Matemática 9 pdf

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Matemáticas 9°

2. A continuación se presentan varias preguntas con cuatro posibles respuestas, marque con una (x) la respuesta correcta:

2.1. El producto notable (x+a)2 es igual a:a) _____ x2 + a2 b) _____ x2 + 2ax c) _____ x2 + 2ax + a2 d) ____ x2 - 2ax + a2

2.2. El producto notable (x + y)3 es igual a:a) _____ x3 + y3 b) _____ x2 + y3 c) _____x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 d) ____ x3 - y3

2.3. Es característica de un producto notable del cubo de una suma:a) Tiene tres términos.b) Todos sus términos están elevados al cuadrado.c) El segundo término es el doble del primero por el segundo.d) El primero y el último término están elevados al cubo.

3. Factoriza las siguientes expresiones por cualquiera de los modelos estudiados:

EJERCICIOS

a) 3a2b + 3ab2 b) 24xmn2 - 36nx3n2 c) x2/25 - y2/16

d) 4x2a + 2a2x + 8ax e) 4x3 - 12x2 + 8x6 f ) x3 + x2 + x

g) 3x4 + 6x3 + 18x2 + 9x h) 1/2x3 - 6x9 + 3/5x6 i) x2 + 4x + 4

j) 3x + x k) x2y2 + xy2 l) x2 + 2x + 1

m) x - 2x + x2 n) 1 - 2x/3 + x2/9 ñ) 5x + 16y + 4xy

o) a2 - ab + ab2 p) 9 - 30x + 25x2 q) 16 + 24x + 9x2

r) x2y + xy2 s) x2 - 4 t) (x - y)2 - z2

u) 4x3 - 12x2 + 8x6 v) 16/100n2 - 9/49 w) x3 + y3

x) 25x3y2 + 5xy y) 64t2/81 - 1 z) x3 - y3

1. Decide cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a) La única manera de obtener el resultado de un producto notable es efectuando la multiplicación indicada. ( )

b) El resultado de un producto notable se puede obtener directa-mente sin efectuar la multiplicación indicada. ( )

c) El producto notable (x + y)3 es igual a x3 + y3 ( )

d) Por medio de la factorización de polinomios se transforma un polinomio dado en un producto de polinomios de menor grado. ( )

M A T E M Á T I C A S9˚ Semestre

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Matemáticas 9° Matemáticas 9°

Estudiemos un último caso de factorización de polinomios. Vamos a factorizar por agrupación de tér-minos. Recuerden cuándo dos o más términos son semejantes y como operar con ellos.

Ejemplos:a) 3x + 3y + ab + acb) 5y + zu + 5u + zy

Veamos otros ejemplos:

Profesor, se nota que en este último modelo de factorización se asocian los términos que tengan algún factor común.

¡Claro!, si no hay términos con algún factor común no se puede hacer nada.

Es posible encontrar una factorización doble, es decir, que después de haber factorizado aparezcan otros términos con un factor común, tal es el caso del ejemplo: 5y + zu + 5u + zy

FACTORIZACIÓN (CONTINUACIÓN)

En general:

Para factorizar un polinomio por agrupación de términos se asocian los tér-minos con un factor común y luego se factoriza.

7x + 7y + 5a + 5b = 7.(x + y) + 5.(a + b)

3x - 4y -4x + 3y = 3x - 4x - 4y + 3y = x(3 - 4) + y(3 - 4) = (3 - 4) . (x + y)

ACTIVIDADES

1) Factorizar los siguientes polinomios:

a) 7x + 7y + 5a + 5b b) m2 + mn + na + ma c) (x + y - 1) (x2 + 1) - x2 - 1

d) 3x - 4y + 3y - 4x e) (x + 1).4 + (X + 1).15 f) 7x + 7y + 5a + 5b

g) x2 - a2 - a2x + x h) x( x + 1) -1 - x i) (x + 3) . ( a + b) + (x - 3) . (a + b)

5y + zu + 5u + zy = 5y + zy + zu + 5u

= y.(5+z) + u.(z+5)Primera factorización

= (5+z). (y+u)Segunda factorización

Derechos de autor:Fe y Alegría Venezuela

Coordinación General:Comisión Nacional de Educación: Carlos KrischComisión Nacional de Radio: Gerardo LombardiCoordinación de Educación Oficina Nacional: Iris Mirabal

Diseño Instruccional:Anibal Carrasquel

Revisión:Oficina Nacional

Diseño y Diagramación:Departamento de Diagramación

3x + 3y + ab + ac

factor común

factor común

(3x + 3y) + (ab + ac) = 3(x+y) + a(b+c)

5y + zu + 5u + zy = 5y + zy + zu + 5u

= y.(5+z) + u(z+5)

= (5+z). (y+u)

Editado por:

Instituto Radiofónico Fe y Alegría.Oficina NacionalCalle 3 B, Edificio Fe y Alegría C2. 07, Piso 2. La Urbina. Caracas - Venezuela. 1073. DC.

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a) x2 + 4x + 4 = x2 + (a + b) x + a. b4 = 2 + 2 = 2 . 2 a = b = 2x2 + 4x + 4 = (x + 2) . (x + 2) = (x + 2)2

b) x2 + 7x + 10 = x2 + (a+b)x + a.b5 + 2 = 7 y 5 . 2 = 10 a = 5 y b = 2x2 + 7x + 10 = (x + 2) . (x + 5)

c) x2 - 6x + 8 = x2 + (a+b)x + (a.b) -4 + (-2) = -6 y (-2) . (-4) = 8 a = -2 y b = -4x2 - 6x + 8 = (x - 2) . (x - 4)

Continuemos estudiando los casos de factorización. Ahora le toca el turno al trinomio de la forma x2 + bx +c; recuerden que hay un producto cuyo resultado nos da un trinomio de la forma antes mencionada, es decir, (x + a) . (x + b)

Factoricemos el polinomio x2 + 3x + 2

Hagamos otros ejemplos:a) x2 + 4x + 4b) x2 + 7x + 10c) x2 - 6x + 8

ÍNDICE Pág.

Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4¿Qué sabemos de Matemáticas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Propiedades de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Resolución de ecuaciones (Método Directo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Resolución de problemas con ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Las Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Funciones Notables en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Clasificación de Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Los Polinomios y sus características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Otros casos de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Expresión polinómica de un número natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Sustracción de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Propiedades de la suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Propiedades de la multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41División de polinomios (otras consideraciones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Me encantan esas preguntas muchachos. Para saber cuáles son esos dos números (a y b), debemos tomar en cuenta lo siguiente:


1. Practicar estos ejercicios2. Tomar en cuenta la ley de las opera-

ciones con los signos:( + ) + ( + ) = + ( + ) . ( + ) = + ( _ ) + ( _ ) = _ ( _ ) . ( _ ) = +( _ ) + ( + ) = ± ( _ ) . ( + ) = _

( + ) + ( _ ) = ± ( + ) . ( _ ) = _

En general:

Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, se buscan dos números racionales, tal que, su suma sea igual al coeficiente de x y su producto sea igual al término independiente, es decir, x2 + bx + c = (x +d) . (x + e), donde b = e + d y c = e.d

ACTIVIDADES

1. Halla a y b en los siguientes casos:

a) a + b = 5 y a . b = 6 b) a + b = -8 y a.b = 15 c) a + b = 6 y a.b = -7 d) a + b = -3 y a.b = -40

2. Factoriza los siguientes polinomios:

a) x2 + 6x + 5 b) x2 - 8x + 16 c) x2 + 10x - 24

x2 + 3x + 2 = x2 + (a+b) x + a.b

2+1= 3 a=2

2.1= 2 b=1

x2 + 3x + 2 = (x+a) . (x+b) = (x+2) . (x+1)

Profesor, pero ¿cómo hace-mos para hallar esos números? y ¿como hizo para hallar -2 y -4?

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(x2 - a2) = (x + a) . (x - a)(y2 - 25) = (y+5) . (y - 5)(9x2 - 36) = (32x2 - 62) = (3x)2 - 62

= (3x+6).(3x-6)(1/4x2 - 1/9) = (1/2)2x2- (1/3)2

= (1/2x+1/3).(1/2x-1/3)

Hay polinomios cuya factorización se realiza empleando procedimientos dife-rentes a los estudiados, tal es el caso de polinomios que son diferencias de cua-drados. Ejemplos: (x2 - a2) y (y2 - 25). En estos casos se factoriza empleando el producto de una suma por su diferen-cia, es decir, (x + a) . (x - a). Hagamos un ejemplo.

Claro, muchas veces hay que transformarlo previamente.

Vamos a hacer otro ejemplo

Bueno señores, bienvenidos a este nuevo curso de matemá-ticas. Espero que este curso, al igual que los anteriores, sea de mucho provecho.

¿Este curso durará lo mismo profe?

¡Claro! Ni una semana más, ni una semana menos


En general tenemos:

La factorización de un polinomio de la forma diferencia de cuadrados se expresa a través de un producto de una suma de dos términos por su diferencia, es decir x2 - a2 = (x + a) . (x - a)

ACTIVIDADES

1. Escribe en forma de cuadrados las siguientes expresiones:

a) 27 b) 36 c) 49 d) 81 e) 100 f) 121 g) 144 h) 169 i) a4 j) a6

k) a8 l) a10 m) a12 n) a14 ñ) a16 o) a18 p) a20 q) a4b4 r) a4b6 s) a6b8

t) a8b6c10 u) a8b10c12 v) a10v12c14d16 w) a12b16c14 x) a16b18c20 y) a20b22c24

2. Factoriza los siguientes polinomios.

a) x2 - 4 b) a2 - 9 c) 9x2 - 16 d) 36x4 - 49x6 e) 27x8 - 81x12 f) 121a24b16x8 - 4/36b14

RECOMENDACIONES

Antes de entrar en materia, quiero recordarles algunas recomendaciones que les hice en semestres anteriores.

Las Matemáticas, como ustedes saben, son parte de nuestra vida misma. Muy difícilmente podríamos prescindir de su aplicación en continuas y diversas ocasiones de nuestro devenir.

Cuántas veces echamos mano del cálculo aritmético cuando vamos al mercado. Cuando al comprar algo en el comercio pagamos su importe y recibimos el vuelto. Cuando entregamos en un transporte y abonamos el pasaje, etc., etc.

Y si las Matemáticas son parte de nuestra vida, ¿por qué los estudiantes sienten tanta aversión hacia ella?

No les quepa la menor duda, amigos, que las Matemáticas son una ciencia formadora de mentes, pues nos hacen pensar, reflexionar y concluir ante infinidad de problemas que se nos presentan a diario.

Yo diría que, estudiar es una necesidad si deseamos superarnos en la vida y no queremos quedarnos atrás ante los demás.

Estudiar es pues, algo tan necesario hoy en día, que si no lo hacemos, corremos con el peligro de quedarnos marginados.

4 = 2 . 2 = 22

9 = 3 . 3 = 32

1/4 = 1/2 . 1/2 = (1/2)2

1/9 = 1/3.1/3 = (1/3)2

x4 = (x.x) . (x.x) = x2 . x2 = (x2)2

X6 = x3 . x3 = (x3)2

9x2 - 16 = 32x2 - 42 = (3x)2 - 42 = (3x+4) . (3x - 4)

4/25y2 - 100 = 22/52y2 - 102

= (2/5)2y2 - 102 = (2/5 . 2y)2 - 102 = (2/5y + 10) . (2/5y - 10)

Profesor, pero casi nunca se presentan de forma directa.

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Bien, sabiendo lo que es factorización, comencemos a estudiar sus diferentes casos:

Estudiemos el primer caso:Factorización por factor común. A continuación realizaremos un

ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x

2.3 2.2 factor común (2)

P(x) = 6x5 - 4x2 factor común (x2)

6x5 - 4x2 = 2x2 (3x3 - 2)

P(x) = 2x3 + 5x1. Identificamos el o los factores comunes a ambos términos con su menor exponente.

factor común2x3 + 5x

2. Dividimos entre x cada término del polinomio, y el polinomio resultante lo multi-plicamos por x.(2x3/x + 5x/x).x = (2x2.x/x + 5x/x).x =x.(2x2 + 5)

2x3 + 5x = x.(2x2 + 5)

Profesor, no entiendo eso de multiplicar y dividir por x.

FACTORIZACIÓN

En general:

Para factorizar un polinomio aplicando el procedimiento anterior, dividimos dicho polinomio entre el factor común, luego lo expresamos como producto del cociente obtenido por el divisor.

Elemplo: 3x2 + 8x factor común = x

(3x2 + 8x)/x = 3x + 8 cociente 3x2 + 8 = x(3x + 8)


ACTIVIDADES

1. Identifica los factores comunes en los siguientes polinomios:

a) 3a2b + 3ab2 b) 4x2a + 2a2x + 8ax c) 3x4 + 6x3 + 18x2 + 9x

2. Factoriza los siguientes polinomios:

a) P(x) = 3x3 + 2x2 - 5x b) Q(x) = a2b3x4 + a3b2x3 - 5a6b3x4 c) 3x3 - 2x2 + x d) x5 - 2x + x

1. Factorización por factor común

2. Diferencias de cuadrados

3. Trinomio de la forma x2 + bx + c

4. Por agrupación de términos semejantes

Pero, el estudio debe ser racional, metódico y nada com-pulsivo. De ahí que, debamos de tener presente que sólo con ponderación, serenidad y constancia llegamos a asimi-lar materias por difíciles que nos parezcan.

Para ello, emplea lo que tantas veces te hemos sugerido: “método”. El estudio, bien sea de Matemáticas o de cual-quier otra asignatura, lo podemos realizar en dos momen-tos: en la casa y en el Centro de Orientación.

En la casa:- Lee los temas que vamos a estudiar en el Centro de

Orientación e intenta entenderlos; de esta forma aprovecharás mejor el tiempo en la clase presencial.

- Habrá veces que no entendamos una frase, un párrafo o una oración por desconocer el significado de una palabra clave; en tal caso, ten siempre un buen dic-cionario a mano.

