RAZON DE CAMBIO

INSTANTANEO Y LA DERIVADA

DE UNA FUNCION

MATE 3013

Resumen razón de cambio promedio

La pendiente de la recta secante que

conecta dos puntos en la gráfica de una

función representa la razón de cambio

promedio en el intervalo (x, f(x)).

Esta razón se puede determinar con el

cociente de diferencias

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ =

∆ 𝑦

∆ 𝑥 =

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio

a) durante los 2 primeros segundos de la caída

b) del segundo 1 al segundo 2?

si la caída esta gobernada por la siguiente ecuación

f(t) = 5.1𝑡2, donde f(t) se mide en metros?

a) los primeros 2 segundos:

t

y

b) del segundo 1 al 2:

t

y

m/s2.10

02

01.521.522

12

11.521.522

m/s3.15

Razón de cambio promedio -aplicaciones

(1)Determinar la razón de cambio promedio de

𝑓 𝑥 entre x = -2 y x = -1.

•𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

• 𝑓 −2 =

• 𝑓 −1 =

•9−8

−2−(−9)=

9

8

-1

Razón de cambio promedio -aplicaciones

(2) Determinar la ecuación de la recta secante a

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3 entre x = -2 y x = -1. Como la razón de cambio promedio que calculamos en la parte 1 de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que

y = mx + b

y = -x + b

Sustituimos uno de los puntos:

9 = -(-2) + b

9 = 2 + b

9 – 2 = b

b = 7

La ecuación de la recta secante es: y = – x + 7 o y = 7 – x

Razón de cambio promedio -aplicaciones

Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio instantáneo

a) ¿Cuál es la razón de cambio

instantáneo en x = 2?

• Hasta ahora hemos

mirado razón de cambio

promedio.

• Para mirar la razón de

cambio instantánea,

calculemos la razón de

cambio promedio en una

vecindad pequeño

alrededor de 2, por la

izquierda.

Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio instantáneo

a) ¿Cuál es la razón de cambio

instantáneo en x = 2?

Razón de cambio promedio

en una vecindad pequeño

alrededor de 2, por la

izquierda…:

𝑓(1.97) − 𝑓(1.95)

0.02=

𝑓(1.98) − 𝑓(1.97)

0.01=

𝑓(1.99) − 𝑓(1.98)

0.01=

𝑓(1.999) − 𝑓(1.99)

0.009=

𝑓(1.9999) − 𝑓(1.999)

0.0009=

24.96

24.6

24.36

24.132

24.0132

Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio instantáneo

a) ¿Cuál es la razón de cambio

instantáneo en x = 2?

Calculemos la razón de cambio

promedio en una vecindad pequeño

alrededor de 2, por la derecha.

𝑓(2.1) − 𝑓(2.15)

−0.05=

𝑓(2.05) − 𝑓(2.1)

−0.05=

𝑓(2.01) − 𝑓(2.05)

−0.04=

𝑓(2.001) − 𝑓(2.01)

−0.009=

𝑓(2.0001) − 𝑓(2.001)

0.0009=

21

22.22

23.28

23.87

23.99

Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.

Razón de cambio instantáneo

a) ¿Cuál es la razón de cambio

instantáneo en x = 2?

La razón promedio en una vecindad

pequeña alrededor de x=2 (por la

izquierda y por la derecha) se acerca

al mismo número. Por lo tanto, la

razón de cambio instantáneo en x=2

es 24 metros/segundo.

DEFINICION:

La razón de cambio instantánea de

f(x) en x es un límite.

m limh0

f x h f x h

.

El Límite de la cociente de diferencias

La razón de cambio instantánea

de f(x) es la pendiente de la

recta

tangente en (x, f(x)).

DEFINICION: Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama una

línea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curva

suave: una línea tangente toca una curva en un solo punto.

L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva.

Rectas tangentes

Identifique las rectas tangentes en la figura.

.

Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de la

curva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una línea

tangente es posible en cualquier punto dado.

Rectas tangentes

m=0

m=0

m<0

m>0 m<0

En los puntos de

máximo o mínimo, la

recta tangente es

horizontal ( es decir,

la pendiente es 0)

En los tramos de

crecimiento la recta

tangente tiene

pendiente positiva, en

los de decrecimiento la

tiene negativa.

