De Norbert Wiener (considerado fundador de la cibernética) se cuentan montones de anécdotas. En

cierta ocasión cuando los Wiener se mudaban, su esposa le avisó con varias semanas de anticipación

y la víspera se lo recordó nuevamente. Al salir a trabajar, su mujer, que conocía lo distraído que era,

le puso en un papel la nueva dirección de su hogar, dado que allí tendría que dirigirse, ya que esa

misma mañana la mudanza comenzaría.

Durante el día Wiener usó el papel para borrajear una respuesta a un alumno que le había hecho una

consulta matemática. Al salir lo hizo, como siempre, a su antiguo hogar y por supuesto encontró la

casa vacía. Intentando llamar y ver a alguien de dentro se percató que no había muebles. Minutos

más tarde recordó que la familia se había mudado y no desaparecido, como temía en un principio. Así

que pensó en buscar ayuda y se acercó a una niña que lo miraba desde la acera.

- Niña, ¿podrías decirme dónde se ha ido la familia que vivía en esta casa?

La niña le respondió.

- No te preocupes papá: mamá supuso que perderías la nota y me envió a buscarte.

Un matemático despistado y una esposa previsora. Está claro que hacían una excelente pareja.

UNIDAD 4.

LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los matemáticos siempre han sido famosos por ser

muy despistados. Por supuesto, no siempre es así,

pero algunas de las historias que nos llegan son

muy graciosas.

Aquí os dejo un buen ejemplo.

Hay muchas situaciones de la vida real que no se pueden explicar usando únicamente los números

naturales. Por ejemplo si queremos explicar que un cachalote vive 900 metros por debajo de la

superficie del mar, usaremos el número -900.

El cachalote vive en la cota -900 m.

Una cabra montesa que viva a 2000 m. de altura, vivirá en la cota +2000 m.

Para explicar la situación de la cabra y el cachalote con relación al nivel del mar se han usado los

números +2.000 y –900

Estos números se llaman números enteros. Los números enteros pueden ser positivos y negativos.

Los enteros positivos se obtienen colocando el signo + delante de los números naturales.

Los enteros negativos se obtienen colocando el signo – delante de los números naturales.

Los números enteros no son naturales (no existen –2 peras). Son números creados para referirse a

situaciones en las que se marca un origen (que se considera valor 0) que provoca un antes y un

después, un delante y un detrás, un arriba y abajo.

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta.

Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre

representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay

situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de

ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 euros y al día

siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = 1000 €.

Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, entonces la operación que tenemos

que hacer es 500 − 2000 = − 1500 €. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para

las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresarr

con números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar con números

enteros negativos.

Para medir Temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el

terE Cuan termómetro marca 0 grados, el agua se congela.

Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos.

Las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos.

Representamos los números enteros en una recta numérica.

Trazamos una línea recta y situamos en ella el 0. El 0 divide a la recta en dos semirrectas.

Dividimos cada una de las semirrectas en partes iguales:

Situamos los números enteros: los enteros positivos a la

derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero:

Para comparar dos números enteros los situamos en la recta numérica: cualquier número

entero es mayor que otro situado a su izquierda

(+6) > (-4)

No obstante, vamos a tener en cuenta estas reglas:

1. Cualquier entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

(+2) > (-20 ) (+1) > (-50)

2. El cero es mayor que todos los enteros negativos y menor que todos los enteros

positivos.

(+12) > 0 > (-8)

3. Entre dos enteros positivos, es mayor el que tenga un número mayor.

(+30) > (+25)

4. Entre dos enteros negativos, es mayor el que tenga un número menor.

(-20) > (-25) (-8) > (-14) (-2) > (-9)

¿Quieres saber cómo se suman los números enteros?.

1. Sumamos dos enteros del mismo signo

En esta recta numérica, un salto de +3 y otro de +2. El salto total es de +5.

(+2) +(+3) = +5

En esta otra recta damos un salto de –2 y a continuación otro de –3. El salto total es de -5.

(-2) + (-3) = -5

Para sumar dos (o más) números enteros del mismo signo

a. Conservamos el signo de los números.

b. Sumamos sus valores

2. Sumamos dos números enteros de diferente signo.

En esta otra recta, a partir de 0 hemos retrocedido primero 2 unidades (-2).

Luego hemos avanzado 8 unidades (+8). Estamos en +6.

(-2)+(+8) = +6

Para sumar dos números enteros de diferente signo:

a. Conservamos el signo del número con mayor valor numérico.

b. Restamos los valores.

Fíjate en la posición de los números +3 y -3 en la recta numérica

Observa que 3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0. Son simétricos respecto al 0.

Tienen el mismo valor numérico, pero distinto signo.

0p. (+3) = - 3 0p. (-3) = + 3

Se llaman opuestos, por tanto: el opuesto de un número es aquel que tiene el mismo valor numérico,

Pero distinto signo

Resta de números enteros.

Observa el problema: “ Un señor nació en el año 25 a.c. y murió en el año 42 d.c.. ¿Cuántos años

vivió?”

