Matemticas en la antigua ChinaChina, ese gigantesco pas que ocupa la mayor parte del extremo oriente asitico y que hoy es el ms poblado de la Tierra y el tercero en superficie, ha sido cuna de una de las primeras civilizaciones de la historia. sta se desarroll en la llanura ubicada entre los ros Amarillo (Hoang-Ho) y Azul (Yang-Tse-Kiang), por lo que tambin la incluimos en el grupo de las culturas llamadas potmicas.

Asia en la AntigedadSe conoce poco sobre las matemticas chinas de la Antigedad, debido en parte a la dificultad en la conservacin de manuscritos, los que por haber sido escritos durante siglos sobre pergaminos vegetales, no resistieron el paso del tiempo; tambin hubo razones ideolgico-polticas, cuyo ejemplo ms dramtico es la quema de casi todos los textos cientficos y filosficos en el ao 213 a.C. por orden de un emperador de la poca. Los estudios arqueolgicos y los textos primitivos permitieron conocer los rasgos principales de la civilizacin china durante sus primeras manifestaciones, en tiempos incluso anteriores al 2000 a.C., cuando se establecieron en el poder las primeras dinastas: Hia y Chang. China conoci grandes filsofos que se volcaron a un misticismo profundo, relativamente alejado, en sus principios, de pensamiento cientfico. Una muy breve lista de descubrimientos e invenciones que son patrimonio de la cultura china es la siguiente:

Siglo -Ao XXX a.C. XV a.C. IX-VIII a.C. VII a.C. II a.C. - 125 I d.C. 25 a.C. 399 577 812 850 954 1000 1060

Invento o descubrimiento Seda Sistema de numeracin decimal Existencia del campo magntico terrestre Laca Acero Papel (a partir de morera y bamb) Porcelana Gas y petrleo Puente de arco Puente colgante Fsforo Papel moneda Brjula Fundicin Imprenta de tipos mviles Reloj mecnico

Un buen nmero de conocimientos tcnicos chinas nos fueron transmitidos por los rabes a partir del siglo VIII, en oportunidad de la invasin a Espaa Meridional. La civilizacin China fue, durante cuatro milenios aproximadamente, de carcter feudal (ya fuera en la forma de dinastas, reinos o imperios), bajo el control absoluto de un clan familiar, el que se auto-atribua la mayora de las veces un vnculo especial con poderes divinos-sobrenaturales, hbilmente justificados por las castas religiosas. El servaje o vasallaje, sistema esclavista rural, estuvo presente en China hasta 1949. Los medios de produccin eran propiedad del poder central, a la vez que administrados por l, en funcin de las polticas de dominacin y expansin geogrfica. La tcnica y ciencias, desde los primeros tiempos, estuvieron esencialmente al servicio de las necesidades del poder, ya fueran econmicas, financieras, fiscales y de infraestructura. La obra pblica, en particular las hidrulicas y constructivas (canales, diques, puentes, puertos), as como la recaudacin y clculo de impuestos a travs del vasto territorio, impulsaron la confeccin de herramientas matemticas bien especficas, que incluyeron variadas frmulas de clculo para superficies y permetros, tasas de capitalizacin y de inters compuesto, sistemas de ecuaciones de primero, segundo, tercero y hasta cuarto grado, etc. Rasgos generales de la matemtica en la China Antigua y Medieval La matemtica china clsica fue esencialmente del tipo clculo-algortmica; es decir, la secuencia tradicional de plantear un problema, fijar las condiciones particulares, resolver el caso particular, repetir para problemas similares y por ltimo sealar el algoritmo, o sea, la regla general o sucesin de operaciones necesarias para problemas del tipo estudiado. La exposicin era del tipo expositivo-dogmtica, y no se presentaban demostraciones, deducciones, explicaciones ni definiciones. Se sabe que hacia el ao 700 d.C. el estado monrquico tom a su cargo la enseanza de la matemtica como materia central en las distintas profesiones. La matemtica china, como toda su cultura, permaneci muy aislada de otras civilizaciones euro-asiticas durante milenios, sobre todo por razones geogrficas, ya que hacia el oeste y hacia el sur, las grandes cadenas montaosas (Himalaya y Pamir) y las estepas del Tbet y Asia Central dificultaban muchsimo el intercambio comercial-cultural, limitndolo slo a grupos pequeos y espordicos intercambios de viajeros, exploradores, religiosos y mercaderes. Se piensa que recin hacia el siglo X de nuestra era hubo cierta constancia en los vnculos con la India, desde donde tomaron la cifra cero, por ejemplo, pero no existe ninguna evidencia de que puedan haber sido influenciados por el saber egipcio, mesopotmico o menos an el griego. Es importante sealar que la opresin feudal y la presin de la religin determinaron el carcter lento y estancado del desarrollo de todas las ciencias, la matemtica incluida. Si descontamos los viajes de Marco Polo en el siglo XIV, fue recin en el siglo XVI cuando la Europa Renacentista se propuso viajes al Extremo Oriente, con objetivos comerciales esencialmente, pero que luego fueron estratgico-militares. En particular fueron los nobles italianos quienes organizaron las primeras expediciones cientfico-comerciales, que por otra parte tenan el fin natural de evangelizar los pueblos recin conquistados o descubiertos; en ese marco es que el monje jesuita Ricci se establece en la zona de Cantn en 1583 , y desde all , con un grupo de maestros , difunde los adelantos de la poca, es decir, las matemticas griegas, o lo que haba quedado de ellas y regresado a Europa a travs de rabes y bizantinos. Puede decirse que, salvo contadas excepciones, la creatividad y fecundidad de las matemticas de China se detuvieron durante ms de tres siglos. En lneas generales, esta ciencia, como las otras, sufri desde aquellos primeros contactos con la cultura occidental, un profundo perodo de estancamiento, caracterstico de todo pas colonial, y que dur hasta mediados del siglo XX, poca en que, luego de casi un siglo de desgarradoras guerras internas, el sistema feudal hereditario cay bajo la revolucin comunista de Mao Ts Tung.