Es muy posible, además, que tengas vecinos que estu-dien en niveles superiores al tuyo. Trata de averiguarlo porque te podrían servir de gran ayuda, siempre y cuando no trates de utilizarlos con exigencias.

Un buen compañero, te puede ayudar y sacar de más de una duda, si sabes escogerlo. Este debe tener, naturalmente, las mismas afinidades e inquietudes que tú: “ deseos de superación”.

- Elabora un horario de estudio. Ésto te va a permitir organizar tus actividades estudiantiles.

- Muchos tendemos a dejar todo para el último momento, ésto nos genera tensiones y sobresaltos que nos perjudican a la hora del examen. «No dejes para mañana lo que puedes hacer hoy».

- Algo importante que debes saber; nuestra memoria tiene dos estados o niveles: uno temporal y otro permanente. Lo que oímos o vemos en una clase, en una conversación, en una charla, etc., se registra en primer lugar en la memoria temporal; si no lo repasamos o reforzamos, gran parte de ese conocimiento desaparece. ¿Cuál sería entonces la recomendación en ese caso? Senci-llamente, reforzar de manera permanente lo aprendido en el Centro de Orientación para pasarlo a la memoria permanente.

En el Centro de Orientación:- Intervenir en clase para preguntar y aportar opiniones y sugerencias.- Tomar apuntes de las notas adicionales del esquema.- Participar en las diferentes estrategias de animación aplicadas en clase.

Como norma general. a la hora de una prueba debemos ser honestos con nosotros mismos. Si no sabemos, es mejor no contestar nada, ya que si nos copiamos corremos el riesgo de que la respuesta del vecino esté mala y que no aprendamos nada, lo cual nos dejaría indefensos a la hora de proseguir los estudios o no conseguir trabajo, que es lo peor que nos puede pasar.

Eso es debido a lo siguiente como la división y la multiplicación son dos operaciones inversas, al dividir y multiplicar un número por otro éste no se altera. Ejemplo: x = 2.x/2

Hay una forma directa de factorizar:Factorizar P(x) = 6x5 - 4x2 Pongan atención.

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¿Factor izar?, suena como difícil, profesor.

Bueno, muchachos, ya sabemos casi todo acerca de los polinomios, recuerden practicar mucho este tema ya que es la única manera de dominarlo. Vamos a estudiar un tema que tiene mucha relación con los polinomios, se trata de la Factorización.

Profesor, pero ¿cómo se factoriza un polinomio?.

Bueno, cuando estudiamos la multiplicación en los semestres anteriores vimos algo de eso.

¡Qué va, muchachos!, factorizar es senci l lamente converti r una expresión matemáticas en factores. ¿Recuerdan ustedes lo que es un factor?

Veamos al pizarrón.Factor izar un pol inomio, de

acuerdo a los ejemplos hechos, es expresarlo como producto de varios polinomios.

Así es. Los factores en la expresión 2 . 4 = 8, son 2 y 4Los factores en la expresión 3 . 5 = 15, son 3 y 5.

Tranquilos, analicemos algunos conceptos referentes a este tema.

Así como un número se puede expresar como producto de dos o más factores, un polinomio se puede expresar de igual manera. Pongamos atención; factorizar los polinomios

P(x) = 4x3 y Q(x) = 5x2 + 2x

FACTORIZACIÓN

En los semestres anteriores tuvimos la oportunidad de estudiar temas básicos del cálculo matemático. En el 7° nos centramos en el sistema numérico decimal, las operaciones básicas, los diferentes conjuntos de números, entre otros temas considerados fundamentales. En el 8° nos ocupamos de los números decimales con sus respectivas operaciones, las fracciones y aspectos básicos de Geometría, para entender y resolver problemas de superficie y volumen.

Vamos a estudiar un tema bastante diferente, el cual pertenece a otra área de las Matemáticas, como es el Álgebra.

El Álgebra es la rama de las Matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces, entre otras.

Como los temas que vamos a estudiar tienen relación con el Álgebra, veamos qué sabes tú de este tema.

1. Responde brevemente cada uno de los siguientes planteamientos:

a. ¿Qué diferencias hay entre el Álgebra y la Aritmética?

b. ¿Qué tienen en común el Álgebra y la Aritmética?

c. ¿Qué es una ecuación?

d. ¿Qué significa la palabra “monomio”?

e. ¿Cómo se representa una variable?

f. ¿Qué significa la palabra “polinomio”?

¿QUÉ SABEMOS DE MATEMÁTICAS?

FACTORES

Factor común

4x3 se puede expresar como:

4x3 = 2.2.x.x.x

5x2 + 2x5.x.x + 2.x = x.(5x + 2)

ACTIVIDADES

1. Factorizar los siguientes polinomios.

a) P(x) = 4x5a2b3 b) Q(x) = 8x5y4b2a3

2. Identifica los factores comunes en los siguientes polinomios:

a) P(x) = 4x2a + 2xa b) Q(x) = 5x4a2b - 15x6 yb

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2. Coloca en el recuadro en blanco los números que faltan.

a) 45673 + 7893,8 = b) 38967 + = 72456

c) + 5674 = 6124 d) 258 - 345,3 =

e) 1245 - = 580 f ) - 564 = 486

g) 45 × 7 = h) × 345 = 1800

i) 34 × ( 21 + 4) = j) 3/6 + 4/7 =

k) 8/5 - 6/7 = L) 7/8 + 3/7=

3. ¿Qué valor toma x en las siguientes expresiones?

a) x + 5 = 10 b) 8 - 3 = x c) x - 9 = 3

d) 14 - x = 6 e) 6 + 7 = x

4. ¿Cuáles son las variables en las siguientes expresiones?

a) x2 + 5x + 7 = 8 b) 3x - 2y = 6z c) 5y2 + 3xyz - 8z = 2x

5. ¿Qué es un producto?

6. Expresa en forma de producto las siguientes cantidades:

a) 8 b) 12 c) 28

d) 36 e) 72 f ) 124

g) 725 h) 820 i) 126346

7. ¿Qué es un factor?

8. Escribe verdadero (V) o falso (F) según sea el caso:

a) La expresión x4 se lee: “x al cuadrado”. ( )

b) La expresión a2 se lee: “a la dos”. ( )

c) En la expresión ax, a es el coeficiente. ( )

d) La expresión x + 3 > 5 es una ecuación. ( )

e) Un monomio es un polinomio de dos términos. ( )

8. Explique el desarrollo del producto notable del cuadrado de una diferencia.

9. Explique el desarrollo del producto notable de una suma por su diferencia.

10. Hallar el producto notable en cada caso:

a) (x2 + 3) . (x2 - 3) b) (1 + xy) . (1 - xy) c) (-xy2 + ab) . (-xy + ab)

11. Complete el siguiente cuadro resumen:

7. Complete la siguiente tabla:

EXPRESIÓN PRIMER TÉRMINO SEGUNDO TÉRMINO

(x/3 + 2x)2

(3x/3 - 3/5)2

(n/2 - 2b/x)2

(x + y) . (x - y)

(x + 1/2) . (x - 1/2)

PRODUCTO DESARROLLO

a) El cuadrado de la suma de dos cantidades: (x + a)2

b) El cuadrado de la diferencia de dos cantidades: x2 - 2ax + a2

c) El producto de una suma por su diferencia:

d) El producto de dos binomios con un término igual:

e) El cubo de una suma:

f ) El cubo de una diferencia: (x - a)3

EJERCICIOS EJERCICIOS

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La diferencia entre Aritmé-tica y Álgebra es la siguiente: observen el recuadro que les traje preparado.

Bueno, muchachos, ya estudiamos algunos temas relacionados directamente con el Cálculo y la Geometría. En este curso vamos a trabajar en otra rama de las Matemáticas: el Álgebra.

¿Y cuál es la diferen-cia entre Álgebra y la Aritmética, profesor?

1. Dadas dos columnas A y B, (con expresiones algebraicas), coloque dentro del paréntesis de la columna A el número que le corresponde de la columna B.

Columna A Columna B

1) a4 - b4 ( ) 1) x2 - b2

2) x2 + 2ax + a2 ( ) 2) (a2 + b2) . (a2 - b2)

3) (x - b) . (x + b) ( ) 3) (x + 3) . ( x + 4)

4) (y - 5) . ( y + 2) ( ) 4) (x-7) . (x+7)

5) x2 - 2bx + b2 ( ) 5) ( x + a)2

6) x2 + 7x + 12 ( ) 6) y2 - 3y - 10

7) x2 - 49 ( ) 7) (x - b)2

2. Complete el desarrollo de los siguientes productos notables.

3. Efectúa los siguientes productos notables:

a) (x - 5) . (x + 5) b) (3x + 1/2) . (3x - 1/2) c) (x/8 - y)2 d) (4x + 7)2

e) (6x + 7) . (6x + 3) f ) (2ab3 - y) . ( 2ab3 +y) g) (2a + 3z)2 h) (4b2 + 3ab3)2

i) (x2/y + 1/3)2 j) (1/3x2 + 2x2y/a)2 k) (a3 - b3)2 l) (h - y)2

m) (2y2 - 4xy2)2 n) (2xy/a2b - 3a2bxy)2

4. Realice un resumen de los conceptos acerca de los productos notables estudiados.

5. Plantee tres ejemplos de productos notables.

6. Desarrolle los siguientes productos notables:

a) (x + 4)3 b) (x + 7)3 c) (2/3a + 8)3 d) (1/2x + 3/4)3 e) (2x + 3)3

f ) (x + 5)3 g) (2x + 3) h) (x + 2/3)3 i) (3x + 5)3 j) (5x + 2)3

k) (x - 2)3 l) (x - 5)3 m) (2a - 3)3 n) (1/2x - 3)3 ñ) (y2 - 1)3

o) (x2 + 5)3 p) (xy - x)3

El hecho de estar acostumbrados de manera cotidiana al uso del Cálculo, nos pone en desventaja al usar el Álgebra, ya que en la primera siempre nos da como resultado un número, mientras que en la última nos da otra expresión con letras y números.

Expresión Algebraica: es una expresión que representa operaciones aritmé-ticas utilizando letras y números combinados.

Otros ejemplos de expresiones algebraicas:

a) x/y = 5 b) y = 2x +b c) x2 + 4x - 8 = 0 d) 5x = 3x

Ejemplos:

Una expresión aritmética

3/5 + 4/5 = 7/5

Una expresión algebraica

2x + 4 = 5

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ACTIVIDADES1. Escribe otras expresiones algebraicas.

2. Investiga:La historia del Álgebra.

EJERCICIOS

a) (3x + 8)2 = (3x)2 + + 82 = 9x2 + +

b) (x - 2)2= - 4x2 + +

c) (2x + 3) . (2x - 3) = - (3)2= -9

d) (x - 4) . (x + 2) = + (-4 + 2)x - = -2x -

Aritmética

1. Se usan números para representar relaciones arit-méticas.

2. Casos específicos.

Álgebra

1. Se usan letras y números para representar relaciones algebraicas.

2. Casos generales.

528


9


Bueno, profe, ¿y para qué nos sirve una ecuación?, ¿qué relación tiene con nuestro acontecer diario?

Estudiemos un último caso de productos notables, se trata del pro-ducto (x + a)3 o (x - a)3

Resolvamos este producto a ver como nos queda.

(x + a)3 = (x + a) . (x + a) . (x + a) 1er término 2do término x + a x + a ax + a2

x2 + axx2 + 2ax + a2

x + aax2 + 2a2x + a3

x3 + 2ax2 + a2x creciente

x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

decrece

Profe, si el binomio es una resta, ¿cómo quedan los signos?

Un ejemplo de expresiones algebraicas son las ecuaciones.

Son ecuaciones o igualdades las siguientes expresiones…

Observen el pizarrón:

¿Ecuaciones, profe?,¿esa pala-bra qué significa?

Fíjense en el siguiente problema:La edad de Pedro más la edad

de Rosa es 54. Si la edad de Rosa es dos veces la edad de Pedro, hallar ambas edades.

Observemos el pizarrón.

Para comenzar a aclarar las cosas tengan presente que ecuación es sinónimo de igualación.

Hagamos algunos ejemplos:Resolver los siguientes productos

notables:a) (x + 3)3

b) (3x + 4)3

Bueno, aparentemente nada, pero ya van a ver que sí nos van a servir para resolver algunos problemas que tienen que ver con nuestra realidad.

Al hallar el valor de x encontramos la edad de Pedro y Rosa. En páginas posteriores estudiaremos cómo resolver una ecuación. Pero antes definamos qué es una ecuación.

Ecuación: igualdad en la que intervienen una o más letras llamadas incógnitas; es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. En la ecuación x + 2x = 54, la variable o incógnita es x, mientras que 1 y 2 son los coeficientes de la variable.

LAS ECUACIONESPRODUCTOS NOTABLES (CONTINUACIÓN)

De esta expresión se deduce lo siguiente:

El cubo de una suma es igual al primer término elevado a la tres, más el primer término elevado a la dos por tres por el segundo, más el primer término por el segundo elevado a la dos por tres, más el segundo término elevado a la tres, es decir, (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

ACTIVIDADES

1. Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (3x + 2)3 b) (2x + x2)3 c) (1/2x + 3b)3 d) (3/2x2 + b)3 e) (1/3x + b2)3 f) (1/4x - b/2)3

g) (1/3x + b)3 h) (5x - 3)3 i) ( x + 3y )3 j) (7x - 4)3 k) (3/5x - z)3 l) (4/7x -9)3

ACTIVIDADES

1. Escriba otros ejemplos de ecuaciones.

2. Investigue algunos problemas que se resuelven aplicando ecuaciones.

a. (x + 3)3 = x3 + 3 . 3 x2 +3 . 32 x + 33

= x3 + 9x2 + 27 x + 27

b. (3x + 4)3 = (3x)3 + 3.4 (3 x)2 + 3. 42. 3x + 43

= (33 x3) + 3.4 . 32. x2 + 3. 42. 3x + 43

= 27x3 + 108x2 + 144 x + 64

Si quieren saber cómo quedan los signos para la dife-rencia elevada al cubo, los invito a que hagan el producto (x - a) . (x - a) . (x - a), recuerden que deben multiplicar (x - a) . (x - a), y el resultado multiplicarlo por (x - a)

Edad de pedro = xEdad de Rosa = 2x

x + 2x = 54

1er miembro 2do. miembrolado izquierdo lado derecho

2x = 63x + 4 = 135 + x = 3x -2

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11


(x + a) . (x+b) término común 2do término x + a x + b bx + ab

x2 + axx2 +bx + ax + a.b = x2 + (a+b)x + a.b

sumaproducto

a) (x + 6) . (x - 7) = x2 +[6 + (-7)]x + 6 . (-7) = x2 -1x - 42b) (x - 8) . (x + 5) = x2 +[(-8)+5]x + (-8) . 5 = x2 -3x - 40c) (x + y) . (x +z) = x2 +(z+y)x + zy

z z

Hagamos otros ejemplos donde se comprueben las propiedades anteriores. Vamos al pizarrón.

