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2 PRELIMINARES

Grado de 0 a 4

Cuyo análisis particularizado conduce al estudio de

Limitadas a

Las cuales se clasifican en

Su inversa

Con el fin de

En especial

Contiene

FUNCIONES

Compuestas por las funciones

Exponenciales Polinomiales Racionales

Bases 10 y e

RESOLVER PROBLEMAS

Logarítmicas Senoidales

Seno Coseno

MATEMÁTICAS 4

Con el fin de

Funciones algebraicas Funciones trascendentes

Irracionales

Las cuales se clasifican en

Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.

Competencias disciplinares básicas: x Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,

algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

x Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. x Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con

modelos establecidos o situaciones reales. x Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o

variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

x Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

x Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

x Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: x Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre

magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

x Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

x Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 21 horas

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 10

Secuencia didáctica 1. Relaciones y funciones.

�Inicio�

Desarrolla lo que se pide.

I. Lee con atención el siguiente texto y responde los cuestionamientos posteriores.

Mónica organizó en su salón la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar aleatoriamente una persona para enviarle diariamente un presente; el último día de clases, cada participante descubre quién era su amigo secreto. Cuando se hizo el sorteo, Juan se quedó con dos papelitos y no aguantó la tentación de abrirlos, por supuesto, sin que nadie se diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendió, porque era Claudia y Esteban, sus dos mejores amigos, por lo que decidió callar y regarle a ambos, ya que no podía decidirse por alguno. 1. ¿Qué podría pasar en la actividad que organizó Mónica, con el proceder de Juan?

Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una flecha la forma en que podría quedar el reparto, si no descubren a Juan.

Persona que regala Persona que recibe el regalo Gustavo Gustavo María María Juan Juan Sonia Sonia Mónica Mónica Claudia Claudia Sandra Sandra Carlos Carlos Esteban Esteban

2. ¿Qué condición debe existir para que la actividad resulte?

Relaciona con una flecha una forma en la que podría quedar el reparto de tal manera que funcione.

Persona que regala Persona que recibe el regalo Gustavo Gustavo María María Juan Juan Sonia Sonia Mónica Mónica Claudia Claudia Sandra Sandra Carlos Carlos Esteban Esteban

Actividad: 1

BLOQUE 1 11

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Cuestionario y ejercicios de relacionar. Puntaje:

Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal

Comprende la diferencia entre relaciones y funciones.

Identifica la diferencia entre una relación y una función.

Muestra disposición al realizar la actividad.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

3. De acuerdo a lo anterior, ¿cómo definirías una relación entre dos conjuntos?

4. De igual forma, ¿cómo definirías una relación funcional entre dos conjuntos?

II. Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en la línea la palabra relación o relación

funcional, dado el caso.

Vegetales Tipos Figuras geométricas Número de lados

__________________________________ __________________________________

Chícharo Avena

Toronja Rábano Tomate

Cereal Fruta

Verdura Leguminosa

Cítrico Tubérculo

0 1 2 3 4 5 6 7

Actividad: 1 (continuación)


�Desarrollo Diferencia entre relaciones y funciones. A lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenómenos para poder comprender las situaciones, como por ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposición en equipo, cuando asignan la posición que tomarán los jugadores de futbol, la distancia que recorre un automóvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que cae a una altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a que es un mundo cambiante, donde existe un sinfín de magnitudes que varían, como: el tiempo, la posición de la luna, el precio de un artículo, la población, entre otras. A continuación se definirán los conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el concepto de relación y función, y la diferencia que hay entre ellos. Relaciones. La relación entre dos conjuntos es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer conjunto llamado dominio, con uno o más elementos de un segundo conjunto llamado contradominio o codominio. Una relación se puede representar utilizando las siguientes formas: Mediante un criterio de selección o regla de asociación, el cual se puede presentar en forma de enunciado o una expresión analítica (fórmula), que explicita la relación entre los elementos de los dos conjuntos. Mediante un diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos por medio de flechas. Mediante un diagrama de árbol, el cual es una representación gráfica que muestra el desglose progresivo de la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos. Mediante un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares ordenados posibles, cuya primera coordenada es un elemento del primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Si los conjuntos a relacionar son A y B, el producto cartesiano entre ellos se denota como A x B. Mediante una tabla, la cual es la organización de los conjuntos en columnas, relacionando así los elementos de los mismos mediante las filas. Mediante una gráfica, la cual es una representación de elementos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí. Todas las formas de correspondencia entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si la asociación se da mediante un enunciado, se requiere obtener primero los elementos de cada conjunto para establecer entre ellos la relación y describir los pares ordenados. A continuación se mostrarán ejemplos de las diferentes formas de representar una relación. Ejemplos de relación mediante un criterio de selección o regla de asociación. x La relación que existe entre los estados colindantes a Durango y sus capitales. x La relación que hay entre las asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora,

con el número de horas a la semana en las que se imparten. x La relación entre los jugadores de la selección mexicana, con su posible posición en el juego contra Sudáfrica en

el mundial del 2010. x La relación que existe entre los kilómetros que recorre un automóvil con el tiempo que transcurre, si éste se

mueve a una velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse de Ciudad Obregón a Hermosillo.

x La relación que hay entre un número y su cuadrado aumentado en dos unidades.

Un conjunto es una colección de personas, animales u objetos con características similares.

BLOQUE 1 13

x La relación que existe entre los resultados que se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su segundo lanzamiento.

x La relación que existe entre las variables de la ecuación 3x2y � Ejemplos de relación mediante un diagrama sagital.

Chihuahua Sinaloa

Coahuila Zacatecas

Nayarit

Saltillo Tepic

Zacatecas Chihuahua Culiacán

Estados

Capitales

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

(ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4), (F2, 5), (AP, 3), (LAE 4), (CPT A, 4), (CPT B, 3)

Asignaturas Núm. de horas

E. socio-económica de México (ESEM) Matemáticas 4 (M4)

Biología 2 (B2) Literatura 2 (L2)

Física 2 (F2) Actividades paraescolares (A. P.)

Lengua adicional al español 4 (LAE 4) Capacitación para el trabajo A (CPT A) Capacitación para el trabajo B (CPT B)

3 4 5

Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

A

S

A

S

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)

Jugadores Posiciones

Guillermo Ochoa Paul Aguilar

Carlos Salcido Ricardo Osorio

F. Javier Rodríguez Efraín Juárez

Rafael Márquez Gerardo Torrado

Giovani dos Santos Carlos Vela

Guille Franco

Portero

Defensa

Medio campista

Delantero

(G. Ochoa, Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio), (C. Salcido, Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodríguez, Defensa), (E. Juárez, Defensa), (E. Juárez, Medio), (R. Márquez, Defensa), (R. Márquez, Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio), (GD. Santos, Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero), (G. Franco, Delantero)


Ejemplos de relación mediante diagrama de árbol. Ejemplos de relación mediante un producto cartesiano.

1. Se lanza una moneda dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento.

A:1er. lanzamiento B: 2do. lanzamiento

Producto cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)} .

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)

A

S

A

S

Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

A

S

Blusas Pantalones

Blanca

Negra

Naranja

Mezclilla Vestir Capri



(Blanca, Mezclilla), (Blanca, Vestir), (Blanca, Capri), (Negra, Mezclilla), (Negra, Vestir), (Negra, Capri), (Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir), (Naranja, Capri)

BLOQUE 1 15

2. Expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento de dos dados.

A: Primer dado. B: Segundo dado.

� � � � � � � � � � � �� °°

°°

¿

°°°°

¾

½

°°°°

¯

°°°°

®

6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6

6,5,5,5,4,5,3,5,2,5,1,5

6,4,5,4,4,4,3,4,2,4,1,4

6,3,5,3,4,3,3,3,2,3,1,3

6,2,5,2,4,2,3,2,2,2,1,2

6,1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1

BxA

Ejemplos de relación mediante una tabla.

ESTADO CAPITAL

Chihuahua Chihuahua Sinaloa Culiacán

Coahuila Saltillo Zacatecas Zacatecas

Nayarit Tepic

x 3x2y �

– 1 1 0 3 1 5 2 7 3 9

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

(-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9)


Ejemplos de relación mediante una gráfica.

