Mariano Crist obal Franco de Le on. Tesis · Tambi en ser a de nuestro inter es estudiar la imagen...

Mariano Cristobal Franco de Leon.

Tesis

1o de Junio de 2010

Sinodales:

Dr. Omegar Calvo Andrade.

Dr. Arturo Ramırez Flores.

Dr. Luis Hernandez Lamoneda.

1

-Aqui todos estamos locos-, dijo el Gato Cheshire. -Yo estoy loco. Tu estas loca.

-¿Como sabes que yo estoy loca?, pregunto Alicia.

-Tienes que estarlo-afirmo el gato Cheshire-o no habrıas venido aquı.

Lewis Carroll.

2

Agradecimientos.

Quiero agradecer especialmente a mi madre, por todo su apoyo, consejos

y ensenanzas.

A la comunidad CIMAT-DEMAT por brindarme un ambiente adecuado

para mi desarrollo profesional y personal. Por ensenarme ciencias exactas y

ocultas.

Al signo ?, a la duda, la respuesta, la locura, la incoherencia, a la planta

y a la vida.

3

Indice general

1. Introduccion. 6

2. Grupos Cristalograficos 8

2.1. Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Notacion [,]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Elementos [v, α] como subconjuntos [v, α]∗ ⊂ E2 . . . 19

2.3. Simetrıa y Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Motivacion de grupo cristalografico. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1. Definicion de Grupo Cristalografico . . . . . . . . . . . 26

2.5. Grupos discontinuos sin traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Grupos discontinuos con traslaciones . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Restriccion Cristalografica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8. Teselacion Canonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9. Ejemplos de Grupos Cristalograficos . . . . . . . . . . . . . . 38

2.10. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.11. Clasificacion, caso que preserva orientacion. . . . . . . . . . . 45

2.11.1. Γ1, Teselacion Toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.11.2. Γ2, Teselacion S2222. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.11.3. Γ4, Teselacion S442. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.11.4. Γ3, Teselacion S333. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.11.5. Γ5, Teselacion S632. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.12. Conjugar traslaciones por reflexiones . . . . . . . . . . . . . . 52

4

2.13. Los casos que invierten orientacion. . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.13.1. Hijos del Toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.13.2. Hijos de S2222. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.13.3. Hijos de S442. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.13.4. Hijos de S333. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.13.5. Hijos de S632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.13.6. Teorema de clasificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3. Dominios fundamentales 81

3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2. Definicion de dominio fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3. Cociente D/G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4. Polıgono de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5.1. Dominios con G+ equivalente a Γ1. . . . . . . . . . . . 96





A. Orientacion y propiedades de Isometrias. 111

A.1. Orientacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.2. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B. Patrones en una sola direccion(T=Z.) 117

C. Topologıa de cocientes E2/G. 121

Bibliografia 124

5

Capıtulo 1

Introduccion.

La idea de trabajar en el tema de esta tesis surgio en el punto intermedio

de dos cosas que atraen mi atencion en gran manera que son las matematicas

y la pintura.

Figura 1.1: Angeles y Demonios

M.C. Escher, uno de mis artistas favoritos, realizo tallando sobre madera

en 1960 su obra “Angeles y Demonios”(ver figura 1.1). Cuando vi este dibujo,

6

las primeras palabras que saltaron a mi mente fueron simetrıa y matemati-

cas. “Angeles y Demonios” se encuentra disenada en un modelo del plano

hiperbolico, conocido como el disco de Poincare. En este trabajo estudiare-

mos las matematicas detras de estos disenos llamados teselaciones, pero en

un modelo mas intuitivo y no por eso trivial, el Plano Euclidiano.

La primer manera de pensar en una teselacion A ⊂ R2 es con los llamados

grupos cristalograficos. Cuando nos encontramos con este tipo de disenos es

muy notoria la simetrıa, pero es una simetrıa especial. Matematicamente, a

cada teselacion se le puede asignar un subgrupo G de isometrias del plano.

Este grupo es el grupo de simetrıas de A en el sentido de que G(A) = A.

De esta manera el primer capıtulo estudiaremos la estructura de grupo que

envuelven estos disenos.

Una caracterıstica de las teselaciones es la repeticion de una misma figura

sobre el plano bajo la accion de G. Podemos pensar que R2 es un rompecabe-

zas que se arma con piezas identicas entre sı. Esta pieza o figura denominada

dominio fundamental queda definida por la accion de G en R2. No todos

los grupos de isometrias son capaces de generar disenos “bonitos” visual-

mente, hay que imponer condiciones sobre G a manera de que el dominio

fundamental tenga propiedades deseables como conexidad, convexidad, area

finita y no cero. Ası el segundo capıtulo esta orientado al estudio de dominios

fundamentales.

Un grupo cristalografico sera aquel generado por una teselacion con do-

minio fundamental “bonito”. Podemos pensar en la idea de partir R3 en

dominios fundamentales. En este caso, existen en la naturaleza cristales que

cuentan con la forma de dominio fundamental para cierto grupo cristalografi-

co que actua en R3, de aquı la terminologıa de “cristalografico”.

7

Capıtulo 2

Grupos Cristalograficos

La definicion de grupos cristalograficos involucran a subgrupos de isome-

trias. En este capıtulo definiremos y clasificaremos las isometrias del plano.

En nuestro caso, la operacion de grupo en G es la composicion. De este modo,

tambien vamos a analizar como se componen entre sı las isometrias a manera

de entender la estructura de grupo, estas ideas estan basadas en [1], [2].

No cualquier grupo de isometrias del plano es apto para dar origen a una

teselacion, la condicion especial para que un grupo de isometrias de origen

a una teselacion es que dicho grupo actue discontinuamente en R2 y que

el cociente R2/G sea compacto, estas condiciones aseguran de hecho que el

dominio fundamental es un polıgono conexo, convexo, de area finita y no cero

(ver capıtulo 3).

Veremos que los subgrupos discontinuos de isometrias G contienen un

subgrupo discontinuo de traslaciones T ⊂ G que puede ser isomorfo a Id,Z,

o Z + Z.

En el caso T = Id los grupos discontinuos se clasifican en cıclicos o dihe-

dricos, que son bien identificados con grupos de simetrıas rotacional de orden

n y las simetrıas de polıgonos regulares con 2m lados. En el caso T = Z los

grupos discontinuos se identifican con isometrias de patrones en una sola di-

reccion, un buen ejemplo son la huellas que dejamos en la arena al caminar.

8

En estos dos primeros casos el cociente E2/G no es compacto.

Finalmente en el caso T = Z + Z, sus generadores son linealmente inde-

pendientes y el cociente R2/G es compacto y por tanto G cristalografico.

La clasificacion de grupos cristlograficos se basa en el hecho de que po-

demos escribir G = G+ ∪ ρG+, donde G+ es el subgrupo de G de isometrias

que preservan orientacion, ρ ∈ G, ρ /∈ G+. Luego clasificamos los posibles G+

a partir de un resultado conocido como la restriccion cristalografica. Dicho

resultado asegura que los unicos angulos posibles para una rotacion σ ∈ Gson π, π/2, 2π/3, π/3. Finalmente se estudia la compatibilidad de un nuevo

generador ρ a la estructura de grupo que tiene G+ y clasificamos ası los casos

que invierten orientacion.

2.1. Isometrias

En esta seccion analizaremos la estructura de Iso(E2), construiremos sus

elementos y probaremos un teorema de clasificacion de isometrias.

NOTACION 2.1.1.

E2 := R2 = C.

Es importante senalar que usaremos la identificacion natural entre (x, y) ∈R2 y x+ iy ∈ C, pues resulta muy facil entender y operar(componer) isome-

trias por medio de esta identificacion. Trabajaremos con la metrica usual d

inducida por el producto escalar de E2, es decir, para (x1, y1), (x2, y2) ∈ E2

d((x1, y1), (x2, y2)) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 = ||(x1, y1)− (x2, y2)||,

‖ . ‖ representa la norma estandar.

Definicion 2.1. Una Isometria del plano es una funcion

f : E2 → E2

9

que preserva distancias entre los puntos, i.e.

d(f(z1), f(z2)) = d(z1, z2) ∀z1, z2 ∈ E2.

NOTACION 2.1.2. El conjunto de isometrias de E2 es:

Iso (E2) = f : E2 −→ E2 | f es isometrıa de E2.

Observacion 2.2. Iso(E2) es un grupo bajo la composicion de funciones.

NOTACION 2.1.3. En este trabajo G sera subgrupo de Iso(E2), de modo

que la accion sobre z ∈ E2 de g ∈ G esta dada por

z → g(z),

cuando escribamos

g2g1(z)

nos estaremos refiriendo a la imagen g2 g1(z).

Tambien sera de nuestro interes estudiar la imagen de un punto bajo los

elementos de G ⊂Iso(E2), formalmente:

Definicion 2.3. Sea z ∈ E2, G ⊂Iso(E2), entonces la orbita de z es

Gz = g(z) ∈ E2 | g ∈ G.

Comencemos estudiando las reflexiones por una recta, resultan ser un tipo

de isometrıa bastante sencillo e importante ya que estas generan cualquier

isometrıa.

La recta l que pasa por p en direccion de v 6= 0 esta definida como:

l = p+ tv | t ∈ R2 = z ∈ R2 | (z − p) ·N = 0.

Aquı N es un vector ortogonal a v, por comodidad sera unitario.

10

ρ(A)

l

A

Figura 2.1: Reflexion.

Definicion 2.4. La reflexion ρ por una la recta l sera

ρ : E2 → E2

ρ(z) = z + 2N [(p− z) ·N ] = z − 2N [z ·N − p ·N ].

Observacion 2.5. Hay varias cosas que notar acerca de las reflexiones.

Cuando la recta l es el eje x se tiene que

ρ(x1, y1) = (x1,−y1)

El promedio de z y ρ(z) esta en l.

1

2(ρ(z)+z) ∈ l, pues ((

1

2(ρ(z)+z)−p)·N) = z+N(p−z)·N−p·N = 0.

ρ2 = 1, pues

ρ ρ(z) = ρ(z) + 2N [p− ρ(z)] ·N = z.

11

ρ fija los puntos de l.

ρ deja invariantes las rectas ortogonales a l.

Como hemos dicho, probaremos que las reflexiones por rectas son sufi-

cientes para generar todas la isometrias Euclıdeas, para ello analizaremos la

composicion de reflexiones en dos casos: reflexiones a traves de rectas para-

lelas o rectas que se cortan.

Lema 2.6. Si ρ, ρ′ son dos reflexiones por las rectas paralelas l, l′, entonces

la composicion

ρ′ ρ

es una traslacion dos veces la distancia entre las rectas.

Demostracion. Supongamos que l es la recta por p1 en direccion de v, y l′

pasa por p2 en direccion de v. Podemos suponer que p1 se encuentra sobre la

misma perpendicular a l en la que se encuentra p2.

ρ′ρ(z)

l l′

λ

z

Figura 2.2: Traslacion

Sea λ > 0 la distancia entre l y l′,

λ = (p2 − p1) ·N.

De esta manera ‖ p1 + λN − p1 ‖=‖ λN ‖= |λ| es la distancia entre las

rectas l y l′, ver figura 2.2.

12

Ası tenemos que ρ′ ρ(z) = z + 2N(p2 − p1) · N = z + 2λN , de lo

cual concluimos que ρ′ ρ es una traslacion por 2 veces la distancia entre las

rectas l, l′, y en direccion perpendicular a ellas, es decir, direccion de N .

Continuando con nuestra discusion, analicemos el segundo caso en la com-

posicion de reflexiones

Lema 2.7. Sea ρ, ρ′ dos reflexiones, a lo largo de las rectas distintas l, l′ y

tales que l ∩ l′ 6= ∅ es un solo punto o, entonces

σαo = ρ′ ρ

es una rotacion con centro o y angulo 2α, donde α es el angulo de l a l′, ver

figura 2.3.

l′

αα

ol

Figura 2.3: Rotacion

Demostracion. Sea α el angulo de l a l′. Considera la rotacion σ−2αo , con

orientacion(ver orientacion A.1) contraria a la que tenga ρ′ ρ, notemos que

la orientacion esta definida para toda isometrıa, no estamos suponiendo que

ρ′ ρ sea rotacion. De esta forma:

σ−2αo ρ′ ρ de fijos los puntos de l,

luego por A.7 y el hecho de que σ−2αo ρ′ ρ preserva orientacion,

σ−2αo ρ′ ρ = Id

13

⇒ ρ′ ρ es una rotacion por dos veces el angulo α.

z

v

τv(z) = z + v

Figura 2.4: Traslacion.

Hemos visto que las traslaciones y rotaciones son generadas mediante la

composicion de reflexiones. Cada traslacion τ puede identificarse con el vector

v = τ(0), de modo que τ(z) = v+ z, ver 2.4. Ası, el conjunto de traslaciones

es

T = τv : E2 → E2 | τv(z) = z + v.

θ

yeiθy = z − o

σθo(z)

o

θ

z

Figura 2.5: Rotacion

14

Por otro lado una rotacion con centro o y angulo θ es

σθo(z) = o+ (z − o)eiθ,

como en figura 2.5. De esta manera el conjunto de rotaciones de E2 es

σ = σθo : E2 → E2 | o ∈ E2, θ ∈ [0, 2π).

2.2. Notacion [,].

Sea f ∈Iso(E2), decimos que f preserva orientacion si lleva una base

u, v orientada positivamente(segun la manecillas del reloj) en una base u′, v′

orientada positivamente, de lo contrario decimos que f invierte orientacion.

Veremos en apendice A.1 que la orientacion de una isometrıa esta bien de-

finida, es decir una isometrıa no puede preservar e invertir orientacion a la

vez. Ası

Iso(E2)+ = f ∈ Iso(E2) | f preserva orientacion .

Iso(E2)− = f ∈ Iso(E2) | f invierte orientacion .

Por corolarios A.11, A.13, sabemos que toda isometrıa que preserva orien-

tacion(ver orientacion A.1) se escribe como producto de exactamente dos

reflexiones ρ, ρ′. De esta manera Iso(E2)+ esta formado solamente de trasla-

ciones y rotaciones.

La siguiente notacion nos sera muy util por dos cosas: Sera facil hacer

cuentas y nos servira para identificar elementos Iso(E2)+ con subconjuntos

del plano para formar teselaciones.

NOTACION 2.2.1. [v, α] ∈ Iso(E2)+ denota una rotacion σα0 (α ∈ [0, 2π)),

seguido de una traslacion por vector v, ver figura 2.6, ası:

[v, α](z) = τv σα0 = v + zeiα.

15

zeiα

[v, α](z)

(0, 0)

z

v

Figura 2.6: Notacion [,].

Lema 2.8. Calculos sencillos demuestran que:

Toda traslacion τv se escribe como τv = [v, 0].

Toda rotacion σαo se escribe como σαo = [(1− o)eiα, α].

Dados los elementos [w, β], [v, α] ∈ Iso(E2)+, tenemos que

[w, β][v, α] = [w, β](v + ze(iα)) = [ve(iβ) + w, α + β],

[v, α]−1 = [−ve(−iα),−α].

De vuelta al grupo de traslaciones T , este forma un grupo conmutativo

bajo la composicion, pues dicha operacion se traduce como suma de vectores.

Veamos ahora que pasa con la composicion de dos rotaciones:

Lema 2.9. Sean σαo , σβo′ dos rotaciones, entonces

σ = σβo′ σαo

es una traslacion si α + β es multiplo de 2π. En caso contrario σ es una

rotacion por angulo α + β.

16

Demostracion. Componemos

σβo′ σαo = [−o′eiβ + o′, β][−oeiα + o, α]

= [−oei(α+β) + eiβ(o− o′) + o′, α + β]

= [−aei(α+β) + a, α + β],

con

a =o′ + eiβ(o− o′)− oei(α+β)

1− ei(α+β).

Es decir, si α+β no son multiplos de 2π (1−ei(α+β) 6= 0), entonces σβo′ σαoes una rotacion por angulo α + β alrededor de a.

Por corolario A.12, una isometrıa que invierte orientacion y deja puntos

fijos, es una reflexion. De esta manera, nos falta estudiar el caso en el que la

isometrıa invierte orientacion y no deja puntos fijos.

Definicion 2.10. Una reflexion con deslizamiento S a lo largo de la recta l,

es una traslacion τ por un vector paralelo a la recta l seguido de una reflexion

ρ a traves de l, es decir:

S = ρ τ.

Considera la reflexion con deslizamiento S, para todo z ∈ E2 se tiene que

z, S(z) equidistan desde lados opuestos al eje de reflexion l.

Como la recta esta en direccion de v, entonces τ(z) = z + rv, para algun

r ∈ R. Vemos que τ, ρ conmutan, pues

S(z) = ρ τ(z) = ρ(z + rv) = z + rv + 2N [(p− (z + rv)) ·N ]

= z + rv + 2N [(p− z) ·N ] = τz + 2N [(p− z) ·N ] = τ ρ(z).

Sabemos tambien que τ se puede escribir como producto de dos reflexiones

por rectas ortogonales a l, τ = R R′, entonces si

H = R ρ , y H ′ = ρ R′

17

podemos reescribir

τ = R R′ = R ρ ρ R′ = H H ′

S = ρ τ = ρ R R′ = H−1 R′

= τ ρ = R R′ ρ = R H ′−1,

ver figura 2.7.

Ası una reflexion con deslizamiento se puede expresar como producto de

tres reflexiones R R′ ρ, como producto de una rotacion por angulo π y

una reflexion R H ′−1 y como producto de una reflexion y una rotacion por

angulo π H−1 R′.

eje de R′

S(z)

z

l

S(z)

z

o o′

eje de R

Figura 2.7: Reflexion con deslizamiento

Con el siguiente lema probaremos que las isometrias ya estudiadas son

todas las isometrias de E2.

Lema 2.11. Sea s ∈ Iso(E2) tal que invierte orientacion y no deja puntos

fijos, entonces s es un reflexion con deslizamiento.

Demostracion. Sea z ∈ E2 y z′ = s(z), considera H la rotacion por angulo π

que intercambia dichos puntos. Como s invierte orientacion entonces H s es

una isometrıa que invierte orientacion y tiene z como punto fijo. Por corolario

A.14 la composicion es una reflexion H s = R, y s = H−1 R. Notese que

podemos elegir reflexiones r, r′ de modo que H−1 = r r′ y tal que r′ tiene

18

eje paralelo al de R. Como la rotacion H es por angulo π, entonces r tiene

eje perpendicular al de R, es decir, s es una reflexion con deslizamiento.

Como resultado de los lemas anteriores hemos llegado a la clasificacion

de isometrias que estabamos buscando:

Teorema 2.12. Sea f ∈Iso(E2), clasificamos f segun preserve orientacion

y deje puntos fijos como sigue:

Si f ∈ Iso(E2)+, entonces es producto de dos reflexiones. Si fija algun

punto fijo o, sera rotacion con centro o. Si no hay puntos fijos f es una

traslacion.

Si f ∈ Iso(E2)−, entonces se escribe como producto de 1 o 3 reflexiones.

Si hay puntos fijos es una reflexion, en caso contrario es una reflexion con

deslizamiento.

2.2.1. Elementos [v, α] como subconjuntos [v, α]∗ ⊂ E2

En esta seccion estudiaremos una identificacion que existe entre los ele-

mentos de un subgrupo G ⊂Iso(E2)+ con subconjuntos del plano que daran

origen a una teselacion. Estas ideas estan basadas en [3], [4].

Para esto, usaremos la identificacion natural que existe entre Iso(E2)+ y

E2 × S1(ε), donde, ε > 0 fijo y S1(ε) = z ∈ E2 | ||z|| = ε, el cırculo de

radio ε

[v, α] −→ (v, εeiα).

Ahora quiero identificar elementos (v, α) ∈ E2 × S1(ε), con “flechas” en

E2 de la siguiente manera:

Construiremos una flecha canonica Fε. El “cuerpo” de la flecha es el seg-

mento entre los puntos p0 = (0, 0), p = (ε, 0), la “punta” de la flecha es-

tara definida por tres puntos p1, p, p2, donde los segmentos entre p1, p y entre

p2, p miden ε/4 y ambos hacen un angulo π/13 respecto al cuerpo de la flecha.

19

p

σ12π/130 (ε/4, 0)

(ε/4, 0)

σ14π/130 (ε/4, 0)

ε

p1

p2

Figura 2.8: Puntos p, p1, p2.

Explıcitamente (ver figura 2.8):

p1 = [ε, 12π/13](ε

4, 0),

p2 = [ε, 14π/13](ε

4, 0),

p = (ε, 0)

y los segmentos de recta

l0 = pr | r ∈ [0, 1],

l1 = pr + (1− r)p1 | r ∈ [0, 1],

l2 = pr + (1− r)p2 | r ∈ [0, 1],

l2(0, 0)

ε

l0 l1

Figura 2.9: Flecha canonica.

20

Definicion 2.13. Dado ε > 0, flecha canonica es

Fε = lo ∪ l1 ∪ l2,

ver figura 2.9.

Definicion 2.14. Un versor [v, α]∗ es

[v, α]∗ = [v, α](Fε),

ver figura 2.10.

Observacion 2.15. Dado un versor [v, α]∗ ⊂ E2, y [u, β] ∈Iso(E2)+, enton-

ces

[u, β]([v, α]∗) = ([u, β][v, α])∗.

v

α

Figura 2.10: Versor [v, α]∗.

Lema 2.16. Si [v, α]∗ = [u, β]∗, entonces [v, α] = [u, β].

Demostracion. Por observacion 2.15, basta probar que si [v, α](Fε) = (Fε),

entonces [v, α] = [0, 0].

