1. 1. M a t e m t i c a s a v a n z a d a s p a r a i n g e n i e r a 2 C l c u l o v e c t o r ia l , ANLISIS DE FOURIER Y ANLISIS COMPLEJO DENN1S G. Z1LL JACQEIELIINE M. UEWAR uSM Tercera edicin
2. 2. El volum en de M atem ticas avanzadas para ingeniera 2 trata los temas relacionados con el clculo vectorial, las funciones ortogonales, las series de Fourier y el anlisis complejo. Caractersticas sobresalientes de esta obra: Aborda las ecuaciones diferenciales parciales, lo que permite que este verstil texto pueda ser utilizado prcticamente en cualquier curso de matemticas avanzadas o clculo avanzado. Supera a cualquier otro libro sobre el tema no slo por la claridad con la que los autores exponen los conceptos, sino por los recursos pedaggicos empleados, entre los cuales se tienen: Secciones introductorias de cada captulo. Ejercicios por seccin. Ejercicios de repaso general, Una serie de proyectos de ingeniera y ciencia relacionados con los temas del texto aportados por importantes matemticos. Un mtodo distinto para la resolucin de problemas de valores en la frontera no homogneos. Problemas aadidos. Grupos de ejercicios que enfatizan la creacin de conceptos y le dan continuidad a los desarrollos tericos presentados en las secciones y facilitan la asignacin de tareas. V i McGraw-Hill lwMcGraw-Hill Congiuri n Interamericana ISBN-13: 978-970-10-6510-5 ISBN-10: 970-10-6510-7 Visite nuestra pgina WEB www.nicgraw-hill-educacion.com 978970106510500000
3. 3. M a tem tic a s a va n za d a s para in g e n ie r a 2: C lculo w ectoiial, a n lisis de Fo u r ier Y ANLISIS COMPLEJO f
4. 4. Dennis G. Zill M a tem tic a s a va n za d a s para in g e n ie r a 2: Clculo vecto rial/ a n lisis de Fo u r ier Y ANLISIS COMPLEJO'X-L. -VTV-. V .* Tercera edicin j j p > # r ^m x Loyola Marymount University Michael R. Cullen (finado) Loyola Marymount University Traduccin tcnica: Dr. Emilio Sordo Zabay UniversidadAutnoma Metropolitana UnidadAzcapotzalco Revisin tcnica: Juan Carlos del Valle Sotelo Departamento de Fsica y Matemticas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de Mxico Ignacio Ramrez Vargas Departamento de Ingeniera Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo Heriberto Aguilar Jurez Divisin de Ciencias Bsicas Facultad de Ingeniera Universidad NacionalAutnoma de Mxico Jos M artn Villegas Gonzlez Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras (CUCEI), Universidad de Guadalajara M e G raw MEXICO BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SO PAULO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO
5. 5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductor: Carlos Roberto Cordero Pedraza MATEMTICAS AVANZADAS PARA INGENIERA 2: CLCULO VECTORIAL, ANLISIS DE FOURIER Y ANLISIS COMPLEJO Tercera edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. KM McGraw-Hill m u Interamericana DERECHOS RESERVADOS 2008 respecto a la primera edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN-10: 970-10-6510-7 ISBN-13: 978-970-10-6510-5 Traducido de la tercera edicin en ingls de la obra ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zill and Michael R. Cullen. Copyright 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., pgs i-xiv, xviii-xxxiii, 299-566, 651-929, app-9-app-14, ans-14-ans-21, ans-30-ans-49, i-l-i-23. All rights reserved. ISBN-10: 0-7637-4591-X ISBN-13: 978-0-7637-4591-2 1234567890 09765432108 Impreso en Mxico Printed in Mexico Impreso por Litografica Ingramex Printed by Litografica Ingramex The McGraw-Hill Companies W m m
6. 6. Prefacio a la tercera edicin en ingls A diferencia de un curso de clculo o de ecuaciones diferenciales, donde el con tenido del curso est muy estandarizado, el contenido de un curso titulado matemticas para ingeniera algunas veces vara de forma considerable entre dos instituciones aca dmicas distintas. Por lo tanto, un texto sobre matemticas avanzadas para ingeniera es un compendio de muchos tems matemticos, todos los cuales estn relacionados en trminos generales por la conveniencia de su necesidad o su utilidad en cursos y carreras subsiguientes de ciencia e ingeniera. En realidad, no hay un lmite para la cantidad de temas que se pueden incluir en un texto como el que ahora nos ocupa. En consecuencia, este libro representa la opinin de los autores, en este momento, acerca de lo que consti tuyen las matemticas de ingeniera. Contenido del texto El presente tomo fue dividido en tres partes, en las cuales sigue manifiesta nuestra creencia de que la columna vertebral de las matemticas relacionadas con la ciencia y la ingeniera es la teora y las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Parte I: Clculo vectorial (captulos 1 a 3) El captulo 1,Vectores, y el 3, Clculo vectorial, incluyen muchos de los temas que se cubren en el tercer semestre de una secuencia de clculo: vectores geomtricos, funciones vectoriales, derivadas direccionales, integrales de lnea, integrales dobles y triples, inte grales de1superficie, y los teoremas de Green, Stokes y de la divergencia. El captulo 2, Matrices, es una introduccin a los sistemas de ecuaciones algebraicas, los determinantes y el lgebra matricial con nfasis especial en aquellos tipos de matrices tiles en la reso lucin de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las secciones sobre criptografa, cdigos para la,correccin de errores, el mtodo de los mnimos cuadrados y los modelos compartimentales discretos se presentan como aplicaciones del lgebra matricial. Parte II: Anlisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales (captulos 4 a 8) En esta seccin se presenta el material medular de las series de Fourier y de los proble mas sobre valores en la frontera. En el captulo 4, Funciones ortogonales y series de
7. 7. Fourier, se presentan los temas fundamentales de los conjuntos de funciones ortogonales y la expansin de funciones en trminos de una serie infinita de funciones ortogonales. Estos temas se utilizan ms adelante en los captulos 5 y 6, donde se resuelven proble mas de valor en la frontera en distintos sistemas de coordenadas: rectangulares, polares, cilindricas y esfricas, mediante la aplicacin del mtodo de separacin de variables. En el captulo 7, Mtodo de la transformada integral, los problemas de valor en la frontera se resuelven por medio de las transformadas integrales de Laplace y Fourier. Parte III: Anlisis com plejo (captulos 9 a 12) Los captulos 9, 10, 11 y 12 cubren los temas elementales de los nmeros complejos a travs de la aplicacin de transformaciones conformes en la solucin del problema de Dirichlet. Este material en s mismo puede cubrir fcilmente un curso trimestrl de intro duccin a variables complejas. Principales caractersticas de Matemticas avanzadas II Todo el texto se moderniz a fondo para preparar a los ingenieros y cientficos con las habilidades matemticas requeridas para estar a la altura de los desafos tecnolgicos actuales. Se han agregado, al inicio del libro, nuevos proyectos de ciencia e ingeniera aportados por importantes matemticos. Estos proyectos estn relacionados con los temas del texto. Se han aadido muchos problemas. Adems, fueron reorganizados muchos grupos de ejercicios y, en algunos casos, se reescribieron por completo para seguir el flujo del de sarrollo presentado en la seccin y facilitar ms la asignacin de tareas. Los grupos de ejercicios tambin enfatizan la elaboracin de conceptos. Hay un gran nfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos matemti cos. La nocin de un modelo matemtico est entretejida a lo largo de todo el texto, y se analiza la construccin y las desventajas de diferentes modelos. En la seccin 5.6 se agreg otro mtodo para resolver problemas de valor en la frontera no homogneos. En los captulos 5 y 6 se concede mayor nfasis al problema de Neumann. A lo largo de los captulos 4, 5 y 6, la confusa mezcla,de smbolos como A2y V Aen la solucin de problemas de valor en la frontera de dos puntos se ha reemplazado por el uso consistente de A. A lo largo del anlisis se hace nfasis en los tres casos A = a2, A = 0 y A= a2. Diseo del texto El texto cuenta con un formato ms amplio y un diseo atractivo, lo cual hace que sea placentero leer y aprender de l. Todas las figuras cuentan con textos explicativos. Se han agregado ms comentarios y anotaciones al margen en todo el libro. Cada captulo tiene una pgina de presentacin que incluye una tabla de contenidos y una breve introduccin al material que se estudia r. Al final de cada captulo se incluyen ejercicios de revisin. Despus de los apndices se proporcionan respuestas a los problemas impares seleccionados. PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS
8. 8. Agradecimientos Deseo agradecer a las siguientes personas que generosamente destinaron tiempo de sus ocupadas agendas para proporcionar los proyectos incluidos en el texto: Antn M. Jopko, Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster University. Warren S. Wright, Departamento de Matemticas, Loyola Marymount University. Gareth Williams, Departamento de Matemticas y Ciencias Computacionales, Stetson University. Jeff Dodd, Departamento de Computacin y Ciencias de la Informacin, Jack- sonville State University. Matheus Grasselli, Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster Uni versity. Dmitry Pelinovsky, Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster Uni versity. Tambin es un gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comenta rios y sugerencias de mejora: Sonia Henckel, Lawrence Technological University. Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo. Jeff Dodd, Jacksonville State University. Vctor Elias, University of Western Ontario. Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology. William Crimnale, University of Washington. Stan Freidlander, Bronx Community College. Hermn Gollwitzer, Drexel University. Robert Hunt, Humboldt State University. Ronald Guenther, Oregon State University. Noel Harbertson, California State University. Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania. La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras, larga y difcil. A lo largo del proceso de pasar cientos de pginas manuscritas por muchas manos, es indudable que se nos pudieron haber escapado algunos errores, por lo cual me disculpo de antemano. Dennis G. Zill Los Angeles PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS vii
