Matematicas aplicadas a_la_administracion_y_eco

En esta nueva edicin, nos hemos esforzado por presentar el lgebra, las matemticas finitas y el clculo diferencial e integral, en forma tal que resulten de mximo provecho a estudiantes cuyo campo de especializacin son la administracin, la economa y las ciencias sociales.

El libro est orientado a la enseanza de las aplicaciones y a la utilizacin de las matemticas; no se hace hincapi en las demostraciones de los teoremas. Por lo regular, despus de enunciar un teorema procedemos a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos y aplicaciones.

El contenido de este libro se ha escogido de tal manera que incluya aquellas partes de las matemticas bsicas que son de mayor inters para estudiantes que se especializan en administracin y economa, as como para estudiantes de ciencias sociales. Las aplicaciones referidas a estas reas se han integrado por completo en el desarrollo de la obra; a veces, una aplicacin particular se utiliza para motivar ciertos conceptos matemticos; en otros casos, determinado resultado matemtico se aplica, ya sea de inmediato o en una seccin subsecuente, a un problema concreto, digamos de anlisis empresarial. Las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercana con el tratamiento del concepto matemtico especfico en cuestin.

El libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el lgebra previa al clculo; la Parte Dos, las matemticas finitas que incluyen el lgebra lineal y sus aplicaciones; y la Parte Tres, el clculo propiamente dicho. Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes entre s y pueden estudiarse en orden indistinto.

Al inicio de cada captulo se incluye una aplicacin o problema interesante y al final se agrega un repaso del captulo y un caso de estudio. Se hace un uso amplio de cuadros para enfatizar las frmulas y los resultados principales. Quiz lo ms til de todo para el estudiante, es la inclusin en el margen de cuadros de repaso a lo largo de toda la obra. stos contienen preguntas sencillas que se relacionan de forma directa con los conceptos adyacente. Los asteriscos (*) preceden a los ejercicios que constituyen un reto.

Agradecemos al M. en C. Vctor Hugo Ibarra, Universidad Anhuac; al Maestro Jos Luis Villalobos, Universidad Autnoma de Guadalajara, y al Doctor Macario Schettino, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico, las secciones con que inicia cada captulo y los casos de estudio.

OTRAS OBRAS DE INTERS PUBLICADAS POR PEARSON:

BERENSON, LEVINE, KREHBIEL: Estadstica para administracin, segunda edicin

HAEUSSLER, PAUL: Matemticas para la administracin y economa, octava edicin

LEVIN, RUBIN: Estadstica para administradores, sexta edicin

LIAL: Matemticas para la administracin y economa, sptima edicin

MILLER: Matemtica: Razonamiento y aplicaciones, octava edicin

PURCELL: Clculo, octava edicin

VILLALOBOS: Matemticas financieras, segunda edicin

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MATEMTICAS APLICADASa la Administracin y a la Economa

Jagdish C. AryaRobin W. LardnerDepartament of Mathematics, Simon Fraser University

Con la colaboracin de Vctor Hugo Ibarra MercadoUniversidad Anhuac Jos Luis Villalobos Prez Universidad Autnoma de Guadalajara Macario Schettino Yez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico

TRADUCCIN Y REVISIN TCNICA:Vctor Hugo Ibarra Mercado Universidad Anhuac

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Versin en espaol de la obra titulada Mathematical analysis for business, economics, and the life and social sciences, de Jagdish C.Arya y Robin W. Lardner, publicada originalmente en ingls por Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey, E.U.A.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Original English language title by Prentice Hall Inc.Copyright 1993All rights reservedISBN 0-13-564287-6

Edicin en espaol:Editor: Guillermo Trujano Mendoza

E-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Lorena Pontones Durand Supervisor de Produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Edicin en ingls:Editor-in-chief: Tim Bozik Design director: Florence Dara Silverman Senior editor: Steve Conmy Interior design: Patricia McGowanExecutive editor: Priscilla McGeehon Prepress buyer: Paula Massenaro Senior managing editor: Jeanne Hoeting Manufacturing buyer: Lori Bulwin Production editor: Nicholas Romanelli

CUARTA EDICIN, 2002

D.R. 2002 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Calle 4 No. 25-2do. pisoFracc. Industrial Alce Blanco53370 Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sis-tema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico oelectroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de susrepresentantes.

ISBN 968-444-437-0

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 05 04 03 02

968-444-437-0

856Formato: 20 25.5 cm

Mxico, 2002

ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W.

Matemticas aplicadasa la administracin y a la economa

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A

Niki y Shanti

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PREFACIO xiii

PARTE UNOLGEBRA

1 REPASO DE LGEBRA 11-1 Los nmeros reales 21-2 Fracciones 101-3 Exponentes 181-4 Exponentes fraccionarios 231-5 Operaciones algebraicas 291-6 Factorizacin 381-7 Fracciones algebraicas 46

Repaso del captulo 55Ejercicios de repaso 56 CASO DE ESTUDIO 58

2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 592-1 Ecuaciones lineales 602-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 682-3 Ecuaciones cuadrticas 732-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadrticas 81


v

Contenido

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3 DESIGUALDADES 923-1 Conjuntos e intervalos 933-2 Desigualdades lineales de una variable 993-3 Desigualdades cuadrticas de una variable 1063-4 Valores absolutos 112


4 LNEAS RECTAS 1234-1 Coordenadas cartesianas 1244-2 Lneas rectas y ecuaciones lineales 1324-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales 1424-4 Sistemas de ecuaciones 1504-5 Aplicaciones a administracin y economa 160


5 FUNCIONES Y GRFICAS 1765-1 Funciones 1775-2 Funciones cuadrticasy parbolas 1915-3 Ms funciones elementales y sus grficas 1975-4 Operaciones de funciones 2085-5 Relaciones implcitas y funciones inversas 213


6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 2246-1 Inters compuesto y temas relacionados 2256-2 Funciones exponenciales 2366-3 Logaritmos 2426-4 Aplicaciones y propiedades adicionales de los logaritmos 253


vi CONTENIDO

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PARTE DOSMATEMTICAS FINITAS

7 PROGRESIONES Y MATEMTICAS FINANCIERAS 2717-1 Progresiones aritmticas e inters simple 2727-2 Progresiones geomtricas e inters compuesto 2797-3 Matemticas financieras 2867-4 Ecuaciones en diferencias 2967-5 Notacin de sumatoria (seccin opcional) 311


8 LGEBRA DE MATRICES 3238-1 Matrices 3248-2 Multiplicacin de matrices 3308-3 Solucin de sistemas lineales

por reduccin de renglones 3418-4 Sistemas singulares 350


9 INVERSAS Y DETERMINANTES 3619-1 La inversa de una matriz 3629-2 Anlisis insumo-producto 3699-3 Cadenas de Markov (opcional) 3769-4 Determinantes 3879-5 Inversas por determinantes 395


10 PROGRAMACIN LINEAL 40610-1 Desigualdades lineales 40710-2 Optimizacin lineal (enfoque geomtrico) 41410-3 Tabla smplex 42510-4 Mtodo smplex 434

CONTENIDO vii

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PARTE TRESCLCULO

11 LA DERIVADA 44811-1 Incrementos y tasas 44911-2 Lmites 45711-3 La derivada 46711-4 Derivadas de funciones elevadas a una potencia 47311-5 Anlisis marginal 48011-6 Continuidad y diferenciabilidad (seccin opcional) 489


12 CLCULO DE DERIVADAS 50312-1 Derivadas de productos y cocientes 50412-2 La regla de la cadena 51012-3 Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas 51812-4 Derivadas de orden superior 527


13 OPTIMIZACIN Y BOSQUEJO DE CURVAS 53613-1 La primera derivada y la grfica de la funcin 53713-2 Mximos y mnimos 54213-3 La segunda derivada y la concavidad 55013-4 Bosquejo de curvas polinomiales 55913-5 Aplicaciones de mximos y mnimos 56413-6 Mximos y mnimos absolutos 57813-7 Asntotas 583


14 MS SOBRE DERIVADAS 60114-1 Diferenciales 60214-2 Diferenciacin implcita 608

viii CONTENIDO

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14-3 Diferenciacin logartmica y elasticidad 615Repaso del captulo 623Ejercicios de repaso 624 CASO DE ESTUDIO 626

15 INTEGRACIN 62815-1 Antiderivadas 62915-2 Mtodo de sustitucin 63715-3 Tablas de integrales 64415-4 Integracin por partes 648


16 LA INTEGRAL DEFINIDA 65816-1 reas bajo curvas 65916-2 Ms sobre reas 66816-3 Aplicaciones en la administracin y la economa 67716-4 Valor promedio de una funcin 68816-5 Integracin numrica (seccin opcional) 69116-6 Ecuaciones diferenciales: una introduccin 69716-7 Ecuaciones diferenciales separables 70616-8 Aplicaciones a probabilidad (seccin opcional) 712


17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 72717-1 Funciones y dominios 72817-2 Derivadas parciales 73817-3 Aplicaciones para anlisis en la administracin 74517-4 Optimizacin 75317-5 Multiplicadores de Lagrange (seccin opcional) 75917-6 Mtodo de mnimos cuadrados 767


Apndices 781

Respuestas a los ejercicios impares 799

ndice 833

CONTENIDO ix

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En esta nueva edicin, nos hemos esforzado por presentar el lgebra, las matemticasfinitas y el clculo diferencial e integral, en forma tal que resulten de mximo pro-vecho a estudiantes cuyo campo de especializacin no sean las matemticas ni lasciencias fsicas. La orientacin principal del libro es hacia aplicaciones en la admi-nistracin y la economa, aunque en esta edicin se incluyen una significativa can-tidad de ejercicios y aplicaciones concernientes a diversas reas de las cienciassociales y biolgicas, lo cual ampla la utilidad del texto.

Aunque en esta edicin el marco bsico general no ha cambiado, se ha reali-zado una gran cantidad de revisiones. Hemos agregado una seccin en el captulo 7sobre ecuaciones en diferencias y sus aplicaciones en matemticas financieras y enel captulo 16 hemos expandido a dos secciones la cobertura de ecuaciones diferen-ciales. Se han revisado completamente el captulo 6, sobre funciones exponencialesy logartmicas; el tratamiento de desigualdades cuadrticas en el captulo 3 y las pri-meras cuatro secciones en el captulo 13, sobre optimizacin. Y las aplicaciones enlos captulos 2 y 4 se han dividido y colocado ms prximas al lgebra que las rela-ciona. Adems de estas revisiones y adiciones importantes, se han hecho una grancantidad de otras a lo largo de todo el libro, las cuales consisten en ejemplos adicio-nales desarrollados o aplicaciones del anlisis. La mayor parte de los conjuntos deejercicios se han modificado, con la adicin de varios cientos de ejercicios nuevos.

