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1 | P á g i n a
MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4
FICHA DE MATEMÁTICA
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN NUESTRA VIDA DIARIA
Los conos de seguridad sirven para la señalización vial, representando un elemento de
seguridad para transeúntes o conductores. Asimismo, sirven para indicar desvíos, pozos,
obras en caminos, calles y carreteras; debiendo tener como mínimo una altura de 47,5 cm.
Estos conos pueden fabricarse de diversos materiales como goma, plástico, PVC, entre otros
materiales que permitan soportar el impacto evitando que se dañen los vehículos o dañen a
otros. Los conos de mayor tamaño son empleados cuando el volumen de tránsito, velocidad
u otros factores lo requieren. Los conos de seguridad son de color naranja y en las noches
deben ser reflectantes o equiparse con dispositivos luminosos para que tengan buena
visibilidad.
1. ¿Qué función tienen los conos en las imágenes observadas?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿En tu escuela utilizan los conos de seguridad? Da ejemplos concretos.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. ¿Qué tipos de conos representan estos sólidos geométricos que son utilizados para la
señalización vial?
2 | P á g i n a
MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4
_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4. La municipalidad ha adquirido conos de seguridad de color naranja de 48cm de altura
y los diámetros de la base mayor y menor son 36cm y 8cm respectivamente, para el
desvió del tránsito deben de tener una banda reflexiva de 10cm aprox. de ancho.
¿Cuál es la superficie cubierta por la banda reflexiva?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Aprendemos:
Respecto a la situación planteada “Sólidos geométricos de revolución en nuestra vida
cotidiana”, se observa que en nuestro entorno encontramos cuerpos geométricos de
diferentes formas, como son los sólidos de revolución cono y cilindro, los cuales muchas
veces son truncados con una determinada finalidad. De ellos, podemos calcular su área y
volumen, asimismo, obtener su desarrollo y las proyecciones en tres vistas: de frente, de
arriba y lateral.
CUERPOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS
TRONCO DE CONO El tronco del cono recto o cono truncado recto es una
superficie de revolución generada al girar un trapecio
rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases.
También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte
que tiene el vértice del cono.
Tronco de cono
Gira 360°
3 | P á g i n a
MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4
Áreas y volumen de un cono truncado
Área lateral de un cono truncado
Área de un cono truncado
Volumen de un cono truncado
TRONCO DE CILINDRO O CILINDRO TRUNCADO
El tronco de cilindro es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución por un plano
no paralelo a sus bases.
Área y volumen de un cilindro truncado
Área lateral de un cilindro truncado
Donde:
R: Radio de la base mayor
r: Radio de la base menor
h: Altura
g: Generatriz
Tronco del cilindro
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 + 𝑟 𝑔
𝐴𝑇 = 𝜋 𝑔 𝑅 + 𝑟 + 𝑅2 + 𝑟2
𝑉 = 1
3𝜋 ℎ 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 𝐺 + 𝑔
4 | P á g i n a
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Área del cilindro truncado
Volumen del cilindro truncado
Analizamos
1. Los estudiantes de quinto grado realizan un proyecto de investigación sobre el volcán de
la región. Para ello, representan sus medidas en una maqueta a escala de 1: 2000,
tomando en cuenta la siguiente información: Diámetro del cráter de 840m, diámetro de la
base del volcán de 1800m y el ángulo de inclinación del volcán de 37°. Para la
elaboración del tronco de cono utilizaron arcilla de color marrón y para la chimenea, la
cual tiene forma de cilindro, utilizaron arcilla de color naranja, tal como se muestra en la
figura. Ayuda a determinar a los estudiantes en cuánto excede la cantidad de arcilla de
color marrón a la arcilla de color naranja utilizada en la elaboración de la maqueta.
Área
lateral
Área de
la elipse
Área del
círculo
Donde:
R: Radio del círculo
G: Generatriz mayor
g: Generatriz menor
a: Semieje mayor
b: Semieje menor
𝐴𝑇 = 𝜋 𝑅 𝐺 + 𝑔 + 𝜋𝑅2 + 𝜋𝑎𝑏
𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐺 + 𝑔
2
5 | P á g i n a
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RESOLUCIÓN
A partir de la escala 1: 2000, determinamos las medidas que se utilizan en la elaboración
de la maqueta.
Diámetro del cráter: 4 =
2 = 42
Diámetro de la base del volcán: 1800 = =
Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.
