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Matematicas Avanzadas para IngenierıaResultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos
1. Calcule la integral indicada:
∫ 2+3 i
3−2 i
(−3− 3 i+ (−3 + 4 i) z + 3 z2
)dz
Reporte el modulo del resultado.
Solucion
En este caso la funcion a ser integrada:
f(z) = −3− 3 i+ (−3 + 4 i) z + 3 z2
es entera (es decir, es analıtica en todo el plano complejo)
al ser una funcion polinomial.
11
Por tanto, para calcular la integral basta encontrarle una
primitiva; es decir, una funcion cuya derivada sea f(z).
Si integramos por las tecnicas tradicionales tenemos que
una primitiva es:
g(z) = (−3− 3 i) z + (−3 + 4 i)1
2z2 + z3
Por tanto,
I =
∫ 2+3 i
3−2 i
f(z) dz = g(2 + 3 i)− g(3− 2 i)
La siguiente grafica ilustra su solucion en la calculado-
ra TI; primeramente se limpian las variables a trabajar,
despues se define el integrando, seguido se determina una
primitiva del integrando, y por ultimo se obtiene el modu-
lo de la diferencia de la sustitucion de la primitiva en los
lımites de integracion.
En la siguiente pantalla se ilustra el calculo directo de la
integral usando el comando de integracion.
2. Calcule la integral indicada:∫ 3−i
1−3 i
e3 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Solucion
La funcion que se integra
f(z) = e3 i z z
es una funcion entera; es decir, es analıtica en todo el
plano complejo. Por consiguiente, para calcular la integral
debemos calcular una primitiva F (z) y evaluarla en los
lımites de integracion:∫ 3−i
1−3 i
f(z) dz = F (3− i)− F (1− 3 i)
Este tipo de primitivas y de evaluaciones es lo que hace la
calculadora: Procedemos como en el problema anterior:
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3. Calcule la integral ∮C
1− 3 i+ z
−4− 2 i+ zdz
donde C es el cırculo |z| = 11. Reporte el modulo del re-
sultado.
Solucion
La expresion a integrar se escribe
f =1− 3 i+ z
−4− 2 i+ z=p
q
Siendo f racional, los polos de f ocurriran en los ceros de
q:
q = 0→ z = zo = 4 + 2 i
11
Por otro lado, el cırculo donde se integra tiene centro en
z = z1 = 0 y radio 11. Puesto que la distancia de zo a z1es:
d(zo, z1) = |zo − z1| = |zo − 0| = |zo| ≈ 4.47214 < 11
el polo se encuentra dentro de la curva de integracion. Para
calcular la integral requeriremos la formula de Cauchy:∮C
f dz =
∮C
1− 3 i+ z
z − zodz = 2π i [1− 3 i+ z]z=zo
Ası ∮C
f dz = 2π i (1− 3 i+ (4 + 3 i))
Los calculos se ilustran en la siguiente figura:
4. Calcule la integral ∮C
e−i z
3 + i+ zdz
donde C es el cırculo |z| = 10. Reporte el modulo del re-
sultado.
Solucion
El integrando se escribe como
f =e−i z
3 + i+ z=f1f2
Donde f1 = e−i z es entera y f2 = 3 + i+ z. Por tanto, los
unicos polos de f son los ceros del denominador f2:
f2 = 0→ zo = −3− i
1
Como la curva de integracion C es un cırculo con centro
en z1 = 0 y radio r = 10 y la distancia de zo a z1 es
d(zo, z1) = |z1 − zo| = | − 3− i| =√
4 ≈ 3.162
Entonces, el polo se encuentra dentro de C; por tanto, para
calcular la integral debemos usar la formula de Cauchy:∮C
e−i z
z − (−3− i)dz = 2π i [e−i,z]z=−3−i
Los calculos se ilustran en la siguiente figura. Los calculos
se ilustran en la siguiente figura:
Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 3
5. Calcule la integral∮C
−4 i+ z
(−2 + 2 i+ z) (3 + i+ z)dz
donde C es el cırculo |z| = 3. Reporte el modulo del resul-
tado.
