Algunos temas importantes tales como armónicos, saturación, desequilibrios, limitaciones de

diseño, ensayos de laboratorio, estimación paramétrica y valores esperados se han incluido a

través de todo el texto.

Quisiera terminar el prefacio a la presente edición agradeciendo a los innumerables colaborado-

res que han contribuido con su realización durante todos estos años, especialmente a las genera-

ciones de ingenieros electricistas que permanente, entusiasta y desinteresadamente han revisado,

discutido y hecho sugerencias sobre todos los temas desarrollados. Desde su primera publica-

ción en Internet en el año 2002, han incrementado notablemente los comentarios y propuestas

que han ido enriqueciendo el material. También quiero agradecer al profesor José Restrepo por

su invaluable ayuda con la edición del libro en LATEXy al profesor Alexander Bueno por el gran

apoyo que me ofreció en todo momento.

Prof. José Manuel Aller

Valle de Sartenejas, 2007

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Parte I

Fundamentos generales de las máquinaseléctricas

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CAPÍTULO I

Conversión de energía eléctrica

En la historia del desarrollo de la humanidad se han buscado muchas fuentes de energía para mo-vilizarse, construir viviendas, arar, segar, procesar los alimentos e iluminar. Hombres y bestiasfueron las primeras fuentes de energía, incluso la esclavitud fue ampliamente justificada durantemilenios con esta finalidad. La leña y el carbón desempeñaron un papel protagónico durante larevolución industrial, con la invención de la máquina de vapor. El desarrollo de la electricidad afinales del sigloXIX permitió el desarrollo de la industria moderna y requirió la conversión dediversas fuentes de energía en energía eléctrica y viceversa. En la actualidad el desarrollo de laelectrónica y en especial de la electrónica de potencia, permite el control efectivo y eficiente delos procesos de conversión de energía eléctrica.

En este capítulo analizaremos los conceptos fundamentales involucrados en la conversión deenergía, los principios básicos que permiten la conversión electromecánica de energía y las téc-nicas matemáticas para analizar el comportamiento de los convertidores electromecánicos deenergía.

I.1 CONCEPTOS BÁSICOS

La energía es uno de los conceptos más importantes en el estudio de las máquinas eléctricas.La energíaes la capacidad de realizar un trabajo. La energía se presenta en la naturaleza endiferentes formas. El objetivo de las máquinas eléctricas consiste en convertir la energía de unaforma en otra.

En la tabla 1.1 se presenta un resumen de lasdensidades de energíaque pueden ser almacenadasen diversos procesos físicos.

Se puede observar que los sistemas eléctricos y magnéticos no son buenos acumuladores deenergía porque las máximas densidades de energía que se pueden obtener con los materiales

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

1. Gravitación(100m) 0,0098 MJ/kg2. Energía Cinética(5.000rpm) 0,053 MJ/kg3. Campo Magnético(2Wb/m) 0,0016 MJ/litro4. Campo Eléctrico(6,5MV/m) 0,006 MJ/litro5. Batería de plomo ácidoPb+2O→ PbO2 0,16 MJ/kg6. Calor de reacción del combustible fósil 44 MJ/kg7. Calor de combinaciónH +H → H2 216 MJ/kg8. Energía de Ionización 990 MJ/kmol9. FisiónU235 83.000 MJ/kg10. FusiónDeuterio+Tritio → He+17,6MeV 340.000 MJ/kg

Tabla 1.1Densidades de energía que pueden ser almacenadas en diversos procesos físicos

existentes en la actualidad, son relativamente pequeñas al compararse con la energía por unidadde peso que puede ser almacenada en una batería o en los combustibles fósiles. Por esta razónes necesario realizar laconversiónelectromecánica de la energía para obtener energía eléctricaen grandes cantidades. La conversión electromecánica de energía permite transmitir, consumir,modificar o transformar la energía electromagnética de una forma en otra, pero no es posiblealmacenarla en grandes cantidades1.

