Hace mucho tiempo reinaba en la India un príncipe llamado Iadava. Sus amigos estaban muy

preocupados por él, pues últimamente estaba siempre triste. Hasta la aldea de Lahur

Sessa, llegó la noticia de la tristeza del monarca. Así pues Lahur Sessa inventó un juego

("el ajedrez") que pudiera distraerlo y alegrar su corazón.

Sessa explicó al rey Iadava, a los visires y cortesanos las reglas del juego. Era un gran

tablero cuadrado dividido en 64 casillas. Sobre él se colocaban dos series de piezas, unas

blancas y otras negras. Las formas de las figuras se repetían simétricamente y había reglas

curiosas para moverlas.

Iadava quedó impresionado por el ingenio de Sessa y le ofreció una bolsa llena de oro o un

arca repleta de joyas o palacios o tierras... pero Lahur "sólo" le pidió granos de trigo:

Un grano por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la

cuarta, y así doblando sucesivamente hasta la última casilla.

Al oír la petición de Sessa todos rieron, Iadava aunque extrañado, llamó a los algebristas

de su corte para que hicieran el cálculo del nº de granos que debía entregar al brahmán.

Cuando éstos hicieron el cálculo, vieron, asombrados, que no había trigo en el reino para

pagar esa cantidad.

UNIDAD 2.

POTENCIAS Y RAÍCES

Os voy a leer una

curiosa leyenda

hindú.

Cuando conozcas las

potencias, comprendrás lo

ingenioso que era Sessa

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: BASE a

y EXPONENTE n.

Se escribe an, y se lee: «a elevado a n», donde a es la base y n es el exponente

45 se lee “cuatro elevado a cinco” o “cuatro a la quinta”

39 se lee “tres a la nueve” o “tres a la novena”

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar la base por sí misma

varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: 24= 2·2·2·2 = 16

33=3·3·3 =27

Las potencias cuyo exponente es dos, se llaman cuadrados y es el resultado de

multiplicar un número por sí mismo:

22=4 32=9 42=16 52=25 62=36

72=49 82=64 92=81 102=100

Las potencias cuyo exponente es tres, se llaman cubos

23=8 33=27 43=64 53=125

Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad:

10=1 20=1 450=1 360=1

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

a1=a 211=21 311=31 121=12

OPERACIONES CON POTENCIAS

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma

de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

am · an = am+n

Ejemplos: 32·35 =37 98·93=911 265·2613=2618

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los

exponentes respectivos am:an=am-n

Ejemplo: 36:34=32 59:52=57 265:262=263

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al

exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n,

es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

(a·b)n =an·bn (3·2)5 = 35·25 (2·3)2 =22·32= 4·9=36

Nuestro sistema de numeración es decimal. Es decir que agrupamos todas las cantidades en

grupos de diez. Así 10 unidades hacen una decena; diez decenas hacen una centena; diez

centenas es una unidad de millar…

Todos estos agrupamientos los podemos hacer usando potencias de base 10

100=1 UNIDAD

101=10 DECENA

102=100 CENTENA

103=1000 U. DE MILLAR

104=10000 DECENA DE MILLAR

105=100000 CENTENA DE MILLAR

106=1000000 U. DE MILLÓN

Esto nos puede ayudar para hacer descomposiciones, sobre todo de números grandes. Ej.

26 = 2·10 + 6 =2·101 + 6·100

354 =3·100+ 5·10 + 4 = 3·102 + 5·10 + 4·100

265467 = 2·100000 + 6·10000 + 5·1000 + 4·100 + 6·10 + 7=2·105 + 6·104 + 5·103 + 4·102 + 6·10 + 7

Concepto de raíz.

En la figura superior vemos el suelo de una habitación cuadrada que tiene 100 baldosas.

¿Cuántas baldosas tendrá por cada lado? Para resolver este problema habrá que hallar un

número que elevado al cuadrado sea 100. Es el 10 porque 10 x 10 = 100; 102 = 100.