Varias herramientas pedaggicas son nuevas en esta edicin. Al inicio de ca-da captulo se incluye una aplicacin o problema interesante y al final se agrega unrepaso del captulo y un caso de estudio. Se hace un uso amplio de cuadros para en-fatizar las frmulas y resultados principales. Quiz lo ms til de todo para el estu-diante, es la inclusin en el margen de cuadros de repaso a lo largo de toda la obra.stos contienen preguntas sencillas que ligan de forma directa al anlisis adyacen-te. Los asteriscos (*) preceden a los ejercicios que constituyen un reto.

PREFACIO xi

Prefacio

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Como antes, el libro est orientado a la enseanza de las aplicaciones y a lautilizacin de las matemticas ms que a las matemticas puras. No se hace hinca-pi en las demostraciones de los teoremas, ni se da a stas un lugar prominente enel desarrollo del texto. Por lo regular, despus de enunciar un teorema procedemosa ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se da la demos-tracin. Las demostraciones ms difciles, adems, se han omitido por completo.

Este relativo desinters por los pormenores matemticos da a los estudiantescuya principal motivacin es la aplicacin de las matemticas, el tiempo nece-sario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas tcnicas. Segn nuestraexperiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las tcnicas por lo comn de-sarrollan una intuicin razonablemente clara del proceso, y la carencia de un com-pleto rigor matemtico no constituye una grave deficiencia.

El contenido de este libro se ha escogido de tal manera que incluya aquellaspartes de las matemticas bsicas que son de mayor inters para estudiantes que seespecializan en administracin y economa, as como para estudiantes de cienciassociales y biolgicas. Las aplicaciones referidas a estas reas se han integrado porcompleto en el desarrollo de la obra; a veces una aplicacin particular se utiliza pa-ra motivar ciertos conceptos matemticos; en otros casos determinado resultadomatemtico se aplica, ya sea de inmediato o en una seccin subsecuente, a un pro-

xii CAPTULO 1 PREFACIO

1,2 Y 3REPASO

DE LGEBRA

4LNEAS RECTAS

5 Y 6FUNCIONES Y

GRFICAS,LOGARITMOS YEXPONENCIALES

8 7MATRICES PROGRESIONES

Y MATEMTICASFINANCIERAS

9 10DETERMINANTES PROGRAMACIN

LINEAL

11-14CLCULO

DIFERENCIAL

15-16 17CLCULO FUNCIONES DE INTEGRAL VARIAS VARIABLES

LGEBRA UNIVERSITA-RIA

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blema concreto, digamos de anlisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones seofrecen en estrecha cercana con el tratamiento del concepto matemtico especficoen cuestin. No obstante, cabe aclarar que las matemticas de esta obra se presen-tan en un estilo limpio, es decir fuera del contexto de cualquier aplicacin par-ticular. Slo despus de establecer cada resultado en un nivel puramente algebraico,se aplica ste a un problema prctico.

El libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el lgebra previa al cl-culo; la Parte Dos, las matemticas finitas, y la Parte Tres el clculo propiamente di-cho. Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes entre s y pueden es-tudiarse en orden indistinto.

El lgebra previa al clculo abarca los primeros seis captulos del libro. En losprimeros tres de ellos presentamos un repaso bastante detallado del lgebra de nivelintermedio y de la solucin de ecuaciones y desigualdades en una variable. Los es-tudiantes que estn familiarizados con estos temas quizs prefieran empezar direc-tamente con el captulo 4, que trata las ecuaciones y los sistemas lineales. El restode la primera parte consta de un captulo sobre funciones y otro sobre exponencia-les y logaritmos.

La parte del libro dedicadas a las matemticas finitas se compone por s mis-ma en dos partes casi independientes: el captulo 7, sobre matemticas financieras;y los captulos 8, 9 y 10 sobre matrices, determinantes y programacin lineal. El ca-ptulo 10, dedicado a la programacin lineal, exige conocer un poco lo tratado en elcaptulo 8, pero no requiere lo referente al captulo 9.

Los captulos 11 a 14 tratan el clculo diferencial en una variable. Los prime-ros dos de estos captulos se explican las antiderivadas, y se ofrece una opcin so-bre cmo enfocar la integracin. Despus de exponer el mtodo de sustitucin, deinmediato se presentan las tablas de integrales de modo que el profesor que deseepasar rpidamente a las aplicaciones pueda hacerlo.

Por otra parte, si el profesor desea dedicar ms tiempo a las tcnicas de inte-gracin, puede posponer la seccin sobre las tablas y tratar primero la seccin finaldel captulo 15. El segundo de estos captulos estudia la integral definida y sus apli-caciones al clculo de reas; anlisis gerencial y ecuaciones diferenciales.

El captulo final constituye una introduccin al clculo diferencial de funcio-nes de varias variables.

Seleccionando captulos y/o secciones de captulos en forma apropiada, el li-bro puede adaptarse a una gran variedad de cursos. Por ejemplo, puede impartirseadecuadamente cursos de lgebra superior, lgebra y matemticas finitas, lgebra yclculo o matemticas finitas y clculo si se seleccionan los captulos pertinentes.El diagrama ilustra la estructura del libro en cuanto a requisitos previos de conoci-mientos, y con base en l resultar evidente cmo estos diversos cursos pueden pla-nearse haciendo las elecciones temticas apropiadas.

Para los profesores est disponible un Manual del Instructor. Escrito por losautores, este suplemento contiene las soluciones completas para todos los proble-mas.

Deseamos expresar nuestros agradecimientos a las siguientes personas quie-nes revisaron el manuscrito de la revisin y proporcionaron valiosos comentarios ysugerencias: Michael J. Bradley, Merrimack College; Richard Weimer, FrotsburgState University; Karen Mathiason, West Texas State University; Ronald Edwards,Westfield State University; Yoe Itokawa, University of Alabama, Birmingham y aGreg Taylor, Wake Forest University.

Agradecemos al M. en C. Vctor Hugo Ibarra, Universidad Anhuac e Institu-to Politcnico Nacional; al Maestro Jos Luis Villalobos, Universidad Autnoma de

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Guadalajara y al Doctor Macario Schettino, Instituto Tecnolgico y de Estudios Su-periores de Monterrey Campus Ciudad de Mxico, las secciones con que inicia cadacaptulo y los casos de estudio al final de los mismos. El editor de este libro agra-dece al ingeniero Abelardo de Anda Fernndez de Castro sus acertadas observacio-nes y correcciones con las cuales se enriqueci esta edicin.

J.C.A.R.W.L.

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1

C A P T U L O 1Repaso de lgebra

1-1 LOS NMEROS REALES1-2 FRACCIONES1-3 EXPONENTES1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS1-6 FACTORIZACIN1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS

REPASO DEL CAPTULO

Este captulo revisa las tcnicas fundamentales de lgebra. Est dirigido a los estudiantes que,por una u otra razn, lo necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas bsicas.

T E M A R I O

Objetivo del captulo

Una compaera nos sorprendi cuando en una clase necesi-tbamos calcular el rea de un cuadrado de 75 cm por ladoy ella de inmediato respondi que el rea era de 5625 cm2.El profesor intrigado le pregunt cmo haba hecho la ope-racin tan rpido, a lo que ella contest que al siete le su-mo uno, cuyo resultado es ocho, multiplic ste (el ocho)por siete y obtuvo 56, y coloc el 56 adelante del nmero25, obteniendo as la respuesta. Nuestra compaera agre-g que este mtodo slo serva para nmeros que termi-naran en cinco. El profesor se qued pensativo probandocon varios nmeros, y despus de un rato nos explic losiguiente:

Para representar un nmero que termine en cinco,podemos indicar con d al nmero de decenas y as formarel nmero:

10d 5.

Al elevar este nmero al cuadrado recuerden laforma de elevar un binomio al cuadrado, obtenemos:

(10d 5)2 100d2 100d 25.

Si factorizamos los primeros dos trminos del ladoderecho, cuyo factor comn es 100d, tenemos:

(10d 5)2 100d(d 1) 25.

Con esto podemos entender la regla para elevarrpidamente al cuadrado un nmero que termine en cinco.Hagmoslo con un ejemplo:

Elevemos (65)2.

a) Nos fijamos en el nmero de decenas: seis.b) ste lo multiplicamos por el dgito que es uno

mayor que l, siete.c) Formamos el nmero que inicia con el resultado

anterior, 42, y termina con 25, es decir, 4225.

Al emplear esta regla, realicemos las operaciones si-guientes:

i) 252. ii) 552.iii) 952. iv) 1152.v) 7.52. vi) 1052.

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Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los nmeros reales. Losnmeros 1, 2, 3, etc., se denominan nmeros naturales. Si sumamos o multiplica-mos dos nmeros naturales cualesquiera, el resultado siempre es un nmero natural.Por ejemplo, 8 5 13 y 8 5 40; la suma 13 y el producto 40 son nmerosnaturales. En cambio, si restamos o dividimos dos nmeros naturales, el resultadono siempre es un nmero natural. Por ejemplo, 8 5 3 y 8 2 4 son nme-ros naturales, pero 5 8 y 2 7 no son nmeros naturales. As, dentro del sistemade nmeros naturales, siempre podemos sumar y multiplicar pero no siempre pode-mos restar o dividir.

Con objeto de superar la limitacin de la sustraccin, extendemos el sistemade los nmeros naturales al sistema de los nmeros enteros. Los enteros incluyenlos nmeros naturales, los negativos de cada nmero natural y el nmero cero (0).De este modo podemos representar al sistema de los enteros mediante

. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .

Es claro que los nmeros naturales tambin son enteros. Si sumamos, multiplicamoso restamos dos enteros cualesquiera, el resultado tambin es un entero. Por ejemplo,3 8 5, (3)(5) 15 y 3 8 5 son enteros. Pero an no podemosdividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemosque: 8 (2) 4 es un entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del sis-tema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemosdividir.

Para superar la limitacin de la divisin extendemos el sistema de los enterosal sistema de los nmeros racionales. Este sistema consiste de todas las fraccionesa/b, donde a y b son enteros con b 0.