El segundo concepto físico importante en los fenómenos de conversión de energía es lafuerza.La fuerza se manifiesta en un sistema físico mediante la presencia deinteraccionesentre lamateria. Aun cuando parece que las fuerzas pueden ser de muy diferentes formas y tipos, seconocen en la actualidad sólo cuatro fuerzas:

1. Interacciones gravitacionales entre masas (gravitones)

2. Interacciones eléctricas entre las cargas (electrón-protón-fotón)

3. Interacciones nucleares débiles (bosones intermedios)

4. Interacciones nucleares fuertes (protón-neutrón-pión)

Si se asocia a las fuerzas nucleares fuertes de cohesión protón-protón por intercambio de pionesentre protones y neutrones el valor unitario, las interacciones nucleares débiles de las partículasnucleares con rareza se encuentran en el orden de 10−14. Las fuerzas gravitacionales se en-cuentran, en la misma base de comparación, en el orden de 10−37. Las fuerzas de atracción yrepulsión de cargas eléctricas por intercambio de fotones están en el rango de 10−2.

El tercer concepto básico es el decampo. La palabra campo posee la interpretación geométricade extensión, superficie o espacio. Sin embargo, en física el concepto de campo consiste en ladescripción del espacio donde se produce algún tipo de fuerza. El campo gravitatorio es la zonadel espacio donde una masa ejerce su influencia atrayendo a otras masas. Elcampo eléctricose define exactamente igual, pero considerando las interacciones entre lascargas eléctricas. Elcampo magnéticose define a través de las fuerzas entredipolos magnéticos. La medición deun campo se realiza colocando en un punto del espacio una partícula de prueba (masa, carga o

1 Existen algunas excepciones como pueden ser los voltímetros electrostáticos y ciertos sensores de posición queutilizan el campo eléctrico en el proceso de conversión de energía.

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I.1 Conceptos básicos

dipolo magnético) y se mide la fuerza ejercida sobre ella. El cociente entre la fuerza en dichopunto y la magnitud de interés de la partícula es la intensidad del campo en el punto. Por ejemplo,si en un punto en la superficie de la tierra se mide la fuerza de atracción gravitatoria sobre lamasa de prueba m, el dinamómetro indicaráF = mg, dondeg es la aceleración de gravedad enel punto donde se realiza la medida, y su dirección apunta hacia el centro de la tierra. El campogravitatorio es el cociente entre la fuerza y la masa. En otras palabras la aceleración de gravedaden cada punto determina el valor de la intensidad del campo gravitatorio. De igual forma, elcampo eléctrico es el cociente entre la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada, y el valor dela carga de esa partículaE = F

q .

Para el fenómeno eléctrico se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas en función del campoeléctricoE y el campo magnéticoB de un sistema dado. Esta ecuación de equilibrio se conocecomorelación de Lorenz:

F = q(E+v×B) (1.1)

Donde:

F es el vector de la fuerza resultante sobre la partícula cargada

q es la carga eléctrica de la partícula

E es el vector intensidad del campo eléctrico

v es el vector velocidad

B es el vector densidad de campo magnético

Figura 1.1 Carga eléctrica en un campo eléctrico

En la ecuación 1.1 todas las cantidades vectoriales deben estar referidas a un sistema de re-ferencia único. Además, el campo eléctricoE y el campo magnéticoB deben ser producidosexternamente a la cargaq. Para que ocurra una interacción electromagnética sobre la cargaqes necesaria la existencia de otras cargas. La figura 1.1 ilustra esta idea. En el punto que ocupala cargaq, el campo eléctricoE1 se debe a las otras cargas presentes en el sistema y no a símisma. En estas condiciones existe una interacción eléctrica entre la carga puntualq y el campoeléctricoE1 producido por las cargas distribuidas en las dos placas.

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

En un convertidor electromagnético de energía es necesario analizar el mecanismo de creaciónde campo eléctricoE y magnéticoB. Para este fin se recurre a lasecuaciones de Maxwelly a lascondiciones de contorno impuestas por el equipo.

Para determinar la solución del campo electromagnético, se parte de las siguientes premisas:

1. Las partículas eléctricasq se desplazan en campos eléctricosE y magnéticosB.

2. Estos campos son producidos externamente a las cargas, por otras partículas cargadas.

Con las premisas anteriores, lasleyes de Maxwellexpresadas en su forma diferencial para unpunto cualquiera del espacio son:

∇×E = −∂B∂ t

(1.2)

∇×H = J+∂D∂ t

(1.3)

∇ ·E = ρ (1.4)

∇ ·B = 0 (1.5)

Y las relaciones constitutivasdebidas al medio material:

B = µH (1.6)

D = εE (1.7)

J = σE (1.8)

Dondeµ, ε y σ pueden ser tensores que dependen del tipo de material y orientación, pero queen los casos más simples son cantidades escalares.