� � � �

��

��

��

��

��

��

t (hrs)

d (Km)

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

y

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

y

Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones se pueden representar mediante las formas antes mencionadas, como por ejemplo, la relación que existe entre los jugadores y su posible posición, no se puede representar mediante una ecuación; tampoco tendría sentido intentar formar un diagrama de árbol o un producto cartesiano, por lo que sólo se puede representar en forma de enunciado o diagrama sagital. Una tabla proporciona una relación directa, donde cada elemento del primer conjunto está asociado con un elemento del segundo conjunto, de forma ordenada; al igual que la tabla, la representación gráfica proporciona una relación directa entre los elementos de los conjuntos, sin embargo, tanto la tabla como la gráfica pueden carecer de información suficiente como para describir su comportamiento mediante una expresión analítica, por ello, la representación analítica es la más completa, de ella se puede derivar una tabla, un gráfica, una expresión verbal y un diagrama sagital. El diagrama de árbol y el producto cartesiano se utiliza, en su mayoría, para obtener espacios muestrales y eventos probabilísticos, como los que abordaste en el último bloque de la asignatura de Matemáticas 2.

Cita dos ejemplos de cada una de las formas de representar la relación entre dos conjuntos. 1. Enunciado.

Actividad: 2

BLOQUE 1 17

2. Representación analítica.

3. Diagrama sagital.

4. Diagrama de árbol.



Evaluación Actividad: 2 Producto: Diseño de ejemplos. Puntaje:


Reconoce las diferentes formas de representar la relación entre conjuntos.

Ejemplifica las diferentes formas de representar la relación entre conjuntos.

Aprecia la utilidad de las diferentes formas de representar una relación entre conjuntos.


docente

5. Producto cartesiano.

6. Tabla.

7. Gráfica.


BLOQUE 1 19

Funciones. Ahora se abordará el concepto de función, la cual es un tipo especial de relación, su definición es: Una función es una relación en la cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (contradominio).

Anota en la línea la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN según corresponda y justifica tu respuesta.

��

��

��

��

�

�

�

x

y

______________________________________ ____ __________________________________ Justificación: Justificación:

x 3x2y �

-1 1 0 3 1 5 2 7 3 9


María Carlos Francisco Manuel Lupita Javier

1 2 3 5 6 7 8 9

Fam. Zárate

Asignaturas

Chihuahua Sinaloa

Coahuila Zacatecas

Nayarit

Saltillo Tepic

Zacatecas Chihuahua Culiacán

Estados

Capitales

Actividad: 3


Evaluación

Actividad: 3 Producto: Ejercicios de relacionar y respuesta breve. Puntaje:


Enuncia las características de una relación y de una función.

Argumenta la diferencia entre una función y una relación.

Expone sus ideas con claridad.


docente

010y4x3yx 22 �� ^ `6,4,5,0,4,1,3,4,2,5,5,1R ��


��

��

��

�

�

�

�

x

y



Jugadores Posiciones

Guillermo Ochoa Paul Aguilar

Carlos Salcido Ricardo Osorio

F. Javier Rodríguez Efraín Juárez

Rafael Márquez Gerardo Torrado

Giovani dos Santos Carlos Vela

Guille Franco

Portero

Defensa

Medio campista

Delantero

BLOQUE 1 21

Dominio y rango. En el estudio de las relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros para ser utilizados correctamente. Entre ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o codominio, mencionados anteriormente, los cuales se definen a continuación. Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relación. Contradominio o codominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relación, los elementos del dominio. Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los valores que se toman para construir la relación. Imágenes: Son los elementos del contradominio o codominio que están asociados con algún argumento. Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio que contiene a todas las imágenes o valores de la relación. En el siguiente ejemplo visualizarás estas definiciones. Los conjuntos se expresan de la siguiente forma: Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla, Laura, Sofía} Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106 M} Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M}

Ana Yolanda Conchita

Karla Laura Sofía

101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

Equipo de danza Grupos

DOMINIO (conjunto)

CONTRADOMINIO (conjunto)

Argumentos (elementos)

Ana Yolanda Conchita

Karla Laura Sofía

101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

Equipo de danza Grupos

Imágenes (elementos)

RANGO (conjunto)


Evaluación Actividad: 4 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:


Identifica el dominio, contradominio y rango de relaciones y funciones.

Escoge los elementos del dominio, contradominio y rango de relaciones y funciones.

Aprecia a las relaciones y funciones como parte de su vida cotidiana.


docente

Marca con 9 si los conjuntos corresponden a una función o relación; determina el

dominio, contradominio y rango de cada una de ellas.

Función

Relación Dom: Contradominio: Rango:

Función


Función


Docentes Categorías

Francisco Durán Javier Sandoval Marco Ramos

José Luis Gutierrez Susana Herrera

Jesús Leyva José Armenta

Antonio Ricardez

Titular A Titular B Titular C

CB I CB II CB III CB IV CB V

CB V

0 1 2 3 4 5 6 7

Figuras geométricas Núm. de lados

Actividad: 4

Antonio Manuel Yolanda Conchita

Jesús Karla

$5,000 $7,500 $8,000 $10,500 $12,000 $14,100

Empleado Sueldo

BLOQUE 1 23

Formas de representar una función. Una función f que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la siguiente forma:

f : X o Y Se lee: “función f de X a Y”. Como se observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del conjunto Y mediante la función “f”, por lo tanto, se pueden relacionar de forma individual, de la siguiente forma.

f(1) = A f(2) = B f(3) = D f(4) = C f(5) = B

En general si se desea relacionar cualquier elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotaría de la siguiente forma:

f(x)=y Se lee: “f de x es igual a y". Si se expresa la función como pares ordenados se obtiene:

f(x)={(1, A), (2, B), (3, D), (4, C), (5, B)} También se puede representar la función en forma de tabla, como se observa a continuación. La representación analítica no se puede expresar, debido a que no se tiene una regla de asociación que describa la correspondencia entre los elementos. Es necesario aclarar que una función no sólo se denota con la letra “f”, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto en mayúscula o minúscula, así como también con letras griegas. Cuando el problema es aplicado en alguna situación se acostumbra a utilizar la letra de la función que se está aplicando, como por ejemplo: si el problema indica expresar al volumen como función de “x”, la función se expresa como V(x).

x f(x) 1 A 2 B 3 D 4 C 5 B

X Y

1

2

3

4

5

5

A

B

C

D

F

f


A B

Gabriel

Sonia

Javier

Humberto

12 13 14 15 16 17 18

E

Cuando una función está expresada en forma de enunciado se puede escribir su representación analítica o viceversa, como en los siguientes ejemplos:

1. Si el enunciado es: “El cubo de un número más cinco”, entonces su representación analítica es: 5x)x(f 3 � . 2. Si el enunciado es: “El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo”, entonces su

representación analítica es: x2x3)x(g 2 � .

3. Si la representación analítica es: 74

x)x(T � , el enunciado correspondiente es: “la cuarta parte de un

número disminuido en 7 unidades”.

4. Si la representación analítica es: 1x)x(V � , el enunciado correspondiente es: “la raíz cuadrada de la diferencia de un número con uno”.

A continuación se mostrará algunos ejemplos aplicados, en los que se expresan las diferentes formas de denotar y representar una función. Ejemplo 1. La edad de los hijos de Doña Lucía de Valdez.

Los conjuntos A y B se relacionan mediante la función E, la edad; ésta es función dado que a los hijos de Doña Lucía le corresponde sólo un número, debido a que ninguna persona puede tener dos edades. La función se denota como:

E: A o B De manera que si se aplica la función E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B. Una forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la función es:

E(Gabriel) = 12 E(Sonia) = 14 E(Javier) = 14 E(Humberto) = 18

Lo más enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos mediante una relación o función es el análisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en este caso las siguientes deducciones: x Doña Lucía parió en tres ocasiones. x Sonia y Javier provienen de un embarazo múltiple. x La diferencia entre el mayor y sus hermanos es mínimo de 5 años.

BLOQUE 1 25

Ejemplo 2. El tanque de gasolina de un automóvil contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla muestra la cantidad de gasolina contra la distancia, medida cada 24 km. En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la función se representa de la siguiente forma.

F: L o D

Donde L representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las distancias. Debido a la descripción del problema y la información que se tiene de la tabla, se puede representar la forma analítica de la función, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se consumen 2 litros el automóvil avanza 24 kilómetros. Como recordarás, en Matemáticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones lineales, por lo tanto, la función quedaría:

F(l)=12l Utilizando la tabla se puede trazar la representación gráfica de la función.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

l

d

De acuerdo a las características del problema, el dominio de la función no se puede describir de forma puntual, es decir, citando los elementos uno a uno como se muestra en la tabla, ésta es una muestra de los posibles valores que puede tomar; entonces el dominio se describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo tanto el rango abarca el intervalo de 0 a 120 Kilómetros. Posteriormente se proporcionará una notación más apropiada, matemáticamente hablando, de la forma de expresar el dominio y el rango de una función en intervalos.