Me gusta que lo pregunten. La suma algebraíca es un tema visto en semestres anteriores. Es, simplemente la suma com-binada de números positivos y negativos.

Bueno, ya estudiamos tres casos de pro-ductos notables. Veamos ahora como resol-ver un producto de forma directa cuando está expresado de la forma (x + a ) . (x + b)

Multipliquemos a ver cuánto nos queda.

Profesor, ¿a qué se refiere cuando dice suma algebraica?.

En forma general tenemos:El producto de dos binomios

con un término común, es igual al término común al cuadrado, más la suma algebraica de los términos diferentes; multipli-cada por el término común, más el producto de los términos diferentes; es decir, (x + a ) . (x + b) = x2 + (a+b)x + a.b

Nos podría hacer un ejemplo para refrescar la memoria.

¡Claro! pongan mucho cuidado.Resolver los productos:a) (x + 6) . (x - 7)b) (x - 8) . (x + 5)c) (x + y) . (x + z)

PROPIEDAD ECUACION VALOR DE X

1. Al sumar un número entero a ambos lados de una ecuación la igualdad no se altera, por ejemplo: +5 y -2

x + 3 = 4 1

x + (3 + 5) = (4 + 5)x +8 = 9 1

x + 3 + (-2) = 4 + (-2)x + 1= 2 1

2. Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por un número entero la igual-dad no se altera, por ejemplo: por 2 y entre 4.

x + 3 = 4 1

2 . (x + 3) = 4 . 22x +6 = 8 1

(x + 3) / 4 = 4 / 4x + 3 = 4 1

PRODUCTOS NOTABLES (CONTINUACIÓN)

Resolver una ecuación es hallar el valor de x para que la igualdad sea cierta.

Antes de abordar la forma de resolver una ecuación, estudiemos algunas propiedades que se aplican a una ecuación.

Fíjense que se cumple al efectuar cualquier operación en ambos lados de una ecuación, la igual-dad no se altera. Esta propiedad se aplica para resolver cualquier ecuación.

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES

Fíjense en lo siguiente:

a) Si los signos son negativos nos queda x2 - (a+b)x + a.b

b) Si los signos son diferentes nos queda x2 - (b-a)x - a.b

ACTIVIDADES

1. Resolver los siguientes productos notables:

a) (x + 2) . (x - 7) b) (2x + 1) . (2x -3) c) (6y + 3) . (6y - 6) d) (n - a) . (n + b)

e) (3xy + 2) . ( 3xy + 5) f) (z3 - 1) . (z3 + 2) g) (x4 - 8) . (x4 - 4) h) (x2y2 - 1) . (x2y2 + 3)

ACTIVIDADES

1. Compruebe las propiedades de las siguientes ecuaciones:

a) 2x - 6 = 8 b) 9 + 4x = 7 c) 8 = 4x d) 10 = 3x - 2

2 . x = 6 x = 31. Sumamos 2 en ambos lados

2 . x +2 = 6 + 22x + 2 = 8 x = 3

2. Multiplicando por 22 . (2 . x) = 2 . 64 . x = 12 x = 3

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Estudiemos ahora el tercer caso de pro-ducto notable. Vamos a encontrar una fór-mula para desarrollar de manera directa la suma de dos términos por su diferencia, es decir, el producto (x + a) . (x - a). Vamos a multiplicar como ya sabemos...

Profesor, ¿sólo basta con expresar el producto de forma directa? ¿no hay que multiplicar?

Hagamos otros ejemplos:Hallar los productos:a) (x + 6).(x - 6)b) (3x + y).(3x - y)

Si multiplicamos no tiene sentido la operación, porque se trata de aplicar una fórmula; por ésto es que se considera un producto notable.

¡Claro!, pero no olviden la forma de hallar el pro-ducto multiplicando.

Es decir, que tenemos que aprendernos la fórmula.

Bueno, ahora vamos a resolver algunas ecuaciones aplicando las propiedades estudiadas anteriormente.

x + 3 = 4 y x - 4 = 6.Ya dijimos que resolver una ecuación es hallar el valor de x, y para ésto sim-

plemente la despejamos. Despejar x es dejarla sola en un lado de la ecuación. Veamos cómo se

realiza. Pongan mucha atención.

x +3 = 41. Sumamos -3 a ambos miembros de la ecuación:

x + 3 + ( -3) = 4 + ( -3) (x + 3 - 3) = 4 - 32. Operamos y nos queda:

x + 0 = 1 x = 1

x - 4 = 61. Sumamos 4 a ambos miembros de la ecuación:

(x - 4 + 4) = 6 + 4 2. Operamos y nos queda:

x + 0 = 10 x = 10

PRODUCTOS NOTABLES (CONTINUACIÓN) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

(x + a) . (x - a)

x + a 1er. término x - a 2do. término - ax - a2

x2 + ax

x2 + 0x - a2

2do. término al cuadrado

1er. término al cuadrado

ACTIVIDADES

1. Resolver los siguientes productos notables:

a) (z + 1) . (z - 1) b) (x2 + 3) . (x2 - 3) c) (x - y) . (x + y) d) (3x - 3) . (3x + 3)

e) (x2y + 2) . (x2y - 2) f) (6xy3 + a) . ( 6xy3 - a) g) (x3y3 - 1) . (x3y3 + 1) h) (2a2 - 3b2) . (2a2 + 3b2)

i ) (1/5x + 2) . (1/5x - 2) j ) (3/7m2 - n2) . (3/7m2 + n2) k) (1/2x3 y 3 - 4/3) . (1/2x3y3 + 4/3)

a) (x + 6) . (x - 6) = x2 - (6)2 = x2 - 36

b) (3x + y) . (3x - y) = (3x)2 - y2

= 32x2 - y2

= 9x2 - y2

Fíjense que si en la ecuación tenemos una suma, agre-gamos un número entero negativo, y si la ecuación es una resta, sumamos un número entero positivo.

ACTIVIDADES

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x + 5 = 10 b) x + 6 = 15 c) 7 + x = 23 d) 8 + x = 12

e) x - 3 = 9 f) x - 9 = 12 g) 9 - x = 6 h) 12 - x = 7

De este resultado se desprende una regla general para cualquier producto de la forma expresada: la suma de dos términos por su diferencia es igual al primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado, es decir, (x + a) . (x - a) = x2 - a2

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En la clase anterior estudiamos la resolución de ecuaciones operando con suma y resta. Resolvamos ahora algunas ecuaciones donde se aplique la división y la multiplicación.

Resolvamos los siguientes problemas:1. La edad de Pedro por la edad de Rosa

es 54. Si la edad de Rosa es 9 ¿qué edad tiene Pedro?

2. La edad de Rafael entre la edad de José es 12. Si la edad de José es 5 ¿qué edad tiene Rafael?

Las ecuaciónes nos quedan así:a) 9x = 54b) x/5 = 12

Veamos cómo se resuel-ven estas ecuaciones.

Profe, antes de continuar ¿podría expli-car algunas cosas que no entendimos?

Bien, sigamos con los casos de productos notables.

Con todo gusto, pero díganme, ¿cuáles son esas cosas?

¡Caramba profe!, creo que tenemos que repasar más.

Se ve fácil, profesor.

Bien, sigamos con el segundo caso. Vamos a estudiar el cuadrado de una diferencia, es decir, (x-a)2

Se ve y es fácil jóvenes. Es igual que el caso anterior, con una leve dife-rencia. Hallemos el producto para encontrar la fórmula.

Multipliquemos (x - a) . (x - a)

Por ejemplo: el termino (3x)2, ¿por qué se transforma en 32 . x2 ?

¡Ahhh, vieron!, ¿no recuerdan cuando les enumeré los temas que debían repasar para entender las operaciones con polinomios?

(3x)2 = 32 . x2, porque esa es una propiedad de la potenciación, específicamente Potencia de un Producto la cual dice que en estos casos se eleva al cuadrado ambos factores: 3 y x. Igual pasa con (1/3x)2 = (1/3)2 .( x )2 = 1/9 . x2 ; en (1/3)2 se aplica potencia de un cociente. Esta propie-dad establece que ambos (numerador y denominador) se elevan al cuadrado.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (CONTINUACIÓN) PRODUCTOS NOTABLES (CONTINUACIÓN)

Cuando en la ecuación tenemos una multiplicación, dividimos entre un número entero igual al coeficiente de x, si tenemos una división multiplicamos por un número entero.

De esto se concluye lo siguiente:

El cuadrado de una diferencia (resta) es igual al primer término elevado al cuadrado (x2), menos dos por el primer término por el segundo término ( -2ax ), más el segundo término elevado al cuadrado (a2). Es decir, (x - a)2 = x2 - 2ax + a2

Ejemplos: a ) (2x - 3)2 = (2x)2 - 2 . 2x . 3 + 32 = 4 x2 - 12x + 9b) (1/2x - 4)2 = (1/2x)2 - 2 . 1/2x . 4 + 42 = (1/2)2 . x2 - 2 . (1/2). 4 . x + 16 = 1/4x2 - 4x + 16

1. 9x = 54Dividimos ambos miembros entre 9

9x/9 = 54/9 x = 6

2. x/5 = 12Multiplicamos ambos miembros por 5

(x/5) . 5 = 12 . 5 x = 60

x - ax - a

- ax+a2

x2 - axx2 - 2ax + a2

(x - a)2 = x2 - 2ax + a2

ACTIVIDADES

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 5x = 30 b) 4x = 12 c) 6x = 18 d) 7x = 49 e) x/5 = 15

f) x/3 = 9 g) x/4 = 9 h) x/2 = 12 i) x/7 = 8 j) x/5 = 12

ACTIVIDADES1) Desarrolla los siguientes productos notables:a) (x - 7)2 b) (3x - 2)2 c) (x - 4)2 d) (x2 - 3)2 e) (x - y)2

f) (3x - 1)2 g) (x3 y - a)2 h) (x2 y2 - 2)2 i ) (2x - 3)2 j ) (6x2 - 5)2

k) (xy - 2)2 l ) (5a2 - 2c2)2 m) (2 - 5a2 c)2 n) (3/7x - 6)2 ñ) (x2y - 3y)2

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Bueno, muchachos, espero que hayan resuelto gran parte de los ejercicios propuestos.

Vamos a estudiar un nuevo tema que tiene mucha rela-ción con lo que hemos visto: los Productos Notables.

Profe, sabemos lo que es un producto, pero ¿por qué notable?

Son notables porque se pueden resolver con una simple fórmula, es decir, se nota con facilidad el resul-tado al que queremos llegar.

Vamos a estudiar varios casos de productos notables.

Cuadrado de una suma de dos términos (x + a)2. Resolvamos este producto de la forma acostumbrada.

La expresión (x + a)2 se puede expresar en forma de producto como (x + a) . (x + a). Hallemos este producto en el pizarrón.

veamos algunos ejemplo numéricos.Resolver los siguientes productos:a) (x + 5)2 b) (3x + 7)2 c) (1/3x + 1/2)2

Hagámoslo en el pizarrón.

Hay ecuaciones donde se combinan varias operaciones. Analicemos el siguiente problema:

La edad de Pedro por 3 más la edad de José es igual a 81. Si la edad de José es 21, ¿cuál es la edad de Pedro?

La ecuación se plantea de la forma siguiente: 3x + 21 = 81Veamos el pizarrón.

Veamos otras ecuaciones.

(x + a)2 = (x + a) . (x + a)

x + a 1er. término

x + a 2do. términoax + a2

x2 + ax

x2 + 2ax+a2

2do. término al cuadrado

2 veces el 1er término por el 2do

1er. término al cuadrado

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES (CONTINUACIÓN)PRODUCTOS NOTABLES

1. Cuadrado de una suma de dos términos: (x + a)2

2. Cuadrado de una diferencia: (x - a)2

3. Producto de una suma por su diferencia: (x + a) . (x - a)

4. Producto de la forma: (x + a) . (x + b)

5. Producto de la forma cubo de una suma: (x + a)3

Estudiemos el primer caso:

De este resultado se desprende una regla general para resolver un producto de la forma: (x + a)2

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más dos por el primero por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado, es decir, (x + a)2 = x2 + 2ax + a2

3x + 21 = 811. Sumamos -21 a ambos lados de la ecuación.

3x + 21 + (-21) = 81 + (-21)3x + 0 = 60 3x = 60

2. Dividimos entre 3 ambos lados de la ecuación.3x/3 = 60/3 x = 20Solución: Pedro tiene 20 años

1. 4x - 18 = 82más 18 4x - 18 + 18 = 82 + (18 ) entre 4 4x/4 = 100/4

x = 25.

2. 5x / 4 + 9 = 29más (-9) (5x/4) + 9 + (-9) = 29 + (-9)

5x/4 + 0 = 20por 4 4. (5 x/4) = 20 . 4

5x = 80entre 5 5x/5 = 80/5

x = 16

Cuando tenemos ecuaciones con operaciones com-binadas, resolvemos en primer lugar la suma o resta y después la multiplicación o división.