Evaluamos en los extremos de la flecha canonica

[v, α](0, 0) = v,

21

[v, α](ε, 0) = v + peiα.

Como [v, α] ∈Iso(E2)+, entonces el conjunto de extremos p = (ε, 0), p0 =

(0, 0) va en si mismo.

En el primer caso v = p0 y v + peiα = p, de donde α = 0, y entonces

[v, α] = [0, 0].

En el otro caso v = p y v + peiα = p0, de donde eiα = −1, y por lo

tanto α = π y [v, α] = [p, π]. En tal caso, al evaluar [v, α] en p1 ∈ Fε

obtenemos [v, π](p1) = [0,−π/13](ε/4, 0) que no es parte de Fε, lo cual es

una contradiccion y este caso no es posible.

2.3. Simetrıa y Grupos

Las teselaciones las entenderemos como subconjuntos del plano A ⊂ E2,

y tienen que ver con las isometrias de la siguiente manera:

Definicion 2.17. Una isometrıa f ∈ Iso(E2), se dice simetrıa del conjunto

A ⊂ E2, sı

f(A) = A

El conjunto de simetrıas de A forma un grupo con la composicion de

funciones:

ΓA := g ∈ Iso(E2) | g(A) = A.

Definicion 2.18. Sea A ⊂ E2, entonces ΓA es el grupo de simetrıas de A y

Γ+A := ΓA ∩ Iso(E2)+ es el grupo de simetrıas de A que preserva orientacion.

Ejemplo 2.19. Considera la reflexion ρ por el eje l. Sea A = A1 ∪A2 ⊂ E2,

donde A1 es el subconjunto que esta a la izquierda de l y A2 el que esta a

la derecha, ver figura 2.11. Claramente ρ deja invariante a A, pues ρ(A1) =

A2, ρ(A2) = A1, es decir, ρ ∈ ΓA y es la unica reflexion que deja invariante a

22

A1

l

A2

Figura 2.11: Simetrıa de espejo.

A. Si s reflexion con deslizamiento s2 es una traslacion, de modo que s /∈ ΓA.

Es claro que ninguna traslacion o rotacion dejan invariante a A, de donde

ΓA = 〈ρ, Id〉.

Ejemplo 2.20. El grupo de simetrıas de las flechas de la figura 2.12 esta ge-

nerado por una rotacion σ de orden 6 alrededor de o. Ası

ΓA = Γ+A = 〈σ〉, (cıclico de orden 6)

o

2π/6

Figura 2.12: Simetrıa Rotacional.

23

Definicion 2.21. Sea Pm un polıgono regular de m lados, entonces su grupo

de simetrıas D2m es el grupo diedrico de orden 2m.

Observacion 2.22. El grupo diedrico de orden 2m se puede generar con

una rotacion de orden m y una reflexion a traves de una diagonal de Pm.

Ejemplo 2.23. El grupo de simetrıas del hexagono de la figura 2.13 esta ge-

nerado por una rotacion σ de orden 6 alrededor de o, y una reflexion ρ por

la recta m. Ası

ΓA = 〈σ, ρ〉,Γ+A = 〈σ〉.

o

m

2π/6

Figura 2.13: Simetrıa diedrica.

2.4. Motivacion de grupo cristalografico.

Hemos visto que subconjuntos del plano dan lugar a un grupo G de isome-

trias, formado por las simetrıas del conjunto. Ahora analizaremos subgrupos

G ⊂ Iso(E2)+ que daran origen a disenos en el plano con simetrıa G.

NOTA 1. En los ejemplos de simetrıa con versores solo contaremos isome-

trias que preservan orientacion.

En los siguientes ejemplos vamos a construir un conjunto A de versores

tal que Γ+A = G.

24

[nu, 0][0, 0]

(−||u||, 0) (n||u||, 0)(||u||, 0)(0, 0)

...[−u, 0] [u, 0]

Figura 2.14: Versores generados por una traslacion.

Ejemplo 2.24. Sea τu(z) = z + u una traslacion y sea ε < ||u||, considera

el grupo G = 〈τu〉 = τnu | n ∈ Z. Al dibujar sobre el plano el conjunto

A =⋃n∈Z([nu, 0]∗) (ver figura 2.14), es claro que τnu(A) = A para toda

n ∈ Z. Por otro lado, una rotacion σαo 6=Id rota a la flecha canonica Fε por

un angulo α 6= 0 respecto del eje x, de modo que σαo (A) = A si α = π, en tal

caso σπo invierte la orientacion de las flechas, con lo que σπo no es simetrıa de

A. Ası ΓA = Γ+A = 〈τu〉.

Ejemplo 2.25. Sea σ = [0, 2π/6] la rotacion por el origen y angulo 2π/6.

Considera el grupoG = 〈σ〉 = σn | n = 0, 1, ..., 5 yA =⋃n=0,1,..,5[0, n2π/6]∗

(ver figura 2.15). Claramente σn(A) = A para toda n entera. Cualquier tras-

lacion no deja invariante a A, y una rotacion σαo mandara la flecha canonica

a una con angulo α respecto al eje real, de modo que σαo es simetrıa de A sı y

solo sı α = n2π/6 para algun entero n. Ası Γ+A = 〈σ〉.

[0, σ5]

[0, 0]

[0, σ][0, σ2]

[0, σ3]

[0, σ4]

Figura 2.15: Versores generados por una rotacion de orden 6.

Ejemplo 2.26. Considera ahora el grupo Γ1 generado por las traslaciones

25

τu = [1, 0] y τv = [i, 0].

Γ1 = [n+mi, 0] | n,m ∈ Z.

Es claro que A =⋃n,m∈Z[n + mi, 0]∗ (ver figura 2.16) queda invariante

solo bajo traslaciones en Γ1. De hecho, una vez mas Γ+A = Γ1 (ojo, la reflexion

por el eje x es simetrıa de A).

Es conocido que el cociente E2/Γ1 se puede pensar como el cuadrado ce-

rrado D1 = [0, 1] × [0, 1]. Esto ya que dicho cuadrado cerrado contiene un

punto de cada orbita excepto en su frontera, donde los lados paralelos se iden-

tifican bajo la accion de los generadores τu, τv. En capıtulo 3 identificaremos

a D1 (interior del cuadrado unitario) como un dominio dominio fundamental

para Γ1. Notemos otras cosas sobre D1:

-Tiene area 1 (finita y no cero).

-D1 es cerrado.

-Es un subconjunto acotado de E2, de hecho es un polıgono.

-Para cada compacto K ⊂ E2, g ∈ Γ1 | g(D1) ∩K 6= ∅ es finito.

-⋃τ∈Γ1

(τ(D1)) = E2 (i.e. los trasladados de D1 “teselan” E2).

2.4.1. Definicion de Grupo Cristalografico

Definicion 2.27. Sea G ⊂ Iso(E2), diremos que G actua discontinuamente

en E2 si para cada compacto K ⊂ E2

g ∈ G | g(K) ∩K 6= ∅ es finito.

NOTA 2. En este trabajo simplemente diremos que G es discontinuo.

Ejemplo 2.28. Considera la accion del grupo generado por la rotacion σ =

[0, α], donde α = 2π/√

2. Veremos que la orbita de un punto en S1 es densa,

y por lo tanto que el grupo G = 〈σ〉 no es discontinuo. Para esto, observemos:

26

(0, 0)

[0, 0]∗ [1, 0]∗ [2, 0]∗

[2 + i, 0]∗[1 + i, 0]∗[i, 0]∗

[2i, 0] [1 + 2i, 0] [2 + 2i, 0]

D1

Figura 2.16: Versores de Γ1.

σn 6= 1 para todo entero n, de lo contrario tendrıamos nπ√

2 = 2πk, para

algun entero k, lo cual es una contradiccion ya que√

2 /∈ Q. De aquı se sigue

que σn 6= σm si n 6= m, de modo que G es infinito y no discontinuo(tomar

compacto K = z | ||z|| 6 1).Observemos que para todo naturalN , podemos dividir S1 enN segmentos

de la misma longitud como sigue:

S1 =N−1⋃k=1

e(k+t)(2πi)/N | t ∈ [0, 1].

Considera los primeros N + 1 puntos (eiα)jj=1,...,N+1. Existe algun seg-

mento e(p+t)(2πi)/N | t ∈ [0, 1] con dos puntos (eiα)r, (eiα)s. Considera la

rotacion σ′ = (eiα)r(eiα)−s = (eiα)r−s. Ya que σ′ esta generada por σ, y tiene

angulo de rotacion menor que 2π/N , entonces concluimos que para cada k, el

segmento e(k+t)(2πi)/N | t ∈ [0, 1] contiene a lo menos un punto del conjunto

(σ′)hh∈Z. Como N arbitrario concluimos que la orbita de cualquier punto

27

es densa en S1.

Observacion 2.29. Si H subgrupo de G y este actua discontinuamente en

E2, entonces H actua discontinuamente en E2.

Proposicion 2.30. Si G actua discontinuamente en E2,entonces

Gz = g ∈ G | g(z) = z,

el estabilizador o grupo de isotropıa de z es finito.

Demostracion. Dado que z es compacto, vemos que g(z) 6= z excepto para

un numero finito de g‘s ∈ G.

Ahora tenemos lo necesario para poder definir uno de los objetos de es-

tudio de este trabajo:

Definicion 2.31. Un grupo cristalografico G, es un subgrupo G ⊂ Iso(E2),

que actua discontinuamente en E2 y tal que E2/G es compacto.

Observacion 2.32. Notese que para todo G ⊂ Iso(E2), se tiene que

-G = G+ = G∩Iso(E2)+

o

-G = G+ ∪ ψG+, donde ψ ∈ G es cualquier elemento que invierta orien-

tacion, pues si g ∈ G invierte orientacion, entonces ψ−1 g ∈ G+, de modo

que g ∈ ψG+.

Corolario 2.33. Si G es grupo cristalografico, el ındice [G : G+] de G+ en

G es 1 o 2.

Hemos definido los objetos de estudio de este trabajo, que son los grupos

cristalograficos. Dichos grupos se pueden obtener de simetrıas de disenos

sobre el plano con las propiedades que buscamos, formalmente:

Definicion 2.34. A ⊂ E2 es una teselacion, sı su grupo de simetrıas ΓA es

un grupo cristalografico.

28

2.5. Grupos discontinuos sin traslaciones

A manera de entender los grupos cristalograficos, estudiaremos los grupos

discontinuos de isometrias en dos casos, segun contengan traslaciones o no.

Probaremos que si G no contiene traslaciones, entonces G es cıclico o diedrico.

Definicion 2.35. Diremos que un grupo G ⊂Iso(E2) fija un punto, si existe

p ∈ E2 tal que g(p) = p para toda g ∈ G.

Proposicion 2.36. Si G ⊂ Iso(E2), entonces G fija un punto si y solo si G

no contiene traslaciones.

Demostracion. Sı G fija a p, entonces G no puede contener traslaciones, ni re-

flexiones con deslizamiento, de hecho el grupo solo puede contener rotaciones

alrededor de p y reflexiones a traves de rectas que pasan por p.

Supongamos ahora que G no contiene traslaciones. Observemos primero

que G no puede contener una reflexion con deslizamiento S = ρ τ , donde

ρ es una reflexion por recta paralela a la traslacion de τ . Pues si existiera,

entonces su cuadrado

(S)2 = (ρ τ)2 = τ 2

es una traslacion en G.

Si G no contiene rotaciones (no trivial ), entonces G+ = Id, de modo

que G = Id ∪ ρId, donde ρ es un elemento que invierte orientacion en

G (si existe) y la proposicion es cierta.

Si σθo ∈ G es una rotacion no trivial, para g ∈ G arbitrario, la conjugacion

γ = (σθo)g := g σθo g−1,

preserva orientacion, observemos que g(o) es punto fijo de (σθo)g, de modo

que γ debe ser una rotacion con centro g(0) y angulo α. Dado x 6= g(o),

ya que g preserva distancias y angulos, tenemos que |α := ∠xg(0)γ(x)| =

|∠g−1(x)oσθo(g−1(x))| = | ± θ|, ası sin perdida de generalidad suponemos α

29

positivo. Luego, como σ−αo es una rotacion por angulo −α y (σθo)g por angulo

α, entonces por lema 2.9 la composicion σ−αo−1(σαo )g debe ser una traslacion

y por tanto la identidad. Entonces

(σθo)g = σαo ,

de modo que o = g(o) y como g ∈ G era arbitrario, hemos probado que todo

elemento de G fija el punto o.

Lema 2.37. Si G ⊂ Iso(E2) discontinuo y no contiene traslaciones, entonces

G es finito.

Demostracion. Debido a la descomposicion G = G+ ∪ ρG+, es suficiente

probar que G+ es finito. Como G no contiene traslaciones entonces fija un

punto p, ası G+ no puede contener rotaciones con centro distinto de p. Luego,

por discontinuidad aplicada a una bola cerrada con centro p vemos que G+

es finito.

Lema 2.38. Si G ⊂ Iso(E2) es un grupo finito, entonces G es cıclico o die-

drico.

Demostracion. Como G = g1, ..., gn es finito, no contiene traslaciones y por

lo tanto fija un punto o. Si G no contiene rotaciones entonces hemos visto

que G = Id o G = Id, ρ = D2 para alguna reflexion ρ ∈ Iso(E2).

Analicemos ahora la estructura de G+. Si G+ contiene rotaciones, en-

tonces existe σαo ∈ G rotacion de angulo mınimo. Supongamos que σβo ∈ Ges otra rotacion. Si β 6= nα para todo n ∈ Z entonces por algoritmo de la

division

existe n ∈ Z tal que nα < β < (n+ 1)α,

Como consecuencia α−1 β serıa una rotacion en G con angulo menor que

α, lo cual es una contradiccion. Es decir, todas la rotaciones estan generadas

por σαo de angulo mınimo.

Si G = G+, entonces G = 〈σαo 〉, el cual es cıclico.

30

De otra manera G = G+ ∪ ρG+, o sea, diedrico.

Hemos probado en esta seccion:

Teorema 2.39. Sea G ⊂ Iso(E2) un grupo que actua discontinuamente en

E2. Si G no contiene traslaciones entonces el grupo entero fija un mismo

punto, dicho grupo resulta cıclico o diedrico.

NOTA 3. Ya que E2 es un espacio metrico, si G ⊂Iso(E2) discontinuo sin

traslaciones, entonces por apendice C vemos que E2/G no es compacto y por

lo tanto G no puede ser cristalografico.

2.6. Grupos discontinuos con traslaciones

Estudiaremos ahora el caso de grupos discontinuos que no dejan puntos

fijos, es decir, grupos discontinuos con traslaciones. Dado G ⊂Iso(E2) grupo

discontinuo, podemos fijarnos en el subgrupo de traslaciones T ⊂ G, proba-

remos que T 6= Id es isomorfo a Z o a Z ⊕ Z; Sı T ∼= Z, entonces E2/G no

es compacto (analizaremos este caso en apendice B). Si T ∼= Z⊕Z, entonces

E2/T es compacto, en particular E2/G es compacto.

Proposicion 2.40. Sea T ⊂ Iso(E2), subgrupo discontinuo de traslaciones,

entonces T es trivial, isomorfo a Z o a Z⊕Z, en este ultimo caso T contiene

un par de generadores linealmente independientes.

Demostracion. Supongamos T 6= Id, sea Id 6= τ0 ∈ T , sea r = 2||τ0|| y

K = Br(0) = z ∈ E2 | ||z|| < r, como K es compacto y T discontinuo

entonces

τ ∈ T | K ∩ τ(K) 6= ∅

es finito y en consecuencia

T1 = τ ∈ T | ||τ(0)|| < 2r ⊂ τ ∈ T | K ∩ τK

31

es finito, digamos T1 = τ1, ..., τr y τ0 ∈ T1. Tomamos τu = τi, τu(z) = z+u

para algun u ∈ E2, tal que ||τu(0)|| = ||u|| es mınima y positiva (τu es mınima

para toda τ ∈ T ).

Lema 2.41. Si τλu(z) = z + λu es tal que τλu ∈ T , entonces λ ∈ Z.

Demostracion. Sı λ /∈ Z, entonces, existe entero n tal que n < λ < n + 1.

Observemos que la traslacion [(λ− n)u, 0] esta en T y ||(λ− n)u|| < ||u||, lo

cual es una contradiccion a que ||u|| fuera mınima.

Si τu genera T entonces hemos terminado.

En otro caso, existe un vector τw, con u,w son linealmente independientes.

Tomamos ||w|| = s > 0, vemos igual que el caso anterior que

T2 = τv ∈ T | ||τv(0)|| < 2s y u, v linealmente independientes.

⊂ τ ∈ T | ||τ(0)|| < 2s,

es finito. Ası podemos suponer que ||w|| es mınima no cero entre los elementos

de T2.

Considera T ′ = τ ∈ T | τ(z) = z + nu+mw, n,m ∈ Z.Para cada (n,m) ∈ Z⊕Z, definimos Pn,m como el paralelogramo cerrado

con vertices en nu+mw, (n+ 1)u+mw, nu+ (m+ 1)w, (n+ 1)u+ (m+ 1)w

R2 =⋃

Pn,m.

Observacion 2.42. Para cada τ ∈ T tenemos que τ(0) ∈ g(P0,0), para algun

g ∈ T ′, de modo que g−1τ(0) ∈ P0,0.

Claramente T ′ ⊂ T . Por la observacion anterior, para ver que T ⊂ T ′

basta probar que τ ′ = g−1τ ∈ T ′. Si τ ′(0) ∈ P0,0 es uno de los vertices

0, τu(0), τw(0), τwτu(0), entonces τ ′ ∈ T ′. Si τ ′(0) se encuentra sobre alguno de

los lados [0, τu(0)] o [τw(0), τuτw(0] de P0,0, entonces τ ′(0) o τ−1w τ ′(0) tendran

norma menor que la de u, lo cual es una contradiccion. Ası, podemos suponer

32

que τ ′(0) no se encuentra sobre uno de estos lados. Sı τ ′(0) se encuentra en el

disco abierto D con centro 0 y radio ||w||, entonces ||τ ′(0)|| < ||w|| con τ ′(0), u

linealmente independientes, lo cual contradice la eleccion de τw. Sı τ ′(0) se

encuentra en el disco abierto D′ con centro τwτu(0), y radio ||w||, entonces

||τ−1u τ−1

w τ ′|| < ||w||, contradiciendo de nuevo la eleccion de τw. Finalmente,

como ||u|| ≤ ||w||, entonces D∪D′ contiene todos los puntos de P0,0, excepto

posiblemente los vertices τu(0), τw(0), lo que termina con la prueba.

NOTA 4. Existen subgrupos de traslaciones T ′ ⊂Iso(E2)+ (libres abelianos)

de rango mayor que 2, podemos pensar en un subgrupo de traslaciones por

distancias con norma irracional.

Lema 2.43. Si G ⊂Iso(E2) discontinuo, con subgrupo de traslaciones T ∼= Z,

entonces E2/G no es compacto

Demostracion. Supongamos que T esta generado por τu = [u, 0], sea τv =

[v, 0] una traslacion con u, v linealmente independientes. Considera la suce-

sion de puntos (τv)n(0)n∈Z ⊂ E2 y la sucesion de puntos π(τnv (0))n∈Z

bajo la proyeccion π : E2 → E2/G.

Notemos que π(τnv (0)) 6= π(τmv (0)) si n 6= m, pues en el caso de que G

contenga rotaciones, podemos suponer que el centro de σ ∈ G es 0, entonces

π(τnv (0)) 6= π(τmv (0)) implica que los puntos π(τnv (0)), π(τmv (0)) son equiva-

lentes bajo un elemento de T , lo cual no es posible ya que u, v son linealmente

independientes.

Por lo anterior, la sucesion de puntos π(τnv (0))n∈Z son distintos en

E2/G, no estan acotados como subconjuntos de E2 y no contiene alguna sub-

sucesion convergente en E2/G, pues cada τnv (0) esta separado de un τmv (0)

por una distancia mayor que ||v|| si n 6= m. Por lo anterior y por apendice C

E2/G no es compacto.

33

2.7. Restriccion Cristalografica.

Como vimos en la seccion anterior 2.6, la discontinuidad de G impone

restricciones sobre el subgrupo T ⊂ G, T ∼= Id o Z, o Z ⊕ Z, recordar el

ejemplo con Γ1 2.26. En esta seccion estudiaremos la estructura que impone

la discontinuidad sobre las rotaciones de un grupo cristalografico G a traves

de un resultado conocido como la restriccion cristalografica.

Proposicion 2.44. Si G ⊂Iso(E2) discontinuo que contiene una rotacion

σθo, entonces

θ = 2πp/q,

con q ∈ N, p ∈ Z.

Demostracion. En ejemplo 2.28 vimos tambien que por discontinuidad θ debe

ser una multiplo racional de 2π, digamos θ = 2πp/q, de hecho podemos tomar

p, q primos relativos.

Corolario 2.45. Si G discontinuo y σ2πp/qo en G rotacion, entonces σ

2π/qo ∈

G.

Demostracion. Ya que podemos tomar p, q primos relativos, sabemos existe

enteros a, b tales que 1 = ap+ bq, de modo que (σi2πp/qo )a ∈ G, pero esto es:

(σi2πp/qo )a = (σi2πp/qo )1−bqp = σi2π/qo ,

de donde σ2π/qo ∈ G.

Teorema 2.46. Si G es un grupo cristalografico y la rotacion σ2π/no ∈ G,

entonces n ∈ 2, 3, 4, 6.