Por tanto, la raíz cuadrada de 100 es 10.

Elementos de la raíz.

El número 36 es el cuadrado de 6. También podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de

36. El signo se llama signo radical.

En el ejemplo anterior el 36 se llama radicando; el 6 es la raíz cuadrada y es el signo

radical.

Raíces cuadradas exactas.

Cuando un número natural se eleva al cuadrado obtenemos los cuadrados perfectos. El 36

es el cuadrado perfecto de 6; también podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36.

Raíz cuadrada entera.

Si queremos hallar la raíz cuadrada de 46 nos encontramos que no es un cuadrado

perfecto, ya que es mayor que 36 (62) y menor que 49 (72). La raíz de 46 tendrá una parte

entera, 6 y un resto.

Raíz cuadrada entera de un número es la raíz del mayor cuadrado perfecto contenido en él.

En este caso al cuadrado de 6 (36) le faltan 10 para llegar a 46. 46 -36 = 10.

El número 10 se llama resto.

TEMA 2. EJERCICIOS.

1. Escribe cómo se leen las siguientes potencias

98 87 1523 762 25 103

2. Escribe en forma de producto las siguientes potencias

23= 2·2·2

45 38 92 74 510 66

3. Escribe en forma de potencia los siguientes productos

4·4·4·4·4·4·4 = 47

8·8·8·8

23·23·23

2·2·2·2·2·2·2·2

12·12·12·12·12·12

9·9·9·9·9·9·9·9·9·9

4. Calcula el cuadrado y el cubo de los siguientes números

8 7 10 15 5 11

5. Relaciona cada potencia con su resultado

25 65536

52 729

84 32

48 216

36 25

63 4096

6. Calcula el valor de 101, 102, 103, 104, 105 y 106

7. Completa el cuadro

Base Exponente Potencia Resultado Se lee

2 4 24 16 Dos a la cuarta

Tres al cubo

82

2 5

6 6

23 1

8. Un señor le ofreció al dueño de un restaurante 8 € por una comida que costaba

150 €. El dueño del restaurante le dijo que sólo aceptaba si lo elevaba a la potencia

del día en que estaban. El señor, sin pensarlo, aceptó. Era el 5 de febrero. ¿Hizo

buen negocio el dueño del restaurante?

9. En cada generación tiene un número de antepasados que es la potencia de dos.

¿Cuántos antepasados tenías hace 8 generaciones?

10. Copia estas curiosidades de los cuadrados y los cubos ¿Qué observas?

12 = 1

22 = 1 + 3

32 = 1 + 3 + 5

42 = 1 + 3 + 5 + 7

52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

13 = 1

23 = 3 + 5

33 = 7 + 9 + 11

43 = 13 + 15 + 17 + 19

53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

11. Escribe los prefijos Kilo (1000), Mega (1000000), Giga (1000000000) y Tera

(1000000000000) en forma de potencia.

12. Escribe en forma de número

103, 105, 106, 102, 101, 100, 1010, 109, 1011

13. Descompón los siguientes números. Fíjate en el ejemplo.

23564 = 2·10000 + 3·1000 + 5·100 + 6·10 + 4 =2.104 + 3·103 + 5·102 + 6·10 + 4

98372 7098 128172 126 874158 1256892

14. Relaciona cada número con su descomposición

2563 2·104+6·10+5

1065 106+2·10+3

20065 2·103 + 5·102 + 6·10 +3

87459 5·107+2·106+3·105+6·104+5·103+4·102

1000023 3·104+5·103+9·102+8·10+7

698426 103+6·10+5

52365400 6·105+9·104+8·103+4·102+2·10+6

35987 8·104+7·103+4·102+5·10+9

15. Un año-luz es la distancia que recorre un rayo en un año y son aproximadamente

9460000000000 Km. Escríbelo en forma de potencia de 10

16. Con pequeños cubitos hemos construido un cubo grande que tiene 10 cubitos

de lado. ¿Cuántos cubitos contiene el cubo grande?

