1. 1L ICENCIATURA EN ADMINISTRACINA PUNTESPARA LA ASIGNATURAMATEMTICAS FINANCIERAS2005 1

2. 2 Colaboradores Coordinacin generalL. A. C.y Mtra. Gabriela Montero MontielCoordinacin acadmica L.A.C. Francisco Hernndez MendozaElaboradores de contenidoMaria Reynera Pompa OsorioEuardo Arvalo Guerrero Coordinacin operativa L.A.C. Francisco Hernndez MendozaL.C. Gilberto Manzano PealozaAsesora pedaggica Sandra RochaCorreccin de estilo Jos Alfredo Escobar MelladoEdicin L.A.C. Jos Mario Hernndez JurezCapturaBeatriz Ledesma Espndola 2 3. 3PrlogoComo una labor editorial ms de la Facultad de Contadura y Administracin, losmateriales educativos que conforman el Paquete de Estudio Autodirigido delSistema Universidad Abierta representan un esfuerzo encauzado a apoyar elaprendizaje de los estudiantes de este sistema.Esperamos que estos materiales sirvan de punto de referencia tanto a los asesorescomo a los alumnos. A los primeros para que tengan medios que les permitanorientar de mejor manera y con mayor sencillez a sus estudiantes. Y a los segundospara que cuenten con elementos para organizar su programa de trabajo, se lesfacilite comprender los objetivos de cada asignatura y se sirvan de los apoyoseducativos que contienen, como los esbozos de las materias y sus unidades,cuestionarios de autoevaluacin, lecturas bsicas de estudio, actividades deaprendizaje y apuntes elaborados por los asesores.As, ponemos estos materiales a disposicin de nuestra comunidad, esperando quealcancen sus propsitos. ATENTAMENTE Ciudad Universitaria, D. F., octubre de 2005C.P.C. Y MAESTRO ARTURO DAZ ALONSO DIRECTOR3 4. 4Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sinautorizacin escrita del editor. APUNTES PARA LA ASIGNATURA MATEMTICAS FINANCIERAS Primera edicin, octubre, 2005 Derechos reservados conforme a la ley. Prohibida la reproduccin parcial o total de la presente obra por cualquier medio, sin permiso escrito del editor. DR 2005 Universidad Nacional Autnoma de Mxico Facultad de Contadura y Administracin Fondo Editorial FCA Circuito Exterior de Ciudad Universitaria, Deleg. Coyoacn, 04510-Mxico, D.F. Impreso y hecho en Mxico 4 5. 5ContenidoIntroduccin7Objetivos generales de la asignatura9Unidad 1. Inters simple11Objetivos particulares de la unidad 13Apunte14Unidad 2. Inters compuesto 37Objetivos particulares de la unidad 39Apunte41Unidad 3. Anualidades 67Objetivos particulares de la unidad 69Apuntes 71 5 6. 6Unidad 4. Amortizacin 133 Objetivos particulares de la unidad 135 Apuntes 137Unidad 5. Depreciacin 145 Objetivos particulares de la unidad 147 Apuntes 149Unidad 6. Aplicaciones 163 Objetivos particulares de la unidad 167 Apuntes 160 6 7. 7IntroduccinDesde que se invent la moneda o el uso de la misma, el hombre hatratado de utilizarla de la mejor manera, el dinero pas a formar parteimportante de la vida de las personas, con l podan y se puede realizartodo tipo de transacciones. El da de hoy ha adquirido una mayorimportancia ya que, afortunada o desafortunadamente, todo se muevetravs de ese medio, debido a ello tambin se ha visto la manera deutilizarlo de la mejor manera posible porque al mismo tiempo que abundaen lo general, es muy escaso en lo particular, y por lo mismo es menesterel que se sepa manejar y aprovechar a su mxima utilidad. Al estar laspersonas relacionadas con el uso y manejo del dinero es necesario elcomprender de una forma clara y sin complejidades cmo el dinero puedeganar, perder o cambiar de valor con el transcurso del tiempo, debido a lainflacin; para ello debemos saber emplear en particular las matemticasfinancieras. Adems es trascendental su manejo ya que la economa decualquier nacin est basada en el crdito y para tomar una decisinacertada es necesario tomar en cuenta que a travs del tiempo el valor deldinero puede tener variaciones.La intencin de los presentes apuntes de Matemticas Financieras es ellograr que el estudiante conozca de una manera ms cercana a losconocimientos ms importantes que se ven el medio financiero y burstil,adems que se puede considerar que son la base para poder estudiarotras materias que por sus caractersticas es requisito el saber de losconceptos y procedimientos para el manejo del dinero. 7 8. 8Se ha tratado de exponer todas las unidades de la asignatura de una maneraclara y sencilla, utilizando un lenguaje simple para que el estudianteencuentre interesante el campo de las matemticas financieras.A lo largo de las unidades se vern problemas prcticos, empezando por verel Inters Simple que es la base de los siguientes temas como son el IntersCompuesto, Anualidades, Amortizacin y Depreciacin, hasta llegar a la partede Aplicaciones.Es importante aclarar que las matemticas financieras, como todas las demsmatemticas, requieren de trabajo y prctica, por ello la recomendacin derealizar todos los ejercicios que contiene el cuaderno de actividades y la guade estudio.Estamos seguros que al final de la materia, el alumno tendr conocimientossuficientes para poder tomar una decisin en todo lo referente al manejo deldinero.8 9. 9 Objetivos generales de la asignaturaAl terminar la unidad el estudiante debe diferenciar entre monto, inters, tasade inters, tiempo y capital, as como hacer los clculos respectivos paraobtener cada concepto. Deber utilizar las herramientas necesarias para lareestructuracin de una o varias deudas, conocer como cambia el valor deldinero en el transcurso del tiempo.9 10. 1010 11. 11 Unidad 1: Inters simple1.1. Concepto1.2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo1.3. Tipos de inters simple (clasificacin)1.4. Descuento bancario o simple1.5. Ecuacin de valor11 12. 1212 13. 13Objetivos particulares de launidadAl terminar la unidad el estudiante debe diferenciar entre monto, inters, tasade inters, tiempo y capital, as como hacer los clculos respectivos paraobtener cada concepto. Deber utilizar las herramientas necesarias para lareestructuracin de una o varias deudas, conocer como cambia el valor deldinero en el transcurso del tiempo.13 14. 14UNIDAD 1. INTERES SIMPLE1.1. ConceptoEl inters es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado enprstamo. La cantidad del inters depende de las variables siguientes: Capital: cantidad que se da en prstamo. Plazo: tiempo durante el cual se presta el capital. Tasa de inters.Frmula general del intersEl inters es el producto que resulta de multiplicar el capital por la tasa; ymultiplicndolo por la(s) unidad(es) de tiempo obtenemos el inters total quecorresponde a dicha(s) unidad(es).Para designar los diversos elementos del inters, se emplean las literales siguientes:I = IntersC = Capital, principal, valor actual o valor presentei = Tasa de inters por unidad de tiempot = Tiempo o plazoAl aplicar la definicin anterior, tenemos la frmula siguiente:I = Cit .......................................................(1)1NOTA: para aplicar la frmula y resolver el problema, los datos de tiempo (t) y tasa deinters (i) deben referirse a una misma unidad de tiempo.1 Se enumeran las frmulas planteadas, con el fin de identificarlas fcilmente en el documento cuandose haga referencia a ellas. 14 15. 15EjemplosSi la tasa es anual y el tiempo 5 aos, t = 5.Si la tasa es anual y el tiempo 7 meses, sustituimos t por 7/12.Si la tasa es mensual y el tiempo 2 aos, consideramos t por 24 meses.En el mismo caso, si la tasa es trimestral y el tiempo 3 aos, convertiremos los aos atrimestres: t = 12.En conclusin, siempre convertiremos las unidades de tiempo a las unidades a quehace referencia la tasa.A continuacin, se analiza la frmula general del inters en una serie de problemas declculo del inters (I), capital (C), tasa de inters (i) y tiempo (t). (Es importante querealices tus propios clculos para que compruebes cmo se lleg a los resultados).Clculo del inters (i)Ejercicio 1. Qu inters (I) produce un capital (C) de $40,000.00 en 1 ao 7 meses y21 das (t), al 24% anual (i)?I=?C = $40,000.00i = 24% anual = 0.24 anualt = 1 ao x 360 das = 360 das7 meses * 30 das = 21021 das = 21Total de das = 591 Por tanto, t = 591/360 aosI = Cit = 40 000 x 0.24 x (591/360) = $ 15,760.00De la frmula de inters:I = Cit .................................................(1) 15 16. 16se extraen las que sirvan para calcular el capital (C), tasa de inters (I) y tiempo (t),despejando cada una de esas variables de la frmula de inters (I):C = I / it........................................(2)i = I / Ct....................................(3)t = I / Ci.............................(4)1.2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo.Clculo del capital (c)Ejercicio 2. Qu capital (C), con tasa de inters del 12% anual (i), produce interesesde $15,000.00 (I) en 10 meses (t)?C=?I = $15,000.00i = 12% anual = 0.12 anualt = 10/12 de aoC = I / it = 15000 / [0.12 x (10/12)] = $150,000.00Clculo de la tasa de inters (i)Ejercicio 3. Cul es la tasa de inters (i) a la que ha estado invertido un capital de$110,000.00 (C) que durante dos aos y 5 meses (t) produjo $39,875.00 de inters(I)?i=?C = $110,000.00I = $39,785.00t = 2 aos y 5 meses = 29 mesesi = I / Ct = 39875 / (110000 x 29) = 0.0125 = 1.25% mensual16 17. 17Si el inters es de 1.25% cada mes, corresponde a 1.25 x 12: 15% anual.NOTA: si la tasa de inters es la incgnita, la unidad de tiempo ser la que se manejeen la variable tiempo.Clculo del tiempo (t)Ejercicio 4. Qu tiempo (t) habr estado invertido un capital de $85,000.00 (C) queprodujo un inters de $35,700.00 (I) a una tasa anual de 21% (i)?t=?C = $85,000.00I = $35,700.00i = 21% anual = 0.21 anualt = I / Ci = 35700 / (85000 x 0.21) = 2 aosNOTA: cuando se pide la tasa de inters en aos, automticamente, la tasa saldranualizada. Es decir, toma la unidad de tiempo que maneja la tasa de inters.Monto de un capital utilizando inters simpleSe conoce por monto a la suma del capital (C) ms el inters (I). (Tambin se ledenomina valor futuro, valor acumulado o valor nominal).Si designamos como M a dicha suma, tenemos:M = C + I.....(5)Y si la frmula del inters (I):I = Cit.....................(1)la sustituimos en la frmula del monto (M) arriba anotada, tenemos que:M = C + Cit = C (1+ it)...............................(6) 17 18. 18Clculo del monto (M)Ejercicio 5. Si usamos los datos del ejercicio 1, y sabiendo de antemano que el monto(M) relativo es $55,760.00, comprobamos nuestra nueva frmula:C = $40,000.00i = 24% anual = 0.24 anualt = 1 ao x 360 das = 360 das 7 meses * 30 das = 210 21 das = 21Total de das = 591Por tanto, t = 591/360 aosM = 40000 [i + (0.24) (591/360)]M = 40000 (1 + 0.394)M = 40000 (1.394)M = $55,760En funcin de la frmula del monto, puede ser necesario calcular el capital, el tiempo ola tasa; en tal caso, se proceder a despejar la incgnita de la frmula bsica.As, para buscar el capital (C), tenemos:MC = ---------.............................................(7) 1+itPara encontrar el tiempo, tenemos: 18 19. 19 M------ 1 = i tC(M/C) 1-------------- = t...........................(8)iPor ltimo, para encontrar la tasa de inters, aplicamos la frmula siguiente:(M/C) 1--------------- = i..................