PRESENTACIN

Los alumnos del Primer ao de secundaria sern capaces de:

I UNIDAD

Identificar y distinguir los elementos de un polgono y los clasifica por sus lados. Analizar, interpretar y resolver las operaciones con segmentos y ngulos.

Aplicar y resolver problemas sobre permetros y reas de polgonos regulares.

II UNIDAD

Identificar y distinguir slidos geomtricos. Aplicar y resolver ejercicios de slidos geomtricos Recopilar, organizar e interpretar informacin de forma clara, precisa y ordenada.

CONCEPTOS BSICOS DE GEOMETRA

Un plano no tiene lmites ni espesor, se designa por una letra mayscula P, Q, R o letra griega de (, (, etc.

Plano P o P

La notacin P: se lee Plano P El punto se caracteriza por no tener dimensiones y sirve para indicarnos una posicin en el espacio.

Los puntos se designan por letras maysculas A, B, C, P, Q, R, etc.

(Punto A Es una lnea que se extiende infinitamente en ambos sentidos pero siguiendo una misma direccin. Se designa por dos letras maysculas o por una sola letra (mayscula o minscula).

(

(

(AB Se lee: recta AB

L se lee: recta L m se lee: recta m

Sobre Una recta se toma un punto A, este punto divide a la recta en dos partes, cada parte se llama semirrecta.

La semirrecta no considera el punto A, el punto A se llama origen o frontera.

Semirrecta AB

Semirrecta AC

Es la unin de la semirrecta con la frontera.

(Rayo: AB

(Rayo: AC

Es una lnea recta limitada en sus extremos. Un segmento se representa por dos letras maysculas que se ponen en sus extremos, con una rayita en la parte superior.

se lee segmento

La longitud de un segmento es la distancia que existe entre los puntos que son sus extremos.

AB = 6 cm

Tambin: m = 6 cm

Dos segmentos son congruentes si

tienen igual longitud.

Se lee: el segmento es congruente al segmento .

Se lee: el segmento es congruente al segmento si y slo si la longitud del segmento es igual a la longitud del segmento .

Se llama punto medio de un segmento, al

punto que divide al segmento en dos

segmentos parciales congruentes

Dos segmentos se comparan segn su longitud. a) Observamos que la longitud del segmento es mayor que la longitud del segmento .

b) Observamos que las longitudes de los segmentos y son iguales, entonces son congruentes

c) Observamos que los segmentos y tienen igual longitud, entonces B es el punto medio del segmento .

Las operaciones se realizan con los nmeros que indican las longitudes de los segmentos.

Ejemplo: Dada la siguiente figura

Efectuar las siguientes operaciones:

a) AB + CD

b) AD BCc) AC + BD

d) AC . BD + AD . BCe)

RESOLUCINa) AB + CD = 2cm + 4cm

AB + CD = 6 cm

b) AD BC = (2cm + 1 cm + 4cm) 1cm

AD BC = 7 cm 1cm

AD BC = 6cm

c) AC + BD = 3 cm + 5cm

AC + BD = 8cmd) AC. BD + AC . BC = (3 cm) (5 cm) + (3cm) (1cm)AC. BD + AC . BC = 15 cm2 + 3 cm2AC. BD + AC . BC = 18 cm2e)

1) PROPIEDAD DE LA SUMA: Si un segmento se divide en varias partes, la longitud total es igual a la suma de las longitudes de cada una de las partes.

AB = AP + PQ + QB

(

2) PROPIEDAD DE LA DIFERENCIA: Si un segmento se divide en dos partes la longitud de una de ellas es igual a la longitud total menos la longitud de la otra parte.MB = AB AM

(Ejemplo: Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AD = 40, AC = 30, BD = 15. Hallar BC

a) 5b) 10c) 2d) 4e) 12

SOLUCIN:

CD = 40 30 = 10

BD = x + 10

15 = x + 10

x = 15 10

( x = 5

ngulo se define a la abertura que forman la unin de dos rayos que parten del mismo punto, es decir tienen origen comn.Los principales elementos de un ngulo son:

LADOS: Son los dos rayos.

