DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL

La derivada de una función Vectorial de Variable Real , tal que

, está definida por:

Siempre y cuando existe este limite.

Notación de la Derivada:

Teorema.-

Si es una función vectorial dad por: , entonces:

, siempre que , y existan.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Consideremos las representaciones de los vectores , y como en la

grafica.

L a curva C es trazado por el punto final de la representación de posición de

cuando t toma todos los valores en .

Si el vector - lo multiplicamos por obtenemos un vector que tiene la

misma dirección y cuya longitud es por la magnitud del vector - ,

ahora cuando t 0, el vector se aproxima a un vector que tiene una

de sus representaciones tangente a la curva C en el punto P.

Interpretación Geométrica de la Derivada

Z

Y

X

2.19. DEFINICION:

La función vectorial , se dice que es diferenciable en e intervalo ; si

existe, t .

2.20. DEFINICION:

Sea , una función vectorial diferenciable; si es continua, entonces

se dice que es una curva de clase C’.

Ejemplo:

La función vectorial , tal que , no es de clase C’.

En efecto: se observa que es continua en todo R; no es derivable en t=0, porque

la función componente no es derivable en t=0, debido a que:

Además no es continua en t=0, porque no es continua

en t=0, por lo tanto no es de clase C’.

EN GENERAL:

)(' ttf

Si (derivada de orden p en ) es continua, entonces se dice que es de clase

.

Ejemplo:

Para todo n>0, la función vectorial , definida por:

es de clase .

2.21. PROPIEDADES DE LA DIFERENCIACIÓN

Consideremos dos funciones vectoriales y y R, entonces:

1)

2)

3)

4)

2.22. VECTOR VELOCIDAD, RECTA TANGENTE, VECTOR ACELERACIÓN Y RAPIDEZ

Sea una función vectorial diferenciable, al vector no nulo se

denomina vector velocidad (vector tangente) de la curva en el punto y es

denotado por .

Si el vector velocidad , cuando es diferente de cero, determina recta tangente a la

curva : en el punto , es decir:

0f t�������������� 0'f t

��������������

0: f t������������� �

tL

Así como vector velocidad se ha definido por , el vector aceleración se

define por: .

La rapidez de una partícula es definido como la magnitud del vector velocidad, es decir:

2.23 TEOREMA

Si es una funcin vectorial diferenciable en un intervalo I y es un vector

diferente de cero de magnitud constante y direccion variable t I, entonces y Dt

son ortogonales.

Demostración:

a t b : ( )C f t��������������

Dt

f��������������

( )f t��������������

Sea k (constante) la magnitud de , entonces . =k2 , luego diferenciado con

respecto a t se tiene:

entonces: .

Como

Ejemplo:

La función vectorial luego y como:

.

Como: . = 0entonces y es ortogonal.

OBSERVACION

Las derivadas de orden superior de las funciones vectoriales están definidas en función

con las derivadas de orden superior de las funciones reales, esto es:

Si es una función vectorial definida por:

Su primera derivada es:

La segunda derivada de es:

La tercera derivada de es:

Y así sucesivamente, hasta llegar a calcular la n-ésima derivada de dado por:

2.24 TEOREMA

Si es una función diferenciable en I y es una función diferenciable

sobre un intervalo que contiene a , entonces es diferenciable

sobre I y

Ejemplos

15.- Una partícula se mueve a lo largo de la ,

para t=2. Hallar la velocidad y la aceleración de la partícula.

Solución:

, para t=2 se tiene:

20.- Hallar la ecuación de la recta tangente de la curva en

el punto de intersección con la curva .

Solución:

Calculando el punto de intersección de las curvas.

Luego se tiene: , de donde

como

para además se tiene:

α

La ecuación de la recta tangente, esta dado por:

28.- Un muchacho lanza una pelota con una velocidad inicial de 60 p/seg. y un ángulo

de elevación de 60º hacia un muro de 50 pies de alto, que se encuentra a 30 pies de

distancia. Si la mano del muchacho se halla a 5 pies del suelo:

a) Hallar la función vectorial que describe la trayectoria de la pelota.

b) ¿Cae la pelota detrás del muro ó choca con él? Si choca, determinar el ángulo con que choca.

Solución:

Daros del problema:

d= 30 pies, y0 = h = 5 pies, g= 32p/seg.

x = (V0 cos60º)t x = 30t

y = y0 + v0 y1 +

y = h + v0sen60º - = 5 + 30 t – 16t2

d = 30

x= V0cosα

H

y = V0 senα

h

X

a) Por lo tanto la función vectorial es : Por lo tanto la función vectorial es :

b) Tenemos que : 30t = x pero para x0 = d = 30 t = ahora como y

=5 + 30 - 16t2 para t = , y = 5 + 90 – 48 = 47 pies.