Demostracion. Sea σ2π/no ∈ G una rotacion con n > 6. Sea [u, 0] = τu ∈ G

una traslacion no trivial, ya que G es discontinuo podemos suponer que ||u||es mınima no cero.

34

||v||

o o′

2π/n

o′′

||w||

||u||

Figura 2.17: Restriccion Cristalografica 1

Considera los puntos o′ = τu(o), o′′ = σ

2π/no (o′) y las traslaciones

τw = [w = o′′ − o′, 0], τv = [v = o′′ − o, 0],

notemos que v = u + w, y como n > 6 tenemos que ||w|| < ||u|| ver figura

2.17. Si probamos que τw ∈ G obtendremos una contradiccion a que ||u|| es

mınima.

Como

τu = τ−1w τv,

basta probar que τv ∈ G.

Finalmente un calculo muestra que τv = στuσ−1, de modo que τv ∈ G.

Supongamos ahora que n = 5.

Analogo a la demostracion anterior, tomamos los puntos o′ = τv(o), o′′ =

(σ2π/no )2(o′) y las traslaciones

τw = [w = o′′ − o, 0], τv = [w + u, 0],

ver figura 2.18.

Como n = 5, entonces ∠oτv(o)o′′ = 2π/5, de modo que el triangulo

4oo′′τv(o) es isosceles, ver figure 2.19, de donde ||w + u|| < ||u|| lo cual es

una contradiccion si τv ∈ G. Pero como τv = τwτu, basta probar que τw ∈ G,

lo cual es cierto pues τw = (σ2π/no )2τu(σ

2π/no )−2 ∈ G.

35

τv(o)

2π/5o′′ o′

o

Figura 2.18: Restriccion Cristalografica 2.

||u||

τv(o)o

2π/5

||u||

o′′

Figura 2.19: Restriccion Cristalografica n 6= 5.

2.8. Teselacion Canonica.

Analizaremos primeramente a grupos cristlograficos que preservan orien-

tacion G ⊂Iso(E2)+. Recordemos la identificacion de elementos [v, α] ⊂ G

con subconjuntos [v, α]∗ ⊂ E2, los usaremos para generar teselaciones canoni-

cas.

Por discontinuidad podemos suponer que τu = [u, 0], τv = [v, 0] son gene-

radores del subgrupo de traslaciones T ⊂ G, con ||u||, ||v|| mınimas, ||u|| 6||v||, u, v linealmente independientes. Adicionalmente, la restriccion crista-

lografica nos muestra que los elementos de G son de la forma [nu+mv, 2πp/q]

con n,m enteros y q ∈ 1, 2, 3, 4, 6, p ∈ 0, 1, 2, ..., q − 1.

NOTA 5. En el trabajo diremos que una traslacion τu es mınima refirien-

36

donos a que ||u|| es mınima.

Definicion 2.47. Dado G, subgrupo de Iso(E2)+, definimos la teselacion

canonica C(G) como el conjunto de versores que define G:

C(G) =⋃

[v,α]∈G

[v, α]∗ ⊂ E2.

Proposicion 2.48. Si G ⊂Iso(E2)+ es cristalografico y σ = σ2π/no es una

rotacion por angulo mınimo no cero en G, entonces G esta generado por

τu, τv, σ.

Demostracion. Sea σ2πp/qa ∈ G, por corolario 2.45 sabemos que σ

2π/qa ∈ G. De

manera que basta probar que σ genera a σ2π/qa . Por hipotesis 2π/q ≥ 2π/n.

Si 2π/q = (2π/n)r para algun r ∈ Z, entonces σ2π/qa (σ

2π/no )−r = [b, 0] ∈ T ,

de modo que σ genera a σ2π/qa . Si σ

2πp/qa no es multiplo entero de σ, entonces

existe un entero t, tal que (2π/n)t < 2π/q < (2π/n)t+1, y por lo tanto

(σ2π/no )−tσ

2π/qa ∈ G tiene angulo menor que σ, lo cual es una contradiccion.

Por lo anterior concluimos que τu, τv, σ generan G.

Observacion 2.49. Dado G ⊂Iso(E2)+ cristalografico, podemos escoger ε =

||u||/4, donde τu = [u, 0] es la traslacion por distancia mınima no cero, de

modo que las imagenes [v, α]∗ del versor canonico Fε no se intercepten bajo

la accion de las traslaciones T ⊂ G. Si el grupo contiene alguna rotacion de

angulo mınimo σ = σ2πi/no , entonces la imagen de Fε bajo σr con r = 1, 2, ..., n

es un conjunto de n versores basados en o (las flechas apuntan fuera de o),

con angulo 2π/n entre versores consecutivos. Por lo anterior, las imagenes⋃[v,α]∈G

[v, α]∗

no se interceptan.

Teorema 2.50. La teselacion canonica C(G) asociada a un grupo crista-

37

lografico G ⊂Iso(E2)+ satisface

ΓC(G) = G,

es decir, el grupo de simetrıas de C(G) es G (C(G) es teselacion para G).

Demostracion. Sea g = [u, β] ∈ G, veremos que g es simetrıa de C(G). Sea

[v, α]∗ ⊂ C(G), por observacion 2.15

g([v, α]∗) = ([u, β][v, α])∗ ⊂ C(G),

es decir g(C(G)) ⊂ C(G). Claramente g(g−1[v, α]∗) = [v, α∗], es decir, C(G) ⊂g(C(G)), de donde g(C(G)) = C(G).

Probaremos ahora que ΓC(G) ⊂ G. Sea [v, α] ∈Iso(E2)+ tal que [v, α]C(G) =

C(G), es decir, para todo [u, β]∗ ⊂ C(G), se satisface que

[v, α][u, β]∗ ⊂ C(G),

en particular [v, α][0, 0]∗ = [v, α]∗ ⊂ C(G). Finalmente, por lema 2.16 [v, α] ∈G, de donde simetrıas de C(G) ⊂ G.

2.9. Ejemplos de Grupos Cristalograficos

Daremos ejemplos de subgrupos G de Iso(E2)+, probando en cada caso

la discontinuidad de G y usando el siguiente resultado para determinar si el

cociente E2/G es compacto.

Lema 2.51. Sea G ⊂Iso(E2) discontinuo, con T ⊂ G subgrupo de traslacio-

nes isomorfo a Z⊕ Z, entonces E2/G es compacto.

Demostracion. Sabemos que E2/T es compacto ya que los generadores de T

son linealmente independientes, considera las proyecciones π : E2 → E2/T

y g : E2 → E2/G, sabemos que π(u) = π(v) implica u = τv para algun

38

τ ∈ T ⊂ G, de modo que g(u) = g(v), con lo que probamos que existe una

funcion continua f : E2/T → E2/G que satisface g = fπ. Finalmente, como

f continua y sobre, entonces f(π(E2)) = E2/G es compacto.

Observacion 2.52. Por lo anterior, dado G ⊂Iso(E2) discontinuo, para

probar que el cociente E2/G es compacto, basta probar que G contiene dos

traslaciones linealmente independientes.

En cada caso, para probar que un grupo G ⊂Iso(E2)+ es discontinuo

usaremos la identificacion entre [v, α] ∈ G y [v, α]∗ ⊂ E2. Dado K ⊂ E2

compacto, el numero de g’s que satisfacen g(K) ∩K 6= ∅ se puede estimar

por el numero de versores en K.

Grupo Γ1, teselacion Toro.

Considera el grupo

Γ1 = 〈τu = [1, 0], τv = [i, 0]〉 = [m+ ni, 0] | n,m ∈ Z.

Probaremos discontinuidad, sea K ⊂ E2 compacto, sabemos ∃N ∈ Ztales que K ⊂ I := [−N,N ] × [−N,N ]. Notemos que g ∈ G | g(K) ∩K 6= ∅ ⊂ g ∈ G | g(I) ∩ I 6= ∅ de modo que es suficiente probar que

g ∈ G | g(I) ∩ I 6= ∅ es finito. Por otro lado #g ∈ G | g(I) ∩ I 6=∅ ≤ #g ∈ G | g(Fε) ∩ 3I 6= ∅, donde 3I := [−3N, 3N ] × [−3N, 3N ].

Ası, solo puede ver un numero finito(a lo mas 9N2) g1, g2, ..., gn ∈ Γ1 que

satisfagan gi([−N,N ]× [−N,N ])∩ [−N,N ]× [−N,N ] 6= ∅. En consecuencia,

gi | gi(K) ∩K 6= ∅ es finito y concluimos que Γ1 es discontinuo.

El cociente E2/Γ1 es compacto ya que Γ1 contiene a τu, τv. Por lo anterior

Γ1 es cristalografico. el conjunto de versores es

C(Γ1) =⋃

n,m∈Z

[n+mi, 0]∗.

Como vimos en la figura 2.16.

39

Grupo Γ2, teselacion S2222.

Considera el grupo

Γ2 = 〈τu = [1, 0], τv = [i, 0], σ = [0, π]〉

= [m+ ni, 0] | m,n ∈ Z ∪ [m+ ni, π] | m,n ∈ Z.

De manera analoga al caso anterior, a lo mas tendrıamos 2(9N2) elementos

[−1− i, π]∗

[0, 0]∗ [1, 0]∗[1, π]∗[0, π]∗

[i, 0]∗[i, π]∗

[−1− i, 0]∗

Figura 2.20: Teselacion S2222

gi ∈ Γ2 que satisfagan gi(K)∩K 6= ∅, es decir Γ2 es discontinuo. El cociente

E2/Γ2 es compacto ya que [1, 0], [i, 0] ∈ Γ2, de donde Γ2 es cristalografico.

La teselacion canonica de Γ2 es

C(Γ2) =⋃

n,m∈Z k∈1,2

[n+mi, 2π/k]∗,

como puede verse en la figura 2.20.


Considera el grupo

Γ3 = 〈τu = [eπ/3, 0], τv = [i, 0], σ = [0, 2π/3]〉

= [m+ ni, k2π/3] | m,n ∈ Z, k ∈ 0, 1, 2.

40

(0, 0)τu

τv


De manera analoga al caso anterior, 3(16N2) es cota de los elementos

gi ∈ Γ3 que satisfacen gi(k) ∩ k 6= ∅, es decir Γ3 es discontinuo.

El cociente E2/Γ3 es compacto ya que τu, τv ∈ Γ3. Ası Γ3 es cristalografico,

el conjunto de versores C(Γ3) = [m + ni, k2π/3]∗ | m,n ∈ Z, k ∈ 0, 1, 2puede verse en las flechas de la figura 2.21.


Considera el grupo

Γ4 = 〈τu = [1, 0], τv = [i, 0], σ = [0, π/2]〉

= [m+ ni, k2π/4] | m,n ∈ Z, k ∈ 0, 1, 2, 3.

De manera analoga al caso de Γ2, 4(9N2) es cota de los elementos gi ∈ Γ4

que satisfagan gi(k) ∩ k 6= ∅, es decir Γ4 es discontinuo.

El cociente E2/Γ4 es compacto ya que τu, τv ∈ Γ4. Ası el conjunto de

versores C(Γ4) = [m+ ni, k2π/4]∗ | m,n ∈ Z, k ∈ 0, 1, 2, 3. Como puede

verse en las flechas de la figura 2.22.

41

[0, π]∗

[0, 6π/4]∗

[0, π/2]∗

[0, 0]∗



Considera el grupo

Γ5 = 〈τv = [eπ/3, 0], τu = [1, 0], σ = [0, 2π/6]〉

= [m+ ni, k2π/6] | m,n ∈ Z, k ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5.

De manera analoga al caso Γ3, 6(16N2) es cota de los elementos gi ∈ Γ5 que

satisfagan gi(k) ∩ k 6= ∅, es decir Γ5 es discontinuo.

El cociente E2/Γ5 es compacto pues τu, τv ∈ Γ5. Ası el conjunto de verso-

res C(Γ5) = [m + ni, k2π/6]∗ | m,n ∈ Z, k ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5. Como puede

verse en las flechas de la figura 2.23.

2.10. Equivalencia

Vamos a probar mas adelante que cualquier G ⊂Iso(E2)+ cristalografico

es “equivalente” a uno de estos 5 grupos. A continuacion explico que entiende

por equivalente. La idea esta basada en “equivalencia” de teselaciones. para

esto:

Definicion 2.53. El grupo afın que preserva orientacion es el grupo de

42

τu

τv


transformaciones de E2 de la forma:

A+ = φ(z) = Az + b | A ∈ GL+2 (R) y b ∈ E2.

Observacion 2.54. El grupo afın que preserva orientacion es un grupo bajo

la composicion.

Definicion 2.55. Diremos que dos grupos cristalograficos G,H son equi-

valentes si son conjugados por un elemento de el grupo afın que preserva

orientacion, es decir, ∃ϕ ∈ A+, ϕ : E2 → E2, ϕ(z) = Az + b tal que

H = ϕ−1Gϕ.

Proposicion 2.56. La equivalencia definida es relacion de equivalencia.

Demostracion. Vemos que:

43

-Tomando ϕ = Id, vemos que cualquier grupoG es equivalente a si mismo,

pues Id−1GId = G.

-Si G es equivalente a H, entonces existe ϕ afinidad tal que ϕ−1Gϕ = H.

Es claro que G = (ϕ−1)−1Hϕ−1, de donde H equivalente a G.

-Supongamos queG equivalente aH,H equivalente a I, digamos ϕ−1Gϕ =

H y φ−1Hφ = I, entonces (ϕφ)−1Gϕφ = I, es decir G equivalente a I.

Por que la equivalencia es adecuada?

Sea G1, G2 ⊂ G grupos, es comun en algebraicamente decir G1, G2 son

equivalentes si existe un elemento en G que los conjuga. En nuestro caso

G1, G2 son cristalograficos y G es el grupo afın que preserva orientacion.

Comencemos notando que si Ψ es una teselacion y f ∈ IsoE2, es de

esperarse que f(Ψ),Ψ tengan grupos cristalograficos equivalentes. Es decir

Iso(E2) ⊂ G.

Es deseable tambien que dado un escalar λ, los subconjuntos del plano

Ψ, λΨ tengan grupos cristalograficos equivalentes. De donde obtenemos que

el el grupo de semejanzas del plano esta contenido tambien en G.

Por otro lado, si G = 〈τu, τv〉, H = 〈τu′ , τv′〉 (u, v y u′, v′ linealmente

independientes) son dos grupos de traslaciones, notemos que existen trans-

formaciones f (afinidades), con una matriz asociada F , la cual tiene de de-

terminante 1 pero no es isometrıa ni semejanza. Es decir, f preserva areas

pero no distancias, en tal caso si u = (1, 0), v = (0, 1), vemos que el cuadrado

unitario definido por u, v se ”deforma” bajo f a paralelogramos de area 1.

Es de esperarse tambien que todos estos paralelogramos sean equivalentes,

por esa razon el grupo afın esta contenido en G.

Finalmente basta tomar el grupo afın que preserva orientacion A+ ya que

el numero de clases de conjugacion en A es el mismo que en A+.

Observacion 2.57. Si G es cristalografico, ϕ ∈ A+, no necesariamente

ϕ−1Gϕ ⊂Iso(E2).

44

2.11. Clasificacion, caso que preserva orien-

tacion.

La clasificacion la haremos separando en dos casos segun el grupo con-

tenga o no rotaciones. En el segundo caso analizaremos las condiciones que

deben satisfacer dichas rotaciones a manera de preservar la estructura de

grupo al componerlas los elementos de G.

Sea G ⊂Iso(E2)+, sabemos que sus elementos son de la forma [nu +

mv, p2π/q], con n,m ∈ Z, q ∈ 1, 2, 3, 4, 6, p ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5 y u, v son dos

vectores linealmente independientes con ||u|| ≤ ||v|| que generan al subgrupo

de traslaciones

T = 〈τu = [u, 0], τv = [v, 0]〉.

2.11.1. Γ1, Teselacion Toro.

Proposicion 2.58. Supongamos que G no contiene rotaciones, de modo que

G = T , entonces G y Γ1 = 〈[1, 0], [i, 0]〉 son grupos cristalograficos equivalen-

tes.

Demostracion. Definimos ϕ : E2 → E2, como:

ϕ([1, 0]) = [u, 0].

ϕ([i, 0]) = [v, 0].

Sin perdida de generalidad suponemos que ϕ preserva orientacion, de lo con-

trario definimos ϕ en su base como:

ϕ([1, 0]) = [v, 0].

ϕ([i, 0]) = [u, 0].

Extendemos ϕ linealmente a E2.

Calculemos para z ∈ E2, g = [nu+mv, 0] ∈ G arbitrarios:

ϕ−1gϕ(z) = ϕ−1(ϕ(z) + nu+mv) = z + n+mi = h(z),

45

para h = [n+mi, 0] ∈ Γ1, de donde ϕ−1Gϕ ⊂ Γ1.

Al conjugar ϕΓ1ϕ−1 obtenemos que

ϕϕ−1Γ1ϕϕ−1 = Γ1,

es decir G,Γ1 son equivalentes.

Observacion 2.59. Hemos probado que todos los grupos generados por

elementos [u, 0], [v, 0] ∈ Iso(E2), con u, v ∈ E2 linealmente independientes

son equivalentes entre ellos. A la teselacion canonica C(Γ1) que hemos visto

en figura 2.16 la llamaremos teselacion Toro.

Observacion 2.60. Cuando el angulo entre los vectores u, v es π/2 y ||u|| =||v||, entonces la transformacion lineal ϕ es isometrıa seguido de una homote-

cia (escalamiento), en todos los demas casos usamos fuertemente el concepto

de afinidad en la equivalencia.

Ahora clasificaremos que contengan rotaciones σ 6= Id

Sea k =minn | σ2π/no ∈ G es una rotacion , enumeraremos segun este

k > 1. En cada caso sera de utilidad el siguiente calculo, si ϕ(z) = Az + B

una transformacion afın, y σ = σ2π=no una rotacion, entonces:

ϕ−1σϕ(z) = A−1ei2π/nA(z) + A−1(1− ei2π/n)(o−B). (2.1)

De modo que si A−1ei2π/nA es una rotacion por angulo 2π/n, entonces

ϕ−1σϕ = [A−1(1− ei2π/n)(o−B), 2π/n] = σ2π/n

A−1(1−ei2π/n)(o−B),

en particular esta transformacion afın manda una rotacion de orden n en una

rotacion de orden n.

2.11.2. Γ2, Teselacion S2222.

Proposicion 2.61. Si k = 2, entonces G es equivalente a Γ2 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π]〉.

46

Demostracion. Por la restriccion cristalografica π el unico angulo posible

para rotaciones en G. Sea σ = σπo rotacion de angulo mınimo, sabemos por

proposicion 2.48 que G = 〈τu, τv, σ〉.Observemos que στσ−1 = τ−1 para toda τ ∈ T , de manera que la presen-

cia de σ no impone condiciones sobre las traslaciones, con lo que podemos

componer Γ2 con una transformacion afın ϕ(z) = Az + B a modo de llevar

τu, τv al toro canonico. Por otro lado:

ϕ−1σϕ(z) = −z + A−1(1− eiπ)(o−B) = [a = A−1(1− eiπ)(o−B), π],

lo cual es una rotacion de orden 2, de donde G y 〈[1, 0], [i, 0], [a, π]〉 son

equivalentes.

Para terminar conjugamos 〈[1, 0], [i, 0], [a, π]〉 con la traslacion: ϕ2 : E2 →E2, definida por ϕ2 = [a

2, 0], obtenemos:

ϕ−12 [a, π]ϕ2 = [−a

2, 0][a+ a

2eiπ, π] = [−a

2+ a− a

2, π] = [0, π].

ϕ−12 [1, 0]ϕ2 = [1, 0].

ϕ−12 [i, 0]ϕ2 = [i, 0].

Lo cual prueba que 〈[1, 0], [i, 0], [a, π]〉 y Γ2 son equivalentes. De donde G,Γ2

son equivalentes. Al conjunto de versores C(Γ2) que vimos en figura 2.20, lo

llamaremos teselacion S2222.


Proposicion 2.62. Si k = 4, entonces G es equivalente a Γ4 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π/2]〉.

Demostracion. Sea σ = σπ/2o rotacion de angulo mınimo. σ es una rotacion

de orden 4, entonces

στuσ−1 = [o(1− eiπ/2), π/2](u+ ze−1π/2 + o(1− e−iπ/2))

= z + ueiπ/2 = [ui, 0]

47

es una traslacion en direccion perpendicular a τu, con longitud ||στuσ−1(0)|| =||τu(0)|| = ||u||, de esta manera podemos suponer τv = στuσ

−1.

Componemos con una transformacion afın ϕ(z) = Az+B que mande los

generadores τu, τv de T ⊂ G en [1, 0], [i, 0]. Como ||u|| = ||v||, y u, v forman

un angulo de π/2, entonces la transformacion afın debe ser de la forma:

A = (1/||u||)σθ0,

para algun θ ∈ [0, 2π) de modo que

ϕ−1σϕ(z) = zeπ/2 + A−1(1− eiπ/2)o = [a = A−1(1− eiπ/2)o, π/2],

lo cual es una rotacion de orden 4, y como G = 〈τu, τv, σ〉, entonces G y

〈[1, 0], [i, 0], [a, π/2]〉 son equivalentes.

Veamos que G no tiene centros de rotacion [p, α] con α 6= π/2, π.

Supongamos que [u, 2π/3] ∈ G, entonces

h = [u, 2π/3]−12[a, π/2]2 = [r, π − 4π/3] = [r,−π/3],

para algun r ∈ 〈τu, τv〉, de modo que h−1 ∈ G es una rotacion por angulo

π/3, esto contradice el hecho de que π/2 sea mınimo angulo. Luego, por res-

triccion cristalografica y del hecho de que π/2 es mınimo, los unicos angulos

permitidos son π y π/2.