VRTICE: Es el punto de donde parten los dos lados.

Un ngulo se puede denotar de cualquiera de las siguientes formas:

1) Con tres letras, dos letras que se encuentran sobre los lados y poniendo la letra del vrtice en el medio.

2) Con la letra del vrtice.

3) Con un nmero o una letra, generalmente con las letras del alfabeto griego.

Los ngulos se miden en grados sexagesimales ( ), la medida de un ngulo se encuentra usando un instrumento llamado transportador.

60: sesenta grados sexagesimales

m < AOB = 60

m < AOB Se lee medida del ngulo AOB

Cuando no se conoce la medida de un ngulo, se acostumbra escribir una variable (generalmente una letra griega) en la abertura, para indicar su medida.

Se lee: medida del ngulo AOB igual a alfaSe lee: medida del ngulo MPQ igual a beta

Algunas letras del alfabeto griego son:

SMBOLONOMBRE

(alfa

(beta

(gamma

(theta

(pi

(sigma

(phi

(omega

El transportador es un instrumento que sirve para medir o trazar ngulos. Observa cmo se mide con el transportador el ngulo BAC de este recuadro.

1) Se coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vrtice A del ngulo.

2) Se hace pasar un lado del ngulo por la medida 0 del transportador.

3) Se identifica en el transportador el nmero por el que pasa el otro lado del ngulo. Ese nmero es la medida del ngulo en grados.

M (< BAC) = 45

Se dice que dos ngulos son congruentes cuando sus medidas son iguales.

Ejemplo: Al medir con el transportador encontrar que:

m < AOB = 45 y tambin

m < PQR = 45

Luego: < AOB ( PQR ( se lee: ngulo AOB es congruente con el ngulo PQR

Es el rayo que partiendo del vrtice, divide al ngulo en dos ngulos congruentes.

Ejemplo:

(OP divide al < AOB en dos ngulos AOP y POB que son congruentes por tener la misma media, (. Luego:

(OP es bisectriz del < AOB

1) PROPIEDAD DE LA SUMA

2) PROPIEDAD DE LA DIFERENCIA

3) PROPIEDAD DEL NGULO RECTO

4) PROPIEDAD DEL NGULO LLANO

5) PROPIEDAD DEL NGULO DE UNA VUELTA

Es lo que le falta al ngulo, para ser igual a 90.

( : medida del ngulo

Es lo que le falta al ngulo para ser igual a 180

( : medida del ngulo

1) NGULO NULO: Cuando sus dos lados coinciden, su medida es 0.

2) NGULO AGUDO: Su medida es menor que 90.

3) NGULO RECTO: Su medida es igual a 90.

4) NGULO OBTUSO: Su medida es mayor que 90, pero menor que 180.5) NGULO LLANO: Cuando mide 180.

6) NGULO DE UNA VUELTA: Este ngulo mide 360.

7) NGULO NO CONVEXO: Su medida es mayor que 180 y menor que 360

8) NGULOS CONVEXOS: Se llama as a los ngulos agudo, recto, obtuso.

1) ngulos complementarios: Son dos ngulos cuyas medidas suman 90.2) ngulos suplementarios: Son dos ngulos cuyas medidas suman 180.

3) ngulos adyacentes: Son dos ngulos que tienen el vrtice y un lado comn, el lado comn es intermedio.

4) ngulos consecutivos: Son dos o ms ngulos adyacentes.

5) ngulos adyacentes suplementarios: Son dos ngulos adyacentes y suplementarios.

6) ngulos opuestos por el vrtice: Son dos ngulos, en los cuales los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro, estos dos ngulos son congruentes.

Lneas poligonales abiertas

Lneas poligonales cerradas

Las lneas poligonales cerradas reciben el nombre de polgonos.

Un polgono determina en el plano una regin interior y una regin exterior. El polgono es la frontera entre la regin interior y la regin exterior. La unin de un polgono y su regin interior recibe el nombre de regin poligonal.