Solucion
Los polos de la expresion se obtienen de los ceros del de-
nominador:
(−2 + 2 i+ z) (3 + i+ z) = 0
lo cual da los valores:
z1 = −3− i y z2 = 2− 2 i
Como la curva de integracion es un cırculo con centro en
zo = con radio r = 2, vemos si estan en el interior de C:
d(z1, zo) = |z1 − zo| = |z1| ≈ 3.162 > 3
d(z2, zo) = |z2 − zo| = |z2| ≈ 2.828 < 3
Concluimos que solo z2 esta en el interior de C.
1
1
1
Entonces reescribimos el integrando original como
−4 i+ z
(−2 + 2 i+ z) (3 + i+ z)=
−4 i+z3+i+z
z − (2− 2 i)=f1f2
Ası f1 es analıtica en C y su interior. Podemos entonces
calcular la integral usando la formula de Cauchy:∮o
−4 i+z3+i+z
z − (2− 2 i)dz = 2π i
[−4 i+ z
3 + i+ z
]z=2−2 i
En la calculadora procedemos a capturar por separado nu-
merador y denominador. Asimismo calculamos los polos.
Cuando salen mas de una raız conviene manejarlos como
una tabla. Para ello el comando expIlist puede servir.
Observe como es utilizado en la figura.
El resultado de este comando es una matriz a una columna
y para disponer de sus elementos habra que seleccionar por
renglon y columna. Por ejemplo, para calcular los modulos
de los polos se procede como en la figura siguiente.
Para hacer el ultimo calculo, debemos quitar del denomi-
nador el factor z − z2 y el resultado debemos reunirlo con
el numerador. Evaluar la expresion resultante en z = z2 y
multiplicar por 2π i. Estos ultimos calculos se ilustran en
la siguiente figura.
6. Calcule la integral∮C
−1− 6 i+ i z
(−2 + 2 i+ z) (−1− 2 i+ z)dz
donde C es el cırculo |z| = 9. Reporte el modulo del resul-
tado.
Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 4
Solucion
Siendo la funcion a integrar racional (es decir, el cociente
de dos polinomios) y la curva donde se integra una curva
cerrada simple, para poder utiizar el teorema de Chauchy,
debemos ver cuales de los polos (es decir, de los ceros del
denominador) estan dentro de C. Tomaremos el denomi-
nador y obtendremos sus raıces:
(−2 + 2 i+ z) · (−1− 2 i+ z) = 0
al estar igualdada a cero y teniendo factorizada la expre-
sion, las raıces seran las raıces de cada factor:
−2 + 2 i+ z = 0→ z1 = 2− 2 i
y
−1− 2 i+ z = 0→ z2 = 1 + 2 i
la curva donde se integra es una circunferencia con centro
en zo = 0 y con radio r = 9; para ver si alguna de las
raıces esta dentro de C, basta determinar la distancia al
centro y comparar contra el radio: como
|z1 − zo| = |2− 2 i− 0| = |2− 2 i| =√
8 < 9
por tanto, z1 esta en el interior de C. como
|z2 − zo| = |1 + 2 i− 0| = |1 + 2 i| =√
5 < 9
por tanto, ambas raıces esta en el interior de C. En esta
situacion tenemos tres alternativas posibles:
aplicar integracion numerica y obtener el resultado
por fuerza bruta usando una caculadora TI,
aplicar fracciones parciales para cambiar la expresion
a integrar por la suma de dos expresiones cada una
de ellas con un solo polo, o
cambiar a C por dos cırculos que no se traslapen, que
esten encerrados en C y donde cada uno encierre un
polo por separado.
Por fuerza bruta Limpiamos las variables de trabajo,
definimos la funcion a integrar, la parametrizacion de z y
tras de varios minutos y la senal de bateria baja obtene-
mos:
Por fracciones parciales Una de las ventajas y a la
vez desventajas de la calculadora es la forma como ope-
ra los numeros complejos: intenta escribirlos en su forma
rectangular (es decir, en una expresion donde este por se-
parado la parte real y la parte imaginaria). Por ejemplo,
en la siguiente figura se ilustra como opera con un binomio
al cuadrado. Si no esta explıcitamente declarado que tiene
el complejo i, la potencia no se desarrolla. Pero si aparece
i en el binomio, el producto se desarrolla.