ACTIVIDADES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3x + 2 = 8 b) 5x = 15 c) 6x = 30 d) 5x + 10 = 15 e) 4x - 3 = 9

a) (x + 5)2 = x2 + 2 . x . 5 + 52

= x2 + 10x + 25

b) (3x + 7)2 = (3x)2 + 2. 3x. 7 + 72

= 9x2 + 42x + 49

c) (1/3x+1/2)2 = (1/3x)2 + 2.(1/3x . 1/2) + (1/2)2

= 1/9x2 + 2/6x + 1/4

ACTIVIDADES

1. Desarrolla los siguientes productos notables:a) ( x + 5)2 b) (x2 +2)2 c) (3xy + 2)2 d) ( x2 y2 + 1)2 e) (2x3+ 3)2

f) (3a2 + 2b3)2 g) (1 + 3a2 /b)2 h) (1/3x + 4)2 i) (1/5x3y2 + 3/x)2 j) (3a2 + a/5)2

k) (ab/2 + 1/10)2 l) (x/y + 4/y2)2 m) (2/3a + 6)2 n) (4/3b + 1/2)2 ñ) (5x + 6y)2

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Veamos algunos ejemplos:

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MÉTODO DIRECTO

Hay una forma directa para resolver ecuaciones. Para ésto es necesario tener presente cuatro reglas:

1. Todo lo que está sumando en un lado de la ecuación pasa al otro lado restando.

2. Todo lo que está en un lado de la ecuación restando pasa al otro lado sumando.

3. Todo lo que está en un lado de la ecuación multiplicando pasa al otro lado dividiendo.

4. Todo lo que está en un lado de la ecuación dividiendo pasa al otro lado multiplicando.

Para resumir tenemos lo siguiente.

1. Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de x.

2. Despejar x es dejarla sola en un lado de la ecuación.

3. Se pasan en primer lugar los téminos que suman o restan y luego se trasladan los que están multiplicando o dividiendo.

33. Escribir verdadero (V) o Falso (F) según sea el caso.

33.1. El cociente de dividir x6/x3 es igual a x2. ( )

33.2. La división de dos polinomios es inexacta si el resto de la división

no es el polinomio nulo. ( )

33.3. En todos los casos , el resto es el polinomio nulo o un polinomio de grado menor

que el grado del divisor. ( )

33.4. Siempre que se divide un monomio entre otro monomio

el resultado es otro monomio. ( )

33.5. El grado del resto de una división puede ser mayor que el grado del divisor. ( )

33.6. Para dividir un polinomio entre otro es necesario primero ordenar el polinomio,

dividendo en forma creciente, y el polinomio divisor en forma decreciente. ( )

33.7. Una división es exacta si el resto es cero. ( )

33.8. La división de dos polinomios es exacta si el resto de la división

es el polinomio nulo. ( )

34. Calcular:

a ) (2x2 + 5x + 3) / (x + 1) b) (6x4 - 11x2 + 6x - 1) / (2x - 1)

c ) (x - 7x2 + 3x3 + 2) / ( -x + 2) d) (-3y5 - 11y3 - 46y2 + 32) / (-6y - 3y2 + 8)

e) (6x4 - 11x2 + 6x - 1) / (2x - 1) f ) (x3 - 1) / (x - 1)

g) (3a5 - 21a4 + 64a2) / (a3 - 5a2) h) (t5 - 2t3 - t) / (t + 1)

35. Señalar el cociente y el resto en las divisiones anteriores.

36. Hallar cada cociente en las siguientes operaciones:

a) 21x8/7x2 b) (-1/2) a13/4a10 c) -9m7 / 2/3m3 d) 5/6x2a / 3/4xa

e) (x3 + x) /x f ) (x3 - 1) / x g) (x2 - 4x + 2) /3x h) (5x3 + 2x2) / x2

37. Hallar el cociente de los siguientes monomios:

a) 8x3 / 2x b) 120x7 / 15x6 c) 1/2a10 / -3/5a8 d) 180t9 / 579

e) 6/5y8 / y6 f ) - 5m10/ 1/5m10 g) -x15 / 2/5x15 h) -1/3x6 / x0

i ) 6xy3 / 7xy j ) -96x2y4z6 / 2xyz k) 3a6b5x8 / -5abx4 l ) 6a2 m x2 n + 3 / 8am x2 n

38. Hallar el cociente de los siguientes monomios:

a) xa + 1 / x b) x2a + 3 / x2 c) 5x3a - 1 / 2a

d) -1/3x4a + 7 / xa e) 2/7 x5a + 1 / 3/ x5 a + 1 f ) -7/8 x3a - 1 / 4/21 x2a2

ACTIVIDADES

1. Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando el método directo.a) x + 5 = 15 b) 35 - x = 12 c) 18 + x = 23 d) 12 +x = 10 e) 3x + 8 = 12f ) 9 + 5x = 2 g) 3x -12 = 3 h) 3x + 12 = 24 i ) 6x -1 = 2 j ) 4x +5 = 2x

Regla 1 suma resta

x +3 = 4 x = 4 -3 x = 1

Regla 2 resta suma

x -5 = 10 x =10 +5 x = 15

Regla 3 multiplica divide

3 x = 15 x = 15/ 3 x = 5

Regla 4 divide multiplica

x/ 4 = 12 x = 12. 4 x = 48

suma resta

4 x + 4= 12 x = (12 - 4)/ 4 , x =8/4 x = 2

multiplica divide

EJERCICIOS

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Para resolver este problema pro-cedemos de la forma siguiente:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

Hay problemas que se pueden resolver a través de la aplicación de una sencilla ecuación. Veamos algunos:

1. Un padre quiere repartir su dinero entre sus dos hijos. Si da Bs. 311 a cada uno, le sobra Bs. 1. ¿Cuánto tiene el padre?

2. Un niño curioso observa que en un corral hay gallinas y chivos. El niño cuenta 64 patas en total. ¿Cuántas gallinas hay sabiendo que hay 10 chivos?

1. Planteamos los datosx = dinero del padrex - 1 = dinero repartido1 = dinero sobrante

2. Planteamos la ecuación

x - 1 = 311 + 311x - 1 = 622x = 622 + 1x = 623

3. Solución El padre tiene 623 Bs.

3. La edad de María más cinco veces la edad de Pedro es 200. ¿Cuál es la edad de María si Pedro tiene 30 años?

x + (5 . 30) = 200 x + 150 = 200 x = 200 - 150 x = 50

Solución: María tiene 50 años

Patas de chivo: 4 . 10 = 40

2x = patas de gallinas

x = gallinas

2x + 40 = 64, 2x = 64 - 40

x = 24/2 x = 12

Solución: hay 12 gallinas

23. Completa los valores de a y b para que los polinomios sean iguales:

a) (ax2 - 3x + b) = (3x2 - 3x - 6) b) (6x3 - 8x2 - 3x - 2) = ax3 + bx2 - 3x - 2

24. Multiplica los siguientes polinomios en forma abreviada.

a) (x3 - 5x + 4) . (x2 - 3x - 6) b) (x4 + 2x3 + 8x + 169). (x - 2)

25. Dados los polinomios P(x) = x3 - 2x2 - x + 1 , R(x) = 1/2x2 - 1 , Q(x) = x3 - 2x + 1 , S(x) = x2 - 3

Hallar: a) P(x) . Q(x) b) Q(x) . R(x) c) P(x) . Q(x) . R(x)

d) S(x) . R(x) e) R(x) . S(x) f ) [P(x)]2 . R(x)

26. Escribe verdadero (V) o falso (F) según sea el caso.

a) La multiplicación de polinomios es una multiplicación en Q(x) ( )

b) Cuando se multiplican dos monomios , el producto es un binomio ( )

c) El grado del producto de dos monomios es igual a la suma de los grados de cada monomio ( )

d) Si G(x) = 5 y P(x) = 8, entonces P(x) . G(x) = 40 ( )

Si P(x) = 5 y Q(x) = 6, entonces P(x) . Q(x) = 11 ( )

27. A continuación se te presentan varias preguntas y cada una de ellas con cuatro posibles respuestas. Marca la correcta.

27.1. La multiplicación de polinomios es una operación que hace corresponder a cada par de polinomios:

a) la suma de ellos ( )

b) el producto de ellos ( )

c) la diferencia de ellos ( )

d) la suma y resta de ellos ( )

27.2. Si P(x) = m y Q(x) = n, entonces P(x) . Q(x) =

a) n . m ( ) b) n - m ( ) c) nm ( ) d) n + m ( )

27.3. Si P(x) = 1 y 0 (x) = 0, entonces P(x) . (x) es:

a) 1 ( ) b) 0 ( ) c) No existe ( ) d) -1 ( )

28. Halla un polinomio cuyo producto sea un polinomio de grado 5 y el grado de la suma 3.

29. Dé un ejemplo de dos polinomios cuyo producto sea de grado 7 y su suma sea de grado 6.

30. Dá un ejemplo de dos polinomios cuyo producto sea de grado 6 y su suma sea de grado 6.

31. Dados los polinomios, compruebe la propiedad conmutativa y elemento neutro.

P(x) = 3x2 - 2x + 5 , Q(x) = x3 + x - 4 , R(x) = x + 1 , M(x) = 1

32. Resuelvá las siguentes operaciones:

a) (3x2 - 5x + 6) . (172x - 3) b) (8x3 - 3x + 6) . ( 1/2x2 - 1/2x)

c) (7x + 3x2 + 2) . (8x3 - 2x) d) (5x3 + 1/2x - 3x2) . (1/2x2 + 3/4x)

e) ( 5x3 + 3/5x2 + 2) . ( x + 3)

ACTIVIDADES

Resolver los siguientes problemas:1. El doble de un número más 10 es 24. Hallar el número.2. La suma de tres números es 17, el último es 3 veces el primero y el segundo excede al primero

en dos unidades. Hallar los números.

EJERCICIOS

4516


17


1. Coloca la(s) palabra(s) que completa(n) los siguientes enunciados:

a) Una expresión de la forma 4 + 5 = 9 recibe el nombre de: expresión _________________

b) Una expresión de la forma x + 5 = 10 recibe el nombre de: expresión _______________

c) Una expresión de la forma 3x + 5 = 2 recibe el nombre de: __________________________

d) En la expresión 4x = 5, x recibe el nombre de: ____________________________________

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x + 3 = 8 b) 6 + x = 12 c ) 14 = x + 2 d) 15 = 5 + x

e) x - 5 = 10 f ) 12 - x = 5 g) 8 = x - 2 h) 16 = 20 - x

i ) 5 - x = 10 j ) x - 8 = 6 k) x + 6 = - 12 l ) -x + 2 = 7

m) 3x + 4 = 13 n) 8x - 9 = 15 ñ) 8 + 5x = 13 o) 9 - 2x = 1


a) Los términos de la ecuación 2x + 5 = 0 son: 2, 5, 0 ( )

b) El coeficiente de x , en la ecuación anterior, es 2 ( )

c) En la ecuación 3x = 6, al sumar a ambos lados de

la ecuación -2 la igualdad se altera ( )

d) La solución de la ecuación -x = 5 es x = -5 ( )

e) Al multiplicar ambos miembros de una ecuación por

un número entero la igualdad no se altera. ( )

4. Identifica los elementos en la siguiente ecuación:

EJERCICIOS

5. Resuelve los siguientes problemas.

a) Para subir a la azotea de un edificio, una persona usa una escalera de 50 metros y luego un ascensor le sube a un determinado número de pisos y aún quedan 35 metros. ¿Cuánto recorre en el ascensor si el edificio mide 100 metros?

b) Un pantalón, una camisa y un par de zapatos cuestan Bs. 50.000,ºº. Si el pantalón cuesta el doble de la camisa y la camisa cuesta Bs. 8000,ºº. ¿Cuánto cuesta el pantalón y el par de zapatos?

15. Dados los polinomios, comprueba la propiedad asociativa de la adición:

a) P(x) = x4 + 2x3 Q(x) = x5 + 2x4 + 3x R(x) = 3x4 + x5 + x2 + 1/2

b) P(x) = x2 - 1 Q(x) = x2 + 1 R(x) = -x2 - 1

c) P(x) = 1/2x3 - x2 + 1/2 Q(x) = 2/3x3 + 2x2 - 3 R(x) = x3 - x2 - x - 1

d) P(x) = 4/5x4 - 3/5x6 - x5 - x3 Q(x) = 2 - 3x3 + 2x4 R(x) = x - 1

16. Dados los polinomios, comprueba la propiedad conmutativa:

a) P(x) = 3x - 4 Q(x) = 2x2 -x + 5

b) P(y) = y3 - y2 + 3 Q(y) = 3y3 + 2y2 - 4

c) P(x) = 1/3 x4 - 2/5x5 + x2 - x3 Q(x) = 4 - 1/5x4 + 2/3x2 - 1/2 x5

d) P(y) = 2y3 - y6 + 1/2y2 Q(y) = y2 + 3 + 5y - y6

17. Halla el simétrico de cada polinomio y comprueba la propiedad del elemento simétrico.

a) P(x) = x2 +x + 3 b) Q(x) = 1/2x2 - 4 c) S(x) = x3 - x2 + x - 1 d) R(x) = x3 - 1/5

18. A continuación se presentan varias preguntas, y cada una de ellas tiene cuatro alternativas. Marque con una x la respuesta correcta.

