MARCO TEORICO

6.1. Medidas de la gravedad.La gravedad en la tierra puede ser medida como mínimo de cuatro formas diferentes:(1) Mediante la caída libre de una carga testigo. (2) También mediante la oscilación de un péndulo en libre oscilación. (3) Mediante el análisis de la oscilación de una masa pareja a un muelle. (4) Bien mediante el análisis de las oscilaciones de una masa testigo solidaria a una fi-

bra.

Los principios físicos que rigen las medidas de estos fenómenos son bastante simples, no podemos decir lo mismo del diseño de los aparatos para cuantificarlos y obtener una me-dida del evento lo suficientemente buena como para que tenga una eficacia técnica, y una precisión del valor de la gravedad acorde con el trabajo a realizar. Actualmente debido a la alta precisión con que se realizan los cálculos en cualquier trabajo de gravimetría, y de-bido a la tecnología que se utiliza y el destino que va a tener, independientemente de el campo de aplicación (ya sea prospección o la geodesia física) se hace recomendable tra-bajar con una precisión de entre 10 y 100 μGal. Otra característica que se le debe pedir a un gravímetro es que el diseño del mismo permita la portabilidad, ya que en otro caso este gravímetro sería inútil, excepto para centros de investigación o estudios especiales. También hay que considerar que el tiempo empleado para obtener una medida de la gravedad se halle en un periodo razonable. Todo estos re-querimientos hace que el diseño de un gravímetro, a pesar de la simplicidad de los princi-pios físicos en que se basan, sea complicado si se tienen que cumplir todos los requerim-ientos vistos.

6.2. Medidas en caída libre.Supongamos que una pequeña masa testigo es abandonada al vacío desde una posición fija. La atracción gravitacional de la tierra g produciría que dicha masa se precipitase al vacío realizando una trayectoria de x m en un tiempo t, según la conocida ecuación:

Ésta fórmula establece que el valor de la gravedad se determina midiendo, t el tiempo de caída del objeto, y x la distancia recorrida. En el supuesto de que esta masa fuese lan-zada desde un metro de altura tardaría en recorrer dicha distancia algo menos que medio segundo lo cual estaría indicando una aceleración aproximada de 980 gals, en el caso que nos encontremos sobre la superficie terrestre.

Generalmente no se conoce con precisión la posición inicial de la masa en caída libre ni el tiempo exacto de despegue, esto hace obligatorio la toma de al menos tres medidas de tiempo t y de la posición de la masa x, ya que (6.1) pasa a (6.3)

En estas medidas la precisión de la distancia y del tiempo debe ser muy alta. Si en

despejamos la aceleración y la obtenemos en función de t y x se obtiene

Que aplicando la ley de propagación de errores se resuelve (Torge1989).

Esto implica que para obtener una medida de g con precisión de 0.1 mgal se hace nece-sario medir la distancia con una precisión de 10-5 cm, y el tiempo debería ser medido con una precisión cercana a los 10-8 s. Ésta precisión en las medidas no fue posible hasta pasados los 60 cuando la tecnología electrónica y el láser permitieron dichas operaciones. Otro factor a tener en cuenta es que la gravedad no es homogénea, o lo que es lo mismo la aceleración no es constante debido a que un cambio de posición implica un cambio en los valores de la gravedad, quiere decir esto que conforme el objeto descienda los valores de la gravedad van en aumento como hemos visto en el tema 4 (reducción aire-libre), la corrección se puede encontrar en Torge, 1989 y en Cook, 1965.

Otros factores a tener en cuenta en la medición de la gravedad por caída libre es el efecto producido por la fricción de la atmósfera y los movimientos del suelo, eventos que alteran la medición y las condiciones de caída. La fricción atmosférica depende del material, forma y de la velocidad de caída, del cuerpo y de la densidad de la atmósfera. Normal-mente bajo condiciones atmosféricas estándar se obtiene una precisión en la medida de los valores de la gravedad de 10-3 g, lo cual implica una precisión muy baja. En condi-ciones de vacío la fricción de la atmósfera se ve disminuida, las partículas de la atmósfera se comportan como partículas simples, oponiendo estas partículas una fuerza a la caída de la masa de forma lineal, lo cual posibilita el cálculo de esta fuerza de resistencia. Exis-ten diferentes métodos para reducir los efectos de la presión atmosférica. Una es la medi-ción en cámaras de alto vacío, siendo este proceso muy costoso y puede provocar inter-ferencias sobre los sistemas de medida. Otra solución es la de establecer cámaras de vacío controladas por un servo, a través del cual posteriormente se calcula el efecto provocado por la atmósfera.El efecto provocado por microsismos tiene una repercusión sobre los sensores ya que les produce un movimiento o lo que es lo mismo una aceleración la cual se traduce en unas medidas de la aceleración erróneas. La forma de evitar este error es, mediante la real-ización de series de medidas, o bien mediante la inclusión en el proceso de medidas de un sismómetro o acelerógrafo que registre las aceleraciones y eliminarlas de las medidas Torge,1989.

