Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1 Enrique Castillo Universidad de Cantabria Un Algoritmo...
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1
Enrique Castillo
Universidadde
Cantabria
Un Algoritmo que Revoluciona Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del Álgebra. la enseñanza del Álgebra.
Aplicaciones a la IngenieríaAplicaciones a la Ingeniería
porpor
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 2
El algoritmo de Jubete
1. Obtener el subespacio ortogonal a un subespacio dado y su complemento.
2. Calcular la inversa de una matriz.
3. Actualizar la inversa de una matriz tras cambiar una fila o columna.
4. Obtener el determinante de una matriz.
5. Actualizar el determinante de una matriz tras cambiar una fila o columna.
6. Determinar el rango de una matriz.
7. Determinar si un vector pertenece a un espacio vectorial.
8. Obtener el subespacio intersección de dos subespacios.
9. Resolver un sistema lineal homogéneo de ecuaciones.
10. Resolver un sistema lineal completo de ecuaciones.
11. Estudiar la compatibilidad de un sistema lineal de ecuaciones.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 3
ALGORITMO DE ORTOGONALIZACION DE JUBETE
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 4
INVERSA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 5
INVERSAS SIMULTANEAS DE SUBMATRICES DE UNA MATRIZ
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 6
INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ
ACTUALIZACION DE INVERSAS
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 7
INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ
ACTUALIZACION DE INVERSAS
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 8
Subespacios Ortogonales y Complementos
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 9
Subespacios Ortogonales y Complementos
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 10
RANGO DE UNA MATRIZ
Además da los coeficientes de la
combinación lineal
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 11
PERTENENCIA A UN ESPACIO VECTORIAL
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 12
INTERSECCION DE DOS SUBESPACIOS
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 13
RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 14
RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO (EJEMPLO)
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 15
RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 16
RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 17
RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 18
COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 19
COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA (EJEMPLO)
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 20
Conexión modelo-realidad
Las matemáticas son herramienta fundamental en Ciencia e Ingeniería.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 21
Conexión modelo-realidad
El alumno debe conocer la relación entre los elementos ingenieriles y los matemáticos.
El alumno debe saber cómo actualizar soluciones.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 22
Conexión modelo-realidad
El alumno debe saber cuando un elemento es redundante tanto desde el punto de vista ingenieril como matemático y de sus implicaciones en la seguridad del servicio y los grados de libertad de la solución general.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 23
Conexión modelo-realidad
El alumno debe relacionar la topología de una red con el número de incógnitas y ecuaciones matemáticas que la definen.
El alumno debe saber plantear el problema de formas diferentes.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 24
Conexión modelo-realidad
El alumno debe saber plantear problemas con desigualdades.
El alumno debe saber plantear hipótesis alternativas.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 25
El Problema del abastecimiento de agua
El alumno debe identificarlas incógnitas del problema.
El alumno debe identificarlas ecuaciones del problema.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 26
El Problema del abastecimiento de agua
Número de ecuaciones.Número de incógnitas.
Numeración de los nodos.Restricciones.
¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las incógnitas?
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 27
Planteamiento del
problema
El alumno debe saber plantear el problema enforma de ecuacionesmatemáticas y especialmenteen forma matricial.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 28
Planteamiento del
problema
El alumno debe saber numerar los nodos y diferenciar entre una numeración correcta y una que no lo es.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 29
Análisis de la
Solución
¿Tiene solución?
¿Es única la solución?
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 30
CONDICION DE COMPATIBILIDAD
Caudal que entra = caudal que sale :
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 31
CONDICION DE COMPATIBILIDAD
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 32
CONJUNTO DE SOLUCIONES(sin límites de capacidad)
El alumno debe saber obtener todas las soluciones posibles.Hay infinitas soluciones.
(Espacio afín asociado a un espacio vectorial de dimensión 4).