9. 9. Prlogo a la edicin en espaol Para que la seleccin de temas pudiera ser flexible, el texto original en ingls fue divi dido en cinco partes o subdivisiones principales. Para la edicin en espaol, se opt por dividir el texto en dos volmenes que se pueden manejar de manera independiente. El primero aborda principalmente las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En este segundo tomo se renen los temas relacionados con el clculo vectorial, sin dejar a un lado el anlisis de Fourier y las ecuaciones en derivadas parciales. Esto es lo que hace que, aunque los dos tomos se complementen perfectamente, tambin puedan funcionar de manera independiente de acuerdo con las caractersticas y necesidades del curso. Queremos agradecer de manera especial las valiosas aportaciones y comentarios de los siguientes profesores, que sin duda alguna han enriquecido esta edicin: ngel Varela, ITEC Arturo Patrn, ITEC Aureliano Castro, UAS, Escuela de Ingeniera Eduardo Soberanes, ITESM Culiacn Jos Caldern Lamas, ITEC Jos Carlos Aragn Hernndez, ITEC Jos Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Qumico Biolgicas Juan Castaeda, VAS, Facultad de Ciencias Qumico Biolgicas Juana Murillo Castro, UAS, Escuela de Ingeniera Luis Felipe Flores, ITLM Manuel Ramn Apodaca Snchez, ITLM Marcial Arrambi Daz, ITC Marco Antonio Rodrguez Rodrguez, ITLM Oscar Guerrero, ITESM Culiacn Ramn Duarte, UAS, Escuela de Ingeniera Ral Soto Lpez, UDO Culiacn
10. 10. Contenido Prefacio a la tercera edicin en ingls v Prlogo a la edicin en espaol ix Proyecto para la seccin 2.1 Red de dos puertos en circuitos Gareth Williams, Ph.D. elctricos xv Proyecto para la seccin 2.2 Flujo de trfico xvii Gareth Williams, Ph.D. Proyecto para la seccin 2.15 Dependencia de la resistividad Anton M. Jopko, Ph.D. en la temperatura xix Proyecto para la seccin 3.16 Superficies mnimas xx Jeff Dodd, Ph.D. Proyecto para la seccin 6.3 El tomo de hidrgeno xxii Matheus Grasselli, Ph.D. Proyecto para la seccin 7.4 La desigualdad de Jeff Dodd, Ph.D. incertidumbre en el procesamiento de seales xxv Proyecto para la seccin 7.4 Difraccin de Fraunhofer Anton M. Jopko, Ph.D. a travs de una abertura circular xxvii Proyecto para la seccin 8.2 Inestabilidades en mtodos Dmitry Pelinovsky, Ph.D. numricos xxix Parte 1 Vectores, matrices y clculo vectorial 3 Captulo 1 Vectores 4 1.1 Vectores en el espacio 2D 5 1.2 Vectores en el espacio 3D 11 1.3 Producto escalar 16 1.4 Producto vectorial 23 1.5 Lneas y planos en el espacio 3D 28 1.6 Espacios vectoriales 35 1.7 Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt 44 Ejercicios de repaso del captulo 1 49
11. 11. Captulo Captulo Parte 2 Captulo 2 Matrices 51 2.1 lgebra matricial 52 2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 61 2.3 Rango de una matriz 72 2.4 Determinantes 77 2.5 Propiedades de los determinantes 82 2.6 Inversa de una matriz 89 2.6.1 Clculo de la inversa 89 2.6.2 Utilizacin de la inversa para resolver sistemas 95 2.7 Regla de Cramer 99 2.8 El problema del valor propio 102 2.9 Potencias de las matrices 108 2.10 Matrices ortogonales 112 2.11 Aproximacin de valores propios 119 2.12 Diagonalizacin 126 2.13 Criptografa 135 2.14 Cdigo corrector de errores 138 2.15 Mtodo de los mnimos cuadrados 144 2.16 Modelos discretos de compartimiento 147 Ejercicios de repaso del captulo 2 151 3 Clculo vectorial 155 3.1 Funciones vectoriales 156 3.2 Movimiento sobre una curva 162 3.3 Curvatura y componentes de la aceleracin 167 3.4 Derivadas parciales 171 3.5 Derivada direccional 178 3.6 Planos tangentes y lneas normales 184 3.7 Divergencia y rotacional 187 3.8 Integrales de lnea 193 3.9 Independencia de la trayectoria 202 3.10 Integrales dobles 209 3.11 Integrales dobles en coordenadas polares 218 3.12 Teorema de Green 223 3.13 Integrales de superficie 228 3.14 Teorema de Stokes 237 3.15 Integrales triples 243 3.16 Teorema de la divergencia 254 3.17 Cambio de variables en integrales mltiples 260 Ejercicios de repaso del captulo 3 267 Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 271 4 Funciones ortogonales y series de Fourier 272 4.1 Funciones ortogonales 273 4.2 Series de Fourier 278 CONTENIDO
12. 12. 4.3 Series de Fourier de cosenos y senos 283 4.4 Series complejas de Fourier 290 4.5 Problema de Sturm-Liouville 294 4.6 Series de Bessel y de Legendre 301 4.6.1 Serie de Fourier-Bessel 302 4.6.2 Serie de Fourier-Legendre 305 Ejercicios de repaso del captulo 4 308 Captulo 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares 309 5.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables 310 5.2 Ecuaciones clsicas y problemas de valores en la frontera 314 5.3 La ecuacin de calor 319 5.4 La ecuacin de onda 322 5.5 La ecuacin de Laplace 327 5.6 Problemas de valores en la frontera homogneos 332 no 5.7 Desarrollos en series ortogonales 339 5.8 Serie de Fourier con dos variables 343 Ejercicios de repaso del captulo 5 346 Captulo 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados 348 6.1 Problemas en coordenadas polares 349 6.2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas: funciones de Bessel 354 6.3 Problemas en coordenadas esfricas: polinomios de Legendre 360 Ejercicios de repaso del captulo 6 363 Captulo 7 Mtodo de la transformada integral 365 7.1 Funcin de error 366 7.2 Aplicaciones de la transformada de Laplace 367 7.3 Integral de Fourier 375 7.4 Transformadas de Fourier 380 7.5 Transformada rpida de Fourier 386 Ejercicios de repaso del captulo 7 395 Captulo 8 Soluciones numricas de ecuaciones diferenciales parciales 397 8.1 La ecuacin de Laplace 398 8.2 La ecuacin de calor 403 8.3 La ecuacin de onda 409 Ejercicios de repaso del captulo 8 412 CONTENIDO xiii
13. 13. Parte 3 Anlisis complejo 415 Captulo 9 Captulo 10 Captulo 11 Captulo 12 Funciones de una variable compleja 416 9.1 Nmeros complejos 417 9.2 Potencias y races 421 9.3 Conjuntos en el plano complejo 425 9.4 Funciones de una variable compleja 428 9.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 434 9.6 Funciones exponenciales y logartmicas 439 9.7 Funciones trigonomtricas e hiperblicas 445 9.8 Funciones trigonomtricas e hiperblicas inversas 449 Ejercicios de repaso del captulo 9 452 Integracin en el plano complejo 453 10.1 Integrales de contorno 454 10.2 Teorema de Cauchy-Goursat 459 10.3 Independencia de la trayectoria 464 10.4 Frmulas integrales de Cauchy 470 Ejercicios de repaso del captulo 10 475 Series y residuos 477 11.1 Sucesiones y series 478 11.2 Serie de Taylor 483 11.3 Series de Laurent 489 11.4 Ceros y polos 497 11.5 Residuos y teorema del residuo 500 11.6 Clculo de integrales reales 506 Ejercicios de repaso captulo 11 512 Transformaciones conformes 514 12.1 Funciones complejas como transformaciones 515 12.2 Transformaciones conformes 519 12.3 Transformaciones racionales lineales 526 12.4 Transformaciones de Schwarz-Christoffel 532 12.5 Frmulas integrales de Poisson 537 12.6 Aplicaciones 541 Ejercicios de repaso del captulo 12 548 Apndice Transformaciones conformes AP-1 Respuestas a los problemas seleccionados de nmero impar RESP-1 ndice l-l xiv CONTENIDO
14. 14. Matemticas avanzadas para ingeniera II: 1 ' Clculo vectorial, anlisis de Fourier y anlisis complejo
15. 15. - f o r D a y e t PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1 Red de dos puertos en circuitos elctricos Gareth Williams, Ph.D. Departamento de Matemticas y Ciencias Computacionales, Stetson University Muchas redes elctricas estn diseadas para aceptar seales en ciertos puntos y producir una versin modifi cada de stas. El arreglo general se ilustra en la figura 1. A A r Vj Red de dos puertos 1 t , i A A Figura 1 Red elctrica Una comente /, a un voltaje Vt se enva sobre una red de dos puertos, y sta determina de alguna forma la corriente de salida I2 al voltaje V2. En la prctica, la re lacin entre las comentes y voltajes de entrada y salida por lo general es lineal, y se encuentran relacionadas por una ecuacin matricial: aa2 al2 a22 La matriz de coeficientes ( | se denomina ma- ^a2 a22 triz de transmisin del puerto. La matriz define a la red de dos puertos. En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red de dos puertos. La parte interior consiste en una resistencia R conectada como se muestra. Podemos demostrar que las corrientes y los voltajes en efecto se comportan de a Figura 2 Red de dos puertos una forma lineal y determinan la matriz de transmisin. Nuestro mtodo ser construir dos ecuaciones:; una que exprese a V2en trminos de Vt e /,, y la otra qi)e exprese a I2 en trminos de V, e /,. Posteriormente combinare mos estas dos ecuaciones en una sola ecuacin matricial. Utilizamos la siguiente ley: Ley de Ohm: La cada de voltaje a travs de una re sistencia es equivalente a la corriente multiplicada por la resistencia. jj La cada de voltaje a travs de la resistencia ser V, V2. La corriente a travs de la resistencia es /,. Por tanto, la ley de Ohm establece que V[ V2 = /,/t. La corriente /, pasa a travs de la resistencia R y exis te como 7,. De esta forma, I2 = 7,. Primero escribimos estas dos ecuaciones en la forma estndar, V2 = V, - 7771 : I2 = OU, + 7 , y luego como una ecuacin matricial, | 'V, A 1 -R '' vO 1, forma si R equivale a 2 ohms y el voltaje y corriente de entrada son V, = 5 volts e 7, = 1 ampere, rspectiva- mente, obtenemos La matriz de transmisin es . De esta El voltaje y la corriente de salida sern 3 volts y 1 am pere respectivamente. En la prctica, se colocan en serie variasj redes de dos puertos estndar como la que se describi arriba para obtener un cambio de voltaje y corriente deseado. Considere las tres redes de dos puertos de la figura 3, cuyas matrices de transmisin son A, B y C . Al considerar cada red de forma independiente, te nemos que = A A / B = c Al sustituir | ^ ) de la primera ecuacin en la ;segunda obtenemos ) - < Figura 3 Ds puertos en serie PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1 Red de dos puertos en circuitos elctricos xv