Lados de un polgono son cada uno de los segmentos que forman la lnea poligonal.

Vrtices de un polgono son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras maysculas. Este polgono se nombra as: polgono A B C D E.

ngulos de un polgono son los ngulos interiores que forman los lados de dicho polgono.

Diagonales de un polgono son los segmentos que unen dos vrtices no vecinos.

Permetro de un polgono es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Los polgonos se nombran segn el nmero de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos.Nmero de ladosNombre del polgonoNmero de ladosNombre del polgono

3

4

5

6

7

8tringulo

cuadriltero

pentgono

hexgono o exgono

heptgono o eptgono

octgono u octgeno9

10

11

12

15

20nongono o enegono

decgono

endecgono

dodecgono

pentadecgono

icosgono

A) Polgono convexo: Un polgono es convexo cuando una recta secante lo corta como mximo en dos puntos.

B) Polgono no convexo: Un polgono es no convexo cuando una recta sectante lo corta en ms de dos puntos.

C) Polgono Equiltero: Todos los lados del polgono equiltero son congruentes.

D) Polgono equingulo: Todos los ngulos interiores del polgono equingulo son congruentes.

E) Polgono regular: Los lados y los ngulos interiores del polgono regular son congruentes.

Se considera a n el nmero de lados del polgono.

1) El nmero de diagonales es:

2) La suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono es:

3) La suma de las medidas de los ngulos exteriores es:

1) Mide con una regla en centmetros y anota.

AB = ____________ cmPQ = ________________ cmJK = __________cm

BC = ____________ cmQR = ________________ cmKL = __________cm

CD = ____________ cmPT = ________________ cm

LM = __________cmST = ________________ cm

MN = __________cm

2) Observa los siguientes ngulos y completa la tabla.

NombreDesignacinVrticeLados

ngulos AOB< AOBO ( (OA y OB

3) Mide con un transportador cada uno de los siguientes ngulos y escribe la medida que corresponde en cada caso

m < MAN = ______________m < GHI = __________________m < BAC =________m < DEF = ______________m < PQR = __________________m < MNT =________

4) Usa el transportador para calcular las medidas de los siguientes ngulos.m < AOB = ___________________ m < AOC = ___________________

m < BOC = ___________________ m < BOD = ___________________

m < COD = ___________________ m < BOE = ___________________

m < DOE = ___________________ m < AOD = ___________________

m < COE = ___________________ m < AOE = ___________________

5) Mide con el transportador cada uno de los siguientes ngulos y realiza las operaciones que se indican.

m < POQ = _____________; m < QOR = _______________; m < ROS = _______________m < POQ + m < QOR = ____________________

m < POQ - m < ROS = ____________________

m < POQ - m < QOR = ____________________

m < POQ + m < QOR + m < ROS= ____________________

6) Completa esta tabla.PolgonoNmero de ladosNmero de vrticesNmero de ngulosNmero de diagonales que parten del vrtice A

5552

NIVEL I 1) Los segmentos AB y MN de la figura son congruentes. Calcular el valor de x.

a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 13

2) En la figura, M es punto medio . Hallar el valor de x

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 103) En la figura OB es bisectriz del < AOC. Calcular m < A O Ba) 40 b) 30 c) 50 d) 60 e) 80

4) Hallar el complemento de xa) 70 b) 20 c) 10 d) 160 e) 150

5) Hallar el suplemento de (

a) 10b) 140

c) 170

d) 160

e) 150

6) Hallar el valor de xa) 32,8b) 22,4

c) 17,5

d) 47,6

e) 36,2

7) Cunto mide un ngulo interior de un dodecgono regular?a) 100b) 120c) 130d) 150e) 160

8) Cuntas diagonales tiene el pentadecgono?a) 90b) 80c) 70

d) 60e) 509) El nmero de diagonales de un polgono de n lados es igual a 18 n. Calcular n.a) 39b) 38c) 40d) 45e) 50

