Mate I Teo 07 Diferenciacion Parte I

Diferenciacin(primera parte)

(definicin propiedades - regla de la cadena)

Ctedra de Matemtica I

2013

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

a b

Variacin Total de f entre a y b?

f(a)

f(b)

a b

Variacin Total de f entre a y b? f(b) f(a)

f(a)

f(b)

a b

Variacin Total de f entre a y b? f(b) f(a)Variacin Media?

f(a)

f(b)

a b

Variacin Total de f entre a y b? f(b) f(a)Variacin Media? [f(b) f(a)] / (b - a)

f(a)

f(b)

a b


secante

f(a)

f(b)

a b


secante

pendiente

nocinde

DERIVADA

nocinde

DERIVADAVARIACIN INSTANTNEA

de la funcin

nocinde


de la funcin

cmolograrlo?

x (x+h1)

h1

nocinde


de la funcin

cmolograrlo?

x (x+h2) (x+h1)

h1

h2

nocinde


de la funcin

cmolograrlo?

x (x+h3) (x+h2) (x+h1)

h1

h2

nocinde


de la funcin

cmolograrlo?

h3

x (x+h3) (x+h2) (x+h1)

h1

h2 h3

VARIACIN INSTANTNEAde la funcin

x (x+h3) (x+h2) (x+h1)

h1

h2 h3

VARIACIN INSTANTNEAde la funcin lm h 0

a (a+h3) (a+h2) (a+h1)

h1

h2 h3

VARIACIN INSTANTNEAde la funcin lm h 0

f'(x) = f (x + h) f (x) lm h

h 0

Clculo de derivada por definicin(ejemplo)

Clculo de derivada por definicin(ejemplo)

Calcular la derivada de la funcin

Diferenciabilidad y Continuidad


En un intervalo abierto, una funcin y = f(x) es diferenciable si tiene derivada en cada punto del intervalo.



Si el intervalo es cerrado, por ejemplo, [a,b], entonces es diferenciable si lo es en el intervalo abierto (a,b) y si los lmites por derecha en a y por izquierda en b existen.




Ahora bien, si tiene derivada en todo punto del intervalo, entonces en todo punto existen los lmites laterales y son iguales, o sea, es contnua. Por lo tanto:




Ahora bien, si tiene derivada en todo punto del intervalo, entonces en todo punto existen los lmites laterales y son iguales, o sea, es contnua. Por lo tanto:

diferenciabilidad implica continuidad


Observar que la implicancia anterior vale en una sola direccin. Es decir, as como podemos afirmar que si una funcin es diferenciable entonces es continua, no podemos decir que se cumple la recproca. Es decir, no podemos afirmar que si es continua entonces es diferenciable.



Un ejemplo clsico de esto es la funcin valor absoluto. En x=0, la funcin es continua (ya que existe el lmite de la funcin cuando x 0 y sin embargo la derivada en dicho punto no existe.



Un ejemplo clsico de esto es la funcin valor absoluto. En x=0, la funcin es continua (ya que existe el lmite de la funcin cuando x 0 y sin embargo la derivada en dicho punto no existe.

Comprobemos que no existe la derivada de |x| en x=0. Para ello intentemos calcular la derivada por definicin de f(x) = |x| en x=0:


Nos preguntamos ahora si el lmite anterior existe. Para ello, calculamos los lmites laterales y vemos si son iguales:



Lmites laterales distintos NO EXISTE EL LIMITE



Lmites laterales distintos NO EXISTE EL LIMITE

(en quiebres no existe la derivada)

Reglas de diferenciacin


1) Derivada de una funcin constante:



2) Derivada de una potencia:




3) Derivada de una constante por una funcin:




3) Derivada de una constante por una funcin:

4) Derivada de una suma (resta):


5) Derivada de un producto:


5) Derivada de un producto:

6) Derivada de un cociente:

Composicin de Funciones


Definicin: Una composicin de funciones es la combinacin (composicin) de dos o ms funciones, dando como resultado una nueva funcin.



Ejemplo: - supongamos que y es una funcin de la variable u, tal que: y = f(u) = 2u



Ejemplo: - supongamos que y es una funcin de la variable u, tal que: y = f(u) = 2u

- supongamos adems que la variable u es funcin de la variable x, tal que: u = g(x) = (x + 1)

Entonces: ...


Entonces, como y es funcin de u y u es funcin de x, se concluye que y es una funcin de x :

y = g(u) = 2uu = f(x) = (x + 1)



y = g(u) = 2uu = f(x) = (x + 1)

y = g(u) = g(f(x)) = g((x + 1)) = 2(x + 1)



y = g(u) = 2uu = f(x) = (x + 1)

y = g(u) = g(f(x)) = g((x + 1)) = 2(x + 1)

x f(x)

f



y = g(u) = 2uu = f(x) = (x + 1)

y = g(u) = g(f(x)) = g((x + 1)) = 2(x + 1)

x f(x) g(f(x))

f g



y = g(u) = 2uu = f(x) = (x + 1)

y = g(u) = g(f(x)) = g((x + 1)) = 2(x + 1)

x f(x) g(f(x))

f g

g o f (g compuesta con f)


Ejemplos


Ejemplos

1) f(x) = 1 x g(x) = 5x


Ejemplos

1) f(x) = 1 x g(x) = 5x

(gof)(x) = g(f(x)) = g(1-x) = 5(1-x)