16. 16. Al sustituir la ltima matriz cin obtenemos en la tercera ecua- De este modo las tres redes de dos puertos sern equi valentes a una sola. La matriz de transmisin de esta red de dos puertos ser el producto CBA de los puertos individuales. Observe que la ubicacin de cada puerto en la secuencia es relevante debido a que las matrices no son conmutativas bajo la multiplicacin. Problemas relacionados En los problemas 1-3, determine las matrices de trans misin de las redes de dos puertos que se muestran en la figura. 1. V = V2 debido a que las terminales se conectan de forma directa. La corriente a travs de la resistencia R es 7| I2. La cada de voltaje a travs de R ser Vj. h h f 1Vi^ R t J 2 h 2 Figura 4 Red de dos puertos para el problema 1 2. La corriente a travs de 7?, es 7, 72. La cada de vol taje a travs de R t es V,. La corriente a travs de R2 es 72. La cada de voltaje a travs de R2 es V, V2. h t Vi 1 i v v v > *2 % 1 t h h Figura 5 Red de dos puertos para el problema 2 3. La corriente a travs de R, es /,. La cada de voltaje a travs de R, es V V2. La corriente a travs de R2 es 7, - 72. La cada de voltaje a travs de R2 es V2. h 4 A a h t 1Vi ( , V V V l < > 2 fV , 1 I] h Figura 6 Red de dos puertos para el problema 3 4. La red de dos puertos de la figura 7 consiste de tres redes de dos puertos colocadas en serie. Las matrices de transmisin son las que se muestran. a) Cul es la matriz de transmisin de la red de dos puertos compuesta? b) Si el voltaje de entrada equivale a 3 volts y la co rriente a 2 amperes, determine el voltaje y la co rriente de salida. amperes h h h h u 1 2 volts t , . V , ( i ? ) 1 " < < . t4 h h 13 h h Figura 7 Redes de dos puertos en serie para el problema 4 xvi PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1 Red de dos puertos en circuitos elctricos
17. 17. 2.2 Flujo de trfico Gareth Williams, Ph.D. Departamento de Matemticas y Ciencias Computacionales, Stetson University ) El anlisis de redes, como lo observamos en el anlisis de las reglas de nodo y lazo de Kirchhoff en la seccin 2.2, juega un papel importante en la ingeniera elctrica. En aos recientes, los conceptos y herramientas de este anlisis de redes han resultado tiles en, muchos otros campos, como en la teora de la informacin y el estu dio de sistemas de transporte. El siguiente anlisis del flujo de trfico a travs de una red de caminos durante las horas pico ilustra cmo en la prctica pueden surgir sistemas de ecuaciones lineales con muchas soluciones. Considere la red tpica de calles de la figura 1. Re presenta un rea del centro de la ciudad de Jacksonville, Florida. Las calles son de un solo sentido, las flechas indican la direccin del flujo del trfico. El flujo del trfico de entrada y salida de la red se mide en trminos de vehculos por hora (vph). Las cifras que se propor cionan se basan en las horas de trfico pico de mitad de semana, de 7 a 9 a .m . y de 4 a 6 p .m . Se deber per mitir un incremento de 2 por ciento en el flujo general durante la tarde del viernes' Construyamos un modelo matemtico que pueda utilizarse para analizar esta red. i 400 vph ^ 1225 vph a JTa Calle Duval B '350 vph 125 vph oo o fo CalleHogan X C3 5 v 1 ^ 2 u Calle Monroe u v4 300 vph D x3, C k250 vph 600 vph Figura 1 Centro de la ciudad de Jacksonville, Florida Suponga que se aplican las siguientes leyes de tr fico: Todo el trfico que ingresa a una interseccin debe abandonarla. Esta restriccin de la conservacin del flujo (com prela con la regla de nodos de Kirchhoff) nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales: Interseccin A: Trfico de entrada = x + x2. Trfico de salida = 400 + 225. Por tanto, Aq + a2 = 625. PROYECTO PARA LA SECCIN Interseccin B Trfico de entrada = 350 + 125. Trfico de salida = Aj + x4. Por tanto, a, + a4 = 475. Interseccin C: Trfico de entrada = x3 + x4. Trfico de salida = 600 + 300. Por tanto, x3, + x4 = 900. Interseccin D: Trfico de entrada = 800 + 25Q. Trfico de salida = x2 + x3. Por tanto x2 + x3 =1 050. j! Estas restricciones sobre el trfico se describen em pleando el siguiente sistema de ecuaciones lineales:; X| + x2 = 625 a, + x4 = 475 , x3 + x4 = 900 ; ^ x2 + a3 = 1050 j: Puede emplearse el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver este sistema de ecuaciones. La matriz aumentada y la forma reducida escalonada por rengln son las siguientes: / 1 1 0 0 625Operaciones de renglones / I 0 0 1 ! 4151 0 0 1 475 0 1 0 1 150 0 0 1 1 900 =4> 0 0 1 o o GV0 1 1 0 1050/0 0 0 0 ()/ El sistema de ecuaciones que corresponde con qsta forma reducida escalonada por rengln es a, + x4 = 475 x2 - x4 = 150 x3 + x4 = 900. Al expresar cada variable principal en trminos! de la variable, restante, obtenemos a, = x4 + 475 x2 = a4 + 150 x3 = x4 + 900. Como podra esperarse, el sistema de ecuaciones cuenta con varias soluciones, por lo que es posible tener vrios flujos de trfico. Un conductor cuenta con, una cierta cantidad de opciones en las intersecciones. Ahora utilicemos este modelo matemtico para obtener ms informacin sobre el flujo de trfico. Suponga que se requiere realizar trabajos de mantenimiento en el seg mento DC de Calle Monroe. Es deseable contkr con un flujo de trfico x3 lo ms pequeo posible pra este segmento de calle. Los flujos pueden controlarse a lo largo de diversas bifurcaciones por medio de semforos. Cul sera el valor mnimo de x3 sobre DC que b oca sione una congestin de trfico? Para resolver esta pre gunta, emplearemos el sistema de ecuaciones anterior. Los flujos de trfico no deben ser negativos (un flujo negativo podra interpretarse como trfico que se des plaza en la direccin incorrecta en una calle de un solo PROYECTO PARA LA SECCIN 2.2 Flujo de trfico
18. 18. sentido). La tercera ecuacin en el sistema nos indica que X3 ser un mnimo cuando x4 sea lo ms grande posible, siempre que no exceda de 900. El valor ms grande que x4 puede llegar a tener sin ocasionar valores negativos de xx o de x2 es 475. De este modo, el valor ms pequeo de x3 ser 475 + 900, o 425. Todo tra bajo de mantenimiento sobre la Calle Monroe deber permitir un volumen de trfico de al menos 425 vph. En la prctica, las redes son mucho ms vastas que la analizada aqu, llevando a sistemas de ecuaciones lineales ms grandes, que son manipuladas median te computadoras. Es posible ingresar diversos valores para las variables en una computadora con el fin de crear escenarios distintos. Problemas relacionados 1. Construya un modelo matemtico que describa el flujo de trfico en la red de calles sealada en la figura 2. Todas las avenidas son calles de un solo sentido en las direcciones indicadas. Las unidades estn dadas en vehculos por hora (vph). Proporcione dos flujos de trfico posibles. Cul es el flujo mnimo posible que puede esperarse sobre el tramo AB1 > -150 100 Figura 2 Flujo de trfico del problema 1 2. La figura 3 representa el trfico que ingresa y sale de una glorieta. Tales intersecciones son muy comu nes en Europa. Construya un modelo matemtico que describa el flujo del trfico sobre las diversas bifurca ciones. Cul es el flujo mnimo posible terico sobre la rama SC? Cules son los otros flujos en dicho 100- 50 t > f .. LD K B ; A 150 200 Figura 3 Flujo de trfico del problema 2 momento? (Las unidades de flujo estn dadas en ve hculos por hora.) 3. La figura 4 representa el trfico que ingresa y sale de otro tipo de glorieta usada en Europa continental. Tales glorietas aseguran el flujo continuo de trfico en las intersecciones de calles. Construya ecuaciones lineales que describan el flujo del trfico sobre las distintas bifurcaciones. Utilice estas ecuaciones para determinar el flujo mnimo posible sobre x. Cules son los dems flujos en este momento? (No es nece sario calcular la forma reducida escalonada por ren glones. Utilice el hecho de que el flujo de trfico no puede ser negativo.) 90 100 130 -< ---- > 110 Y -v2 V A K Y x4 N XY x 6 155 120 80 75 Figura 4 Flujo de trfico del problema 3 4. La figura 5 describe un flujo de trfico, con las unida des en vehculos por hora (vph). ) b) Construya un sistema de ecuaciones lineales que describa este flujo. El tiempo total que toma a los vehculos reco rrer cualquier segmento de calle es proporcional al trfico sobre dicho segmento. Por ejemplo, el tiempo total que toma a x vehculos recorrer AB sern kx minutos. Suponiendo que la constante es la misma para todas las secciones de calles, el tiempo total para que 200 vehculos recorran esta red ser Lr, T 2kx2 + kx3 + 2fcc4 + kx5. Cul ser el tiempo total si k = 4? Proporcione un tiem po promedio para cada automvil. Figura 5 Flujo de trfico para el problema 4 xv iii PROYECTO PARA LA SECCIN 2.2 Flujo de trfico
19. 19. L 2.15 Dependencia de la resisti vidad en la temperatura Antn M. Jopko, Ph.D. Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster University J Un conductor de longitud L y rea transversal uniforme A tiene una resistencia R dada por R = pL/A, pues el conductor est hecho de un material con resistividad p. Sin embargo, la resistividad no es constante para todas las temperaturas del conductor. Cuando la corriente fluye a travs del conductor, se genera calor, lo que eleva su temperatura. A este proceso se le conoce como calen tamiento de Joule.. En general, mientras ms alta sea la temperatura, ms alta ser la resistividad y en ltima ins tancia la resistencia. Esto significa que debe conocerse la resistividad a la temperatura de trabajo del conductor. Modelamos la resistividad a la temperatura 7j. del con ductor por medio de la funcin cuadrtica dada por p(Tc) = p0 + a(Tc - T0) + (3(Tc - T0f donde Tc representa la temperatura del conductor en grados Celsius, T0 es la temperatura ambiente y p0 es la resistividad a temperatura ambiente. Los coeficientes p0,a y 3 se determinan por medio de la experimenta cin. El tungsteno es un conductor con un punto de fusin muy ele vado, que se utiliza para fabricar los filamentos de las lmparas in candescentes. Suponga que la in formacin en la tabla est medida para la resistividad del tungste no. En los problemas siguientes, presentamos un procedimiento de mnimos cuadrados para en contrar los valores de p0, a y /3. Asumiremos que T0 = 20C. Tc (C) Resistividad (l-m ) X 10 8 20 5.6Q 40 5.65 80 5.70 200 7.82 500 11.1 700 20.2 1000 30.5 PROYECTO PARA LA SECCIN Problemas relacionados Deseamos ajustar puntos de informacin (x, y) utili zando la ecuacin cuadrtica general y = ctx2 + bx + c en el sentido de mnimos cuadrados. Con tan splo tres puntos de informacin no sera necesario el procedi miento de mnimos cuadrados. En nuestro caso, conta mos con siete puntos de informacin. / III 1. Construya el vector columna Y = y* :y la matrizd h ) . / *i *i iA = x * 2 * i ||. *7 1/ /n IaV 2. Haga que el vector columna X = contenga V e J los coeficientes mnimos cuadrados. Calcle el vector X* = (A7A) ~1ArY. 3. Utilizando la ecuacin cuadrtica de mnimbs cuadra dos, prediga la resistividad del tungsteno a300C. 4. Si un conductor de tungsteno a temperatura ambiente tiene una resistencia de 5 ohms, utilice el resultado del problema 3 para predecir su resistencia a una tem peratura de 300C. 5. Encuentre el errorRMS(raz cuadrada de la media de los cuadrados) de laecuacincuadrtica ce mnimos cuadrados, i. Vi 2' . donde Y* = AX' es el valor de mnimos cuadrados de Y. ji 6. Explique, en trminos generales, lo que:significa el error RMS o de raz cuadrada de la media de los cua drados. 7. Realice la prediccin de la resistividad del conductor de tungsteno a 2 000C. Qu tan confiable es este valor? PROYECTO PARA LA SECCIN 2.15 Dependencia de la resistividad en la temperatura xix