Principales documentosI - El I ChingLos primeros documentos en los que puede decirse que aparecen elementos matemticos son los vinculados con el Taosmo, en particular el I Ching, en donde el Pa-Kua o Libro de las permutaciones (hacia 2200 a.C.) muestra los antecedentes ms antiguos de una forma binaria de escritura de los nmeros. En este texto, originalmente escrito sobre pergaminos , se anotaron los 8 trigramas, smbolos base de rituales adivinatorios, y que combinados daban lugar a los 4 hexagramas msticos. Hay en estos smbolos una muy clara asociacin con los nmeros. Los smbolos iniciales de este aparente sistema binario se llamaban Ying-Xio (- -) y YangXio ().

Fu-Shi y los Ocho Trigramas (emperador legendario del 3000 a.C., considerado el fundador de la escritura china)

De las dos lneas bsicas del Yin y del Yang evolucionan los ocho Trigramas y finalmente los Trigramas abren el camino a los 64 Hexagramas del I Qing. Los 64 Hexagramas del I Qing, son considerados de naturaleza binaria, un sistema muy similar al que la informtica actual emplea para identificar las unidades de informacin elementales (bits). Leibniz, el matemtico que comparte con Newton el mrito de la creacin del clculo, estaba reflexionando sobre los enteros binarios cuando se cruz con el I Ching en 1689. El sacerdote jesuita Bouvet le haba enviado una copia desde China, con una lista de los hexagramas en el ordenamiento de Fuxi y un diagrama de distribucin. Leibniz reconoci al instante los smbolos de los hexagramas como otra manera de representaciones binarias de los sesenta y cuatro enteros de 0 a 63, con Tierra como 0 y Cielo como 63. Qued muy sorprendido al encontrar, en tan antigua fuente, la misma idea con la que estaba trabajando; o sea, que a partir de la dada elemental 0 y 1 se puede, en principio, construir todo, argumento para su estudio binario de matemtica. En su primer discurso completo sobre los enteros binarios, publicado en 1703, reconoci su origen en "los diagramas chinos antiguos de Fohy (Fuxi)." Crea que Dios haba revelado la verdad a Fuxi tres mil aos antes de su tiempo.