Litros (l)

Distancia (d)

2 24 4 48 6 72 8 96 10 120


Resuelve lo que se pide. I. Considera la función � � 3x2xxg 3 �� para contestar los siguientes incisos: a) Completa cada una de las imágenes de la función para los argumentos indicados, sigue el

ejemplo que se muestra a continuación. � � � � � � 132222g 3 � ��

� � �1g

� � 0g

� � 1g

� � 2g

b) Forma los pares ordenados con las imágenes obtenidas en el problema anterior. � � )},(),,(),,(),,(),1,2{(xg ��

c) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.

II. Completa la siguiente tabla.

x � � � � 23xxf 2 ��

1 2 3 4 5

a) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.

b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla.

c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.

Actividad: 5

BLOQUE 1 27

Evaluación Actividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Ubica las diferentes formas de representar una función, así como el dominio y rango de la misma.

Construye las diferentes representaciones de una función, así como el dominio y rango de la misma.

Es creativo y propositivo al realizar la actividad.


docente

III. Realiza la representación sagital de la regla de asociación “el doble de un número más 4 unidades”, usa los primeros cinco números naturales.

IV. Dados los pares ordenados � � )}15,3(),10,2(),5,1(),0,0(),5,1(),10,2{(xH ��

a) Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados.

b) Expresa la función que modele los pares ordenados.

c) Expresa el dominio y el rango de la función. V. La renta de una habitación en el hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial más $300 por cada día

transcurrido. a) Escribe la representación analítica de la renta de una habitación en función de los días transcurridos,

R(t).

b) Representa mediante una tabla, seis valores de la función anterior. t � �tR

c) Determina el dominio y el rango de R(t).



En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de papel tamaño carta. Para formar la caja, se recortan cuadros de las esquinas como se muestra en la figura, el profesor les asignará a cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm, 4cm, etc.) que deben de recortar para formarla.

x x

1. Calcula el área de la caja y el volumen de la misma.

2. Los equipos mencionarán los resultados obtenidos y llenarán la siguiente tabla.

x Área Volumen 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. Graficar en un plano cartesiano el área contra la longitud del lado del cuadrado recortado.

Actividad: 6

BLOQUE 1 29

Evaluación Actividad: 6 Producto: Práctica. Puntaje:


Identifica las diferentes formas de expresar una función.

Construye las diferentes formas de expresar una función.

Presenta disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

4. Graficar en el plano cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado

recortado. 5. Escribir la forma analítica del área y el volumen como una función que depende de la longitud del lado del

cuadrado recortado.

6. Escribe el dominio y el rango de cada una de las funciones antes obtenidas.

7. ¿Qué análisis y conclusiones puedes establecer de las representaciones antes obtenidas?



�Cierre

Dadas las siguientes funciones, realiza la representación correspondiente.

1. � � 2xxf 2. � � x3xg 3. � � 1x2xh � 4. � � xxT a) Mediante un diagrama sagital.

b) Mediante una tabla de valores.

x � � 2xxf x � � x3xg x � � 1x2xh � x � � xxT

c) Mediante pares ordenados.

� � )},(),,(),,(),,(),,(),,{(xf � � )},(),,(),,(),,(),,(),,{(xg

� � )},(),,(),,(),,(),,(),,{(xh

� � )},(),,(),,(),,(),,(),,{(xT

X Y

f

X Y

g

X Y

h

X Y

T

Actividad: 7

BLOQUE 1 31

Evaluación Actividad: 7 Producto: Representaciones. Puntaje:


Reconoce las diferentes formas de representar a una función.

Representa de diferentes formas una función.

Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.


docente

d) Mediante una gráfica.

��

��

��

��

��

x

f (x)

��

��

��

��

��

x

g (x)

��

��

��

��

��

x

h (x)

��

��

��

��

��

x

T (x)

e) Mediante un enunciado.

1. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________ 2. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________ 3. _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________ 4. _______________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________



Secuencia didáctica 2. Clasificación de funciones.

�Inicio�

Contesta lo que se pide en cada sección. I. Observa las siguientes gráficas y escribe en la línea la palabra Función o Relación según

sea el caso; justifica tu respuesta.

_________________________________________________________ Justificación:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________ Justificación:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________ Justificación:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad: 1

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 1 33

II. Analiza la forma que tienen las siguientes gráficas y de la clasificación que se da

posteriormente, escribe en la línea las que pienses que cumplen cada una de ellas. Clasificación: Creciente, Decreciente, Constante, Continua, Discontinua.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________

��

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��

��

��

��

��

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�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

x

f (x)

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________

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x

f (x)

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�

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�

x

f (x)

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Evaluación

Actividad: 1 Producto: Reactivos de respuesta breve. Puntaje:


Describe el comportamiento de las funciones.

Explica el comportamiento de las funciones.

Muestra interés al realizar la actividad.


docente

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x

f (x)

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x

f (x)

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f (x)

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x

f (x)

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BLOQUE 1 35

�Desarrollo En asignaturas anteriores te has encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una expresión algebraica y que pueden ser representados con gráficas para poder darles solución, es por ello que el uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia. Para hacer un uso adecuado de las funciones debes poseer habilidades para distinguir sus características, así como también para lograr una mejor interpretación. En virtud de lo anterior, en este tema se analizarán las características más importantes de las funciones, las cuales permiten su clasificación. A continuación se presenta un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, para que tener un panorama general de lo que se abordará en esta secuencia. A continuación se mostrarán las características de cada una de las clasificaciones y en los bloques posteriores se estudiarán detalladamente. Se mostrarán también gráficas de cada una de ellas para que te vayas familiarizando, asociando la representación analítica con la gráfica, además de su variación, entre otras cosas. Al igual que en asignaturas anteriores, a la variable “x” se le denomina variable independiente y a la variable “y” se le conoce como variable dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable “y” dependerá del valor que se asigne a la variable “x”. Hay que recordar que la variable “y” está en función de “x”. Para facilitar el lenguaje, de ahora en adelante se utilizara la palabra función para referirse a “y” y la palabra variable para referirse a “x”.

Clasificación de funciones

Su forma analítica

Algebraicas

Trascendentes

Polinomiales

Irracional

Trigonométricas

Exponenciales

Logarítmicas

Racional

La presentación de su forma analítica

Explícitas

Implícitas

La forma de correspondencia entre

sus conjuntos

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

Su gráfica

Continuas

Discontinuas

Por su trazo

Por su variación

Crecientes

Decrecientes

Según


Según su forma analítica. Funciones Algebraicas. Son aquellas funciones que están compuestas por términos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces. Las funciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuación se definirán cada una de ellas. Funciones polinomiales. Estas funciones tienen como forma general la siguiente:

� � 012

23n

3n2n

2n1n

1nn

n axaxa...xaxaxaxaxf ��

��

��

Donde an, an.1,…, a1, a0 son constantes y n es un número no negativo. El dominio de las funciones son aquellos valores que pueden sustituirse en la función y ésta es verdadera, por lo tanto el dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales. Las funciones polinomiales que se tratarán en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se mostrarán la forma general de cada una de ellas y sus nombres.

� �� °

°°

¯

°°°

®

z��

z��

z��

z�

0aconedxcxbxaxxfcuárticaFunción

0acondcxbxaxxfcúbicaFunción

0aconcbxaxxfcuadráticaFunción

0mconbmxxflinealFunción

axftetanconsFunción

espolinomialFunciones

234

23

2

Si te darás cuenta, las tres primeras funciones las manejaste en las asignaturas anteriores, pero de igual forma se ejemplificará cada una de ellas en esta secuencia y se retomarán en los bloques posteriores para abordarse con mayor profundidad. Función constante. Esta función tiene como imagen el mismo número; su dominio son todos los números reales y a todos ellos se les asocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarán algunos ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la función � � 4xf , determinar su dominio y rango. Se utilizará una tabla para poder ubicar las coordenadas de algunos puntos de la función.

Si observas en la tabla se eligen los valores de la variable más comunes como – 2, – 1. 0, 1, 2, y a todos ellos al sustituirlos en la función les asigna el 4.

Como su nombre lo dice, la variable “x” es independiente, por lo que se puede elegir cualquier número perteneciente a los números Reales y a todos ellos les asignará el mismo valor, 4; por lo que la gráfica es una recta horizontal que corta al eje Y en 4, como se muestra a continuación en su gráfica.

x � � 4xf

– 2 4 – 1 4 – 0 4 1 4 2 4

BLOQUE 1 37

��

��

��

��

��

x

f (x)

En la gráfica es más sencillo visualizar el dominio y el rango de la función.