20. 20. PROYECTO PAF?A LA SECCINi y/ i iV-iV/ i ni WI L.IVJUvVlV/ll Superficies mnimas Je ff Dodd, Ph.D. Departamento de Matemticas, Computacin y Ciencias de la Informacin, Jacksonville State University J Al sumergir un marco de alambre en una solucin ja bonosa y retirarlo cuidadosamente, se forma una pelcu la tensionada de jabn sostenida por el alambre. Si el marco de alambre es plano, como los anillos circulares que se utilizan frecuentemente para hacer burbujas, en tonces la pelcula de jabn ser plana. Sin embargo, si el marco se dobla de una forma ms interesante, se genera r a su vez una superficie ms interesante. Un personaje legendario en el estudio de estas for mas fue el fsico belga Joseph Plateau (1801-1883). A pesar de ser ciego (como resultado de mirar fijamente al Sol por 25 segundos, cuando experimentaba sobre la fisiologa de la visin), condujo una extensa serie de experimentos con pelculas de jabn, utilizando una solucin especial de glicerina y jabn inventada por l mismo con la que sus pelculas de jabn podan durar horas., Plateau tambin trabaj exhaustivamente con bur bujas de jabn. (Gracias a laboriosas y cuidadosas ob servaciones, fue capaz de conjeturar algunos principios bellamente simples que gobiernan la geometra de los racimos de burbujas de jabn, conocidos como reglas de Plateau.) Plateau se dio cuenta de que una pelcula de jabn queda constituida de forma que se minimiza la energa debido a la tensin superficial o, lo que es equivalente, se minimiza el rea superficial rodeada por el alambre. El ret a los matemticos para que propusieran una descripcin general de dichas superficies minimizado- ras de rea, o superficies mnimas. En consecuencia, el problema de determinar la superficie de la menor rea restringida por cierta frontera se conoce como problema de Plateau. En los tiempos, de Plateau, el estudio matemtico de superficies mnimas haba comenzado casi un siglo antes con el trabajo de Leonhard Eider y Joseph Louis Lagrange. Las matemticas necesarias para resolver muchas de las conjeturas y problemas de Plateau no se desarrollaron sino hasta el siglo xx. De hecho, el estudio de superficies mnimas sigue siendo actual mente un rea de investigacin activa, y los matem ticos se esfuerzan todava por mantenerse al corriente con sus aplicaciones existentes y con las que tiene en potencia. En muchas de las ciencias fsicas y biolgicas abun dan aplicaciones. En los ltimos aos se ha puesto mucha atencin en las aplicaciones a la nanotecnolo- ga en la ingeniera molecular y en la ciencia de ma teriales. Algunas superficies mnimas muy exticas, recientemente descubiertas matemticamente, han sido observadas en copolmeros de bloque, esto es, mol culas compuestas por dos tiras de diferentes polmeros que se repelen entre s. Las molculas se acomodan de tal manera que las fronteras entre las partes dismiles forman superficies mnimas. Este caso es una aplica cin tpica, ya que la interfaz entre dos sustancias que se repelen entre s tiende a ser una superficie mnima, al menos aproximadamente. Existen aplicaciones ms abstrusas como la descrip cin relativista general de los agujeros negros. Tambin hay aplicaciones en los procesos de diseo. Por ejemplo, los ingenieros a veces utilizan superficies mnimas para disear estructuras en las que los esfuerzos se distribu yan lo ms uniformemente posible a fin de maximizar su durabilidad. Finalmente, las superficies mnimas son estticamente agradables y se emplean comnmente en arquitectura y arte, incluyendo las esculturas del recono cido matemtico-artista Helaman Ferguson.* Considrese a continuacin una versin simple del problema de Plateau: Sea R una regin cerrada y acotada en el plano xy por una curva suave cerrada simple segmentada C. Sea z = g(x, y) una funcin dada definida sobre C. (La gr fica de g es nuestro marco de alambre.) De todas las funciones z = u(x, y) que tienen segundas derivadas par ciales continuas sobre R, tales que u(x, y) = g(x, y) sobre C, caracterice aquella cuya grfica sobre R tiene el rea superficial ms pequea posible. Para resolver este problema, se, comienza con (2) de la definicin 3.11 del texto. El rea superficial A de la grfica de u sobre R est dada por A(u) = V i + [ux( x , y ) f + [uy{ x , y ) f dA V i + | | V m ( x , y)2dA. Ahora tome cualquier funcin w{x, y) tal que w = 0 sobre C y considere la siguiente funcin real: F(t) = A(u + tw) para valores pequeos de t. Si u es la funcin que mini miza a A sobre todas las funciones que tienen los valores determinados por g sobre C, entonces t - 0 es un valor crtico para F esto es, F' ( 0) = 0. Observe que V i + IIV k + t V w f dA d [ a d t JR ' d d t *Para otras superficies, vase www.helasculpt.com/galleiy XX PROYECTO PARA LA SECCIN 3.16 Superficies mnimas
21. 21. Problemas relacionados 1. Utilice la definicin de norma en trminos del produc to escalar para mostrar que F '(0) = Vu Vi + v | Vve dA. 2. Suponga que h es una funcin y F es un campo vec torial, definidos sobre R de manera que las primeras derivadas parciales de li y las dos funciones compo nentes de F son continuas sobre R. Utilice la siguien te identidad vectorial div (/jF) = h div F + (grad /;) F (Problema 27, ejercicios 3.7) y la formulacin alter nativa del teorema de Green dada en (1) de la seccin 3.16 para mostrar que (/jF n) ds = (/j div F + (grad h) F) dA. 3. Aplique esta ltima identidad al resultado del proble ma 1 para mostrar que w div V// V i + ||Vi/|| dA = 0. Como esto ltimo es cierto para cualquier funcin n'(x, y) tal que w = 0 sobre C, entonces debe cumplir se que div| V V i + ||Vi/||2 = 0 . 4. Muestre qe la ltima ecuacin del problema 3 puede expresarse como la siguiente ecuacin diferencial par cial no lineal (1 + Uy)uxx + (1 + u2x)u yy 2uxuyuxy = 0 . Esta ecuacin, conocida como ecuacin de superfi cie mnima, la escribi Lagrange por primera vez en 1760. 5. Muestre que si q es una funcin slo de a- o slo de y, entonces la grfica de / es un plano. 6. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas polares para mostrar que si // ;=/(/), entonces 'f ( r ) + /'(/-)(! + [ / V ) ] 2) = 0 7. La EDO de segundo orden del problema 6 es una EDO separable de primer orden en /'(/'). Utilice el mtodo de separacin de variables (que se expone en la seccin 2.2 del tomo I) para mostrar que si u =f(r), entonces du dr V r / c 2 - 1' Utilice la sustitucin r = c cosh u para mostrar que fu dij r = c coshl I, donde c y d son constantes. Observe que sta es la superficie obtenida al revolu cionar una catenaria (vase seccin 3.10 del tomo I) alrededor del eje z. Esta superficie de revolucin se conoce como catenoide. La catenoide fue la primera superficie mnima no plana descrita (por Euler alre dedor de 1740). Una pelcula de jabn formada entre dos anillos coaxiales toma esta forma, y no la forma de un cono o de un cilindro! Vase la figura"!. Figura 1 Catenoide i 8. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas pola res para mostrar que si // = /(0), entonces // = c9 + d, donde c y el son constantes. Esta superficie Ja espiral generada por una lnea horizontal que rota alrededor del eje z con velocidad angular constante, mientras se eleva a lo largo del eje z con velocidad constante se conoce como helicoide, y fue la segunda superficie mnima no plana descrita (Jean Baptiste Musnier la describi en 1776). De la figura 2 se puede reconocer el helicoide como modelo para las cuchillas curvas ro tatorias de maquinarias como las barrenas pfa postes, excavadoras de hielo y sopladoras de nieve, j! Figura 2 Helicoide Eplogo |i La mayora de las superficies mnimas stn geomtrica mente ms complicadas que la catenoide y el,helicoi de, y slo pueden representarse convenientemente en forma paramtrica, ms que como grficas d funcio nes. El estudio de las parametrizaciones de superficies mnimas tiene conexiones profundas con las funciones armnicas y el anlisis complejo, tema de la parte 3 de este texto. PROYECTO PARA LA SECCIN 3.16 Superficies mnimas 7" xxi
22. 22. PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3El tomo de hidrgeno Matheus Grasselli, Ph.D. Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster University J El tomo de hidrgeno represent uno de los problemas sin resolver ms importantes en la fsica a principios del siglo veinte. Con nicamente un protn y un elec trn, ofrece el ejemplo ms simple posible que deba ser explicado por cualquier modelo atmico. La des cripcin clsica era la de un electrn en rbita alrede dor de un protn debido a una atraccin elctrica. Sin embargo, la hiptesis era inconsistente, debido a que para moverse alrededor del protn, el electrn necesi ta acelerarse. Toda partcula cargada y acelerada emite ondas electromagnticas. Entonces, con el tiempo, el electrn deba perder energa cintica y eventualmente colapsarse hacia el ncleo del tomo. Para complicar an ms las cosas, a partir de informacin espectros- cpica se saba que el gas de hidrgeno emite luz con longitudes de onda muy especficas, las llamadas l neas espectrales. Adems, estas lneas espectrales que podan observarse en el rango visible satisfacan una frmula emprica enunciada por primera vez por J. J. Balmer en 1885. Si la longitud de onda es indicada por A, entonces las lneas espectrales de lo que actualmente se denomina la serie de Balmer estarn definidas por = (1) donde RH es una constante para la cual el mejor valor emprico es 10 967 757.6 1.2 m 1. Todo modelo atmico razonable no slo deba ex plicar la estabilidad del tomo de hidrgeno, sino que tambin deba generar una explicacin para las lneas espectrales con frecuencias que satisfacan esta fr mula. El primer modelo de este tipo fue propuesto por Niels Bohr en 1913, utilizando una ingeniosa com binacin de argumentos clsicos y dos postulados cunticos. Bohr asumi que el electrn se encuentra restringido a un movimiento en rbitas con un momen to angular cuantizado, es decir, en mltiplos enteros de una constante dada. Observe la figura 1. Adems, los tomos emiten energa en forma de ondas electro magnticas nicamente cuando el electrn salta de una rbita fija a otra. Las frecuencias de estas ondas estn dadas por la frmula de Planck AE v, donde AE es la diferencia de energa entre las rbitas y es la constante de Planck. Intente reproducir los pasos de Bohr mediante la re solucin de los problemas 1-3. Figura 1 Modelo planetario de Bohr del tomo de hidrge no: en este modelo, un electrn puede ocupar nicamente ciertas rbitas alrededor de un ncleo que consiste de un protn Problemas relacionados 1. Suponga, como se mestra en la figura 1, que el elec trn cuenta con una masa m y una carga e, y que se desplaza en una rbita circular de radio r alrededor del protn, el cual tiene una carga e y una masa mucho mayor. Utilice las frmulas clsicas de la fuerza elc trica para cargas puntuales con el objetivo de deducir que la energa mecnica total (cintica ms potencial) para el electrn en esta rbita es E = 87renr ' (2) donde e0 es la permisividad del espacio. Adicional mente, deduzca que el momento angular clsico para esta rbita es L = me2r 4 trs 0 (3) 2. Ahora utilicemos el primer postulado de Bohr: asuma que el momento angular es de la forma L = nti, donde n = 1 ,2 ,.... Sustituya esta expresin en la ecuacin (3) y encuentre una expresin para el radio orbital r como una funcin de n. Inserte esta funcin en la ecuacin (2) y obtenga una expresin para los niveles de energa cuntica del tomo de hidrgeno. 3, Ahora estamos listos para utilizar el segundo postula do de Bohr. Suponga que un electrn realiza una tran sicin desde el nivel de energa Ek al nivel de energa E, para enteros k > n. Utilice la frmula AE = v y 1la relacin v = c (donde c representa la velocidad de la luz) para deducir que la longitud de onda emiti da por esta transicin es 8V reQc 1 (4) xxii PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El tomo de hidrgeno