(9)tA continuacin mediante ejercicios se analizan las frmulas anteriores. (Convieneque realices los clculos, para que comprendas cmo se resolvieron cada una de lasliterales).Clculo del capital (C) utilizando monto (M)Ejercicio 6. Cul es el capital (C) que produjo un monto (M) de $135,000.00, a unatasa (i) de 14% anual durante nueve meses?C = ? = $122,171.94M = $135,000.00i = 14% = 14% anual = 0.14t = 9 meses = 9/12 de ao13,500013,500013,5000 C = ---------------------- = ---------------- = ------------1 + (0.14) (9/12) 1 + 0.1051.105C = $122,171.9419 20. 20NOTA: si en el enunciado no se especifica la unidad de tiempo a la que se establecela tasa de inters, se sobreentiende que es anual.Clculo del tiempo (t) utilizando monto (M)Ejercicio 7. Durante qu tiempo (t) un capital (C) de $122,171.94, impuesto a 14%anual (i), se convierte en un valor futuro (M) de $135,000.00?C = $122,171.94M = $135,000.00i = 14% = 14% anual = 0.14t=? 135000/122171.94) 1 1.105 1 0.105t = -------------------------------- = ---------------- = ----------- 0.14 0.14 0.14t = 0.75 aos = 0.75 * 12 = 9 mesesNOTA: observa que, como el tiempo result en fraccin de ao, se utiliza una regla detres para obtener la unidad de tiempo preferida, que en este ejercicio es:1 ao 12 meses 0.75 ao? Operacin: (0.75 x12)/1 = 9 mesesClculo de la tasa de inters (i) utilizando monto (M)Ejercicio 8. A qu tasa de inters (i) habr estado impuesto un capital (C) de$122,171.94, que en 9 meses (t) produjo un monto (M) de $135,000?C = ? = $122,171.94M = $135,000.0020 21. 21i=?t = 9 meses = 9/12 de ao(135000/122171.94) 1 1.105 10.105i = ------------------------------ = --------------- = ---------- 9/120.750.75i = 0.14 = 14% anual1.3. Tipos de inters simple (clasificacin)Inters simpleOcurre cuando los intereses que debe pagar el acreedor por cada lapso convenido nose incorporan al capital. Es simple porque el capital que lo produce siempre es elmismo.Inters compuestoSe da cuando el deudor no paga los intereses a su vencimiento. De este modo, secuenta en realidad con un capital: al acumularse los intereses al capital, stosproducen un nuevo y mayor capital sobre el cual se acumularn los intereses por elsiguiente periodo. Y aunque siempre hay una misma tasa, el capital se vaincrementando sucesivamente junto con los intereses. Dicho de otro modo, el intersproduce a su vez ms intereses.1.4. Descuento bancario o simpleEl descuento es la disminucin que se hace a una cantidad que se paga antes de suvencimiento. Es decir, es el cobro hecho con anticipacin a una cantidad convencimiento futuro; esto significa que la persona que compra el derecho de cobrar esa21 22. 22cantidad futura efecta un prstamo por el cual exige un inters, ya que debetranscurrir el tiempo anticipado para recuperar su inversin. A ese inters se le llamadescuento: cuando el inversionista (quien compra el documento que ampara lacantidad futura) adquiere en una cantidad menor un valor nominal que vence en elfuturo. Asimismo a una cantidad que tiene un vencimiento en un plazo futuro lecorresponde un valor actual. A la diferencia entre ambos se le llama descuento.Para calcular el descuento aplicando el inters simple, se utilizan dos procedimientos:descuento comercial y descuento real o justo. Sus elementos se designan mediantelas literales siguientes: Dc Descuento comercial. Dr Descuento real o justo. MValor nominal o valor futuro. d=iTasa de descuento o de inters quese aplica en la operacin. tTiempo por el cual se aplica eldescuento. Es el periodo que faltapara poder cobrar el valor nominal. CValor descontado o valor actual.Descuento comercialSe calcula sobre el valor nominal. Consiste en calcular el inters entre el vencimientode la deuda y la fecha del descuento a cierta tasa sobre el valor nominal.Frmula. Si el descuento comercial es el inters del valor nominal, sustituimos en lafrmula del inters simple (I = Cit) los valores correspondientes, considerando que elinters se calcula sobre el valor nominal (M) y no sobre el valor actual (C):Dc = Mdt................................(10)22 23. 23En funcin de la frmula del descuento comercial (Dc), puede ser necesario calcular elvalor nominal (M), tiempo (t) y tasa de descuento (d = i), en cuyo caso se proceder adespejar la incgnita de la frmula bsica.As, para buscar el valor nominal (M), tenemos: DcM = ---------...............................................(11) dtY para encontrar el tiempo (t), tenemos: Dct = ----------...............................................(12) MdPor ltimo, para encontrar la tasa de descuento (d = i), tenemos:Dcd = ---------.................................(13) MtPara obtener el valor actual o valor descontado (C), se encuentra la diferencia entre elmonto o valor nominal (M) menos el descuento (Dc):C = M Dc .................................................(14)Al sustituir la frmula del descuento comercial en la frmula anterior, tenemos:C = M MdtPor tanto:C = M(1 dt)...........(15) 23 24. 24Descuento real o justoEs la diferencia entre el valor nominal y el actual. FrmulaDr = M C.........................(16)El descuento real o justo puede considerarse como la diferencia entre el valor nominal(M) y su valor actual:M C = ------- 1 + itPodemos escribir la frmula del descuento real as:M1Dr = M -------- = M1 --------- ..................(17) 1 + it 1 itAsimismo, para obtener cada una de las dems literales, pueden utilizarse lasfrmulas de inters simple ya vistas (6-9).Mediante el siguiente ejercicio, comparemos ambos procedimientos:Ejercicio 9. Se tiene un documento con valor nominal de $50,000.00 (M) y una tasa dedescuento del 2.5% mensual (d = i):M = $50,000.00d = i = 4% = 0.04 mensualAdems, se cuenta con los datos de la tabla siguiente:TiempoDescuento comercialDescuento real o justoM Dr = M ---------- 24 25. 25Dc = Mdt 1+ it1 mes1,250.00 1,219.512 meses2,500.00 2,380.954 meses5,000.00 4,545.456 meses7,500.00 6,521.741 ao15,000.00 11,538.46La tabla anterior nos revela la diferencia entre los descuentos. El descuento comerciales el inters del valor nominal (M), ya que calcula el descuento no sobre el capitalinvertido, sino sobre la suma de ste ms los intereses; de lo que resulta que eldescuento se calcula a una tasa mayor que la del problema, pues al disminuir al valornominal el descuento, se obtendr una cantidad menor al valor actual. Por tanto, eldescuento se rige a una tasa mayor de la que se da en el problema.La siguiente frmula es aplicable en ambos tipos de descuento:C = M D...................(14)Y despejando las dems variables, tenemos:D = M C................(16)M = C + D................(18)A continuacin, se analizan y comparan las frmulas de descuento comercial (Dc) conlas de descuento real o justo (Dr), mediante los ejercicios siguientes. (No olvideshacer tambin los clculos para que sepas cmo fueron resueltas cada una de lasliterales).Clculo del valor descontado (C)25 26. 26Ejercicio 10. Cul es el valor descontado (C) de un documento con valor nominal de$50,000.00 (M) y una tasa de descuento del 2.5% mensual (d = i), si se descuentan 6meses (t) antes de su vencimiento?C=?M = $50,000.00t = 6 mesesd = i = 2.5% mensual = 0.025 mensualCon descuento comercial (Dc):C = M Dc .....................................................(14)Si D = $7,500.00, obtenido de la tabla arriba indicada en el mes 6, tenemos:C = 50000 7500 = $42,500.00O si se utiliza la frmula:C = M(1 dt).......... (15)C = 50000[1 (0.025)(6)] = $42,500.00Con descuento real o justo (Dr), tenemos:C = M DrSi D = $6,521.74, obtenido de la tabla indicada en el mes 6, entonces:C = 50000 6521.74 = $43,478.60O bien, si se aplica la frmula:MC = ---------........................................................(7) 1+it26 27. 2750000C = ------------------ = $43,478.60 1 + (0.025)(6)Clculo del tiempo (t)Ejercicio 11. Indica con qu tiempo (t) de anticipacin se descont un documento cuyovalor nominal es $50,000.00 (M). Se recibi un valor descontado (C) de $42,500.00,con descuento comercial; y $43,478.60, con descuento real o justo. Y la tasa dedescuento es de 2.5% mensual (d = i).De acuerdo con el descuento comercial (Dc), tenemos:C = $42,500.00M = $50,000.00t=?d = i = 2.5% mensual = 0.025 mensualDc = 50000 42500 = $7,500.00Dct = ----------..........................(12) Md7500t = ------------------ = 6 meses50000(0.025)De acuerdo con el descuento real o justo (Dr), tenemos:C = $43,478.60M = $50,000.00t=?d = i = 2.5% mensual = 0.025 mensual(M/C) 1t = --------------...........................(8)27 28. 28i(50000/43478.60) 1t = --------------------------- = 6 meses0.025Clculo de la tasa de descuento (d = i)Ejercicio 12. A qu tasa descuento (d) se aplic un documento con valor nominal de$50,000.00 (M), si se descont faltando 6 meses (t) para su vencimiento y por el cualse obtuvo un valor descontado (C) de $42,500.00, con descuento comercial; y$43,478.60, con descuento real o justo?Segn el descuento comercial (Dc):C = $42,500.00M = $50,000.00t = 6 mesesd=i=?Dc = 50000 42500 = $7,500.00 Dcd = ---------.....................(13) Mt7500d = ------------ = 0.025 = 2.5% mensual50000(6)Segn el descuento real o justo (Dr):C = $43,478.60M = $50,000.00t = 6 meses28 29. 29d=i=?(M/C) 1i = ---------------.................... (9)t (50000/43478.60) 1i = ---------------------------- = 0.025 = 2.5% mensual6Clculo del valor nominal (M)Ejercicio 13. Calcula el valor nominal (M) de un documento que se descont 6 meses(t) antes de su vencimiento. Se aplic una tasa de descuento del 2.5% (d = i) y seobtuvo un valor descontado (C) de $42,500.00, con descuento comercial; y de$43,478.60, con descuento real o justo.Segn el descuento comercial (Dc):C = $42,500.00M=?t = 6 mesesd = i = 2.5% mensual = 0.025 mensualDc = $7,500.00M = C + D................(18)M = 42500 + 7500 = $50,000.00Si aplicamos la frmula: DcM = ---------..................................................(11) dt29 30. 307500M = -------------- = $50,000.00 (0.025)(6)Segn el descuento real o justo (Dr):C = $43,478.60M = $50,000.00t = 6 mesesd = i = 2.5% mensual = 0.025 mensualM = C + Cit = C (1+ i)................................(6)M = 43478.60[1 + (0.025)(6)] = $50,000.001.5. Ecuacin de valorPor diversas razones, a veces el deudor decide cambiar sus obligaciones. Para queesto sea posible, deudor y acreedor deben llegar a un acuerdo en el cual seconsideren las nuevas condiciones para realizar la operacin, en funcin de una tasade inters y de la fecha en que se va a llevar a cabo (a esta ltima fecha se le conocecomo fecha focal).En la resolucin de estos problemas, se utilizan grficas (de tiempo valor) en las quese representan las fechas de vencimiento de las obligaciones originales y cundo serealizarn los pagos (se puede utilizar tanto el inters simple como el compuesto). Eneste caso, se lleva a cabo el procedimiento siguiente: a. Etapa 1. Calcular el monto a pagar de cada una de las obligaciones originales asu vencimiento. b. Etapa 2. Hacer la grfica de tiempo-valor que considere las fechas devencimiento. Y se colocan, sobre la misma, los montos en la fecha de suvencimiento.30 31. 