La notación que se usó tanto en el dominio como en el rango la puedes verificar en el anexo A, al final de tu módulo. Ejemplo 2.

Expresa la función y traza la gráfica si su dominio son los números reales y el rango es 2

9� .

Sabiendo que todos los valores de la función es el número 2

9� , se puede trazar la línea horizontal a esa altura y

extenderse a los lados desde �f hasta f , como lo determina el dominio, por lo tanto, la gráfica queda:

Como para cualquier valor de “x” el valor de la función es 2

9� , por consiguiente

la función queda:

� �2

9xf �

El dominio y el rango se expresan de la siguiente forma:

� �ff� ,:Dom

¿¾½

¯®�

2

9Rango

��

��

��

��

��

x

f (x)

Rango= ^ `4

Dom = � �ff� ,

��

��

��

�

��

x

f (x)


Función lineal. La función lineal es una función algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la función � � 4x3xg � , así como determinar su dominio y su rango. Como recordarás, esta función se abordó tanto en Matemáticas 1 como en Matemáticas 3, en ellas aprendiste diferentes formas de graficar una función lineal, por medio de una tabla, de las intersecciones de la función con los ejes coordenados, así como también a utilizar los parámetros m (pendiente) y b (ordenada en el origen). Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene:

Graficando los puntos se obtiene: Al tener la función, se puede calcular cualquier valor de x que se desee, enteros, racionales inclusive los irracionales, por lo tanto se deben unir los puntos mediante una línea recta. Con ello se comprueba que su dominio son los números reales, como se observa a continuación.

x � � 4x3xg �

– 2 – 10 – 1 – 7 0 – 4 1 – 1 2 2 3 5

� � 4x3xg �

� � � � 104232g � �� 74131g � �� 44030g � � � � � � 14131g � � � � � � 24232g � � � � � 54333g �

��

��

��

x

g(x)

Rango= � �ff� ,

Dom = � �ff� ,

��

��

��

x

g(x)

BLOQUE 1 39

Ejemplo 2. Graficar la función � � xxf , describir su dominio y rango. Se utilizará de nuevo una tabla para trazar su gráfica.

x � � xxf

– 3 – 3 – 2 – 2 – 1 – 1 0 0 1 1 2 2

En ella se observa que tanto la variable como la función tienen el mismo valor, es por ello que se le denomina función identidad o idéntica. Posteriormente te darás cuenta que la función identidad es muy importante para identificar la inversa de una función. Su gráfica describe una recta con un ángulo de inclinación de 45º.

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

Al igual que todas las funciones lineales, su dominio y rango es el conjunto de los números reales. Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos formas:

Forma de intervalo � �� ff�

ff� ,Rango

,Dom

Forma de conjunto.

� �

Rango

Dom


Función cuadrática. La función cuadrática es de segundo grado y es de la forma � � 0aconcbxaxxf 2 z�� , su gráfica describe una parábola, como a continuación se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la función � � 1x4xxT 2 �� ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función.

Su gráfica es:

Consulta el anexo A al final de tu módulo, para que verifiques cómo se representa el Dominio y Rango en forma de intervalo. Ejemplo 2. Graficar la función � � 3xxH 2 �� ; encontrar el dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la función para encontrar los puntos.

x � � 1x4xxT 2 ��

– 4 1 – 3 – 2 – 2 – 3 – 1 – 2 0 1 1 6

� � � � � � 114444T 2 �� 213433T 2 � �� 312422T 2 � �� 211411T 2 � �� 110400T 2 �� 611411T 2 ��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

T(x)

Rango= > �f� ,3

Dom = � �ff� ,

BLOQUE 1 41

Su gráfica es:

Función cúbica. La función cúbica es una función polinomial de tercer grado, es de la forma � � 0acondcxbxaxxf 23 z�� . Para conocer su gráfica se requiere ejemplificar. Ejemplo 1. Graficar la función � � 6x12x6xxD 23 �� ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función.

x � � 3xxH 2 ��

– 2 – 1 – 1 2 0 3 1 2 2 – 1

x � � 6x12x6xxD 23 ��

0.5 – 1.375 1 1

1.5 1.875 2 2

2.5 2.125 3 3

3.5 5.375

� � � � 1322H 2 � �� 2311H 2 �� 3300H 2 �� 2311H 2 �� 1322H 2 � ��

� � � � � � � � 375.165.0125.065.05.0D 23 � �� 161121611D 23 �� 875.165.1125.165.15.1D 23 �� 262122622D 23 �� 125.265.2125.265.25.2D 23 ��

� � � � � � � � 375.565.3125.365.35.3D 23 �� 363123633D 23 ��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

H(x)

Rango= � @3,f�

Dom = � �ff� ,


Su gráfica es: Ejemplo 2.

Graficar la función � � 1x3

1xK 3 �� ; obtener el dominio y el rango.

En este caso, la función no tiene el término cuadrático y lineal, pero sigue siendo una función cúbica.

x � � 1x3

1xK 3 ��

– 3 8

– 2 3

5

– 1 3

2�

0 – 1

1 3

4�

2 3

11�

3 – 10 � � � � 1013

3

13K 3 � ��

� � � �3

1112

3

12K 3 � ��

� � � �3

411

3

11K 3 � ��

� � � � 1103

10K 3 � ��

� � � �3

211

3

11K 3 � ��

� � � �3

512

3

12K 3 ��

� � � � 8133

13K 3 ��


Dom = � �ff� ,

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

D(x)

BLOQUE 1 43

Su gráfica es:

Función cuártica. La función cuártica es una función polinomial de cuarto grado, es de la forma:

� � 0aconedxcxbxaxxf 234 z�� .

Cualquiera de los términos b, c, d o e pueden valer cero, pero no así el coeficiente a, a continuación se ejemplificará su gráfica. Ejemplo 1.

Graficar la función � � 3x2x2x6x4xf 234 �� ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función.

x � � 3x2x2x6x4xf 234 ��

–1 11 –0.5 –0.5

0 –3 0.5 –4 1 –5

1.5 –1.5

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

K(x)


Dom = � �ff� ,

� � � � � � � � 113)1(21216141f 234 �� 5.03)5.0(25.025.065.045.0f 234 � �� 33)0(20206040f 234 � ��

� � � � � � � � 53)1(21216141f 234 � �� 43)5.0(25.025.065.045.0f 234 � ��

� � � � � � � � 5.13)5.1(25.125.165.145.1f 234 � ��


Su gráfica es:

Este tipo de funciones, como en las cuadráticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto más bajo con el fin de determinar con certeza el rango, como se muestra en la gráfica; esto lo aprenderás en el bloque correspondiente a las funciones de tercer y cuarto grado, así como también, en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I.

Ejemplo 2.

Graficar la función � �4

21xx

4

1xG 4 �� ; obtener el dominio y el rango.

En este caso, se carece del término cúbico y cuadrático, pero sigue siendo una función cuártica.

x � �4

21xx

4

1xG 4 ��

–2 4

3�

–1 4

0 4

21

1 6

2 4

13

Rango= > �f� ,5

Dom = � �ff� ,

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

� � � � � � 44

2111

4

11G 4 ��

� � � � � � 75.04

3

4

2122

4

12G 4 � � ��

� � � � � � 25.54

21

4

2100

4

10G 4 ��

� � � � � � 64

2111

4

11G 4 ��

� � � � � � 25.34

13

4

2122

4

12G 4 ��

BLOQUE 1 45

Su gráfica es:

Funciones racionales. Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:

� � � �� xQ

xPxf donde � �xP y � �xQ son funciones polinomiales sólo que � � 0xQ z .

En el caso de que � �xQ sea constante, se obtiene una función polinomial, como se muestra al simplificar la función

� �2

1x8x4xf

2 �� .

Para simplificarla es necesario realizar la división.

� �

� �

� �2

1x4x2xf

2

1x

2

8x

2

4xf

2

1x8x4xf

2

2

2

��

��

��

Se obtiene una función cuadrática y su gráfica es la siguiente: Su dominio y rango es:

� �

¸¹

·«¬

ªf�

ff�

,2

5Rango

,:Dom

Rango= � @6,f�

Dom = � �ff� ,

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

G(x)

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)


En esta sección se ejemplificará la forma que tienen las funciones racionales con denominador diferente a una función constante y en el bloque 4 se abordará más a fondo este tipo de funciones. Ejemplo 1.

Graficar la función � �2x

4xxf

2

��

; determinar su dominio y su rango.

Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la función.

Al graficar se obtiene:

Como se observa en la gráfica, el comportamiento de los puntos parece ser una recta, pero cuando la variable toma el valor de –2, el cociente tiene divisor cero, por lo tanto, se indefine. Para poder determinar el comportamiento alrededor de la indefinición, se requiere tomar valores cercanos a x=–2, como se observa en la siguiente tabla.

x � �2x

4xxf

2

��

–4 –6

–3 –5

–2 No está definido

–1 –3

0 –2

1 –1

2 0

� � � �� 6

2

12

24

444f

2

� �

��

�

� � � �� 5

1

5

23

433f

2

� �

��

�

� � � �� definidoestáNo

0

0

22

422f

2

��

�

� � � �� 3

1

3

21

411f

2

� �

��

�

� � � �� 2

2

4

20

400f

2

� �

��

� � � �� 1

3

3

21

411f

2

� �

��

� � � �� 0

4

0

22

422f

2

��

��

��

� � � � �

x

f(x)

BLOQUE 1 47

Al graficarse la tabla con los valores más cercanos a –2, se observa lo siguiente: El comportamiento sigue siendo lineal, y se puede seguir graficando valores de “x” más cercanos a –2, para comprobar que efectivamente ese comportamiento. Por lo tanto, se dibuja la línea pero con un “punto hueco” a la altura de –4.

El dominio y el rango se componen de una unión de dos intervalos, como se observa en la gráfica.

� � � �� f��f�

f��f� ,44,Rango

,22,Dom o bien ^ `^ `4Rango

2Dom

��

x � �2x

4xxf

2

��

–2.8 –4.8

–2.6 –4.6

–2.4 –4.4

–2.2 –4.2

–2 No está definido

–1.8 –3.8

–1.6 –1.6

–1.4 –3.4

–1.2 –3.2

� � � �� 8.4

8.0

84.3

28.2

48.28.2f

2

� �

��

�

� � � �� 6.4

6.0

76.2

26.2

46.26.2f

2

� �

��

�


0

0

22

422f

2

��

�

� � � �� 2.4

2.0

84.0

22.2

42.22.2f

2

� �

��

�

� � � �� 8.3

2.0

76.0

28.1

48.18.1f

2

� �

��

�

� � � �� 6.3

4.0

44.1

26.1

46.16.1f

2

� �

��

�

� � � �� 2.3

8.0

56.2

22.1

42.12.1f

2

� �

��

�

� � � �� 4.3

6.0

04.2

24.1

44.14.1f

2

� �

��

�

� � � �� 4.4

4.0

76.1

24.2

44.24.2f

2

� �

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

� �f� ,4

� �4,�f�

� �2,�f� � �f� ,2

��

��

� � � � �

x

f(x)


Ejemplo 2.

Graficar la función � �1x

xxL

� ; determinar su dominio y su rango.

Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la función.

Al graficar se obtiene:

La gráfica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere tomar valores cercanos a x=1, para ver su comportamiento, así como también valores en los extremos, para ello consideraremos la siguiente tabla.

x � �1x

xxL

�

–3 0.75

–2 0.67

–1 0.5

0 0

1 No está definido

2 2

3 1.5

4 1.3

� � � �� 75.0

43

133

3L ��

��

� �

� � � �� 67.0

32

122

2L |��

��

� �

� � � �� 5.0

21

111

1L ��

��

� �

� � � �� 0

10

100

0L �

�


01

111

1L �

� � � �� 2

12

122

2L �

� � � �� 5.1

23

133

3L �

� � � �� 3.1

34

144

4L | �

��

��

� � � � � � � � � ��

x

L(x)

BLOQUE 1 49

Según los puntos obtenidos, quedan distribuidos de la siguiente forma:

Al seguirse graficando puntos más cercanos al 1, se tiene que a su derecha tienden a irse a infinito (f ) y al acercarse por la izquierda del 1, tienden a irse a menos infinito ( �f ). Al igual que en los extremos, entre más grande el número, el valor de la función se acerca al 1 por arriba, y entre más pequeño es el número, el valor de la función se acerca a 1 por abajo, por lo tanto, la gráfica completa quedaría así:

Las líneas punteadas se llaman asíntotas, la vertical representa el valor que no puede tomar la variable y la horizontal representa el valor que no puede tomar la función, es por ello que su dominio y rango son:

� � � �� f�f�

f�f� ,11,Rango

,11,Dom o bien ^`^1̀Rango

1Dom

��

x � �2x

4xxf

2

��

–6 0.86

–5 0.83

0.5 –1

0.8 –4

1 No está definido

1.2 6

1.5 3

5 1.25

6 1.2

� � � ��

83.06

5

15

55L

�

�

��

� �

� � � ��

15.0

5.0

15.0

5.05.0L �

�

�

� � � �� 4

2.08.0

18.08.0

8.0L � �

�

� � � �� 6

2.0

2.1

12.1

2.12.1L

�

� � � ��

definidoestáNo0

1

11

11L

�

� � � �� 3

5.0

5.1

15.1

5.15.1L

�

� � � �� 25.1

4

5

15

55L

�

� � � �� 2.1

56

166

6L �

� � � ��

86.07

6

16

66L

�

�

��

� �

��

��

��

��

��

�

��

��

x

L(x)

� �f,1

� �1,f�

� �1,f� � �f,1

��

��

��

��

��

��

��

x

L(x)


Así como estos dos ejemplos, que son tan diferentes en sus gráficas, encontrarás que las funciones racionales son muy variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de funciones polinomiales que contengan en su numerador y denominador. Funciones irracionales. Son las funciones que se identifican por poseer raíces que involucran a la variable, este tipo de funciones no se pueden expresar como funciones racionales. Algunos ejemplos de funciones irracionales son:

� � 5x2xf � � � 3x2xg 2 � � � 3 2 4xxh �

Se debe descartar aquellas funciones en las que se pueda extraer la variable de la raíz, como por ejemplo.

En la función � � 4 8x4xf , se puede extraer la raíz dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultado

� � 244 8 x4x4xf , dejando ver que se trata de una función polinomial.

La función � � 6x5x3xf 22 �� se puede expresar como � � 6x5x3xf 2 �� , que resulta ser una función polinomial. Se ejemplificarán algunas funciones irracionales para observar su comportamiento. Ejemplo 1.

Graficar la función � � 2xxf � , así como determinar su dominio y su rango. Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

Como se observó, los valores que se pueden sustituir en la función son aquellos en los cuales el radicando sea un número no negativo, puesto que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece al conjunto de números imaginarios, no a los números reales.

x � � 2xxf �

–1 No es número real 0 No es número real 1 No es número real 2 0 3 1 4 1.4 5 1.7 6 2

� � � � realnúmeroesNo3211f � �� realnúmeroesNo2200f � � � � � � realnúmeroesNo1211f � � � � � � 00222f � � � � � 11233f � � � � � 4.12244f | � � � � � 7.13255f | � � � � � 24266f �

BLOQUE 1 51

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se tiene:

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Para unir los puntos se debe considerar que los valores donde existe la función son mayores o iguales a 2 ( 2x t ), por lo tanto, la línea se traza a partir del punto ( 2, 0 ) hacia la derecha y hacia arriba, quedando la gráfica de la siguiente forma:

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

El dominio y el rango son:

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Dom = > �f,2

Rango= > �f,0


Ejemplo 2.

Graficar la función � � 3x42xL �� , así como determinar su dominio y su rango.