Cuadrados mgicos

El inters chino por los cuadrados mgicos parece estar ms asociado con la adivinacin que con las matemticas. La leyenda dice que el emperador Yu hall dos diagramas durante el tercer milenio a.C., uno en un caballo-dragn mgico que surgi del Hoang-Ho y el otro en el caparazn de una tortuga encontrada en el Luo, un afluente del Huang-Ho. Las primeras ilustraciones de la cruz y el cuadrado mgicos datan del siglo X y no se sabe de cuadrados ms grandes que 3x3 hasta el siglo XIII. Hasta entonces, las supuestas propiedades mgicas no haban sido mencionadas y Yang Hui se concentr en las propiedades numricas de una serie de cuadrados y crculos numricos. De hecho, los matemticos rabes empezaron a estudiar los cuadrados mgicos en el siglo IX y uno de los cuadrados mgicos rabes, fechado en la era mongol (1279-1368), ha sido hallado recientemente en Xi'an.

II - El Zhou-BeiEl texto conocido como Zhou-Bei, o Chou-Pei tambin conocido como el Cnon de cmputos gnomnicos Zhou (hacia -1250, aunque algunos prefieren datarla en el -300), es un relato en el que la matemtica aparece figuradamente a travs de los dilogos entre un prncipe y su ministro; es esencialmente un texto de astronoma que muestra cmo medir las posiciones de los cuerpos celestes utilizando relojes de sol llamados tambin gnomones, y el lector rpidamente se encuentra con clculos astronmicos, as como una introduccin a las propiedades de los tringulos rectngulos; se revela claramente que la matemtica, en este pas, surgi de la agrimensura. El Zhou-Bei contiene una descripcin de la regla de Gougu (la versin china del Teorema de Pitgoras) y la aplica a la vigilancia, astronoma, y otras materias. Aunque es ampliamente aceptado que el trabajo contiene una prueba del citado teorema griego, hay autores que afirman que la creencia falsa se origin en un error de traduccin. El Chou Bei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro tringulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Analicemos una prueba visual para un tringulo de a = 4, b = 3 y c = 5 como se ve en el Chou Bei. Demostracin: Sea el tringulo rectngulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el rea del cuadrado de lado c es igual a la suma de las reas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Si aadimos tres tringulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamao. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de a - b El rea de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Es evidente que el rea del cuadrado de lado c es la suma del rea de los 4 tringulos de altura a y base b que estn dentro de l ms el rea del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema. De hecho, gran parte de las matemticas chinas de este perodo proceden de la necesidad de calcular el calendario y predecir las posiciones de los cuerpos celestes. La palabra china choren se refiere tanto a matemticos como a astrnomos mostrando la cercana que haba entre las dos reas. Un primitivo choren fue Luoxia Hong (aproximadamente entre el 130 a. de C. y el 70 a. de C.) que cre un calendario basado en un ciclo de 19 aos.

III El Zhui-ZhangLa obra cumbre de la matemtica en la Antigua China que nos ha llegado es, sin lugar a dudas, el texto conocido como El arte matemtico en nueve secciones (Zhui Zhang Suan Shu) , cuya versin ms antigua data de 152 a.C., poca en la que habra sido compuesta, como coleccin y sistematizacin de textos

antiguos, por Chuan-Tsanom ; hay que recordar, sin embargo, que probablemente las fuentes de este texto hayan sido convertidas en cenizas durante la gran hoguera de libros ordenada en 213 a.C. La versin que fue estudiada y comentada por los clsicos fue editada a mediados del siglo I d.C.; uno de sus principales estudiosos fue Liu-Hui en el siglo III d.C. Se sabe incluso que la versin que hoy se puede conocer sobrevivi gracias, sobre todo, a la memoria de varios sabios y a algunos manuscritos celosamente escondidos de las llamas. En los siglos VII al X de nuestra era se constituy en un texto fundamental para los que ingresaban al servicio del Estado, a la vez que era consulta clsica para las investigaciones matemticas de los sabios de entonces. Esta obra es un conjunto de 246 problemas sobre agrimensura, astronoma, agricultura, ingeniera, impuestos, clculo, resolucin de ecuaciones y tringulos rectngulos. A modo de resumen ilustrativo se detalla los contenidos principales de cada pergamino: Libro I - Medicin de campos

Se calcula correctamente el rea de figuras rectilneas; para las curvilneas se toma un valor de = 3. Se presenta tambin las reglas operativas de clculo, en particular con fracciones, siendo notable la reduccin de stas a un comn denominador. El sistema de numeracin es el jeroglfico, sin smbolo necesario para el cero. Libro II Relacin entre las diferentes formas de cereales Refleja la prctica de cobro de impuestos sobre el grano, medido en unidades de volumen; los problemas son de regla de tres simple y divisin proporcional Libro III - Divisin escalonada