31 c. Etapa 3. Debajo de la grfica de tiempo, se ubican los pagos parciales (comolas deudas, con sus fechas respectivas). d. Etapa 4. Se determina en la grfica la fecha focal (de preferencia en dondecoincida con algn pago; es recomendable que sea una incgnita, con el fin derealizar el menor nmero de operaciones). e. Etapa 5. Se efecta la solucin; para ello, se trasladan todas las cantidades a lafecha focal (se debe tomar en cuenta que la suma de todos los pagos debecubrir la suma de las deudas). f. Etapa 6. Se resuelven las operaciones.Ejercicio 14. Al da de hoy una persona tiene las obligaciones siguientes:a. Un prstamo de $30,000.00, otorgado hace 6 meses, con vencimiento el da de hoye impuesto con una tasa de 2.5% mensual.C = $30,000.00t = Hace 6 meses con vencimiento el da de hoyi = 2.5% = 0.025 mensualb. Una deuda por $15,000.00 contrada hace tres meses, con vencimiento dentro de 9meses y con un tipo de inters de 3% mensual.C = $5,000.00t = Hace 3 meses con vencimiento dentro de 9 meses.I = 3% = 0.03 mensualc. Un compromiso por $50,000.00 contratado hace cuatro meses, con una tasa de 2%mensual y con un vencimiento dentro de 6 meses.C = $50,000.00t = Hace 4 meses con vencimiento dentro de 6 mesesi = 2% = 0.02 mensual 31 32. 32d. Una deuda por $10,000.00 contratada hace un mes, con vencimiento dentro de 7meses y una tasa de 3.5% mensual.C = $10,000.00t = Hace un mes con vencimiento dentro de 7 mesesi = 3.5% = 0.035 mensualHoy mismo, esta persona decide renegociar sus obligaciones con un rendimiento, enlas nuevas operaciones, del 30% anual mediante tres pagos: $40,000.00, el da de hoy. $35,000.00, dentro de 6 meses. El saldo, dentro de 12 meses.Calcula el importe del saldo utilizando como fecha focal el mes 12.Solucin con inters simpleETAPA 1Frmula: M = C(1 + it).................... ...(6)DEUDA OPERACINM = C(1 + it)MONTO DE LA DEUDA(D)a30000[1 + (0.025)(6)]$34,500.00b5000[1 + (0.03)(12)] $ 6,800.00c50000[1 + (0.02)(10)]$60,000.00d10000[1 + (0.035)(8)]$12,800.00TOTAL EN VALORES ABSOLUTOS$114,100.00ETAPA 2Da Dc DdDb32 33. 33|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-------|0123 45 67 8910 1112MESESDa DcDdDb34500 60000128006800|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-------|0 1 234 5 6789 10 1112ETAPA 3DaDc DdDb34500 60000128006800|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-------|33 34. 340123 45 67 89 10 11124000035000XP1 P2P3ETAPA 4DaDc DdDb34500 60000128006800|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|------ff0 12 3 45 67 8910 11124000035000XP1 P2P334 35. 35ETAPA 5DaDc DdDb3450060000 128006800|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|------ff0123 45 678910 11124000035000XP1 P2P335 36. 36Suma de las deudas = Suma de los pagosDEUDAS = PAGOSNOTA: observa que todas las operaciones estn avanzando en el tiempo, por tanto,se busca el monto (M). En cambio, si una cantidad regresa en el tiempo, se calcula elcapital.ETAPA 6i = 30% = 0.025 mensualDEUDA OPERACINRESULTADOa M = 34500[1 + (0.025)(12)] $44,850.00b M = 6800[1 + (0.025)(3)] $7,310.00c M = 60000[1 + (0.025)(6)]$69,000.00d M = 12800[1 + (0.025)(5)]$14,400.00SUMA DE DEUDAS $135,560.00PAGOOPERACINRESULTADOa M = 40000[1 + (0.025)(12)] $52,000.00b M = 35000[1 + (0.025)(6)]$40,250.00c XXSUMA DE PAGOS$92,250.00 + XDEUDAS = PAGOS135560 = 92250 + X135560 92250 = X43310 = XFinalmente, el saldo se liquidar con una cantidad de $43,310.00.36 37. 37Unidad 2. Inters compuesto2.1. Concepto2.2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo2.3. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes2.4. Ecuacin de valor37 38. 3838 39. 39 Objetivos particulares de la unidadAl terminar la unidad el estudiante podr distinguir y explicar la diferencia entre interssimple y compuesto, as como entre tasa de inters nominal y tasa de inters efectiva.39 40. 4040 41. 41UNIDAD 2. INTERS COMPUESTO2.1. ConceptoEl inters compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga al concluir cada periodoque sirve como base para su determinacin los intereses correspondientes. As,provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vezproducir intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir ms intereses).Cuando el tiempo de la operacin es superior al periodo al que se refiere la tasa, losintereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de inters compuesto yno de inters simple. En la prctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando losperiodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operacin y se acuerdeque los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias decapitalizaciones, la inversin se hace a inters simple.Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses, paraque se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia, establecer elprocedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto).NOTA: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo lascapitalizaciones, se da por hecho que se efectuarn de acuerdo con los periodos a losque se refiere la tasa. En caso de que la tasa no especifique su vencimiento, seentender que sta es anual, y las capitalizaciones, anuales.2.2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo.Para calcular el monto de un capital a inters compuesto, se determina el interssimple sobre un capital sucesivamente mayor, como resultado que en cada periodolos intereses se van sumando al capital inicial. Por ejemplo, el caso de un prstamo de41 42. 42$10,000.00, a 18% anual en 6 aos; para confrontar el funcionamiento respecto delinters simple, se comparan ambos tipos de inters en la siguiente tabla:IntersInters simplecompuesto Capital inicial$ 10,000.00 $ 10,000.00 Intereses en el 1. ao$ 1,800.00$ 1,800.00 Monto al fin del 1. ao $ 11,800.00 $ 11,800.00 Intereses en el 2. ao$ 2,124.00$ 1,800.00 Monto al fin del 2. ao $ 13,924.00 $ 13,600.00 Intereses en el 3. ao$ 2,506.32$ 1,800.00 Monto al fin del 3. ao $ 16,430.32 $ 15,400.00 Intereses en el 4. ao$ 2,957.46$ 1,800.00 Monto al fin del 4. ao $ 19,387.78 $ 17,200.00 Intereses en el 5. ao$ 3,489.80$ 1,800.00 Monto al fin del 5. ao $ 22,877.58 $ 19,000.00 Intereses en el 6. ao$ 4,117.96$ 1,800.00 Monto al fin del 6. ao $ 26,995.54 $ 20,800.00Como se puede ver, el monto a inters compuesto es mayor por la capitalizacin delos intereses en cada uno de los plazos establecidos de antemano. Si se sigue esteprocedimiento, podemos encontrar el monto a inters compuesto; sin embargo,cuando el tiempo de operacin es demasiado largo, esta misma solucin puede tenererrores.Tenemos la frmula que nos da el monto de un capital a inters compuesto en "n"periodos: nM = C (1 + i)..........(19) 42 43. 43NOTA: para estudiar el inters compuesto, se utilizan las mismas literales del interssimple. Pero cabe hacer algunas observaciones importantes: En este caso, el tiempo se mide por periodos de capitalizacin (nmero de veces que los intereses se convierten o suman al capital en todo el plazo que dura la operacin), cambiando la literal (t) por la variable (n). Se debe tomar en cuenta, nuevamente, que tanto la variable tiempo que de aqu en adelante se le puede llamar periodo de capitalizacin (n) como la de tasa de inters (i) se manejen en la misma unidad de tiempo. En la tasa de inters pueden aparecer las palabras convertible, compuesto, nominal o capitalizable, que se toman como sinnimos e indican el nmero de veces que se capitalizarn los intereses en un ao (frecuencia de conversin).Ejemplo:El 18% convertible mensualmente indica que el 18% que est en forma anual debe ser convertido a forma mensual. Esto se realiza dividiendo el porcentaje entre 12 (nmero de meses del ao): 0.18/12. Si es capitalizable trimestralmente, el resultado es 0.18/4, etctera. Para la solucin del problema debemos sujetarnos a la unidad de tiempo (frecuencia de conversin) que se mencione en la tasa de inters. Si aplicamos la frmula 20 a los datos del problema que resolvimos aritmticamente, tenemos:Ejercicio 15. Cul es el monto (M) de un capital de $10,000.00 (C), impuesto ainters compuesto a la tasa del 18% anual (i) en 6 aos?nM = C (1 + i).....(19) 6M=? M = 10000.00 (1 + 0.18)C = 10,000i = 18% anual = 0.18 6n = 6 aos M = 10000.00 (1.18)M = $343,597.38 43 44. 44El resultado anterior es el mismo que obtuvimos aritmticamente en la tabla anterior.(Observa que la tasa no fue convertida en una unidad de tiempo menor, ya que no seindicaba en ella).Desde este momento, siempre que se mencione la palabra inters, deber entenderseque se hace referencia al inters compuesto.Ejercicio 16. Cul es el monto (M) de un capital (C) de $85,000.00, impuesto a uninters compuesto a la tasa del 22% (i) durante 12 aos (n)?12M=?M = 85000 (1 + 0.22)C = $85,000.00i = 22% anual = 0.22M = 85000 (10.872213)n = 12 aosM = $924,138.13FRMULA DEL INTERS COMPUESTOCuando se necesite conocer el inters, basta con calcular el monto y de ste deducirel capital. Sin embargo, vamos a deducir la frmula que nos proporcione directamenteel inters:I = M C..........(20)Con base en lo anterior, al sustituir por M su valor, tenemos: n I = C (1 + i) CTeniendo como factor comn a C: nI = C [(1 + i) 1].................(21)44 45. 45Ejercicio 17. Apliquemos la frmula anterior: cul es el inters (I) de un capital (C) de$85,000.00, impuesto a un inters compuesto a la tasa del 22% (i), durante 12 aos(n)?Tenemos:12I=? I = 85000 [(1 + 0.22) 1]C = $85,000.00i = 22% anual = 0.22I = 85000 (9.872213)n = 12 aosI = $839,138.13A continuacin, comprobemos el resultado anterior:Monto segn el ejercicio 16924,138.13Menos capital propuesto 85,000.00Inters segn resolucin anterior839,138.13==========CLCULO DEL CAPITAL EN FUNCIN DE LA FRMULA DEL MONTONos basamos en la frmula del monto al inters compuesto:nM = C(1 + i)......(19)Luego, despejamos la variable C:M nC = --------- = M (1 + i)........(22) 45 46. 46n(1 + i)Comprobemos la frmula anterior sirvindonos de los datos del ejercicio 17.Ejercicio 18. Cul es el capital (C) de un valor acumulado de $924,138.13 (M),invertido durante 12 aos (n) al 22% anual (i)?M = $924,138.13C=?i = 22% anual = 0.22 anualn = 12 aos 924138.13 C = ---------------- = $85,000.00 12 (1 + 0.22)Ejercicio 19. Qu capital (C) produce un monto de $379,899.89 (M) a los 6 aos (n),si la tasa es del 3.5% trimestral (i)? 24M = $379,899.89C = 379899.89 (1 + 0.035)C=?i = 0.035 trimestralC = 379899.89 (0.437957)n = 6 aos = 24 trimestres C = $166,379.86CLCULO DE LA TASA DE INTERS Y DE TIEMPOClculo del tiempo en funcin de la frmula del montoDespejemos n de la frmula del monto: 46 47. 47nnM = C (1 + i)M/C = (1 + i) log M/C = n * log (1 + i)log M/C------------- = n...........................................(23)log (1 + i)En los ejercicios siguientes, comprobaremos la frmula anterior.Ejercicio 20. Dentro de cunto tiempo (n), un capital de $25,600.00 (C) a la tasa del2.5% trimestral (i) valdr $31,970.89 (M)?M = $31,970.89log (31970.89/25600)C = $25,600n = -----------------------------i = 0.025 trimestral log (1.025)n =? trimestres 0.096515 n = ----------------- = 9 trimestres 0.010724Ejercicio 21. Dentro de cunto tiempo (n) una persona que invirti $115,000.00 (C)obtendr $139,179.87, como monto (M) a la tasa (i) del 1.75% bimestral?log (139179.87/115000)M = $139,179.87n = -------------------------------C = $115,000.00 log (1 + 0.0175)i = 1.75% bimestral = 0.0175 bimestraln = ? Semestres 0.082879n = ---------------- = 11 bimestres 0.00753447 48. 