UNIVERSIDAD SEOR DE SIPANFACULTAD DE INGENIERA, ARQUITECTURA Y URBANISMOESCUELA INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA

Autores:Burga Cruzat RichardEdut Ramos Montero.

Pimentel, octubre del 2014

1.1 Crecimiento y Decrecimiento

Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demogrfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. En esencia, la idea del modelomaltusiano es la hiptesis de que la tasa de crecimiento de la poblacin de un pas crece en forma proporcional a la poblacin total, P(t) de ese pas en cualquier momento t. En otras palabras, mientras ms personas hayan en el momento t, habr ms en el futuro. En trminos matemticos, esta hiptesis se puede expresar:

Donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo la inmigracin y emigracin) que pueden influir en las poblaciones humanas, hacindolas crecer o Disminuir, predijo con mucha exactitud la poblacin de EE.UU. desde 1790 hasta1860. La E.D (1) an se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeos durante ciertos intervalos.

El problema de valor inicial,

Donde k es constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenmenos donde interviene crecimiento o decrecimiento.

1.2 Crecimiento bacteriano

Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias, cuando t = 1h. La cantidadMedida de bacterias es .Si la razn de reproduccin es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.

Solucin

Se resuelve la E.D: (1) sujeta a N(0)=

A continuacin se define la condicin emprica N (1)=. para hallar k.Tomemos (1)

Pasando trminos , que es una ecuacin lineal con q(x) = 0.

Separando variables:

Integramos

+C

ln N=kt + C, dondeO bienN (t)= con C=

Cuando t = 0 N(0) =

N (0)= C y como N(0) = N0 C = N0

Y por consiguiente

N(t)=

Cuando t = 1 = o bien , de aqu que

k =ln=0.4055as:

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias,Despejamos t de:

= ; por consiguiente, 0.4055t=ln3 y as

=2.71 hs

En este ejemplo observamos que la cantidad real N0 de bacterias presentes en elMomentot = 0, no influy para la definicin del tiempo necesario para que el cultivo seTriplicara. El tiempo requerido para aumentar una poblacin inicial de 100 a1.00.0 bacterias siempre es de alrededor de 2.71 hs.

.1.3. Crecimiento de una clula

Comencemos suponiendo que una clula tiene una masa m0 y en un medio idealCrece. De este modo vemos que su masa variar en funcin del tiempo. Esto seExpresa de la siguiente manera: m=m(t) Supondremos adems, que los compuestos qumicos pasan rpidamente la pared de la clula, en este caso su crecimiento slo est determinado por la velocidad del metabolismo dentro de la clula. Como el metabolismo depende de la masa de las molculas participantes, podemos pensar que la velocidad de crecimiento es proporcional a la masa en cada instante.Podemos expresar este hecho de la siguiente manera:

a= cte. de proporcionalidad a>0

Esta ecuacin corresponde a la ecuacin de crecimiento (1), sin embargo estaEcuacin tiene una restriccin: m