Para terminar conjugamos 〈[1, 0], [i, 0], [a, π/2]〉 con la traslacion: ϕ4 :

E2 → E2, definida por ϕ4 = [ a1−ei2π/4 , 0], obtenemos:

ϕ−14 [a, π/2]ϕ4 = [− a

1−eiπ/2 , 0][a+ aeiπ/2

1−eiπ/2 , π/2] = [0, π/2],

ϕ−14 [1, 0]ϕ4 = [1, 0],

ϕ−14 [i, 0]ϕ4 = [i, 0].

Lo cual prueba que 〈[1, 0], [i, 0], [a, π/2]〉 y Γ4 son equivalentes. Como

G = 〈τu, τv, σ〉, obtenemos queG,Γ4 son equivalentes. Al conjunto de versores

C(Γ4) lo llamaremos teselacion S442, ver figura 2.22.

48


Proposicion 2.63. Si k = 3, entonces G es equivalente a Γ3 = 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [0, 2π/3]〉.

Demostracion. Sea σ = σ2π/3o rotacion de angulo mınimo. σ es una rotacion


στuσ−1τu = [o(1− ei2π/3), 2π/3](u+ (z + u)e−2π/3 + o(1− e−i2π/3))

= z + u(1 + ei2π/3) = [u(1 + ei2π/3), 0]

es una traslacion con angulo π/3 respecto a τu, y con longitud ||στuσ−1(0)|| =||τu(0)|| = ||u||, ver figura 2.24.

u0 τ1(0)

σ(u)

σ(u) + u

Figura 2.24: Generadores Γ3.

De esta manera podemos suponer τv = στuσ−1.

Componemos con una transformacion afın ϕ(z) = Az + B que mande

los generadores τu, τv de T ⊂ G en [1, 0], [ei2π/3, 0]. Como ||u|| = ||v||, y u, v

forman un angulo de π/3, entonces la transformacion afın debe ser de la

forma:

A = (1/||u||)σθ0,


ϕ−1σϕ(z) = ze2π/3 + A−1(1− ei2π/3)o = [a = A−1(1− ei2π/3)o, 2π/3],

de donde G = 〈τu, τv, σ〉 (por proposicion 2.48) y 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [a, 2π/3]〉

49

son equivalentes.

Veamos que G no tiene centros de rotacion [p, α] con α 6= 2π/3, 4π/3.

Supongamos existe dicha rotacion [p, 2π/n], con n 6= 3, por restriccion

cristalografica n = 4 o n = 6.

Si n = 4 la composicion:

[p, 2π/4]2[a, 2π/3] = [p+ pe(iπ/2) − a, π5/3]

([p, 2π/4]2[a, 2π/3])−1 = [−e(iπ/3)(p+ pe(iπ/2) − a), π/3]

serıa una rotacion con angulo menor que 2π/3, lo cual es una contradiccion.

Si n = 6 la composicion:

[p, 2π/6]3[a, 2π/3] = [p+pe(iπ/3)+pe(i2π/3), π][a, 2π/3] = [p+pe(iπ/3)+pe(i2π/3)−a, π5/3]

([p, 2π/6]3[a, 2π/3])−1 = [−e(iπ/3)(p+ pe(iπ/3) + pe(i2π/3) − a), π/3]

serıa una rotacion con angulo menor que 2π/3, lo cual es una contradiccion.

Para terminar conjugamos 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [a, 2π/3]〉 con la transforma-

cion afın: ϕ3 : E2 → E2, definida por ϕ3 = [ a1−ei2π/3 , 0], obtenemos:

ϕ−13 [a, 2π/3]ϕ3 = [− o

1−ei2π/3 , 0][o+ oe2πi/3

1−ei2π/3 , 2π/3] = [0, 2π/3],

ϕ−13 [ei2π/3, 0]ϕ3 = [ei2π/3, 0],

ϕ−13 [1, 0]ϕ3 = [1, 0].

Lo cual prueba que 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [a, 2π/3]〉 y Γ3 son equivalentes. De donde

G,Γ3 son equivalentes. Al conjunto de versores C(Γ3) lo llamaremos tesela-

cion S333, ver figura 2.21.


Proposicion 2.64. Si k = 6, entonces G es equivalente a Γ5 = 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [0, 2π/6]〉.

50

Demostracion. Sea σ = σ2π/6o rotacion de angulo mınimo. σ es una rotacion


στuσ−1 = [uei2π/6, 0]

es una traslacion con angulo π/3 respecto a τu, y con longitud ||στuσ−1(0)|| =||τu(0)|| = ||u||. De esta manera podemos suponer τv = στuσ

−1.

Componemos con una transformacion afın ϕ(z) = Az + B que mande

los generadores τu, τv de T ⊂ G en [1, 0], [ei2π/3, 0]. Como ||u|| = ||v||, y u, v

forman un angulo de π/3, entonces la transformacion afın debe ser de la

forma:

A = (1/||u||)σθ0,


ϕ−1σϕ(z) = ze2π/6 + A−1(1− ei2π/6)o = [a = A−1(1− ei2π/6)o, 2π/6],

de donde G y 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [a, 2π/6]〉 son equivalentes.

Veamos que G no tiene centros de rotacion [p, α] con α = 2π/4.

Supongamos que [p, 2π/4] ∈ G, la composicion

[p, π/2][a, π/3]−1 = [−aeiπ/6 + p, π/6]

contradice que π/3 sea angulo mınimo.

Para terminar conjugamos 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [a, 2π/6]〉 con la transforma-

cion afın: ϕ5 : E2 → E2, definida por ϕ3 = [ a1−eiπ/3 , 0], obtenemos:

ϕ−15 [a, π/3]ϕ5 = [− a

1−eiπ/3 , 0][a+ aeiπ/3

1−eiπ/3 , π/3] = [0, π/3]

ϕ−15 [ei2π/3, 0]ϕ5 = [ei2π/3, 0]

ϕ−15 [1, 0]ϕ5 = [1, 0]

Lo cual prueba que 〈[1, 0], [ei2π/3, 0], [a, 2π/6]〉 y Γ5 son equivalentes. De donde

G,Γ5 son equivalentes. Al conjunto de versores C(Γ5) lo llamaremos tesela-

cion S632, ver figura 2.23.

51

En resumen:

Teorema 2.65. Existen solo 5 grupos cristalograficos que preservan orien-

tacion bajo equivalencia afın.

Demostracion. En la primer seccion de ejemplos 2.9 vimos que Γ1,Γ2,Γ3,Γ4,Γ5

son grupos cristalograficos que preservan orientacion. Γ1 no es equivalente a

alguno de los otros cuatro ya que no contiene rotaciones. El resto de los gru-

pos no son equivalentes entre sı ya que tienen elementos de distintos ordenes.

Probamos que si G no contiene rotaciones entonces G es equivalente a Γ1.

Por otra parte, la restriccion cristalografica nos dice que los unicos angulos

de rotacion permitidos para un grupo cristalografico G son 2π/n con n ∈1, 2, 3, 4, 6. Sea 1 < m = minn | [a, 2π/n] ∈ G, entonces, para m = 2

G es equivalente a Γ2, para m = 3 G es equivalente a Γ3, para m = 4 G es

equivalente a Γ4 y para m = 6 G es equivalente a Γ5.

2.12. Conjugar traslaciones por reflexiones

Sea G ⊂Iso(E2) cristalografico, tal que G 6= G+, es decir, G contiene

reflexiones ρ y/o reflexiones con deslizamiento s. En esta seccion probaremos

un lema que usaremos para clasificar los casos que invierten orientacion.

Antes del lema seran necesarios los siguientes resultados:

Proposicion 2.66. Si ψ ∈ G−, y [w, 0] es una traslacion, entonces ψ[w, 0]ψ−1

tiene longitud ||ψ[w, 0]ψ−1(0)|| = ||[w, 0](0)|| = ||w||.

Demostracion. Es suficiente calcular la distancia entre un punto y su imagen.

Si ρ reflexion y p un punto fijo, entonces

d(p, ρ[w, 0]ρ−1(p)) = d(ρ(p), [w, 0]ρ(p)) = d(p, [w, 0](p)) = ||w||.

Por otro lado, si s no tiene puntos fijos, entonces s es una reflexion con

deslizamiento y podemos escribirla como s = τ0ρ0 = ρ0τ0, donde ρ0 es una

52

reflexion por eje paralelo al vector asociado a la traslacion τ0, los cuales

conmutan. Ası la composicion

τ0ρ0[w, 0](τ0ρ0)−1 = ρ0τ0[w, 0]τ−10 ρ−1

0 = ρ0[w, 0]ρ−10 ,

y por caso anterior sabemos que

||s[w, 0]s−1(0)|| = ||w||.

Observacion 2.67. Si τ = [u, 0] es una traslacion y ψ una reflexion o refle-

xion con deslizamiento por la recta l, que pasa por p, en direccion de v, con

vector ortonormal N , entonces:

ψτψ−1 = [u− 2N(u ·N), 0],

- Si

ψτψ−1 = τ,

entonces u ·N = 0 y u, v son vectores paralelos.

-Si

ψτψ−1 = τ−1,

entonces u = N(u · N) = N ||u||cosθ, donde θ es el angulo entre u,N , de

modo que si θ = 0 tenemos que u, v son perpendiculares.

Observacion 2.68. Si ψτuψ−1 = τv y ψτvψ

−1 = τu, entonces

u− 2N(u ·N) = v,

v − 2N(v ·N) = u,

de donde (u+ v) ·N = 0, es decir el eje de ψ es paralelo a u+ v. En este caso

||τu|| = ||ψτuψ−1|| = ||τv||.

53

Observacion 2.69. Si ψ es una reflexion o reflexion con deslizamiento, en-

tonces ψ2 esta contenido en el subgrupo de traslaciones T de G. El automor-

fismo τ → ψτψ−1, es de orden 2, y no puede fijar τu,τv al mismo tiempo ya

que u, v son linealmente independientes.

Lema 2.70. Si ψ ∈ G−, entonces se sostiene una u otra, pero no dos de las

siguientes condiciones:

(A1) T es generado por elementos τu, τv tales que

ψτuψ−1 = τu, ψτvψ

−1 = τ−1v ;

(A2) T es generado por elementos τu, τv tales que

ψτuψ−1 = τv, ψτvψ

−1 = τu.

Demostracion. Veremos primero que (A1) y (A2) no son compatibles. Su-

pongamos primero que (A2) es cierta, existen elementos τu, τv ∈ T tales que

ψτuψ−1 = τv, ψτvψ

−1 = τu, supongamos tambien que existen τ ′u, τ′v ∈ T tales

que ψτ ′uψ−1 = τ ′u y ψτ ′vψ

−1 = (τ ′v)−1. Sabemos que τ ′u = τhu τ

kv para ciertos

enteros h, k, entonces ψτ ′uψ−1 = τ ku τ

hv , y como ψτ ′uψ

−1 = τ ′u, entonces h = k

y τ ′u = (τuτv)h. Sabemos que τ ′v = τnu τ

mv , para ciertos enteros n,m, entonces

ψτ ′vρ−1 = τmu τ

nv y ψτ ′vψ

−1 = (τ ′v)−1 implica que m = −n y τ ′v = (τuτ

−1v )m.

Finalmente observemos que τ ′u, τ′v pertenecen a un subgrupo propio de T

generado por τuτv y τuτ−1v , lo que contradice que τ ′u, τ

′v generen T .

Vamos a suponer como antes que los generadores τu = [u, 0], τv = [v, 0] son

tales que ||u|| ≤ ||v||, ||u||, ||v|| mınimas y u, v linealmente independientes.

Veamos ahora una condicion sobre el angulo entre u y v. Despues de reem-

plazar τu por τ−1u , podemos suponer que el angulo α entre u, v es α ≤ π/2.

Considera la traslacion τ−1u τv, ya que v es mınima linealmente independiente

a u, entonces ||v − u|| > ||v||.Sea l la recta perpendicular a u que pasa por el punto medio de u, l− es

el semiplano que contiene a 0. Notemos que como ||v − u|| > ||v||, entonces

54

v tiene que estar en l−. El angulo α es menor si v esta sobre l. De hecho

se alcanza el angulo mınimo π/3 cuando el triangulo que definen u, v es

equilatero. Por lo anterior tenemos que

π/3 ≤ α ≤ π/2.

Hay tres posibilidades ψτuψ−1 = τu, ψτuψ

−1 = τ−u o ninguno de los dos.

el ultimo caso es muy sencillo, ası que explicaremos los dos primeros con

detalle:

Tomamos u, v como arriba. Supongamos primero que ψτuψ−1 = τu, de

modo que por observacion 2.68, ψ tiene su eje paralelo a τu. Si α = π/2,

entonces ψτvψ−1 = τ−1

v y (A1) es cierta. Si α < π/2, entonces considera

τv′ = ψτvψ−1 = [v − 2N(v ·N), 0],

Me fijo en v+v′, sabemos que ||v+v′|| > ||u||, y que v+v′ es un multiplo

entero de u (ya que v + v′ es paralelo a u). Por otra parte, tenemos que

||v + v′|| ≤ ||u|| (ya que v ∈ l−), de modo que v + v′ = u. Por lo anterior,

debemos tener que v ∈ l. En este caso se satisface (A2) con τv, τv′ como

generadores de T .

Supongamos ahora que ψτuψ−1 = τ−1

u , entonces ψ tiene eje perpendicular

a τu. Si α = π/2 entonces por observacion 2.68, ψτvψ−1 = τv y (A1) es cierta

con los generadores τu, τv intercambiados. Si α < π/2, considera

τv′ = ψτvψ−1,

observese que v′ es reflejar v por u. De manera similar al caso anterior,

tenemos que τv, τ−v′ es una base para T que satisface (A2).

Sea τv′ = ψτuψ−1, por proposicion 2.66 sabemos que ||ψτuψ−1(0)|| = ||u||.

Si ψτuψ−1 6= τu, τ

−1u , entonces ψτuψ

−1 no es multiplo de τu. Es decir, τv, τv′

sin generadores de T que satisfacen (A2).

55

NOTA 6. En el caso (A2), ψ tiene eje paralelo a u+ v.

2.13. Los casos que invierten orientacion.

En esta seccion trabajaremos con G ⊂Iso(E2) cristalograficos tales que

G 6= G+.

Teorema 2.71. Sea G ⊂Iso(E2),entonces G es cristalografico si y solo sı G+

es cristalografico.

Demostracion. Sea G cristalografico, como un subgrupo de un grupo dis-

continuo es discontinuo, entonces G+ es discontinuo. Sabemos que G =

G+ ∪ ψG+, para cualquier ψ ∈ G que invierta orientacion y que G+ incluye

dos generadores de traslaciones τu, τv ∈ T ⊂ G+ linealmente independientes,

de modo que E2/G+ tambien es compacto y concluimos que G+ es un grupo

cristalografico.

Supongamos ahora que G+ es cristalografico. Como E2/G es compacto,

entonces E2/G es compacto. Sea K ⊂ E2, como G+ es cristalografico, enton-

ces tenemos que g ∈ G+ | g(K)∩K 6= ∅, g ∈ G+ | g(ψ(K))∩ψ(K) 6= ∅son finitos para cualquier ψ ∈ G−, pero g ∈ G | g(K) ∩ K 6= ∅ = g ∈G+ | g(K) ∩K 6= ∅ ∪ g ∈ G+ | g(ψ(K)) ∩ ψ(K) 6= ∅ es finito, de donde

G es discontinuo y concluimos que G es cristalografico.

Clasificaremos los grupos cristalograficosG que invierten orientacion segun

G+ sea equivalente a uno de los Γi antes clasificados.

2.13.1. Hijos del Toro.

Teorema 2.72. Sea G = G+ ∪ ψG+ (ψ ∈ G−) un grupo cristalografico que

invierte orientacion, si G+ es equivalente a Γ1, entonces G es equivalente a

56

uno de los siguientes grupos:

G11 = 〈[1, 0], [i, 0], ρ0〉,

donde ρ0 es reflexion por el eje x. Ver teselacion asociada en figura 2.25.

G21 = 〈[1, 0], [i, 0], ρπ/4〉,

donde ρπ/4 es reflexion por la recta l por cero, con angulo π/4 respecto al eje

real. Ver teselacion asociada en figura 2.26.

G31 = 〈[1, 0], [i, 0], s〉,

donde s = ρ0τ0 es reflexion con deslizamiento. ρ0 es la reflexion por el eje x

y τ0 = [1/2, 0]. Ver teselacion asociada en figura 2.27.

La demostracion del teorema se hace por casos segun exista una reflexion

ρ ∈ G o s ∈ G reflexion con deslizamiento que satisfagan las condiciones del

lema 2.70.

Proposicion 2.73. Sean τu, τv generadores de G+, con ||u|| ≤ ||v||, u, vlinealmente independientes, entonces 〈τu, τv, ρ〉 = G para cualquier ρ ∈ G

Demostracion. Sabemos que τu, τv generan T . Por otro lado, sea ρ1 ∈ G−,

tenemos que ρ1 = ρτ , para algun τ ∈ T , de modo que ρ1 se genera con

τu, τv, ρ. Esto implica que los ejes de reflexion de los elementos que invierten

orientacion de G son paralelos.

Grupo G11, teselacion Anillo.

Lema 2.74. Si existe ρ ∈ G reflexion que satisface (A1), entonces G es

equivalente a G11.

Demostracion. Sea l el eje de ρ, conjugando con una rotacion, puedo suponer

que l es horizontal, a una distancia c del origen (c puede tener ambos signos).

57

Como ρ0, ρc tienen ejes paralelos, con vector ortonormal comun N , entonces

cN es un punto en el eje de ρc con norma |c|. Vemos que τcNρ0τ−1cN = ρc,

τcNτuτ−1cN = τu, τcNτvτ

−1cN = τv, de modo que 〈τu, τv, ρ0〉 y 〈τu, τv, ρc〉 son

equivalentes.

eje de ρ

Figura 2.25: Teselacion anillo.

Sea ϕ la transformacion lineal que lleva la base u, v en (1, 0), (0, 1) res-

pectivamente, hemos calculado que ϕ−1τuϕ = [1, 0] y ϕ−1τvϕ = [i, 0]. Como

ϕ−1ρ0ϕ, ρ0 son funciones lineales, para ver que son iguales basta ver que

coincidan en una base, esto es

ϕ−1ρ0ϕ(1, 0) = (1, 0) = ρ0(1, 0),

ϕ−1ρ0ϕ(0, 1) = (0,−1)) = ρ0(0, 1),

por lo que ϕ−1ρ0ϕ = ρ0. Finalmente, comoG = 〈τu, τv, ρ〉, entonces 〈[1, 0], [i, 0], ρ0〉son equivalentes.

Grupo G21, teselacion Mobius.

Lema 2.75. Si ρ ∈ G es una reflexion con la que se satisface (A2), entonces

G es equivalente a G21.

58

Demostracion. Como se satisface (A2), ρ tiene eje paralelo a u + v (obser-

vacion 2.67). Al igual que en el caso anterior, conjugando por una rotacion

podemos suponer que el eje de τu es paralelo al eje x. Conjugando por una

traslacion vemos que 〈τu, τv, ρ〉 y 〈τu, τv, ρ0〉 son equivalentes, donde ρ0 es una

reflexion por la recta que pasa por 0 y u+ v.

τv eje de ρ

τu

Figura 2.26: Teselacion Mobius.

Sea ϕ la transformacion lineal que lleva la base u, v en (1, 0), (0, 1), ρπ/4

reflexion por recta que pasa por 0 y 1 + i, al igual que el caso anterior

ϕρ0ϕ−1(1, 0) = (0, 1) = ρπ/4(1, 0),

ϕρ0ϕ−1(0, 1) = (1, 0) = ρπ/4(0, 1),

de donde ϕρ0ϕ−1 = ρπ/4. Lo que prueba que con cualquier eje paralelo a u+v

obtenemos una estructura equivalente a la de G21.

59

Grupo G31, teselacion Klein.

Supongamos ahora que G no contiene reflexiones, entonces s ha de ser una

reflexion con deslizamiento, y s2 ∈ T . Si (A1) es cierto, entonces sτus−1 = τu

implica que s2 = τhu para algun h ∈ Z (observacion 2.67). Si ψ = sτmu ,

entonces ψ2 = τh+2mu , reemplazado s por ψ para algun m podemos suponer

que s2 = 1 o s2 = τu. Como no hay reflexiones, el caso s2 = 1 no es posible.

Observacion 2.76. Esta misma s satisface (A1).

Lema 2.77. Si s ∈ G, es una reflexion con deslizamiento con la que se

satisface (A1), y G no contiene reflexiones, entonces G es equivalente a G31.

Demostracion. Como s2 = τu, entonces el eje de s es paralelo al de τu, es

decir, s = ρ0τ0 y ρ0 una reflexion por un eje l paralelo al de τu. De modo que

s2 = τ 20 y τ0 = [u/2, 0]. Analogamente al caso de equivalencia del anillo (G1

1),

podemos suponer que el eje de la reflexion con deslizamiento s = ρ0τ0 es el

eje real.

Considera la transformacion lineal ϕ que lleva u, v en (1, 0), (0, 1) y ρ′

reflexion con deslizamiento por el eje x y distancia 1/2, vemos que

ϕρ0ϕ−1(1, 0) = (3/2, 0) = ρ′(1, 0),

ϕρ0ϕ−1(0, 1) = (1/2,−1) = ρ′(0, 1),

de donde ϕρ0ϕ−1 = ρ′. Lo que prueba que G = 〈τu, τv, ρ〉 y G3

1 son

equivalentes.