Para resolver este ejemplo, se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene:

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

L(x)

De acuerdo al comportamiento de la función, los valores que hacen que sea verdadera son para “x” menores o iguales de 4 ( 4x d ), por lo tanto se grafica a partir de ( 4, 3 ) a la izquierda y hacia abajo, quedando la gráfica de la función como sigue:

x � � 3x42xL ��

–2 –1.9 –1 –1.5 0 –1 1 –0.5 2 0.2 3 1 4 3 5 No es número real

� � � � 5.135231421L �|�� 9.136232422L �|��

� � � � 134230420L � �� 5.033231421L �|�� 2.032232422L |�� 131233423L �� 330234424L �� realnúmeroesNo31235425L ��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

L(x)

Dom = � @4,f�

Rango= � @3,f�

BLOQUE 1 53

Funciones Trascendentes. Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, las cuales conociste en Matemáticas 2; también se consideran trascendentes las funciones exponenciales y logarítmicas. A continuación se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas. Funciones trigonométricas. En ellas se utilizan las relaciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, así como también las trigonométricas inversas. Hay que recordar que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por división de las magnitudes de un triángulo rectángulo. En el bloque 6 conocerás a detalle las funciones trigonométricas, entretanto, se graficarán algunos ejemplos para visualizar su comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora, en modo de radianes (Rad), como lo aprendiste en matemáticas 2. Ejemplo 1. Graficar la función xsen)x(f , determinar su dominio y rango. Al graficar los puntos se obtiene la gráfica:

��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

x xsen)x(f

–6 0.28 –4 0.76 –2 –0.91 0 0 2 0.91 4 –0.76 6 –0.28

x

a

bc

b

axcot

a

bxtan

a

cxsec

c

axcos

b

cxcsc

c

bxsen

� � � � 28.06sen6f |� �� 76.04sen4f |� �� 91.02sen2f �|� �� 00sen0f � � � � 91.02sen2f | � � � � 76.04sen4f �| � � � � 28.06sen6f �|


En matemáticas 2, aprendiste a graficar estas funciones utilizando los valores que provocan cambios importantes en

ellas, los cuales son los múltiplos de 90º, éstos se grafican en el plano cartesiano en radianes como múltiplos de 2

S; a

continuación se muestra se muestra la tabla en estos términos. Graficando estos puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del comportamiento de la gráfica, el cual es periódico.

Al graficar la función y ubicar solamente los múltiplos de 2

S queda:

x xsen)x(f

S�2 0

S�2

3 1

S� 0

S�2

1 –1

0 0

S2

1 1

S 0

S2

3 –1

S2 0

� � � � 02sen2f S� S�

12

3sen

2

3f ¸

¹

·¨©

§S� ¸

¹

·¨©

§S�

� � � � 0senf S� S�

12

1sen

2

1f � ¸

¹

·¨©

§S� ¸

¹

·¨©

§S�

� � � � 00sen0f

12

1sen

2

1f ¸

¹

·¨©

§S ¸

¹

·¨©

§S

� � � � 0senf S S

12

3sen

2

3f � ¸

¹

·¨©

§S ¸

¹

·¨©

§S

� � � � 02sen2f S S

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

��S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

��S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Dom = � �ff� ,

Rango= > @1,1�

BLOQUE 1 55

Ejemplo 2. Graficar la función � � 1xcos3)x(T � , determinar su dominio y rango. Tomando en cuenta que el comportamiento de las funciones trigonométricas cambia en los múltiplos de π, la tabla queda: Al ubicar los puntos y trazar la línea se obtiene la gráfica:

x � � 1xcos3)x(T �

S�2 2

S�2

3 –1

S� –4

S�2

1 –1

0 2

S2

1 –1

S –4

S2

3 –1

S2 2

��S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

T(x)

Dom = � �ff� ,

Rango= > @2,4�

� � � � 212cos32T �S� S�

112

3cos3

2

3T � �¸

¹

·¨©

§S� ¸

¹

·¨©

§S�

� � � � 41cos3T � �S� S�

112

1cos3

2

1T � �¸

¹

·¨©

§S� ¸

¹

·¨©

§S�

� � � � 20cos30T

112

1cps3

2

1T � �¸

¹

·¨©

§S ¸

¹

·¨©

§S

� � � � 41cos3T � �S S

112

3cos3

2

3T � �¸

¹

·¨©

§S ¸

¹

·¨©

§S

� � � � 212cos32T �S S


Funciones exponenciales. Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, como por ejemplo:

� � 1x2exf � � � 3x2

2xf � � �x

3

1xf ¸

¹

·¨©

§

En las funciones anteriores A continuación se muestran ejemplos de gráficas de funciones exponenciales para conocer a grandes rasgos su comportamiento y establecer su dominio y rango. Para encontrar los valores de la función, se requiere utilizar calculadora. Ejemplo 1.

Graficar la función � � 23xf x � , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Ubicando los puntos se obtiene la gráfica:

Se observa en la gráfica, entre menor sea el valor de x, la función se acerca al valor de –2, de hecho, jamás va a tomar el valor de –2, esto se puede visualizar analizando la función. Como la función es exponencial, el valor del exponente es el que varía.

� � 23xf x �

Si la x es grande, el valor de x3 crece muy rápido, si la x es cero, su

valor es 130 , si el valor es negativo significa que se puede

expresar como: 4

4

3

13 � , se hace casi cero, pero jamás será cero

ni negativo.

Por lo tanto, si x3 no puede ser cero, 23x � no podrá tomar el valor de –2, ni tampoco números menores que este valor. Se podría decir que existe una recta asíntota a la altura de y=–2, que impide que la función toque ese valor.

x � � 23xf x �

–5 –1.996 –4 –1.988 –3 –1.963 –2 –1.889 –1 –1.667 0 –1 1 1 2 7 3 25

� � � � 996.1235f 5 �|� � �

� � � � 988.1234f 4 �|� � �

� � � � 963.1233f 3 �|� � �

� � � � 889.1232f 2 �|� � �

� � � � 667.1231f 1 �|� � �

� � � � 1230f 0 � � � � � � 1231f 1 � � � � � 7232f 2 � � � � � 25233f 3 �

��

��

��

x

f (x)

BLOQUE 1 57

Ejemplo 2.

Graficar la función � � 3exP x �� , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

x � � 3exP x ��

–5 2.993 –4 2.982 –3 2.95 –2 2.865 –1 2.9 0 2 1 0.282 2 –4.389 3 –17.086

��

��

��

x

f (x)

Dom = � �ff� ,

Rango= � �f� ,2

El número e es un número irracional famoso, y es uno

de los números más importantes en matemáticas.

Las primeras cifras son: 2.7182818284590452353… Se le conoce también como

el número de Euler por Leonhard Euler.

� � � � 933.23e5P 5 |��

� � � � 982.23e4P 4 |��

� � � � 95.23e3P 3 |��

� � � � 865.23e2P 2 |��

� � � � 632.23e1P 1 |��

� � � � 23e0P 0 �� 282.03e1P 1 |�� 389.43e2P 2 �|�� 086.173e3P 3 �|��


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

P(x)

Al igual que el ejemplo anterior, esta función está delimitada por una asíntota, la cual está ubicada a una altura de y=3. Por lo tanto, la gráfica se visualiza de la siguiente forma:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

P(x)

Dom = � �ff� ,

Rango= � �3,f�

BLOQUE 1 59

Funciones logarítmicas. Éstas son las funciones inversas a las funciones exponenciales, su definición y propiedades se retomarán más adelante, mientras tanto, sólo se ejemplificará su forma, para ello, se requiere utilizar la calculadora científica. Las funciones logarítmicas más usadas son las que tienen base 10 o base e, y se escriben:

10logLog elogLn Algunos ejemplos de ellas son:

� � xLnxf � � � �1xlog2xf � � � � �xlog3xf � En las funciones anteriores A continuación se muestran ejemplos de gráficas de funciones logarítmicas para conocer, a grandes rasgos, su comportamiento y establecer su dominio y rango. Ejemplo 1. Graficar la función � � xLn2xf , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Al sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu calculadora, te das cuenta que no existe la función, esto es porque así como en la función exponencial, para cualquier valor que sustituyas en el exponente nunca será cero ni negativa, la función logarítmica al ser su inversa, no podrás sustituir valores negativos o el cero. Esto te quedará mucho más claro cuando veas más detalladamente los temas de funciones inversas, funciones exponenciales y logarítmicas. Continuando con la gráfica, se ubican los puntos y se obtiene:

En esta ocasión, la asíntota es vertical y se ubica exactamente en el eje Y, puesto que no se encuentra valor de la función para “x” negativa o cero.

x � � xLn2xf

–0.5 No existe 0 No existe

0.1 –4.61 0.3 –2.40 0.5 –1.39 1 0 2 1.39 3 2.20 4 2.77 5 3.22

� � � � 39.15.0Ln25.0f �|

� � � � existeNo5.0Ln25.0f � �� existeNo0Ln20f

� � � � 01Ln21f � � � � 39.12Ln22f | � � � � 20.23Ln23f |

� � � � 40.23.0Ln23.0f �| � � � � 61.41.0Ln21.0f �|

� � � � 77.24Ln24f | � � � � 22.35Ln25f |

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)


Por lo tanto, su gráfica queda:

Ejemplo 2. Graficar la función � � � � 21xLogxS �� , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. Los puntos quedan de la siguiente forma:

En esta ocasión la asíntota está ubicada en x=1, dado que en la función, cuando x=1, se tiene que obtener el valor de log(0) y éste no existe, así como también, valores de x mayores que 1 se tendría log( negativo), por lo tanto, no existe.

x � � � � 21xLogxS ��

–5 2.78 –4 2.70 –3 2.60 –2 2.48 –1 2.30 0 2

0.5 1.70 0.8 1.30 0.9 1 1 No existe 2 No existe

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

x

f (x)

Dom = � �f,0


� � � �� 78.2215Log5S |�� 70.2214Log4S |�� 60.2213Log3S |�� 48.2212Log2S |�� 30.2211Log1S |�� 2210Log0S �� 70.1215.0Log5.0S |�� 30.1218.0Log8.0S |�� 1219.0Log9.0S �� existeNo211Log1S �� existeNo212Log2S ��

��

��

��

��

�

�

�

x

S(x)

BLOQUE 1 61

Trazando la línea se obtiene la siguiente gráfica:

Dom = � �1,f�


��

��

��

��

�

�

�

x

S(x)

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos acerca de la clasificación de funciones. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#La%20función%20seno http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html


Evaluación

Actividad: 2 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:


Reconoce la clasificación de las funciones, así como el dominio y rango de ellas.