48Clculo de la tasa en funcin de la frmula del monto:En este caso, partimos de la frmula del monto: nM = C (1 + i)..............................(19)n 1/nM/C = (1 + i) (M/C) =1+i1/n(M/C) -1 = i..............................(24)Comprobemos la frmula anterior sirvindonos en los ejercicios siguientes:Ejercicio 22. Un capital de $18,000.00 (C) ha estado invertido durante 3 aos (n),luego de los cuales dio un monto de $26,000.00 (M), a qu tasa (i) se celebr laoperacin?M = $26,000.001/3C = $18,000.00i = (26000 / 18000) 1i = ? anual i = 1.130404 1n = 3 aos i = 0.130404 = 13.0404% anualEjercicio 23. Con un capital de $9,500.00 (C) se form un monto de $13,290.00 (M) alos 2 aos (n), a qu tasa (i) se hizo la inversin?M = $13,290.001/10C = $ 9,500.00 i = (13290 / 9500) 1n = 2 aosi = 1.398947 1i = ? anuali = 0.398947 = 39.8947% anualClculo del capital en funcin del inters48 49. 49De la frmula del inters (I):nI = C [(1 + i) 1]................................................................................ (21)despejamos C:IC = --------------- ........................................(25)n (1 + i) - 1Comprobemos la frmula anterior en los ejercicios siguientes.Ejercicio 24. Qu capital (C) producir un inters compuesto de $139,940.56 (I) a los4 aos (n) y a la tasa del 2% bimestral (i)?I = $139,940.56C =?i = 2% bimestral = 0.02 bimestraln = 4 aos = 24 bimestres 139940.56139940.56C = -------------------- = ---------------- = $230,000.00 24 24 (1 + 0.02) 1 (1.02) 1Clculo del tiempo en funcin de la frmula del intersDe la frmula del inters (I):n49 50. 50I = C [ (1 + i) 1]...........................(21)despejamos n:I nIn--- = (1 + i) 1--- + 1 = (1 + i)CC log (I/C + 1) = n log (1 + i)Por tanto:log (I/C + 1)---------------- = n..............................................(26)log (1 + i)Comprobemos la frmula anterior en los ejercicios siguientes.Ejercicio 25. En cunto tiempo (n) un capital de $78,000.00 (C) produce intereses de$26,901.33, con una tasa de inters del 2.5% trimestral (i)?I = $26,901.33C = $78,000.00i = 2.5% trimestral = 0.025 trimestraln=?log [(26901.33/78000) + 1]0.128686n = ------------------------------------- = --------------- = 12 trimestres = 3 aos log (1 + 0.025)0.010724 50 51. 51Clculo de la tasa en funcin de la frmula de intersDe la frmula de inters (I): nI = C [ (1 + i) 1]...................(21)despejamos i:I n In--- = (1 + i) 1 --- + 1 = (1 + i)CC1/n ( I/C + 1 ) = 1+iPor tanto: 1/n(I/C + 1) 1 = i................................(27)Comprobemos la frmula anterior en el ejercicio siguiente:Ejercicio 26. A qu tasa de inters cuatrimestral se invirti (i) un capital de$97,000.00 (C), que produjo intereses de $41,298.81 (I) en un lapso de cuatro aos(n)?I = $41,298.81C = $97,000.00n = 4 aos = 12 cuatrimestresi=? 51 52. 521/12i = [(41298.81/97000) + 1] 1 = 0.03 = 3% cuatrimestral2.3. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes.En el inters simple, la tasa del 12% anual es proporcional al 6% semestral, al 3%trimestral y al 1% mensual. Adems de la proporcionalidad de las tasas anteriores yaque en ellas existe la misma relacin entre sus valores y los periodos a que serefieren, son a su vez equivalentes: a pesar de referirse a distintos periodos en igualtiempo, producen un mismo monto. As, vemos que $100,000.00 al 12% en un aogeneran un monto de $112,000.00. Y si invertimos el mismo capital al 6% semestralen 2 semestres, formar exactamente el mismo monto:Capital $100,000.00Intereses en el 1er. semestre 6,000.00Intereses en el 2o. semestre 6,000.00----------------Monto en 2 semestres $112,000.00 ==========Por tanto, $100,000.00 al 1% mensual en 12 meses llegar a convertirse en el mismomonto anterior.En conclusin: a inters simple, las tasas proporcionales son tambin equivalentes;pero no en el inters compuesto, debido a la capitalizacin de los intereses.Lo anterior se puede corroborar mediante los clculos siguientes:Prstamo de $100,000.00 a las tasas capitalizables que se mencionan:12 % anual 6% semestral 3% trimestral1% mensualCapital 100,000 100,000 100,000100,000 52 53. 53Inters del periodo 12,0006,0003,0001,000Monto112,000 106,000103,000101,000Inters del periodo 6,3603,0901,010Monto112,360106,090102,010Inters del periodo3,182.70 1,020.1Monto 109,272.70 103,030.1Inters del periodo3,278.181,030.30Monto 112,550.88 104,060.40Inters del periodo1,040.60Suma 105,101.00Inters 6. periodo1,051.01Suma 106,152.01Inters 7. periodo1,061.52Suma 107,213.53Inters 8. periodo1,072.14Suma 108,285.67Inters 9. periodo1,082.85Suma 109,368.52Inters 10. 1,093.69periodoSuma 110,462.21Inters 11. 1,104.62periodoSuma 111,566.83Inters 12 periodo1,115.67Monto112,682.50TOTAL112,000 112,360 112,550.88112,682.50Si a cada uno de los totales le restamos lo invertido al inicio (el capital), tenemos:53 54. 54 MC12,000 12,360 12,550.8812,682.50Y si este inters lo dividimos entre lo que se invirti (C = $100,000.00), nos da: I/C 0.12 = 12%0.1236 = 0.1255088 = 0.126825 = 12.36%12.55088% 12.6825%Lo anterior demuestra que la tasa efectiva equivalente a una tasa del 12% anualcapitalizable semestralmente es de 12.36%. Asimismo, la tasa efectiva equivalente al12% anual capitalizable por trimestre es 12.55088%. De la misma manera, la tasa del12% anual capitalizable por mes es equivalente al 12.6825% efectivo.En conclusin, la tasa efectiva se puede obtener dividiendo el inters generado entreel capital inicial.FRMULAS DE LAS TASAS EQUIVALENTESEn las frmulas, tenemos las equivalencias siguientes:e = Tasa real o efectiva anual.J = Tasa nominal anual.m = Nmero de capitalizaciones por ao (frecuencia de conversin de "j")i = Tasa nominal anual.p = Nmero de capitalizaciones por ao (frecuencia de conversin de i)De tasa nominal a tasa nominalCuando busquemos una tasa nominal (j) con frecuencia de conversin (m), y seconoce otra tasa nominal (i) con frecuencia de conversin (p), tenemos: 54 55. 55p/mJ = [(1 + i/p) 1]m.....(28)Ejercicio 27. Cul es la tasa nominal (J) convertible mensualmente (m), equivalenteal 18% (i) convertible semestralmente (p)?J=?m = 12i = 18% = 0.18p=22/12J = [(1 + 0.18/2) - 1]12 = 0.173599 = 17.3599% convertible mensualmente.Lo anterior significa que la tasa del 17.3599% convertible mensualmente equivale al18% convertible semestralmente.De tasa efectiva a tasa nominalCuando busquemos una tasa nominal (j) con frecuencia de conversin (m), y seconoce una tasa efectiva (e), tenemos:1/mJ = [(1 + e) 1]m .................(29)Ejercicio 28. Cul es la tasa nominal (J) convertible mensualmente (m), equivalenteal 18.81% efectivo (e)?J=?m = 12e = 18.81% = 0.1881 1/12 55 56. 56J = [(1 + 0.1881) 1]12 = 0.173599 = 17.3599% convertible mensualmenteLo anterior significa que la tasa del 17.3599% convertible mensualmente equivale al18.81% efectivo.De tasa nominal a tasa efectivaCuando busquemos una tasa efectiva (e), y se conoce una tasa nominal (J) confrecuencia de conversin (m), tenemos:me = (1 + J/m) 1........................(30)Apliquemos la frmula anterior a un caso prctico:Ejercicio 29. Cul es la tasa efectiva (e) equivalente al 18% (J), convertiblesemestralmente (m)?e=?J = 18% = 0.18m=2 2e = (1 + 0.18/2) 1 = 0.1881 = 18.81% efectivoEsto quiere decir que la tasa del 18% convertible semestralmente equivale al 18.81%efectivo.A continuacin, comprobemos que las tres tasas son equivalentes. Para ello,utilizaremos el mismo ejercicio para las tres tasas:56 57. 57Ejercicio 30. Cul es el monto de $10,000.00 depositados durante un ao si se tienentres opciones: 1. a una tasa del 18% convertible semestralmente; 2. a una tasa del17.3599% convertible mensualmente; 3. a una tasa del 18.81% efectivo.1M=?C = $10,000.00n = 1 ao = 2 semestresi = 18% convertible semestralmente = 0.18/2 = 0.09 semestral nM = C (1 + i) ...........................(19)2M = 10000 (1 + 0.09) = $11,881.002M=?C = $10,000.00n = 1 ao = 12 mesesi = 17.3599% convertible mensualmente = 0.173599/12 = 0.014467 mensualnM = C (1 + i)............................(19) 12M = 10000 (1 + 0.014467) = $11,881.003M=?C = $10,000.00n = 1 aoi = 18.81% efectivo = 0.1881n 57 58. 58M = C (1 + i)..............................(19)1M = 10000 (1 + 0.1881) = $11,881.02.4. Ecuacin de valorPor diversas causas, a veces el deudor decide cambiar sus obligaciones actuales porotras. Para realizar lo anterior, deudor y acreedor deben llegar a un acuerdo en el cualconsideren las condiciones para llevar a cabo la nueva operacin, en funcin de unatasa de inters y de la fecha cuando se va a llevar a cabo (fecha focal).Para resolver estos problemas, se utilizan grficas (de tiempo valor) en las que serepresentan las fechas de vencimiento de las obligaciones originales y de pagos,respectivamente. (Se puede utilizar tanto el inters simple como el compuesto).Para resolver estos problemas, se efecta el procedimiento siguiente: a. Etapa 1. Calcular el monto a pagar de cada una de las obligaciones originales asu vencimiento. b. Etapa 2. Hacer la grfica de tiempo-valor que considere las fechas devencimiento. Sobre la misma, se colocan los montos en el momento de suvencimiento. c. Etapa 3. Debajo de la grfica de tiempo, se colocan los pagos parciales, al igualque las deudas, con sus fechas respectivas. d. Etapa 4. Se determina en la grfica la fecha focal (de preferencia en dondecoincida con algn pago; es recomendable que sea una incgnita, con el fin derealizar el menor nmero de operaciones). e. Etapa 5. Se realiza la solucin. Para ello, se trasladan todas las cantidades a lafecha focal (se debe tomar en cuenta que la suma de todos los pagos debecubrir la suma de las deudas). f. Etapa 6. Se resuelven las operaciones. 58 59. 59Ejercicio 31. El da de hoy una persona tiene las obligaciones siguientes:a. Un prstamo de $30,000.00, otorgado hace 6 meses, con vencimiento el da dehoy, e impuesto con una tasa del 30% convertible mensualmente.C = $30,000.00t = Hace 6 meses con vencimiento el da de hoyi = 30% convertible mensualmente = 0.30/ 12 = 0.025 mensualb. Una segunda deuda por $15,000.00 contrada hace tres meses, con vencimientodentro de 9 meses y un tipo de inters del 36% capitalizable mensualmente.C = $5,000.00t = Hace 3 meses con vencimiento dentro de 9 meses.I = 36% capitalizable mensualmente = 0.36/12 = 0.03 mensualc. Un tercer compromiso por $50,000.00 contratado hace cuatro meses, con una tasadel 24% nominal mensual y con un vencimiento dentro de 6 meses.C = $50,000.00t = Hace 4 meses con vencimiento dentro de 6 mesesi = 24% nominal mensual = 0.24/12 = 0.02 mensuald. Una cuarta deuda por $10,000.00 contratada hace un mes, con vencimiento dentrode 7 meses y una tasa del 42% compuesto mensual.C = $10,000.00t = Hace un mes con vencimiento dentro de 7 meses59 60. 60i = 42% compuesto mensual = 0.42/12 = 0.035 mensualHoy mismo, decide renegociar sus obligaciones con un rendimiento, en las nuevasoperaciones, del 30% anual convertible mensualmente mediante 3 pagos: $40,000.00, el da de hoy. $35,000.00, dentro de 6 meses. El saldo, dentro de 12 meses.Calcula el importe del saldo utilizando como fecha focal el mes 12.Solucin con inters compuestoEtapa 1Frmula: nM = C (1 + i).....................................