Un nmero es racional si podemos expresarlo como la razn de dos enteros condenominador distinto de cero. As 83,

57,

03 y 6

61, son ejemplos de nmeros racio-

nales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos nmerosracionales (exceptuando la divisin entre cero)* y el resultado siempre es un nme-ro racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmtica:adicin, multiplicacin, sustraccin y divisin son posibles dentro del sistema de losnmeros racionales.

Cuando un nmero racional se expresa como un decimal, los decimales termi-nan o presentan un patrn que se repite indefinidamente. Por ejemplo, 14 0.25 y98

30 1.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que

16 0.1666. . .

y 47 0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten.Tambin existen algunos nmeros de uso comn que no son racionales (es de-

cir, que no pueden expresarse como la razn de dos enteros). Por ejemplo, 2, 3y no son nmeros racionales. Tales nmeros se denominan nmeros irraciona-les. La diferencia esencial entre los nmeros racionales y los irracionales se advier-te en sus expresiones decimales. Cuando un nmero irracional se presenta por me-

2 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA

1-1 LOS NMEROS REALES

*Vase el pargrafo final de esta seccin.

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dio de decimales, los decimales continan indefinidamente sin presentar ningn pa-trn repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales 2 1.4142135623. . . y 3.1415926535. . . No importa con cuntos decimales expresemos estos nmeros,nunca presentarn un patrn repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren enel caso de los nmeros racionales.

El trmino nmero real se utiliza para indicar un nmero que es racional oirracional. El sistema de los nmeros reales consta de todas las posibles expresionesdecimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los nme-ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los nmeros irracionales. 1

Geomtricamente, los nmeros reales se pueden representar por los puntos so-bre una lnea recta denominada recta numrica. Con el fin de hacer esto, seleccio-nemos un punto arbitrario O sobre la lnea que represente al nmero cero. Losnmeros positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de O y los ne-gativos por los puntos a la izquierda de O. Si A1 es un punto a la derecha de O talque OA1 tiene longitud unitaria, entonces A1 representa al nmero 1. Los enteros 2,3, . . . , n, . . . estn representados por los puntos A2, A3, . . . , An, . . . , estn a la de-recha de O y son tales que

OA2 2OA1, OA3 3OA1, . . . , OAn nOA1, . . .

De manera similar, si B1, B2, . . . , Bn, . . . , son los puntos a la izquierda de O talesque las distancias OB1, OB2, OB3, . . . , son iguales a las distancias OA1, OA2, . . . ,OAn, . . . , respectivamente, entonces los puntos B1, B2, B3, . . . , Bn, . . . , representana los nmeros negativos 1, 2, 3, . . . , n, . . . En esta forma, todos los enterospueden representarse mediante puntos sobre la recta numrica. (Vase la figura 1.)

SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 3

Los nmeros racionales pueden representarse por puntos sobre la recta num-rica que estn situados un nmero apropiado de unidades fraccionarias a partir deO. Por ejemplo, el nmero 92 est representado por el punto situado cuatro unidadesy media a la derecha de O y 73 est representado por el punto que est situado dosunidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo nmero racionalpuede representarse por un punto sobre la lnea.

Se deduce que todo nmero irracional tambin puede representarse por unpunto sobre la recta numrica. En consecuencia, todos los nmeros reales, tantos losracionales como los irracionales, pueden representarse por tales puntos. Ms an,cada punto sobre la recta numrica corresponde a uno y slo un nmero real. Debi-do a esto, es bastante comn el uso de la palabra punto con el significado de nme-ro real.

Bn B3 B2 A1 A2 A3 AnB1 O

1 2 3On n3 2 1

FIGURA 1

1. Qu tipo de nmero escada uno de los siguientes?:

(a)

2

3;

(b) (2)2;

(c)

2.

Respuesta (a) racional, real; (b) natural, entero, real;(c) irracional, real.

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Propiedades de los nmeros reales

Cuando dos nmeros reales se suman, el resultado siempre es un nmero real; demanera similar, cuando dos nmeros reales se multiplican, tambin el resultado esun nmero real. Estas dos operaciones de adicin y multiplicacin son fundamenta-les en el sistema de los nmeros reales y poseen ciertas propiedades que en breveenunciaremos. Estas propiedades por s mismas parecen ser ms bien elementales,quizs aun obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones al-gebraicas que efectuaremos despus.

PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos nmeros reales cualesquie-ra, entonces

a b b a y ab ba.

Por ejemplo, 3 7 7 3, 3 (7) (7) 3, 3 7 7 3 y (3)(7) (7)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos nme-ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier or-den que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adicin y dela multiplicacin, respectivamente.

PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a, b y c son tres nmeros reales cualesquiera,entonces

(a b) c a (b c) y (ab)c a(bc).

Por ejemplo, (2 3) 7 2 (3 7) 12 y (2 3) 7 2 (3 7) 42. Estaspropiedades se conocen como propiedades asociativas de la adicin y de la mul-tiplicacin, respectivamente. Establecen que, si tres nmeros se suman (o se multi-plican) a la vez, no importa cules dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en pri-mer trmino. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos.

En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los parntesis en las ex-presiones anteriores. Podemos escribir a b c para indicar la suma de a, b y c yabc para su producto sin ninguna ambigedad.

PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a, b y c son nmeros reales cualesquiera,entonces

a(b c) ab ac y (b c)a ba ca.

Por ejemplo, 2(3 7) 2(3) 2(7) 6 14 20. Esto es sin duda cierto por-que 2(3 7) 2 10 20. Por otra parte, (2)[3 (7)] (2)(3) (2)(7) 6 14 8. Podemos evaluar la expresin dada directamente, obtenien-do la misma respuesta: (2)[3 (7)] (2)(4) 8.


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La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primeradado que, por la propiedad conmutativa

(b c)a a(b c) y tambin ba ca ab ac.

Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera pro-piedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales.

Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los clculos al-gebraicos. Como veremos, stas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplifi-cacin de expresiones y, si se leen hacia atrs, esto es, de derecha a izquierda, formanla base para los mtodos de factorizacin. 2

Los ejemplos siguientes ilustran algunos usos elementales de estas propiedades delos nmeros reales al simplificar las expresiones algebraicas.

EJEMPLO 1

(a) x(y 2) xy x(2) (propiedad distributiva)

xy 2x (propiedad conmutativa)

(b) 2x 3x (2 3)x (propiedad distributiva)

5x

(c) 2(3x) (2 3)x (propiedad asociativa)

6x

(d) (2x)(3x) [(2x) 3]x (propiedad asociativa)

[3 (2x)]x (propiedad conmutativa)

[(3 2)x]x (propiedad asociativa)

(6x)x

6(x x) (propiedad asociativa)

6x2

donde x2 denota x x.Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los trminos semejantes en el

producto original: los nmeros 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadasdan x2. La parte siguiente ilustra este procedimiento.

(e) [5(3ab)] (2a) (5 3 2)(a a)b 30a2b.

Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesin de pasos que empleanlas leyes asociativa y conmutativa, como en la parte (d).

(f) 2x (3y x) 2x (x 3y) (propiedad conmutativa)

(2x x) 3y (propiedad asociativa)

(2x 1x) 3y

(2 1)x 3y (propiedad distributiva)

3x 3y


2. Cules propiedades de losnmeros reales son utilizadas en cadauna de las siguientes igualdades?(a) 2 3 4 2 4 3;(b) 2 3 4 3 4 2;(c) 2 (3 4) (3 4) 2;(d) 2 (3 4) 4 (2 3);(e) 3x 3x (3 3)x;(f) 3x xy x(3 y).

Respuesta (a) conmutativa;(b) conmutativa;(c) conmutativa;(d) ambas, conmutativa y asociativa;(e) distributiva;(f) ambas, distributiva y conmutativa.

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(g) 2x(4y 3x) (2x)(4y) (2x)(3x) (propiedaddistributiva)

(2 4)(x y) (2 3)(x x) (propiedadesasociativa yconmutativa como enla parte (a))

8xy 6x2.

La propiedad distributiva puede usarse en el caso en que ms de dos cantida-des se sumen dentro de los parntesis. Esto es,

a(b c d) ab ac ad,

etctera.

EJEMPLO 2

4(x 3y 4z) 4x 4(3y) 4(4z) (propiedad distributiva) 4x (4 3)y (4 4)z (propiedad asociativa) 4x 12y 16z

ELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un nmero real cualquiera, entonces

a 0 a y a 1 a.

Es decir, si 0 se suma a a, el resultado an es a y si a se multiplica por 1, el resul-tado de nuevo es a. Por esta razn, los nmeros 0 y 1 a menudo se conocen comoelementos identidad para la adicin y la multiplicacin, respectivamente, porqueno alteran nmero alguno bajo sus respectivas operaciones.

INVERSOS Si a es un nmero real arbitrario, entonces existe un nico nmeroreal denominado el negativo de a (denotado por a) tal que

a (a) 0.

Si a no es cero, entonces tambin existe un nico nmero real denominado el rec-proco de a (denotado por a1) tal que

a a1 1.

Obsrvese la similitud entre las dos definiciones: cuando a se suma a a, el resul-tado es el elemento identidad para la edicin y cuando a1 se multiplica por a, el re-sultado es el elemento identidad para la multiplicacin. A menudo nos referiremosa a como el inverso aditivo de a y a a1 como el inverso multiplicativo de a.(Algunas veces a1 se denomina simplemente inverso de a.)


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EJEMPLO 3

(a) El inverso aditivo de 3 es 3 dado que 3 (3) 0. El inverso aditivode 3 es 3 puesto que (3) 3 0. Como el inverso aditivo de 3 se denota por(3), se sigue que (3) 3. En realidad, un resultado correspondiente vale pa-ra cualquier nmero real a:

(a) a.

(b) El inverso multiplicativo de 3 es 31 dado que 3 31 1. El inverso mul-tiplicativo de 31 sera denotado por (31)1 y estara definido por el requerimientode que 31 (31)1 1. Pero dado que 31 3 1, se sigue que 3(1)1 es iguala 3.

De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier nmero real a dis-tinto de cero:

(a1)1 a.

(El inverso del inverso de a es igual a a.)

Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po-demos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustraccin y divisin.Definimos a b como el nmero a (b), es decir, a ms el negativo de b. Demanera similar, definimos a b como el nmero ab1, es decir, a multiplicado porel recproco de b. La expresin a b est definida slo cuando b 0. Tambin seindica por la fraccin a/b y tenemos que

Definicin de ab

: ab

ab1. (1)

Haciendo a 1 en la ecuacin (1), resulta que

1b

1 b1 b1.