23. 23. Asignemos n = 2 en la ecuacin (4) y concluimos 4 me que esto genera la serie de Balmer con RH = , - . h e 0c Ahora, realice una investigacin para los valores de las constantes que aparecen en esta frmula y calcule RH. Su valor es comparable con el valor emprico? Por mM ltimo, reemplace m por la masa reducida---------- F 1 m + M (dnde M es la masa del protn) y sorprndase con la notable precisin de este resultado. A pesar de su xito evidente, el modelo de Bohr tena como detalle el que llevaba la teora clsica lo ms lejos posible y luego la complementaba con pos tulados cunticos especficos cuando era necesario. Esta situacin fue acertadamente considerada como insatisfactoria e inspir a los fsicos a desarrollar una teora mucho ms completa del fenmeno atmico, lo que dio paso al nacimiento de la mecnica cuntica. En el ncleo de ella hay una ecuacin diferencial par cial propuesta por Erwin Schrdinger en 1926 en un documento con un ttulo sugerente La cuantizacin como un problema de valores propios. La ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempo para un siste ma fsico de masa m sujeto a un potencial L(x) es 2 V2^ (x ) + E (x m x ) = EXV () , (5) 2m donde V2 representa al operador laplaciano y es el valor (escalar) para la energa total del sistema en el estado estacionario ^ (x ). Aqu x = (a:, y, z) represen ta un punto en el espacio de posicin de tres dirpen- siones. La interpretacin correcta de la funcin xP(x) implica argumentos probabilsticos refinados. Para nuestro problema es suficiente decir que 'P(x) con tiene toda la informacin que se puede obtener fsi camente acerca del sistema en consideracin. Nuestro propsito ahora, siguiendo el espritu del documento original de Schrdinger, ser obtener los niveles de energa E para el tomo de hidrgeno como los valo res posibles de energa para los cuales la ecuacin (5) admite una solucin. Ahora intente resolver el siguiente problema. e2 4. Debido a que la energa potencial V(r) = -------------- 4?rs0r depende nicamente del radio r, para este problema es natural considerar coordenadas esfricas (r, 0, (jy) definidas por las ecuaciones x = r sen 0 eos c), y = r sen 0 sen >, z = r eos 6 . Comience por escribir la ecuacin (5) en estas coor denadas [recuerde la expresin para el operador de Laplace en coordenadas esfricas en (2) de la seccin 6.3]. Ahora utilizamos la separacin de variables con 'P(x) = (/) (0)>(>) para mostrar que el com ponente radial R(r) satisface a 2 2m f e 22n R+-rR+A ^ E)R=-*^ ), encontraramos que k es un nme ro cuntico relacionado con el momento angular del tomo. Para el resto de este proyecto, consideraremos el caso k = 0, que corresponde con los estadfbs con momento angular cero. ' En este punto proceda con los problemas 5-7. 5. Establezca k = 0 en la ecuacin (6) y considere su lmite cuando r >oo. Demuestre que e Cr, donde c = J r 1 (7) 2mE T 2 es una solucin de esta ecuacin limitante. Con base en el ejercicio anterior, considere una so lucin general de la forma R(r) = f(r)e ~ pa(a una funcin analtica/(r). Mediante procedimientos'!anal ticos, la funcin/(r) posee una expansin de series /( r ) = aQ+ ar + a2i2 + Sustituya esta serie en la ecuacin (6) (con k = 0) y deduzca que los coeficientes a satisfacen la relacin recursiva j; C - B :: aj = 27 T ^ ' - " j = i 2 - 1 (8) me2 donde B A t t e J i 1 7. Demuestre que el lmite de la ecuacin (8) para 2C ! valores grandes dej es a, = -------- a-> que. es lia sene, 7 + 1 de potencia para la funcin e2Cr. Concluya que la nica forma de hacer que la funcin R(r) disminuya a cero a medida que r se vuelve ms grande'es que la serie de potencias para /(/-) termine despus de un nmero finito de trminos. Por ltimo, observe que esto sucede si y slo si nC - B para algn entero n. Nuestra problema final en este proyecto ser ge nerar los niveles de energa del tomo de hidrgeno como una consecuencia del trabajo realizado- hasta aqu. Deber observar que la existencia de niveles de energa cuantizados no necesitan ser postulados, sino ms bien deducidos a partir del anlisis matemtico de la ecuacin de Schrdinger. Mientras que los pasos PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El tomo de hidrgeno x x iii
24. 24. de deduccin son ms complicados que los seguidos por Bohr, debe ser evidente que la eliminacin de los axiomas de cuantizacin especficos de Bohr fue un logro importante alcanzado por Schrdinger, razn por la cual recibi el Premio Nobel de fsica en 1933. 8. Utilice la condicin expresada en el ejercicio previo y las frmulas obtenidas para C y B para concluir que las energas permitidas para el tomo de hidrgeno en un estado con momento angular cero son 4 " (4/7re0)222n2 ^ que deben coincidir con los niveles de energa que en contr para el tomo de Bohr del problema 2. xxiv PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El tomo de hidrgeno
25. 25. 7.4 La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de seales Jeff Dodd, Ph.D. Departamento de Matemticas, Computacin y Ciencias de la Informacin, Jacksonville State University _____________________________________________J Los ingenieros en comunicaciones interpretan a la trans formada de Fourier como la descomposicin de una seal fix) que lleva informacin, donde x representa al tiempo, en una superposicin de tonos sinusoidales puros que tienen frecuencias representadas por una variable real. De hecho, los ingenieros usualmente consideran la re presentacin en el dominio de la frecuencia resultan te, tanto o ms que la representacin en el dominio del tiempo (esto es, la seal misma!). Un aspecto funda mental del procesamiento de seales eS que cuanto ms estrecha es una seal en el dominio del tiempo, ms am plia es en el dominio de la frecuencia. Tambin, cuanto ms estrecha es una seal en el dominio de la frecuen cia, ms amplia es en el dominio del tiempo. Este efec to es importante porque, en la prctica, una seal debe enviarse en un tiempo limitado y utilizando un interva lo limitado o banda de frecuencias. En este proyecto se describe e investiga este equilibrio entre duracin y ancho de banda, tanto cualitativa como cuantitativa mente. Los resultados de esta investigacin respaldan una regla prctica comnmente citada: una cierta banda de frecuencias es proporcional al producto de la dura cin en tiempo por el ancho de la banda de frecuencias. Problemas relacionados Se emplean la forma compleja de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en (5) y (6) de la seccin 7.4. Se utiliza la notacin f(a ) para denotar la transformada de Fourier de una funcin f(x) en una forma compacta que explcita su dependencia de /, esto es, /( a ) = F {f(x)}. Se considera que f e s una funcin real, y se comienza revisando dos propie dades simples de / . 1. Mostrar que si a > 0, entonces / ( a) = /() As, para cualquier a, |/ ( a)| = |/(a )|. (Aqu, las nota ciones z y |z| representan el conjugado y el mdulo de un nmero complejo z, respectivamente.) 2. Si k es un nmero real, supngase que f k(x) = f(x k). Mostrar que /*() = eiakf{o ) I >PROYECTO PARA LA SECCIN De manera que recorrer una seal en el tiempo no afecta a los valores de |/(a )| en el dominio de las frecuencias. Tomando en cuenta estos hechos, ahora se proce de a considerar el efecto de estrechar o ampliar una seal en el dominio del tiempo simplemente scala- do la variable temporal. 3. Si c es un nmero positivo, considrese que/r(x)-f(cx). Muestre que De forma que al estrechar la funcin seal /e p el do minio del tiempo (c> 1), se ensancha su transformada en el dominio de la frecuencia, y al ampliar la funcin seal/en el dominio del tiempo (c < 1), se estrecha su transformada en el dominio de la frecuencia. Para cuantificar el efecto que se observa en el pro blema 3, se necesita establecer una medida del ancho de la grfica de una funcin. La medida ms comn mente utilizada es el ancho de la raz cuadrada de la media de los cuadrados, que cuando se aplica a una seal/en los dominios del tiempo y de la frecuencia, conduce a un valor cuadrtico medio (o faz cuadrada de la media de los cuadrados) de duracin D (f) y un valor cuadrtico medio de ancho de banda B (f), dados por x 2[f{x)]2 dx 2 _ [ f ( x ) f d x -oo 2 | / ( a ) | 2 do W ) V De manera que el ancho de banda y la duracin se calculan en relacin a los centros de a = 0 y x = 0 debido a que, segn los problemas 1 y 2, la grfica de |/ ( a )|2 es simtrica con respecto a a = 0 en el domi nio de la frecuencia, y la seal puede recorrerse ho rizontalmente en el dominio del tiempo sin' afectar la grfica de |/(a :)|2 en el dominio de las frecuencias. 4. Muestre que para una familia de funciones f.(x) definida en el problema 3, D (fc) B (fc) es independiente de c. 5. Muestre que para la familia de funciones f c(x) = V 2 D (fc) /?(/.) = . [Sugerencia: Segn el:problema 4, f(x ) = / (x). La integral de Fourier necesaria puede obtenerse rpidamente del ejemplo 3 de la sec cin 7.3. Para calcular las integrales para D{f) y B(f), considere la integracin por partes y por fracciones parciales, respectivamente.] La duracin y el ancho de banda de una seal son en. cierta forma inversamente proporcionales entre s cuando se escala la variable de tiempo. Qu se puede PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 La desigualdad de incertidum bre en el procesamiento de seales XXV