10) Encontrar la suma de las medidas de los ngulos interiores de un dodecgono.a) 1800b) 1600 c) 1400

d) 1 200e) 1 300

NIVEL II

1) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, de modo que B es punto medio de y C es punto medio de . Hallar AD, si AB = 5a) 15b) 16c) 18

d) 20e) 22

2) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB = 5, CD = 6, AC + BD = 27. Calcular BC.

a) 8

b) 10c) 12

d) 14e) 9

3) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E de modo que AB = x , BC = 6, CD = 2x, DE = 7, AE =43. Hallar xa) 20b) 5c) 30

d) 10e) 15

4) En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AC + BD = 32 y AD = 20. Hallar BC.

a) 125b) 8c) 10

d) 6

e) 14

5) Calcular x en:

a) 10 b) 12c) 15 d) 18e) 20

6) El doble del complemento de la medida del ngulo es igual a 130. Encontrar la medida del ngulo.

a) 35b) 30c) 27

d) 32e) 25

7) El triple de la medida de un ngulo es igual a su complemento disminuido en 30. Calcular la medida de dicho ngulo.

a) 15b) 30c) 18

d) 31e) 16

8) Cuntos lados tiene un polgono, si la suma de las medidas de sus ngulos interiores es igual a 1 080?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 10 e) 12

9) En el polgono de la figura, calcular x

a) 135b) 130c) 125d) 140e) 150

10) Cuntos lados tiene un polgono equingulo, si la diferencia entre las medidas de un ngulo interior y de un ngulo exterior es 100?a) 8 b) 7 c) 9 d) 10 e) 6

NIVEL II

1) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, tal que AD = 24, AB = 2a; BC = 3a, CD = 7a. Hallar ABa) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

2) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, de modo que BC = 2AB, CD = 3AB, adems AB + CD + AD = 50. Hallar AB.

a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

3) Sobre una recta se toma los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que B es punto medio de , adems AD = 2 CD+10. Hallar BC.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

4) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, luego se toma el punto medio M de . Hallar AM, si AB + AC = 12a) 2 b ) 3 c) 4 d ) 6 e) 8

5) Los ngulos consecutivos AOB, BOC, COD forman un ngulo llano, de modo que m< AOC + m< BOD = 265. Hallar m < BOC.

a) 60b) 85c) 90

d) 95e) 70

6) En la siguiente figura, OC es bisectriz del ngulo BOD, encontrar el valor de X

a) 100b) 12

c) 90

d) 105e) 110

7) Encontrar x

a) 125

b) 135

c) 145

d) 155

e) 130

8) Encontrar x

a) 112

b) 124

c) 126

d) 136

e) 130

9) Hallar la suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono, si su nmero de diagonales es 252.

a) 3 950b) 3 948 c) 3 962

d) 3 960e) 3 958

10) El nmero de lados de dos polgonos son dos nmeros consecutivos, la diferencia del nmero de sus diagonales es 3. Hallar el nmero de lados de los dos polgonos.

a) 5 y 6b) 4 y 5c) 8 y 9

d) 10 y 11e) 6 y 7

Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

La circunferencia es una lnea curva cerrada.

a) Centro: Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

b) Radio: Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.

c) Dimetro: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El dimetro contiene a dos veces el radio.

d) Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

e) Secante: Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

f) Arco: Un arco es una porcin de la circunferencia comprendido entre dos puntos.

g) Tangente: Es una recta que tiene un punto comn con la circunferencia. Al punto comn se le llama punto de tangencia.

h) Flecha o sagita: Segmento perpendicular a una cuerda en su punto medio.

1) El radio es perpendicular a la tangente.

2) Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

3) A arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes.

4) Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.

5) Por un punto exterior a una circunferencia solo se pueden trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.

1) ngulo central: El vrtice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ngulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

2) ngulo inscrito: Su vrtice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ngulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

3) ngulo seminscrito: El vrtice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente y una cuerda. La medida del ngulo seminscritos es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.