Rectas tangentes

Calcular razón de cambio instantánea

La velocidad promedio en el intervalo es

Como no se puede

resolver el limite por

sustitución por que no

podemos dividir entre

0, hacemos una tabla

con h = 0.05, 0.1, 0.01,

0.001 y 0.0001 para

explorar el límite.

h

tht22

1.51.5

Los valores tienden 20.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑚

𝑠𝑒𝑔

Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡2, donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad de la piedra en t =2.

𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)

ℎ

La velocidad instantánea en t = 2 es

h

tht

h

22

0

1.51.5lim

La velocidad es 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Calcular razón de cambio instantánea

La velocidad promedio en el intervalo es

Podemos también

investigar el límite

con métodos

algebraicos:

h

tht22

1.51.5

10.2(2) = 20.4 , por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑚

𝑠𝑒𝑔

Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡2, donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad instantánea de la piedra en t =2.

𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)

ℎ

La velocidad instantánea en t = 2 es

h

tht

h

22

0

1.51.5lim

h

ththt

h

222

0

1.521.5lim

h

ththt

h

222

0

1.51.52.101.5lim

h

hth

h

1.52.10lim

0

hth

1.52.10lim0

t2.10

Ejemplo 1: Para hallar .

Luego, hallar y .

f x

f 3 f 4

El Límite de la cociente de diferencias

𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 1

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

3 𝑥 + ℎ 2 + 1 − (3𝑥2 + 1)

ℎ

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

3(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 1 − (3𝑥2 + 1)

ℎ

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 1 − 3𝑥2 − 1

ℎ

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 1 − 3𝑥2 − 1

ℎ

Ejemplo 1: Para hallar .

Luego, hallar y .

f x

f 3 f 4

El Límite de la cociente de diferencias

𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 1

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

ℎ(6𝑥 + 3ℎ )

ℎ

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

6𝑥 + ℎ

𝑓′ 𝑥 = 6𝑥

𝑓′ −3 = 6 −3 = −18

𝑓′ 4 = 6 4 = 24

DEFINICION:

Para una función y = f (x),

la pendiente de la recta

tangente en un valor de x=a se

conoce como la derivada de

f(x) en x=a.

Se denota f’(x) (f prima de x).

siempre y cuando el límite

exista.

f x limh0

f x h f x h

El Límite de la cociente de diferencias

Si f’(x) existe, entonces se dice

que f es diferenciable en

x=a.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de f en el punto con coordenada en x = a.

y=-3/2x-24

y=-4

y=3

y=1.2x+1.5

y=-1.3x+13

La derivada de la función f en a se denota con el símbolo

𝑓´ 𝑎 que se lee “f prima de a”

𝑓´ 4.5 = −3

2 porque la

tangente en x = 4.5 tiene

pendiente −3

2.

𝑓´ −2 = 0

𝑓´ 2 = 1.2

𝑓´ 4 = 0

𝑓´ 6 = −1.3

Determinar la pendiente de la recta tangente a

𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3.

Necesitamos la razón de

cambio instantánea en x = 3.

Necesitamos el

Simplificar este límite algebraicamente envuelve álgebra pesada.

¿De qué otra forma podemos investigar el límite?

Derivada -aplicaciones

h

xhx

h

4)(4lim

0

Determinar la pendiente de la recta tangente a

𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3.

Utilicemos una tabla con h,

la distancia de x = 3 aproximando a 0:

Derivada -aplicaciones

5.0

34)5.03(4

h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

f(x)

5.04)(4

lim0

h

xhx

h

1.0

34)1.03(4

1.0

34)1.03(4

-0.5859 -0.5132 -0.5013 -0.5001 -0.50001

h

xhx

h

4)(4lim

0

¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0?

Solución:

Según la definición de derivada una función es diferenciable en un

punto si la derivada existe en el punto.

Derivada -aplicaciones

f x limh0

f x h f x h

h

xhx

h

lim

0

h -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001

f(x)

h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

f(x) -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1

1lim0

h

xhx

h

1lim0

h

xhx

h

¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0?

Solución: (continuación)

Según la definición de derivada una función es diferenciable en un

punto si la derivada existe en el punto.

Por lo tanto, la función no es diferenciable en x = 0.

Derivada -aplicaciones

.diferentes sonderecha la por y

izquierda la por límites los que ya existe No

lim0

h

xhx

h

1lim0

h

xhx

h

1lim0

h

xhx

h