26. 26. decir al respecto de la constante de proporcionalidad? Qu tan pequeo puede ser D ( f ) B ( f ) l Es de des tacar que existe un lmite inferior para este producto. 6. Deducir la desigualdad de la incertidumbre: si [ / ( * ) ] 2 dx < oo, f(a)2 da < oo, lm |a | [ / ( a ) ] 2 = O, X>OO I entonces D ( f ) /? ( /) S: Seguir estos pasos. a) Establezca la frmula de Parseval: I 2-77 . [Sugerencia: Aplique el teorema de convolucin dado en el problema 20, ejercicios 7.4 con g(x) = / ( - a ).] Especficamente, aplique la frmula para la transformada inversa de Fourier dada en (6) de la seccin 7,4, y muestre que g(a) = f(a ), y en tonces fije a = 0.] b) Establezca la desigualdad de Schwartz: para fun ciones reales ht y h2, li{s)h2{s)ds ' A i f r ,. donde la igualdad existe nicamente cuando h2 = ch, donde c es una constante [Sugerencia: Escribir [A /7 ,() - /72(^ ) ] 2 ds como una expresin cuadrtica A2 + B+ C de la variable real . Observe que la cuadrtica es no negativa para toda y considere el discri minante B2 4AC.] c) Establezca la desigualdad de la incertidumbre. [Sugerencia: En primer lugar, aplique la des igualdad de Schwartz como sigue: * /(* )/'(* ) dx [xf(x)]2dx [ f ( x ) f d x ba la segunda integral que aparece en el lado de recho de la desigualdad, utilizando la propiedad operacional (11) de la seccin 7.4 y la frmula de Parseval.] 7. a) Mostrar que si/proporciona el valor mnimo po sible de D(f) B(f), entonces f (x) = cxf(x) donde c es una constante. Resuelva esta ecuacin diferencial para mostrar que / ( a ) = decx!2 para c < 0 y d = a constante. (Dicha funcin se deno mina funcin gaussiana. Las funciones gaussia- nas juegan un papel importante en la teora de probabilidad.) b) Utilice la transformada de Fourier que est a am bos lados de la ecuacin diferencial de la parte a) para obtener una ecuacin diferencial para /( a ) y mostrar que f ( a ) = / ( 0)ea,{2c donde c es la misma que en la parte a). Se necesita conocer la siguiente informacin: / ( a ) eiax dx = O ixf(x)eiax dx = ixj{x) / ( x)eiCLXdx da K (Del problema 35 de los ejercicios 3.11, se tiene que dx = tt. De esta expresin puede deducir que / (O) = s/ 2 tt/c d.) As es que el valor mnimo posible de D ( f ) B (f) se alcanza para una funcin gaussiana, cuya transforma da de Fourier es otra funcin gaussiana! La palabra incertidumbre se asocia con la desigual dad presentada en el problema 6 dado que, desde un punto de vista ms abstracto, es matemticamen te anlogo al famoso principio de incertidumbre de Heisenberg de la mecnica cuntica. (La interpretacin de este principio de mecnica cuntica es un tema sutil, pero comnmente se entiende como mientras mayor sea la precisin con la que se determine la posicin de una partcula, su momentum se conoce con menor pre cisin, y viceversa.) Utilice la integracin por partes para mostrar que l - oox fx ) f ( x ) d x = ~ 2J co00[f(x)]1dx. Reescri- xxvi PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 La desigualdad de incertidum bre en el procesamiento de seales
27. 27. PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular Anton M. Jopko, Ph.D. Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster Universty Las estrellas del firmamento se encuentran a una dis tancia enorme de nosotros, de forma que pueden con siderarse como fuentes puntuales de luz. Si se observa una de estas estrellas a travs de un telescopio, se es perara ver nicamente otro punto de luz, aunque uno mucho ms brillante. Sin embargo, ste no es el caso. Dado que es una onda, la luz se refracta al pasar a tra vs de la abertura circular del telescopio, de forma que la luz se extiende sobre una pequea regin difusa que se denomina patrn de difraccin. Este proyecto inves tiga la forma del patrn de difraccin para la luz que pasa a travs de una abertura circular de radio R. Por simplicidad, se considera que la luz tiene una longitud de onda nica A, o color. Esta luz tiene la forma de un frente de ondas esfrico cerca de la estrella, pero cuando nos alcanza, llega como un frente de ondas plano. Todos los puntos del frente de ondas tienen la misma fase. A continuacin, se apunta el telescopio con su abertura circular directamente hacia la estrella, de manera que los frentes de ondas planas inciden desde la izquierda, como se muestra en la figura 1. Figura 1 Difraccin de la luz A partir del principio de Huygen, cada punto de la abertura circular emite una onda en todas las direc ciones. La difraccin de Fraunhofer requiere que las ondas abandonen la abertura en un conjunto casi para lelo que viaja hacia un punto muy distante P. El nico propsito del lente es formar una imagen puntual de este conjunto paralelo a una distancia mucho ms cer cana a la abertura. La difraccin ocurrira incluso sin el lente. La lnea discontinua que une los dos orgenes es tambin el eje de abertura y del lente. El sistema de coordenadas LM est en el plano focal del lente,| y su origen est donde toda la luz de la estrella aparecera en ausencia de difraccin. Debido a la difraccin, sin embargo, algo de luz tambin aparece en P. El punto P es un punto general, pero muy cercano a O, nicamen te a arco-segundos de distancia! En la figura 2, se han unido la abertura y el lente, dado que en la prctica el borde del lente tambin defi ne la abertura. Debido a la simetra circular del lente y al patrn de difraccin, es muy deseable utilizar coor denadas polares. Suponga que una onda es emitida en un punto S del lente con coordenadas (X, y) o (p, 6) y que llega a P con coordenadas (L, M) o coordenadas angulares (w, i). Entonces X = p eos 9 ,Y = p sen 9, y L 'W eos i/j y M = w sen /r. Aqu, p es la distan cia radial del centro del lente a la fuente S de la onda emitida y 9 es su ngulo polar; w es el radio angular de P y t// es su ngulo polar. Las ondas emitidas en la abertura estn en fase y tienen la misma amplitud, pero todas ellas viajan dis tancias diferentes hacia el punto P, de forma que llegan ah desfasadas. La intensidad de la luz en P es propor cional al cuadrado de la amplitud resultante de todas las ondas que llegan. Ahora se necesita calcular esta amplitud resultante tomando en cuenta las difrencias de fase de las ondas. Se define el nmero de onda de las ondas inciden tes y emitidas como k = 2tt/ A. Entonces, de acuerdo a Principies ofOptics, sptima edicin, de Bom y Wolf, la amplitud resultante en P de todas las ondas emitidas en la abertura es slo la transformada de Fourier de la abertura: U(P) = C -ik (L X + M Y) dXdY abertura ; donde C es una constante, proporcional en paite a la brillantez de la estrella. La intensidad de P viene en tonces dada por U{P)2. ste es el patrn de difraccin para la estrella en funcin del radio angular w. ,- Problemas relacionados l . Muestre que la amplitud resultante en P utilizando los dos sistemas de coordenadas polares puede escribirse como U{P) = C 0ikpw eos ( 0 - rtpdddp PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular xxvii
28. 28. 2. Utilizando la identidad r2tt i 2tt e ix cos ce na d a = j 0 donde J es la funcin de Bessel de primer tipo, mues tre que la amplitud resultante se reduce a U{P) = 2itC J0(kpw)p dp para cualquier i//. Se elige = 0. (Esta expresin es tambin conocida como transformacin de Haitkel de una abertura circular.) 3. Utilizando la relacin de recurrencia ^ - [ u " +' j n+i(u)] = du muestre que , 2JAkRw) 4. Muestre que U(P) = CsRr rr- : Por tanto, la kRw intensidad viene dada por U(P)2 = 27j (kRw) kRw 2 JA kRw) 5. Qu es lm --------------? ivlo kRw 6. Cul es el significado fsico de /0? 7. Cul es el valor de la raz no nula ms pequea de 7,? Utilizando A = 550 nm, R = 10 cm y la raz ms pequea que se acaba de encontrar, calcular el radio angular w (en arco-segundos) del disco central de di fraccin. 2J,{kRw) 8. Dibujar una grfica d e -------------en funcin de kRw kRw as como de la intensidad, que es su cuadrado. El pa trn de difraccin de la estrella consiste en un disco central brillante rodeado por varios anillos concntri cos delgados tenues. Este disco se denomina el disco de Airy en honor de G. B. Airy, quien fue el prime ro en calcular el patrn de difraccin de una abertura circular en 1826. 9. Qu sucede con el ancho angular del patrn de di fraccin si el radio R de la abertura se duplica? 10. Qu sucede con el ancho angular del patrn de di fraccin si la longitud de ondade la luz se dupli ca? 11. Qu sucede con el ancho angular del patrn de di fraccin si la longitud focal del lente se duplica? 12. Suponga que una abertura circular tiene forma de ani llo con radio interno a y radio externo b. Encuentre U(P). (Este resultado es de importancia prctica, dado que los telescopios de reflexin casi siempre tienen una obstruccin en la parte central de la abertura.) 13. Suponga que el anillo del problema 12 es muy es trecho, de forma que b = a + Aa, donde Aa es pe queo pero no infinitesimal. Muestre entonces que la amplitud resultante aproximada viene dada por U(P) = C(2.iraha)J0(kwa). [Sugerencia: Interpretar el resultado U(P) del problema 12 como aproxima- d (u Jx{u)) cion para du = uJQ{u) con u = kwa.] xxviii PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura circular