En el caso de las fracciones donde aparece el complejo i
ocurre lo mismo.
Nos podemos imaginar que la TI es un animalito que se
pone muy impaciente cuando aparece i. En general, esto
es una ventaja. Pero hay muchas situaciones donde esta
impaciencia es negativa. Cuando se vea transformada de
Fourier y transformada Z se entedera esta desventaja. De
momento confie en que hay situaciones donde una expre-
sion tiene imaginarios en el denominador y conviene que
no quede en la forma rectangular. La pregunta es, ¿como
evitar que la calculadora TI la lleve a la forma rectangu-
lar? Como el algebra de complejos es el algebra tradicional
de expresiones donde i2 = −1, una alternativa es escon-
der el comportamiento de i. Esto lo lograremos usando la
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variable i en lugar de i( i previamente limpiada) y sim-
plificando la expresion de manera tal que cada vez que
aparezca i2 pondremos −1. No se si sea la mejor solucion,
pero esto funciona. En la siguiente imagen se ilustra que
la expresion se reescribe usando i en lugar de i.
Posteriormente utilizamos el proceso de desarrollo en frac-
ciones parciales de una expresion:
Observe que es una expresion con un buen numero de
terminos. Lo que haremos ahora es seleccionar solo aque-
llas fracciones que tienen z − 2 i − 1 en el denominador:
limpiando la lınea de comando en la TI, subiremos a la
lınea superior que ilustra el resultado y daremos enter.
Ahora borraremos manualmente aquellas expresiones que
no contengan el denominador z − 2 i − 1 y salvaremos en
una nueva variables como se ilustra en la siguiente figura.
La fraccion donde aparece z−2 i−1 en el denominador pue-
de obtenerse de la siguiente manera: como lo que importa
son los coeficientes, nos quedaremos con ellos haciendo 1
la expresion z−2 i−1. Esto lo lograremos con el comando
que nos permite hacer reemplazos de expresiones. Esto se
ilustra en la siguiente figura.
Despues regresaremos nuestra variable i a ser de nuevo i:
Esto nos dice que ya temos una parte del desarrollo en
fracciones parciales:
f(z) =−1 + i
z − 2 i− 1+ · · ·
Para la parte que nos queda quitamos de la expresion desa-
rrollada la parte que llevamos:
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cuando la invocamos nuestra expresion es solo una fraccion
con denominador z + 2 (i− 1):
Procedemos de nuevo a obtener su coeficiente:
Resumiendo, nuestra expresion original desarrollada en
fracciones parciales es:
f(z) =−1 + i
z − 2 i− 1+
1
z + 2 (i− 1)
Tenemos la obligacion cientıfica de verificar que este desa-
rrollo es efectivamente valido: en lugar de la variable i
pondremos i y compararemos con nuestro desarrollo como
se ilustra en la figura
Que obtengamos 0 significa que nuestro desarrollo en frac-
ciones parciales es correcto. Esto es la tecnica de fracciones
parciales con denominadores con polos complejos. Confie
en que vale la pena aprender hacer esto en su calculadora.
Continuemos con el proceso de integracion: nuestra inte-
gral original queda∮C
f(z) dz =
∮C
(−1 + i
z − 2 i− 1+
1
z + 2 (i− 1)
)dz
Como los polos estan en el interior de C por la formula de
Cauchy tenemos:∮C
−1 + i
z − 2 i− 1dz = 2π i [−1 + i]z=2 i+1 = −2π − 2π i∮
C
1
z − 2 i + 2dz = 2π i [1]z=2 i−2 = 2π i
Por lo tanto, ∮C
f(z) dz = −2π
Por el teorema de Cauchy-Goursat La siguiente
imagen describe la curva C y los polos del denominador
en el plano complejo.