Clasifica las funciones y calcula el dominio y rango de las mismas.

Expresa sus dudas y corrige sus errores.


docente

Clasifica las siguientes funciones y expresa su dominio mediante intervalos.

Función Clasificación Nombre Dominio

� �x

3xxf

�

� � 3x2xxr 2 ��

� � � �xtanxH

� � 7xN �

� � 24xF x ��

� � 2x6xxk 24 ��

� �3x

9xxg

2

��

� � 1x32xq �

� � � �1xsen4xt �

� � � � 13xLnxs ��

� � 6x5xL �

� � � � 52x4xw3

��

Actividad: 2

BLOQUE 1 63

Según la presentación de su forma analítica. De acuerdo con lo que se ha presentado hasta ahora, se entiende que una función es de la forma � �xfy , pero no todo el tiempo es expresada igual. En ella se observa claramente que “x” es la variable independiente (como se ha visto desde Matemáticas 1), y “y” es la variable dependiente, porque está en función de x. Es por ello que es fácilmente identificable cuando se tiene una función de esta forma; sin embargo, cuando se posee una expresión en la que la variable dependiente no está despejada, no es tan sencillo visualizarla, es por ello que para hacerlo se tiene que despejar. A estas dos formas de presentar una función se les conoce como funciones explícitas y funciones implícitas; a continuación una breve explicación de cada una de ellas. Funciones explícitas. Son aquellas que se representan mediante una igualdad en la que aparece la variable dependiente despejada en uno de sus miembros y en el otro una expresión en términos de la variable independiente, como por ejemplo.

1. 2x3xy 2 ��

2. 11x2y ��

3. � � 13xf x � En realidad, todas las funciones que se describieron en el tema anterior fueron expresadas en su forma explícita, debido a la sencillez que proporciona esta forma en la sustitución de valores. Funciones implícitas. Son aquellas que se representan por medio de una ecuación en donde la variable dependiente e independiente aparecen mezcladas en uno o ambos miembros de la igualdad, como se muestra a continuación.

1. 08y3x4 ��

2. � � 8y4x6y2x32 ��

3. 1yx 22 �

4. 06y3x2x2 ��

5. 0x3yx2 �

6. 06y4x2y2 �� Cuando se tiene una función implícita y se desea conocer algunos puntos que pertenezcan a la función, es recomendable despejar la variable dependiente para transformarla en una función explícita y llevar a cabo de forma más simple, la sustitución de valores, aunque en algunas ocasiones se complica el despeje de la variable dependiente, como sería el caso de la función número 5, en la cual se tiene “y2” y “y”, se tendría que utilizar un método de factorización para llevar a cabo el despeje. El saber despejar una variable será fundamental para encontrar la función explícita, pero aún más, para expresar la inversa de una función, como se verá en el siguiente bloque. La notación implícita se utiliza mucho en asignaturas posteriores, como en Cálculo diferencial e integral I y II. A continuación se transformarán las funciones implícitas anteriores en funciones explícitas, utilizando despeje simple en algunas de ellas, hasta el método de completar trinomio cuadrado perfecto, como es el caso de la sexta función.


Función implícita Función explícita. Nombre

08y3x4 ��

� �3

8x

3

4xfó

3

8x

3

4y

3

8x4y

8x4y3

08y3x4

� �

��

��

Función lineal

� � 8y4x6y2x32 ��

� �

� � 1xfó1y

8y8

8x6x6y4y4

8y4x6y4x6

8y4x6y2x32

��

��

Función constante

1yx 22 �

1xy

1xy

1xy

1yx

2

22

22

22

�r

�

��

�

De ésta se derivan dos funciones .

� �

� � 1xxfó1xy

1xxfó1xy

22

22

��

� �

Función irracional

06y3x2x2 ��

� � 2x3

2x

3

1xfó2x

3

2x

3

1y

3

6x2xy

6x2xy3

06y3x2x

22

2

2

2

��

��

��

��

Función cuadrática

0x3yx2 �

� �22

2

2

x

2x3xfó

x

2x3y

2x3yx

2x3yx

�

�

�

�

Función racional

06y4x2y2 ��

� �� 2x210xfó2x210y

2x210xfó2x210y

2x210y

x2102y

x2102y

4x264y4y

x26y4y

06y4x2y

2

2

2

2

��

��

��r

�r �

� �

��

� �

��

Función irracional

BLOQUE 1 65



Identifica la forma explícita e implícita de una función.

Obtiene la forma explícita de una función, a partir de su forma implícita.

Expresa la importancia del manejo del Álgebra en la obtención de funciones explícitas.


docente

Convierte las siguientes funciones implícitas en explícitas. 1. 09y2x4 ��

2. 05y2x 2 ��

3. 011y3 �

4. 01x3xy12xy3 2 ��

5. y44xy4yx2 � ��

Actividad: 3


Según su gráfica. En los temas anteriores se han dibujado varios tipos de funciones, en ellas se ha visto cómo el dominio y el rango van cambiando dependiendo de qué valores se puedan sustituir en la función y qué se obtiene de la misma; también se vieron funciones en las que para ciertos valores de “x” la función no existe o bien se acota mediante rectas imaginarias (asíntotas), pues bien, ahora existe otra clasificación y ésta se refiere al comportamiento de su gráfica y sólo contempla dos tipos, aquellas que su gráfica nunca se interrumpe o las que sufren cortes o saltos, es decir, continuas o discontinuas. A continuación se proporcionará una definición intuitiva de estos dos conceptos. Funciones continuas. Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel, éstas no sufren ninguna separación, salto o hueco. Ejemplo de ellas, son todas las funciones polinomiales, la función seno y coseno, pertenecientes a las funciones trigonométricas, así como también las funciones logarítmicas y exponenciales. A continuación se mostrarán algunas gráficas de funcione continuas.

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Funciones discontinuas. Son las que presentan una ruptura en su trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se observa en las siguientes gráficas.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

x

f (x)

Cuando se tiene la representación analítica de la función, la discontinuidad existe para aquellos valores de “x” en donde la función se indefine, como es el caso de las funciones racionales, las cuales se indefinen para aquellos valores donde el denominador es cero.

BLOQUE 1 67

Desarrolla lo que se pide en cada sección. I. Escribe en la línea debajo de cada gráfica, si la función es continua o discontinua, expresa

su dominio y rango con intervalos.

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

x

f (x)

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

�

x

L(x)

______________________________________ ______________________________________

Dom: ___________________ Dom: ____________________

Rango:__________________ Rango: ___________________

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

M(x)

��S�� S �S�� S�� S �S��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

�

x

T(x)

______________________________________ ______________________________________

Dom: ___________________ Dom: ____________________

Rango:__________________ Rango: ___________________

Actividad: 4


II. Dadas las siguientes funciones, determina si son continuas o discontinuas (justifica tu

respuesta), en el caso de ser discontinuas, determina para qué valores se da la discontinuidad.

1) � �x

3xxf

�

2) � � 3x2xxr 2 ��

3) � � ¸¹

·¨©

§ S x

2sen4xH

4) y44xy4yx2 � ��

5) � � 7xN �

6) � � 24xF x ��


BLOQUE 1 69



Reconoce la diferencia entre una función continua y discontinua.

Diferencia funciones continuas de funciones discontinuas y establece el dominio y rango de las funciones.