4) ngulo exinscrito: su vrtice se encuentra sobre la circunferencia, este ngulo es el adyacente suplementario de un ngulo inscrito.

5) ngulo interior: El vrtice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ngulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.

6) ngulo exterior: Su vrtice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ngulo interior es igual a semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

Una circunferencia determina en el plano una regin interior y una regin exterior.

Un crculo o regin circular es el conjunto formado por la unin de la circunferencia y su regin interior.

Por lo tanto:

La circunferencia es una lnea

El crculo es una regin.

El permetro de una figura plana es la longitud del contorno (frontera) de la figura; al permetro de las figuras planas se le representa por el smbolo 2p, y a la mitad del permetro se le llama semipermetro.

Se representa por P

Se llama regin de una figura plana a la unin del conjunto del punto del contorno de la figura con el conjunto de puntos de su inters.

Regin = {Los puntos del contorno} v {lo punto del interior}

Ejemplo: 1) Encontrar el permetro de un tringulo equiltero de 3cm de lado.

SOLUCINPermetro =2p = AB + BC + AC

2p = 3cm + 3cm + 3cm

2p = 9 cm

2) El permetro de la regin sombreada es 82 hallar el valor de x

SOLUCIN:Permetro = suma de los lados

82= 2 + a + x + b + 3 + c + 5 + x + 3x

82= 10 + a + b + c + 5x

82 = 10 + 3x + 5x

82 10= 8x

72 = 8x

= x

9 = x

Es la medida de la extensin de la regin de una figura plana, es un nmero expresado en unidades cuadradas: cm2, mm2, km2, pulgada2, etc.REAS DE LAS PRINCIPALES REGIONES POLIGONALES.REA DEL RECTNGULO: El rea de la regin de un rectngulo es igual al producto de su base por su altura.

Ejemplo: Encontrar el rea de la regin de un rectngulo, su base mide 8 cm y su altura mide 3 cm.

Resolucin:

REA DEL PARALELOGRAMO: El rea de la regin de un paralelogramo es igual a su base por su altura.

Ejemplo: Encontrar el rea de la regin de un paralelogramo, su base mide 7 cm y su altura mide 4 cm.

Resolucin:

REA DEL CUADRADO: El rea de la regin de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.

Ejemplo: Hallar el rea de un cuadrado, si su lado mide 3 cm.

Resolucin:

REA DEL TRAPECIO: El rea de su regin de un trapecio es igual a la semisuma de su base por la altura del trapecio.

Ejemplo: Las bases de un trapecio miden 2 cm y 6 cm, su altura mide 4 cm. Hallar el rea de la regin del trapecio.

REA DEL ROMBO: El rea de la regin de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.

Ejemplo: Encontrar el rea de la regin de un rombo, si sus diagonales miden 12 cm y 8 cm.

Resolucin:

REA DEL TRINGULO: El rea de la regin de un tringulo es igual a la mitad del producto de su base y de su altura.

Ejemplo: La base de un tringulo mide 5cm y la altura relativa a su base mide 4cm. Hallar el rea de la regin del tringulo.Resolucin:

REA DEL CRCULO: El rea del crculo es igual al valor de ( por el producto del radio al cuadrado.

Ejemplo:

Calcular el rea de un crculo cuyo radio mide 6 cm.

SOLUCIN:

A0= ( . R2A0= ( . (6 cm)2A0= 36 ( cm2SECTOR CIRCULAR: Un sector circular es una parte de un crculo comprendido entre dos radios y el arco.

Ejemplo: Calcular el rea de un sector circular, su radio mide 6 cm y su ngulo central mide 120.

Resolucin:

CORONA CIRCULAR: La corona circular es una parte de un crculo limitado por dos circunferencias concntricas.

Ejemplo: Calcular el rea de una corona circular limitado por dos circunferencias concntricas cuyos radios miden 2cm y 5 cm.