Las ecuaciones 1.2 a 1.5 se pueden escribir en forma integral:

∮

LE ·dl = − ∂

∂ t

∫

SB ·dS (1.9)

∮

LH ·dl =

∫

SJ ·dS+

∂∂ t

∫

SD ·dS (1.10)

∮

SD ·dS=

∫

Vρv ·dv (1.11)

∮

SB ·dS= 0 (1.12)

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I.1 Conceptos básicos

En general, cuando se analizan casos prácticos de los convertidores electromecánicos de ener-gía, la variación de la densidad del campo eléctricoB con respecto al tiempo es despreciablecomparada con ladensidad de corrienteJ. Este término representa las corrientes capacitivasdebidas a las variaciones del campo eléctrico y se conoce comocorrientes de desplazamiento.Las corrientes de desplazamiento son importantes cuando el campo eléctrico es muy intenso2 ocuando su variación es muy rápida3. Ninguna de estas condiciones es frecuente en las máquinaseléctricas convencionales en condiciones normales de operación.

Para resolver las ecuaciones de Maxwell en un problema concreto, se define a las corrientescomo las variables independientes. A partir de ellas se calcula el campo magnéticoB con lasecuaciones 1.3 y 1.5, el campo eléctricoE de la ecuación 1.2 y las fuerzas electromotrices porintegración lineal del campo eléctrico en la trayectoria de interés. Las condiciones de contornodel sistema físico relacionan las fuerzas electromotrices con las corrientes que han sido previa-mente consideradas como variables independientes. Este proceso de cálculo se utilizará en elpróximo capítulo para obtener el modelo de un sistema electromecánico simple, pero es total-mente general. La ecuación 1.4 no se utiliza en este análisis ya que se supone que en el mediono se encuentran disponibles cargas libres, es decir la densidad de cargaρ es cero.

Figura 1.2 Efecto del cambio del sistema de referencia sobre el campo eléctrico

En la figura 1.2 se ilustra un par de conductores idénticos. El primero se desplaza a una velo-cidadv diferente de cero, en la presencia de los camposE1 y B1. En el segundo conductor elobservador se mueve a la misma velocidadv y considera por esta razón que el conductor está enreposo. En esta condición el observador detecta el campoE2.

Si se introduce una partícula en cada uno de los conductores anteriores cuya carga esq1, en elprimer sistema la fuerza sobre la partícula, de acuerdo con la relación de Lorenz 1.1, es:

F1 = q1(E1 +v×B1) (1.13)

Si la velocidad es constante, las fuerzaF1 es nula y de la ecuación 1.13 se deduce:

E1 = −v×B1 (1.14)

2 Alta tensión.3 Alta frecuencia.

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Figura 1.3 Conductor en movimiento en presencia de campos eléctricos y magnéticos

En el sistema II, como la velocidad relativa es cero, el observador sólo puede atribuir la fuerzaactuante sobre la partículaq1 al campo eléctricoE2:

E2 =F2

q1(1.15)

Como los conductores son idénticos en los dos sistemas, a excepción de su sistema de referencia,se puede establecer la transformación de Lorenz mediante las expresiones 1.13 y 1.15, debido aqueF1 = F2:

E2 = E1 +v×B1 (1.16)

La ecuación 1.16 permite calcular el campo eléctrico equivalente de unsistema de referenciaso-lidario a los conductores del convertidor electromecánico de energía, conociendo vectorialmenteel campo eléctrico y el campo magnético, del sistema fijo y externo al conductor.

En la figura 1.3 se ha esquematizado un segmento conductor al cual se le aplica entre sus ex-tremos el campo eléctricoE. El circuito se encuentra inmerso en un campo magnético uniformeB. La densidad de corrienteJ que circula por el conductor depende de la superposición de loscampos eléctricos aplicados sobre él y de la conductividadσ del material, según la relaciónconstitutiva 1.8, también conocida como ley de Ohm:

J = σE = σ(

Eaplicada−Einducida)

(1.17)

El campo eléctrico producido por el movimiento del conductor a la velocidad v en un campomagnético B se calcula según la ecuación 1.14, y por lo tanto la expresión 1.17 queda:

J = σE = σ(

Eaplicada−v×B)

(1.18)

La expresión anterior determina la densidad de corrienteJ por el conductor. Una vez conocidala densidad de corriente se puede evaluar el campo eléctrico o magnético en cualquier punto del

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