18.1. El elemento neutro para la adición de polinomios es:

a) P(x) = 1 ( ) b) R(x) = -1 ( )

c) J (x) = 2 ( ) d) 0(x) = 0 ( )

18.2. El simétrico de P(x) = x5 - 1/2x3 + x2 -1 es:

a) -P(x) = x5 + 1/2x3 - x2 + 1 ( ) b) -x5 + 1/2x3 + x2 - 1 ( )

c) -x5 + 1/2x3 - x2 + 1 ( ) d) -x5 - 1/2x3 - x2 - 1 ( )

18.3. La forma en que se agrupan tres sumandos no altera la suma; esta es la propiedad:

Asociativa ( ) Conmutativa ( )

Elemento neutro ( ) Elemento simétrico ( )

18.4 El orden en que se sumen dos polinomios no altera la suma; esta propiedad es:

Asociativa ( ) Conmutativa ( )

Elemento neutro ( ) Elemento simétrico ( )

19. Dados los polinomios: P(x) = x4 - 2x2 + 6x + 1, Q(x) = x3 - 6x2 + 4 , y R(x) = 2x4 - 2x - 2. Hallar:

a) P(x) + Q(x) - R(x) b) P(x) + R(x) - Q(x) c) Q(x) + R(x) - P(x) d) P(x) - Q(x) + R(x)

20. Efectúa las siguientes multiplicaciones.

a) 6 . (3x3 + 2x2 + 3x + 2) b) 2 . (2x2 - 8x + 2x) c) 1/2 . (3x2 - 2x + 3) d) 3/2 . (6x3 - 1/2x + 2)

21. Efectúa los siguientes productos de monomios:

a) (-2x3) . (-3x2) b) (2/3x) . (1/2x0) c) (5/2 . x4) . (3/5 . x2) d) (-6t7 ) . (-1/3t3)

22. Efectúa los siguientes productos de polinomios.

a) 3x2 . ( 2x - 3x3 - 8x - 1) b) 2/3x . (3x0 + 8x3 - 3) c) (2x - 3x + 4) . 8x d) (3x2 - 2) . (9x2)

3 . x -6 = 12

EJERCICIOS

4416


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c) En una alcancía hay 135 monedas de 10, 20 y 50 bolívares. Si el doble de las monedas es de 10 bolívares, y el número de las de 50 es 6 veces más que las de 10 bolívares. Hallar el número de monedas de cada clase.

d) Un padre decide repartir una cantidad de dinero entre sus tres hijos. Si da 600 bolivares a cada uno le sobran 300. ¿Cuál es la cantidad de dinero repartido?

e) En un corral hay 100 animales entre conejos, gansos y cochinos. La cantidad de conejos que hay es igual al número de gansos más 25; y la cantidad de cochinos es igual a la de gansos. ¿Cuántos animales hay de cada especie?

6. Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 4x + 6 = 3x b) 6x - 8 = 3x + 1 c) 5 - 5x = 8 + 4x

6. Simplifica los monomios o términos semejantes en los siguientes polinomios (sumar):

a) 6x + 2x + x2 + 1 b) 5x3 + 6x2 - 2x2 - 3

c) 4x + 6 + 2x + x -1 d) 3x + 5 +8x +2

7. Ordena en forma decreciente los siguientes polinomios.

a) P(x) = 3x2 - 6x3 + 5x4 + 2x - 1 b) R(x) = x + 6 - 9x2 + 3x3 + x

c) Q(x) = 2x2 - x + 10x4 + 3x3 + 2 d) S(x) = -3x2 + 6x3 - 5x4 - 7 + x

8. Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 - 1 Q(x) = 1/2x2 + 4

S(x) = x3 - 3x2 - 6x - 2 R(x) = 3/2x3 + 2x2 - 1/3x

Hallar:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) + R(x) c) P(x) + S(x) d) R(x) + S(x)

e) R(x) + P(x) f ) Q(x) + S(x) g) P(x) + Q(x) + R(x) h) S(x) + Q(x) + R(x)

9. ¿Qué polinomio hay que sumar con x2 - 4x + 1 para que la suma sea igual a 5x3 - 6x2. ?

10. Sean los polinomios P(x) = 4x2 - 7x + 4 y Q(x) = ax2 +bx - c

Hallar los coeficientes de Q(x) para que ambos polinomios sean iguales.

11. Escribe los términos que faltan para que la suma sea correcta.

P(x) = + 3x5 - + + 6

Q(x) = + + 4x4 - 5x3 -

P(x) + Q(x) = 7x6 + 11x5 - 4x4 - 7x3 + 4

12. Completa el cuadro sumando por filas y columnas.

+ x3 + 3 -x2 + x x + 1 -1 suma de cada fila

5x3 + 1

-x + x2 x3 + x + 3

x + 1 2x + 2

x3 + 5 - x

13. Enuncia y explica las propiedades de la suma de polinomios.

14. Identifica la propiedad:

a) Al sumar un polinomio con su simétrico obtenemos el polinomio nulo _______________

b) Al sumar dos o más polinomios el orden de los sumandos no altera la suma __________

c) Al sumar un polinomio con el polinomio nulo, obtenemos el mismo polinomio ________

d) Al sumar tres o más polinomios la forma de agruparlos no altera la suma _____________

EJERCICIOS EJERCICIOS

4318


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Todos entendemos, profe, lo importante ahora es practicar, ya que es la única manera de que no se nos olvide.

Pero fíjense, que las acciones de cada una permiten que se den otras actividades; la acción de un médico permite que otra persona realice sus funciones, al igual que la acción de las ruedas de un carro.

De acuerdo a ésto podemos expresar lo siguiente:La acción de un médico está en función de otras personas.La acción de las ruedas están en función del vehículo.

Bien, muchachos, espero que hayan aprendido cómo resolver una ecuación y cómo resolver un pro-blema aplicando ecuaciones.

La palabra función se puede entender como el rol o papel que juega una persona en la sociedad, en una empresa, en un grupo, etc. Por ejemplo:un médico, su función es curar y prevenir enfermedades.

Los objetos o cosas también cumplen funciones: la función de las ruedas de un carro es facilitar su desplazamiento.

Bueno, ahora vamos a estu-diar las Funciones. Antes que nada veamos el significado real de una función y luego pasamos a su estudio, visto dentro de las Matemáticas.

LAS FUNCIONES


a) Dos términos son semejantes si las variables son iguales ( )

b) El grado de un polinomio es el de mayor exponente ( )

c) El coeficiente de un término es el factor que multiplica a la variable ( )

d) El término independiente es el coeficiente de la variable x elevada a la cero ( )

e) Para sumar polinomios no importa cómo se coloquen los términos ( )

f ) Un binomio es un polinomio de un término ( )

g) Un trinomio es un polinomio de tres términos ( )

h) Un monomio es un polinomio de dos términos ( )

i ) La suma de dos polinomios es otro polinomio de grado

mayor que el polinomio de mayor grado ( )

j ) Los polinomios sólo se pueden ordenar de forma decreciente ( )

k) Las propiedades de la adición de polinomios son las mismas que la adición en Q ( )

l ) La propiedad conmutativa de la adición de polinomios señala que no importa

el orden de colocación de los sumandos cuando se suman dos polinomios ( )

m) El elemento neutro para la adición de polinomios es el polinomio 0(x) ( )

n) Cada polinomio P(x) tiene un simétrico - P(x) ( )

ñ) La diferencia de polinomios es conmutativa ( )

o) Al sumar un polinomio con su simétrico resulta el polinomio nulo ( )

2. Expresa en forma de polinomio los siguientes números:

a) 13789 b) 710509 c) 567343

d) 783825 e) 4356729

3. Efectúa por descomposición polinómica las siguientes adiciones:

a) 3215 + 1743 b) 1006 + 3982 c) 2627 + 1251

d) 3456 + 7631 e) 321467 + 896453

4. Indica cuales de los siguientes términos son semejantes:

a) 2x3 b) 4x4 c) -6x2

d) 4/5x e) -2x f ) -1/2x2

g) 3x h) 9x3 i ) 8x4

5. Efectúa las siguientes adiciones:

a) 5x4 + 6x4 b) 2x3 + 7x3 + x3 c) 2x5 + x5 +4x5

d) 3x6 + 5x6 + x6 e) 5x3 + 1/2x3 + 3/8x3 f ) 3x5 + 6x5

g) 8x6 - 9x6 h) 10x + 12x - 15x i ) 13x5 + 9x5

j) 5x7 + 8x7 + 9x7 - 2x7

Entender ésto nos va a permitir comprender de forma efectiva las funciones matemáticas.

ACTIVIDADES1. Busca el significado de la palabra " función″ y escribe, al menos, 5 ejemplos.

EJERCICIOS

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Profesor, ¿por qué en el primer resto se salta de x5 hasta x3? Además consideramos que el proceso es demasiado largo. Recuerden que para restar o sumar

términos, éstos deben ser semejantes; ¿se acuerdan cuándo dos términos son seme-jantes?; por otro lado, si hacemos el pro-ceso de una vez, sin enumerar los pasos, no se hace tan largo. Hagamos un ejemplo.

Anotemos algu-nas consideraciones a tener en cuenta cuando operamos con polinomios.

De acuerdo a ésto podemos decir que y es una función de x. Los valores de (x) y (y) pertene-cen al conjunto de los números racionales.

Veamos un ejemplo.

Se evidencia, por exper iencia, que s i aumenta la gasolina aumenta el pasaje.

Analicemos los siguientes planteamientos:¿Qué sucede con el pasaje si aumenta el

precio de la gasolina?

Como el pasaje varía lo podemos representar con una letra cualquiera, al igual que el precio de la gasolina, por ejemplo: (x) y (y).

x = precio de la gasolinay = precio del pasaje

Vemos un ejemplo claro de función: el precio del pasaje varía en función del precio de la gasolina.

En un determinado período se obtuvieron los siguientes precios.

Veamos la tabla de valores en el pizarrón.

Fí jense que por cada valor de x se calcula un valor para y, ambos perte-necientes a Q. De acuerdo a ésto podemos definir una función desde el punto de vista matemático.

x 25 35 45 55 65

y 30 40 50 60 70

x y = x + 525 y = 25 + 5= 3035 y = 35 + 5= 4045 y = 45 + 5= 5055 y = 55 + 5= 6065 y = 65 + 5= 70

2x2 + 5x + 3 x + 12x2 + 2x 2x + 3

0x2 + 3x + 33x + 3 cociente

0x + 0 resto: 0

Dividir P(x )/ Q(x), si P(x) = 2x2 + 5x + 3 y Q(x) = x + 1

La relación que existe entre ambas var iables la podemos escribir mediante la expresión: y = x + 5

LAS FUNCIONES (CONTINUACIÓN)DIVISIÓN DE POLINOMIOS (OTRAS CONSIDERACIONES)

1. La ley de los signos para la división:

a) Multiplicación: (+) . (+) = + , (+) . ( - ) = ( - ) , ( - ) . (+) = ( - ) , ( - ) . ( - ) = (+)

b) División: (+) / (+) = (+) , (+) / ( - ) = ( - ) , ( - ) / (+) = ( - ) , ( - ) / ( - )= (+)

c) Suma: (+) + (+) = (+)

(+) + ( - ) = ( - ) si el mayor tiene signo ( - ) = (+) si el mayor tiene signo (+)

( - ) + ( - ) = ( - )

d) Resta: (+) - (+) = ( - ) si el mayor tiene signo ( - )

= (+) si el mayor tiene signo (+) ( - ) - ( - ) = ( - ) + (+) = (+) si el mayor tiene signo (+) ( - ) - ( + ) = ( - ) + ( - ) = ( - ) si el mayor tiene signo ( - )

2. Los polinomios se ordenan de forma decreciente.3. Sólo se suman o restan los términos semejantes.4. Si queremos probar el resultado aplicamos la ecuación D = C. d + R, donde D es el polinomio dividendo, C es el cociente, d el divisor y R es el resto o residuo.5. El resto siempre es un polinomio de grado menor que el divisor.6. Al dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio.

ACTIVIDADES

1. Sean los polinomios P(x) = 4x5 + 6x2 - 7x + 8x4 y Q(x) = 9x2 + x. Hallar P(x) / Q(x)

Una función es una relación que hace corresponder a cada elemento de un conjunto A un solo elemento de otro conjunto B. A y B pueden ser subconjuntos de Q.

ACTIVIDADES1. En la función y = x - 1, dé valores a x (los que ud. quiera) y calcule los valores de y. Elabore una tabla de valores.

4120


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Bueno, muchachos, ya sabemos lo que es una función. Vamos a estudiar otros aspectos relacionados con las funciones.

Antes veamos lo siguiente:

Bien, estudiemos en primer lugar el Dominio y el Rango de una función.Veamos el ejemplo de la función f(x) = x + 5x toma valores en el conjunto A = { 25, 35, 45, 55, 65 } y f(x) toma valores en

el conjunto B = {30,40,50,60,70}. A es el conjunto de partida o Dominio y B es el conjunto de llegada o Rango. Luego:

Otros aspectos importantes son el gráfico y la representación grá-fica de una función. Sigamos con el ejemplo anterior.

Bien, ya sabemos sumar, restar, multiplicar polinomios y aplicar las propiedades respec-tivas de esas operaciones. Vamos ahora a aprender a dividir polinomios.

De ninguna manera, si recuerdas cómo dividir números racionales con toda seguridad vas a entender la división de polinomios.

Pongan mucha atención, que les voy a explicar con lujo de detalles cómo dividir polinomios.

Profesor, a mi me han dicho que la división es lo más difícil de las operacio-nes con los polinomios.

LAS FUNCIONES (CONTINUACIÓN) DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Como y es una función de x, ésta se expresa como f(x), es decir, y = f(x). Se lee “f de x”. De acuerdo a ésto la función estudiada en la página anterior nos queda: f(x) = x + 5

Dominio de una función (Dom f ): es el conjunto cuyos elementos son los valores asignados a x, es decir, Dom f = {25, 35, 45, 55 65}

Rango de f (Ran f ): es el conjunto cuyos ele-mentos son los valores obtenidos para f(x), es decir, Ran f = {30, 40, 50, 60, 70}

Gráfico de una función (Gf): es el conjunto cuyos ele-mentos son los pares ordenados y tales componentes están relacionados mediante la función f: A --->B

En el ejemplo anterior

Gf = {(25, 30), (35, 40), (45, 50), (55, 60), (65, 70)}

Representación gráfica: una función se representa gráficamente mediante los Diagramas de Venn.