La edad de una persona es la resta de las fecha de muerte y nacimiento.

42 – (-25), ya que las fechas antes de Cristo se consideran negativas.

Para restar números enteros, sumamos el opuesto del número que queremos restar.

Por tanto, la operación será 42 + (+25 ) = 67 años.

A un número entero, en lugar de restarle otro, le sumamos el opuesto

Ej: (-2) – (+3) = (-2) + (-3 ) = -5

(+8 ) – ( -9) = (+8) + (+9) = +17 Multiplicación y división de números enteros.

Para multiplicar y dividir los números enteros nos vamos a fijar en sus signos y en los valores

numéricos. Hay que tener en cuenta:

1. Si los signos de los dos números que multipliquemos o dividamos son iguales (los dos

positivos o los dos negativos) el signo resultante siempre será positivo.

2. Si los signos de los dos números que multipliquemos o dividamos son diferentes (uno positivo

y el otro negativo) el signo resultante siempre será negativo.

Así que haremos:

a. Multiplicamos o dividimos los valores numéricos.

b. Colocamos el signo, según lo que hemos visto antes.

Ej:

(+8 ) · (-3) = - 24 (-3) · (-5) = +15 (-4) · (+3) = -12 (+5) · (+2) = +10

(+16 ) : (-4) = - 4 (-20) : (-5) = +4 (- 15 ) : (+3) = - 5 (+9) : (+3) = +3

TEMA 4. EJERCICIOS.

1. Expresa con un número entero, las siguientes cantidades.

a. La temperatura a las ocho de la mañana era de seis grados bajo cero.

b. El escalador alcanzó la cota de los seis mil metros.

c. Consigo sumergirme doce metros sin bombonas.

d. En agosto la temperatura sube hasta los treinta grados.

e. Debes veinte euros.

f. Euclides estudió los números primos en el año 300 a.c.

g. He ahorrado 350 euros

2. Escribe

a. El número siguiente a +3

b. El número anterior a +9

c. El número anterior a -9

d. El número siguiente a -15

e. El número anterior a 0

f. El número siguiente a -2

g. El número anterior a -4

h. El número siguiente a +99

3. Escribe situaciones reales que puedan representar estos números enteros: -208

+ 372 -8 -100 +8848 +1616 -19

4. Dibuja una recta numérica y señala los números (-3), (+4), (+2), (-1), (-6) y (+5)

5. Compara las siguientes parejas de números enteros.

+4 y +6 +4 y -2 +7 y -7 0 y +2 0 y -2 -8 y -10 -6 y -4

6. Ordena, de menor a mayor los siguientes números enteros.

+3 +12 0 -9 -5 +1 -8 -3

7. Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros

+23 -34 -98 -21 +129 -300 0 +129 +232 -98 -96

8. Encuentra el camino por el que partiendo de la casilla superior izquierda donde se encuentra

el +9 llegues a la inferior derecha en la que está el –9 de modo que yendo de una casilla a

otra en sentido vertical u horizontal pases siempre a un número inferior al anterior

+9 +8 +6 +3 +1

-3 +7 +4 -2 +5

+4 -5 +2 +1 -3

+3 -4 -6 -7 +4

-2 +5 +7 -8 -9

9. En una estación de esquí se recogieron, en una semana, las siguientes temperaturas

mínimas, de lunes a domingo: -7º, -5º, -11º, 0º, +2º, -2, +1º. Ordena los días de la

semana, de la noche más fría a la más cálida.

10. Luis vive en el sexto piso de un edificio y guarda la moto en el segundo sótano.

Expresa con números enteros, el piso donde vive y el lugar donde guarda la moto.

11. Suma los siguientes números enteros.

(+7) + (+3) = (+17) + (-3) = (+9) + (-9) =

(-5) + (+4) = (+9) + (-4) = (+12) + (+1) =

(+12) + (-21) = (-7) + (+12) = (-7) + (+3) =

(-7) + (+13) = (+23) + (-3) = (-44) + (-12) =

(+2) + (-3) = (-56) + (-15) = (+4) + (-9) =

12. Completa las sumas con los términos que faltan:

(-5 ) + ( ) = +2 (+8 ) + ( ) = +1 (0 ) + ( ) = +4

(-9 ) + (-3) = (-5 ) + ( ) = 0 (-5 ) + ( ) = +4

( ) + ( +2) = +9 (+15 ) + ( ) = -8 ( ) + (-3 ) = +14

13. Antonio debe 25 € y contrae otra deuda de 15 €. ¿Cuánto dinero debe ahora?. Expresa

la operación con números enteros.

14. Un globo asciende hasta los 3450 m y, al soltar el aire desciende 1290 m. ¿A qué

altura está ahora el globo? Expresa la operación como suma de números enteros.