De aqu, la fraccin 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b1. Porejemplo, 31 13. Por tanto, se sigue de la ecuacin (1) que

ab

a1bdado que b1 1/b. 3


3. Cules propiedades de losnmeros reales se utilizan en cadauna de las igualdades siguientes?(a) x 3x 1x 3x (1 3) x 4x;(b) (2 1) (1) 2 [1 (1)] 2 0 2;(c) 3 13 1.

Respuesta (a) propiedad delelemento idntico multiplicativo y propiedad distributiva;(b) propiedad asociativa, inversoaditivo y neutro aditivo;(c) idntico multiplicativo ydefinicin de 1a.

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EJEMPLO 4

(a) 7131

(Ecuacin (1), con a 7 y b 13)

7(31)1 7(3) 21

Este resultado se extiende a cualesquiera pares de nmeros reales a y b (b 0):

1a/b ab.

(b) Para cualquier nmero real, (1)b b. Esto se debe a que

b (1)b 1 b (1)b

[1 (1)]b (propiedad distributiva)

0 b 0

Por tanto, (1)b debe ser el inverso aditivo de b, es decir b.

(c) a(b) a[(1)/b] (por la parte (b))

(1)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa)

(ab)

Por ejemplo, 3(7) (3 7) 21.

(d) 3(x 2y) 3[x (2y)] (definicin de sustraccin)

3x 3(2y) (propiedad distributiva)

3x [3(2y)] (de la parte (c))

3x [(3 2)y] (propiedad asociativa)

3x 6y

En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos.Por ejemplo,

a(b c) ab ac.

De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa.

3(x 2y) 3x 3(2y) 3x 6y

Obsrvese que cuando una expresin dentro de parntesis debe multiplicarsepor una cantidad negativa, todo trmino dentro del parntesis cambia de signo.

(a b) (1)(a b) (1)a (1)b a b

EJEMPLO 5

2(x 3y) (2)x (2)(3y)

2x 6y

Ntese que tanto x como 3y que estn dentro de los parntesis cambian de signo,quedando como 2x y 6y, respectivamente.

7( 13)


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1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es vlidao no. Reemplace cada proposicin falsa por una que sea co-rrecta.

a. 3x 4x 7x b. (3x)(4x) 7x

c. 2(5 4y) 10 4y

d. (x y) x y

e. 5x (2 3x) 2x 2

f. 5 2x 3x

g. 3(x 2y) 3x 6y

h. (a)(b)(c) (d) (abc d)

i. a (b c) (ac) b

j. a (b c) (a c) b

k. (x)(y) xy

l.

ab

ab

m. 0x

0 para todos los nmeros reales x

(2-60) Simplifique las expresiones siguientes.

2. 5 (3) 3. 7 (3)

4. 5(3) 5. (3)(7)

6. 8 (2) 7. (9) (3)

8. (2 6) 9. (4 3)

10. (3)(2)(4) 11. (5)(3)(2)

12. 3(1 4) 13. 2(2 3)

14. 2(4 2) 15. 4(3 6)

16. 6 2(3 2) 17. 3(x 2y)

18. 4(2x z) 19. 2(2x y)

20. 3(4z 2x) 21. (x 6)

22. (x 3) 23. 3(x 4)

24. 2(x 3) 25. 2(x 2)

26. 4(x 6) 27. x(y 6)

28. x(y 6) 29. 2(x y) 4x

30. 3y 4(x 2y) 31. 2z 3(x 2z)

32. 4x 2(3z 2x) 33. (x y) 4(x y)

34. 3(y 2x) 2(2x 2y) 35. 5(7x 2y) 4(3y 2x)

36. 4(8z 2t) 3(t 4z) 37. x(y)(z)

38. (x)(y)(z) 39. (2)(x)(x 3)

40. (x)(y)(2 3z) 41. 2(a)(3 a)

42. (37 p)(2q)(q p) 43. x(2)(x 4)

44. (2x)(3)(y 4) 45. x(x 2) 2(x 1)

46. 2(3x)(2y 1) (y)(4 5x)

47. 2x 5 2(x 2) 48. 3x t 2(x t)

49. 2(x y) x 50. 4x(x y) x2

51. 4[2(x 1) 3] 52. x[3(x 2) 2x 1]

53. x[3(4 5) 3]

54. 4[x(2 5) 2(1 2x)] 55. x1 (x 2)

56. x1 (2x 1) 57. (2x)1 (3x 1)

58. (3x)1 (6 2x) 59. (xy)1 (x y)

60. (xy)1 (2x 3y)


Observacin sobre la divisin entre cero. La afirmacin a/b c es ciertasi y slo si la proposicin inversa a b c es vlida. Consideremos una fraccin enla cual el denominador b es cero, tal como 30. sta no puede ser igual a ningn n-mero real c porque la afirmacin inversa 3 0 c no puede ser vlida para ningnreal c. Por tanto 30 no est bien definido. Asimismo,

00 no es un nmero real bien de-

finido porque la proposicin inversa 0 0 c es vlida para cada nmero real c.As, concluimos que cualquier fraccin con denominador cero no es un nmero realbien definido o, en forma equivalente, que la divisin entre cero es una operacinque carece de sentido. Por ejemplo, x/x 1 es cierto slo si x 0. 4

4. Estn definidas lasexpresiones siguientes?

(a) b (3

ab 4b);

(b) b (3b

a 4b).

Respuesta (a) no;(b) s, siempre y cuando a 0.

EJERCICIOS 1-1

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En la seccin 1-1, vimos que la fraccin a/b est definida como el producto de a yel inverso de b:

ab

ab1 (b 0).

En particular,

1b

b1.

Con base en la definicin anterior es posible deducir todas las propiedades que seusan al manejar fracciones. En esta seccin nos detendremos un poco a examinar es-te tipo de operaciones.*

Multiplicacin de fracciones

El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer trmino los dosnumeradores y luego los dos denominadores.

ab dc badc

EJEMPLO 1

(a) 23 59 23 59 1207

(b) 23x 4y (32x

)y4

83xy

(c) 3x54y 31x 54y 152yx 5

Divisin de fracciones

Con el propsito de dividir una fraccin entre otra, la segunda fraccin se invierte ydespus se multiplica por la primera. En otras palabras,

ab dc ab dc abdc.

(3x) 41 (5y)


1-2 FRACCIONES

5. Evale (a) 23

73

;

(b) 2x

75

.

Respuesta (a) 194; (b) 1

70x. *Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas al

final de esta seccin.

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EJEMPLO 2

(a) 35 79 35 97 2375

(b) 32x 4y 32x 4y 38xy

(c) 5y 56x 51y 56x 256xy

(d) 23x (2y) 23x 21y 23x 21y 43xy

(e) ab1

1 ab 1 ba ba

(Es decir, el recproco de cualquier fraccin se obtiene intercambiando el numera-dor y el denominador de la fraccin.) 6.

En vista de este ltimo resultado, podemos reescribir la regla anterior para ladivisin: para dividir entre una fraccin, debe multiplicar por su recproco.

Cancelacin de factores comunes

El numerador y el denominador de cualquier fraccin pueden multiplicarse o divi-dirse por un nmero real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac-cin.

ab

abcc (c 0)

EJEMPLO 3

(a) ab

22ab

(b) 35

160 1

95

1220

(c) 56x

1102xx2

(con tal que x 0)

Esta propiedad de las fracciones puede usarse con el fin de reducir una frac-cin a su mnima expresin, lo que significa dividir al numerador y al denomina-dor por todos los factores comunes. (Esto se llama tambin simplificacin de lafraccin.)

SECCIN 1-2 FRACCIONES 11

6. Evale

(a) 23

32

; (b) 2x

75

.

Respuesta (a) 49

; (b) 154x.

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EJEMPLO 4

(a) 7804

22 2

5 3

7 7

Obsrvese que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en tr-minos de sus factores primos y luego el numerador y el denominador se dividen poraquellos factores que son comunes a ambos nmeros, como el 2 y el 7. (Este proce-so algunas veces se denomina cancelacin.)

(b) 68xx

2

yy2

34

xy

(xy 0)

En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xy en lasimplificacin.

(c) 24xy((xx

11))

2xy (x 1 0)

Aqu el factor comn 2(x 1) fue cancelado del numerador y del denominador. 7

Adicin y sustraccin de fracciones

Cuando dos fracciones tienen un comn denominador, pueden sumarse simplemen-te sumando sus numeradores.

ac

bc

a

cb

Una regla similar se aplica a la sustraccin:

ac

bc

a

cb

.

EJEMPLO 5

(a) 152

1112

5 12

11

1162

43

(b) 23x 2

5x

32x

5

2x

2

1x

(Ntese la cancelacin de factores comunes al llegar a las respuestas finales.)

Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restar-se, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador.

2 3 x x y2 2 2 x y y

2 3 x x y2 2 2 x y y

56

52 3

2 5 72 2 3 7


7. Evale

(a) 23

145, (b) 2

x

38

xy

Respuesta (a) 52

; (b) 43y.

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EJEMPLO 6 Simplique:

(a) 56

12

; (b) 56

34

.

Solucin

(a) Podemos escribir 12

36

. Entonces ambas fracciones tienen el

mismo denominador, de modo que podemos sumarlas.

56

12

56

36

5

63

86

43

(b) En la parte (a), multiplicamos el numerador y el denominador de 12 por 3para obtener un denominador igual al de la otra fraccin. En esta parte, ambas frac-ciones deben modificarse para que tengan un factor comn. Escribimos

56

1102 y

34

192.

Por tanto,

56

34

1102 1

92

1012

9 1

12.

En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife-rentes, primero reemplazamos cada fraccin por una equivalente que tenga un de-nominador comn. Con el propsito de mantener los nmeros tan pequeos comosea posible, elegimos el ms pequeo de tales denominadores comunes, denomina-do el mnimo comn denominador (m.c.d.). An obtendramos la respuestacorrecta utilizando un denominador comun ms grande, pero es preferible usar elmnimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte (b) del ejemplo 6, pudimosemplear 24 como un denominador comn:

56

34

2204

1284

2024

18 2

24 1

12.

La respuesta final es la misma, pero habramos tenido que trabajar con nmeros msgrandes.