Resolucin:

TRAPECIO CIRCULAR: El trapecio circular es una parte de la corona circular comprendido entre dos radios.

rea trapecio circular = rea sector AOB rea sector CODrea trapecial = ( R2 .

(

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA: La longitud de una circunferencia es igual a su dimetro por el nmero Pi (()

Como: D = 2R

Donde:

D. Dimetro

R: Radio

( : nmero pi

Ejemplo: Encontrar la longitud de una circunferencia, si su radio mide 4cm.

Resolucin:

Por frmula: longitud = 2(RPero: R = 4cm

Entonces:

Longitud = 2( . 4cm

(

NIVEL I

1) En la figura, encontrar xa) 92

b) 94

c) 96

d) 90

e) 98

2) Hallar x en:

a) 38b) 40

c) 42

d) 46

e) 47

3) Hallar el valor de x, si m BC = 70; m DE = 80, m CD = 150a) 25 b) 50

c) 40 d) 30

e) 45

4) Encontrar xa) 40

b) 50

c) 60

d) 30

e) 20

5) En la circunferencia de centro O, encontrar el valor de x

a) 50

b) 58

c) 60

d) 64

e) 56

6) El rectngulo ABCD de la figura est formada por tres cuadrados. Calcular EF, si el permetro de abad es 50 cm.

a) 5 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 9 cm7) La figura nos muestra un hexgono regular y dos cuadrados. Calcular el permetro de la figura, si el permetro del hexgono es 72 cm.a) 120 cm

b) 130 cm

c) 140 cm

d) 150 cm

e) 160 cm

8) Hallar el permetro de la regin coloreada.a) 14 ( cm

b) 16( cm

c) 18( cm

d) 20( cm

e) 19( cm

9) Hallar la longitud del lado de un tringulo equiltero, si el rea de su regin es 16cm2.a) 5cm b) 4 cmc) 6 cm

d) 8 cme) 10 cm

10) La diagonal mayor de un rombo mide 12 y la diagonal menor mide la mitad de la diagonal mayor. Hallar el rea de la regin del rombo.

a) 24b) 36c) 28d) 32e) 40

NIVEL II 1) Hallar m CD, si m AB = 2, m CDa) 40

b) 50

c) 60

d) 70

e) 80

2) En la semicircunferencia de centro O, calcular x

a) 20b) 30c) 40

d) 25e) 45

3) Encontrar la medida del aro BC, si m < b = 70, m DE = 80, adems

a) 40b) 50

c) 60

d) 70

e) 804) Hallar la medida del arco MN

a) 90b) 70c) 100

d) 110e) 120

5) La figura que se muestra est formada por el cuadrado ABCE y por el tringulo equiltero CDE. Calcular CE, si el permetro de toda la figura es 45cm.

a) 9 cm

b) 10 cm

c) 12 cm

d) 11 cm

e) 13 cm

6) Encontrar la longitud del radio de una circunferencia que tiene 32( cm de longitud.

a) 20cmb) 18 cm

c) 8 cm

d) 4 cme) 16 cm

7) Hallar el rea de la regin coloreada, si el rea de la regin del paralelo gramos ABCD es 124 cm2.

a) 62 cm2b) 63 cm2 c) 64 cm2d) 65 cm2e) 66 cm28) Encontrar el permetro de la regin sombreada y su rea de la figura mostrada.

a) (11 + () cm2b) (12- () cm2c) ( cm2

d) 10 ( cm2e) (4 - 2() cm29) Encontrar el rea de la corona circular de la figura.

a) 8 ( cm2b) 9( cm2c) 12( cm2d) 18( cm2

e) 6 ( cm210) La altura de un paralelogramo mide 4 cm y su base mide 2cm ms que su altura. Hallar el rea de su regin.a) 28 cm2 b) 32 cm2 c) 24 cm2d) 21 cm2e) 18 cm2NIVEL III

1) Calcula x, el punto O es centro de la semicirunferencia.

a) 36b) 14c) 30

d) 18e) 15

2) Encontrar x, el punto O es centro de la circunferencia, m