Pongamos un ejemplo:Dividir P(x) /Q(x)

Si P(x) = x5 + 3x3 -x4 + 2x2 -4 +3x y Q(x) = x2 + 1Para hacer esta división empleamos el siguiente procedimiento:

25 3035 4045 5055 6065 70

1. Ordenamos los polinomios en forma decreciente y plantea-mos la división.

x5 - x4 + 3x3 + 4x2 +3x - 4 x2 + 1

2. Dividimos el primer término del dividendo y obtenemos el primer término del cociente x5/x2 = x(5-2) = x3 (cociente de potencias de igual base).

x5 - x4 + 3x3 + 4x2 + 3x - 4 x2 + 1

x3

3 Este primer término del cociente (x3) se multiplica por el divi-sor (x2 + 1) y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un resto parcial.

x5 - x4 + 3x3 + 4x2 + 3x - 4 x2 + 1

x5 + x3 x3

0 - x4 + 2x3 + 4x2 + 3x - 4

4. Dividimos el primer término del resto parcial (-x4) entre el primer término del divisor (x2), colocando el resultado en el cociente.

x5 - x4 + 3x3 + 4x2 + 3x - 4 x2 + 1

x5 + x3 x3 - x2

0 - x4 + 2x3 + 4x2 + 3x - 4

5. Multiplicamos -x2 por el divisor y el resultado lo restamos del primer resto parcial, hallando un segundo resto parcial.

x5 - x4 + 3x3 + 4x2 + 3x - 4 x2 + 1x5 + x3 x3 - x2

0 - x4+ 2x3 + 4x2 + 3x - 4 - x4 - x2

0 + 2x3 + 5x2 + 3x - 4

Este proceso se repite hasta encontrar un resto de grado menor al del divisor.

x5 - x4 + 3x3 + 4x2 + 3x - 4 x2 + 1x5 + x3 x3-x2+2x + 50 - x4 + 2x3 + 4x2 + 3x - 4 - x4 - x2

0 + 2x3 + 5x2 + 3x -4 2x3 + 2x 0 + 5x2 + x -4 5x2 +5 0 + x -9

cociente

resto

ACTIVIDADES1. En las siguientes funciones hallar: Dominio, Rango, Gráfico y Representación gráfica.a) f(x) = x + 7 b) f(x) = x - 2 c) f(x) = 4x d) f(x) = 2x + 6

ACTIVIDADES

1. Sean los polinomios: P(x) = 6x3 + 8x2 - x + 2 y Q(x) = 3x2 + 1. Hallar P(x) / Q(x)

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21


Otros ejemplos:

Sean los conjuntos A = {2, 3, 7} y B={4, 6, 8, 10, 14} y la función f: A --->B, f(x) = 2x

Hallar Dominio, Rango y clasificar la función.

Gf = {(2, 4); (3, 6); (7, 14)}

Domf = {2, 3, 7}

Ranf = {4, 6, 14}

La función es inyectiva.

x f(x) = 2x

2

3

7

f(2) = 2 . 2 = 4

f(3) = 2 . 3 = 6

f(7) = 2 . 7 = 14

En general tenemos, que dados tres polinomios P(x), Q(x) y R(x) se cumple que P(x) . [Q(x) + R(x)] = [P(x) . Q(x)] + [P(x) . R(x)] ó P(x) . [Q(x) - R(x)] = [P(x) . Q(x)] - [P(x) . R(x)]. Esta propiedad se aplica para cualquier cantidad de polinomios.

La aplicación de ésta y las anteriores propiedades, nos permiten realizar operaciones con mayor facilidad. Veamos otros ejemplos:

Sean P(x) = x2 -x, Q(x) = 7x - 4, S(x) = x2, hallar P(x) . [Q(x)+S(x)]

P(x) . [Q(x)+S(x)] = (x2 -x) . [(7x - 4) + x2] = (x2 - x) . (7x - 4) + (x2 -x) x2 =

7x3 - 7x2 + 4x + x4 - x3 = x4 + 6x3 - 11x2 + 4x

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS (CONTINUACIÓN) TIPOS DE FUNCIONES

ACTIVIDADES1. Dados los siguientes polinomios: P(x) = x3 - 2x + 4, Q(x) = x4 - 7 y R(x) = 7x + 6. Demostrar:a) La Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.

P(x) . [Q(x) + R(x)] = [P(x) . Q(x)] + [P(x) . R(x)]

b) La Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto de la resta P(x) . [Q(x) - R(x)] = P(x) . [Q(x)-R(x)] = [P(x) . Q(x)] - [P(x) . R(x)]

Función Inyectiva: es aquella en la que los elementos del Dominio tienen imágenes diferentes en el Rango.

Función Sobreyectiva: si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del Dominio.

Función Biyectiva: es aquella función que es Inyectiva y Sobre-yectiva a la vez.

Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva

abcd

123

4578

81021

abc

457

468

1014

237

ACTIVIDADES1. Hallar Dominio, Rango y clasificar las siguientes funciones:a) f(x) = x + 2 si A = {1, 2, 3} y B= {1, 2, 3, 4 ,5, 6}b) f(x) = x - 1 si A = {3, 4, 5} y B= {2, 3, 4, 5, 6}

Como pueden ver, las propiedades de la multiplicación de polinomios son una sencilla aplicación de las propiedades de las operacio-nes con los números.

Vamos a estudiar otra que también es cono-cida por ustedes: la Propiedad Distributiva. Aquí sólo se trata de demostrar que,

P(x) . [Q(x) + R(x)] = [P(x) . Q(x)] + [P(x) . R(x)] ó P(x) . [Q(x) - R(x)] = [P(x) . Q(x)] - [P(x) . R(x)].

Hagamos un ejemplo, dados los poli-nomios P(x) = 8x, Q(x) = 7 + x, R(x) = 9, demostrar la propiedad distributiva. Vamos al pizarrón.

Fíjense que esta propiedad se cumple para la multiplicación de polinomios.

P(x) . [Q(x) + R(x)] = [P(x) . Q(x)] + [P(x) . R(x)]

P(x) . [Q(x) + R(x)] = 8x . [(7+x) + 9] = 8x . (x+16)

= 8x2 + 128x

[P(x) . Q(x)] + [P(x) . R(x)]

8x . (7+x) + 8x . 9 = 56x + 8x2 + 72x = 8x2 + 128x

Bueno, ya vimos algunos aspectos importantes de las funciones, definición y representación, entre otros. Estudie-mos ahora algunos tipos de funciones. Voy a enumerarlas y luego las explico.

Veamos al pizarrón.

Veamos algunos ejem-plos de forma gráfica.

3922


23


Vamos a estudiar otros casos de funciones que nos van a servir para entender temas que tienen que ver con el Álgebra: las funciones nota-bles. Veamos algunas de ellas y sus respectivos ejemplos.

Veamos algunas situaciones prác-ticas donde se identifiquen este tipo de funciones.

Profesor, pero el elemento neutro de la multiplicación es el uno.

Vamos a estudiar la propiedad Elemento Neutro. En la multiplicación de polinomios también existe un elemento neutro, tal como en la multiplicación de números.

ACTIVIDADES

1. Dados dos polinomios: P(x) = 4x3 + 5x2 - 9 y Q(x) = 8x3 - 7x2 + 8, demuestre la existencia del ele-mento neutro.

2. Sean los polinomios: P(x) = 5x3 + 6x y Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d, hallar: a, b, c y d para que P(x).1= Q(x)

Función Identidad

Es aquella que asocia a cada elemento x del Dominio el mismo elemento en el Rango. Se representa con la letra I. Dicho de otra manera: I: Q ------> Q tal que I(x) = x Ejemplo: I(x) = x

1 12 23 3

A BI

Función Constante

Es aquella que asocia a cada elemento x del Dominio un valor constante en el Rango, es decir f: Q -------> Q tal que f(x) = c, donde c pertenece a Q. Ejemplo: f(x) = 5

12 53

A Bf

Las funciones idénticas se hacen presente en situaciones en que las variables aumentan en la misma can-tidad. Pongamos un ejemplo ficticio: supongamos que el precio de la gaso-lina es igual al precio del pasaje. En un lapso de tiempo podríamos construir la siguiente tabla.

La función constante la podemos visualizar, por ejemplo, en el caso de la estatura de una persona. Después de adulto la edad varía, pero la esta-tura permanece constante. Veamos la tabla.

x I(x) = x

1

2

3

I(1) =1

I(2) = 2

I(3) = 3

x f(x) = 5

1

2

3

f(1) = 5

f(2) = 5

f(3) = 5

Prec

io d

e la

gas

o-lin

a (e

n B

s)

Prec

io d

el p

asaj

e (e

n B

s)

20304050607080

20304050607080

Edad

(añ

os)

Esta

tura

(mts

)253035404550

1,601,601,601,601,601,60

FUNCIONES NOTABLES EN Q PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS (CONTINUACIÓN)

P(x) . Q(x) = P(x)

(x2 - 3x + 5) . Q(x) = ( x2 - 3x + 5)

Q(x) = (x2 - 3x + 5) / ( x2 - 3x + 5) = 1

Q(x) = 1

Vemos con claridad que el polinomio referido es el polinomio unidad. Recuerden que éste tiene todos sus téminos iguales a cero, a excepción del término independiente.

En general tenemos, que dado un polinomio en Q, P(x), se comprueba que existe otro polinomio Q(x), tal que P(x) . Q(x) = P(x), donde Q(x) = 1. Q(x) se denomina polinomio unidad.

ACTIVIDADES1. Enumera situaciones donde podamos identificar Funciones Identidad y Funciones Constantes.2. Haz una tabla de valores.

Hagamos un ejemplo:Sea el polinomio P(x), se trata de hallar un

polinomio Q(x) tal que P(x) . Q(x) = P(x). Si P(x) = x2 - 3x + 5

¡Precisamente! recuerden el polinomio unidad. Se trata de demostrar que al multiplicarlo por otro, éste no se altera.

Veamos cómo se demuestra esta operación.

3822


23


En general tenemos lo siguiente, dados dos polinomios en Q: P(x) y Q(x), se cumple que P(x).Q(x) = Q(x).P(x)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS OPERACIONES CON FUNCIONES

Bueno, estudiemos ahora la propiedad asociativa. Recuerden que asociar es agrupar. Veamos ésto con un ejemplo: Sean los polinomios P(x) = 6x + 2, R(x) = x3 - 2 y S(x) = 2x2 + x. Vamos a demostrar que P(x) . [R(x).S(x)] = [P(x) . R(x)].S(x)

Ahora vamos a estudiar las pro-piedades de la multiplicación de polinomios. Las propiedades son: Conmutativa, Asocia-

tiva, Elemento Neutro y Distributiva.Estudiemos cada una de ellas.

Iniciemos este análisis con la propiedad conmutativa. Hagamos un ejemplo: sean los polinomios P(x) = 4x - 7 y Q(x) = 3x + 4. Se trata de demostrar que P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x)

Vamos al pizarrón.

¡Claro!, igualito que con los números. Veamos cada una de estas operaciones.

Sean las funciones:I(x) = x y f(x) = 3Hagamos el siguiente ejercicio: 1. Suma de funciones

Hallar I(x) + f(x)2. Resta de funciones

Hallar I(x) - f(x)3. Multiplicación de funciones

Hallar I(x) . f(x)4. División de funciones

Hallar I(x) / f(x)Vamos al pizarrón.

Otros ejemplos:Sean las funciones:I(x) = x, f(x) = 8 y g(x) = 4x +2Hallar: a) I(x) . g(x)

b) f(x) . g(x)c) I(x) + f(x) + g(x)

Bueno, muchachos, aunque ustedes no lo crean, con las fun-ciones también podemos realizar operaciones.

a) I(x) . g(x) = (I . g)(x) = x (4x + 2) = x . 4x + x . 2 = 4x2 +2x

(I.g)(x) = 4x2 + 2x

b) f(x) . g(x) = (f . g) (x) = 8 (4x + 2) = (f . g)(x) = 32x + 16

c) I(x) + f(x) + g(x) =(I+ f + g) (x) = x + 8 + 4x + 2 = 5x + 10 (I + g + f) (x) = 5x + 10

¿Igual que los números, profe?

P(x) . Q(x) Q(x) . P(x)

4x - 7 3x + 416x - 28

12x2 - 21x12x2 - 5x - 28

3x + 4 4x - 7

-21x - 2812x2 + 16x12x2 - 5x - 28

P(x) . [R(x) . S(x)]

x3 - 22x2 + x

x4 + 0x3 + 0x2 - 2x + 02x5 + 0x4 + 0x3 - 4x2 + 0x2x5 + x4 + 0x3 - 4x2 - 2x + 0

6x + 24x5 + 2x4 + 0x3 - 8x2 - 4x + 0

12x6 + 6x5 + 0x4 - 24x3 - 12x2 + 0x12x6 + 10x5 + 2x4- 24x3 - 20x2 - 4x + 0

[P(x) . R(x)] . S(x)

6x + 2x3 - 2

2x3 + 0x2 - 0x - 46x4 + 0x3 + 0x2 -12x

2x5 + 6x4 + 2x3 - 4x2 - 12x - 42x2 + x

6x5 + 2x4 + 0x3 - 12x2 - 4x12x6 + 4x5 + 0x4 - 24x3 - 8x2

12x6 + 10x5 + 2x4 - 24x3 - 20x2 - 4x

I(x) + f(x) = (I + f)(x) = x + 3 la solución es (I + f)(x) = x + 3

I(x) - f(x) = (I- f)(x) = x - 3 la solución es (I - f)(x) = x - 3

I(x) . f(x) = (I. f)(x) = x .3 = 3x la solución es (I . f)(x) = 3x

I(x) / f(x) = (I/ f)(x) = x /3 la solución es (I/f)(x) = x/3

ACTIVIDADES

1. Sean los polinomios: P(x) = 4x2 - 3 Q(x) = 3x + 7x2 - 4 S(x) = 6x7. Compruebe la Propiedad Asocia-tiva de la multiplicación.