Debemos verificar que el grupo obtenido G31 sea nuevo efectivamente, es

decir no contiene reflexiones. Cualquier elemento de G = G31 que no este en

G+ tiene la forma ψ2 = ψτmu τnv , para ciertos m,n ∈ Z, y vemos que ψ2

2 =

ψτmu τnv ψτ

mu τ

nv = ψ2τmu τ

−nv τmu τ

nv = τ 2m+1

u 6= 1, con lo que probamos que ψ2 no

es una reflexion y que los elementos que invierten orientacion de G31 solo son

traslaciones con deslizamiento paralelas a τu.

60

[1, 0]

eje de ρ

[i, 0]

Figura 2.27: Teselacion Klein.

La ultima posibilidad es que G no contenga reflexiones y (A2) sea cierto

con una reflexion con deslizamiento s, como en el caso anterior, podemos

suponer que s2 = τuτv. Sea ρ2 = sτ−1u . Entonces

ρ22 = sτ−1

u sτ−1u = s2sτ−1

u s−1τ−1u = s2τ−1

v τ−1u = (τuτv)τ

−1v τ−1

u = 1,

lo cual es una reflexion en G, contrario a la hipotesis y este caso no es posible.

Lema 2.78. Los grupos G11, G

21, G

31 no son equivalentes entre sı.

Demostracion. Sabemos que G11, G

21 contienen reflexiones mientras que G3

2

no. Por otra parte, sabemos existe una reflexion ρ ∈ G que satisface (A1)

en el caso de G11 y (A2) en el caso de G2

1. De donde dichos grupos no son

equivalentes, pues todas sus reflexiones satisfarıan (A1) o (A2) y solo una.

2.13.2. Hijos de S2222.



61


G12 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], ρ0〉,


G22 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], ρ1/4〉,

donde ρ1/4 es reflexion por recta y = 1/4. Ver teselacion asociada en figura

2.29.

G32 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], ρπ/4〉,

Ver teselacion asociada en figura 2.30.

G42 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], s〉,

donde s = ρ1/4τ1/2. Ver teselacion asociada en figura 2.30.

Para probar este teorema, ya que G+ es equivalente a Γ2, sabemos que

G+ = 〈τu, τv, σ = σπo 〉, donde τu, τv son de distancias mınimas, ||u|| = ||v||y u, v linealmente independientes. Al conjugar con una traslacion, podemos

suponer que el centro de la rotacion σ es 0 y conjugando por una rotacion

que u = (a, 0) para algun a ∈ R.

Supongamos primero que se satisface (A1) con una reflexion ρ, entonces

por observacion 2.67, el eje l de ρ es paralelo a u. Como 〈τu, τv〉 ⊂ G, entonces

G contiene un subgrupo G11. Veremos enseguida que se obtienen dos casos

segun el eje de ρ sea el eje x o no.

Sea ψ = σρ, como se satisface (A1) tenemos que ρτuρ−1 = τu y ρτvρ

−1 =

τ−1v , de donde

ψτvψ−1 = τv,

nuevamente, por observacion 2.67 tenemos que ψ tiene eje paralelo a v.

Ası ψ2 = τhv para algun h ∈ Z, de modo que reemplazando ψ por ψτmv

62

para algun m podemos suponer que ψ2 = 1 o ψ2 = τv.

Un calculo muestra que

ψ2 = (σρτmv )2 = [−4N(p ·N), 0] (2.2)

donde N = (0, 1) es un vector normal a el eje l′ de ρτmv (mismo vector normal

para l), p = cN es un punto sobre l′ a distancia c del origen. Es decir:

Si ψ2 = 1, entonces [−4N(p·N), 0] = [0, 0], de donde c = 0 lo cual muestra

que el eje l′ debe ser el eje x y podemos suponer que G = 〈τu, τv, σ, ρ0〉.Por otro lado, si ψ2 = τv, entonces debe ser [−4N(p · N), 0] = [v, 0],

como N, v son linealmente dependientes vemos que v = −4(p · N) = −4c,

es decir c = −||v||/4, de donde l′ se encuentra a distancia −||v||/4 de 0. La

composicion τvψ deja fijo al eje a distancia ||v||/4 de l′ es decir, ρ′ = τvψ ∈ Ges una reflexion con eje a distancia ||v||/4 de 0 y podemos suponer que

G = 〈τu, τv, σ, ρ′〉.

Observacion 2.80. El calculo 2.2 es valido para cualquier reflexion ρ2 con

eje paralela a u en G, de modo que el eje de ρ2 debe estar a distancia || −4N(p ·N)|| = 4c, es decir a un multiplo entero de ||v||/4.

Observacion 2.81. Todas las reflexiones en G paralelas a τu tienen ejes

con distancia 1/2 entre sı. Esto ya que si ρ es una reflexion paralela al eje

x, entonces τvρ es una reflexion con eje a distancia 1/2 del eje de ρ(toma

τ−1v para distancia -1/2). Por otro lado, no puede haber dos reflexiones ρ′, ρ

cuyos ejes se encuentren a distancia 1/4, pues la composicion ρ′ρ serıa una

traslacion por distancia 1/2, lo cual contradice que τu sea mınima.

Grupo G12, teselacion D2222.

Lema 2.82. Supongamos que se satisface (A1) con una reflexion ρ a una

distancia 2n/4 del eje real, entonces G es equivalente a G12.

63

[i, π]∗

eje de ρ

[1 + i, 0]∗

[0, 0]∗

Figura 2.28: Teselacion D2222.

Demostracion. Ya que el eje de ρ en este caso esta a distancia 2n/4 de cero

(centro de rotacion), entonces la composicion (σρ)2 = τ−2nv , y reemplazando

ρ por ρτnv vemos que ψ2 = (σρ)2 = ρ21 = 1, lo que muestra que ρ es la

reflexion por el eje x y ψ por el eje y.

Finalmente al conjugar por la homotecia ϕ = ||u||Id obtenemos que

ϕ−1ρ0ϕ = ρ0

ϕ−1τuϕ = [1, 0]

ϕ−1τvϕ = [i, 0]

ϕ−1σϕ = [0, π].

Por lo tanto G y G12 son equivalentes.


Lema 2.83. Supongamos que se satisface (A1) con una reflexion ρ a una

distancia (2n+ 1)/4 del eje real, entonces G es equivalente a G22.

Demostracion. Analogamente al caso anterior, como l (eje de ρ) esta a dis-

tancia (2n+1)/4 del 0. Al componer (σρ)2 = τ−2n−1v , vemos que al reemplazar

64

(i,0)

eje de ρ

(0,0)

centro de rotacion

(1,0)


ρ por ρτnv podemos suponer que ρ21 = τv. Al igual que en el caso klein (G3

1),

tenemos que ρ1 es una reflexion con deslizamiento a lo largo del eje y por

una distancia ||v||/2.

Para terminar, conjugamos con la matrız ϕ = ||u||Id y obtenemos que

ϕ−1ρ1/4ϕ = ρ1/4

ϕ−1τuϕ = [1, 0]

ϕ−1τvϕ = [i, 0]

ϕ−1σϕ = [0, π].

Por lo tanto G y G22 son equivalentes.

Observacion 2.84. G12 contiene una reflexion σρ por el eje y, y ρ por el eje x,

de modo que σρρ = σ. Por otro lado G22 no contiene reflexion perpendicular a

ρ, pues si existiera dicha reflexion ρ′, entonces la composicion ρ′ρ = σπo serıa

una rotacion de orden 2, con centro o = (x, 1/4), lo cual no es posible, pues

los centros de rotacion generados por G22 son de la forma n + mi con n,m

enteros.

65

Supongamos ahora que G contiene una reflexion ρ y que (A2) es cierto,

con ρτuρ−1 = τv, ρτvρ

−1 = τu, entonces por 2.67, ρ tiene eje paralelo a u+ v.

De nuevo al conjugar por una traslacion y una rotacion, podemos suponer

que σ es una rotacion con centro 0 de angulo π y que u = (a, 0) para algun

a ∈ R.

De manera analoga al caso G12, por (A2) y 2.67, ρ tiene eje paralelo a u+v,

(σρ)2 ∈ 〈τuτv〉 ⊂ G y por 2.2, el eje de ρ esta a distancia c = n||τ−1u τv||/4 =

n||v||√

2/4(n ∈ Z) del 0.

Observacion 2.85. Todas las reflexiones en G paralelas a u+ v tienen ejes

con distancia ||v||√

2/2 entre sı. Esto ya que si ρ es una reflexion paralela a

u + v, entonces τ−1u τvρ es una reflexion con eje a distancia ||v||

√2/2 del eje

de ρ (toma τ−1v τu para distancia −||v||

√2/2). Por otro lado, no puede haber

dos reflexiones ρ′, ρ cuyos ejes se encuentren a distancia ||v||√

2/4, pues la

composicion ρ′ρ serıa una traslacion por distancia ||v||√

2/2 = ||u+ v/2||, lo

cual contradice que τuτv sea traslacion de distancia mınima, paralela a u+ v.

Proposicion 2.86. Si G+ es equivalente a Γ2 y ρ ∈ G reflexion que satisface

(A2)(cone eje paralelo a u+ v), entonces existe otra reflexion ρ ∈ G con eje

paralelo a u− v.

Demostracion. Sea ψ = σρ, vemos que ψτuψ−1 = τ−1

v , ψτvψ−1 = τ−1

u y

ψ(τ−1u τv)ψ

−1 = τ−1u τv,

por 2,67 tenemos que ψ tiene su eje paralelo a v−u, de donde ψ2 = (τ−1u τv)

h

para algun h ∈ Z. Al igual que antes, reemplazando ψ por ψ(τ−1u τv)

m para

algun m ∈ Z, podemos suponer de acuerdo a la paridad de h que ψ2 = 1

o ψ2 = τ−1u τv. Si ψ2 = 1 entonces ψ = ρ es la reflexion buscada. Si ψ2 = τ−1

u τv,

sea ρ2 = ρ1τu. Entonces ρ22 = ψτuψτu = ψ2τ−1

v τu = (τ−1u τv)τ

−1v τu = 1, con lo

que ρ2 es una reflexion. Hemos probado que en cualquiera de los dos casos

(ψ2 = 1 o ψ2 = τ−1u τv), G contiene reflexiones con ejes paralelos a v − u y

u+ v y cuyo producto es una rotacion de orden 2.

66


Lema 2.87. Supongamos que se satisface (A2) con una reflexion ρ, entonces


Demostracion. Como se satisface (A2) con una reflexion y 〈τu, τv〉 ⊂ G, en-

tonces G contiene un subgrupo G21. Ya que los ejes de reflexiones paralelas a

u + v deben estar a distancia n||v||√

2/4 del 0 y√

2/2 entre ellas, podemos

escribir G = 〈τu, τv, [0, π], ρ〉, donde ρ tiene eje l paralela al eje x a distancia

0 o ||v||√

2/4 del 0.

El caso de l a distancia√

2/4 del 0 no es posible, ya que por proposi-

cion 2.86, existirıa una reflexion ρ′0 ∈ G con eje perpendicular al de ρ, y

tal que ρ′0ρ = σπo , donde el centro o = nu + mv debe ser combinacion li-

neal entera de u, v y estar sobre el eje de ρ. Obtenemos que la composicion

τnu τmv (ρ′0)τ−nu τ−mv = ρy y τnu τ

mv (ρ′0)τ−nu τ−mv = ρ0, es decir existe ρ0 ∈ G con

eje paralelo a u + v que pasa por 0. De modo que la composicion ρ0ρ serıa

una traslacion paralela a u+ v de distancia menor que ||u+ v||, lo cual no es

posible.

0

eje de ρ

eje ρ1


Ası, podemos suponer que el eje de ρ′ pasa por 0 y u+ v. Para terminar,

67

conjugamos con la matrız ϕ = ||u||Id y obtenemos que

ϕ−1ρ′ϕ = ρπ/4

ϕ−1τuϕ = [1, 0]

ϕ−1τvϕ = [i, 0]

ϕ−1σϕ = [0, π].

De donde G y G32 son equivalentes.

Grupo G42, teselacion P22.

Lema 2.88. Supongamos que se satisface (A1) con una reflexion con des-

lizamiento s, y que G no contiene reflexiones, entonces G es equivalente a

G42.

Demostracion. Al igual que casos anteriores suponemos σ = [o, π] y u =

(a, 0) para algun a ∈ R. Como G no contiene reflexiones. Si (A1) se cumple

con una reflexion con deslizamiento, ya que 〈τu, τv〉 ⊂ G, entonces G contiene

un subgrupo G31. Ası, podemos suponer que s2 = τu.

Si s′ = sσ, tenemos que s′τus′−1 = sτ−1

u s−1 = τ−1u , s′τvs

′−1 = sτ−1v s−1 =

τv y por 2.67 s′ tiene eje paralelo a v. Como el grupo no contiene reflexiones,

podemos suponer que s′2 = τv .

Estudiaremos la estructura de este grupo probando:

a)Los elementos s ∈ G− con ejes paralelos a u estan separados entre si

por una distancia ||u||/2.

b)No existen elementos s ∈ G− cuyo eje sea el eje x.

Para a), de manera similar a los grupos G12, G

22, vemos que si escribimos

s = ρ0τu/2, entonces τvρ0 es una reflexion cuyo eje tiene una distancia ||u||/2respecto al eje de ρ0. Ası la composicion:

(τvs)2 = τvsτvs = τvρ0τu/2τvτu/2ρ0 = τvρ0τu/2τvρ0τu/2 = τu,

68

de donde τvs es una reflexion con deslizamiento con eje paralelo al de s a una

distancia u/2 (toma τ−1v para distancia negativa).

No pueden haber dos reflexiones con deslizamiento s′ = ρ′τu/2, s = ρτu/2 ∈G cuyos ejes de ρ′, ρ tengan distancia u/4 entre sı, de lo contrario la compo-

sicion

s′s = τu/2,

es una traslacion por una distancia menor que ||u||, lo cual contradice la

minimalidad de ||u||.Veamos ahora que no pueden existir reflexiones con deslizamiento que

pasen por 0. Supongamos que s0 = ρ0τu/2 es tal que ρ0 es una reflexion por

el eje real. Calculamos:

σs0 = στu/2ρ0(−u/4, u/4) = στu/2(−u/4,−u/4) = σ(u/4,−u/4) = (−u/4, u/4),

es decir (−u/4, u/4) es un punto fijo, de modo que σs0 es una reflexion en G

contrario a la hipotesis.

Ası, podemos suponer que el eje de s esta a distancia 1/4 del 0.


ϕ−1sϕ = ρ1/4τ1/2

ϕ−1τuϕ = [1, 0]

ϕ−1τvϕ = [i, 0]

ϕ−1σϕ = [0, π].

De modo que G es equivalente a G42.

La ultima posibilidad es que se cumpla (A2) con una reflexion con desli-

zamiento s y G no contenga reflexiones. En este caso tenemos sτus−1 = τv,

sτvs−1 = τu, podemos suponer al igual que en los casos de Γ1, que s2 = τuτv

y que s′ = σρ satisface s′2 = τ−1u τv. Ası, ρ2 = s′τ−1

u es una reflexion en G

69

(0, 0)

eje ρ1

eje ρ

Figura 2.31: Teselacion P22.

contrario a la hipotesis.


22, G

32, G

42 no son equivalentes entre sı.

Demostracion. Sabemos que G12, G

22, G

32 contienen reflexiones mientras que

G42 no. Por otra parte G1

2, G22 no son equivalentes a G3

2 ya que G12, G

22 contienen

un subgrupo G11, mientras que G3

2 contiene un subgrupo G21. Luego, en G1

2

existe una reflexion ρ1 con eje y (pasa por el centro de rotacion), mientas que

G22 no contiene reflexiones que pasen por 0, de hecho contiene una reflexion

con deslizamiento con eje y. Por lo anterior, los grupos aquı obtenidos no son

equivalentes.

2.13.3. Hijos de S442.



70


G14 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π/2], ρ0〉,


G24 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π/2], s〉,

donde s = τ1/2ρ1/4. Ver teselacion asociada en figura 2.33.

Si ρ satisface (A1), con ρτuρ−1 = τu, ρτvρ

−1 = τ−1v , entonces ρ1 = ρσ ∈

G, es tal que ρ1τuρ−11 = τ−1

u , ρ1τvρ−11 = τ−1

v , es decir ρ1 intercambia los

generadores y (A2) tambien es cierta, con lo que los casos (A1), (A2) coinciden.

Por lo anterior supondremos que (A1) es valido, con ρ una reflexion o s

reflexion con deslizamiento.

Proposicion 2.91. Si G contiene una reflexion con eje paralelo a τu o τv,

entonces G tendra una reflexion con eje paralelo al otro generador de T .

Demostracion. Por simetrıa supondremos que G contiene una reflexion ρ con

eje paralelo a τu y que satisface (A1). Como ρ1(τ−1u τv)ρ

−11 = τ−1

u τv, entonces

el eje de ρ1 es paralelo a τ−1u τv y ρ2

1 = (τ−1u τv)

h para algun entero h. Ahora

ρ1τ−hv es paralelo a ρ1 y por tanto a τ−1

u τv. Luego (ρ1τ−hv )2 = ρ2

1τhu τ−hv =

(τ−1u τv)

h−h = 1 (reflexion), de manera que tenemos ejes que se encuentran en

algun punto o1 con un angulo 2π/8 = π/4, y el producto de ellas es σ1 una

rotacion de orden 4.


Lema 2.92. Supongamos que se satisface (A1) con una reflexion ρ, entonces


Demostracion. Observemos que σ2 es una rotacion de orden 2 alrededor de 0,

de modo que G contiene un subgrupo G12 o G2

2. Por proposicion 2.91 sabemos

71

existe una reflexion paralela a v, de modo que la estructura G22 no es posible,

de donde podemos suponer que ρ = ρ0.

(0, 0)

centro de orden 4

eje de ρ

eje ρ1

(0, 1/2) (1/2, 1/2)


Al sustituir ρ1 por ρ1τ−hv para algun h podemos suponer que ρ1 es una

reflexion por la recta l que pasa por (0, 0) y v − u.


ϕ−1ρϕ = ρ0

ϕ−1τuϕ = [1, 0]

ϕ−1τvϕ = [i, 0]

ϕ−1σϕ = [0, π/2].

Por lo anterior, G y G14 son equivalentes.


Lema 2.93. Supongamos que se satisface (A1) para una reflexion con des-

lizamiento s y que G no contiene reflexiones paralelas a τu, entonces G es

72

equivalente a G24.

Demostracion. Ya que se satisface (A1) con una reflexion con deslizamiento

s = ρ0τ0 y σ2 es una rotacion de orden 2, entonces G contiene un subgrupo

G42.

Si ahora reemplazamos s por sτnv , la relacion s2 = ρ0τnv τuρ0τ

nv = τu sigue

siendo valida. Como antes tenemos que

(σs)τv(σs)−1 = σ(sτvs

−1)σ−1 = στ−1v σ−1 = τu,

y

(σs)τu(σs)−1 = σ(sτus

−1)σ−1 = στuσ−1 = τv,

nuevamente 2.67 muestra que σs tiene eje paralelo a u+ v, de donde (σs)2 =

(τvτu)h para algun h entero. Luego, para n = −h tenemos que

ρ21 = (σsτnu )2 = σsστnv σ

−1σsτ−nu = σsσsτ−nv s−1sτ−nu = 1,

es una reflexion en G con eje paralelo a u+ v.

(0, 0) eje ρ

eje ρ1


Analogo al caso G42 al conjugar con ϕ = ||u||Id obtenemos que G y G2

4

73

son equivalentes.


24 no son equivalentes.

Demostracion. Sabemos que σ2 es una rotacion de orden 2, y hemos visto

que G14 tiene un subgrupo G1

2, mientras que G24 contiene un subgrupo G4

2.

Notemos que a diferencia de G42, G2

4 contiene una reflexion ρ1 ademas de la

reflexion con deslizamiento ρ que lo genera.

2.13.4. Hijos de S333.




G13 = 〈[1, 0], [eπ/3, 0], [0, 2π/3], ρ0〉,

ver teselacion asociada en figura 2.35.

G23 := 〈[1, 0], [eπ/3, 0], [0, 2π/3], ρπ/6〉,

donde ρπ/6 es una reflexion con eje por 0 y 1 + eπ/3. Ver teselacion asociada

en figura 2.36.

Proposicion 2.96. Si G tiene una reflexion con deslizamiento s con eje l,

entonces G tiene tambien una reflexion ρ1 con eje l1 paralelo a l.

Demostracion. Escribimos s = ρ0τ0, donde ρ0 es una reflexion por la recta l y

τ0 una traslacion a lo largo de l; aquı ρ0, τ0 no estan necesariamente en G. De

esta manera s2 = τ 20 = τ ∈ T . Sea l1 una lınea paralela a l, a una distancia√

3/2 de l. Sea p cualquier punto en l1. Entonces d(p, ρ0(p)) =√

3 | τ0| y

d(ρ0(p), ρ(p)) = τ0, de manera que el triangulo pρ0(p)ρ(p) es un triangulo

rectangulo con hipotenusa−−−→pρ(p) de longitud 2|τ0| = |τ | y con un angulo

π− 2π/3 de la recta l en direccion de τ . Observemos que la recta−−−→ps(p) bajo

74

2π/3

l

l1

ρ0(p)

√3/2|τ0|

p

ρ(p)

Figura 2.34: Construccion 1

σ−1 va a dar a una recta−−−−−−−−−−−→σ−1(p)σ−1(s(p)) la cual forma un angulo π(direccion

opuesta a τ) con l, por otro lado ya que σ preserva distancias y l, σ−1(−−−→ps(p))

son paralelas entonces τ(σ−1(s(p))) = σ−1(p), con lo que στσ−1(s(p)) = p,

es decir στσ−1s fija p e invierte orientacion, pero esto fue para toda p ∈ l1,

de modo que στσ−1s es una reflexion por l1, ver figura 2.34.


