Matematica Elemental

04/10/12 MATEMATICA ELEMENTAL

1/13www.telef onica.net/web2/marodgar/logaritmos.htm#LIBRO

MATEMATICAELEMENTAL

Preguntas a responder

Esquema

Introduccin

Logaritmo

Definicin de logaritmo en:

- DRAE

- CIRLEC

- DICMAT - LIBRO

Matriz de las definiciones

Conceptos en:

- DRAE

- CIRLEC

- DICMAT - LIBRO

Rasgos de los logaritmos

Naturaleza de la base

Nmeros con logaritmo

Propiedades

Clculo con logaritmos - De potencias enteras de la

base - De cualquier nmerointermedio

Caracterstica y mantisa

Transformaciones

Ventajas operativas

Relacin con otrasoperaciones

Logaritmacin

Clculos simples

MATEMATICA ELEMENTAL

LA LOGARITMACION: LOS LOGARITMOS

En este tema responderemos a las siguientes preguntas:

En qu consiste la logaritmacin? Qu relaciones la ligan con otras operaciones

aritmticas? Qu son los logaritmos de los nmeros?

Cmo los usaremos?

Cual es su uso en el clculo?

Por qu son necesarios los logaritmos?

Para qu los usaremos?

Qu aplicaciones tienen?

Es posible que se respondan algunas ms.

CUADRO SINPTICO

Logaritmos: introduccin

Siguiendo con el esquema adoptado en el estudio de lamatemtica elemental, para penetrar en el concepto delogaritmacin y logaritmo y seguir despus en sudesarrollo conceptual, propiedades y aplicaciones, nosintroduciremos en el tema a partir de lo que dicen losdiccionarios: DRAE, CIRLEC, DIMAT y un libro dematemticas. Analizaremos sus contenidos, losemejante, lo distinto, lo olvidado y sus imprecisiones.



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Adquirido el concepto de logaritmo lo que viene despuses consecuencia de ello y por tanto generable porcualquier lector perspicaz.

1 Concepto: Logaritmacin:

Qu dice el DRAE? No aparece tal concepto en el DRAE,CIRLEC, DIMAT. Volver despus sobre ello.

2 Concepto: Logaritmo:

Qu dice el DRAE?

Logaritmo: (Del gr.logos: razn y ariqmos : nmero) m.Mat. Exponente a que es necesario elevar una cantidadpositiva para que resulte un nmero determinado. Elempleo de los logaritmos simplifica los procedimientosde clculo aritmtico.

NOTA: En cuanto a la palabra logaritmo, no estoy muyseguro de que la etimologa del DRAE sea la correcta.Invito a los eruditos a que la confirmen o aporten la msverosmil.

Qu dice la enciclopedia CIRLEC?

Logaritmo: El __ de un nmero real positivo x respecto ala base a se define como aquel nmero y que se debedar por exponente a la base a para obtener x. El __ dex base a se indica por loga x.

La enciclopedia dice algunas cosas ms pero ahora nonos interesan, lo dejamos esperando para cuando seanecesario.

Qu dice sobre el asunto el diccionario especializadoDICMAT?

Logaritmo: Es el exponente de la potencia de un nmerofijo que es igual a un nmero dado. Consta decaracterstica (que puede ser positiva, negativa o nula) ymantisa (parte decimal).

Qu dice un libro de matemticas al respecto?

Logaritmo y de un nmero x en la base a positiva,distinta de 1, es el exponente a que debe elevarse labase, para obtener el nmero

Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:

Resumen de las definiciones

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Fuente Texto

DRAE

Logaritmo: Exponente a que es necesarioelevar una cantidad positiva para que resulteun nmero determinado. El empleo de loslogaritmos simplifica los procedimientos declculo aritmtico

CIRLEC

Logaritmo: El __ de un nmero real positivo xrespecto a la base a se define como aquelnmero y que se debe dar por exponente a labase a para obtener x. El __ de x base a seindica por loga x

DICMAT

Logaritmo: Es el exponente de la potencia deun nmero fijo que es igual a un nmero dado.Consta de caracterstica (que puede serpositiva, negativa o nula) y mantisa (partedecimal)

LIBRO

DE MATEMTICAS

Logaritmo y de un nmero x en la base apositiva, distinta de 1, es el exponente a quedebe elevarse la base, para obtener el nmero

Qu conceptos utiliza el DRAE?