ACTIVIDADES

1. Efectúa las siguientes operaciones:Sean las funciones: l (y) = y f (y) = 5y - 2 g (y) = 6 h (y) = 3yHallar: 1) g (y) . h (y) 2) I (y) . f (y) 3) I (y) + I (y) - h(y) + g (y)

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25


37

Bueno, muchachos, retomemos las ope-raciones con los polinomios. Vamos ahora a aprender cómo multiplicar polinomios.

Profe, multiplicar polinomios debe ser difícil.

¡Que va, muchachos!, guíense por la multiplicación de números enteros y verán que no es difícil.

Vamos a analizar un ejemplo: Dados los polinomios P(x) = x4 + 6x3 - 5 y Q(x) = x + 3

Veamos el siguiente procedimiento. Vamos al pizarrón.

1. Define los siguientes términos:

a. Función_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

b. Función Inyectiva_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

c. Función Sobreyectiva_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

d. Función Biyectiva_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

e. Función Idéntica_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

f. Función Constante_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Coloca verdadero (V) o falso (F) según sea el caso.

a) La función constante se expresa como I(x) = x ( )b) La función identidad se expresa como f(x) = c ( )c) En la funcíón f(x) = x + 2, x es la variable ( )d) El Rango de una función también se llama conjunto de llegada ( )e) El Dominio de una función también se denomina conjunto de partida ( )f ) El producto 2x . x = 3x ( )

3. Clasifique las siguientes funciones:

a) f (x) = 3x - 5b) g (x) = 2x + 7c) h (x) = 3/2x + 3/4d) r (x) = 8 - 5xe) k (x) = 7 + 3x

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSEJERCICIOS

1. Colocamos el multiplicador [Q(x)] debajo del multiplicando [P(x)].

x4 + 6x3 - 5 x + 3

2. Completamos los polinomios (si es el caso) y multiplicamos el primer término del multiplicando por cada término del multiplicador, empezando por la derecha.

x4 + 6x3 + 0x2 + 0x - 5x + 3

3x4 + 18x3 +0x2 + 0x -15 1er. producto

3. Multiplicamos los términos siguientes del multiplicador y el resultado lo escribimos debajo de su término semejante.

x4 + 6x3 + 0x2 + 0x - 5x + 3

3x4 + 18x3 +0x2 + 0x -15 x5 +6x4 + 0x3 + 0x2 - 5x

1er. producto2do. producto

4. Sumamos y obtenemos el resultado final. Este procedimiento se aplica para cualquier número de términos, tanto del multiplicando como del multiplicador.

x4 + 6x3 + 0x2+ 0x - 5x + 3

3x4 + 18x3 + 0x2 + 0x -15x5 + 6x4 + 0x3 + 0x2 - 5x

x5 + 9x4 + 18x3 + 0x2 - 5x -15

1er. producto2do. producto producto final

x2 + 7x - 9 x2 + 0x + 7

x2 + 7x - 9 x2 + 0x + 7

7x2 + 49x - 630x3 + 0x2 - 0x

x4 + 7x3 - 9x2

x4 + 7x3 - 2x2 + 49x - 63

ACTIVIDADES1. Efectúa las siguientes operaciones:Sean los polinomios: P(x) = x3 + 4x - 5 Q(x) = x2 - 5 R(x) = 7x - x3

Hallar: a) P(x) . Q(x) b) Q(x) . R(x) c) P(x) [Q(x) + R(x)] d) [P(x) . Q(x)] + [Q(x) . R(x)]

Hagamos otro ejercicio.Sean los polinomios P(x) = x2 + 7x - 9 y

Q(x) = x2 + 7. Hallar P(x) . Q(x)

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Otra propiedad es el Elemento Neutro. Aquí simplemente se trata de demostrar que dado un polinomio P(x) existe Q(x) tal que P(x) + Q(x) = P(x).

Demostremos ésto con un ejemplo: sean los pol inomios P(x) = 6x3 - 5x 2 y Q(x) = 0x3 - 0x 2

Vamos al pizarrón.

Una última propiedad es el Ele-mento Simétrico. Aquí se trata de demostar que, dado P(x) existe Q(x), tal que P(x) + Q(x) = 0(x)

sean los polinomios:P(x) = 5x2 + 7 y Q(x)= ax2 + b

Vamos al pizarrón.

En general tenemos que dados los polino-mios en Q, P(x), Q(x) y R(x), se cumple que: P(x) + [Q(x) + R(x)] = [P(x) + Q(x)] + R(x)

P(x) + Q(x) 6x3 - 5x2 + 0x3 - 0x2

6x3 - 5x2 --------------> P(x)

PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS (CONTINUACIÓN)

En general tenemos que dado un polinomio Q(x) existe -P(x) tal que P(x) + (-P(x)) = 0 y Q(x) = -P(x) se denomina el simétrico u opuesto de P(x).

P(x) + Q(x) = 0(x)(5x2 + 7) + (ax2 + b) = (0x2 + 0)(5 + a)x2 + (7 +b) = ( 0x2 + 0)

Como son iguales(5 + a) = 0, a = -5 (7 + b) = 0, b = -7Q(x) = ax2 + b = -5x2 - 7 = -P(x)

En general tenemos, que dado un polinomio P(x) en Q cualquiera, existe otro polinomio Q(x) tal que P(x) + Q(x) = P(x); ese polinomio se denomina polinomio nulo y se representa como 0(x), es decir, P(x) + 0(x) = P(x)

ACTIVIDADES1. Dados los polinomios: P(x) = 4x3 + 5x2 - 9 Q(x) = 8x3 - 7x2 + 8Demuestre: a) la Propiedad Asociativa b) la existencia del Elemento Neutro c) el Elemento Simétrico.

P(x) + [Q(x) + R(x)]= (7x3 + 6x ) + [(5x3 - 9x) + (6x3 - 7x)]= (7x3 + 6x ) + (11x3 - 16x)= 18x3 -10x[P(x) + Q(x)] + R(x)= [(7x3 + 6x ) + (5x3 - 9x)] + (6x3 - 7x)= (12x3 -3x) + (6x3 -7x)= 18x3 -10x

4. Halle el Dominio y el Rango de las funciones anteriores. Responda en su cuaderno.

5. Considere la función f: Q ------> Q tal que f(x) = 5

Determine: f(1/2); f(-3); f(0); f(-3/5)

Construya la tabla de valores, el diagrama de la función y clasifíquela.

6. Sea la función I: Q --------> Q, tal que I(x) = x

Construya una tabla de valores con al menos seis, elabore el diagrama de la función y clasifí quela.

7. Dadas las funciones f(x) = -3 y g(x) = 5, definidas de Q en Q, halle;

a) (f + g) (-6) b) (g + f ) (-3)

c) (g + f ) (1/5) d) (f + g) (x)

8. Dadas las funciones I : Q -------> Q, determine:

a) ( I + I + I) (5) b) (I + I) (-3)

c) (I + I + I + I) (1/2) d) ( I + I + I + I) (x)

9. Dadas f y g, dos funciones constantes de Q en Q, definidas por:

f: Q ------> Q g: Q -------> Q

x -------> f(x) = -1/2 x -------> g(x) = 5

Halle: a) (f . g) (x) . (-4) b) (f . g) (1/3)

c) (f . g) (1) d) (f . g) (x)

10. Dadas las funciones idénticas I: Q ------> Q

Halle: a) (I . I) (-1)

b) (I . I) (-3)

c) (I . I . I) (1 + 3)

EJERCICIOS

Estudiemos ahora la Propiedad Asocia-tiva. Recuerden que asociar es agrupar. Expliquemos ésto con el siguiente ejemplo: sean los polinomiosP(x) = 7x3 + 6x; Q(x) = 5x3 - 9x; R(x) = 6x3 - 7x

Se trata de demostrar que:P(x) + [Q(x) + R(x)] = [P(x) + Q(x)] + R(x)

Vamos al pizarrón.

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Bien, muchachos, ya sabemos muchas cosas acerca de las funciones. Es importante saber ésto para entender los polinomios.

¡Claro!, por supuesto. Vamos a tomarla del diccionario. Polinomio (poli, prefijo griego que significa varios y nomio cuyo significado es divi-sión). Fíjense que es una palabra compuesta.

Recordemos cuando sumábamos funciones, por ejemplo: f(x) + g(x), donde f(x) = 4x - 6 y g(x) = x2 - 3x + 4. Hagamos esta suma en el pizarrón.

Profe, pero explique antes, por lo menos, qué significa la palabra polinomio, si es posible.

Es decir, profe, que podre-mos afirmar que polinomio se refiere a varias cosas.

Las propiedades son: Conmutativa, Aso-ciativa, Elemento Neutro y Elemento Simé-trico.

Las mismas propiedades de la suma de números enteros.

Bien, comencemos con la Pro-piedad Conmutativa. Recuerden que conmutar es s implemente intercambiar. Expliquemos esta propiedad con un ejemplo. Sean los polinomios P(x) = 6x2 - 7x + 4 y

Q(x) = 8x2 + 9x + 7Vamos a demostrar que:P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)Vamos al pizarrón.

Bien, muchachos, vamos a conti-nuar con nuestro curso. Ya sabemos sumar y restar polinomios. Vamos ahora, a estudiar las propiedades de la suma.

¿Y... cuáles son esas propiedades profe?

De acuerdo a ésto podemos pasar a definir desde el punto de vista matemático, la función polinómica, o lo que es lo mismo, los polinomios. Función polinómica: es la función obtenida de la operación combinada de adiciones y multiplicaciones de funciones idénticas y constantes.

POLINOMIOS

ACTIVIDADES

1. Halle al menos 5 funciones polinómicas operando con las Funciones Constantes e Identidad.

2. Defina Función Polinómica.

f(x) = 4x - 6 g(x) = x2 - 3x + 4

f(x) + g(x) = (4x - 6) + (x2 - 3x + 4)

(f + g) (x) = x + x2 - 2

+ +

Analicemos la siguiente función polinómica.

f(x) = x2 + 5x - 3

x2 = x.x = I(x) . I(x)

+ 5.x = 5 . I(x)

-3 = -3

— producto de Funciones Identidad

— producto de Función Constante por función identidad

— Función Constante

PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

ACTIVIDADES1. Sean los polinomios P(x) = 5x2 + 3x y Q(x) = 4x2+ 6x. Aplicar la propiedad conmutativa.

P(x) + Q(x) 6x2 - 7x + 4 + 8x2 + 9x + 7

14x2 + 2x + 11

Q(x) + P(x) 8x2 + 9x + 7 + 6x2 - 7x + 4

14x2 + 2x + 11

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

En general, sean dos polinomios en Q: P(x) y R(x), se cumple que P(x) + R(x) = R(x) + P(x)

Otros ejercicios:

Sean los polinomios: P(x) = 8x3 + 7x2 - 9x + 10 y R(x) = 12x3 - 9x2 + 6x - 13

P(x) + R(x) R(x) + P(x)

8x3 + 7x2 - 9x + 10 + 12x3 - 9x2 + 6x - 13 +

12x3 - 9x2 + 6x - 13 8x3 + 7x2 - 9x + 10

20x3 - 2x2 - 3x - 3 20x3 - 2x2 - 3x - 3

P(x) + R(x) = R(x) + P(x)

Por ahí va la cosa Ana Cristina, pero recordemos algunos ejem-plos de funciones para explicar matemáticamente lo que es un polinomio.

Fí jense que nos queda una función con varias divisiones, específicamente tres partes: x, x2 y -2. Ésta es la que se denomina una fun-ción polinómica.

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Profesor, yo entiendo de dónde sale el coeficiente 2. Lo que no entiendo es por qué -3 y por qué -2

Bueno, ahora vamos a estudiar la sustracción de poli-nomios. En este tema se procede de igual forma. Sean los polinomios: P(x) = 7x2 +4x - 5 y Q(x) = 5x2 -3 + 7x

Hallar: P(x) - Q(x)Veamos los siguientes pasos:

Por eso les dije que deben repasar los temas anteriores referentes a operaciones con números enteros. Recordemos lo siguiente:

Bien, ya sabemos lo que es un polinomio y algunas de sus características. Vamos ahora a ver los tipos de polinomios de acuerdo a la cantidad de términos. Fíjense que el polinomio P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1 tiene 5 términos. Puede haber otros con 2 términos, por ejemplo; Q(x) = 7x - 8. Recuerden que cada término se identifica porque está antes o des-pués del signo de suma o resta.

Otros pol inomios que caben dentro de esta clasifi-cación, que no tienen que ver con la cantidad de términos sino por sus características, son los Polinomios Notables.

Veamos entonces su clasificación:

1. Monomios: son los polinomios que constan de un solo término.

Ejemplos: P(x) = 3x2; H(y) = 6y; L(p) = 6p3

2. Binomios: son los polinomios que constan de dos términos.

Ejemplos: P(x) = 6x2 - 1; R(y) = 3y3 - 6y; L(n) = 6n2 - 3

3. Trinomios: son los polinomios que constan de 3 términos.

Ejemplos: L(x) = 3x3 + 2x2 - 3x; H(y) = 6y2 - 2y + 1; P(r) = 6r2 - 3r -1

A partir de cuatro elementos los polinomios reciben ese mismo nombre.

Polinomios Notables:1. Polinomios Constantes: es aquel cuyo único término está

formado por una función constante.Ejemplos: P(x) = 4; Q(x) = -1/3; H(x) = 3; J(x) = 72. Polinomio Unidad: es un polinomio constante cuyo único

término es uno.Ejemplo: P(x) = 13. Polinomio Nulo: es un polinomio cuyos términos son todos

nulos.Ejemplo: P(x) = 0

R(x) = -7x5 + 6x4 - 5x3 + 8x2 - 2x + 5 -

P(x) = 4x5 + 3x4 + 7x3 + x2 - 3x + 9

-11x5 + 3x4 - 12x3 + 7x2 + x - 4

Recuerda las siguientes reglas:

1. Operaciones de números con signos diferentes se restan y se escribe el signo del número mayor. Ejemplos: (-2) - (-3) = -2 + 3 = 1 (+7) - (+8) = 7 - 8 = -1

2. Operaciones de números con signos iguales se suman y se escribe el mismo signo. Ejemplos: (-5) - (+7) = - 5 - 7 = - 12 (+9) - (-2) = 9 + 2 = 11

CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOSSUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

ACTIVIDADES1. Escriba al menos cuatro polinomios.