Calculamos:
Volumen de la cantidad de arcilla color naranja
Volumen de la cantidad de arcilla color marrón
= 2ℎ =
ℎ 2 + 2 + . 2ℎ
h
AB
C
6 | P á g i n a
MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4
La cantidad de arcilla de color marrón excede a la cantidad de arcilla de color naranja en
___________________
2. Se quiere elaborar cuñas de acero en forma de cono truncado con un agujero central que
sirva para ajustar los torones que son alambres de acero enrollados helicoidalmente
empleados en la construcción de puentes, entre otros. Las cuñas se elaboraran a partir
de un cono recto cuya altura mide 12cm y el radio de su base 12 cm. Se taladra un
agujero cilíndrico de diámetro 6cm en el cono a lo largo de eje, resultando un sólido
como el que se muestra en la figura. Calcular el volumen de la cuña.
RESOLUCIÓN
Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.
Torón
7 | P á g i n a
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Por semejanza de conos:
(
) (
)
Entonces todos sus elementos homólogos son
proporcionales.
Razón de sus bases:
= =
1
4
Entonces:
= =
Establecemos la relación entre el volumen del Cono MBN y el cilindro, cuyas base son
iguales:
=
.
. 3ℎ
=
1
Comparamos volumen total con el volumen de las partes:
= + +
64V =
Luego: =
32. 1 =
Entonces: 64V =
64V = ________
V = ________
Reemplazamos en el :
= 54
𝑉
𝑉=
ℎ
ℎ =
𝑟
𝑅 =
𝑔
𝑔
En Conos semejantes se cumple:
h
8 | P á g i n a
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El volumen del sólido es ___________________________
3. Los niños desde muy pequeños son estimulados con actividades lúdicas, con
rompecabezas, piezas de madera de encajes, para armado de casas, carros y otros
objetos, que permitan desarrollar la imaginación y creatividad de los niños. En este
sentido un diseñador de estos materiales propuso la elaboración de una nueva pieza
como se muestra en la figura. Representa las vistas de frente (proyección vertical), de
arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral) de esta nueva pieza.
4. Los estudiantes en el área de EPT elaboraron un porta cuchillos con
la forma de tronco de cilindro, utilizando un pedazo de madera
forrado de una lámina de aluminio, como se muestra en la figura.
a) Calcular el volumen de la madera, si el diámetro de la
circunferencia es 10 cm.
RESOLUCIÓN
Ubicamos los datos en el gráfico.
El volumen del tronco de cilindro es:
20cm
15cm
Vista de frente
Vista de arriba
Vista lateral
𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐻
9 | P á g i n a
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Calculamos el volumen reemplazando los datos en la fórmula:
b) Si los estudiantes elaboran 8 porta cuchillos con las mismas características, ¿cuántos
centímetros cuadrados de láminas de aluminio se necesita?
RESOLUCIÓN
Reemplazamos los datos en la fórmula:
El área lateral de un porta cuchillos es ________________
Como se elaboran 8 porta cuchillos serán necesarias ________________________
𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐺 + 𝑔
2
La altura (H) del tronco de cilindro es el segmento que
une el centro de la elipse con el centro de
circunferencia.
Como se observa en el grafico la altura es la base
media del trapecio ABCD. 𝐻 = 𝐺+𝑔
2
Entonces el volumen del tronco de cono es:
GgH
B
C
DA
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 𝐺 + 𝑔
10 | P á g i n a
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Practicamos
1. Relaciona cada sólido geométrico con su respectivo desarrollo.
2. El profesor de arte realiza el taller de dibujo técnico con la finalidad de reforzar la
orientación espacial de sus estudiantes, para ello propone a sus estudiantes que a partir
del sólido geométrico mostrado realicen la vista de frente (proyección vertical), de arriba
(proyección horizontal) y lateral (proyección lateral). Según tu apreciación ¿cómo serían
las vistas del sólido mostrado?
11 | P á g i n a
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Vista de Frente Vista de arriba Vista latera
3. Existen diversos tipos de tuberías las cuales se adaptan a la necesidad de cada
industria, así también existen diversos tipos de accesorios y conexiones específicas para
éstas. Dentro de esta gama se encuentra el HF dúctil en modelo T de fierro fundido como
se muestra en la figura. Del siguiente accesorio construye la vista de frente (proyección
vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral).
Vista de Frente Vista de arriba Vista lateral
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4. En la clase de Historia, Geografía y Economía, el profesor Christian mostró unas
cerámicas de las culturas incaicas, como se muestra en la figura. “Algunas de estas
cerámicas se pueden construir a partir de la rotación de una región en el plano”,
manifestó un estudiante. Según la afirmación del estudiante, ¿cuáles son las cerámicas
que cumplen la condición manifestada por el estudiante?. Represéntalo en la cuadrícula
mostrada.