- Es un exponente de una cantidad positiva. - De ese clculo ha de resultar un nmero determinado:

- Los logaritmos simplifican el clculo aritmtico.

A partir de lo que dice el DRAE podemos concluir que loslogaritmos estn relacionados con las potencias de basepositiva que al elevarla al logaritmo resultar un nmerodeterminado.

Cmo podramos simbolizar matemticamente loanterior?

Llamamos a a la base positiva; n al exponente y N alresultado de la potencia

Matemticamente se escribira as : an = N

n ser el logaritmo en base a de N; escritosimblicamente sera:

n = loga N

Qu conceptos utiliza CIRLEC?

- El logaritmo lo ha de ser de un nmero positivo x - Es un exponente y de una base a.

- De esa potencia se obtiene x



- Lo expresa simblicamente as: y = loga x

Qu conceptos utiliza DIMAT?

Logaritmo: Es el exponente de la potencia de un nmerofijo que es igual a un nmero dado. Consta decaracterstica (que puede ser positiva, negativa o nula) ymantisa (parte decimal)

- Es un exponente de un nmero fijo.

- La potencia resultante ser un nmero dado. - Le aade que los logaritmos constan de caracterstica(que puede ser positiva, negativa o nula) y mantisa(parte decimal)

Simbolizar matemticamente lo anterior se hara as:

Llamamos a al nmero fijo que sirve de base; n alexponente y N el nmero dado que ser el resultado dela potencia


n sera el logaritmo en base a de N escritosimblicamente as:

n = loga N

Qu conceptos utiliza el libro de matemticas?

Logaritmo y de un nmero x en la base a positiva,distinta de 1, es el exponente a que debe elevarse labase, para obtener el nmero

- El logaritmo y lo ha de ser de un nmero x

- Es un exponente de una base positiva y distinta de launidad.

- De esa potencia ha de resultar el nmero x dado.

A partir de lo anterior podramos simbolizarlomatemticamente as:

Si el nmero es x; la base es a; el logaritmo es y

y = loga x o dicho de otra manera: ay = x Tambin

puede expresarse as x = a loga x

Examinadas detenidamente las cuatro definicionesanteriores se observa lo siguiente:

Todas coinciden en sealar que el logaritmo de unnmero dado es el exponente al que hay que elevar labase para obtener el nmero.



A partir de ahora y para operar con los mismos smbolosse convendr lo siguiente:

Llamamos a a la base; n al exponente y N el nmeroresultado de la potencia del que hay que determinar sulogaritmo.


n sera el logaritmo en base a de N; escritosimblicamente as:

n = loga N

o inversamente: se expresara as: N = alogaN

Que traducido al lenguaje natural sera: Un nmero esigual a la base elevada a su logaritmo.

Como puede apreciarse no todas las definicionescoinciden en sealar las propiedades que han de cumplirel nmero N, la base a y el exponente n que es ellogaritmo en base a de N.

Para comprobar los rasgos de los elementos queintervienen en la definicin de logaritmo se sintetizan enla matriz siguiente:

Rasgos de los logaritmos de los nmeros destacadosen la definicin de los textos consultados.

TEXTO RASGO DEL LOGARITMO

DRAE Un nmero determinado, una cantidad positiva

CIRLEC Un nmero real positivo

DICMATUn nmero dado. Un nmero fijo consta decaracterstica (que puede ser positiva, negativao nula) y mantisa (parte decimal)

LIBRO Un nmero la base positiva, distinta de 1

En lo sucesivo se utilizarn los siguientes smbolos: Elnmero dado N; la base dada a; el exponente n que esel logaritmo expresado as: n = loga N

Si nos moviramos en el conjunto de los nmeroscomplejos nada hay que decir acerca de los rasgos de loselementos que intervienen en la definicin de logaritmo.

Los cuatro libros de los que se extrajeron las



definiciones se referan, implcitamente, a los logaritmosde nmeros reales, por ello sorprende su imprecisin. Acontinuacin intento el remedio de tal imprecisin de lasiguiente manera:

- La base no puede ser la unidad ya que 1n = 1,cualquiera que sea n.

NOTA: Slo el libro de Matemticas lo tiene en cuentaeste rasgo fundamental.

- La base no puede ser cero ya que 0n = 0, cualquieraque sea n.