Ejemplos

1) f(x) = 1 x g(x) = 5x

2) f(x) = 1 / 3x g(x) = x

(gof)(x) = g(f(x)) = g(1-x) = 5(1-x)


Ejemplos

1) f(x) = 1 x g(x) = 5x

2) f(x) = 1 / 3x g(x) = x

(gof)(x) = g(f(x)) = g(1-x) = 5(1-x)

(gof)(x) = g(f(x)) = g(1/3x) = (1/3x)

Regla de la Cadena(derivada de una comp. de funciones)


Supongamos tener la funcin compuesta:

h(x) = (3x + 1)



h(x) = (3x + 1)

A esta funcin podemos pensarla como la composicin (gof)(x)

con: f(x) = 3x + 1, y g(x) = x



h(x) = (3x + 1)

A esta funcin podemos pensarla como la composicin (gof)(x)

con: f(x) = 3x + 1, y g(x) = x

Sabemos derivar tanto f(x) como g(x), pero...

cul es la derivada de h(x)?


Veamos dos ejemplos para deducir la Regla de la Cadena:



Ejemplo 1:

sea la funcin

y=32 x=12 (3x)



Ejemplo 1:

sea la funcin

Esta funcin, es la composicin de: y

y=32 x=12 (3x)

y=12 u u=3x



Ejemplo 1:

sea la funcin


Cmo se relacionan las derivadas de estas dos funciones?

y=32 x=12 (3x)

y=12 u u=3x



Ejemplo 1:

sea la funcin



y=32 x=12 (3x)

y=12 u u=3x

dydx=

32

dydu=

12

dudx=3



Ejemplo 1:

sea la funcin



Debido a que entonces podemos decir que

y=32 x=12 (3x)

y=12 u u=3x

dydx=

32

dydu=

12

dudx=3

32=

12 3

dydx=

dydu

dudx



Ejemplo 2:

sea la funcin

y=9x4+6x2+1=(3x2+1)2



Ejemplo 2:

sea la funcin


y=9x4+6x2+1=(3x2+1)2

y=u2 u=3x2+1



Ejemplo 2:

sea la funcin


y=9x4+6x2+1=(3x2+1)2

y=u2 u=3x2+1

dydu

dudx =2u 6x=2(3x

2+1)6x=36x3+12x



Ejemplo 2:

sea la funcin


Si calculamos la derivada a partir de la expresin expandida, se obtiene:

y=9x4+6x2+1=(3x2+1)2

y=u2 u=3x2+1

dydu

dudx =2u 6x=2(3x

2+1)6x=36x3+12x

dydx



Ejemplo 2:

sea la funcin



y=9x4+6x2+1=(3x2+1)2

y=u2 u=3x2+1

dydu

dudx =2u 6x=2(3x

2+1)6x=36x3+12x

dydx

dydx=

dx (9x

4+6x2+1)=36x2+12x



Ejemplo 2:

sea la funcin



y=9x4+6x2+1=(3x2+1)2

y=u2 u=3x2+1

dydu

dudx =2u 6x=2(3x

2+1)6x=36x3+12x

dydx

dydx=

dx (9x

4+6x2+1)=36x2+12x Nuevamente: dydx=dydu

dudx


Por lo tanto, lo que se tiene es que:

la derivada de la funcin compuesta g(f(x)) en x es la derivada de g en f(x), multiplicada por la derivada de f en x

Esto se conoce como la Regla de la Cadena.

Veamos la definicin formal:


Teorema de la Regla de la Cadena

Si g(u) es diferenciable en el punto u = f(x) y f(x) es diferenciable en x, entonces la funcin compuesta (gof)(x) = g(f(x)) es diferenciable en x, y adems:

(go f )' (x )=g ' ( f (x )) . f '( x)


Regla (receta) de afuera hacia adentro



Algunas veces ayuda pensar en la regla de la cadena de la siguiente manera:




Si

y=f (g(x ))dydx=f ' (g( x)). g '( x)




Si

O sea, lo que se hace es

1- derivar la funcin de afuera (externa), f, y evaluarla en la Funcin de adentro (interna), g(x)

y=f (g(x ))dydx=f ' (g( x)). g '( x)




Si

O sea, lo que se hace es

1- derivar la funcin de afuera (externa), f, y evaluarla en la Funcin de adentro (interna), g(x)

2- multiplicar por la derivada de la funcin de adentro

y=f (g(x ))dydx=f ' (g( x)). g '( x)



Ejemplo: derivar la funcin

f (x)=sen(x2+x )




f (x)=sen(x2+x )

funcin externa




f (x)=sen(x2+x )

funcin externa

lo de adentro




Solucin:

f (x)=sen(x2+x )

ddx sen (x

2+x )=cos(x2+x )(2x+1)

funcin externa

lo de adentro




Solucin:

f (x)=sen(x2+x )

ddx sen (x

2+x )=cos(x2+x )(2x+1)

funcin externa

derivada de la funcin externa

lo de adentro




Solucin:

f (x)=sen(x2+x )

ddx sen (x

2+x )=cos(x2+x )(2x+1)

funcin externa

lo de adentro dejarlo igual


lo de adentro




Solucin:

f (x)=sen(x2+x )

ddx sen (x

2+x )=cos(x2+x )(2x+1)

funcin externa

lo de adentro dejarlo igual

derivada de lo de adentro


lo de adentro

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