Veamos un diseño de estos tipos de gravímetros basados en la caída libre de una masa, el cual ha sido confeccionado mediante dos prisma de reflexión troncocónicos (fig.6.1.). Elgravímetro expuesto en fig 6.1 opera de la siguiente forma. El haz láser es emitido por un diodo láser el cual se ve escindido en dos haces en la lente de escisión mediante un par-tidor (beam splitter), tomando cada haz una dirección perpendicular entre ellos, uno toma la dirección hacia un prisma móvil superior y el otro haz una dirección hacía el prisma es-tático. Ambos haces sufren reflexiones internas en ambos primas volviendo a ser fundidos finalmente en un nuevo haz de determinadas características. Debido al diferente recorrido de los haces (conviene recordar que la luz láser es una luz coherente en longitud y fase, el desfase de ambos haces produce un patrón diferente de brillo), cuando de nuevo se vuelven a fundir los dos haces en un mismo haz, genera un nuevo haz con unas carac-terísticas diferentes al primero (por lo que se refiere a patrón de brillo). Ésta composición diferente determina unas características de brillo en el haz, y será cambiante en el tiempo ya que el prisma superior sometido a una caída libre va cambiando su posición. Esto provoca en el haz resultante una variación del brillo, dichas variaciones de brillo (Luz, no Luz) una vez contadas, nos permite obtener la distancia recorrida por el prisma y el tiempo tardado en recorrerlo, este conteo se realiza mediante un sistema contador y multi-plicador.Este tipo de medición se realiza en unas condiciones medioambientales estrictamente controladas. Las medidas se realizan en una cámara al vacío. Como cualquier pequeño micromovimiento del suelo puede producir errores es necesario que el experimento sea repetido en varias ocasiones, usualmente en este tipo de gravímetros la repetición es del orden de unas 50. La instrumentación montada debe ser manejada con un gran cuidado. A pesar de que este instrumento puede ser desmontado para su transporte el montaje re-quiere de una gran precisión y de una calibración, lo cual revierte en un gran consumo de tiempo.

Estos tipos de aparatos proporcionan valores absolutos de la gravedad. Otros tipos de aparatos fundamentados en el mismo principio miden el movimiento de un objeto en libre caída mediante un interferómetro láser. Otro tipo de gravímetro tiene perfectamente me-dido la distancia entre dos haces de luz, entre los cuales en un momento dado se halla una masa en movimiento afectada por la fuerza de la gravedad, midiendo este aparato el tiempo que tarda en recorrer la masa dicha distancia. Aunque este principio fundamental de la medida del tiempo de caída de un objeto, da muchas posibilidades a la hora de dis-eñar un gravímetro, en ningún caso es posible construir en la actualidad un gravímetro portátil bajo estas premisas, con lo cual estos instrumentos tan especiales se suelen hallar en centros para el control de los valores de la gravedad. Para resolver valores de la gravedad en ubicaciones diferentes a estas se opta generalmente por medir los incremen-tos del valor de la gravedad entre estos puntos y los puntos de los cuales se quiere re-solver la gravedad, ya que esta operación se puede realizar con aparatos con una alta portabilidad en comparación con los gravímetros que dan los valores absolutos de la gravedad, como veremos en las siguientes secciones.

6.3 Medidas con péndulo.

6.3.1. Medidas absolutas de la gravedad.Se entiende como péndulo al dispositivo compuesto por una masa de libre oscilación so-bre un eje estático. El péndulo matemático es un punto material que oscila suspendido en un hilo inextensible y sin peso, este péndulo es ideal ya que no se puede construir.