Sobre todo problemas de divisin proporcional, reglas de tres simple y compuesta Libro IV Shao-Huan

Problemas geomtricos: determinacin de del lado de un rectngulo dada el rea y el otro lado, reglas de extraccin de races cuadradas y cbicas, el hallazgo del radio del crculo dada su rea (con = 3 y slo

en un problema = 27/8 )

Libro V Estimacin de los trabajos

Clculo para la construccin de paredes fortificadas, torres, fosos, murallas, diques, etc. Se miden y evalan volmenes de diferentes cuerpos, fuerzas de trabajo, materiales y medios de transporte bajo distintas condiciones. Libro VI Distribucin proporcional

Al contenido del Libro III, esta vez aplicado al clculo de justas proporciones en los sueldos de funcionarios, se aade las frmulas para calcular sumas de progresiones aritmticas. Libro VII Exceso-defecto

Incluye problemas que se resuelven con ecuaciones lineales y sistemas; se elabora el mtodo de resolucin, que es el de solucin errnea o falsa posicin; el mtodo no est formulado de manera precisa y se dan muchas variedades con caractersticas particulares. Libro VIII Fan-Chen

El libro octavo contiene, entre otros tpicos, la resolucin de problemas que llevan a sistemas de ecuaciones lineales, por medio de un procedimiento llamado Fan-Chen , que se anticip en ms de diecisiete siglos al genial alemn Gauss, gracias a quien se populariz como Mtodo de Gauss-Jordan en la Europa de comienzos del siglo XIX. Libro IX

Se dedica a los clculos de distancias y alturas de objetos muy remotos o inaccesibles, con ayuda del Teorema de Pitgoras (aunque no con ese nombre); tambin aborda las propiedades de los tringulos semejantes. Es interesante sealar la aparicin de un mtodo de bsqueda de ternas pitagricas:

X = ; y = (2-2)/2 ; z= (2+2)/2Tambin en el noveno libro, y posteriormente en un manuscrito del siglo XII llamado Las nueve partes aparece el mtodo llamado all Fan-Fa o Mtodo del elemento celeste, que sirvi para la resolucin de ecuaciones de alto grado, obtenindose races racionales con mucha precisin y hasta irracionales con alto grado de aproximacin. De hecho este mtodo es prcticamente coincidente con el llamado Mtodo de Horner, nombre que se le dio en Occidente por ser este matemtico ingls que trabaj a comienzos del siglo XIX el que lo descubri primero en aquellas latitudes, ignorando completamente que ya alguien se le haba adelantado varios siglos. Este libro, el noveno incluye el clebre Problema del bamb roto: donde se combina el Teorema de Pitgoras con la resolucin de ecuaciones cuadrticas, ya que el problema supone resolver la ecuacin: X2 + 32 = (10X)2. Hay un bamb de diez pies de altura, que se ha roto de tal manera que su extremo superior se apoya en el suelo a una distancia de tres pies de la base. Se pide calcular a qu altura se ha producido la rotura,

IV El espejo preciosoEl libro ms conocido despus de las nueve secciones es El espejo precioso de los cuatro elementos, de Zhou-Jigue, quien lo escribi entre 1280 y 1303. Aqu se postulan y resuelven problemas algebraicos muy complejos, que incluyen sistemas de ecuaciones simultneas, ecuaciones de hasta grado 14, series infinitas y hasta el uso del tringulo aritmtico (mal llamado de Pascal) para la obtencin de los coeficientes de los desarrollos de potencias altas naturales. Los cuatro elementos son las cuatro incgnitas en forma figurada, cielo, tierra, hombre, objeto. A esta altura de la historia, la matemtica china ya muestra maduracin tanto en el manejo de tcnicas algebraicas como en el perfeccionamiento de lo simblico.

V La matemtica de la Isla del MarEn geometra, la obra de Liu-Hui (siglo III d.C.), titulada Haidao suanjing o La Matemtica de la Isla del Mar fue publicada, en 263, inicialmente como complemento y comentario a Los nueve libros, e insiste sobre cuestiones que recurren sistemticamente a la semejanza de tringulos o a Pitgoras. Una mencin al ltimo descubrimiento en arqueologa de las matemticas es el Suan shu shu, un libro de aritmtica fechado en los alrededores del ao 180 a.C. Est escrito en tiras de bamb y se encontr cerca de Jiangling, en la provincia de Hubei.