NOTA: Slo el libro de Matemticas y el DRAE tienen encuenta este rasgo fundamental. Llama la atencin que elDiccionario de Matemticas no lo considere.

Puede ser negativa la base?

Por las operaciones con potencias se sabe que:

* El resultado de elevar un nmero negativo aexponente impar positivo es un nmero negativo y elresultado de elevar un nmero negativo a exponentepar positivo es un nmero positivo:

As: (-3)1 = -3 (-3)2 = + 9

Qu ocurre con el resultado cuando el exponenteest comprendido ente 1 y 2?

Tal restriccin se expresa simblicamente as:

n [1 2] o as: 1 n 2

Cuando el exponente es 1, el resultado es negativo devalor (-3) y cuando el exponente es 2, el resultado espositivo y de valor +9

Qu ocurre cuando n = 3/2, valor comprendido entre 1 y2?

Calculmosle:

N = (-3)3/2 = (- 3)3 = -27 Sin solucin en elconjunto de los nmeros reales. No existe ni un nmeroreal que elevado al cuadrado, nos resulte (-27)

Supongamos que n = 5/3 valor comprendido entre 1 y 2

3 3



N = (-3)5/3 =(- 3)5 = -243 - 6,24La potencia de base negativa y exponente racional enalgunos casos su resultado es un nmero real y en otroscomplejo, por tanto: La base del sistema de logaritmosno puede ser negativa.

En consecuencia: La base de un sistema de logaritmosno puede ser negativa nula o la unidad.

N, al que hay que calcularle su logaritmo, puede sernegativo, nulo o positivo

Tienen logaritmo los nmeros negativos? y El cerotiene logaritmo? Para responder a esto hay que partirde las siguientes expresiones

a, la base positiva; esto es a > 0 N, El nmero negativo o nulo al que hay que determinarsu logaritmo, N 0

n, el exponente al que hay que elevar a para obtener N;esto es:

n = loga N

Por tanto, en las condiciones anteriores, Es posible

calcular an = N? No, porque cualquiera que sea n, siendoa positivo el resultado siempre ser positivo, por tantono puede ser nulo, ni negativo.

En consecuencia: En el conjunto de los nmeros realestienen logaritmo los nmeros reales positivos.

NOTA: Slo el CIRLEC tiene en cuenta este rasgofundamental. Llama la atencin que el libro deMatemticas no lo considere en la definicin, si bien enel desarrollo posterior, como propiedad, si lo tiene encuenta. Lo del Diccionario de Matemticas ya no mesorprende.

Propiedades derivadas del concepto de logaritmo:

Cualquiera que sea la base se cumple:

a0 = 1

Cualquier nmero elevado a cero es igual a la unidad.En consecuencia: Cualquiera que sea la base, ellogaritmo de la unidad es cero;

log 1 = 0



a1 = a

Cualquier nmero elevado a la unidad es igual a labase. En consecuencia: El logaritmo de la base es uno;

loga a = 1

Clculo de logaritmos:

Los logaritmos de los nmeros se calculan con ayuda delas tablas y la calculadora.

Desde un punto de vista conceptual, para calcular ellogaritmo de un nmero real positivo, N, se ha dedisponer de una base a, que es un nmero real positivodistinto de 1; y escribir N, como potencia de a; elexponente calculado es el logaritmo.

Ejemplos:

Clculo de logaritmos en el sistema de numeracindecimal; esto es: de base 10.

Cual ser el logaritmo decimal de 100?

Es posible aplicar la expresin an = N?

Recurdese: n = loga N

100 escrito como potencia de base 10 sera:

102 = 100

Cual es el exponente al que tengo que elevar labase, 10, para obtener el nmero, 100? El exponente

es 2, luego 2 = log10 100

Es usual que en el sistema decimal no se escriba labase; esto es: decir que el log 100 = 2 , se conviene que

la base es 10.

Cual ser el logaritmo decimal de 10000?

Es posible aplicar la expresin an = N?

Recurdese: n = loga N

10000 escrito como potencia de base 10 sera 104 =10000

Cual es el exponente al que tengo que elevar la base,10, para obtener el nmero, 10000? El exponente es 4,luego



4 = log 10000

Cual ser el logaritmo decimal de 0,1?

Estrategia: se expresa 0,1 como unidad fraccionaria ydespus como potencia negativa de 10; as:

0,1 = 1/10 = 10-1

Cual es el exponente al que tengo que elevar la base,10, para obtener el nmero 0,1?