Pieza automotriz
Un mecánico automotriz diseña piezas que permiten la generación y transmisión del
movimiento en sistemas automotrices, como se encuentran en los vehículos de tracción
mecánica. En tal sentido, diseña dos piezas automotrices de acero, a partir de la rotación de
la región del plano alrededor del eje M y N, como se muestra en la figura.
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Con esta información responde las preguntas 5 y 6.
5. Representa los sólidos de revolución al rotar en cada uno de los ejes.
6. ¿Cuál es la relación entre el volumen de sólidos geométricos generados por M y N?
a)31/17 b)10/17 c) 8/15 d) 15/31
LA FÁBRICA DE MERMELADAS
Los dueños de una fábrica de mermeladas de aguaymanto desean incrementar sus ventas,
promocionando su producto en nuevos tamaños de recipientes con etiquetas novedosas,
para lo cual, le presentan dos propuestas de diseños de recipientes como se muestra en la
imagen.
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Envase 1
Envase 2
Con esta información responde a las preguntas 7 y 8.
7. ¿Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad?
a) Envase 1= 144
b) Envase 2 = 296
c) Envase 1 = 48
d) Envase 2 = 98,67
8. Si en cada recipiente la etiqueta cubre toda la superficie lateral, ¿en cuál de los dos
envases se emplea la mayor cantidad de etiquetas?
a) Envase 2 = 96,72 2
b) Envase 1 = 48 2
c) Envase 2 = 56,42 2
d) Envase 1 = 24 2
9. En la heladería “Sabores Naturales”, los vasos de helado tienen como
medida: 6cm de profundidad, 8cm de diámetro superior y 6cm de
diámetro inferior. Si se colocan en el vaso tres porciones de helado de
forma esférica, cuyo diámetro es 6 cm y el helado se derrite dentro del
vaso, ¿este se rebasará?¿Por qué?
l
a)
b)
c) =
d) = 34
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10. Una banda de músicos ha adquirido tres ashikos,
instrumentos de percusión de forma de cono truncado, cuyas
dimensiones son de 40 centímetros de alto por 26 centímetros
de diámetro superior y 8 centímetros de diámetro en la boca
inferior. ¿Cuántos centímetros cuadrados de tela con diseños
incaicos serán necesarios para cubrir el contorno de los tres
ashikos? Considerar = 3,14
a) 6565,74 2
b) 6405,60 2
c) 2188,58 2
d) 248,06 2
11. La IE ha recibido una donación de 30 macetas en forma de
cono truncado para su proyecto “Arborizando y oxigenando mi
medio ambiente”. Los radios de las bases de estas macetas
miden 9 cm y 27 cm respectivamente, y su generatriz 30 cm;
si se llenará la ⅔ partes de la generatriz de la maceta con
tierra preparada ¿Cuántas bolsas de 5kg serán necesarios
para habilitar todas las macetas?
a) 3 bolsas
b) 11 bolsas
c) 71 bolsas
d) 72 bolsas
12. ¿Cuál de las figuras se pueden armar al plegar el siguiente desarrollo?
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Jóvenes emprendedores
Los estudiantes de la IE Miguel Grau en el área de Gestión empresarial elaboran lámparas
en forma de cono truncado con papel reciclado, colocando un armazón de alambre, como
base para el bombillo, en la mitad de la altura del cono truncado.
Con esta información responde las preguntas 13 y 14.
13. ¿Cuántos centímetros de papel reciclado se requiere para la confección de la pantalla, si
se considera una pestaña rectangular de 2cm en uno de sus extremos, y sus radios
miden 8,5cm y 15,5 cm?
a) 50(12 +1)cm
b) 24(24 +1)cm
c) 25(23 +2)cm
d) 175 cm
14. ¿Cuántos centímetros de alambre se requiere para el armazón del bombillo, si los radios
están en relación de 1 a 6?
a) 28 cm
b) 88 cm
c) 2(14 -30)cm
d) 4(7 +15)cm
15. En el parque municipal de la comunidad se van a instalar tachos de basura y se tienen
dos modelos como se muestra en la figura. El alcalde desea saber cuál de los dos
modelos será más conveniente adquirir en relación a su capacidad. Ayuda al alcalde a
determinar cuál de los tachos tiene la mayor capacidad.