Lema 2.97. Supongamos que se satisface (A1) para una reflexion ρ entonces


Como el eje l de ρ satisface (A1) y 〈τu, τv〉 ⊂ 〈τuτv, σ〉 ⊂ G, entonces

G contiene un subgrupos equivalentes a G11 y a Γ3 . De modo que podemos

suponer que ||u|| = ||v||, y que el angulo entre u, v es π/3. Al conjugar por

una traslacion podemos suponer que el centro de la rotacion σ es el 0, luego

al conjugar por una rotacion podemos suponer que el eje de ρ es paralelo a

u.

Veamos por que podemos suponer que el eje de ρ pasa por el origen

tambien:

Como el eje de ρ es paralelo a u, entonces ρ(0) = (0, y) para algun y ∈ R.

Sea l1 la recta que pasa por ρ(0) y σρ(0), r = σρ(0) − ρ(0). Un calculo

75

[eπ/3, 0]

[1, 0]

eje σρ

eje ρ

0


muestra que

(σρ)(ρl1τr)−1 = Id,

donde ρl es una reflexion por el eje l1 y τr es una traslacion por un vector r.

Ası, σρ = ρl1τd es una reflexion con deslizamiento. Ya que la rotacion σ es

por angulo 2π/3, tenemos que l1 es paralelo a v, y por proposicion 2.96, G

contiene una reflexion ρ2 con eje l2 paralelo a v. Por lo anterior los ejes l de

ρ y l2 de ρ2 se cortan en algun punto p con angulo π/3 respecto al eje x, es

decir ρρ2 es una rotacion con centro p y angulo π/3. Ya que el centro de σ

es el 0, hemos probado en 2.48 que p = τnu τmv (0) para ciertos enteros n,m.

De modo que ρ0 = τmv ρτ−mv y ρπ/3 = τnu τ

mv ρ2(τnu τ

mv )−1, es decir, G contiene

reflexiones ρ0, ρπ/3 que generan σ. Finalmente al conjugar por ||u||Id vemos

que G y G13 son equivalentes.

76


Lema 2.98. Supongamos que se satisface (A2) para una reflexion ρ entonces


Demostracion. Analogamente al caso anterior, podemos suponer que el cen-

tro de la rotacion σ es el 0 y que u = (a, 0) para algun a ∈ R. Como se

satisface (A2), por 2.67 tenemos que el eje de ρ es paralelo a u+ v. Analoga-

mente al caso anterior tenemos que σρ sera una traslacion con deslizamiento,

por 2.96 existe una reflexion ρ2 ∈ G que al conjugarse con ρ generan una

rotacion y al igual que antes esto nos muestra que existen las reflexiones

ρu+v = ρπ/6, ρy ∈ G con ejes u+ v y y respectivamente, los cuales generan σ.

Para terminar conjugamos con ϕ = ||u||Id, lo que muestra que G y G23

son equivalentes.

Lema 2.99. Los grupos G13 y G2

3 no son equivalentes.

Demostracion. Sabemos que una reflexion ρ no puede satisfacer (A1) y (A2)

al mismo tiempo, por lo que basta probar que G no puede contener refle-

xiones ρ, ρ′ que satisfagan (A1), (A2) respectivamente. Supongamos existen

tales reflexiones, entonces por la construccion de cada grupo, podemos su-

poner ρ = ρ0 y ρ′ = ρπ/3 y que estas generan al par de reflexiones ρπ/6, ρy.

De donde el producto ρ0ρπ/6 es una rotacion por angulo π/3 en G, lo cual

contradice que 2π/3 es el angulo mınimo para las rotaciones.

2.13.5. Hijos de S632

Teorema 2.100. Sea G = G+ ∪ψG+ (ψ ∈ G−) un grupo cristalografico que

invierte orientacion, si G+ es equivalente a Γ5, entonces G es equivalente a:

G15 := 〈[1, 0], [eπ/3, 0], [0, 2π/6], ρ0〉,

ver teselacion asociada en figura 2.37.

77

eje σρ

eje ρ[eπ/3, 0]

[1, 0]


Al igual que antes, podemos suponer que σ tiene centro 0 y que u es

horizontal.


Lema 2.101. Supongamos que se satisface (A1) para una reflexion ρ enton-

ces G es equivalente a G15.

Demostracion. Como σ2 ∈ G es una rotacion de orden 3, entonces G debe

contener un subgrupo G13 o G2

3. Como se satisface (A1) con ρ, entonces como

antes, podemos suponer que ρ = ρ0. Analogamente a los dos casos anteriores,

vemos que ρπ/6 = σρ es una reflexion con eje que pasa por 0 y angulo π/6

respecto al eje x, de modo que la composicion ρ0ρπ/6 genera σ. Notemos

78

eje σρ[eπ/3, 0]

[1, 0]

eje ρ


que ρ1 satisface (A2). Para terminar, al igual que antes, conjugamos con

ϕ = ||u||Id y obtenemos que G y G15 son equivalentes. Ver figura 2.37.

2.13.6. Teorema de clasificacion.

Para terminar con nuestra discusion de grupos cristalograficos Euclıdeos

tenemos:

Teorema 2.102. Existen solo 17 grupos cristalograficos Euclıdeos distintos

bajo equivalencia afın y son

Γ1,Γ2,Γ3,Γ4,Γ5, G11, G

21, G

31, G

12, G

22, G

32, G

42, G

14, G

24, G

13, G

23, G

15.

Demostracion. Hemos probado que los 17 grupos expuestos son grupos cris-

talograficos ya que en cada caso G+ es cristalografico. No son equivalentes

entre ellos por construccion, es decir si dos de estos grupos G,H son equi-

valentes, entonces G+ = H+ = Γi. Sı G = G+ entonces, H = G, de otra

manera debe ser que G 6= G+ y H 6= H+, de donde G+ = Gji para algun

79

j ∈ 1, 2, 3, 4. Luego, en cada caso probamos que Gji no es equivalente a Gk

i

si j 6= k, de modo que G = H.

Veremos que cualquier otro es equivalente a uno de estos. Sea G cris-

talografico, el subgrupo G+ ⊂ G sera equivalente a Γi de la clasificacion de

grupos cristalograficos que preservan orientacion. Un primer caso es G = G+,

de donde G es equivalente a Γi para algun i ∈ 1, 2, 3, 4, 5.Si G 6= G+, sabemos que podemos escribir G = G+ ∪ ψG+, donde ψ es

una reflexion o reflexion con deslizamiento en G. Si G+ es equivalente a Γ1,

vimos que G es equivalente a G11, G

21 o G3

1. Si G+ es equivalente a Γ2, vimos

que G es equivalente a G12, G

22, G

32 o G4

2. Si G+ es equivalente a Γ3, vimos

que G es equivalente a G13 o G2

3. Si G+ es equivalente a Γ4, vimos que G es

equivalente a G14 o G2

4. Si G+ es equivalente a Γ5, vimos que G es equivalente

a G15.

80

Capıtulo 3

Dominios fundamentales

3.1. Preliminares

Estudiaremos ahora otra caracterıstica importante de las teselaciones tipo

M.C. Escher. Hemos analizado la estructura de grupo que envuelve, veamos

ahora como son los denominados dominios fundamentales. Comenzaremos

con algunas de sus propiedades como subconjunto del plano E2, su importan-

cia para entender el cociente E2/G y finalmente una construccion de dichos

dominios a partir de su grupo cristalografico G conocida como el Polıgono

de Dirichlet ver [1].

Recordemos que si G ⊂Iso(E2) discontinuo, entonces

-Todo subgrupo de G actua discontinuamente.

-Si z ∈ E2 y si g1, g2, ... ∈ G son distintos elementos, entonces la secuencia

g1(z), g2(z), ... no puede converger a ningun y ∈ E2.

-Si z ∈ E2, entonces su estabilizador Iz = g ∈ G | g(z) = z es finito.

- G es numerable.

81

3.2. Definicion de dominio fundamental.

Dado G ⊂Iso(E2), se define una relacion de equivalencia en E2. Dos

elementos x, y ∈ E2 esten relacionados si existe g ∈ G tal que gx = y,

decimos que x, y son G equivalentes. Ası, las clases de equivalencia son las

orbitas de G.

Definicion 3.1. Sea G ⊂ Iso(E2) discontinuo, un conjunto fundamental es

un subconjunto Ω ⊂ E2, que contiene exactamente un punto de cada orbita.

Observacion 3.2.

gΩ ∩ Ω = ∅ para toda g ∈ G⋃f∈G

f(Ω) = E2

El axioma de eleccion asegura la existencia de un conjunto fundamental

para G.

Definicion 3.3. Sea G ⊂Iso(E2) discontinuo, un subconjunto D ⊂ E2 es

dominio fundamental para G si y solo si:

1. D es un dominio, es decir abierto y conexo

2. ∃Ω un conjunto fundamental tal que D ⊂ Ω ⊂ D

3. a(∂(D)) = 0.

Aquı a denota el area en E2, es decir a(D) es la integral de la funcion

δD definida como 1 sobre el conjunto D y 0 fuera de el. Tiene sentido hablar

de el area de D ya que el conjunto de discontinuidades de f esta contenido

en ∂D, el cual por discontinuidad debe tener medida cero.

La existencia de dominios fundamentales la estudiaremos en la seccion

del polıgono de Dirichlet. Probaremos que dichos dominios fundamentales

82

satisfacen: Para todo K ⊂ E2, el conjunto

g ∈ G | g(D) ∩K 6= ∅ (3.1)

es finito.

Por como estan definidos los dominios fundamentales se verifica que :

∀g 6= Id ∈ G, g(D) ∩D = ∅ y⋃f∈G

f(D) = E2.

Ejemplo 3.4. Un dominio fundamental D1 para Γ1 = 〈[1, 0], [i, 0]〉 es el

cuadrado abierto con vertices en (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), pues si z = (x, y) ∈D1, τ ∈ Γ1, entonces τ(x, y) = (x+ n, y +m), con n,m ∈ Z, y claramente si

τ 6= Id, entonces τ(z) /∈ D1, es decir no contiene puntos equivalentes. Veamos

que D1 contiene representantes de cada clase. Si z = (x, y) ∈ E2, entonces

existen n,m enteros tales que n ≤ x ≤ n + 1,m ≤ y ≤ m + 1, de modo que

[−n−m, 0](z) ∈ D1 ver figura 3.1.

(0, 0)

(1, 1)

Figura 3.1: Dominio fundamental para Γ1.

Observacion 3.5. El paralelogramo con vertices en (0, 0), (1, 0), (2, 1), (1, 1)

tambien es dominio fundamental para Γ1.

Veamos que a pesar de que un grupo puede tener varios dominios funda-

mentales, el area de dicho dominio no cambia.

Proposicion 3.6. Sean D1, D2 dominios fundamentales para G ⊂ Iso(E2)

83

discontinuo, entonces a(D1) = a(D2). Si D0 es un dominio fundamental de

un subgrupo G0 de indice k en G, entonces a(D0) = ka(D1).

Demostracion. Como el area es invariante bajo isometrias:

a(D1) = a(D1 ∩⋃g∈G

g(D2)) =∑g∈G

a(D1 ∩ g(D2))

=∑g∈G

a(D2 ∩ g−1(D1)) = a(D2).

De esta manera podemos escribir G como la union disjunta de clases

G =⋃n

Gogn, sea F∗ =⋃n

gn(D1).

Veamos que F∗ tiene un elemento de cada orbita, Si w ∈ E2, entonces

g(w) ∈ D1 para algun g ∈ G y g−1 = h−1gn para algun n ∈ N, h ∈ G0. De

esta forma h(w) ∈ gn(D1), pues h(w) = gn(g(w)) ∈ gn(D1).

F∗ contiene exactamente un elemento de cada orbita o punto fijo bajo

G0. Para probar esto, sean z, f(z) ∈ F∗, donde f ∈ G0, si z no es punto fijo

de ningun elemento de G, entonces para ciertos m,n ∈ Z se tiene que

g−1n (z), g−1

m (f(z)) ∈ D1

de modo que

gng−1m f fija z ,

por lo que

gng−1m f = Id⇒ gmg

−1n = f ∈ G0

Es decir, G0gm = G0gn representan la misma clase, de donde n = m y

f = Id pues f fija z.

Por ser G discontinuo sabemos que a lo mas hay una cantidad numerable

de puntos fijos de F∗(hay finitos para cada compacto), al tomar un repre-

84

sentante de cada uno nos da como resultado un conjunto fundamental para

G0, y por la primer parte a(F∗) = a(D0).

Claramente D1 intersecta a una imagen de si mismo en a lo mas una

cantidad numerable de puntos, entonces:

a(F∗) =∑n

agn(D1) = ka(D1)

En terminos de cocientes hemos probado que:

a(D) = a(E2/G).

Observacion 3.7. Dado G cristalografico que invierte orientacion, el sub-

grupo de traslaciones G+ es de ındice 2 en G(recordemos que G = G+∪ ρG+

con ρ ∈ G−G+). Tambien sabemos que G+ es cristalografico. Si D0 es domi-

nio fundamental para G+, y D dominio fundamental para G, entonces hemos

probado que:

2 Area (F ) = Area (F0)

D1

eje [i, 0]ρ0 (0, 0)

(1, 1/2)D1

1

Figura 3.2: Dominio fundamental para G11(anillo).

Ejemplo 3.8. Veamos que un dominio fundamental D11 para G1

1 (anillo)

esta dado por el rectangulo con vertices en (0, 0), (1, 0), (0, 1/2), (1, 1/2). Si

z ∈ D11, es claro que g(z) /∈ D1

1 para toda g ∈ G. Si z ∈ E2, sabemos por

85

ejemplo anterior que existe τ ∈ G traslacion tal que τ−1(z) ∈ D1( dominio

fundamental para Γ1). Luego z ∈ D11 o [i, 0]ρ0(z) ∈ D1

1. Ver figura 3.2. Se

verifica que aD1 = 1 = 2aD11.

3.3. Cociente D/G.

Dado G cristalografico, la discontinuidad de G (ver 3.1 ) nos permite

entender el cociente E2/G, como D/G, donde D es dominio fundamental

para G, esto debido al homeomorfismo E2/G→ D/G ver [1].

Estudiaremos ahora una propiedad interesante de los dominios funda-

mentales y es que nos pueden revelar informacion del grupo que los genero a

traves de lo que podrıamos entender como funciones de pegado en la frontera

del dominio.

Lema 3.9. Sea D un dominio fundamental para un grupo cristalografico G,

entonces

G0 = g ∈ G | g(D) ∩ D 6= ∅

genera G.

Demostracion. Sea G∗ el grupo generado por G0. Para cada z ∈ E2 existe

un g ∈ G con g(z) ∈ D. Supongamos tambien que h(z) ∈ D. Entonces h(z)

esta en ambos, en D y en hg−1(D), es decir hg−1 ∈ G0: obteniendo ası la

igualdad de clases laterales

G∗h = G∗g

Con lo que la siguiente funcion esta propiamente definida:

φ : E2 → G∗\G

φ(z) = G∗g , donde g(z) ∈ D

NOTA 7. Es importante entender esta funcion para la demostracion, a cada

z ∈ E2 se le asigna una clase de elementos en G∗\G. Como hemos visto la

86

accion de G sobre G∗ es por la derecha, es decir dos clases de elementos

h, g ∈ G∗\G son la misma si hg−1 ∈ G∗.

Sea z ∈ E2, por 3.1, existen g1(D), g2(D), ..., gm(D) imagenes que contie-

nen z, cuya union cubre una region abierta N de z.

Si w ∈ N , entonces w ∈ gj(D) para algun j, y

φ(w) = G∗(gj)−1 = φ(z)

De lo anterior cada z ∈ X tiene una vecindad en la que φ es constante.

Dandole a φ(E2) la topologıa discreta φ resulta continua, φ(E2) conexo y

por tanto φ(E2) contiene un solo punto, es decir

φ(z) = φ(w)

para toda z, w ∈ X. Dado cualquier g ∈ G seleccionamos un z ∈ D,w ∈g−1(D). Entonces como φ es constante,

G∗ = φ(z) = φ(w) = G∗g

con lo que g ∈ G∗, es decir G ⊂ G∗. Claramente G∗ ⊂ G, por lo cual G∗ = G

y concluimos que G0 genera a G.

Centraremos ahora nuestra atencion a las instrucciones de pegado de

lados de P por ciertos elementos de G. Sea

G∗ = g ∈ G | P ∩ g(P ) es un lado,

y sea S el conjunto de lados de P . Claramente cada g ∈ G∗ produce un unico

lado en S(digamos, s = P ∩ g(P ) ), y cada lado se define de esta manera,

formalmente tenemos una funcion sobreyectiva

Φ : G∗ → S

87

dada por

Φ(g) = P ∩ g(P ).

De hecho Φ es una biyeccion, pues si Φ(g) = Φ(h) entonces

P ∩ g(P ) = P ∩ h(P )

y esto no puede ocurrir. La existencia de Φ−1 : S → G∗ muestra que cada

lado s tiene asociado un unico gs en G∗ con

s = P ∩ gs(P ).

Observemos que g−1s (s) = P ∩ g−1

s (P ) = s′ que como tiene longitud

positiva tambien es un lado. Si s′ = (gs)−1(s), entonces

gs′ = (gs)−1.

De esta manera, hemos construido un funcion que manda s en s′ del

conjunto S en sı mismo, que son llamadas las instrucciones de pegado ya que

(s′)′ = (gs′)−1(s′)

= gs(s′) = s.

En este sentido, el conjunto de lados S de P se parte naturalmente en

parejas s, s′, notese que no excluimos la posibilidad s = s′.

Ejemplo 3.10. Considera D1 dominio fundamental para Γ1 y los lados

l1 entre (0, 0), (1, 0), l2 entre (1, 0), (1, 1), l3 entre (1, 1), (0, 1) y l4 entre

(0, 1), (0, 0). Vemos que [i, 0]l1 = l3, [−i, 0]l3 = l2 y [1, 0]14 = 13, [−1, 0]l2 = l4,

es decir las instrucciones de pegado son G∗ = [1, 0], [i, 0], ver figura 3.3.

El siguiente es el resultado que estabamos buscando en esta seccion:

Teorema 3.11. Las instrucciones de pegado G∗ de P generan G.

88

l2l1

l3 (1, 1)

(0, 0)

l4

Figura 3.3: Instrucciones de pegado en D1.

Demostracion. Por lema 3.9, basta probar que si P ∩ h(P ) 6= ∅, entonces

h se encuentra en el grupo generado por los gs’s. Consideremos entonces

cualquier w ∈ P ∩h(P ). Primeramente, existe un disco abierto N con centro

w y elementos h0(= I), h1, h2, ..., ht ∈ G tales que h = hj para algun j 6= 0, y

w ∈ h0(P ) ∩ ... ∩ ht(P );

N ⊂ h0(P ) ∪ ... ∪ ht(P ).

Haciendo el radio de N suficientemente pequeno, podemos suponer que N

no contiene vertices mas que posiblemente w, ni lados h(P ), excepto aquellos

que contienen a w. Luego, la frontera de P en N consiste entonces de un

solo lado, o dos lados que emanan de w. Lo mismo es cierto para los otros

hj(P ), entonces, despues de reetiquetar los hi tenemos uno de las situaciones

ilustradas en figura 3.4:

De lo anterior se sigue que

P ∩ h−1j hj+1(P )

es un segmento de longitud positiva, entonces

hj+1 = hjgs

para alguna instruccion de pegado gs, con lo que h resulta generado por

89

...

w

h1(P )

h2(P )

ht(P )

wP

P

h1(P )

Figura 3.4: Comportamiento local.

gs’s.

3.4. Polıgono de Dirichlet

Para finalizar con los dominios fundamentales discutiremos una construc-

cion particular, conocida como el polıgono de Dirichlet.

Sea G un grupo cristalografico y w ∈ E2 cualquier elemento que no

esta fijo bajo alguna rotacion en G. Para cada g ∈ G, g 6= Id, definimos

Lg(w) = z ∈ E2 | d(z, w) = d(z, gw),

ve figura 3.5.

g(w)

Lg(w)

w

Figura 3.5: Conjunto Lg(w).

Hg(w) = z ∈ E2 | d(z, w) < d(z, gw)

= z ∈ E2 | d(z, w) < d(g−1z, w),

90

ver figuras 3.6.

w g(w)

Hg(w)

Figura 3.6: Conjunto Hg(w).

Observemos que Lg(w) es una recta que no contiene w y Hg(w) es el

semiplano que contiene a w, y que esta limitado por Lg(w). De hecho, Lg(w)

es la frontera comun de Hg(w) y Hg−1(gw).

Definicion 3.12. El polıgono de Dirichlet D(w) para G, con centro w

esta definido por

D(w) =⋂

g∈G,g 6=Id

Hg(w).

Este es conocido tambien como el polıgono de Poincare, o polıgono normal

para G. Dirichlet uso la construccion en 1850 para espacios Euclidianos,

tiempo despues Poincare uso la idea para espacios hiperbolicos.

En vista de las dos descripciones para Hg, podemos definir D(w) como el

conjunto de puntos z que estan mas cerca de w que ninguna otra imagen de

w, o como el conjunto de puntos z que estan a lo largo de todas sus imagenes

mas cerca de w. Observemos que

z ∈ Hg(w) sı y solo sı w ∈ Hg−1(z)

de modo que tenemos una simetrıa en el sentido de que

z ∈ D(w) sı y solo sı w ∈ D(z).