17. Escribe en forma de una sola potencia

25·28

36·34

63·65·67

98·92

74·72

45·43

18. Escribe en forma de una sola potencia y calcula

98:96

25:24

36:33

84:82

77:75

29:25

19. Expresa el resultado como un producto de potencia

20. Estás jugando a adivinar. Tu compañero te dice: piensa una potencia que vale 16

y su base es 2; adivina el exponente.

21. Jugando a adivinar: piensa una potencia que vale 1000 y su base es 10. ¿Cuál es

el exponente?

22. Completa la tabla, con los cuadrados de los veinticinco primeros números.

número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado

1 1 6 11 16 21

2 4 7 12 17 22 484

3 8 13 169 18 23

4 9 81 14 19 24

5 10 15 20 400 25

23. Una pista que te puede ayudar para calcular raíces cuadradas: los cuadrados de

los números que terminan en cero, también acaban en cero. Completa las

terminaciones

Termina en Su cuadrado termina Termina en Su cuadrado termina

0 0 5

1 6

2 7 9

3 8

4 9

24. Calcula las siguientes raíces cuadradas (todas son exactas)

25 36 400 1225 49 1024 441 3600 2500

25. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números (con resto)

39 79 259 189 903 50 86 500

26. Una niña le dice a otra: “la edad de mi abuelo es un cuadrado perfecto, mayor de

70 y menor de 100, y la mía es la raíz cuadrada de la edad de mi abuelo”. ¿Qué

edad tienen abuelo y nieta?

27. Calcula las siguientes raíces (con y sin resto)

√0 √55 √33

√3 √47 √25

√46 √44 √8

√49 √56 √2

√45 √43 √51

28. Un señor tiene dos nietas de 8 y 6 años. La primera es la raíz cuadrada de su

edad y la segunda es el resto de dicha raíz. ¿Qué edad tiene ese señor?

29. La edad de la niña pequeña del problema anterior es la raíz cuadrada de la edad

de su madre y la edad de la niña mayor es el resto de esa misma raíz. ¿Qué edad

tiene la madre?

30. Una habitación perfectamente cuadrada tiene 256 azulejos. Cada azulejo mide 25

cm de lado. ¿Cuántos metros mide, de lado, la habitación?

31. Al poner las baldosas de una habitación cuadrada, compramos quince cajas de 16

azulejos. Ocho azulejos vienen rotos y, después de colocarlos, sobran siete. ¿Cuántos

azulejos ponemos en cada lado?

32. Completa el cuadro

Número Raíz cuadrada Resto

14 2

146 2

815

926

7225 0

33. Un virus informático se transmite de forma exponencial, de forma que un

ordenador contagia a dos; esos dos a otros dos y así de forma sucesiva. Una empresa

cuenta con 1500 ordenadores. Si el virus avance diez “pasos”, ¿cuántos ordenadores

se salvan del contagio?.

34. Si la empresa del problema anterior se gasta 25€ en arreglar cada ordenador

contagiado, ¿qué perjuicio le ha supuesto a la empresa el virus informático?

35. Queremos enlosar una habitación cuadrada de 36 baldosas por lado. Si cada caja

de baldosas contiene una docena y cuesta 6 €, ¿cuánto nos costará cubrir el suelo?

36. Luis tiene seis años. La edad de su padre y su madre es el cuadrado de la suya y

si suma la edad de sus padres y las de sus abuelos paternos (tienen la misma edad el

abuelo y la abuela), le sale el cubo de su edad. ¿Qué edad tienen los padres y los

abuelos?

37. María tiene cuatro años, su hermana el cuadrado de su edad y su abuela el cubo.

¿Qué edad suman entre las tres?

38. En la familia García son cuatro hijas. Las edades de las niñas son las cuatro

primeras potencias de un número. Entre todas suman la edad de la tía, que es ocho

años más joven que la madre, que tiene la mitad de la edad de la abuela. La abuela

tiene setenta y seis años. ¿Qué edad tienen las demás mujeres de la familia?