que se disipa en

forma de calor en todo el volumen del ncleo, donde R es la resistencia promedio del

ncleo. Estas son las prdidas (Eddy Loss) o de Foucault (PF).

La energa perdida a causa de las corrientes parsitas o de Foucault, es proporcional a la

longitud de la trayectoria seguida dentro del ncleo. Por esta razn, cuando el ncleo va a

estar expuesto a flujos alternos, se lamina con varias capas delgadas de espesor t. Entre

capa y capa se coloca una resina o barniz aislante para que las trayectorias de las corrientes

parsitas queden limitadas a reas muy pequeas, y no puedan circular libremente de una

lmina a otra. Las capas de aislantes deben ser delgadas para reducir las prdidas por

corrientes parsitas sin disminuir las propiedades magnticas del ncleo.

Las prdidas por efecto de las corrientes parsitas de Foucault son cuantificadas en la

siguiente frmula: 2 2 2 2

max

6F

f t BP

(19)

= resistividad del ncleo de hierro.

f = frecuencia

t = espesor de las lminas

Bmax = densidad mxima del campo magntico

LAS PRDIDAS TOTALES EN EL NCLEO FERROMAGNTICO: En la prctica,

interesa las prdidas totales en el ncleo para definir los rendimientos de las mquinas.

Estas prdidas totales sern la suma de las prdidas por histresis y por Foucault, o sea:

T h FP P P . (20)

(17) y (19) en (20): 2 2 2

maxmax

. . . .. . .

6

nn

T

f t B volP vol f B

.. (21)

Las prdidas por corrientes parsitas se pueden limitar aumentando la resistividad del

ncleo y laminando el material y de esta manera nos representa un pequeo porcentaje de

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prdidas totales, mientras que las prdidas por histresis es ms dificultoso limitarlo, es

casi inevitable, por eso generalmente alcanza el 75% de las prdidas totales.

En la prctica las prdidas se dan siempre por unidad de peso o sea W/kg y generalmente

se escoge para maxB el valor de 10 000 Gauss y para frecuencias de 60 y 50 c/s.

SEPARACIN DE PRDIDAS: Conociendo dos valores de las prdidas totales de un

ncleo magntico, medidas a diferentes frecuencias pero con la misma densidad de flujo

mximo, es posible deducir sus dos componentes (prdida por histresis y prdidas por

corrientes parsitas Foucault), analtica o grficamente. Antes deduciremos maxB ;

De: d

e Ndt

, maxsenwt ;

maxmax

( )( )cos

d senwte N wN wt

dt

max max max2E wN fN ;

Valor eficaz: maxmax max

2

4.442 2

E fN EE

Nf

y como maxmax max

4.44

EB B cte

An fNAn

a) Separacin de Prdidas Analticamente

Ya que: 2 2 2

2maxmax

. . .. . .

6

n

T

t B volP B vol f f

.. (22)

Si en esta expresin hacemos variar solamente la frecuencia podemos escribir:

2

TP af bf .. (23)

Siendo

hP af y 2

FP bf .. (24)

Bastar determinar los valores de a y b para resolver el problema, lo cual se consigue

efectuando dos mediciones a las frecuencias f1 y f2.

b) Separacin de Prdidas Grficamente

Se puede resolver el problema grficamente, tomando como ordenadas los valores

TPf

y por abscisas las frecuencias, se ubican segn las lecturas efectuadas

(1,2,3.) en el plano cartesiano, uniendo estos puntos tendremos una lnea recta.

2. . .TTP

P a f b f a b ff

(es la ecuacin de una recta)

14

Los valores de a y b se deducen directamente del grfico y son:

a OA y 1 1 1

1 2 3

BB CC DDb

f f f

NOTA: Las prdidas totales se obtienen mediante aparatos especiales, el ms conocido

es el aparato de Epstein, las frecuencias lo sabemos mediante el frecuencmetro,

actualmente existen medidores digitales que ahorran los tediosos trabajos tradicionales.

4. CIRCUITOS MAGNETICOS

4.1. GENERALIDADES:

La corriente (NI) o Fmm de la bobina, produce un flujo magntico ( ) que recorre la

longitud media cerrada ( lm ) del ncleo; ese recorrido lo hace venciendo la oposicin

que le presenta el material del ncleo llamado reluctancia del material Rm.

Es anlogo al circuito elctrico:

Fmm= NI= R

= NI/R (1) Fmm=NI=Fuerza

magnetomotriz del circuito.