Por lo tanto la pelota choca en el muro a 47 pies de altura, ahora para determinar el

ángulo de impacto.

Calculamos con es decir y

y como

.

30.-Consideremos las curvas C1 y C2 descritas por las ecuaciones siguientes:

y . Hallar las

ecuaciones de las rectas tangentes en cada punto de intersección de las curvas.

Solución:

Calculando los puntos de intersección de las curvas.

Sea es decir:

= , de donde

de (1) obtenemos:

reemplazando en (3):

para se tiene que satisface la ecuación (2).

En cambio no satisface la ecuación (2) por lo tanto se considera

obteniendo el punto P(ln 2, 2, 5) es decir que se tiene que ahora

calcularemos la ecuación de la recta tangente a la curva en P(ln 2, 2, 5).

Luego : de donde

como entonces:

Calculando la recta tangente a la curva

de donde

2.27. CURVAS REGULARES

Diremos que es una curva regular si es de clase C1 y , t

, en este caso t se llama parámetro regular.

Ejemplo1:

La función vectorial definida por es una curva

regular, puesto que

Ejemplo2:

Determinar los puntos en los cuales la función vectorial , no

es regular.

Solución

Como existe entonces es de clase C1, luego los puntos en

los cuales no es regular se obtiene de la ecuación de donde

de donde t=0 luego el punto no regular es:

.

2.28.CURVAS PARAMÉTRICAS

Se ha visto las curvas principalmente como graficas de ecuaciones, por ejemplo una

ecuación de la forma o de la forma determina una curva al dar una

de las variables coordenadas explícitamente como función de la otra, así mismo una

ecuación de la forma , o también puede determinar una curva, pero en este

caso cada variable está dad implícitamente como función de la otra, otro tipo importante

de curva es la trayectoria de un punto que se mueve en el plano coordenado.

El movimiento del punto puede indicarse dando su posición en el instante t.

Esta descripción implica que debemos expresar ambas variables x e y en coordenadas

rectangulares en función de una tercera variable, o parámetro t, de aquí la definición de

curva paramétrica.

A.- DEFINICION DE CURVA PARAMÉTRICA:

Una curva paramétrica en el plano, es un par de funciones que

expresa a x e y como funciones continuas del número real t (al parámetro) en algún

intervalo .

Cada valor del parámetro t determina un punto y el conjunto de todos los

puntos es la gráfica de la curva .

Las dos ecuaciones en (t) se denominan ecuaciones paramétricas de la curva que

denotaremos por:

OBSERVACIONES:

1. En la mayor parte de los casos, el intervalo donde la curva paramétrica está

definida es un intervalo cerrado siendo los extremos de la curva

. Ilustraremos las curvas que se dan.

Pa

Pb

Y

X

Curva simplepero no cerrada

Pa = Pb

Y

X

Cerrada pero

no simple

Y

X

Pa

Pb Ni cerradani simple

2. La gráfica de una curva paramétrica se puede graficar con suficientes puntos que

indiquen su forma probable. En algunos casos podemos eliminar el parámetro t,

y así obtener una ecuación en x e y, que nos puede dar más información acerca

de la forma de la gráfica.

Ejemplo: Determinar la gráfica de la curva

Solución

Y

X

Pa = Pb

Simple ycerrada

Haciendo la tabulación correspondiente:

t x y

0 1 0

0 1

-

-1 0

- -

0 -1

-

2 1 0

La gráfica es de círculo unitario

t

(cost, sent)

Podemos verificar la gráfica eliminando el parámetro t para obtener la ecuación

cartesiana de donde

Luego x2+y2=1 es él circulo unitario.

OBTENCION DE LA ECUACION CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SU REPRESENTACION PARAMETRICA

Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva:

Se puede obtener una ecuación cartesiana F(x,y) = 0, con solo eliminar el parámetro t se

puede hacer por métodos algebraicos o por medio de algunas identidades

trigonométricas.

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación cartesiana de la curva

Solución:

De las ecuaciones dadas podemos despejar cos θ y sen θ.

de donde

que es una circunferencia.

Ejemplo 2:

Hallar la ecuación cartesiana de la curva

Solución:

De la ecuación y=2t + c, despejamos t.

reemplazando en la ecuación

de donde , es la ecuación de una parábola.