Practica con entusiasmo los ejercicios y se muestra interesado en las aportaciones del grupo en la retroalimentación de la actividad.


docente

7. � �3x

9xxg

2

��

8. � � 1x32xq �

9. � � � � 13xLnxs ��

10. � � 6x5xL �



Según su variación. Como se ha observado en las funciones antes vistas, existen funciones que aumentan su valor en la medida que aumenta la variable x, así como también hay funciones que disminuyen, a medida que la variable x aumenta, esto se conoce como funciones monótonas, las cuales se dividen en funciones crecientes y decrecientes. También hay funciones que tienen los dos comportamientos por intervalos. A continuación se enunciarán los conceptos de funciones crecientes y decrecientes. Funciones crecientes. Una función es creciente si al crecer los valores de su dominio, las imágenes correspondientes también crecen, esto es: Si al evaluarla en dos valores “a” y “b” de su dominio, tal que a<b (“a” sea menor que “b”) se cumple que f(a)<f(b) (f(a) es menor que f(b)).

Funciones decrecientes. Una función es decreciente si al crecer los valores de su dominio, las imágenes correspondientes decrecen, esto es: Si al evaluarla en dos valores “a” y “b” de su dominio, tal que a<b (“a” sea menor que “b”) se cumple que f(a)>f(b) (f(a) es menor que f(b)).

A estas funciones, como anteriormente se mencionó, se les conoce como monótonas, debido a que en todo su dominio crecen o decrecen. Las funciones en que cambia su comportamiento, se puede establecer si crecen o decrecen por intervalos, como se muestra en los siguientes ejemplos:

x

f (x)

a b

� �af

� �bf

x

f (x)

a b

� �af

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x

f (x)

a b

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x

f (x)

a b

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x

f (x)

a b

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x

f (x)

a b

� �bf

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BLOQUE 1 71

Ejemplo 1.

Determinar para qué intervalos de la función � � � � 12x3

2xf 2 �� es creciente o decreciente.

La función tiene dos comportamientos:

1. A medida que “x” se acerca a 2, la función va decreciendo. 2. Cuando “x” es mayor que 2 la función va creciendo.

Por lo tanto, su comportamiento se expresa así: La función es decreciente en el intervalo: � �2,f�

La función es creciente en el intervalo: � �f,2 Ejemplo 2. Determinar los intervalos donde la función � � � � 1xcos3xf � cambia de comportamiento. Considerando que el dominio de la función son los números reales y su gráfica es periódica, es decir que se repite infinitamente un fragmento de ella, se obtienen una infinidad de intervalos en los cuales la gráfica cambia de comportamiento.

Creciente Decreciente Creciente Decreciente

��S ��S�� S ��S�� S �S�� S�� S �S�� S �S�� S

��

��

��

��

��

�

�

�

x

f (x)

Creciente Decreciente

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��

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x

f (x)

Creciente Decreciente

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��

��

�

�

�

�

�

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x

f (x)


Primero se describirán los intervalos que se visualizan en la gráfica, y posteriormente se encontrará la regla que describe a todos ellos.

1. La función es decreciente en los intervalos: � �S�S� ,2 , � �S,0 , � �SS 3,2

2. La función es creciente en los intervalos: � �S�S� 2,3 , � �0,S� , � �SS 2, Por la forma que tienen los intervalos anteriores, se puede establecer una regla para encontrar todos los intervalos donde decrece o crece. Para n perteneciente a los números Enteros ( �n Z), los intervalos son:

1. La función decrece en los intervalos: � �� S�S 1n2,n2

2. La función crece en los intervalos: � �� SS� n2,1n2

Escribe en la línea debajo de cada gráfica los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente.

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��

��

��

��

��

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��

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x

f (x)

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�

�

�

�

�

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x

M(x)

Creciente:_________________________________ Creciente:_________________________________

Decreciente:_______________________________ Decreciente:_______________________________

Actividad: 5

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos sobre relaciones y funciones. http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php

http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php

BLOQUE 1 73



Reconoce la diferencia entre una función creciente y decreciente.

Diferencia funciones crecientes de funciones decrecientes y establece los intervalos en los cuales cambia el comportamiento de una función.

Practica con entusiasmo los ejercicios y se muestra interesado en las aportaciones del grupo en la retroalimentación de la actividad.


docente

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��

��

��

��

��

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�

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x

M(x)

��S�� S �S�� S�� S �S��

��

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��

��

��

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x

T(x)

Creciente:_________________________________ Creciente: _________________________________

Decreciente:_______________________________ Decreciente: _______________________________



Según la forma de correspondencia entre sus conjuntos. Este tema se refiere a la propiedad o característica de algunas funciones, ésta se refiere a la relación que existe entre el dominio y rango de la función y puede ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Inyectiva (Uno a uno) Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es inyectiva si y sólo si, a elementos distintos del conjunto A, les hace corresponder imágenes distintas del conjunto B, es decir que ningún elemento de A tiene la misma imagen, a continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital.

Ejemplo 1. Se relaciona las candidatas a reina del primer semestre del Colegio de Bachilleres de Magdalena, con el grupo al cual pertenecen.

La relación funcional es inyectiva debido a que a cada alumna la asocia con su grupo y no existen dos candidatas que pertenezcan al mismo grupo. Ejemplo 2. A cada ciudadano mexicano le corresponde una clave única de registro poblacional (CURP), ésta es una función inyectiva, porque para dos individuos distintos, les asocia claves diferentes. Ejemplo 3. Determinar si la gráfica de la función 1x2)x(f � , es inyectiva. La función es lineal y su gráfica es:

Ana Yolanda Susana Karla Laura

101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

Candidata a reina Grupos

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

A B

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

BLOQUE 1 75

La función es inyectiva, debido a que a cada “x” le asocia un valor diferente de la función. Una forma sencilla de visualizar si una función es inyectiva, mediante su gráfica, es trazar rectas horizontales a lo largo de la función, si esta corta una sola vez a la gráfica, entonces la función es inyectiva; si la llega a cortar en más de una ocasión, la función no es inyectiva.

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Ejemplo 4.

Determinar si la gráfica de la función 3x2

1)x(f 2 � es inyectiva.

Su gráfica es una parábola, puesto que es una función cuadrática.

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

Al trazarle líneas horizontales, se observa a excepción de una recta (la que pasa por el vértice), las demás cortan a la función en dos puntos, por lo tanto no es inyectiva. Para dos valores de “x” le asocia un valor de “y”.

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)


Sobreyectiva (Sobre) Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es sobreyectiva si y sólo si, cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento del conjunto A, es decir, no queda un solo elemento de B sin que esté relacionado por lo menos con un elemento de A. A continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital.

Ejemplo 1. Se relaciona un grupo de jovencitas con el curso de danza que llevan en su escuela.

La relación funcional de las jóvenes con su clase de danza es sobreyectiva, dado que en todos los cursos que se ofrecen de danza tiene al menos una alumna de ese conjunto de chicas. Ejemplo 2.

Determinar si la función 3

7x3x

3

1)x(k 3 �� es sobreyectiva.

La gráfica de la función es: La función es sobreyectiva, ya que todo valor de K(x) proviene de por lo menos una “x”. Esta función no es inyectiva puesto que existen tres valores diferentes de x que al sustituirlos en la función dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la función con el eje de las X, por mencionar un ejemplo de ello.

x1

x2

x3

x4

x5

x6

y1

y2

y3

y4

y5

A B

Abigail Isaura Abril

Karen Lita

Contemporánea Clásica

Moderna Española

Grupo Danza

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

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�

�

�

�

�

x

K(x)

BLOQUE 1 77

Biyectiva. Una función es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva, como se muestra en el siguiente diagrama.

Ejemplo 1. Un retiro matrimonial ofrece la oportunidad a los matrimonios de reforzar su unión y renovar sus votos.

La relación funcional que existe entre los conjuntos es biyectiva, puesto que a cada esposa la relaciona con su esposo y a su vez, no existe ningún esposo que haya asistido sin su esposa. Ejemplo 2. Determinar si la función 1x2)x(f � , es biyectiva. Esta función se comprobó con anterioridad que era inyectiva, puesto que a toda x le corresponde un valor de la función, además no existe valor de la función sin que provenga de una x correspondiente, por lo tanto es biyectiva. Como las funciones se definen en el conjunto de los números reales, esto es, que va de �o� , pocas de ellas cumplen con las propiedades, si se restringe la relación al dominio y rango de las funciones, algunas más podrán cumplir con alguna de ellas.

Martha Margarita

Maria Socorro Lupita

Rigoberto Benjamín Guillermo

José Gustavo

Grupo de esposas

Grupo de esposos

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

y3

y4

y5

A B

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

�

x

f (x)

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