(19)DEUDA OPERACIN n MONTO DE LA DEUDA(D) M = C (1 + i)Da6$34,790.80 30000(1 + 0.025)Db12 $7,128.80 5000(1 + 0.03)Dc10 $60,949.72 50000(1 + 0.02)Dd8$13,168.09 10000(1 + 0.035)TOTAL EN VALORES ABSOLUTOS$116,037.4160 61. 61 Etapa 2DaDc DdDb|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-------|0123 45 678910 1112MESESDa DcDdDb34790.8060949.72 13168.097128.80|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-------|0123 4 56789 10 1112 61 62. 62 Etapa 3DaDc DdDb34790.8060949.72 13168.097128.80|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-------|0123 45 67 8910 11124000035000XP1 P2P362 63. 63 Etapa 4Da DcDdDb34790.8060949.7213168.097128.80|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|------ff0 1 23 45 6 7 8910 11 124000035000XP1 P2P363 64. 64 Etapa 5DaDc DdDb34790.80 60949.7213168.097128.80|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|------ff0123 45 678910 11124000035000XP1 P2P364 65. 65Suma de las deudas = Suma de los pagosDEUDAS = PAGOSNOTA: observa que todas las operaciones estn avanzando en el tiempo, por tanto,se buscar el monto (M). En cambio, si una cantidad regresa en el tiempo, se buscarel capital (C).Etapa 6i = 30% = 0.025 mensualDEUDA OPERACINRESULTADOa 12 $ 46,789.76M = 34790.80(1 + 0.025)b 3$ 7,676.94M = 7128.80(1 + 0.025)c 6$ 70,682.99M = 60949.72(1 + 0.025)d 5$ 14,898.49M = 13168.09(1 + 0.025)SUMA DE DEUDAS $140,048.18PAGOOPERACINRESULTADOa 12 $53,795.55M = 40000(1 + 0.025)b 6$40,589.27M = 35000(1 + 0.025)c XXSUMA DE PAGOS$94,384.82 + X 65 66. 66DEUDAS = PAGOS140048.18 = 94384.82 + X140048.18 94384.82 = X45663.36 = XEntonces, el saldo se liquidara con una cantidad igual a $ 45,663.36.NOTA: en el inters compuesto, no importa la fecha focal que se elija para obtener elresultado, ser siempre el mismo. Pero en el inters simple, hay una variacin.66 67. 67 Unidad 3. Anualidades3.1. Conceptos3.2. Anualidades vencidas3.2.1 Monto de la anualidad ordinaria 3.2.1.1 Calculo de la renta 3.2.1.2 Calculo del tiempo plazo 3.2.1.3 Calculo de la tasa3.2.2 Valor actual de una anualidad ordinaria (C) 3.2.2.1 Calculo de la renta3.2.2.2. Clculo del tiempo 3.2.2.3. Clculo de la tasa3.3. Anualidades anticipadas3.4. Anualidades diferidas3.5. Caso general de anualidades67 68. 6868 69. 69Objetivos particulares de launidadAl terminar la unidad el estudiante conocer y podr emplear los diferentes tipos deanualidades en la solucin de problemas.Sabr diferenciar entre una anualidad anticipada, vencida y diferida. 69 70. 7070 71. 71UNIDAD 3. ANUALIDADES3.1. ConceptosAnualidad. Conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo; es decir, todopago con un importe constante, hecho en intervalos regulares, aun por periodosmenores a un ao.Intervalo o periodo de pago. Tiempo que transcurre entre un pago y otro.Plazo de una anualidad. Tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago yel final del ltimo.Renta (R). Pago peridico.CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADESPor su tiempo a. Ciertas. Aquellas cuya percepcin o pago se estipula en trminos precisos; sus fechas son fijas y se establecen de antemano. b. Contingentes o eventuales. Aquellas donde el principio de la percepcin, o fin de la serie de pagos, es impreciso y depende de un acontecimiento fortuito. En otras palabras, la fecha del primer pago o del ltimo, o ambas; no se acuerdan de antemano.POR EL VENCIMIENTO DE SUS PAGOS a. Vencidas u ordinarias. Aquellas en que cada uno de los pagos se hace al final de cada periodo durante el tiempo total del plazo del problema. b. Anticipadas. Aquellas que se pagan al principio de cada periodo, durante el tiempo de percepcin. 71 72. 72Por su iniciacin a. Inmediatas. Las encontramos cuando la realizacin de los cobros o pagos sehace en el periodo inmediatamente siguiente a la formalizacin del acuerdo. b. Diferidas. Aquellas en donde el principio de la serie de pagos se difiere; esdecir, cuando la primera anualidad vence despus del transcurso de uno ovarios periodos, lo que hace que ese lapso sea mayor al intervalo que separa acada anualidad.Por sus intereses a. Simples. Aquellas en las que el periodo de pago coincide con el decapitalizacin de los intereses. b. Generales. Aquellas en que no coinciden periodo de capitalizacin y de pago.Considerando que las anualidades pueden ser simples o generales, stas, a su vez,pueden clasificarse en ciertas y eventuales.Ciertasa. VencidasR RR R R R12 3 4 5b. AnticipadasR RR R R R 72 73. 73 1234 567 8 9 10c. Vencidas y diferidasRRRRR R xxxx 123 4 5 6d. Anticipadas y diferidas RR R RRR x x xx1 23 4 5 6Las anualidades eventuales o contingentes contienen los mismos grupos que lasanualidades ciertas.Finalmente, para estudiar las anualidades, y tomando en cuenta su clasificacin, encada caso, se debern resolver los problemas siguientes: a. Determinar el monto (M) o valor actual (C) de una serie de anualidades. b. Establecer el valor de la anualidad (renta = R) en la etapa del monto o del valor actual. c. Precisar la tasa (i) en funcin del monto o del valor actual. d. Determinar el tiempo (n) en los problemas de monto y de valor actual (ms el tiempo diferido, cuando se trate de esta clase de anualidades).Es muy importante sealar que lo mismo que en el inters compuesto, en donde lasvariables n (nmeros de pagos) e i (tasa de inters), se expresan en la misma medida73 74. 74de tiempo en las anualidades se agrega una variable, la renta (R), que debe estar enla misma medida de tiempo.3.2. Anualidades vencidas3.2.1. Monto de una anualidad ordinariaEl monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todasy cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de hacer la ltima de lasmismas.Ejercicio 32. Una persona decide depositar $5,000.00 al fin de cada mes, en unainstitucin financiera que le abonar intereses del 12% convertible mensualmente: el1% mensual, durante 6 meses. Se pide calcular y conocer el monto que se llegue aacumular al final del plazo indicado. CONCEPTOCANTIDADDepsito al final del primer mes $5,000.00Intereses por el segundo mes (5000 x 0.01) 50.00Suma5,050.00Depsito al final del segundo mes 5,000.00Monto al final del segundo mes 10,050.00Intereses por el tercer mes (10050 x 0.01)100.50Depsito al final del tercer mes5,000.00Monto al final del tercer mes15,150.50Intereses por el cuarto mes (15150.50 x 0.01) 151.51Depsito al final del cuarto mes5,000.00Monto al final del cuarto mes20,302.01Intereses por el quinto mes (20302.01 x 0.01) 203.02Depsito al final del quinto mes5,000.00Monto al final del quinto mes25,505.0374 75. 75Intereses por el sexto mes (25505.03 x 0.01)255.05Depsito al final del sexto mes 5,000.00Monto final (al trmino del sexto mes) $30,760.08Ahora bien, si el monto total es igual a la suma de los montos de cada anualidad,llegaremos al mismo resultado:$5,255.055Monto de la primera renta:5,000 (1.01)$5,203.024Monto de la primera renta:5,000 (1.01)$5,151.513Monto de la tercera renta:5,000 (1.01)$5,100.502Monto de la tercera renta:5,000 (1.01)Monto de la quinta renta: 5,000 (1.01)$5,050.00Sexta renta $5,000.00Monto $30,760.08CLCULO DEL MONTOCuando el tiempo no es de consideracin, el clculo del monto puede hacerseconforme a cualquiera de los procedimientos descritos. Pero cuando no hay esacondicin (o bien, cuando se quiere calcular la renta, tasa o tiempo; o en su caso,resolver el problema con mayor facilidad y rapidez), es necesario deducir y utilizar lafrmula del monto.75 76. 76Sabiendo que el monto de una serie de anualidades es igual a la suma del monto decada una de ellas, se utiliza esta frmula: n(1+i) 1M=R--------------.....................................(31)iY si aplicamos la frmula anterior a los datos del problema anterior, tenemos:6(1 + 0.01) 1M = 5000-------------------= $ 30,760.080.013.2.1.1. Clculo de la rentaSi partimos de la frmula del monto de una anualidad ordinaria:nn (1 + i) 1Pasamos R al M(1 + i) 1M = R ------------- 1er. miembro: ----- = --------------iRi RiDe donde:---- = ------------- Mn (1+i) 1Finalmente:M*i 76 77. 77R = -------------- ........................(32) n(1 + i) 1Ejercicio 33. Cul es la renta mensual que se requiere para obtener $30,760.08durante 6 meses si se invierte con el 12% capitalizable mensualmente?Seguimos con los datos de nuestro ejemplo:M = $30,760.08 30760.08 * 0.01i = 12% capitalizable mensualmente = 0.12/12 = 0.01 R = -----------------------n = 6 meses 6R = ? mensual (1 + 0.01) 1R = $ 5,000.00 mensuales3.2.1.2. Clculo del tiempo plazoNuevamente, partimos de la frmula del monto de anualidades ordinarias: n(1 + i) 1 Pasando R e iMi nM = R --------------al 1er. miembro: ------ = (1 + i) 1 i RPasamos ahora el 1al 1er. miembro: Min ------ +1 = (1 + i)R 77 78. 78 MiEntonces:n log (1 + i) = log------ + 1 RY queda: Mi log------ + 1Rn = -----------------------...............................(33) log(1+i)Apliquemos la frmula anterior en el ejercicio siguiente.Ejercicio 34. Cuntos pagos deben realizarse para llegar a acumular $30,760.08 sise depositan $5,000.00 mensuales, con una tasa de inters del 12% compuestomensual?M = $30,760.08R = $5,000.00 mensualesi = 12% compuesto mensual = 0.12/12 = 0.01 mensualn = ? meses30760.08 * 0.01 log --------------------- + 1 5000n = --------------------------------------- = 6 mensualidadeslog (1 + 0.01)3.2.1.3. Clculo de la tasa78 79. 79Considerando que el monto de anualidades ordinarias se determina de la manerasiguiente:nn(1 + i) 1M (1 + i) 1M = R ---------------Pasando R al---- = ---------------- i1er. miembro: Riy si tratramos de despejar i, nuestra ecuacin contendra la incgnita en ambosmiembros, lo que carece de propsito. En estas condiciones, se deja la frmula en laltima exposicin anotada. El primer miembro tendr un factor el cociente de dividirel monto (M) entre la renta (R) que debe ser igual al factor resultante del segundomiembro de la ecuacin. El primer miembro de la ecuacin se refiere a valoresconocidos, pero en el segundo miembro se ha de buscar una tasa que, al sustituirla enel mismo, nos proporcione un factor igual al del primer miembro de la ecuacin. Encaso de encontrar exactamente el factor, la tasa es la que encierra el mismo; de locontrario, procedemos a hacer la interpolacin.En el procedimiento de interpolacin, se hace lo siguiente: a. Probar valores en la expresin donde se localiza la tasa de inters (i), es decir, el segundo miembro de la ecuacin, hasta encontrar dos factores de la misma que estn cercanos al factor del primer miembro de la ecuacin, uno mayor y otro menor. b. Despus de haber encontrado los dos factores, se hace la interpolacin.Para una mejor comprensin, se muestra en un diagrama lo que se quiere encontrar:Factor deFactor de Factor detasa mayortasa buscada tasa menor 79 80. 