C1
1
1−1
1
C1
C2
Notemos que C1 encierra al polo z1 = 2−2 i, mientras que
C2 encierra al polo z2 = 1 + 2 i. Observe que no especifi-
camos los radios de las curvas C1 y C2, pero imaginamos
que son lo suficientemente pequenos para que el segundo
polo no este dentro de la circuenferencia con centro en el
primero. Por medio del teorema de Cauchy-Goursat, cam-
biaremos la integracion sobre C por la integral sobre las
curvas C1 y C2:∮C
f(z) dz =
∮C1
f(z) dz +
∮C2
f(z) dz
Para hacer cada una de las integrales reescribiremos el
integrando de forma tal que en el denominador quede so-
lamente la expresion que tiene el polo dentro de la curva
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(esto hara que la expresion racional en el numerador sea
una funcion analıtica en el disco al no tener su polo en tal
disco lo cual nos permitira usal el teorema de Cauchy en
el calculo de la integral):∮C1
f(z) dz =
∮C1
−1− 6 i + i z
(−2 + 2 i + z) (−1− 2 i + z)dz
=
∮C1
−1−6 i+i z−1−2 i+z
−2 + 2 i + zdz
= 2π i[−1−6 i+i z−1−2 i+z
]z=2−2 i
= 2π i
y por otro lado∮C2
f(z) dz =
∮C2
−1− 6 i + i z
(−2 + 2 i + z) (−1− 2 i + z)dz
=
∮C2
−1−6 i+i z−2+2 i+z
−1− 2 i + zdz
= 2π i[−1−6 i+i z−2+2 i+z
]z=1+2 i
= −2π − 2π i
Por lo tanto,∮C
f(z) dz = 2π i + (−2π − 2π i) = −2π
Observe que los tres calculos llevan al mismo resultado.
Aunque en el primero se debe descartar la pequenısima
parte imaginaria 4.5591×10−12. El procedimiento numeri-
co puede llevar a errores de calculo, por ello es que no es re-
comendable confiar plenamente en la integracion numerica
cuando se conocen y son relativamente faciles de usar las
tecnicas analıticas.
7. Calcule la integral∮C
9 + 3 i+ (1− 3 i) z
(−2 + 2 i+ z)2 dz
donde C es el cırculo |z| = 9. Reporte el modulo del resul-
tado.
Solucion
La raız del denominador se repite y es:
z1 = 2− 2 i
es decir, su multiplicidad es 2. Como la curva C donde se
integra es un cırculo con centro en zo = 0 y con radio 9 y
d(z1, zo) = |z1 − zo| = |z1| ≈ 2.828
tenemos que z1 esta en el interior de C.
21
Para calcular la integral debemos usar la formula de
Cauchy, si
f =9 + 3 i+ (1− 3 i) z
(−2 + 2 i+ z)2 =
f1(z − z1)2
entonces∮C
f dz =2π i
1!
[d
dz(f1)
]z=z1
= π (6 + 2 i)
8. Calcule la integral∮C
16 + 8 i+ (−4− 12 i) z + (−1 + 2 i) z2
(2 + z)3 dz
donde C es el cırculo |z| = 5. Reporte el modulo del resul-
tado.
Solucion
En nuestro caso la region de integracion es un cırculo con
centro en zo = 0 y de radio 5. Por otro lado, la funcion
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que se desea integrar es una funcion racional cuyo unico
polo
(2 + z)3 = 0→ z1 = −2
z1 = −2 tiene orden 3. Como la distancia de z1 a zo es me-
nor que el radio, z1 esta dentro de C. La grafica siguiente
describe la situacion.
C
31−1
1
De acuerdo con el teorema de Cauchy, si f(z) es analıtica
dentro de la curva cerrada y orientada positiva C entonces∮C
f(z)
(z − z1)n+1 dz =
2π i
n!
[dn
dznf(z)
]z=z1
ası ∮C
16+8 i+(−4−12 i) z+(−1+2 i) z2
(2+z)3dz =
2π i2!
[d2
dz
(16 + 8 i + (−4− 12 i) z + (−1 + 2 i) z2
)]z=−2
=
2π i (−1 + 2 i)