Para calcular el m.c.d. de dos o ms fracciones, los denominadores deben es-cribirse en trminos de sus factores primos. El m.c.d. se forma entonces tomando to-dos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cadauno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquierade los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 56 y

34, se encuentra escribiendo los

denominadores en la forma 6 2 y 4 2 2. Los factores primos que ocurrenson 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es2 2 3 12.

Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2y. Es-cribimos

12x 2 2 3 x y 10x2y 2 5 x x y.

Tomando cada factor el mayor nmero de veces que aparezca, tenemos que

m.c.d. 2 2 3 5 x x y 60x2y. 8

1 32 3


8. En cada caso, cul esmnimo comn denominador?

(a) 23

y 56

; (b) 21xy y

8xy.

Respuesta (a) 6. (b) 8xy.

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EJEMPLO 7 Simplifique:

(a) 6x

34y; (b) 9

1x

16

; (c) ac

bd

;

(d) ; (e) 3x 31x2 43xySolucin

(a) El m.c.d. es 12.

6x

122x y

34y

3(132y) 1

92y

Por tanto

6x

34y 1

22x 1

92y

2x12

9y

(b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que

91x 1

28x y

16

138xx

.

Entonces

91x

16

128x 1

38xx

2

18x

3x.

(c) El m.c.d. es cd.

ac

bd

acdd

bcdc

adcd

bc 9

(d) Aqu tenemos una fraccin cuyo denominador a su vez incluye una frac-cin. Primero simplificamos el denominador:

5b b3

15b

3 b

143b

.

Entonces la expresin dada es

14

4ba3 4a143b1 4a134b 67ab.

(e) Primero simplificamos la expresin que se encuentra entre parntesis. Elmnimo comn denominador es 12x2y.

31x2 4

3xy 12

4xy2y

129xx2y

4y

12x2y

9x.

4a5b

b3


9. Evale y simplifique

(a) 23

54

; (b) 2xy 8

7yx

Respuesta (a) 2132; (b)

38xy.

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Por tanto la expresin dada es igual a

3x 4y12x2y9x 31x 4y12x2y9x

4y36

x3y

9x

(en donde x3 x x2 x x x).

Demostraciones de los teoremas

Concluimos esta seccin demostrando las propiedades bsicas de las fracciones quehemos utilizado en los ejemplos anteriores.

TEOREMA 1

1b 1d b1d

DEMOSTRACIN Por definicin, 1b b1 y 1d d1, de modo que

1b 1d b1 d1.Como,

(b1 d1) (bd) (b1 b) (d1 d) (usando las propiedades asociativa yconmutativa)

1 1 1.

Por tanto b1 d1 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir,

b1 d1 b1d.

como se requera.Observacin Este resultado puede reescribirse en la forma (bd)1 b1 d1.

TEOREMA 2

ab dc badcDEMOSTRACIN

ab

ab1 a1by tambin

dc

c1d.


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Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir

ab dc a1b c1d ac 1b 1d acb1d (por el teorema 1) b

adc

como se peda.

TEOREMA 3

ab1 baDEMOSTRACIN Por definicin, a/b ab1. Por tanto, por el teorema 1,

ab1 (ab1)1 a1(b1)1.Pero (b1)1 b, de modo que

ab1 a1b ba1 bacomo se requera.

TEOREMA 4

ab dc ab dcDEMOSTRACIN Por definicin, x y xy1. Por tanto, tenemos las igualda-des:

ab dc ab dc1 ab dc (por el teorema 3)TEOREMA 5

ab

abcc (c 0)

DEMOSTRACIN Para cualquier c 0, la fraccin c/c 1, puesto que, por de-finicin c/c cc1. Por tanto, por el teorema 2,

abcc ab cc ab 1 ab

como se peda.


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1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es vlidao no. Reemplace cada proposicin falsa por una verdadera.

a. 3x

4x

7x

b. 3x

4x

7x

c. ab

dc

ba

dc

d. ab

dc ef abcdef

e. ab dc ef bacdef

f. ab

dc ef bacdef

g. 1a

1b

a

1b

h. 1 1

y

i. 67

89

j. 12

1 2 3 4 52 4 6 8 10

6 9 7 8

7 9

xx y

(2-58) Evale cada una de las expresiones siguientes. Escribalas respuestas en los trminos ms simples.

2. 29

65

3. 83 1454.

34

85

49

5. 25

36

170

6. 235x 295x 7. 1145xy 2254y8. 7x2 261yx 9. 23

xy (5xy)

10. 1181 383 11. 134 16512.

49

23 8 13. 1225

175 270

14. 170x 251x 15. (2x) 35xy16. 4 98x 17. 83x 145x18. 32x0

2 4y 62x5y 19. 52x 34y x1

2

2y

20. 8xy 23x 25xy 21. 6x2 4yx 32y2


TEOREMA 6

ac

bc

a

cb

(c 0)

DEMOSTRACIN Por definicin,

ac

ac1 y bc

bc1.

Por tanto,

ac

bc

ac1 bc1 (a b)c1 (por la propiedad distributiva)

a

cb

como se requera.

EJERCICIOS 1-2

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22. 98t 31st 4s 23. 43xy xy 29xy

24. 2x 2z 4z 25. 23xt 4xt 23t

26. 2z

2z 4z 27. 23xt 4xt 23t28.

16

12

29. 110 1

15

30. 45x 1

x0 31.

1x

21x

32. 2x

3x

33. 2yx 3

1x

34. 6ab 2

ab 35. 6

ab

29ab

36. 67x 4

3x2 37. 1

30yx2 6

1x

38. px2 p

yq 39.

xy

yz

xz

40. xy

yx

41. 3xy

2 4y

42. 16

2x 2x 43. 16 2x 2x

44. 3ab 2ab 2ba 45. 2x 2x 6x

46. 9xy 61xy 31xy 47. 14 25 12 1548. 23 112 170 14

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. ab 23ab 38x 9x 1458. x6

y 23 6x 34x

52pq p3 8pq2

4p

1p2

23ab 45b a

2b 1b5

21x

31x

41y

51y

7x 23x

15y

3y

2 343 18

13 14

15

16

85 23

2 47

12 13

14

15


Si m es un entero positivo, entonces am (lase a a la potencia m o la m-sima po-tencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Porlo que

am a a a a.

En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo,

24 2 2 2 2 16 (cuatro factores de 2)35 3 3 3 3 3 243 (cinco factores de 3).

En la expresin am, m se llama la potencia o exponente y a la base. As en 24 (lacuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35, 3 es la ba-se y 5 el exponente. Esta definicin de am cuando el exponente es un entero positi-vo es vlida para todos los valores reales de a.

Obsrvese el patrn en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 enorden decreciente. Tratemos de completar la tabla. Notemos que cada vez que el ex-poente disminuye en 1, el nmero de la derecha se divide entre 5.

1-3 EXPONENTES

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Esto sugiere que la tabla se completara continuando la divisin entre 5 con cada re-duccin del exponente. De esta manera llegamos a las igualdades siguientes:

TABLA 1

51 5 50 1 51 15 5

11

52 215 5

12 53 1

125 5

13 54 6

125 5

14

Este patrn en forma natural nos conduce a la definicin siguiente de am en el casode que el exponente m sea cero o un nmero negativo.

DEFINICIN Si a 0, entonces a0 1 y si m es un entero positivo cualquiera(de modo que m es un entero negativo),

am a1m.

Por ejemplo, 40 1, 370

1, (5)0 1, etc. Asimismo,

34 31

4

811 y (2)5

(12)5

132

312. 10

De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denomi-nadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuacin.

Propiedad 1

am an amn

Esto es, cuando dos potencias de una base comn se multiplican, el resulta-do es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado valepara cualquier nmero real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, reque-rimos que a 0.

EJEMPLO 1

(a) 52 53 523 55

Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto.

52 53 (5 5) (5 5 5) 5 5 5 5 5 55

SECCIN 1-3 EXPONENTES 19

10. Evale

(a) (15)0; (b) (12)

3

Respuesta (a) 1; (b) 23 8.

54 62553 12552 2551 550 ?51 ?52 ?53 ?54 ?

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(b) x5 x3 x5(3) x2

De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias.

x5 x3 (x x x x x) x 1x x x x x2 11

Propiedad 2

aam

n amn (a 0)

Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultadoes igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que es-t en el numerador y el exponente del denominador.

EJEMPLO 2

(a) 55

7

3 573 54

(b) 44

3

2 43(2) 432 45

(c) 332

33

1

2 321 33

(d) x2

x

x3

4

xx2

3

4 x24(3) x1 x 12

Propiedad 3

(am)n amn (a 0 si m o n es negativo o cero)

Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al produc-to de los dos exponentes.

EJEMPLO 3

(a) (33)2 33 2 36.

Podemos comprobar que esto es correcto, dado que

(33)2 33 33 333 36.

(b) (42)4 4(2)(4) 48

(c) x5(x2)1 x5 x(2)(1) x5 x2 x52 x7

(d) ((xx

2

2

))

2

2

xx(

(2

2

)(

)

(

2

2

)

)

xx

4

4 x44 x8

(e) x1p (xp)1 x(p)(1) xp 13


11. Simplifique(a) 43 45; (b) x4 x6 x2.

Respuesta (a) 116; (b) 1.

12. Simplifique(a) 33 32; (b) x4 (x6 x2).

Respuesta (a) 35 243; (b) x8.

13. Simplifique(a) 33 (32)2; (b) (x4)4 (x3)3.

Respuesta (a) 31 13; (b) x7.

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En una expresin, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si necesitamos que la basesea 3c, debemos encerrarla entre parntesis y escribir (3c)5. Por ejemplo 3 23 3 8 24, no es lo mismo que (3 2)3 63 216. Para el caso de que la base es unproducto, tenemos la propiedad siguiente.

Propiedad 4

(ab)m ambm (ab 0 si m 0)

Esto es, el producto de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al pro-ducto de las m-simas potencias de los dos nmeros. 14

EJEMPLO 4

(a) 64 (2 3)4 24 34

(b) (x2y)4 (x2)4y4 x8y4

(c) (3a2b3)2 32(a2)2(b3)2 9a4b6

(d) xx

2

8

yy

6

4 x2(8)y6(4) x6y2

Propiedad 5

abm

ab

m

m (b 0 y a 0 si m 0)

Es decir, el cociente de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al co-ciente de las m-simas potencias de tales nmeros.