80|_______________________________|_______________________________|Tasa mayorTasa ? buscada Tasa menorLa interpolacin se calcula de la manera siguiente:a. Se obtiene la distancia del factor de la tasa buscada menos el factor de la tasamayor.b. Se determina la distancia total del factor de la tasa menor menos el factor de latasa mayor.c. Se divide la distancia del punto (a) entre la distancia total del punto (b).d. El resultado representa la proporcin que guarda el numerador respecto deldenominador.e. Se repiten los pasos a, b y c, aplicndolos a las tasas, de lo que resulta laproporcin entre las mismas.f. La tasa que se busca se encontrar igualando el porcentaje del paso (d) con larazn del paso (e).g. La tasa se determinar despejando la incgnita, que ser la tasa buscada, lacual nos dar una mejor aproximacin al factor del segundo miembro de laecuacin.Este procedimiento se resume en la siguiente frmula:Factor de laFactor de latasa buscada tasa mayorTasa buscada Tasa mayor-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------Factor de laFactor de la Tasa menor Tasa mayortasa menor tasa mayorO bien:80 81. 81Ftx FtM tx tM---------------- = ------------...........................(34)Ftm FtM tm tMDonde:F = Factort = tasaM = mayorm = menorApliquemos este clculo en el ejercicio siguiente.Ejercicio 35. A qu tasa (i) se aplic una serie de 6 pagos mensuales (n) de$5,000.00 (R) cada uno, para acumular, al final de los mismos, $30,760.08 (M)?M = $30,760.08n = 6 mesesR = $ 5,000.00 mensualesi = ? mensualNuestra ecuacin:n M(1 + i) 1------ = ---------------R i66 30760.08 (1 + i) 1 (1 + i) 181 82. 82Queda: --------------- = -----------------6.152016 = --------------- 5000iiConsiderando que en nuestro problema hay una tasa exacta (0.01), en el ejemplo,consideraremos una tasa mayor y una menor a la tasa del ejercicio.Factor objetivo del primer miembro = 6.152016Luego, probamos las tasas:TASA OPERACINFACTOR0.0056 (1.005) 16.075502----------------- 0.0050.0086 (1.008) 16.121288----------------- 0.0080.0126 (1.012) 16.182906----------------- 0.0120.0156 (1.015) 16.229551----------------- 0.015Los factores un poco mayor y un poco menor al factor de la tasa buscada con susrespectivas tasas son:Tasa = Factor 82 83. 830.008 = 6.121288? = 6.15200.012 = 6.182906Lo anterior, en forma de diagrama, nos queda:6.1212886.1520166.182906|______________________________|______________________________|| | |0.008?0.012Con nuestra frmula de interpolacin:Factor de la Factor de latasa buscadatasa mayor Tasa buscada Tasa mayor-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------Factor de la Factor de la Tasa menorTasa mayortasa menortasa mayor6.1520166.182906i 0.012-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------6.1212886.182906 0.0080.012 0.030890I 0.012i 0.012----------------- = --------------- 0.501315 = --------------- 0.061618 0.004 0.0040.501315 ( 0.004) = i 0.012 0.002005 = i 0.01283 84. 84 0.002005 + 0.012 = i 0.009995 = iAs, la tasa que buscamos es de 0.01(por el redondeo de cifras).El segundo miembro de la ecuacin nos debe dar el mismo valor del factor del primermiembro de la ecuacin. Comprobemos: 66 (1 + i) 1(1.01) 16.152016 = --------------- 6.152016 = --------------- i0.01 6.152016 = 6.152015Se trata prcticamente del mismo resultado.3.2.2. Valor actual de una anualidad ordinaria (C)Cuando la poca del clculo coincide con la iniciacin de la serie de pagos o rentas, elvalor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de laentrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad ser igual a cadaperiodo que separa a las dems rentas.El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar en algunade estas dos modalidades:a. Como el descuento de una serie de anualidades, que vencen escalonadamente y estn separadas por intervalos iguales de tiempo. 84 85. 85 b. Como la determinacin de un capital que, invertido a inters, proporciona unaserie de rentas futuras.Ejercicio 36. Se tienen seis pagars, con vencimientos escalonados en formacuatrimestral, cada uno de $25,000.00, y se quieren liquidar, el da de hoy, siendo unatasa del 6% cuatrimestral.Determinemos el valor actual o presente de cada documento: OPERACIN RESULTADO 1 $23,584.911era. renta [25000(1.06)] 2 $22,249.912da. renta [25000(1.06)] 3 $20,990.483ra. renta [25000(1.06)] 4 $19,802.344a. renta [25000(1.06)] 5 $18,681.455a. Renta [25000(1.06)] 6 $17,624.016a. Renta [25000(1.06)]VALOR ACTUAL TOTAL$122,933.10Ahora bien, qu cantidad habr que invertir al 6% cuatrimestral, para tener derecho arecibir seis rentas de $25,000.00 cada una? Conforme a la resolucin anterior, sesabe que el valor actual es de $122,933.10. Comprobemos si con el importe de seispagos de $25,000.00 cada uno el deudor salda su cuenta.85 86. 86Capital invertido$122,933.10Intereses del 1er. cuatrimestre (0.06) $7,375.98Suma $130,309.08Menos el pago de la 1a. renta$25,000.00Saldo al final del 1er. cuatrimestre $105,309.08Intereses del saldo (0.06) $6,318.55Suma $111,627.63Menos el pago de la 2a. renta$25,000.00Saldo al final del 2o. cuatrimestre$86,627.63Intereses del saldo (0.06) $5,197.65Suma $91,825.28Menos el pago de la 3a. renta$25,000.00Saldo al final del 3er. cuatrimestre $66,825.28Intereses del saldo (0.06) $4,009.52Suma $70,834.80Menos el pago de la 4a. renta$25,000.00Saldo al final del 4o. cuatrimestre$45,834.80Intereses del saldo (0.06) $2,750.09Suma $48,584.89Menos el pago de la 5a. renta$25,000.00Saldo al final del 5o. cuatrimestre$23,584.89Intereses del saldo (0.06) $1,415.09Suma $24,999.98Menos el pago de la 6a. renta$25,000.00SALDO FINAL$ 0.02** Por el redondeo de cifrasDado lo anterior, se debe encontrar el valor actual de cada pago para determinar elvalor presente total de la serie de rentas. Podemos decir que el valor actual es igual ala suma de los valores actuales de cada renta. 86 87. 87En este caso, se utiliza la frmula siguiente:n 1 (1 + i)C=R---------------- ..........................(35) iSi sustituimos en la frmula los datos de nuestro problema, tenemos:6 1 (1.06) C = 25000------------------- = $122,933.100.063.2.2.1. Clculo de la rentaSi partimos de la frmula que proporciona el valor actual de anualidades ordinarias: nn 1 (1 + i) C 1 (1 + i)RiC = R -------------------- = ------------------ = -------------- iR iC n 1 (1 + i)tenemos:CiR = -------------.....................(36) 87 88. 88n 1 (1+i)Ejemplifiquemos la frmula de la renta (R) con el ejercicio siguiente.Ejercicio 37. Qu cantidad se debe pagar cada cuatro meses (R) para liquidar unadeuda de $122,933.10 (C) en 6 pagos (n), si se utiliza una tasa del 24% convertiblecuatrimestralmente (i)?C = $122,933.10i = 24% convertible cuatrimestralmente = 0.24 /4 = 0.06 cuatrimestraln = 6 cuatrimestresR = ? cuatrimestral122933.10 * 0.06R = ------------------------- = $25,000.006 1 (1 + 0)3.2.2.2. Clculo del tiempoDe la frmula de valor actual de anualidades ordinarias se determina el tiempo:n n 1 (1 + i) C 1 (1 + i) CinC = R --------------- ---- = -------------- ---- = 1 (1 + i)iRi RLuego, se cambian los signos:88 89. 89Cin Cin----- 1 = (1 + i)1 ----- = (1 + i) RRSe puede escribir as: Y se buscan los valores inversos: Ci11 n1 ------ = ---------------------- = (1 + i) RnCi(1 + i) 1 ----- RPosteriormente, se aplican logaritmos: Cilog 1 log(1 ------) = n log(1 + i)RLo que da:Ci log 1 -----R -------------------- = n ..................................(37) log(1 + i)A continuacin, apliquemos la frmula del tiempo (n) a partir del valor actual (C).89 90. 90Ejercicio 38. En cuntos pagos (n) se liquidar una deuda de $122,933.10 (C) conpagos cuatrimestrales de $25,000.00 (R), si se impone una tasa de inters del 24%capitalizable cuatrimestralmente?C = $122,933.10i = 24% convertible cuatrimestralmente = 0.24 /4 = 0.06 cuatrimestralR = $25,000.00 cuatrimestraln = ? cuatrimestres122933.10 * 0.06 log1 ----------------------25000 0.151835179n = ------------------------------------- = -------------------log(1 + 0.06) 0.025305865n = 6 cuatrimestres3.2.2.3. Clculo de la tasaLa frmula para calcular el valor actual de las anualidades ordinarias es: n n1 (1 + i) Al pasar R alC 1 (1 + i)C = R --------------primer miembro: ---- = ----------------i RiComo en el caso del monto de las anualidades ordinarias, al calcular la tasa, se sigueel procedimiento de interpolacin que se vio en ese tema.Ejercicio 39. A qu tasa cuatrimestral se aplic una deuda de $122,933.10 (C) quese liquid en 6 pagos (n) cuatrimestrales de $25,000.00 (R) cada uno?90 91. 91C = $122,933.10i = ? cuatrimestralR = $25,000.00 cuatrimestraln = 6 cuatrimestres C1 (1 + i)---- = --------------- R iSustituyendo: nn122933.11 (1 + i)1 (1 + i)------------- = -------------- 4.917324 = --------------- 25000iLuego, se prueban las tasas: TASASUSTITUCINFACTORn 1 (1 + i)---------------- i -0.05 6 5.075692 1 (1 + 0.05) -------------------- 0.050.05564.99553091 92. 92 1 (1 + 0.055) ---------------------0.0550.0656 4.841014 1 (1 + 0.065) ---------------------0.0650.07 6 4.766540 1 (1 + 0.07) --------------------0.07En diagrama, queda as:4.8410144.9173244.995530|______________________________|______________________________|| | |0.065?0.055Luego, con la frmula de interpolacin:Factor de la Factor de latasa buscada tasa mayorTasa buscada Tasa mayor-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------Factor de laFactor de la Tasa menor Tasa mayortasa menortasa mayor92 93. 934.917324 4.841014i 0.065-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------4.995530 4.8410140.055 0.0650.076310 i 0.065i 0.065----------------- = ---------------0.493865 = --------------- 0.154516 0.010 0.0100.493865 (0.010) = i 0.065 0.004939 = i 0.065 0.004939 + 0.065 = i 0.060061 = iAs, la tasa que buscamos es de 0.06 (por el redondeo de cifras). Y si la sustituimosen el segundo miembro de la ecuacin nos debe dar el mismo valor del factor delprimer miembro de la ecuacin. Comprobemos:n61 (1 + i)1 - (1.06)4.917324 = ---------------- 4.917324 = -----------------i0.06 4.917324 = 4.9173243.3. Anualidades anticipadasA diferencia de las anualidades vencidas que se pagan al final de cada periodo, lasanticipadas se cubren al comienzo de cada periodo.93 94. 94Ordinarias: R R RRR|______|______|______|______|______||| | | | |Anticipadas:RRR R REn las anualidades ordinarias, la primera anualidad se paga al final del periodo,mientras que en las anticipadas se realiza al comenzar el mismo. Por eso, el pago dela ltima renta ordinaria coincide con la terminacin del plazo de tiempo estipulado enla operacin, esto hace que no produzca intereses y que su inversin se hagasolamente como complemento del monto de las rentas. En tanto, en las anualidadesanticipadas, la ltima renta se paga al principio del ltimo periodo: s produceintereses.94 95. 95Clculo del montoLa frmula del monto de las anualidades anticipadas es: n+1 (1 + i) (1 + i)M=R-------------------------- .............................................................................(42)iEjercicio 40. Si se hacen 6 depsitos trimestrales anticipados (n) de $25,000.00 cadauno (R), con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente (i), cul es el monto (M)?R = $25,000.00 trimestralesi = 20% capitalizable trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestraln = 6 trimestresM=a. Aritmticamente1. renta (principio del primer trimestre)$25,000.00Intereses por el primer trimestre 1,250.002. renta (principio del segundo trimestre) 25,000.00Monto al final del primer trimestre 51,250.00Intereses por el segundo trimestre2,562.503. renta (principio del tercer trimestre) 25,000.00Monto al final del segundo trimestre 78,812.50Intereses por el tercer trimestre3,940.634. renta (principio del cuarto trimestre) 25,000.00Monto al final del tercer trimestre107,753.13Intereses por el cuarto trimestre5,387.655. renta (principio del quinto trimestre) 25,000.0095 96. 