SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Forma General: ax + by =c

dx + ey = f

Puede ocurrir que tengan, dependiendo de la relación relativa de las rectas en el plano cartesiano:

8) Una solución

9) Ninguna solución

10)Infinitas soluciones

• Una solución o sistema compatible

Pendiente 1 diferente a pendiente 2.

Existe intersección.

Ej: L1 : 2x + y = 5

L2 : 3x – y = 5

L1 : y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5

L2 : y = 3x – 5 m = 3 ; n = -5

2) No hay solución o sistema incompatible

m1 = m2

n1 diferente a n2

Rectas paralelas.

Ej: L1 : 2x + y = 5

L2 : 2x + y = 3

L1 : y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5

L2 : y = 3 – 2x m = -2 ; n = 3

3) Infinitas soluciones o sistema compatible indeterminado

m1 = m2

n1 = n2

Rectas coincidentes

Ej: L1 : 2x + y = 5

L2 : 4x + 2y = 10

L1 : y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5

L2 : 2y = 10 – 4x

y = 5 – 2x m = -2 ; n = 5

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

• Método de igualación: Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones y luego se igualan.

Ej: x + y = 30 x = 30 – y

4x + 2y = 80 4x = 80 – 2y x = 20 – ½y

30 – y = 20 - ½y / x2

60 – 2y = 40 – y

60 – 40 = - y + 2y

20 = y

Luego se reemplaza :

x + 20 = 30

X = 30 – 20

X = 10

2) Método de sustitución:

Se despeja un variable en una ecuación y se sustituye en la otra ecuación.

Ej: a. x + y = 30

b. 4x + 2y = 80

• X = 30 – y

• 4(30 – y) + 2y = 80

120 – 4y + 2y = 80

120 – 80 = 4 y – 2y

40 = 2y

20 = y

Se despeja x :

X + 20 = 30

X = 30 – 20

X = 10

3) Método de reducción

Consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola. Para eso debemos multiplicar una o ambas ecuaciones de modo que las incógnitas del mismo tipo queden con signos opuestos para poder eliminarlos.

Ej : x + y = 30

4x + 2y = 80

/ x -4 -4x – 4y = -120

4 + 2y = 80+ -2y = - 40

y = 20

X + 20 = 30

X = 10

Reemplazamos:

4) Método de Cramer:

Ej: 2x + 3y = 1

5y - x = 2

1º. Se ordenan las variables 2x + 3y = 1

-x + 5y = 2

2º. Se ordenan por discriminantes= 2 3

-1 5Sólo las variables

X = 1 3

2 5

Se “tapan” las variables x y se reemplaza por los nº que sobran (en este caso 1 y 2)

= (2 x 5) – [3 x (-1)]

= 10 + 3 = 13

= (1 x 5) – (3 x 2)

= 5 – 6 = -1

Se multiplica cruzado y se restan los resultados.

En este caso :

Es el que menos se entiende :B sorry $:

y = 2 1

-1 2

y = (2 x 2) – [1 x (-1)]

= 4 + 1 = 5

x = x = -1 13

y = y = 513

S = ( -1/13 , 5/13 )

4) Método de sustitución de variable

Ej: 2/x + 5/y = 1

1/x – 2/y = -1

2 x 1/x + 5 x 1/y = 1

1/x – 2 x 1/y = -1

1º. Remplazar :

1/x = u

1/y = v

2º. Sustituir:

2 x u + 5 x v = 1

u – 2 x v = -1

2u + 5v = 1

u - 2v = -1 /x-2

= 2u + 5v = 1

-2u + 4v = 2

9 v = 3

v = 1/3

Remplazo :

2u + 5 x 1/3 = 1

2u + 5/3 = 1

U = -1/3

Se le dan valores a :

1/x = u

1/x = -1/3

X = -3

1/y = v

1/y = 1/3

Y = 3

S = ( -3 , 3 )