29. 29. PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos numricos Dmitry Pelinovsky, Ph.D. Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster University Los mtodos de diferencias finitas para la solucin nu mrica de ecuaciones diferenciales parciales pueden ser sorpresivamente inadecuados para aproximaciones numricas. El problema principal con los mtodos de diferencias finitas (especialmente aquellos con esque mas de iteracin explcita) es que pueden amplificar el ruido de redondeo numrico debido a inestabilidades intrnsecas. Dichas inestabilidades aparecen muy fre cuentemente en el trabajo de investigacin. Un ingenie ro debera estar preparado para esta situacin. Despus de emplear muchas horas en el desarrollo de un nuevo mtodo numrico para el modelado de un problema y en la escritura cuidadosa del mtodo en un lenguaje de computadora, el programa de computadora puede lle gar a volverse intil debido a sus inestabilidades din micas. La figura 1 ilustra una solucin numrica de la ecuacin de calor con un mtodo explcito de diferen cias finitas, donde el paso k del tiempo excede la mitad del tamao del paso cuadrado h (ver ejemplo 1 de la seccin 8.2). Es de esperarse que una solucin de la ecuacin de calor para una barra de longitud finita con temperaturas de cero en los puntos extremos debera exhibir un decaimiento suave de una distribucin ini cial de calor hacia el nivel constante de temperaturas cero. Sin embargo, la superficie de la figura 1 mues tra que el decaimiento suave esperado se rompe por el o o Figura 1 Superficie de la solucin numrica ruido que crece rpidamente debido a inestabilidades dinmicas del mtodo explcito. Las inestabilidades de los mtodos numricos de di ferencias finitas pueden entenderse mediantejla aplica cin elemental de la transformada discreta de Fourier, que se estudia en la seccin 7.5. El principip de su perposicin lineal y la transformada discreta de Fourier permiten separar variables en un mtodo numrico de diferencias finitas, y estudiar la evolucin individual en el tiempo (iteraciones) de cada modo de Foujrer de la solucin numrica. Por simplicidad, se considera el mtodo explcito de diferencias finitas para la ecuacin del calor u, = uxx en el intervalo 0 < x < a sujeto a condiciones de frontera nulas en los puntos extremos x = 0 y x = a y una condi cin inicial no nula en el instante t = 0. La discretizacin numrica conduce al esquema de iteracin explcito: i1 uiJ+ 1 = Au-lwj + (1 - 2A)uj + Xm;+i,j , (1) Donde u j es una aproximacin numrica de la so lucin u(x, t) en el punto de la retcula x = x y en el instante t = t, mientras que A = k/h2 es el parmetro de discretizacin. Si se observa el instante de tiem po t = tj, j ^ 0 y se expande el vector numrico (u0 j, U j, ..., un j) definido en la malla igualmente espaciada x = ih, i = 0, 1 donde nlv= a, en la transformada sinusoidal de Fourier discreta: " i r i l;,r uj = 2 j I, i sen 1 = > 11> >n (2) Las condiciones de frontera u0 - 1, j = 0 se satisfa cen para cualquier j > 0. Debido al principio; de super posicin lineal, se considera cada trmino de la suma de la ecuacin (2) por separado. Entonces se sustituye u j = aj sen (k), k = irl/n en el mtodo:explcito (1) y se obtiene j:1 alJ+1 sen (k,) = (1 2A)aj sen (k,) + ; Aa, J sen (k,( + 1)) + sen (k,( 1)) J. (3) Utilizando la identidad trigonomtrica, sen (ki( + 1)) + sen (k,( - 1)) = 2 eos (/q) sen (k;), el factor sen (k,) se cancela en la ecuacin; (3), y se obtiene una frmula de iteracin simple para al . ai,j+1 = Qiai,ji donde i Q, = 1 - 2A + 2Acos (k,) ; (4) Dado que el factor Q es independiente dej, es claro que la amplitud a, j del modo de Fourier sen ( k ) cambia en j & 0, de acuerdo con la potencia del factor Qf. aij = Qim.o, 7 0 La amplitud a, j crece en j si | U y est acotada o decae si |)/| 1- Por tanto, la estabilidad del mtodo PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos numricos xxix
30. 30. de iteracin explcito se define a partir de la condi cin Qi ^ I, para todo l = 1, 2, ..., n (5) Dado que Q < 1 para A > 0, la restriccin para la estabilidad (5) puede reescribirse como 1 4Asen2f y -J s 1, / = 1, 2, . . . , n (6) que resulta en la estabilidad condicional del mtodo explcito para 0 < A < 0.5. Cuando A > 0.5, el primer modo de Fourier inestable corresponde a I = n, que es el responsable de un patrn de secuencia alternativa en el espacio creciente en el tiempo de uj. Este patrn se observa claramente en la figura 1. As, se pueden estudiar las inestabilidades de los mtodos de diferencias finitas utilizando la transfor mada discreta de Fourier, el principio de superposicin lineal, y los factores de iteracin explcita en el tiempo. El mismo mtodo puede aplicarse a otros mtodos de diferencias finitas para ecuaciones de calor y de onda, y en general a una discretizacin de cualquier ecuacin diferencial parcial lineal con coeficientes constantes. Problemas relacionados 1. Considere el mtodo implcito de Crank-Nicholson para la ecuacin de calor u, = uxx (ver ejemplo 2 de la seccin 8.2): ~ M/-i,y+i + au,j+1 u+,j'+i = u-i,j - [3uu + ui+1J (7) dondea = 2(1 + l/A),/3 = 2(1 1/ A),yA = k/h2. Encuentre la frmula explcita para Q en la ecuacin (4) y demuestre que el mtodo implcito de Crank- Nicholson (7) es estable incondicionalmente para cualquier A > 0. 2. Considere el mtodo explcito de diferencias centrales para la ecuacin de calor u, = uxx. u,j+1 = 2K ut-i.j ~ 2u.j + u+i,j) + Uu - 1- (8) Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 1, reduzca la ecuacin (8) a un esquema de iteracin en dos pasos: i =r 4A(cos (k) - 1)au + a , ^ x. (9) Utilizando el esquema de iteracin explcito (4), en cuentre una ecuacin cuadrtica para Q, y resulvala con la frmula cuadrtica (puede consultar el ejemplo 1 de la seccin 9.2 del tomo I). Demuestre que el m todo explcito de diferencias centrales (8) es incondi cionalmente inestable para cualquier A > 0. 3. Considere el mtodo explcito de diferencias centrales para la ecuacin de onda u = c2u (ver ejemplo 1 de la seccin 8.3 del presente libro): j+ i = + 2(1 - A2)uj + A2i/+j - tiij-y, ( 10) donde A = ck/h es el nmero de Courant. Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 2, encuentre y resuelva la ecuacin cuadrtica para Q,. Demuestre que 2,| = 1 cuando ambas races de la ecuacin cua drtica son complejas. Demuestre que la constriccin para la estabilidad (5) se viola cuando ambas ra ces de la ecuacin cuadrtica son distintas y reales. Demuestre que el mtodo explcito de diferencias centrales (10) es estable para 0 < A2 S 1 e inestable para A2 > 1. 4. Considere el mtodo de retroceso en el espacio y avance en el tiempo para la ecuacin de transporte ii, + cux = 0 : u,j+1 = ( I A )k Uj + A w ,_u (11 ) donde A = ck/h. Considere la transformada discreta de Fourier compleja con el modo, de Fourier, u j = a, je'K, donde k = ttI /h , i = V T y encuentre el factor complejo Q, en el esquema de iteracin de un paso (4). Pruebe que el mtodo de re troceso de espacio y avance en el tiempo (11) es esta ble para 0 < A l e inestable para A > 1. 5. Considere el mtodo espacio central y retroceso en el tiempo para la ecuacin de transporte u, + cux = 0: A+i,y+i "F 2iijj+ , Au,_1; +| = 2uj (12) Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 4, demuestre que el mtodo de espacio central y retro ceso en el tiempo (12) es incondicionalmente estable para cualquier A > 0. XXX PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos numricos
31. 31. Por bayet Por Dayet
32. 32. ' ^ 1 Vectores 2 Matrices 3 Clculo vectorial 3
33. 33. C A P T U L O 1 Vectores Estructura del captulo 1.1 Vectores en el espacio 2D 1.2 Vectores en el espacio 3D 1.3 Producto escalar 1.4 Producto vectorial 1.5 Lneas y planos en el espacio 3D 1.6 Espacios vectoriales 1.7 Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt Ejercicios de repaso del captulo 1 El concepto de vector suele abordarse en prcticam ente todos los cursos de clculo, as como en los de fsica e ingen iera. Para la m ayora de los lectores este captulo representa, por lo ta n to , un repaso de tem as fam iliares como los productos escalar y vectorial. De cualquier form a, en la seccin 1.6 se plantea el concepto abstracto de vector. 4
34. 34. 1.1 Vectores en el espacio 2D 0 Introduccin En ciencias, matemticas e ingeniera, se distinguen dos cantidades importantes: los escalares y los vectores. Un escalar es simplemente un nmero real o una cantidad que tiene magnitud. Por ejemplo, la longitud, la temperatura y la presin sangunea se representan con nmeros como 80 m, 20C y la relacin sistlica/diastlica 120/80. Por su paite, un vector se describe generalmente como una cantidad que tiene tanto magnitud como direccin. M Vectores geomtricos Geomtricamente, un vector se representa por medio de un segmento de lnea dirigido esto es, por una flecha y se denota con un smbolo en ne gritas o mediante un smbolo con una flecha encima, por ejemplo: v, u o A B . La figura 1.1 muestra ejemplos de cantidades vectoriales como el peso w, la velocidad v y la fuerza retar dante de friccin Fy. a) b) c) Figura 1.1 Ejemplos de cantidades vectoriales II Notacin y terminologa Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo punto terminal (o destino) es B se escribe AB . La magnitud de un vector se escribe || AB ||. Cuando dos vectores tienen la misma magnitud y la misma direccin se dice que son iguales. As, en la figura 1.2, se tiene que AB = CD . Los vectores son libres, lo cual significa que un vector puede moverse de una posicin a otra siempre y cuando su mag nitud y direccin no varen. El negativo de un vector AB , denotado como -A B , es un vector que tiene la misma magnitud que AB pero posee direccin opuesta. Si Z: A 0 es un escalar, el mltiplo escalar de un vector, k A B , es un vector que es k veces ms largo que AB . Si k > 0, entonces kAB tiene la misma direccin que el vector AB ; si k < 0, entonces kAB tiene direccin opuesta a la de AB . Cuando k = 0, se dice que 0 AB = 0 es el vector cero.* Dos vectores son paralelos si, y slo si, entre ellos son mltiplos es calares diferentes de cero. Vase la figura 1.3. H Suma y resta Dos vectores pueden compartir un punto inicial comn, como el punto A de la figura 1Aa). As, si los vectores no paralelos AB y AC son los lados de un parale- logramo como el de la figura 1Ab), se dice que el vector que se halla en la diagonal princi pal, o A D , es la suma de AB y A C . Se escribe AD = AB +A C . La diferencia entre los vectores AB y AC se define como AB - AC = AB + ( - A C ) . *Cuando se pregunta cul es la direccin de 0 normalmente se responde que al vector cero se le puede asig nar cualquier direccin. Especficamente, se necesita el 0 para poder tener un lgebra vectorial. A C Figura 1.2 Vectores igualas Figura 1.3 Vectores paralelos B a) b) Figura 1.4 El vector AD es la suma de AB y AC 1 1.1 Vectores en el espacio 2D 5