15. Escribe el opuesto de los siguientes números. +23, -6, -12, +32, -9, +4, +22, -5

16. Realiza las siguientes restas:

(+6) – (+2) = (+2) – (-2) = (+5) – (+5) =

(+9) – (-21) = (+16) – (+8) = (+7) – (-52) =

(-21) – (-3) = (-44) – (+22) = (-21) – (-67) =

(+56) – (-23) = (+76) – (-92) = (-76) – (+92) =

17. Se cree que Arquímedes inventó el tornillo. Después de 2146 años se inventó el

ordenador, en 1946. ¿En qué año inventó Arquímedes el tornillo?

18. Arquímedes nació en el año 287 a.c y murió en el año 212 a.c. ¿Cuántos años vivió

Arquímedes?

19. El pasado invierno, la temperatura en el patio del colegio, un día muy frío, era de -2º,

en la clase había 20º. ¿Cuál era la diferencia entre el interior y el exterior?

20. Un bombero tiene que subir a pie desde el quinto sótano de un edificio hasta la planta

diecinueve. ¿Cuántas plantas sube?

21. Las guerras cántabras tuvieron lugar entre los años 29 a.c y 19 a.c. ¿Cuántos años

duraron?

22. Un ciudadano romano nació en el año 12 a.c. y murió en el año 26 d.c. ¿Cuántos años

vivió?

23. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones

(-6) · (+3) = (-3) · (+3) = (-6) · (-3) =

(+8) · (-4) = (-2) · (-9) = (-2) · (+5) =

(-10) · (-3) = (+9) · (+7) = (+12) · (-7) =

(-12) · (+8) = (-12) · (-4) = (-2) · (+67) =

(+4) · (+4) = (+7) · (-10) = (+60) · (-30) =

(+15 ) : (-5) = (-15 ) : (-3) = (-18 ) : (-6) =

(-25 ) : (+5) = (-40 ) : (-8) = (+45 ) : (+9) =

(+100 ) : (-5) = (+81 ) : (+3) = (-63 ) : (-7) =

(-105 ) : (+5) = (-42 ) : (-6) = (+84 ) : (+12) =

(+121) : (-11) = (+99 ) : (+9) = (-15 ) : (+15) =

(+14 ) : (+7) = (-76 ) : (-76) = (+32 ) : (+16) =

24. El producto de dos números enteros consecutivos es +6. ¿Cuáles son esos números?

25. María tiene una deuda de 75 €, que se hace el doble cada mes. ¿Calcula el dinero que

tiene María al cabo de cuatro meses?.

26. En un restaurante se dan 98 comidas y cada una cuesta 9 €. La mitad de los que ganan

con la comida lo usan para pagar una deuda y la otra mitad lo reparten entre siete empleados.

¿Cuánto dinero gana cada empleado? Expresa las operaciones con números enteros.

27. Cinco submarinistas se sumergen en el mar. El más arriesgado llega hasta 256 m de

profundidad. Cada uno de los otros se quedan a la mitad de profundidad del anterior. ¿Qué

cota de profundidad alcanza cada uno?

28. ¿Qué personajes vivieron los mismos años, teniendo en cuenta que la primera fecha es

el nacimiento y la segunda, la fecha de deceso?

Isabel I de Castilla (1451 – 1504)

Alejandro Magno (356 a.c.- 323 a.c)

Albert Einstein (1879 – 1955)

Julio César (100 a.c – 44 a.c.)

Aristóteles (384 a.c. – 322 a.c.)

César Borgia (1475 – 1508)

Hérodes I (78 a.c – 4 a.c)

Poncio Pilatos (12 a.c – 40 d.c)

29. Un ciudadano romano nació en el año 19 a.c. Con diecisiete años se alistó en la Legión,

con la que sirvió durante quince años. Tras retirarse vivió hasta el año 26 d.c. en Tarraco.

Ese año volvió a Roma, donde falleció a la edad de 52 años.

- ¿En qué año se alistó en la Legión?

- ¿En qué año se retiró de la Legión? ¿Qué edad tenía entonces?

- ¿Cuántos años tenía cuando volvió a Roma?

- ¿En qué año murió?

30. Realiza las siguientes operaciones.

(+2) – (+8)

(-5)· (+3)

(+14):(-2)

(-16) + (-15)

(+8)·(-8)

(-14) – (-16)

(-36) : (-6)

(+9)-(-5)

(-3)·(-9)

(-14)-(-18)

(+7)-(+7)

(-6) +(-8)

(+8):(-2)

(+15):(-5)

(-16)·(-2)

(+18)-(+14)

31. Una madre le pide a su hijo que baje a buscar un ordenador que ha olvidado en el

coche. El niño baja al garaje, situado en la planta -2. Si en total ha bajado y subido catorce

pisos, ¿en qué piso vive esa familia?

32. En un pueblo de Burgos se alcanza una temperatura máxima de 36º en verano y una

mínima de 15º bajo cero en invierno. ¿Qué amplitud térmica tiene ese pueblo?

33. Dos ciudadanos de la antigua Grecia están hablando y uno le dice a otro: “Acabo de

cumplir 21 años”. El otro responde que tiene el doble de años. Si estamos en el 254 a.c.,¿en

qué año nació cada uno de ellos?