= Flujo magntico en el circuito

R = reluctancia del ncleo

Adems sabemos que: NIA

BAlm

.. (2)

ya que B H y NI

Hlm

de (2) = (1) tenemos: .

lmR

A .. (3)

cuya unidad es: amperio vuelta A V

weber wb

; como 0r , entonces:

15

0r

lmR

A . (4)

La reluctancia equivalente en serie: 1 2 3 4 .....eq nR R R R R R (5)

Las reluctancias en paralelo: 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1.....

eq nR R R R R R . (6)

El inverso de la reluctancia es la permeancia P; es decir P=1/R

es el anlogo magntico de la conductancia elctrica 1

GR

.

El anlogo magntico de la conductividad elctrica es la permeabilidad magntica :

En resumen:

Tabla de analoga:

CIRCUITOS ELECTRICOS CIRCUITOS MAGNTICOS

PARAMETROS UNIDADES PARAMETROS UNIDADES

CORRIENTE: EIR

Amperios (A) Flujo Magntico NI

R Weber (Wb)

Fuerza Electromotriz: Fem= E Voltios (V) Fuerza Magnetomotriz:

Fmm= NI

Amperio

Vueltas (A-V)

Resistencia : R

-

Ohm ( )

lA

R

Reluctancia:

lRA

A v

Wb

Conductancia: 1GR

1 Permeancia: 1P

R

Conductividad: 1

Permeabilidad:

Resistividad: Reluctividad:

Los clculos de flujo en el ncleo mediante el concepto de circuitos magnticos, son

aproximaciones. En el mejor de los casos se logra el 5 % de error; esto se debe a:

1) La separacin de las lminas por capas delgadas de aislante aumenta la seccin del

ncleo.

2) El asumir que todo el flujo esta confinado dentro del ncleo magntico. Esto no es

cierto, siempre una pequea fraccin del flujo se sale del ncleo al aire de alrededor

donde la permeabilidad es baja. Este flujo se denomina Flujo de Dispersin.

16

3) El clculo de la reluctancia hacemos con una longitud media lm y seccin transversal

Am del ncleo, estas suposiciones no incluyen las deformaciones en las esquinas.

4) La permeabilidad de los materiales ferromagnticos vara segn la cantidad del flujo

que ya tengan. Esto introduce una fuente de error en los clculos.

5) La seccin transversal efectiva del aire en el entrehierro es mayor que la del ncleo,

debido al efecto refrigerante o efecto de

bordes del campo magntico en el entrehierro.

Se compensa en algo estos errores, introduciendo

factores o criterios tcnicos siguientes:

FACTOR DE APILAMIENTO: Al construir con lminas separadas entre si por capas

aislantes un ncleo, se aumenta el rea de su seccin transversal y por lo tanto su volumen.

El factor de apilamiento o de laminacin, se define como el cociente entre el rea de la

seccin recta de hierro y el rea de la seccin recta de la pila, m

a

n

Af

A

donde: mA =Seccin transversal neta del material del ncleo

nA =Seccin transversal real del ncleo, ( n mA A ).

fa, vara de acuerdo al espesor t de las lminas, mientras ms pequeo sea el espesor,

mayor ser la seccin del ncleo debido al aumento de las capas aislantes; su valor se halla

comprendido entre 0,95 y 0,90 para espesores de lminas entre 0,63 mm y 0,35 mm,

respectivamente. Para lminas ms delgadas entre 0,025 mm y 0,12 mm de espesor, el

factor de apilamiento se halla entre 0,4 y 0,75; luego el rea til sera: m a nA f A

Sean: a = ancho del ncleo

b = profundidad del ncleo (hierro + aislantes)

bm = profundidad neta del hierro. (bm = n.t).

17

donde: n = N de lminas en el ncleo; y t = espesor de las mismas

Luego: m m mA a b a nt A a nt ; nA a b

Como: mm n a a

n

A a ntA A f f

A a b

a

a

nt ntf b

b f

n

a

ntA a b a

f

n an

a

A fntA a n

f a t

n a

A ft

a n

AREA DEL ENTREHIERRO. La dispersin de

lneas se toma en cuenta, aumentando la seccin del

entrehierro con respecto a la del ncleo de acuerdo

con la frmula emprica: gA a g b g a y b

son las dimensiones de los lados de la seccin del

ncleo; g = longitud del entrehierro

ga

ntA a g g

f

Tambin el efecto de borde aumenta con la longitud del entrehierro.

4.2. METODOS DE SOLUCION PARA PROBLEMAS DE CIRCUITOS

FERROMAGNETICOS: Se presentan los siguientes casos:

CASO 1: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR SIN ENTREHIERRO Y

SECCIN CONSTANTE, DE UN MISMO

MATERIAL

1a.- Clculo de la (fmm=NI), dato :

1. Se calcula mm

BA

2. Con mB en la curva B H del material encontramos Hm.

3. Con la ley de circuitacin: m mfmm NI H l

18

1b.- Clculo de , dato (fmm=NI): 1. Se calcula mm

NIH

l ; 2. Con Hm en la curva

B-H y encontramos Bm. 3.Luego resulta: m mB A

CASO 2: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON ENTREHIERRO Y SECCIN

CONSTANTE, DE UN MISMO MATERIAL.