EJEMPLO 5

(a) 324

32

4

4 (b) xy

5

xy

5

5 x5y5

(c) x3xy22

x3(xy2

)2

2 x3

yx

2

4 x3(4)y2 x7y2. 15

EJEMPLO 6 Simplifique las expresiones siguientes, eliminando parntesis y ex-ponentes negativos.

(a) (xa

x)7

5 (b)

((xx

2

z

2

3

))

2

3 (c) x4(2x 3x2)

(d) (x1 y1)1 (e) x

(

1

xy

)y1

1

Solucin

(a) (xa

x)7

5

ax

5

x7

5 a5x5(7) a5x12

y6y4

x2x8

x2(y3)2(x2)4y4

(xy3)2(x2y)4

SECCIN 1-3 EXPONENTES 21

14. Evale(a) 2 23 y (2 2)3;(b) 3 22 y (3 2)2.

Respuesta (a) 16 y 64; (b) 34

y 316.

11. Simplifique(a) 33 (3x)2;

(b) x242 (4x2)2.

Respuesta (a) x32; (b) 4x4.

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(b)

Ntese que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarseen el denominador.

(c) x4(2x 3x2) x4(2x) x4(3x2)

2x41 3x42

2x5 3x2

(d) Primero debemos simplificar la expresin dentro de los parntesis. Eldenominador comn es xy.

x1 y1

Ahora recordando que el recproco de una fraccin se obtiene intercambian-do el numerador y el denominador. De modo que

(x1 y1)1 1

.

(e) y x.

Solucin alterna

(x1 y1) xy

x1 xy y1 xy (propiedad distributiva)

1 y 1 x y x. 16

x1 y1

(xy)1

1x1

1y1

y1x1y1

x1x1y1

x1 y1

x1y1x1 y1

(xy)1

xyy x

y x

xy

y x

xyx

xy

yxy

1y

1x

1x10z9

x4x6z9

x(2)(2)(x2)3(z3)3

(x2)2(x2z3)3

16. Sera incorrecto porcompleto en el ejemplo 6(d) si hubisemos escrito(x1 y1)1 (x1)1 (y1)1 x y. Puede ver porqu esto es incorrecto? Pruebedando dos valores para x y y, talescomo 2 y 4.

(1-61) Simplifique las expresiones siguientes. No use parntesiso exponentes negativos en la respuesta final.

1. (25)2 2. (34)3

3. (a3)7 4. (x4)5

5. (x2)5 6. (x5)2

7. y2 y5 8. x7 x4

9. a3 a5 10. b2 b6

11. (3x)2x7 12. (4x)2x4

13. (2x)2(2x1)3 14. x2

3

(4x1)2

15. (x2yz)3(xy)4 16. (3yz2)2(y3z)3

17. (x2y)2 18. (ab3)1

19. (xy2z3)1(xyz)3 20. (x2pq2)2(xp2)1

21. (24

4

2

)2 22.

(33

3

5

)2

23. 132

34 24. 153

52

25. xx

5

2 26.

yy

3

7

27. (xx

2

4

)3 28.

(zz

2)

8

4

29. ((aa

4)

2

)63

30. ((bb

3

7

))3

2

31. ((

xx)

3

)23

32. ((

yy

2

1

))

2

3

EJERCICIOS 1-3

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33. (x(x

2yy))

2

3

34. (aab

2b

2)

1

1

35. (

x23

xyy)3

36.

37. (

33xx)2

2 38.

((

2x2

2

xy2

)y

3)

1

2

39. (2

(aa

3b

1b)3

2)2 40.

((x3

x

3

2

yy

4

)32)2

41. x2(x4 2x) 42. x3(x1 x)

43. 2x(x5 3x1) 44. 3x2(x4 2x3)

45. x4(2x2 x 3x2) 46. 2x3(x5 3x4 x)

47. (21 x1)1 48. [(2x)1 (2y)1]1

49. (xy)1(x1 y1)1 50. (a2 b2)1

51. 7x 134x 23x2

52. x356x1

21x2

53. 130yx3

152xy 54.

125x3

152x2

55. 2x

12

3x12 56.

4y14

3y14

57. x43y 4x y63 58. x4

x

3

6xx5

59. y52xy 3xy2 60. 2x x1 x22

5x1

2

61. x1 (x x1)1

(ab2c)1

a2bc1

SECCIN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 23

Hemos definido am cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definicinal caso en que m es un nmero racional arbitrario. Nos gustara hacer esta extensinen tal forma que las propiedades 1 a 5 de la seccin 1-3 continen siendo vlidasaun en el caso de que m y n no sean enteros.

En primer trmino consideraremos la definicin de a1/ n cuando n es un ente-ro distinto de cero. Para que la propiedad 3 contine vigente cuando m 1/n, debeser vlido que

(a1/ n)n a(1/ n)n a1 a.

De este modo, si hacemos b a1/n, es necesario que bn a.

EJEMPLO 1

(a) 81/3 2 ya que 23 8.

(b) (243)1/5 3 ya que (3)5 243.

En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta defini-cin de a1/n. Por ejemplo, sea n 2 y a 4. Entonces, b 41/ 2 si b2 4. Pero haydos nmeros cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b 2 y b 2. De modo quenecesitamos decidir qu entenderemos cuando escribamos b 41/ 2. En realidad, de-finiremos 41/ 2 como 2.

En segundo lugar, supngase que a es negativo. En tal caso, b a1/ 2 si b2 a.Sin embargo, el cuadrado de cualquier nmero negativo (positivo, negativo o cero)nunca es negativo. Por ejemplo, 42 16 y (3)2 9, y ambos son positivos. Enconsecuencia b2 nunca es negativo para cualquier nmero real b, de modo que cuan-do a 0, a1/ 2 no existe en los nmeros reales. As, (1)1/ 2 o (43)

1/ 2 carecen desentido como nmeros reales. Adoptaremos la siguiente definicin.

1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS

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DEFINICIN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un nme-ro real no negativo, entonces se dice que b es la n-sima raz principal de a si bn a y b 0. As, la n-sima raz de a es el nmero no negativo el cual, al elevarse ala n-sima potencia, da el nmero a. Denotamos la n-sima raz principal por b a1/n.

Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un nmero realcualquiera, entonces b es la n-sima raz de a si bn a, expresada una vez ms co-mo a1/n. Es decir

b a1/n si bn a; b 0 si n es par.

Las races impares estn definidas para todos los nmeros reales a, pero las racespares slo estn definidas cuando a no es negativo.

EJEMPLO 2

(a) 321/5 2 porque 25 32.

(b) (216)1/3 6 ya que (6)3 216.

(c) 161/4 2 porque 24 16 y 2 0.

(d) (729)1/6 3 ya que 36 729 y 3 > 0.

(e) 11/n 1 para todo entero positivo n, porque 1n 1.

(f) (1)1/n 1 para todo entero positivo impar n, debido a que (1)n 1cuando n es impar.

(g) (81)1/4 no existe, porque los nmeros negativos slo tienen races n-si-mas cuando n es impar.

El smbolo n a tambin se utiliza en lugar de a1/n. El smbolo se deno-mina signo radical y n a a menudo se llama radical. Cuando n 2, a1/2 se denotasimplemente por a ms bien que por 2 a: se llama la raz cuadrada de a. Tam-bin, 3 a a1/3 es la tercera raz de a, por lo regular se le llama raz cbica, 4 a a1/4 es la raz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse aformular utilizando esta notacin:

(a) 5

32 2; (b) 3

216 6; (c) 4

16 2;

(d) 6

729 3; (e) n

1 1 para n un entero positivo;

(f) n

1 1 para n un entero positivo impar;

(g) 4

81 no existe. 17

Ahora estamos en posicin de definir am/n para un exponente racional m/n.


17. Evale lo siguiente,si existen: (a) (27)1/3;

(b) (64)1/6, (c) 5 32;

(d) (116)

1/4; (e) 6 729;

(f) 101 1.

Respuesta (a) 3; (b) 2; (c) 2;(d) y (e) no existen; (f) 1.

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DEFINICIN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un nme-ro real. Entonces.

am/n (a1/n)m

Es decir, la (m/n)-sima potencia de a es la m-sima potencia de la raz n-sima de a.Observacin Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no de-

be ser cero.

EJEMPLO 3

(a) 93/2 (91/2)3 33 27

(b) 41/2 (41/2)1 21 12

(c) 163/4 (161/4)3 23 18

De la parte (b) del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente:

a1/n

Esto se sigue dado que

a1/n (a1/n)1 a11/n.

TEOREMA Si am/n existe, entonces

am/n (am)1/n

Es decir, la (m/n)-sima potencia de a es igual a la raz n-sima de la m-sima po-tencia de a.

Este teorema, el cual no probaremos, ofrece un mtodo alternativo de calcu-lar cualquier potencia fraccionaria.

EJEMPLO 4

(a) 163/4 (161/4)3 23 8, o 163/4 (163)1/4 (4096)1/4 8

(b) 363/2 (361/2)3 63 216, o 363/2 (363)1/2 (46,656)1/2 216

Observacin Si m/n no est en su mnima expresin, entonces (am)1/n puedeexistir mientras que am/n no. Por ejemplo, sea m 2, n 4 y a 9. Entonces

(am)1/n [(9)2]1/4 811/4 3,

pero am/n (9)2/4 [(9)1/4]2 no existe.Segn los ejemplos 3 y 4, es claro que cuando evaluamos am/n, es ms fcil ex-

traer la raz n-sima primero y despus elevar a la m-sima potencia; de esa mane-

1n a


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ra trabajamos con nmeros ms pequeos. En otras palabras, en la prctica calcula-mos am/n usando la definicin (a1/n) en lugar de (am)1/n.

Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes,que se establecieron en la seccin 1-3, tambin son vlidas para exponentes fraccio-narios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenuncie-mos estas leyes, ya que son muy importantes.

1. am an amn 2. aa

m

n amn 3. (am)n amn

4. (ab)m ambm 5. abm

ab

m

m

Al utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cual-quier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el expo-nente contiene una raz par, la base no debe ser negativa.