Apartamos el péndulo de su posición de equilibrio A, trasladandolo a B y el péndulo de-bido a su tendencia de adquirir su posición de mínima energía potencial alcanza de nuevo A. Debido a la energía potencial suministrada al colocarlo en B (mgh) esta se convierte en energía cinética, la cual empuja a la masa a C, convirtiéndose esta de nuevo en energía potencial. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso (mg), que puede descom-ponerse en dos componentes, una de ellas tangente a la trayectoria

Indicando el signo menos que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento angularPodemos aproximar (6.6) por

Se demuestra que el periodo de oscilación de un m.v.s se obtiene por (Burbano, 1984)

Siendo M la masa del péndulo y K la constante de la fuerza que provoca el movimiento del péndulo. Para el caso que estamos estudiando K se puede considerar en (6.7) que se puede aproximar por

Que aplicado a (6.8) obtenemos finalmente un periodo para el péndulo de

Se conoce como periodo del péndulo al tiempo requerido por la masa en suspensión para realizar un ciclo completo (partida de una posición determinada y llegada de nuevo al mismo punto). La ecuación que establece la relación entre los valores de la gravedad y el periodo del péndulo físico, ya que el matemático es imposible resolver su construcción:

Donde m es la masa del péndulo I es el momento de inercia respecto el punto de suspen-sión (el sumatorio de las masas por la distancia al cuadrado respecto de un eje) h es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa. Tras una conveniente reorde-nación obtenemos que:

Conociéndose K como la constante del péndulo. Observando el periodo del péndulo se re-suelve el valor de la gravedad según (6.12). El problema es que hasta la fecha nadie ha podido determinar con suficiente precisión la constante del péndulo K, para poder resolver los valores de la gravedad con una precisión mayor a 0.1 mgals. Esto implica que nos podemos encontrar con el caso de dos instrumentos construidos de la misma forma, y sin embargo obtener en ambos, valores de la gravedad diferentes, no existiendo forma de re-solver cual de los dos da un valor de la gravedad más exacto.

6.3.2. Medida relativa de los valores de la gravedad.

Aun así, los péndulos han demostrado una auténtica utilidad para medir incrementos en los valores de la gravedad (∆g), entre diferentes puntos. Para este último propósito parti-mos de la asunción de un valor de K constante, este, teóricamente es el mismo mientras no cambiemos el péndulo y no varíen las condiciones físicas del entorno. Por ello tan solo

conociendo el valor del periodo de oscilación del péndulo se puede resolver el ∆g a partir de (6.12):A pesar de tener un valor de K impreciso los valores relativos de

La gravedad se pueden obtener con una precisión buena. Cuando se miden los valores de la gravedad en dos puntos diferentes con el mismo péndulo y bajo las mismas condi-ciones físicas el error cometido en la medida de la gravedad es el mismo y con el mismo signo, bajo esta suposición el valor del incremento de la gravedad será más preciso que el valor absoluto de la gravedad. Algunos péndulos trabajan con una precisión en g de 20 mgal y en ∆g de 0.1 mgal.Los péndulos portátiles fueron usados con fines prospectivos durante los años 30. Un ejemplo práctico de péndulo es el que se muestra en la figura 6.2., en este la función de péndulo la realiza una varilla de cristal suspendida por un soporte de cuña, el cual des-cansa sobre dos planos de cristal solidarios a una pesada y consistente basada. El peri-odo de estos tipos de péndulos es ligeramente menor a un segundo. Durante los procesos de medición mediante péndulo se observó que la oscilación de un péndulo simple pro-ducía ciertas vibraciones en los soportes, lo cual producía alteraciones en el periodo natu-ral del péndulo, por lo cual se optó por fabricar péndulos opuestos, los cuales podían ser ajustados para provocar exactamente el mismo periodo de oscilación, lo cual reducía en gran medida las vibraciones provocadas por la oscilación del péndulo.

Los péndulos suelen funcionar bajo condiciones termoestables para evitar expansiones térmicas y cambios de presión, por la misma razón suelen ir montados en cámaras de vacío y controladas termostaticamente. Las operaciones previas para realizar las medidas de gravedad con un péndulo son, la nivelación del instrumento, comprobación del vacío, de los relojes, y de la temperatura, en definitiva una medición de la gravedad suele tardar del orden de una hora como mínimo, y usualmente el registro que se obtenía quedaba gravado en un registro fotográfico, que después mediante un recuento de ciclos y con la medida del tiempo total se obtenía el valor del periodo.