2a. Clculo de (fmm=NI), dato :

1. Se calcula: mm

BA

y para el entrehierro gg

BA

, donde

gA a g b g . 2. Con Bm entramos a la curva B-H y

encontramos Hm. Determinamos ggo

BH

3. Luego: m m gfmm NI Hl H l H g

2b. Clculo de , dato (fmm=NI): Existen dos mtodos:

METODO DEL TANTEO; consiste en el siguiente proceso:

1. Asumir un flujo 1 cualquiera razonable.

2. Determinar: 1mm

BA

y 1g

g

BA

.

3. Con mB en la curva B-H del material obtenemos Hm.

Con Bg en la recta B-H del entrehierro (aire) obtenemos Hg. Tambin se puede aplicar:

gg

o

BH

; 74 10o

4. Calculamos: 1( ) m mNI Hl H l Hg g

5. Si la fmm1=(NI)1 calculado se aproxima en 3% como

mximo, el flujo 1 asumido ser correcto, en caso

contrario seguiremos probando, asumiendo el nuevo flujo 2 , as: Si: (NI)1< (NI)dato, se

asume 2 > 1 y se repiten los clculos 2 ,3 y 4

Si (NI)1> (NI)dato, se asume 2 < 1 y se repiten los clculos 2 , 3 y 4.

METODO GRAFICO; Empleo de la recta de pendiente modificada:

Ecuacin circuital: 1( ) m mNI H l Hg g (1)

;...........m g m m g gB A B A

19

0/g m m gH A B A (2)

(2) en (1): 0

( )

( )

mm m m

g

A gNI H l xB

A , (ecuac. de la recta) .(3)

1. Calcular: 0m

dato

B

NIx

lm ; e

0

0

( )

m

dato g

m H

NI Ay

g A

2. Con x e y calculado se traza la recta xy

lo cual interesar a la curva B-H (escala

simtrica) en el punto M la cual

corresponde las caractersticas del material y

obtenemos: Bm y Hm.

3. m mB A

CASO 3: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON O SIN ENTREHIERRO

DE SECCION CTE, PERO CON VARIOS MATERIALES.

Se calcula las densidades para cada material:

3a. Clculo de la (fmm=NI), dato el flujo : Se procede tal como en 2b.

Para material 1: 1mm

BA

Hm1

Para material 2: 2mm

BA

Hm2

Para material 3: 3mm

BA

Hm3

Para el entrehierro: gg

BA

0

gg

BH

Finalmente: 2 2 3 3. m m m m m m gNI H l H l H l H l H g

3b.Clculo de , dato (NI): Se aplica el mtodo del tanteo:

1) 11 2m mm

B BA

y 1g

g

BA

; 1 es el primer valor asumido del flujo

2) Clculo de las intensidades: 1mH y 2mH en las curvas B-H y 0

gg

BH

.

3) Obtener 1 1 1 2 2( ) m m m m gNI Hl H l H l H g ; y comparar con (NI)dato, tal

como en 2b, hasta que: ( ) ( )i datoNI NI , hasta en 3% de aproximacin

como mximo, siendo i= 1, 2, 3 . n. que indica el N de tanteos.

20

CASO4: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON O SIN

ENTREHIERRO DE SECCIN

VARIABLE

4a. Clculo de NI, dato :

1) Determinar: 1

1m

m

BA

; 22

mm

BA

;

y gg

BA

2) Calcular en la curva de materiales los Hm

Con 1 1curva

m mB HB H

Con 2 2curva

m mB HB H

y para el entrehierro 0

g

g

BH

; o en la recta del aire.

3) Calcular 1 1 2 2m m m m gNI Hl H l H l H g

4b. Clculo de , dato NI:

Aplicamos el mtodo del tanteo como en 2b y 3b con la diferencia de que:

111

mm

BA

, 12

2m

m

BA

y 1g

g

BA

1 es el primer valor asumido del flujo

CASO 5: CIRCUITOS RECTANGULARES PARALELO Y SERIE-PARALELO

CON O SIN ENTREHIERRO

Se aplica Kirchoff: Ley de nodos: 0 y Ley de

mallas: NI Hl ;

en nodo m: A C B ; en malla manm:

A A A mA B mB gN I H l H l H g ; en malla mbnm:

C C C mC mB mB gN I H l H l H g ; en malla ambna: A A C C mA mA mC mCN I N I H l H l .