2. Clasifique los siguientes polinomios:

a) P(x) = 3x b) Q(x) = 4x - 5 c) R(y) = 5y2

1. Ordenar los polinomios de la misma forma, en caso de que no lo estén.

P(x) = 7x2 +4x - 5 está ordenadoQ(x) = 5x2 -3 + 7x = 5x2 + 7x -3

2. Colocamos P(x) debajo de Q(x) cuidando que coinci-dan los términos semejantes y procedemos a restar.

7x2 + 4x - 5 -

5x2 + 7x - 3

2x2 - 3x - 2

ACTIVIDADES

1. Dados los polinomios P(x) = 4x3 + 2x2 -x + 5 y Q(x) = x3 + 5x2 +3x -2. Hallar: P(x) - Q(x)

7x2 - 5x2

4x - (+7x)

(-5) - (-3)

(-) . (-)

7 - 5 = 2

4 - (+7) = 4 - 7 = -3

(-) . (+)

-5 + 3 = -2

Hagamos otros ejercicios. Por ejemplo: sean los polino-mios P(x) = 4x5 + 3x4 - 7x3 + x2 - 3x + 9 y R(x) = -7x5 + 6x4 - 5x3 + 8x2 - 2x + 5. Hallar R(x) - P(x)

Veamos el pizarrón…

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Bueno, muchachos , ahora sí vamos a estudiar los polinomios. Pongan mucha atención. En esta parte vamos a definir y a estudiar algunas de sus características.

¡Caramba Profe! ahora si me la puso difícil.

De todas formas, en la práctica siempre nos vamos a encontrar con ejemplos numéricos; por ejemplo: P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1

Veamos ahora algunas características de los polinomios:

Tranquilos, esa expresión tan grande es sólo una forma de expresar de manera general los polinomios. Desglosemos cada una de sus partes:

Bien, muchachos, continuemos con las operaciones de polinomios.Estudiemos ahora la Suma de Polinomios.

Para sumar polinomios se procede de forma semejante a la suma de números naturales. Pongan mucha atención.

Sean los polinomios P(x) = 6x2 + 5x - 3 y Q(x) = 8x2 - 7 + 6x.Hallar: P(x) + Q(x)

Veamos los siguientes pasos:

Para sumar polinomios no olviden lo siguiente:

Profe, hablando de igua-les y semejantes, ¿cuál es la diferencia entre ambos?

Muy fácil, muchachos. Nosotros somos semejantes porque somos seres humanos, vivimos en un mismo país, etc; pero tenemos diferencias en cuanto a forma de pensar, forma de vestir, entre otras; por lo tanto, no somos iguales. Los términos, al tener diferentes coeficientes, dejan de ser iguales.

1. Dos o varios términos son semejantes si tienen igual variable y exponentes iguales.

Los términos:

Un polinomio en Q es toda función f: Q ------> Q de la forma: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0 , donde los exponente de las x (n, n-1, ... 1) son números naturales y los coeficientes (an

, an-1

, ..., a3, a

2, a

1, a

0) son números racionales. Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q y variable x se le denomina Q(x).

1. Términos de un polinomio: son los sumandos de un polinomio. Los términos de P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1 son: 5x4, -4x3, 2x2, x, -1.

2. Coeficientes de un polinomio: son los factores que multiplican a la variable. Los coeficientes de P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1 son 5, -4, 2, 1.

3. Grado de un polinomio: es el mayor exponente al cual aparece elevada la variable. En el polinomio P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1, el grado es 4.

4. Término independiente: es aquel cuyo exponente de la variable es cero, es decir, el término que no aparece acompañado de alguna variable. El término independiente en P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1, es -1.

5. Variable o indeterminada: es el factor cuyo valor es desconocido. En P(x) = 5x4 - 4x3 + 2x2 +x -1 la variable es x.

anxn ------- se lee “a sub n por x a la n”, donde a

n es un

número racional cualquiera.

an-1xn-1 ------ se lee “ a sub n menos uno por x a la n

menos uno”, donde a(n-1)

es el número anterior a an.

SUMA DE POLINOMIOSLOS POLINOMIOS Y SUS CARACTERÍSTICAS

1. Ordenar los polinomios de la misma forma, en caso de que no lo estén.

P(x) = 6x2 + 5x - 3 está ordenado en forma crecienteQ(x) = 8x2 - 7 + 6x = 8x2 + 6x -7

2. Colocamos P(x) debajo de Q(x), cuidando que coinci-dan los términos semejantes, y procedemos a sumar.

6x2 + 5x - 3 + 8x2 + 6x - 714 x2 + 11x - 10

5x3 y 8x3 son semejantes

variable x

exponente 3

coeficientes 5 y 8

2. Los coeficientes son números racionales cualesquiera, diferentes o iguales.

3. Se suman sólo los coeficientes de los términos semejantes, la variable y los exponentes se dejan iguales.

4. Se opera sólo con los términos semejantes. Las operaciones con términos diferentes se dejan indicadas. Ejemplo: 2x3 + x4 = 2x3 + x4

ACTIVIDADES1. Efectúa las siguientes sumas de polinomios:Sean los siguientes polinomios: P(x) = 2x5 - 4x6 + 9x - 8 Q(x)=3x2 + 6x5 - 7x5 + 4x6 R(x)= 3x4 - 6x5 + 9Hallar: a) P(x) + Q(x) b) Q(x) + R(x) c) P(x) + R(x)

ACTIVIDADES

1. Dé ejemplos de polinomios.2. Identifique los elementos en los siguientes polinomios:a) P(x) = 8x6 - 9x5 +3x4 - 2x3 + 6x2 +x -1 b) P(x) = 4x8 + 3x7 - 2x6 + x5 -7x4 - 9x3 + 7x2 +6x -1

Otro ejemplo:

R(x) = 7x3 + 3x2 + x -9 y S(x) = 8x3 - x2 +2x +10

Hallar: R(x) + S(x) 7x3 + 3x2 + x - 9 + 8x3 - x 2 + 2x + 1015x3 + 2x2 + 3x + 1

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Caramba, profesor, la verdad es que con tanta letra a uno le cuesta un poco enten-der estos temas tan aislados.

Bien, a continuación vamos a estudiar las operaciones con los polinomios.

Indudablemente que las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y, división; qué es un polinomio, qué es una función, que son términos semejantes de un polinomio, es decir, casi todo lo que hemos visto hasta ahora.

Recordemos un poco.

¿Qué temas debemos saber para aplicarlos?

1. Un polinomio es una función; comparemos ambos:P(x) = 3x2 + 5x + 1 y f(x) = 6x2 + 5x + 1

Lo único que cambia es la notación; uno es P(x) y la otra es f(x)2. El valor de f(x) o P(x) depende del valor asignado a x

Antes de comenzar a estudiar la suma de polinomios, veamos cómo se puede expresar un número en forma polinómica.

Los números 3456 y 2542 se pueden expre-sar en forma de polinomio de la manera siguiente:

Adicional a las características y a la clasificación, existen otros aspectos importantes a considerar en los polinomios. Estudiemos cada uno de ellos.

Tienen mucha razón, pero recuer-den que si practicamos con frecuen-cia los ejercicios, llegaremos a domi-nar el tema. No se trata de memorizar sin practicar.

Para que ejerciten este tema resuelvan las actividades y los ejer-cicios.

¡Caramba!, profesor, estamos un tanto agobiados por la cantidad de información que hemos recibido.

Otra vez les vuelvo a dar la razón, muchachos, pero no olviden lo que siempre les he dicho: las Matemáticas se aprenden de manera progresiva, es decir, hay temas que debo saber para poder entender otros posteriores. Fíjense que vamos a comenzar a estudiar las opera-ciones con los polinomios.

Polinomio ordenado: es un polinomio cuyos exponentes siguen el orden lógico de los números naturales (de mayor a menor o de menor a mayor).

Por ejemplo:

a) 3x3 + 4x2 -x exponentes ordenados de la forma 3, 2, 1 (decreciente).

b) x + 4x2 - 3x3 exponentes ordenados de la forma 1, 2, 3 (creciente).

1. Polinomios ordenados en forma decreciente: son los polinomios cuyos exponentes se ordenan de mayor a menor. Es la forma común de presentar un polinomio. Por ejemplo: P(x) = 3x4 + 6x3 - 7x2 + x -5

2. Polinomios ordenados en forma creciente: son los polinomios cuyos exponentes se ordenan de menor a mayor. Por ejemplo: Q(x) = 9 + 3x - 5x2 + 6x3

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6= 3.103 + 4.102 + 5.10 + 6.100

2542 = 2000 + 500 + 40 + 2 = 2.103 + 5.102 + 4.10 + 2.100

Al sumarlos nos queda:3.103 + 4.102 + 5.10 + 6.100 +2.103 + 5.102 + 4.10 + 2.100

5.103 + 9.102 + 9.10 + 8.100

5000 + 900 + 90 + 8 = 5998

EXPRESIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO NATURAL OTROS CASOS DE POLINOMIOS

3. Polinomios completos: un polinomio es completo cuando todos sus términos son diferentes de cero. Por ejemplo: P(x) = 3x4 + 6x3 - 7x2 + x -5

4. Polinomios iguales: dos o más polinomios son iguales si cada término de un polinomio tiene su correspondiente término semejante e igual coeficiente en el otro polinomio, además del mismo signo. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma variable y el mismo grado.

Ejemplo: sean los polinomios P(x) = 5x3 - 6x y Q(x) = 5x3 - 6x. Se observa con toda claridad que los términos de ambos polinomios son iguales, es decir, 5x3 = 5x3 y -6x = -6x

ACTIVIDADES

1. Dé ejemplos de polinomios ordenados de forma creciente y de forma decreciente. Al menos cuatro de cada uno.

2. Ordene de forma creciente o decreciente según sea el caso.

a) P(x) = 3x - 5x3 + 7x2 - 2b) Q(x) = 5x6 - 9 + 4x3 - 6x4 + 7x5

c) R(x) = 12x8 - 7 + 5x + 4x3 - 7x2 + 4x5

ACTIVIDADES

1. Expresar los siguientes números en forma de polinomio:

a) 4567 b) 46734 c) 12348 d) 235 e) 678 f) 123456 g) 6784 h) 9875 i) 3214

2. Exprese en forma de polinomio y sume los siguientes números:

a) 234 + 4563 b) 2453 + 6789 c) 67549 + 8674 d) 1346 + 87654 e) 98765 + 12345

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EJERCICIOS

1. Escribe tres funciones polinómicas en Q con variable x.

2. Escribe tres funciones polinómicas en Q con variable y.

3. Identifique y señale la variable en cada caso.

a) F(x) = 1/2 x2 . 5x b) H(x) = 3/x + 4x c) R(y) = 3y + 4 d) V(t) = Vo + gt

4. ¿A qué conjunto pertenecen los exponentes de las variables de un polinomio?

5. ¿A qué conjunto pertenecen los coeficientes de un polinomio?

6. Escriba una función polinómica en Q de variable x, de acuerdo a las condiciones dadas:

a) Que el máximo exponente de la variable sea 3

b) Que todos los números que multiplican a la variable sean 0

7. En cada uno de los siguientes polinomios, identifique: términos, coeficientes, grado y variable.

a) P(x) = 6x3 - 3x2 - 2x -1 b) H(t) = 3t2 - 2 c) L(x) = 6x4 - 3x2 + 2x

d) G(i) = i3 + 1 e) M(r) = r3 + r2 + r f ) L(x) = 1/2 x2 + 3

8. Dados los polinomios siguientes, identifique cuál es nulo, unidad, constante y monomio.

a) P(x) = 5x2 - 2 b) L(x) = 0x3 + 0x2 + 1 c) S(x) = 7

d) G(x) = 0x8- x5 + 6 - x e) M(x) = 0 + 0x2 + 0x3 f ) Z(x) = 1 + 0x3 - 0x4

9. Escriba verdadero (V) o falso (F) según sea el caso.

a) Un polinomio en Q es cualquier función de Q ------> Q ( )

b) Los términos de un polinomio son los sumandos que lo forman ( )

c) Los polinomios tienen grado 2 ( )

d) El polinomio unidad es de grado 1 ( )

10. ¿Cuál de los siguientes polinomios están ordenados de forma creciente?

a) x3 - x2 -5 + x b) x3 + 5 - x +x2 c.)x3 - x2 - x + 1 d) 5 + x + x2

11. Ordene los siguientes polinomios en forma creciente:

a) 7x3 + 2x2 -5x + 1 b) 6x3 - 2x + 1 c) 8x2 + 3x4 - 2x d) 3x2 - 1 - 6x

12. Indique el grado de los polinomios siguientes:

a) P(x) = 5x2 b) L(h) = h c) P(r) = r2 + r3 - 1 d) T(x) = x3 - 1

13. Señale en cada caso si los polinomios son iguales:

a) P(x) = x2 + 3 y Q(x) = 3 + x2 b) P(x) = 0 y Q(x) = 0x3 + 0x2 + 0

c) P(x) = x2 + x + 1 y Q(x) = -x2 + x + 1 d) P(x) = x3 - 2 y Q(x) = x3 - 0x2 +0x -2

14. Señale los términos semejantes entre los polinomios dados:

a) P(x) = 4x3 - 5x4 - 3x2 + 1 y Q(x) = x4 + 3x2 + 2 b) P(x) = x7 - x3 + x - 4 y Q(x) = x3 + x2 + x

c) P(x) = x2 - 1 + x y Q(x) = 5x2 + 3 d) P(x) = 0x2 + 0x y Q(x) = x

15. Construya dos polinomios de grado 4 con tres términos semejantes.

16. Si un polinomio es de grado 5 y otro de grado 3; ¿cuál es el máximo número de términos seme-jantes posibles que puede tener?

17. Escriba en forma ordenada y completa un polinomio de x términos en forma creciente.

EJERCICIOS


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