96Monto al final del cuarto trimestre 138,140.78Intereses por el quinto trimestre6,907.046. renta (principio del sexto trimestre)25,000.00Monto al final del quinto trimestre170,047.82Intereses por el sexto trimestre 8,502.39Monto al final del sexto trimestre$178,550.21b. Por frmulan+16+1 (1 + i)(1 + i)(1 + 0.05) (1 + 0.05)M=R--------------------------M=R--------------------------------- i 0.05 7 (1.05) (1.05)M = 25000 --------------------- = $178,550.21 0.05Si a nuestra frmula:n+1 (1 + i) (1 + i)M=R-------------------------- i96 97. 97le sacamos al quebrado el factor comn (1 + i), queda:n(1 + i) 1M = R --------------- (1 + i)...............(43)iY si a la frmula:n+1(1 + i) (1 + i)M = R --------------------------ile hacemos la resta expresada en el numerador del quebrado:n+1n+1(1 + i) 1 i(1 + i) 1 iM=R ---------------------- M = R ---------------- ---i iise genera la frmula siguiente:n+1(1 + i) 1M=R ---------------- 1 .....................(44)iY si con los datos de nuestro ejercicio utilizamos las dos ltimas frmulas, obtenemos:n(1 + i) 1M=R-------------- (1 + i)i 97 98. 986(1 + 0.05) 1M = 25000 ------------------- (1 + 0.05) = $178,550.21 0.05n+1(1 + i) 1M=R---------------- 1i6+1(1 + 0.05) 1M = 25000 -------------------- 1= $178,550.21 0.05Clculo de la rentaDe la frmula del monto de las anualidades anticipadas: n+1 (1 + i) (1 + i)M=R--------------------------iLuego, despejamos R: MiR= ----------------------..................................(45) n+1 (1 + i) (1 + i) 98 99. 99Ahora, apliquemos la frmula.Ejercicio 41. Se hacen 6 depsitos trimestrales anticipados (n) con una tasa del 20%capitalizable trimestralmente (i), cul ser el monto de cada una de las rentas (R) siel monto total a obtener es $178,550.21 (M)?R = ? trimestralesI = 20% capitalizable trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestraln = 6 trimestresM = $178,550.21 178550.21*0.05R = ------------------------------ = $25,000.00 6+1(1+0.05) (1+0.05)Clculo del tiempoDe la frmula del monto de las anualidades anticipadas despejamos n:Mi log ------------ + 1R (1 + i)n = ----------------------------................................(46)log (1 + i)Luego, aplicamos lo anterior en el ejercicio siguiente.99 100. 100Ejercicio 42. Cuntos depsitos trimestrales anticipados (n) de $25,000.00 (R), conuna tasa de 20% capitalizable trimestralmente (i) se deben hacer para obtener unmonto de $178,550.21 (M)?M = $178,550.21R = $25,000.00 trimestralesi = 20% capitalizable trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestraln = ? trimestres178550.21 * 0.05 log----------------------- + 125000 (1 + 0.05)0.1271357n = ---------------------------------------- = --------------- = 6 trimestre log (1 + 0.05) 0.0211892Clculo de la tasaDe la frmula del monto de anualidades anticipadas:n+1(1 + i) (1 + i)M = R-------------------------- ipasamos R al primer miembro:n+1 M(1 + i) (1 + i) ----- = ----------------------- Ri100 101. 101En el ejercicio siguiente, realizamos el procedimiento para obtener la tasa deinters.Ejercicio 43. Cul es la tasa de inters (i) si se realizan 6 depsitos trimestralesanticipados (n) de $25,000.00 (R) para obtener un monto de $178,550.21 (M)?M = $178,550.21R = $25,000.00 trimestralesn = 6 trimestresi=?Sustituimos: 6+1 7178550.21 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)-------------- = ---------------------- 7.1420084 = -------------------- 25000 i iLuego, probamos las tasas.TASASUSTITUCIN FACTOR7 (1 + i) (1 + i)---------------------i7 (1 + 0.04) (1 + 0.04)0.04-------------------------------6.8982945 0.047 (1 + 0.045) (1 + 0.045)0.045--------------------------------- 7.0191518 0.0457 101 102. 102 (1 + 0.055) (1 + 0.055)0.055--------------------------------- 7.26689380.0557(1 + 0.06) (1 + 0.06)0.06 ------------------------------- 7.39383760.06En diagrama:7.26689387.14200847.0191518|______________________________|______________________________|| ||0.055 ?0.045Con la frmula de interpolacin, queda:Factor de laFactor de latasa buscadatasa mayor Tasa buscada Tasa mayor-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------Factor de laFactor de la Tasa menor Tasa mayortasa menor tasa mayor7.1420084 7.2668938 i 0.055-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------7.0191518 7.26689380.045 0.0550.1248854i 0.055i 0.055----------------- = ---------------0.5040945 = ---------------0.247742 0.010 0.010 102 103. 103 0.5040945(0.010) = i 0.0550.0050409458 = i 0.055 0.0050409458 + 0.055 = i 0.049959 = iEntonces, la tasa que buscamos es de 0.05 (por el redondeo de cifras). Y si lasustituimos en el segundo miembro de la ecuacin nos debe dar el mismo valor delfactor del primer miembro de la ecuacin. Comprobemos:7 7 (1 + i) (1 + i) (1.05) (1.05)7.1420084 = ---------------------- 7.1420084 = ----------------------i0.05 7.1420084 = 7.1420084Valor presenteFrmula del valor presente:n+1(1 + i) (1 + i)C=R -----------------------...................(47) iEjercicio 44. Cul es el capital (C) de 6 depsitos trimestrales (n) de $25,000.00 (R)si se calculan con 20% compuesto trimestralmente (i)?C=?R = $25,000.00 trimestralesn = 6 trimestres103 104. 104i = 20 % compuesto trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestral6+1(1 + 0.05) (1 + 0.05)C = 25000 --------------------------------- = $133,236.920.05De la frmula del valor actual de anualidades anticipadas: n+1 (1 + i) (1 + i)C=R-----------------------iobtenemos el factor comn:n 1 (1 + i)C=R--------------- (1 + i)..............(48)iO, si hacemos la divisin, resulta:n+1 1 (1 + i)C=R ------------------ + 1 ...............(49)iComprobemos estas ltimas frmulas con los datos de nuestro ejercicio: 104 105. 105C=?R = $25,000.00 trimestralesn = 6 trimestresi = 20% compuesto trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestraln61 (1 + i)1 (1 + 0.05)C=R ---------------- (1 + i) C= 25000 --------------------- (1+ 0.05) i0.05 C = $133,236.92n+16+1 1 (1 + i) 1 (1 + 0.05)C=R------------------ + 1C = 25000 -------------------- + 1 i0.05 C = $133,236.92CLCULO DE LA RENTADe la frmula del valor presente de las anualidades anticipadas:n+11 (1 + i)C=R ------------------ + 1 ..............(49)despejamos R: CR = --------------------------..........(50) n+1 105 106. 1061 (1 + i) ------------------- + 1 iEjercicio 45. De cunto es cada uno (R) de 6 pagos trimestrales anticipados (n) quese deben realizar para liquidar una deuda de $133,236.92 (C), si se impone una tasade inters de 20% compuesto trimestralmente (i)?C = $133,236.92n = 6 trimestresi = 20 % compuesto trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestralR = ? trimestrales133236.92R = ------------------------------ = $25,000.006+11 (1 + 0.05) --------------------- + 10.05CLCULO DEL TIEMPODe la frmula del valor actual de las anualidades anticipadas:n1 (1 + i)C=R---------------- (1 + i)................................(48) i 106 107. 107despejamos n:R (1 + i)log -------------------- R (1 + i) Cin=--------------------------......................................(51)log (1 + i)Ejercicio 46. Calcular el nmero de pagos (n), de $25,000.00 cada uno (R), paraliquidar una deuda de $133,236.92 (C) impuesta a una tasa del 20% compuestotrimestralmente (i).C = $133,236.92i = 20 % compuesto trimestralmente = 0.20/4 = 0.05 trimestralR = $25,000.00 trimestralesn = ? trimestres25000 (1 + 0.05) log ----------------------------------------------------25000(1 + 0.05) (133236.92 * 0.05) log 1.3400957n = -------------------------------------------------------------- = ---------------------------log (1 + 0.05)log 1.050.1271358n = ---------------- = 6 trimestres 0.0211892 107 108. 108CLCULO DE LA TASA DE INTERSDe la frmula del valor actual: n+11 (1 + i)C=R------------------- + 1 ......................(49)ipasamos R al primer miembro:n+1 C1 (1 + i)----- = ------------------- + 1 REn el ejercicio siguiente, apliquemos el procedimiento de interpolacin.Ejercicio 47. Qu tasa de inters (i) se aplic a 6 pagos trimestrales (n), de$25,000.00 cada uno (R), para liquidar una deuda de $133,236.92 (C)?C = $133,236.92R = $25,000.00 trimestralesn = 6 trimestresi=?Sustituimos:6+15133236.921 (1 + i) 1 (1 + i)--------------- = ---------------- + 15.3294768 = --------------- + 1 25000 ii108 109. 109Luego, probamos las tasas: TASASUSTITUCINFACTOR 5 1 (1 + i)---------------- + 1 i 5 1 (1 + 0.04)0.04 --------------------- + 15.4518223 0.04 5 1 (1 + 0.045)0.045 ---------------------- + 15.38997670.045 5 1 (1 + 0.055)0.055 ---------------------- + 15.27028440.055 51 (1 + 0.06)0.06 --------------------- + 15.2123637 0.06En diagrama:5.27028445.3294768 5.3899767|______________________________|______________________________|| | |0.055?0.045Y si aplicamos la frmula de interpolacin:109 110. 110Factor de la Factor de latasa buscada tasa mayorTasa buscada Tasa mayor-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------Factor de laFactor de laTasa menor Tasa mayortasa menor tasa mayor5.3294768 5.2702844i 0.055-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------5.3899767 5.2702844 0.045 0.0550.0591924i 0.055 i 0.055----------------- = ----------------0.4945380 = ---------------0.11969230.0100.010 0.4945380(0.010) = i 0.055 0.00494538 = i 0.055 0.00494538 + 0.055 = I 0.050054619 = iFinalmente, la tasa que buscamos es de 0.05 (por el redondeo de cifras). Y si lasustituimos en el segundo miembro de la ecuacin, nos debe dar el mismo valor delfactor del primer miembro de la ecuacin. Comprobemos: 551 (1 + i) 1 (1.05)5.3294768 = -------------- + 15.3294768 = -------------- + 1 i0.055.3294768 = 5.3294768110 111. 1113.4. Anualidades diferidasCuando la serie de pagos se inicia en alguna fecha futura, decimos que su pago seaplaza o se difiere. En este tipo de anualidades, hay dos tiempos:a. Diferido o intervalo de aplazamiento, en el que no se realiza pago alguno. Se le llama r.b. De percepcin (n).La grfica siguiente ejemplifica el caso de anualidades ordinarias diferidas: . R R R R RR|______|______|______|______|______|______|______|______|______|____|0 12 34567 89 1012 34123 45 6|_____________ ____________||____________________________________| | | Tiempo diferidoTiempo de percepcinComo se ve en el diagrama, el primer pago se realizar en una fecha futura, es decir,al terminar el quinto periodo, y durante cuatro periodos no se hace pago. Es evidenteque ste es un caso de anualidades ordinarias diferidas.MONTO DE LAS ANUALIDADES DIFERIDASEl monto de las anualidades diferidas vencidas es igual al de las anualidadesordinarias, en las mismas condiciones de importe de la renta, plazo o tiempo y tasa de 111 112. 