91

Sı h es una isometrıa, entonces

h(Hg(w)) = Hhgh−1(hw)

y, consecuentemente

h(DG(w)) = DhGh−1(hw).

En particular, si h ∈ G, entonces

h(D(w)) = D(hw).

Proposicion 3.13. Si G1, G2 son grupos cristlograficos equivalentes, conju-

gados bajo una afinidad ϕ y D1 es dominio fundamental para G1, entonces

D2 = ϕ−1(D1) es dominio fundamental para G2.

Demostracion. Sea h ∈ D2, veremos que D2 ∩ h(D2) = ∅. Sabemos que

h = ϕ−1gϕ para algun g ∈ G1 ası:

D2 ∩ h(D2) = ϕ−1(D1) ∩ ϕ−1gϕ(ϕ−1D1) = ϕ−1(D1 ∩ gD1) = ∅.

Veamos que las imagenes de D2 cubren E2:⋃h∈G2

h(D2) =⋃

ϕ−1gϕ(ϕ−1(D1)) = ϕ−1(⋃g∈G1

gD1).

Teorema 3.14. EL polıgono de Dirichlet D(w) es un polıgono fundamental

convexo para G.

Demostracion. Como cada Hg(w) es convexo, y contiene a w, vemos que

D(w) es convexo y no vacıo.

El resto de la prueba depende del factor crucial de que solo un numero

finito de imagenes de Lg(w) pueden interceptar cualquier compacto dado en

92

E2: esto es una consecuencia directa de que si G = g0, g1, ..., entonces

d(w,Lgn(w)) =d(w, gnw)

2,

y obtenemos

lımn→∞

d(w,Lgn(w)) =∞.

Seleccionamos cualquier z en la cerradura de D(w), existe un disco com-

pacto K, con centro z, tal que para toda g, se tiene que K ⊂ Hg(w)

o z ∈ Lg(w), y mas aun, lo anterior solo puede ocurrir a un numero fini-

to de g’s. Por supuesto, sı z ∈ D(w) entonces la segunda posibilidad no se

satisface para K suficientemente pequeno, con lo que se prueba que D(w) es

abierto. Mas generalmente, vemos que la frontera de D(w) esta contenida en

la union de Lg(w), por lo tanto

Area (δD(w)) = 0.

Ahora probaremos que existe un conjunto fundamental Ω, con

D(w) ⊂ Ω ⊂ D(w).

Para cada orbita G(z), seleccionamos exactamente un punto z∗ que satisface

d(w, z∗) 6 d(w, gz)

para toda g ∈ G, tal seleccion es posible ya que G(z) no se acumula a w. El

conjunto de puntos seleccionados es Ω, claramente Ω contiene a D(w), pues

si z ∈ D(w), no tendremos otra opcion que z∗ = z.

Para probar que Ω ⊂ D(w), seleccionamos cualquier z ∈ Ω, y conside-

ramos el segmento abierto por la izquierda entre [w, z) entre w y z. Como

w ∈ D(w), ningun Lg(w) pasa por w. Si Lg(w) intercepta al segmento (w, z)

93

entonces

d(z, w) > d(z, gw) = d(g−1z, w),

contrario al hecho de que z ∈ Ω. Entonces ningun Lg(w) intercepta (w, z),

de modo que (w, z) ⊂ D(w). De donde se sigue que z ∈ D(w) y Ω ⊂ D(w).

Hemos probado ya que D(w) es un dominio fundamental convexo para

G, de este modo, solo falta probar que para todo K compacto se satisface

g ∈ G | g(D) ∩K 6= ∅ es finito.

Sea K cualquier disco compacto con centro w y radio r, y supongamos

que g(D(w)) intercepta K, entonces existe un z ∈ D(w) con d(gz, w) 6 r.

Como z ∈ D(w), tenemos

d(w, gw) 6 d(w, gz) + d(gz, gw)

6 r + d(z, w)

6 r + d(gz, w) 6 2r

y esto solo puede ser cierto para un numero finito de g’s.

Observacion 3.15. D(w)/G es independiente de la eleccion de w no fijo por

elementos de G.

3.5. Ejemplos

Para los siguientes ejemplos sera de utilidad el siguiente lema:

Lema 3.16. Sea G cristalografico, y Γ ⊂ G de subgrupo de ındice 2, es decir

G = Γ ∪ g∗Γ para algun g∗ ∈ G − Γ. Sea D0 dominio fundamental para Γ

y D ⊂ D0 abierto tal que D ∪ g∗D = D0 y D ∪ g∗D = ∅, entonces D es

dominio fundamental para G.

Demostracion. Vemos que:

94

La frontera de D tiene area 0 ya que ∂D ⊂ (∂(D) ∪ ∂g∗(D)).⋃g∈G =

⋃γ∈Γ γ(D ∪ g∗D) =

⋃γ∈Γ γ(D0) = E2.

Veamos que D no tiene puntos equivalentes bajo G. Sea g ∈ G, con-

sidera D ∪ gD. Si g = γ ∈ Γ, entonces D ∩ g(D) = ∅ y hemos

terminado. De otra manera, g = γ′g∗ para algun γ′ ∈ Γ, de modo

que D ∩ γ′g∗D ⊂ D0 ∩ γ′D0 = ∅, si γ′ 6= Id. Si γ′ = Id, entonces

D ∩ γ′g∗D = D ∩ g∗D = ∅.

Notemos que para cada G cristalografico con dominio fundamental D, es

tal que D ⊂ D0, donde D0 es dominio fundamental para el subgrupo T de

traslaciones.

D0 = ∩t6=Id∈THt(w)

Observacion 3.17.

D0 = Hτu(w) ∩Hτ−1u

(w) ∩Hτv(w) ∩Hτ−1v,

ver figura 3.7.

Tambien es claro que

D = ∩g∈GHg(w) ⊂ ∩t∈THt(w) = D0,

de modo que nuestro dominio fundamental para G esta acotado por el domi-

nio fundamental definido por el subgrupo de traslaciones.

Analicemos los dominios fundamentales de los grupos cristalograficos G

por casos, en cada uno indicaremos cual es el cociente E2/G mostrando D/G,

donde D es dominio fundamental para G.

95

w

τv(w)

Lτ−1u

Lτu

τ−1v (w)

Lτ−1v

Lτv

τu(w)

τ−1u (w)

Figura 3.7: Dominio fundamental para T .

3.5.1. Dominios con G+ equivalente a Γ1.

Dominio para Γ1.

Si G = Γ1 = 〈[1, 0], [i, 0]〉, hemos visto que un dominio fundamental es el

cuadrado abierto con vertices en (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), como vimos en figu-

ra 3.3. Aplicando una traslacion, podemos suponer que el dominio es D0, cen-

trado en el 0, es decir, el cuadrado con vertices en (−1/2,−1/2), (1/2,−1/2)

y (1/2, 1/2), (−1/2, 1/2).

(1/2, 1/2)

(−1/2,−1/2)

Figura 3.8: Cociente D0/Γ1.

96

Cociente D0/Γ1.

Hemos visto tambien que D0/Γ1 sera D0 con lados paralelos identificados

bajo τ1, τi, lo cual es un toro, ver 3.8.

Dominio para G11.

Si G = G11 = 〈[1, 0], [i, 0], ρ0〉, sabemos que un dominio fundamental para

G11 esta contenido en D0.

Sea D11, el rectangulo abierto con vertices en (−1/2, 0), (−1/2,−1/2),

(1/2,−1/2), (1/2, 0). Observemos que todo elemento de g se escribe como

g = τρ0 para algun τ ∈ Γ1.

Es claro que D11 ∪ ρ0D1

1 = D0, ası, por lema 3.16 tenemos que D11 es

dominio para G11.

Cociente D11/G

11.

En este caso D11 tiene como aristas a r1 entre los vertices (−1/2,−1/2),

(1/2,−1/2), r2 entre (1/2,−1/2), (1/2, 0), r3 entre (1/2, 0), (−1/2, 0) y r4

entre (−1/2, 0), (−1/2,−1/2). El cociente E2/G11 es este rectangulo identifi-

cando r2 y r3 bajo τ1, ver figura 3.9. D11/G

11 es un anillo.

r3

l

(1/2, 0)

r2r4

(−1/2, 0)

(−1/2,−1/2)r1

(1/2,−1/2)

Figura 3.9: Dominio fundamental para G11.

Dominio para G21.

Si G = G21, cualquier elemento g ∈ G− se escribe como g = τρπ/4 don-

de τ ∈ G+ = T . Considera D21, el triangulo con vertices en (−1/2,−1/2),

97

(−1/2,−1/2)

s2

(1/2, 1/2)

(1/2,−1/2)

eje de ρ

s1


Figura 3.11: Identificacion Mobius.

(1/2,−1/2), (1/2, 1/2). Ya que D21 ∪ ρ0D2

1 = D0 y por lema 3.16 tenemos que

D21 es dominio fundamental para G2

1. Ver figura 3.10. D21/G

21 es una banda

de Mobius.

Cociente D21/G

21.

Vemos queD21 tiene como aristas a s0 entre los vertices (1/2, 1/2), (−1/2,−1/2),

s1 entre (−1/2,−1/2), (1/2,−1/2), s2 entre (1/2,−1/2), (1/2, 1/2). El co-

ciente E2/G21 es este triangulo identificando s1 y s2 bajo τiρ, ver figura 3.11.

98

Dominio para G31.

Si G = G31 = 〈[1, 0], [i, 0], s = ρ0τ1/2〉, cualquier elemento g ∈ G− se

escribe como g = τs para algun τ ∈ Γ1. Considera D31, el rectangulo con

vertices en (−1/2,−1/2), (0,−1/2), (0, 0), (0, 1/2), (−1/2, 1/2), (−1/2, 0). Ya

que D31 ∪ sD3

1 = D0 por lema 3.16 tenemos que D31 es dominio fundamental

para G31.

Cociente D31/G

31.

Observemos que D31 tiene aristas t1 entre (−1/2, 1/2), (−1/2, 0), t2 entre

(−1/2, 0), (−1/2,−1/2), t3 entre (−1/2,−1/2), (0,−1/2), t4 entre (0,−1/2), (0, 0),

t5 entre (0, 0), (0, 1/2) y t6 entre (0, 1/2), (−1/2,−1/2). El cociente E2/G31

es este rectangulo identificando las parejas t1, t4 y t2, t5 bajo ρ, t3, t6 bajo τi

respectivamente, ver figura 3.12.

(−1/2,−1/2)

(0, 0)

(0,−1/2)

(−1/2, 1/2)

t1

t2

t3

t4

t5

t6



Al igual que en el caso de el toro usando el lema 3.16, un dominio fun-

damental para un grupo cuyo G+ es equivalente a Γ2, se pueden obtener a

partir de un dominio fundamental para Γ2. D31/G

31 es una botella de klein.

99

u1 u3

u4

u5

u2

(1/2, 1/2)

(1/2,−1/2)

(0, 0)

(0, 1/2)

(0,−1/2)

(1/2, 0)

u6


Dominio para Γ2.

Si G = Γ2 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π]〉, entonces cualquier elemento g ∈ G, g /∈ Tse escribe como g = τ [0, π], para algun τ ∈ T . ConsideraD2, el rectangulo con

vertices en (0, 0), (0,−1/2), (1/2,−1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (0, 1/2). Ya que

D2 ∪ [0, π]D2 = D0 por lema 3.16 tenemos que D2 es dominio fundamental

para Γ2.

Cociente D2/Γ2.

El dominioD2 tiene como aristas u1 entre (0, 0), (0,−1/2), u2 entre (0,−1/2),

(1/2,−1/2), u3 entre (1/2,−1/2), (1/2, 0), u4 entre (1/2, 0), (1/2, 1/2), u5 en-

tre (1/2, 1/2), (0, 1/2) y u6 entre (0, 1/2), (0, 0). El cociente E2/Γ2 es este

rectangulo identificando las parejas u1, u6 bajo [0, π], u2, u5 bajo τi, y u3, u4

bajo [1, π] respectivamente, ver figura 3.13. D2/Γ2 es topologicamente una

esfera.

Dominio para G12.

Si G = G12 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], ρ0〉, entonces cualquier elemento g ∈ G−

se escribe como g = hρ0, para algun h ∈ G+ = Γ2. Sea D12 es el cuadrado

con vertices en (0, 0), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (0, 1/2). Ya que D12 ∪ ρ0D1

2 = D2

por lema 3.16 tenemos que D12 es dominio fundamental para G1

2.

100

Cociente D12/G

12.

El dominioD12 tiene como aristas v1 entre (0, 0), (1/2, 0), v2 entre (1/2, 0), (1/2, 1/2),

v3 entre (1/2, 1/2), (0, 1/2) y v4 entre (0, 1/2), (0, 0). El cociente E2/G12 es este

cuadrado cerrado, ver figura 3.14.

(1/2, 1/2)

v4 v2

v3

v1

(1/2, 0)(0, 0)

(0, 1/2)


Dominio para G22.

Si G = G22 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], ρ1/4〉, entonces cualquier elemento g ∈ G,

g /∈ G+ se escribe como g = hρ−1/4, para algun h ∈ G+. Recordemos que

por la construccion de G22, los unicos elementos que invierten orientacion son

reflexiones por rectas y = (2n + 1)/4. Sea D22 el rectangulo con vertices en

(−1/2, 0), (0, 0), (1/2, 0), (1/2,−1/4), (−1/2,−1/4). Ya que D22 ∪ ρ−1/4D2

2 es

la cerradura de un dominio D para Γ2, por lema 3.16 tenemos que D22 es

dominio fundamental para G22.

Cociente D22/G

22.

El dominio D22 tiene como aristas r1 entre (−1/2, 0), (−1/2,−1/4), r2 en-

tre (−1/2,−1/4), (1/2,−1/4), r3 entre (1/2,−1/4), (1/2, 0), r4 entre (1/2, 0), (0, 0)

y r5 entre (0, 0), (−1/2, 0) respectivamente. El cocienteE2/G22 es este rectangu-

lo identificando r4, r5 bajo σ y r1, r3 bajo τ1, ver figura 3.15. Topologicamente

D22/G

22 es un disco.

101

(1/2,−1/4)

r1

r5 r4

r3

r2

(−1/2,−1/4)

(−1/2, 0) (0, 0) (1/2, 0)


Dominio para G32.

Si G = G32 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], ρπ/4〉, entonces cualquier elemento g ∈ G,

g /∈ G+ se escribe como g = hρπ/4, para algun h ∈ G+.

Recordemos que por la construccion de G32, estos elementos generan una

reflexion ρ1 cuyo eje pasa por 0 e i − 1. Sea D32 el triangulo con vertices en

(0, 0), (1/2,−1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2). Ya que D32 ∪ ρπ/4D3

2 es la cerradura de

un dominio D para Γ2, por lema 3.16 tenemos que D32 es dominio fundamental

para G32.

Cociente D32/G

32.

El dominio D32 tiene como aristas t1 entre (0, 0), (1/2,−1/2), t2 entre

(1/2,−1/2), (1/2, 0), t3 entre (1/2, 0), (1/2, 1/2) y t4 entre (1/2, 1/2), (0, 0)

respectivamente. El cociente E2/G32 es este triangulo identificando t2, t3 bajo

q2 = [1, π], ver figura 3.16.

Dominio para G42.

Si G = G42 = 〈[1, 0], [i, 0], [0, π], s〉, con s = τ1/2ρ

1/4, entonces cualquier

elemento g ∈ G, g /∈ G+ se escribe como g = hs, para algun h ∈ G+.

102

(0, 0)

t4t3

t2t1

(1/2, 1/2)


Recordemos tambien que por la construccion de G42, estos elementos gene-

ran una reflexion con deslizamiento ρ1 con eje paralelo a al eje y, a una distan-

cia 1/4 del 0. SeaD42 el cuadrado con vertices en (0, 0), (1/2, 0), (1/2, 1/2), (0, 1/2).

Ya que D42 ∪ sD4

2 es la cerradura de un dominio D para Γ2, por lema 3.16

tenemos que D42 es dominio fundamental para G4

2.

Cociente D42/G

42.

El dominioD42 tiene como aristas u1 entre (0, 1/2), (0, 0), u2 entre (0, 0), (1/2, 0),

u3 entre (1/2, 0), (1/2, 1/2) y u4 entre (1/2, 1/2), (0, 1/2) respectivamente. El

cociente E2/G42 es este cuadrado identificando u1, u3 bajo ρ, y u2, u4 bajo ρ1,

ver figura 3.17. Topologicamente D42/G

42 es el plano proyectivo.

(1/2, 1/2)

u3u1

(0, 0) u2

u4


103


Dominio para Γ4.

Si G = Γ4 = 〈[1, 0], [i, 0], σ = [0, π/2]〉. Observemos que Γ2 es de ındice 2

en Γ4. SeaD4 el triangulo con vertices en (−1/2, 1/2), (0, 0), (1/2, 1/2), (0, 1/2).

Ya que D4 ∪ σD4 = D2 y por lema 3.16 tenemos que D4 es dominio funda-

mental para Γ4.

Cociente D4/Γ4.

El dominio D4 tiene como aristas v1 entre (−1/2, 1/2), (0, 0), v2 entre

(0, 0), (1/2, 1/2), v3 entre (1/2, 1/2), (0, 1/2) y v4 entre (0, 1/2), (−1/2, 1/2)

respectivamente. El cociente E2/Γ4 es este triangulo identificando v1, v2 bajo

σ y v3, v4 bajo r2 = [i, π], ver figura 3.18. Topologicamente D4/Γ4 es una

esfera.

v1(0, 0)

(0, 1/2)(1/2, 1/2) v4 v3

v2


Dominio para G14.

Si G = G14 = 〈[1, 0], [i, 0], σ = [0, π/2], ρ0〉, entonces, cualquier elemento

g ∈ G, g /∈ G+ se escribe como g = hρ0, para algun h ∈ G+. Ya que

D14 ∪ σρ0D1

4 es la cerradura de un dominio D para Γ4, por lema 3.16 tenemos

que D14 es dominio fundamental para G1

4.

104

Cociente D14/G

14.

El dominio D14 tiene como aristas t1 entre (0, 1/2), (0, 0), t2 entre (0, 0),

(1/2, 1/2) y t3 entre (1/2, 1/2), (0, 1/2) respectivamente. El cociente E2/G14

es este triangulo cerrado, ver figura 3.19.

t2(0, 0)

(0, 1/2) (1/2, 1/2) t3

t1


Dominio para G24.

Si G = G24 = 〈[1, 0], [i, 0], σ = [0, π/2], s = s0τ1/2〉, entonces cualquier

elemento g ∈ G, g /∈ G+ se escribe como g = hs, para algun h ∈ G+. Sea

D24 el triangulo con vertices en (−1/2, 0), (0, 0), (0, 1/2). Ya que D2

4 ∪ σsD24

es la cerradura de un dominio D para Γ4, por lema 3.16 tenemos que D24 es

dominio fundamental para G24.

Cociente D24/G

24.

El dominio D24 tiene como aristas u1 entre (−1/2, 0), (0, 0), u2 entre

(0, 0), (0, 1/2) y u3 entre (0, 1/2), (0, 0) respectivamente. El cociente E2/G24

es este triangulo identificando u1, u2 bajo σ, ver figura 3.20.


Dominio para Γ3.

Si G = Γ3 = 〈[1, 0], [eπ/3, 0], σ = [0, 2π/3]〉. Sea H es el hexagono con

vertices en e2πi/r, r ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5. Es facil ver que H ∩ g(H) = ∅ pa-

ra toda g 6= σn, con n ∈ 0, 1, 2. Sea D3 el paralelogramo con vertices en

105

u1

eje ρ1

u2

(0, 1/2)

(0, 0)(−1/2, 0)


(0, 0), e−2πi/6, (1, 0), e2πi/6. Observase que H = (σD3 ∪ σ2D3 ∪D3), de mane-

ra que D3 es dominio fundamental para Γ3.

Cociente D3/Γ3.

El dominioD3 tiene como aristas t1 entre (0, 0), e−2πi/6, t2 entre e−2πi/6, (1, 0)

y t3 entre (1, 0), e2πi/6 respectivamente. El cociente E2/Γ3 es este paralelo-

gramo identificando t1, t4 bajo σ y t2, t3 bajo γ = τ−1i τ 2

1σ, ver figura 3.21.

t2(0, 0) (1, 0)

ei2π/6

t4 t3

t1


Dominio para G13.

Si G = G13 = 〈[1, 0], [eπ/3, 0], σ = [0, 2π/3], ρ0〉, entonces cualquier elemen-

to g ∈ G− se escribe como g = hρ0, para algun h ∈ G+. Sea D13 el triangulo

con vertices en (0, 0), (1, 0), e2πi/6. Ya que D13 ∪ ρ0D1

3 = D3 y por lema 3.16

tenemos que D13 es dominio fundamental para G1

3.

106

Cociente D13/G

13.

El dominioD13 tiene como aristas u1 entre e2πi/6, (0, 0), u2 entre (0, 0), (1, 0)

y u3 entre (1, 0), e2πi/6 respectivamente. El cociente E2/G13 es este triangulo

cerrado, ver figura 3.22.

u2

ei2π/6

(1, 0)(0, 0)u1 u3

Figura 3.22: Dominio fundamental paa G13.

Dominio para G23.

Si G = G23 = 〈[1, 0], [eπ/3, 0], σ = [0, 2π/3], ρπ/6〉, observemos que cual-

quier elemento g ∈ G, g /∈ G+ se escribe como g = hρπ/6, para algun h ∈ G+.