No existe mtodos generales; de acuerdo a la configuracin del circuito y a los datos, se

elige el mtodo del tanteo o el mtodo grfico.

21

REACTOR CON NUCLEO DE HIERRO

Es un bobinado con ncleo ferromagntico que al ser recorrida por una corriente alterna

genera altas inductancias con dimensiones reducidas, XL = wL. Cuando se le energiza con

una tensin V aparece en sus bornes una tensin autoinducida

e: ev ri e ; r es la resistencia del cobre de la bobina y

e es la tensin inducida:d d

e Ndt dt

, r es pequea y se

puede despreciar, entonces: d

v e Ndt

; Si la energa elctrica es sinusoidal, el flujo ( )

producido lo es tambin, entonces: maxsen t ; El valor eficaz de la tensin

sinusoidal es: max max max max(2 )

4.442 2 2

E N N fE Nf

; max4.44E Nf

Siendo max max max max .B A B A ; resulta: max4.44 . . .E N f A B

Corriente de Excitacin: Es la corriente ie absorbida por el reactor bajo una tensin v

sinusoidal: Esta corriente de excitacin pierde su forma sinusoidal debido a la

caracterstica no lineal del material ferromagntico:

ie se descompone una parte en la que realiza la excitacin real, en la creacin del campo

magntico y la otra parte genera prdidas en el ncleo en forma de calor por efecto de las

corrientes parsitas y el fenmeno de la histresis: e m ri i i , donde: mi =componente

magnetizante e ri =componente de prdidas.

22

ei : Es del 3 al 10 % del valor nominal en reactores y transformadores, tiene alta

reactancia respecto a las pequeas resistencias de prdidas, justifica considerar ei como

sinusoide y representarla por un fasor, a partir de sus valores eficaces: e m rI I I ;

cuando al reactor se aplica una tensin eficaz ( E ):

rI , componente de prdidas en el ncleo y est en fase E ; feW

IrE

feW = prdidas en el

hierro en watts; E=voltaje eficaz aplicado en bornes.

mI , componente de magnetizacin, cuyo valor eficaz es el valor eficaz de todos los

armnicos, menos la componente de prdidas, por lo que est en cuadratura con E , o sea

retrazada 90 respecto de E . Entonces: 2 2

e r mI I I

Las prdidas en el hierro es: 2 . . cosF r eW E I E I

La componente de prdidas es pequea en comparacin con la componente de

magnetizacin y en algn momento alterna:

CIRCUITO EQUIVALENTE DEL REACTOR

1. Parmetros elctricos de excitacin V e eI .

2. La resistencia interna de la bobina R

3. La componente de prdidas Ir y la componente

de magnetizacin Im tal que cumplan e r mI I I .

De donde se deduce los valores fasoriales:

23

eV E RI ; e r mI I I ; rI gE ; mI jbE ; g disipa las prdidas en

el hierro: 2FeW

gE

. La conductancia g y la susceptancia b de magnetizacin

constituyen la admitancia de excitacin: y g jb ; siendo datos eI y E la admitancia

es: eI

yE

2 2y g b

2

2 2 2eIb y g gE

CURVAS CARACTERISTICAS DE LOS REACTORES: Hay tres aspectos: la

produccin de flujo, las prdidas de

dicha produccin de flujo y la reactancia

neta resultante.

Curvas para determinar los parmetros:

1. Curva de Magnetizacin eficaz

para el Flujo Senoidal: Permite

calcular Hm eficaz, conociendo:

max4,44

EB

NfA ; y por la ley de

circuitacin, calculamos la corriente

de magnetizacin Im: m.I .mN H l ; m.

I mH l

N

2. Curva de Prdidas en el Ncleo: Permite calcular las prdidas en Wattslibra

WattsKg

conociendo Bmax en 2lgkilolineas

pu o gauss.

24

3. Las curvas de potencia Reactiva: Es la grfica de Voltio Amperio reactivos (Q) vs

Bmax, conociendo Bmax se determina Q, luego la corriente de magnetizacin Im:

Como . mQ E I mIQ

E

Procedimiento Para Construir La Curva: Partimos de que max4,44 . . .E N f A B y

mImH l

N ; entonces: max4,44 . . ( . )m mQ E I f l A B H

El peso del ncleo, considerando como el peso especfico, ser:

. .nW l A , luego max4,44. ( . )mf B HQ

Peso en: VAR

Libra VAR

Kg

Adems maxm

BH

, o sea Hm est en funcin de Bmax, entonces Q/peso depender de

Bmax y la frecuencia f. Veamos: 2

max4,44( )BQ

Peso