112inters. Esto se debe a que, durante el tiempo diferido, no se realiza ningn pago odepsito.VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES VENCIDAS DIFERIDASEl valor presente de las anualidades ordinarias coincide con la iniciacin del tiempo depago, en tanto que el valor actual de las anualidades diferidas se sita en el comienzodel tiempo diferido. En otras palabras, el valor actual de las anualidades diferidas secalcula a una fecha anterior de aquella a la cual se calcula el valor presente de lasanualidades ordinarias. As, en el ejemplo del diagrama, el valor actual de lasanualidades diferidas se calculara en el 0, en tanto que, si no existiera el tiempodiferido, y nos encontrramos frente a un caso de anualidades ordinarias, su valoractual se determinara en el 4.Para encontrar el valor actual de las anualidades diferidas, se puede calcular el valorpresente como si se tratara de anualidades ordinarias, a la fecha en que se inicia elperiodo de pago. Conocido ese valor, lo descontamos por el tiempo diferido, pararegresarlo, en el tiempo, a la fecha de iniciacin del periodo de aplazamiento.112 113. 113Lo anterior, en forma de diagrama, se expresa de la siguiente manera:C C R R R R R R0 1 2 34 5 6 7 8 9 10D0 1 2 3 4 56rnAhora bien, tomando el punto 4 como punto 0, tenemos que en el punto 0 est el valoractual de las anualidades ordinarias, que se deben descontar en r periodos, paraencontrar el valor actual de las anualidades diferidas situadas en el punto D.Por lo que, sabiendo que el valor presente de las anualidades ordinarias es:n 1 (1 + i)C=R ----------------..................(35)iel valor actual est en el punto 0. 113 114. 114Y obtenemos el valor presente en r periodos de este valor actual:n 1 (1 + i) R---------------- iC = ------------------------------r(1 + i)Al simplificar, tenemos: nn 1 (1 + i)r1 (1 + i)C = R -------------- (1 + i) C=R ----------------- ........(38)ir (1 + i) * iEjercicio 48. Cul es el valor actual diferido (C) de 6 (n) rentas mensuales, de$25,000.00 cada una (R), si se comienza a pagar al finalizar el quinto mes, a partir delda de hoy, y la tasa es del 24% convertible mensualmente (i)?. R RRR R R|______|______|______|______|______|______|______|______|_____|_____|01 23456789 10En el diagrama se ve que el nmero de pagos que no se realizarn es 4, por lo que:R = $25,000.00 mensualesn = 6 mensualidades114 115. 115r = 4 mensualidadesi = 24% convertible mensualmente = 0.24/12 = 0.02 mensualC=?n61 (1 + i) r1 (1.02) 4C = R ---------------- (1 + i) C = 25000 -------------- (1.02)i0.02Por tanto:C = $129,371.40 n6 1 (1 + i) 1 (1.02)C=R-----------------C = 25000-------------------r4 (1 + i) * i(1.02) * 0.02En consecuencia:C = $129,371.40Hagamos la comprobacin aritmtica:Capital $129,371.40Intereses del primer mes 2,587.43Monto al final del primer mes 131,958.83Intereses del segundo mes2,639.17Monto al final del segundo mes134,598.00Intereses del tercer mes 2,691.96115 116. 116Monto al final del tercer mes137,289.96Intereses del cuarto mes2,745.80Monto al final del cuarto mes140,035.76Intereses del quinto mes2,800.71Suma 142,836.47Menos la primera renta 25,000.00Capital al final del quinto mes117,836.47Intereses del sexto mes 2,356.73Suma 120,193.20Menos la segunda renta 25,000.00Capital al final del sexto mes 95,193.20Intereses del sptimo mes 1,903.87Suma 97,097.07Menos la tercera renta 25,000.00Capital al final del sptimo mes 72,097.07Intereses del octavo mes1,441.94Suma 73,539.01Menos la cuarta renta25,000.00Capital al final del octavo mes48,539.01Intereses del noveno mes970.78Suma 49,509.79Menos la quinta renta25,000.00Capital al final del noveno mes24,509.79Intereses del dcimo mes490.21Suma 25,000.00Menos la sexta renta 25,000.00Al final del dcimo mes 0.00Lo anterior ha demostrado la exactitud del valor actual que hemos calculado. 116 117. 117CLCULO DE LA RENTAPartimos de la frmula del valor actual:n n 1 (1 + i) r 1 (1 + i)C = R -------------- (1 + i)C = R ----------------- .......(38)i r(1 + i) * iDespejamos R: C C------------------------------ = R ------------------ = R n n1 (1 + i) r 1 (1 + i)---------------- (1 + i)----------------- ir (1 + i) * iLo que es igual a:rCir C * (1+i) * i--------------- (1 + i) = R ------------------ = R ( 39 )-nn1 (1 + i) 1 (1 + i) 117 118. 118Ejercicio 49. Cules son las rentas mensuales de 6 (n) para liquidar una deuda de$129,371.40, comenzando a pagar al finalizar el quinto mes, a partir del da de hoy,con una tasa de 24% convertible mensualmente (i)?R = ? mensualesn = 6 mensualidadesr = 4 mensualidadesi = 24% convertible mensualmente = 0.24/12 = 0.02 mensualC = $129,371.40 r Cir C * (1+i) * i --------------- (1 + i) = R ------------------ = R -nn 1 (1 + i) 1 (1 + i)4129371.40(0.02)4129371.40 (1.02) (0.02) ----------------------- (1.02) = R -------------------------------- = R6 61 (1.02) 1 (1.02)De lo que resulta:25,000.00 = R 25,000.00 = R118 119. 119CLCULO DEL TIEMPO DE PERCEPCINDe la frmula del valor actual: n 1 (1 + i)C = R ------------------ ..........................................................................(38) r(1 + i) * ipasamos R al primer miembro:n C1 (1 + i)--- = ----------------- R r(1 + i) * iy colocamos el denominador del segundo miembro en el primer miembro:rC [(1 + i) * i]n------------------ = 1 (1 + i)RLo que se puede escribir as:rC [(1 + i) * i]1------------------ = 1 -----------R n(1 + i)119 120. 120Luego, cambiamos el 1 al primer miembrorC [(1 + i) * i]1----------------- 1 = -----------Rn (1 + i)Obtenemos el comn denominador del primer miembro:rC [(1 + i) * i] R 1------------------------- = -----------R n(1 + i)Cambiamos los signos: rR C [(1 + i) * i] 1------------------------ = -----------R n(1 + i)Luego, invertimos la igualdad: Rn------------------------- = (1 + i) rR C [(1 + i) * i]120 121. 121Aplicamos logaritmos: r log R log {R C [(1 + i) * i]} = n log(1 + i)Y al despejar n, tenemos: r log R log {R C [(1 + i) * i]}n = --------------------------------------------....................(40)log (1 + i)Como es muy laboriosa esta frmula de aplicacin y se basa en la relacin entre lasanualidades diferidas con las ordinarias, se recomienda, para calcular el tiempo, losiguiente: a. Calculamos el monto del valor actual de las anualidades diferidas vencidas por el tiempo diferido, para obtener el valor actual de las anualidades ordinarias. b. Al conocer el dato del punto anterior, se calcula el tiempo de percepcin, utilizando la frmula del tiempo de anualidades ordinarias.Apliquemos ambos procedimientos en los ejercicios siguientes.Ejercicio 50. Cul es el nmero (n) de rentas mensuales de $25,000.00 cada una(R), si se inicia a pagar al finalizar el quinto mes, a partir del da de hoy, para liquidaruna deuda de $129,371.40 (C), con una tasa de 24% convertible mensualmente (i)?R = $25,000.00 mensualesn = ? mensualidades 121 122. 122r = 4 mensualidadesi = 24% convertible mensualmente = 0.24/12 = 0.02 mensualC = $129,371.40Por frmula:r log R log {R C[(1 + i) * i]}n = -----------------------------------------log (1 + i)4 log 25000 log {25000 129371.40[(1.02) * 0.02]}n = --------------------------------------------------------------------- log (1.02) 0.051601n = --------------n = 6 mensualidades 0.008600POR RELACIN:a)n r C = $129,371.40M = C(1 + i) = C(1 + i) r = 4 meses i = 0.02 mensual 4 M=?M = 129371.40(1.02) = $140,035.76122 123. 123b) C = $140,035.76Ci i = 0.02 mensuallog 1 ----- R = $25,000.00 mensuales R n = ? mensualidades n = ---------------------log (1 + i)140035.76(0.02)log 1 ----------------------- 25000 0.051601n = ---------------------------------------- = --------------- = 6 log(1.02)0.008600Entonces:n = 6 mensualidadesCLCULO DEL TIEMPO DIFERIDOUna vez despejada la literal r, la frmula queda as: nlog R + log 1 (1 + i) log (Ci)r = ------------------------------------------------ ...........................................(41) log(1 + i)123 124. 124Se hace la misma anotacin que en el tiempo de percepcin, por lo que serecomienda:Calcular el valor actual de las anualidades, como si fueran ordinarias.Al valor calculado en el punto anterior se le considera como el monto del valor actualde nuestros datos; as, se determina el tiempo diferido a partir de la frmula del montode inters compuesto.Ejercicio 51. Cul es el tiempo diferido (r) de 6 rentas mensuales (n), de $25,000.00cada una (R), a partir del da de hoy, para liquidar una deuda de $129,371.40 (C), conuna tasa del 24% convertible mensualmente (i)?C = $129,371.40R = $25,000.00 mensualesi = 24% convertible mensualmente = 0.24/12 = 0.02 mensualn = 6 mensualidadesr = ? mesesPor frmula:nlog R + log 1 (1 + i) log (Ci)r = ------------------------------------------------ log(1 + i)6 log 25000 + log 1 (1 + 0.02) log (129371.40 * 0.02)r = --------------------------------------------------------------------------------log(1 + 0.02) 124 125. 1250.0344007 r = ---------------- = 4 meses0.0086001Por relacin:a)R = $25,000.00 mensualesi = 0.02 mensualn = 6 mensualidadesC=?n6 1 (1 + i) 1 (1.02)C = R ----------------- = 25000 --------------- = $140,035.77 i0.02b)M = $140,035.77C = $129,371.40 log (M/C) log (M/C)i = 0.02 mensualn = -------------- r = --------------r = ? meseslog (1 + i)log (1 + i) log (140035.77/129371.40)0.0344007r = ---------------------------------------- = ---------------- = 4 meses log(1.02)0.0086001125 126. 126CLCULO DE LA TASA DE INTERSDe la frmula del valor actual:n1 (1 + i)C = R -----------------................................................................................(38)r(1 + i) * ipasamos al primer miembro a R: nC 1 (1 + i) ---- = ---------------Rr(1 + i) * iSe debe tomar en cuenta que el primer miembro va a ser un resultado igual alsegundo miembro de la ecuacin, cuyo factor se obtendr por interpolacin. (Vase elapartado de anualidades ordinarias).Ejercicio 52. Cul es la tasa de inters (i) de 6 (n) de rentas mensuales de$25,000.00 cada una (R), para liquidar una deuda de $129,371.40 (C), si se inicia apagar al finalizar el quinto mes, a partir del da de hoy?C = $129,371.40R = $25,000.00 mensualesn = 6 mensualidadesr = 4 mesesi = ? mensual126 127. 127 n C 1 (1 + i)---- = --------------- R r (1 + i) * iSustituimos:66 129371.40 1 (1 + i) 1 (1 + i)--------------- = ---------------- 5.174856 = ---------------- 2500044(1 + i) * i(1 + i) * iLuego, probamos las tasas: TASASUSTITUCINFACTORn 1 (1 + i)----------------r (1 + i) * i 60.011 (1 + 0.01) 5.569339 -------------------------4 (1 + 0.01) * 0.01 127 128. 128 60.0151 (1 + 0.015) 5.3677999 -------------------------- 4 (1 + 0.015) * 0.015 60.0251 (1 + 0.025) 4.9900897--------------------------- 4 (1 + 0.025) * 0.025 60.03 1 (1 + 0.03)4.8131044 ----------------------- 4(1 + 0.03) * 0.03Y, expresado en diagrama, queda:4.99008975.174856 5.3677999|______________________________|______________________________||||0.025?0.015Y con la frmula de interpolacin:Factor de la Factor de latasa buscada tasa mayor Tasa buscadaTasa mayor-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------Factor de la Factor de la Tasa menor Tasa mayor128 129. 129tasa menortasa mayor5.1748564.9900897i 0.025-------------------------------------------------- = --------------------------------------------------5.3677999 4.9900897 0.0150.0250.1847663i 0.025i 0.025----------------- = ---------------0.4891747 = ---------------0.3777102 0.010 0.0100.4891747(-0.010) = i 0.0250