35. 35. a) b) Figura 1.5 El vector CB es la resta de AB menos AC Como se ve en la figura 1.5a), la resta AB - AC se inteipreta como la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados son B y - A C . Sin embargo, como se muestra en la fi gura 1.5>), tambin es posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado del tringulo con lados AB y A C . En esta segunda interpretacin, se observa que la resta vectorial CB = AB - AC apunta hacia el punto terminal del vector del cual se est restando el segundo vector. Si AB = AC entonces AB - AC = 0. Vectores en un plano coordenado Para describir analticamente n vector, su pngase para el resto de esta seccin que los vectores considerados se encuentran en un plano coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en el plano se le denomina R2. El vector mostrado en la figura 1.6, con punto inicial en el origen O y punto terminal P(x, yj), se denomina el vector de posicin del punto P y se escribe como O P = ( x u y l). Componentes En general, un vector a en R2 es cualquier par ordenado de nmeros reales, a = (au a2). Los nmeros a{ y a2se conocen como los componentes del vector a. Como se mostrar en el primer ejemplo, el vector a no es necesariamente un vector de posicin. b) Figura 1.7 Los vectores en a) y b) son los mismos Ejemplo 1 Vector de posicin El desplazamiento entre los puntos (*, y) y (x + 4, y + 3) de la figura 1Ja) se escribe (4, 3). Como se ve en la figura 1.7>), el vector de posicin de (4, 3) es el vector que inicia en el origen y termina en el punto P(4, 3). Tanto la suma y resta de vectores, como la multiplicacin de vectores por escalares, etc., se definqn en funcin de sus componentes. D E F I N I C I N 1.1 Suma, multiplicacin escalar, igualdad Sean a = (au a2) y b = (bu b2) vectores en R2. i) Suma: a + b = (a^ + b, a2+ b2) (1) ii) Multiplicacin escalar: ka = (kah ka2) (2) iii) Igualdad: a = b si, y slo si, a, = bu a2 = b2 (3) Resta Utilizando (2), se define el negativo de un vector b como -b = (-l)b = (-b l,- b 2). La resta o diferencia de dos vectores se define entonces como a - b = a + (b) = (a - bu a2- b2). (4) CAPITULO 1 Vectores
36. 36. En la figura 1.8a) se ilustra la suma de los vectores OPt y OP2. En la figura 1.8>), el ' vector PP2, con punto inicial P, y punto terminal P2, es la resta de los vectores de posi cin P tP2 = OP2 - OP, = {x2- x u y2- y i). Como se muestra en la figura 1.8>), el vector PP2 puede dibujarse comenzando por el punto terminal de OP, y finalizando en el punto terminal de OP2, o tambin como el vector de posicin OP cuyo punto terminal tiene coordenadas (x2-x ,y 2- y l). Recurdese que OP y PP2 se consideran iguales, puesto que tienen la misma magnitud y la misma direccin. Ejemplo 2 Suma y resta de dos vectores Si a = (1, 4) y b = ( - 6, 3), encuentre a + b, a - b y 2a + 3b. Solucin Se utilizan (1), (2) y (4). a + b = ( 1 4 (-6), 4 + 3) = . As, un vector uni tario con la misma direccin que a es el mltiplo escalar u = : v l a = v ^ 2 , ~ ^ ( v t v f ) ' Un vector unitario con la direccin opuesta a a es el negativo de u: V s ' V s / Si a y b son vectores y cq y c2 son escalares, entonces la expresin c,a + c2b se de nomina una combinacin lineal de a y b. Como se muestra a Continuacin, cualquier vector en R2puede escribirse como una combinacin lineal de dos vectores especiales. I Vectores i, j Teniendo presentes (1) y (2), cualquier vector a = (a, a2) puede escri birse como una suma: (a h a2) = (a, 0) + (0, a2) = a ^ l, 0) + a2. (5) A los vectores unitarios ( 1, 0) y (0, 1) usualmente se les asignan los smbolos especiales i y j. Vase la figura 1.10). As, si i = y j = , Entonces (5) se convierte en a = ai + a2j. (6) Se dice que los vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de vectores bidi- mensionales, puesto que cualquier vector a puede escribirse como una combinacin lineal nica de i y j. Si a = i + a2j es un vector de posicin, entonces la figura 1.10b) muestra que a es la suma de los vectores qi y a2j, que tienen al origen como punto inicial comn y se halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El escalar a, se llama la componente hori zontal de a, y el escalar a2se denomina l componente vertical de a. Ejemplo 4 Operaciones vectoriales utilizando i y j a) , b = (0, -5> 4- a = i j, b = 2 i + 6J 5. a = -3 i + 2j, b = 7j 6. a = (1,3), b = -5a 7. a = -b, b = 2i - 9j 8. a = (7, 10), b = (1, 2) En los problemas 9-14, encuentre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b. 9. a = (1,-3), b = (-1,1) 10. a = i + j, b = 3i - 2j11.a= i - j,b = -3i + 4j 12. a = (2,0), b = (0, -3)13.a=), se considera que el peso del semforo se representa por w y las fuerzas en los dos cables por Fj y F2. De la figura 1.19c), se observa que una condicin de equilibrio es w + Fj + F2 0. (7) Observe el problema 39. Si w = - 200j F, = (||F,|| eos 20)i + (||F,|| sen 20)j F2 = (||F2|| eos 15)i + (||F2|| sen 15)j, utilice (7) para determinar las magnitudes de F, y F2. [Sugerencia: Vuelva a leer el inciso ii) de la definicin 1.1.] b) t > . c) Figura 1.19 Tres vectores de fuerza del problema 46 47. Una carga elctrica Q se distribuye uniformemente a lo largo del eje y entre y = - a y y = a. Vea la figura 1.20. 10 CAPTULO 1 Vectores
37. 40. La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje x debida a la carga Q es F = Fxi + Fy jdonde F = M . 47re0 . F 31 47780 Ldy _a 2a(L2 + y2)3'2 ydy _a 2a(L2 + y2)3'2' Determine F. . . Q L q Figura 1.20 Carga sobre el eje x del problema 47 48. Utilizando vectores, muestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre s. [Sugerencia: Suponga que M es el punto medio, de una diagonal y N, el punto medio de la otra.] 49. 50. Utilizando vectores, muestre que el segmento de lnea que se encuentra entre los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud. I: Un avin sale de un aeropuerto localizado en el origen O y vuela 150 millas en la direccin 20 norte, desde el este, hacia la ciudad A. Desde A, el aeroplano vuela entonces 200 millas en la direccin 23 oeste, desde el norte, hacia la ciudad B. Desde B, el avin vuela 240 millas en la direccin 10 sur, desde el oeste, hqJcia la ciudad C. Exprese la ubicacin de la ciudad C.corno un vector r tal como se muestra en la figura 1.21. Encuentre la distancia desde O hasta C. N 1 Figura 1.21 Avin del problema 50 I 1.2 Vectores en el espacio 3D Introduccin En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la posicin de un punto P es asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales, o per pendiculares, llamados los ejes y y x. Si P es el punto de interseccin entre la lnea x = a (perpendicular al eje x) y la lnea y - b (perpendicular-al eje y), se dice entonces que el par ordenado (a, b) son las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Vase la figura 1.22. En esta seccin se amplan los conceptos de coordenadas cartesianas y vectores a tres dimensiones. 5istema coordenado rectangular en el espacio 3D Entres dimensiones, o es pacio 3D, un sistema coordenado rectangular se construye utilizando tres ejes mutua mente ortogonales. El punto en el que estos ejes se intersecan se denomina el origen O. Estos ejes, mostrados en la figura 1.23), se nombran de acuerdo con la llamada regla plano ! b) Figura 1.22 Coordenadas ||: rectangulares en el espacio 2D Figura 1.23 Coordenadas rectangulares en el espacio 3D 1.2 Vectores en el espacio 3D i: 1 1
38. 41. de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha apuntando en la direccin del eje x positivo se doblan hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntar en la direc cin de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se nombra como eje z. Las lneas punteadas de la figura 1.23) representan al eje negativo. Ahora, si x = a, y = b, z = c Figura 1.24 Octantes Ll Octantes Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. Como se muestra en la figura 1.24, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinan al plano xz, etc. Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina el primer octante. No existe consenso para la denominacin de los otros siete octantes. La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un eje coordenado o en un plano coordenado. Como se ve en la tabla, se describe tambin, por ejemplo, el plano xy a travs de la sencilla ecuacin z = 0. Anlogamente, el plano xz es y = 0 y el plano yz es x = 0. Ejes Coordenadas Plano Coordenadas x (a, 0, 0) xy (a, b, 0) y (0, b, 0) XZ (a, 0, c) z (0, 0, c) yz (0, b, c) Ejemplo 1 Grficas de tres puntos Grafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3, -1) y (-2, -2, 0). son planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z, respectivamente. Entonces, el punto P en el que estos planos se intersecan se representa por una tripleta ordenada de nmeros (a, b, c) conocidos como las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Los nmeros a ,b y c son, a su vez, llamados las coordenadas x, y y z de P(a, b, c). Vea la figura 1.23b). Figura 1.25 Puntos del ejemplo 1 Figura 1.26 Distancia d entre dos puntos del espacio 3D Solucin De los tres puntos mostrados en la figura 1.25, nicamente (4, 5, 6) se encuen tra en el primer octante. El punto (-2, -2, 0) se encuentra en el plano xy. O [d{Px,P 2) f = [ V ( x 2 - x,)2 + (y2 - y,)2]2 + Iz2 ~ Z2 Frmula de la distancia Para hallar la distancia entre dos puntos P|(x,, y,, z) y P2(x2, y2, Z) del espacio 3D, considrese su proyeccin sobre el plano xy. Como se muestra en la figura 1.26, la distancia entre (x, y!, 0) y (x2, y2, 0) se deduce a partir de la conocida frmula de la distancia en el plano, y es igual a/'(x2 Xj)2 + (y2 yi)2. Si las coordenadas de P3son (x2, y2, Zj), entonces el teorema de Pitgoras aplicado al trin gulo rectngulo PP2P3lleva a o d(Ph P2) = V ( x 2 - x)2 + (y2 - y,)2 + (z2 ~ z t)2. (i) Ejemplo 2 Distancia entre dos puntos Encuentre la distancia entre (2, -3, 6) y (-1, -7, 4). Solucin Al seleccionar P2como (2, -3, 6) y P como (-1, -7, 4), la frmula (1) da d = V (2 - ( - 1))2 + ( - 3 - (7))2 + (6 - 4)2 = V 29. ' II Frmula del punto medio La frmula para determinar el punto medio de un seg mento de lnea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla de forma anloga a la del 12 CAPTULO 1 Vectores
39. 42. espacio 2D. Si P,{x,, yu Z]) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, entonces las coordena das del punto medio del segmento de lnea que existe entre ellos son x, + x2 y + y2 z, + z2 (2) Ejemplo 3 Coordenadas de un punto medio Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de lnea entre los dos puntos del ejemplo 2. Solucin De (2) se obtiene '2 + (-1 ) - 3 + (-7 ) 6 + 4 2 5,5 . Vectores en el espacio 3D Un vector a en el espacio 3D es cualquier tripleta orde nada de nmeros reales a =l (fll>a2>^3), donde a,, a2 y a3 son las componentes del vector. El conjunto de todos los vectores del espacio 3D se denota por el smbolo R3. El vector de posicin de un punto P(x, y,, Zj) en el espacio es el vector OP = (jq, y, z) cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto terminal es P. Ver la figura 1.27. Las definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicacin escalar, etc', son generalizaciones naturales de aqullas para vectores en R2. D E F I N I C I O N 1.2 Definiciones por componentes en el espacio 3D Sea a = (a,, a2, a3) y b = (bh b2, b3) vectores en R2. i) Suma: a + b = (a, + bu a2+ b2, a3+ b3) ii) Multiplicacin escalar: ka = (ka,, ka2, ka2) iii) Igualdad: a = b si, y slo si, a = b, a2 = b2, a3= b3 iv) Negativo: -b = (-l)b = (->,, -b 2, -b 3) v) Resta: a - b = a + (-b) = {al - bu a2- b2, a3- b3) vi) Vector cero: 0 =