El exponente es -1, luego -1 = log 0,1

Anlogamente se calculara:

log 0,01 = -2

log 0,001 = - 3 log 0,0001 = - 4

de esa manera podemos construir la siguiente tabla delogaritmos:

Nmeros: Logaritmos

0,0001 = 10-4 -4

0,001 = 10-3 -3

0,01 = 10-2 -2

0, 1 = 10-1 -1

1 = 100 0

10 = 101 1

100 = 102 2

1000 = 103 3

10000 = 104 4

Y as sucesivamente se puede construir la tabla delogaritmos de las distintas potencias de 10.

Como puede comprobarse, los nmeros estn enprogresin geomtrica y sus logaritmos en progresinaritmtica:

Recurdese:

Una sucesin de nmeros est en progresin geomtricasi, cada trmino se obtiene, multiplicando el anterior poruna constante que recibe el nombre de razn de laprogresin.



Una sucesin de nmeros est en progresin aritmticasi, cada trmino se obtiene, sumndole al anterior unaconstante que recibe el nombre de diferencia de laprogresin.

Aplicndole esto a lo anterior se ve que la razn de losnmeros es 10 y la diferencia en los logaritmos es 1

Qu ocurrir con los logaritmos de los nmerosintermedios de los distintos intervalos de la tabla? Suslogaritmos estarn comprendidos entre los intervalos desus respectivos logaritmos.

La matriz que sigue ejemplifica lo dicho. La primeracolumna contiene los nmeros de la matriz anterior y elvalor medio de cada intervalo; en la segunda columna setranscriben los logaritmos de los extremos de losintervalos y el campo de variacin del logaritmo delnmero intermedio; en la columna tercera se transcribenlos logaritmos de los nmeros intermedios obtenidos enla calculadora; as: Se escribe el nmero, se teclea [log]y aparece en el visor el logaritmo decimal del nmeromarcado; en la columna cuarta se escriben los logaritmosde los nmeros intermedios cuyo valor es negativo,transformndolo en dos sumandos: la parte entera,negativa y la parte decimal positiva. Esta transformacinse explica posteriormente.

Logaritmos de algunos nmeros

Nmero LogaritmosLogaritmosintermedios

Logaritmoscorregidos

0.0001 -4

0.0005 -4

11/13

1000 3

5000 3

log 0,05 = (-2) + 0,69897

Usualmente se escribe as:

log 0,05 = (-2),69897

que expresa el log 0,05 con la caracterstica negativa yla mantisa positiva.

Regla prctica para transformar un logaritmoexpresado con mantisa y caracterstica negativas:

Se incrementa la parte entera en una unidad negativa yen la mantisa se escribe el complemento a uno; as:

log 0,005 = -2,301030

de acuerdo con la regla de transformacin sera log 0,005 = (-3),69897

(-3) se obtiene incrementando (-2) con (-1);

El complemento a 1 de 0,301030 se calcula as:

1- 0,301030 = 0,69897

Como sntesis de lo expuesto decir que el logaritmo de 5= 0,69897 equivale a esta expresin:

5 = 100,69897

Comprobadlo en la calculadora.

Qu ventajas presenta operar con logaritmos? Esms cmodo operar con exponentes de una base que contodo el nmero.

Despus de lo dicho podemos introducir el concepto deLogaritmacin para lo cual recordamos que al definir ellogaritmo de un nmero se ha partido de la siguiente

expresin: N = an en la que figuran tres valores: Elnmero N, la base a y el exponente n.

Si en la frmula anterior se conocen dos valores sepuede calcular el tercero. Segn sea el valordesconocido ser la operacin a realizar. La matrizsiguiente lo resume:

Operacin N a n Expresin

Potenciacin ? Dato Dato N = an

n



Radicacin Dato ? Datoa = N

Logaritmacin Dato Dato ? n = LogaN

La matriz anterior expresa la relacin existente entrepotenciacin, radicacin y logaritmacin. En su virtud podemos definir la logaritmacin como aquellaoperacin que tiene por objeto el clculo conlogaritmos.

El libro de Matemticas dice: En la potencia, conocida labase y el resultado calcular el exponente, es lalogaritmacin.

Con lo expuesto se pueden hacer algunos

Clculos simples

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