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 33
Interpretación de las soluciones
Solución particular.Se puede cambiar por cualquier otra.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 34
Interpretación de las
soluciones
Solución de flujo interno localsin entradas
ni salidasde fluído.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 35
Interpretación de las
soluciones
Solución de flujo interno localsin entradas
ni salidasde fluído.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 36
Interpretación de las
soluciones
Solución de flujo interno localsin entradas
ni salidasde fluído.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 37
Interpretación de las
soluciones
Solución de flujo interno localsin entradas
ni salidasde fluído.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 38
Planteamiento del
problema
El alumno deberáidentificar modelosno adecuados e identificar lasrestricciones quefaltan.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 39
Conos
a1
a2
a1
a2
-a1
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 40
Espacio vectorial como cono
a1
a2
-a1
-a2
a1
a2
-a1-a2
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 41
Cono y dual de un cono
a1
a2
Conoinicial
Conodual
w1
w2
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 42
Dual de un cono. Algoritmo Gamma
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 43
Dual de un cono. Algoritmo Gamma
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 44
Algunos problemas que resuelve el algoritmo Gamma
1. Obtener el cono dual de uno dado
2. Obtener la representación mínima de un cono.
3. Obtener las caras de cualquier dimensión (vértices, aristas, caras, etc.) de un cono o polítopo.
4. Determinar si un vector pertenece a un cono.
5. Comprobar si dos conos son idénticos.
6. Obtener la intersección de dos conos.
7. Obtener la imagen recíproca de un cono por una aplicación lineal.
8. Decidir si un sistema lineal de inecuaciones es compatible.
9. Resolver un sistema lineal homogéneo de inecuaciones.
10. Resolver un sistema lineal completo de inecuaciones.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 45
Cono asociado a un polítopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 46
Caras y vértices de un polítopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 47
Caras y vértices de un politopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 48
Caras y vértices de un polítopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 49
Caras y vértices de un polítopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 50
Caras y vértices de un polítopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 51
Resolución de Sistemas homogéneos de inecuaciones
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 52
Resolución de Sistemas completos de inecuaciones
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Resolución de Sistemas completos de inecuaciones
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Compatibilidad de Sistemas de inecuaciones
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Planteamiento del
problema
El alumno deberáidentificar modelosno adecuados e identificar lasrestricciones quefaltan.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 56
Condiciones de
compatibilidad
Es necesario Interpretarlasfísicamente paraver si representanel modelo deseado.
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Condiciones de
compatibilidad
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 58
CONJUNTO DE SOLUCIONES (con límites de capacidad)
Capacidad de cada conducción = 6
El conjunto de todas las soluciones sirve para contestar a muchas preguntas interesantes desde los puntos de vista matemático e ingenieril.
La solución es un polítopo
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 59
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones sobredimensionadas)
Capacidad de cada conducción = 6
En ninguna de las componentes de la solución alcanzan su capacidad. Podría limitarse la capacidad de cada una de ellas al máximo que figura en las distintas soluciones.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 60
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones que no pueden fallar)
Capacidad de cada conducción = 6
Toman valores del mismo signo (todos positivos o todos negativos) en todas las soluciones.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 61
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de parejas que no pueden fallar simultáneamente)
Capacidad de cada conducción = 6
Esta condición implica que todas las landas deben ser nulas.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 62
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones con caudal fijo)
Capacidad de cada conducción = 6
Toman idénticos valores en todas las aristas.
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CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)
Capacidad de cada conducción = 6
Para que la conducción 10 no lleve caudal deben ser las cuatro primeras landas nulas.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 64
CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)
La conducción 7 puede fallar pues tiene componentes positivas y negativas.
¿Puede fallar la conducción 7?
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 65
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 7 y 10 averiadas)
La conducción 4 puede fallar si landa 2 es nula.
¿Puede fallar la conducción 4?
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 66
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 4,7 y 10 averiadas)
¿Puede fallar alguna otra conducción?
Ninguna puede fallar, pues la solución es única (mala ingenierilmente, pues no queda flexibilidad alguna).
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 67
VALVULAS DE RETENCION EN LAS CONDUCCIONES 2 Y 15
Es la suma de un espacio afin de dimensión 2 y un cono generado por dos vectores.
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 68
EJEMPLO DE EVALUACION (1)
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EJEMPLO DE EVALUACION (2)
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EJEMPLO DE EVALUACION (3)
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EJEMPLO DE EVALUACION (4)
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 72
BIBLIOGRAFIA
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 73
INTERNET
Con la colaboración de Elena Alvarez Sáiz se ha implementado el algoritmo de ortogonalización en una aplicación de enseñanza asistida por computador, accesible a través de Internet:
http://personales.unican.es/alvareze/
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Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 74
TALLER
1. Diseñar un sistema de abastecimiento de agua con dos depósitos y varios nudos de servicio que contenga un sistema redundante de tuberías.
2. Determinar la dimensión del espacio vectorial que aparece en la solución general del sistema de ecuaciones resultante.
3. Obtener la solución general de éste sistema manualmente.
4. Plantear un problema de programación matemática que conduzca a solución única del problema.