EJEMPLO 5

(a) 53 57/2 537/2 513/2

(b) 42 47/3 427/3 41/3

(c) (44

7

)

/

3

2

/2 47/23/2 42 16

(d) 99

1

/

2

2 91/2(2) 95/2 (91/2)5 35 243

(e) xx

9

4

/4

x9/44 x7/4

(f) (53)7/6 53(7/6) 57/2

(g) (34/3)6/5 3(4/3)(6/5) 38/5

(h) am (am)1 a1m para cualquier nmero racional m

(i) (36)1/2 (4 9)1/2 41/2 91/2 2 3 6

(j) (x2y)1/2 (x2)1/2y1/2 x2(1/2)y1/2 xy1/2

(k) (3a2/5b4)1/2 31/2(a2/5)1/2(b4)1/2 31/2a1/5b2

(l) 4 ab (ab)1/4 a1/4b1/4 4

a 4

b

(m) x/y xy1/2

xy

1

1

/

/

2

2

14

(n) 2872/3

287

2

2

/

/

3

3

((287

1

1

/

/

3

3

))

2

2

23

2

2 14 91 94 1819

xy


18. Simplifique (a) 31/3 32/3;(b) 31/3 (32/3)2; (c) (x1/2)3 x;(d) (x1/3)1/2 x7/6;

(e) (8x)2/5 4x3/5

.

Respuesta (a) 3; (b) 31; (c) x2; (d) x1; (e) x.

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EJEMPLO 6 Encuentre m tal que 3m.

Solucin Expresamos ambos lados como potencia de 3.

93

1

3

/3

(33

2)3

1/3

33

2

3

/3 3(2/3)3 37/3

Por tanto, m 7

3.

EJEMPLO 7 Evale: (a) 1 262451/2

; (b) 647x3

2/3Solucin

(a) 1 262451/2

2282951/2

11752

21/2

117521/2 (por la ley 5)

11752 (1/2)

(por la ley 3)

11751

1 125

(b) 6247x3

2/3 433x

3

32/3 43x

32/3 (por la ley 5) 43x

2

(4x1/3)2 (por la ley 3)

16x

12/9

169x2

EJEMPLO 8 Simplifica la expresin siguiente

Solucin En expresiones tales como sta, por lo general conviene escribir todaslas bases en trminos de sus factores primos.

(por las leyes 3 y 5)

(combinando trminos con

bases iguales)

124p 33p 53p24p 33p 53p

(22p 22p)(3p 32p) 53p

(2p 23p)(33p) 53p

22p 33p/3 53p 22p 32p23(p/3) 32(3p/2) 23p 53p

(22)p (33)p/3 (53)p (2 3)2p

(23)p/3 (32)3p/2 (2 5)3p4p 27p/3 125p 62p

8p/3 93p/2 103p

4p 27p/3 125p 62p

8p/3 93p/2 103p

3 927

3 927


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(1-6) Encuentre m tal que las proposiciones siguientes sean ver-daderas.

1. 83 2 2m 2. 3

82

2m

3. 3 28 2m 4. 33 3 3 3m

5. 2 4m 6. 4 32 2m(7-26) Evale las expresiones siguientes.

7. 81 8. 3

27

9. 1 196 10. 3 3 3811.

532 12.

30.125

13. (3)2 14. (25)215. (81)3/4 16. (2

87)

4/3

17. (0.16)1/2 18. (0.16)3/4

19. 0.1252/3 20. 0.00163/4

21. (93 163/2)1/6 22. 93/4 31/2

23. 164/5 82/5 24. 251/3(15)4/3

25. (27)2/3 (16)1/4 26. (316)

1/8 (6)5/4

(27-56) Simplifique las expresiones siguientes.

27. (16x4)3/4 28. 2674x32/3

29. (32x5y10)1/5 30. 3 287ab3

331.

4x3/2 16x1/2 32. (x1/3 x2/5)3

33. (x1/2 x1/3)2 34. (16x4)1/2 (8x6)1/3


EJEMPLO 9 Simplifique (27 75)/2 12.

Solucin Observemos que los tres radicales en esta expresin pueden simplificar-se factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los nmeros.

27 9 3 9 3 3375 25 3 25 3 5312 4 3 4 3 23

Por tanto,

84

2.

EJEMPLO 10 Simplifique: (a) x(x3 3 x2); (b) x3

x2x

Solucin Exprese los radicales en trminos de exponentes fraccionarios y luegoutilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes.

(a) x(x3 3 x2) x1/2(x3/2 x2/3) x1/2 x3/2 x1/2 x2/3

x2 x7/6

(b) x

3

x2x

x1/2

x1/3

2x

(x1/2 2x)x1/3

x1/2 x1/3 2x1 x1/3

x1/6 2x2/3 19

8343

33 53

2(23)27 75

212

19. Simplifique (a) 3

4 3

16;(b)

33 (

39)2;

(c) 4

x3 x;(d) x(x3 3x).

Respuesta (a) 4; (b) 31; (c) x;(d) x2 3x.

EJERCICIOS 1-4

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35. xx

3

1

/7

/7

yy

2

1

/

/

5

5 36.

aa

4

2

/

/

9

9

bb

3

1

/

/

4

2

37. pp

3

1

/

/

5

5

qq

2

2

/

/

5

5

10

38.

39. 2yx3

5

/

/

4

2

3xy

2

2

/

/

3

5 40. (2x2y)1/5(41xy2)2/5

41. 345 20 42. 224 54

43. 218 32 44.

45. 63 175 4112

46. 112 63

47. 220 48. 23

16 3

54

49. a2/3 a3/4 (a2)1/6 (a1

1/12)5

50125

205

22428

82 48

32

(x2y)1/3(xy)1/4

(xy2)1/12

50. a2/3 b5/7 ab7/8

ab

1

2

1

3

/

/

2

5

4

6

51. 52.

53. xxa

b

c

a

xxc

a

b

54. xxa

2

b

b

xxb

2

c

c

55. 56.

57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas ofalsas.

a. 5 2 3 b. 8 2 2

c. 21 7 3 d. (3)2 3

e. 9 3 f. a2 a para todo real a

g. a2 b2 a b si a 0 y b 0

h. am an amn i. aa

m

n am/n

j. 3 3 a a1/6 k. a2 a si a 0

28m 35m 103m85m/3 49m 252m

(27)2n/3 (8)n/6

(18)n/2

xca

x2axbxc

(xab)2(yab)2

(xy)2ab23m 32m 5m 6m

8m 93m/2 10m

SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 29

Cantidades del tipo 2x2 3x 7, 5y3 y2 6y 2 y 2x 3/y 4 se denomi-nan expresiones algebraicas. Los bloques de construccin de una expresin alge-braica se llaman trminos. Por ejemplo, la expresin 2x2 3x 7 tiene tres trmi-nos, 2x2, 3x y 7. La expresin x2y/3 y/x tiene dos trminos, x2y/3 y y/x.

En el trmino 2x2, el factor 2 se denomina el coeficiente numrico (o simple-mente el coeficiente). El factor x2 se denomina la parte literal del trmino. En eltrmino 3x, el coeficiente es 3 y la parte literal x. En el trmino x2y/3, el coefi-ciente es 13 y la parte literal es x

2y. El trmino 7 no tiene parte literal y se llama tr-mino constante. El coeficiente es 7.

Una expresin algebraica que contiene un solo trmino se denomina mono-mio. Una expresin que contiene exactamente dos trminos se llama binomio y laque contiene precisamente tres trminos se denomina trinomio. Los siguientes sonunos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos.

Monomios: 2x3, 5y2, 7/t, 3, 2xy/z

Binomios: 2x 3, 3x2 5/y, 6x2y 5zt

Trinomios: 5x2 7x 1, 2x3 4x 3/x, 6y2 5x t

En general una expresin que contiene ms de un trmino se denomina multinomio.

1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS

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Adicin y sustraccin de expresiones

Cuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la mismaforma, 4x 3x 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva,dado que

4x 3x (4 3)x 7x.

Si usted compara con la seccin 1-1 ver que aqu utilizamos la ley distributiva ha-cia atrs, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumarcualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemente su-mamos los dos coeficientes numricos.

EJEMPLO 1

(a) 2x 9x (2 9)x 11x

(b) 4ab 3ab (4 3)ab 7ab

(c) 2yx

2xy 2

xy

12

xy

2 12 xy 52 xy 52xy

Dos o ms trminos de una expresin algebraica se dice que son semejantessi tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, 2x2y y 5yx2 son semejantes dado quesus partes literales, x2y y yx2, son iguales. De manera similar, los tres trminos3x2yz3, 7x2z3y y z3x2/2 son trminos semejantes. En general, dos trminos seme-jantes slo pueden diferir en sus coeficientes numricos o en el orden en que apare-cen las variables.

Dos o ms trminos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propie-dad distributiva, como se ilustr en el ejemplo 1. A continuacin ejemplos adicio-nales.

EJEMPLO 2

(a) 2x3 7x3 (2 7)x3 5x3

(b) 5x2y 3x2y 2yx2 (5 3 2)x2y 4x2y

Los trminos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acabade verse. As, los trminos en la expresin 2x2 5xy no pueden combinarse para darun trmino individual.

Cuando sumamos dos o ms expresiones algebraicas, reagrupamos los trmi-nos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. 20

EJEMPLO 3 Sume 5x2y3 7xy2 3x 1 y 6 2x 4xy2 3y3x2.

Solucin La suma requerida es

5x2y3 7xy2 3x 1 (6 2x 4xy2 3y3x2)

5x2y3 7xy2 3x 1 6 2x 4xy2 3x2y3.


20. Simplifique las expresionessiguientes:(a) 2ab2 4ab2a;(b) x3 2x (2x3 2x).

Respuesta (a) 2ab2 (b) x3 4x.

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Reagrupando los trminos, de tal manera que los trminos semejantes estn agrupa-dos juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente:

5x2y3 3x2y3 7xy2 4xy2 3x 2x 1 6

(5 3)x2y3 (7 4)xy2 (3 2)x (1 6)

8x2y3 (3)xy2 1x 5

8x2y3 1 3xy2 x 5

EJEMPLO 4 Reste 3x2 5xy 7y2 a 7x2 2xy 4y2 6.

Solucin En este caso, buscamos

7x2 2xy 4y2 6 (3x2 5xy 7y2).

Despus de suprimir los parntesis, cada trmino dentro de los parntesis cambia designo. En consecuencia, la expresin anterior es equivalente a la siguiente:

7x2 2xy 4y2 6 3x2 5xy 7y2dddd

7x2 3x2 2xy 5xy 4y2 7y2 6

(7 3)x2 (2 5)xy (4 7)y2 6

4x2 3xy (3)y2 6

4x2 3xy 3y2 6

Multiplicacin de expresiones

La expresin a(x y) denota el producto de a y x y. Para simplificar esta expre-sin suprimiendo los parntesis, multiplicamos cada trmino dentro del parntesispor el nmero que est afuera, en este caso a:

a(x y) ax ay.

Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este mtodofunciona siempre que una expresin algebraica se multiplique por cualquier mono-mio.

EJEMPLO 5

(a) 2(x 3y 7t2) (2)x (2)(3y) (2)(7t2)

2x 6y 14t2.

(b) x2y(x2 3x 5y3) x2y x2 x2y 3x x2y 5y3

x4y 3x3y 5x2y4. 21

Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad dis-tributiva puede usarse ms de una vez con el fin de suprimir los parntesis. Consi-deremos el producto (x 2)(y 3). Podemos emplear la propiedad distributivas pa-ra quitar los primeros parntesis.

(x 2)(y 3) x(y 3) 2(y 3)


21. Simplifique las expresio-nes siguientes eliminando los pa-rntesis:(a) 3(x 2) x(x 3);(b) x3 2x 2x(x2 1).

Respuesta (a) x2 6; (b) x3.

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Para ver esto, slo haga y 3 b. Entonces

(x 2)(y 3) (x 2)b x b 2 b x(y 3) 2(y 3).

En general, las propiedades distributivas de la seccin 1-1 funcionan con a, b, creemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedadesde los nmeros reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los pa-rntesis restantes.

x(y 3) xy x 3 xy 3x

y asimismo

2(y 3) 2y 2 3 2y 6.

Por tanto (x 2)(y 3) xy 3x 2y 6.En la figura 2 los cuatro trminos (productos) de la derecha pueden obtener-

se multiplicando cada uno de los trminos de los primeros parntesis sucesivamen-te por cada uno de los trminos de los segundos parntesis. Cada trmino de los pri-meros parntesis est unido por un arco a cada trmino de los segundos parntesisy el producto correspondiente tambin aparece. Los cuatro productos dan entoncesel desarrollo completo de la expresin. 22


22. Utilice la propiedad distri-butiva (o mtodo de los arcos) paraeliminar los parntesis:(a) (x 2)(x 3);(b) (x2 2)(x2 2).

Respuesta (a) x2 5x 6;(b) x4 4.

Tambin pudo hacer lo que se pide con el mtodo PIES de multiplicacin dedos expresiones binomiales. (PIES se establece por Primeros, Internos, Externos,Segundos.) Eso es equivalente al mtodo de los arcos descrito aqu. Sin embargo,el mtodo de arcos es mucho mejor ya que puede utilizarlo para multiplicar cuales-quiera dos multinomios.

EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x 4)(6x2 5x 2). (Esto significa su-primir los parntesis.)

Solucin Usamos la propiedad distributiva:

(3x 4)(6x2 5x 2) 3x(6x2 5x 2) 4(6x2 5x 2)

(3x)(6x2) (3x)(5x) (3x)(2)

(4)(6x2) (4)(5x) (4)(2)

18x3 15x2 6x 24x2 20x 8

18x3 15x2 24x2 6x 20x 8

(agrupando trminos semejantes)

18x3 (15 24)x2 (6 20)x 8

18x3 39x2 26x 8

2y 232y

xy 3x

23

(x 2) (y 3)

xy 3x

FIGURA 2

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De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cadatrmino en el primer parntesis con cada trmino dentro del segundo. En este caso,existen seis de tales arcos, dando lugar a seis productos en la expansin en el ladoderecho. (Vase la figura 3.)

EJEMPLO 7 Simplifique 3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]}.

Solucin Con objeto de simplificar una expresin en la cual intervienen ms deun conjunto de parntesis, siempre empezamos con los parntesis que estn msadentro.

3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]} 3{5x[2 3x] 7[3 2x 8]}

3{10x 15x2 21 14x 56}

3{15x2 10x 14x 21 56}

3{15x2 4x 77}

45x2 12x 231

Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuen-cia que pueden manejarse como frmulas estndar. Inicialmente, consideremos elproducto (x a)(a b).

(x a)(x b) x(x b) a(x b)

x2 bx ax ab

x2 (b a)x ab

Por tanto,

(x a)(x b) x2 (a b)x ab. (1)

EJEMPLO 8

(a) Tomando a 2 y b 7 en la ecuacin (1), tenemos que

(x 2)(x 7) x2 (2 7)x 2 7 x2 9x 14.

(b) (x 3)(x 2) (x 3)(x (2))

x2 [3 (2)]x 3(2) x2 x 6


(3x 4) (6x2 5x 2)

6x

24x2 20x 8

15x2

18x3 18x3 15x2 6x

24x2 20x 8

FIGURA 3

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En la ecuacin (1), si reemplazamos a b por a, obtenemos

(x a)(x a) x2 (a a)x a a

o bien

(x a )2 x2 2ax a2. (2)

Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio. El cuadrado de la sumade dos trminos es igual a la suma de los cuadrados de los dos trminos ms el do-ble de su producto.

EJEMPLO 9

(a) (2x 7)2 (2x)2 2(2x)(7) 72 4x2 28x 49

(b) 3x 4y2

(3x)2 2(3x)4y 4y2

9x2 24yx

1y62

Si reemplazamos a a por a en la frmula (2), obtenemos otra frmula.

(x a)2 x2 2ax a2 (3)

Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos trminos como la suma de los cua-drados de los dos trminos menos el doble de su producto.

Por ltimo, si reemplazamos a b por a en la ecuacin (1), obtenemos

(x a)(x a) x2 (a a)x a( a) x2 0x a2.

En consecuencia, tenemos que

(x a)(x a) x2 a2. (4)

Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos trminoses la diferencia de los cuadrados de los dos trminos.

EJEMPLO 10

(a) (2x 3)(2x 3) (2x)2 32 4x2 9

(b) (3 2)(3 2) (3)2 (2)2 3 2 1

(c) (3x 4y)(3x 4y) (3x)2 (4y)2 9x2 16y2 23

Divisin de expresiones

En el teorema 6 de la seccin 1-2 vimos que la ley distributiva se extiende a la divi-sin y tenemos las expresiones generales siguientes.

a

cb

ac

bc


23. Utilice las frmulas estndar (1)-(4) para eliminar losparntesis:(a) (x 2)(x 3);(b) (x2 y)(x2 y);(c) (x x1)2.

Respuesta (a) x2 x 6;(b) x4 y2; (c) x2 2 x2.

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Esta propiedad es til cuando dividimos una expresin algebraica entre un mono-mio, dado que nos permite dividir cada trmino por separado entre el monomio.

EJEMPLO 11

(a) 2x2

2

x4x

22xx

2

42xx x 2

Obsrvese que dividimos cada trmino entre el factor comn 2x.

(b) 2xx2

3

5xx

2

2y

7xx2

x32

2x 5y 7x

x32

(c) 235tt3

25

3t2 4t 5

2t

En una fraccin, el nmero o expresin algebraica del numerador a menudose denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que est siendo divi-dida) y el nmero o expresin por la que es dividido se llama divisor. En la parte(b) del ejemplo 11, 2x3 5x2y 7x 3 es el dividendo y x2 es el divisor, mientrasque en la parte (c), 25t3 12t2 15t 6 es el dividendo y 3t el divisor.

Cuando queremos dividir una expresin algebraica entre un divisor que con-tiene ms de un trmino, con frecuencia usamos un procedimiento denominado di-visin larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que slo contie-nen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se cono-cen por polinomios.)

EJEMPLO 12 Divida 23 11x2 2x3 entre 2x 3.

Solucin Aqu 23 11x2 2x3 es el dividendo y 2x 3 es el divisor. Antes deque empecemos la divisin, los trminos en el dividendo y en el divisor deben arre-glarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero laspotencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x3 11x2 0x 23.

x2 4x 6 CocienteDivisor 2x 32x3 11x2 0x 23 Dividendo

Residuo

2x3 3x2

8x2 0x 23 8x2 12x

12x 23 12x 18

5

63t

15t3t

12t2

3t25t3 12t2 15t 6

3t

2x3 5x2y 7x 3

x2


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Los detalles de la divisin larga se acaban de mostrar y se explican de la manera si-guiente: en primer lugar, dividimos 2x3 (el primer trmino en el dividendo) entre 2x(el primer trmino en el divisor), obteniendo 2x3/2x x2. Esto da el primer trminodel cociente. Multiplicamos el divisor, 2x 3, por el primer trmino del cociente,x2, para obtener 2x3 3x2. Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia8x2 0x 23. Para obtener el siguiente trmino del cociente, dividimos el pri-mer trmino de esta diferencia, 8x2, entre 2x, el primer trmino del divisor. Estoda 8x2/2x 4x, el cual se convierte en el segundo trmino del cociente. Multi-plicamos otra vez el divisor por este segundo trmino, 4x, con lo que obtenemos8x2 12x; restamos esto a 8x2 0x 23, los cuales nos dan la siguiente dife-rencia, 12x 23. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos unadiferencia cuya mxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor.Llamamos a este ltima diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en laforma

2x3

2x11

x2

3 23

x2 4x 6 2x

5 3. 24

En general, tenemos

Cociente .

Observacin Esta forma de escribir el resultado de la divisin larga es lamisma que usamos en aritmtica. Por ejemplo, consideremos la fraccin 627/23, enla cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por divisin larga ordinaria encontra-mos que el cociente es 27 y el residuo es 6.

Divisor Divisor

Cociente

Residuo

Por tanto, escribimos

62237

27 263.

Ahora, en lugar de dividir 627 entre 23, intente dividir 6x2 2x 7 entre2x 3. Cuando x 10 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cocientede 2x 7 y un residuo de 6. La divisin algebraica larga es un reflejo de la divisinaritmtica.

Si multiplicamos ambos lados de este clculo por 23, obtenemos el resultado

627 (27 23) 6.

161

6

46167

27

23627

Residuo

DivisorDividendo

Divisor


24. Por medio del uso de la divisin larga, simplifique (3x2 11x 4) (x 3).

Respuesta Cociente 3x 2;residuo 2.

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(1-56) En los ejercicios siguientes, efecte la operacin indica-da y simplifique.

1. (5a 7b 3) (3b 2a 9)

2. (3x2 5x 7) ( 2 6x 7x2 x3)

3. (2a 5b) (3a 2b)

4. (4xy 5x2y 6x3) (3y3 6xy2 7xy x3 2x2y)

5. (7t2 6t 1) (3t 5t2 4 t3)

Matematicas aplicadas a_la_administracion_y_eco

Economy & Finance

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