Recordemos tambien que G23 contiene a ρ1 = σ−1ρπ/6, que es una reflexion

por una recta que pasa por 0 con angulo −π/6 respecto del eje x. Sea D23

el polıgono con vertices en (0, 0), (√

15/4,−√

5/4), (1, 0), (√

15/4,√

5/4). Ya

que D23 ∪ ρπ/6D2

3 es un dominio fundamental para Γ3 y por lema 3.16 tenemos

que D13 es dominio fundamental para G1

3.

Cociente D23/G

23.

El dominio D23 tiene aristas v1 entre (0, 0), (

√15/4,−

√5/4), v2 entre

(√

15/4,−√

5/4), (1, 0), v3 entre (1, 0), (√

15/4,√

5/4) y v4 entre (√

15/4,√

5/4),

(0, 0) respectivamente. El cociente E2/G23 es este polıgono identificando v2, v3

bajo γ = τ−1i τ 2

1σ, ver figura 3.23.

107

v1

(0, 0)(1, 0)

eje ρ

eje σρ

v3

v2

v4



Dominio para Γ5.

Si G = Γ5 = 〈[1, 0], [eπ/3, 0], σ = [0, 2π/6]〉. Sea D5 el polıgono con vertices

en (0, 0), (1/2, 0), (1/2, 1/2√

3), (1/4,√

3/4). Ya que D5 ∪ σD5 = D3 (Γ3 de

ındice 2 en Γ5) y por lema 3.16 tenemos que D5 es dominio fundamental

para Γ5. Observemos que Γ5 genera los siguientes elementos p6 = [0, 2π/6],

q3 = τ1σ2, r2 = (σ3τ−1

1 ).

Cociente D5/Γ5.

El dominio D5 tiene como aristas s1 entre (0, 0), (1/2, 0), s2 entre (1/2, 0),

(1/2, 1/2√

3), s3 entre (1/2, 1/2√

3), (1/4,√

3/4) y s4 entre (1/4,√

3/4), (0, 0)

respectivamente. El cociente E2/Γ5 es este polıgono identificando s1, s4 bajo

σ, y s2, s3 bajo q3, ver figura 3.24. D5/Γ5 es topologicamente una esfera.

Dominio para G15.

Para terminar, sı G = G15 = 〈[1, 0], [eπ/3, 0], σ = [0, 2π/6], ρ0〉, entonces

cualquier elemento g ∈ G, g /∈ G+ se escribe como g = hρ0, para algun

h ∈ G+. Sea D15 el triangulo con vertices en (0, 0), (1/2, 0), (1/2, 1/2

√3).

Ya que (D15 ∪ ρ0D1

5) = D5 y por lema 3.16 tenemos que D15 es dominio

fundamental para G15

108

s3

(1/4,√

3/4)(1/2, 1/2

√3)

(1/2, 0)(0, 0)

s4

s1

s2


Cociente D15/G

15.

El dominio D15 tiene como aristas u1 entre (0, 0), (1/2, 0), u2 entre (1/2, 0),

(1/2, 1/2√

3) y u3 entre (1/2, 1/2√

3), (0, 0) respectivamente. El cocienteE2/G15

es este triangulo cerrado, ver figura 3.25.

109

u3

(1/2, 0)

(0, 0)

(1/2, 1/2√

3)

u1

u2


110

Apendice A

Orientacion y propiedades de

Isometrias.

Lema A.1. Toda isometrıa ρ ∈ Iso(E2) preserva angulos, manda rectas en

rectas y cırculos en cırculos

Demostracion. Sean x, y, z ∈ E2 diferentes entre sı, considera el angulo

θ = ∠xyz. Si los puntos no son colineales, entonces los lados yz, xy del

triangulo 4xyz bajo ρ van a los lados ρ(y)ρ(z), ρ(x)ρ(y) de 4ρ(x)ρ(y)ρ(z).

De modo que si el angulo θ no se preserva, entonces d(x, z) 6= d(ρ(x), ρ(z)),

contradiciendo que ρ preserva distancias.

θx

y

zρ(4xyz)

ρ(y)

ρ(x)

ρ(z)

θ

Finalmente, dados x, y, z ∈ E2 colineales, la recta que pasa por los puntos

x, z bajo ρ va a una recta por ρ(x) y ρ(z). Si y = tx + (1 − t)z para algun

t ∈ (0, 1), por desigualdad del triangulo ρ(y) = t′ρ(x) + (1 − t′)ρ(z) para

algun t‘ ∈ (0, 1), es decir ρ manda rectas en rectas.

111

Es claro que el conjunto:

z ∈ E2|d(z, o) = r con r > 0 constante

bajo ρ va al conjunto:

ρ(z) ∈ E2|d(ρ(z), ρ(o)) = r,

es decir, ρ manda cırculos en cırculos.

A.1. Orientacion.

Las isometrias Euclideas estan divididas en dos grupos, las que preservan

orientacion, y las que no. Definamos esto precisamente. Dado un triangulo

4abc, decimos que 4abc esta orientado positivamente si los vertices a, b, c se

encuentran en sentido contrario a las manecillas del reloj.

a

cb

Es decir el 4abc esta orientado positivamente, mientras que 4acb no lo esta.

Definicion A.2. Dado un triangulo 4xyz orientado positivamente y una

isometrıa ρ ∈ Iso(E2), la imagen del triangulo sera otro triangulo ρ4xyz con

vertices en ρxρyρz respectivamente. Diremos que ρ preserva la orientacion, si

el triangulo4ρxρyρz esta orientado positivamente, en caso contrario diremos

que ρ invierte orientacion.

Lema A.3. La orientacion para una isometrıa ρ esta bien definida, es decir,

ρ no puede invertir y preservar orientacion a la vez.

Supongamos que es ası, es decir, ∃ρ ∈ Iso(E2) , x1, x2, y1, y2, z1, z2 ∈ E2

vertices de 4x1y1z1,4x2y2z2 triangulos orientados positivamente, tales que

112

ρ preserva la orientacion para 4x1y1z1 e invierte para 4x2y2z2. Las rectas

que pasan por x1y1, x2y2 van al par de rectas ρx1ρy1, ρx2ρy2 bajo ρ. Si

ρ preserva la orientacion de 4x1y1z1, entonces debe ser que el triangulo

4ρx2ρy2ρz2 tenga sus vertices a favor de las manecillas del reloj. Por otro lado

ya que 4x1y1z1,4x2y2z2,4ρx1ρy1ρz1 preservan orientacion y 4ρx2ρy2ρz2

no, entonces d(z1, z2) 6= d(ρz1, ρz2), lo que contradice que ρ sea isometrıa.

ρ

x1

z1y1

y2

x2

z2

ρx1

ρx2

ρy2

ρz2ρy1 ρz1

Ejemplo A.4. Toda reflexion ρ invierte orientacion.

Supongamos que ρ tiene a l como eje, considera x, y ∈ l dos puntos

diferentes, y sea z 6∈ l a modo de que 4xyz este orientado positivamente,

entonces es claro que al reflejar por l, dicho triangulo invierte su orientacion.

Observacion A.5. Una composicion par de reflexiones preserva orientacion,

mientras que una composicion impar la invierte.

Definicion A.6.

Iso(E2)+ = g ∈ Iso(E2)|g preserva orientacion

Iso(E2)− = g ∈ Iso(E2)|g invierte orientacion

Si G ⊂ Iso(E2), entonces

G+ = G ∩ Iso(E2)+

G− = G ∩ Iso(E2)−

113

A.2. Propiedades.

Seguiremos esta seccion estudiando algunas propiedades de las isometrıas

Euclıdeas que nos serviran para su clasificacion.

NOTACION A.2.1. Cro denota el circulo de radio r y centro o,

Cro = z ∈ E2|d(z, o) = r

Lema A.7. Si T ∈ Iso(E2) deja dos puntos fijos a, b, entonces T es la

identidad o la reflexion ρ por la recta l que pasa por a, b.

Demostracion. Claramente Id, y la reflexion ρ dejan fijos a a, b.

Sea T ∈ E2 tal que T 6= Id y que deja fijos a y b. Si p ∈ l, entonces por

desigualdad del triangulo T (p) = p. Sea p punto no fijo tal que p /∈ l, considera

los cırculos Cd(b,p)b , C

d(a,p)a . Como p /∈ l, entonces los cırculos C

d(b,p)b , C

d(a,p)a se

interceptan en otro punto q, por ser T isometrıa se debe preservar la distancia

d(a, p) = d(T (a), T (b)), d(a, p) = d(T (a), T (b)), como consecuencia T (p) = q.

Si p /∈ l y p es punto fijo entonces T = Id.

qa b

p

Lema A.8. Dado T ∈ E2, 3 puntos a, b, c ∈ E2 no colineales y sus respectivas

imagenes T (a), T (b), T (c), entonces podemos conocer T (x) para todo x ∈ E2.

Demostracion. Como x ∈ Cd(x,a)a ∩ Cd(x,b)

b ∩ Cd(x,c)c , por ser isometrıa T (x) ∈

Cd(T (x),T (a))T (a) ∩Cd(T (x),T (b))

T (b) ∩Cd(T (x),T (c))T (c) , como a, b, c son no colineales y por la

114

demostracion del teorema anterior vemos que la interseccion de los cırculos

es un unico punto.

Corolario A.9. Si T ∈ E2 deja fijos 3 puntos no colineales, entonces T =

Id.

Lema A.10. Dados dos segmentos ab, a′b′ de la misma longitud, existen

exactamente dos isometrias que llevan uno en el otro, una que preserva orien-

tacion y otra que invierte.

Demostracion. Para esto veremos que dados 4 puntos a, b, a′, b′ ∈ E2, tales

que d(a, b) = d(a′, b′), entonces existen T1, T2 ∈ E2 que satisfacen Ti(a) =

a′, Ti(b) = b′ i ∈ 1, 2, Ti se expresa como producto de a lo mas 3 reflexiones,

si a = a′ o b = b′ Ti es producto de a lo mas dos reflexiones. Supongamos

a 6= a′, b 6= b′, sea m la mediatrız (conjunto de puntos que euidistan de a, a′)

entre a y a′, y ρm la reflexion por m, entonces

ρm(a) = a′

Si p es la bisectriz del angulo que forman ∠ρm(b)a′b′, y ρp la reflexion por p,

entonces T1 = ρp ρm satisface que

T1(a) = a′ , T1(b) = b′.

Si ρa′b′ denota la reflexion por a′b′, entonces es facil ver que T2 = ρa′b′ T1

deja fijos a′, b′. Si a = a′ o b = b′ entonces T1 = ρp y T2 = ρa′b′ ρp.

Sea S ∈ Iso(E2) que satisface S(a) = a′, S(b) = b′, es decir R = S T−11 es

tal que

R(a′) = a′ y R(b′) = b′ ⇒ R = Id o R = ρa′b′ ,

es decir S = T1 o S = T2.

Corolario A.11. Toda T ∈ Iso(E2) se expresa como producto de a lo mas

3 reflexiones.

115

Demostracion. Sabemos que dicha isometrıa queda determinada si conoce-

mos sus valores en 3 puntos no colineales, por otro lado dados a, b ∈ E2 y

sus respectivas imagenes a′, b′ bajo T vimos en lema [A.10] que solo hay dos

T1, T2 isometrias que satisfacen Ti(a) = a′ y Ti(b) = b′, es decir T = ρp ρmsi T preserva orientacion o T = ρa′b′ ρp ρm si T invierte orientacion.

Corolario A.12. Toda T ∈ Iso(E2) deja un punto fijo, entonces T se ex-

presa como producto de a lo mas 2 reflexiones.

Demostracion. Si hay un punto fijo T1 = ρp y T2 = ρa′b′ ρp.

Corolario A.13. Si f ∈ Iso(E2) preserva orientacion, entonces f se expresa

como producto de exactamente 2 reflexiones.

Corolario A.14. Si f ∈ Iso(E2) invierte orientacion y no deja puntos fijos,

entonces f se escribe como producto de tres reflexiones.

116

Apendice B

Patrones en una sola

direccion(T=Z.)

Sabemos por proposicion 2.40 que el subgrupo de traslaciones T de H

discontinuo es trivial, isomorfo a Z o a Z× Z.

En esta seccion estudiaremos aquellos grupos discontinuos en el plano pa-

ra los cuales T es isomorfo a Z, es decir, el subgrupo de traslaciones contiene

un unico generador τ(z) = z + u.

Analizaremos cada uno de los casos usando la descomposicion

H = H+ ∪ ρH+,

y separando los casos segun H+ contenga rotaciones o no.

Supongamos primero que H no contiene rotaciones, entonces podemos

tener H = H+ = H1 = T = 〈τ〉. De otra manera H tendrıa como generadores

〈τ, ρ〉, donde ρ es una reflexion o una reflexion con deslizamiento. Como

ρTρ−1 = T y τ genera T , entonces ρτρ−1 tambien genera T . De esta forma

tenemos que ρτρ−1 = τ o ρτρ−1 = τ−1 con lo que ρ debe tener un eje

de reflexion paralelo o perpendicular a la direccion de τ . No podemos tener

ambos casos, pues el producto serıa una rotacion no trivial, de aquı se originan

117

los grupos H11 , H

21 . Si ρ es una reflexion con deslizamiento, entonces ρ2 = τh,

es una traslacion para algun h 6= 0, con lo que ρ tiene eje paralelo al de

τ . Por lo anterior ρ conmuta con τ , y (ρτ k)2 = τh+2k. Reemplazando ρ por

ρτ k para algun k podemos suponer que ρ2 = τ , originando G31. En resumen

hemos encontrado los siguientes casos sin rotaciones:

-Grupo H1 = 〈τu〉.-Grupo H1

1 = 〈τu, ρ〉, cuyos generadores satisfacen

ρ2 = 1, ρτρ−1 = τ.

-Grupo H21 = 〈τ, ρ〉, cuyos generadores satisfacen

ρ2 = 1, ρτρ−1 = τ−1.

-Grupo H31 = 〈τ, ρ〉, cuyos generadores satisfacen

ρ2 = τ, ρτρ−1 = τ.

Considera H que contiene una rotacion no trivial σ = [−oeiθ + o, θ].

Analogamente al caso anterior tendremos que στσ−1 genera a T , por tanto

στσ−1 = τ o στσ−1 = τ−1, como στσ−1 = [ueiθ, 0] y σ 6= 1, entonces σ

es una rotacion de orden 2. Si ρ′ es cualquier otra rotacion en H, entonces

por la misma razon debe ser de orden 2, de modo que σσ′ = τh es una

traslacion para algun h, es decir σ′ = στh, con lo que H+ = 〈τ, σ〉 que

satisface σ2 = 1, στσ−1 = τ−1. Podemos tener el caso H = H+ = H2.

De otra manera H tendrıa como generadores 〈τ, σ, ρ〉, donde ρ es una

reflexion o una reflexion con deslizamiento. Como en el caso anterior, el eje

de reflexion de ρ debe ser paralelo o perpendicular al de τ . Si el eje de ρ

es perpendicular a algun l paralelo al eje de τ , entonces ρ′ = ρσ tendra eje

paralelo a l, con lo que podemos suponer que ρ tiene eje l′ paralelo a l. Si

l 6= l′, entonces la lınea m entre o y ρo sera perpendicular a l. Ası, el producto

118

de las rotaciones de orden 2 σ, ρσρ−1 sera [2o, π][2ρ(o), π] = [2(o− ρ(o)), 0],

una traslacion en la direccion de m, perpendicular a l, lo cual contradice que

τ genera T , por tanto ρ tiene eje l. Si ρ es una reflexion, entonces ρ1 = ρσ

p = ρσ(p)

τ(o)o

σ(p)

m

lρ(o)

Figura B.1: Toda p ∈ m satisface σρ(p) = p.

tambien sera una reflexion con ejem, perpendicular a l en o, que corresponden

al grupo H12 .

Si ρ es una reflexion con deslizamiento, entonces al igual que antes ρ2 = τ .

Sea m el bisector perpendicular al segmento [o, ρ(o)]. Observemos que como ρ

tiene eje l, entonces ρ2 = σρ fija todos los puntos de m, de manera que ρ2 es la

reflexion por m, ver figura B.1. En este caso H = H22 no contiene reflexiones

ρ1 con eje perpendicular a l en o, de lo contrario ρ2ρ1 serıa una traslacion τ0

que lleva o en ρ(o), luego τ 20 = τ contradice que τ genera T . De esta forma

tenemos tres grupos mas que incluyen rotaciones no triviales, ver teselaciones

asociadas a cada grupo en figura B.2. τ son traslaciones horizontales, las

lıneas punteadas son ejes de reflexion o reflexion con deslizamiento, en los

casos de H2, H12 , H

22 , los cırculos indican centros de simetrıa rotacional.

-Grupo H2 = 〈τ, σ〉, cuyos generadores satisfacen

σ2 = 1, στσ−1 = τ−1.

119

-Grupo H12 = 〈τ, σ, ρ〉, cuyos generadores satisfacen

σ2 = 1, στσ−1 = τ−1, ρ2 = 1, ρτρ−1 = τ, ρσρ−1 = σ.

-Grupo H22 = 〈τ, σ, ρ〉, cuyos generadores satisfacen

σ2 = 1, στσ−1 = τ−1, ρ2 = τ, ρτρ−1 = τ−1, ρσρ−1 = στ,

(notar que ρ es reflexion por m).

H21

H1

H11

H12

H2

H22

H31

Figura B.2: Teselaciones con subgrupo de traslaciones T ∼= Z.

120

Apendice C

Topologıa de cocientes E2/G.

En esta seccion (X, d) es un espacio metrico y G es un grupo discontinuo

que actua por isometrias en X,

π : X → X/G,

es la proyeccion natural al cociente.

Tambien usaremos la equivalencia siguiente para espacios metricos X ⊂R2:

K ⊂ R2 es compacto sı y solo sı toda sucesion zn ⊂ K, contiene una

subsucecion convergente en K.

Lema C.1. Dada la sucesion de elementos gn ⊂ G y z ∈ X, entonces la

sucesion de puntos gn(z) converge en X sı y solo sı existe N entero tal que

gn(z) es constante para n > N .

Demostracion. Claramente gn(z) converge a g2N(z) si para todo n > N

gn(z) = gn+1(z).

Supongamos que la sucesion de puntos gn(z) converge a un w ∈ X,

veremos que es constante a partir de un N . Considera el compacto K =

z ∪ gn(z) ∪ w. Por discontinuidad A = g ∈ G | g(K) ∩K 6= ∅ debe

ser finito. Por otro lado gn(z)∩K 6= ∅ para todo natural n, como A es finito,

121

entonces gn, gn(z) deben ser finitos. Sabemos que gn(z) → w, es decir,

dado ε > 0 existe N tal que para todo n > N , d(gn(z), w) < ε, de donde

concluimos que gn(z) es constante a partir de cierto n (gn(z) = w).

Lema C.2. X/G es un espacio metrico.

Demostracion. Recordar que los puntos de X/G son orbitas Gz = g(z) |g ∈ G.

Dados Gz, Gw ∈ X/G, definimos

d∗(Gz, Gw) = infh,g∈Gd(gz, hw) = infg∈Gd(gz, w),

veremos que dicha d∗ es una metrica en X/G.

Dados Gz, Gu, Gw ∈ X/G, tenemos que:

-d∗(Gz, Gw) = infg∈Gd(gz, w) = infg∈Gd(z, g−1w) = d∗(Gz, Gw).

-Claramente d∗(Gz, Gw) > 0. Sı d∗(Gz, Gw) = 0, entonces existe una

sucesion de elementos gn ⊂ G tales que la sucesion de puntos gn(z) ⊂ E2

converge a w. Como vimos en lema C.1 gn(z) = w a partir de un n, es decir,

Gz = Gw.

-d∗(Gz, Gw) = infg∈Gd(gz, w) 6 infg∈Gd(gz, u)+infg∈Gd(gu, w) = d∗(Gz, Gu)+

d∗(Gu, Gw).

De lo anterior (X/G, d∗) es metrico.

Teorema C.3. Si G es finito, entones X ⊂ E2 es compacto sı y solo sı X/G

es compacto.

Demostracion. Supongamos primero que X es compacto. Sea Gci ⊂ X/G

una sucesion de puntos en X/G. Como X compacto, entonces π−1(Gci)contiene una subsucecion convergente zn, digamos zn → w ∈ X, ası

π(zn)→ π(w),

es decir, Gzn es una subsucecion convergente en X/G de Gci, con lo que

X/G compacto.

122

Supongamos ahora que X/G compacto. Sea xn ⊂ X una sucesion.

Considera la sucesion π(xn) ⊂ X/G, como X/G compacto, existe una

subsucecion convergente π(xnj), digamos π(xnj)→ π(w). Es decir,

infg∈Gd(xnj , w),

de donde concluimos que existe una infinidad de xnj ’s que satisfacen

xnj → g(w)

para g(w) fijo, de donde X es compacto.

123

Bibliografıa

[1] A.F. Beardon, The geometry of discrete groups, Springer, 1983.

[2] R.C. Lyndon, Groups and geometry, Cambridge University Press, 1985.

[3] J.M. Montesinos, Variedades de mosaicos, (1982).

[4] J.M. Montesinos, Classical tessellations and three-manifolds, Springer,

1987.

124

Mariano Crist obal Franco de Le on. Tesis · Tambi en ser a de nuestro inter es estudiar la imagen...

Documents

Transcript of Mariano Crist obal Franco de Le on. Tesis · Tambi en ser a de nuestro inter es estudiar la imagen...