Los inicios de la geometraEl trabajo ms antiguo existente que muestra los comienzos de la geometra en China fue el Mo Jing (o cnon de los Mohistas), perteneciente a los primeros escritos de una secta filosfica pacifista que firm con un seudnimo colectivo de Mozi (entre 470 a.C y 390 a.C). Este canon estuvo destinado a poner a disposicin de los oprimidos los conocimientos sobre el arte militar y las correspondientes bases cientficas , principalmente en mecnica y ptica, destacndose la teora de los espejos planos, curvos y de las sombras, en las que se aprecian notables abstracciones geomtricas. El Mo-Jing fue ocultado completamente cuando se iniciaron las persecuciones del primer emperador, el mismo que incendi el saber clsico. Recin en el siglo XVIII salieron a luz. A pesar de que el Mo Jing es el libro ms antiguo existente de la geometra en China, existe la posibilidad de que incluso exista material an ms antiguo, pero la dramtica quema de textos (y asesinato de intelectuales) citada no ha dejado rastros de materiales anteriores. Este libro presenta conceptos geomtricos en matemticas que son tal vez demasiado avanzados y no ha tenido un antecedente conocido al respecto. El Mo Jing describe diversos aspectos sobre muchos campos relacionados con la ciencia y la fsica y proporcion un pequeo cmulo de informacin sobre las matemticas. Al igual que Euclides, el Mo Jing dijo que "un punto puede estar en la final de una lnea, o en su inicio". Al igual que las teoras de Demcrito, en el Mo Jing leemos que un punto es la unidad ms pequea, y no puede ser reducido a la mitad, ya que 'nada' no puede ser reducido a la mitad. Asimismo afirma que dos lneas de igual longitud siempre terminan en el mismo lugar, a la vez que proporciona definiciones para la comparacin de las longitudes y los paralelos, junto con los principios de espacio y limites espaciales.

El clculo del valor de en ChinaComo en todas las culturas de la poca, los matemticos y tcnicos chinos necesitaron contar con un valor que permitiese vincular las medidas principales de crculos y sus circunferencias correspondientes, es decir, que estableciera la proporcin entre dimetros y permetros, incluso cuando la especificacin de esa constante apareci despus de varios siglos.

En Las Nueve secciones se presenta diversas maneras de calcular medidas de figuras curvilneas, con un error que seala su origen en perodos muy antiguos, ya que incluso tan temprano como en el siglo I fueron mejorados. Un ejemplo de diseo de inscripciones es el del dodecgono: Antes de Liu-Hui se consideraba el permetro del hexgono regular inscripto en el crculo como equivalente a la circunferencia del crculo y el rea del dodecgono regular inscripto como equivalente al rea del crculo. La figura muestra la transformacin del rea del dodecgono en rectngulo; se obtiene as un rectngulo cuyo ancho es el radio del crculo y cuya longitud es el semi-permetro del hexgono regular inscripto en el crculo. Una consecuencia del hecho de considerar el rea del dodecgono inscripto como el rea del crculo justifica el valor usado en la poca: S=3/4.d2

Siglo I : Siglo II :

= 3,1547 = 10El clculo se basa en la propiedad, aceptada en la poca, de que el cociente del

2R

cuadrado entre la longitud del crculo inscripto en el cuadrado y el cuadrado del permetro de dicho cuadrado es 5/8. Por lo tanto: (Lc)2 :(Pc)2 = 5/8 , entonces 4 2R2 64R2 = 5/8, desde donde se llega al valor de 10

Siglo III : por medio de la aproximacin a la longitud de la circunferencia con polgonos inscriptos, de hasta 192 lados. Se obtiene un valor de = 3,14, el que fue tiempo despus mejorado con un polgono de 3072 lados, el que da el increblemente preciso valor de = 3,14159

Siglo V : Qu-Ching (430-501) llega a acotar el valor de entre 3,1415926 y 3,1415927

Estampilla Micronesia donde se puede apreciar el mtodo de aproximacin de Liu-Hui para el clculo del valor de

Algunos matemticos clebres Zhang Heng (78 - 139)

Zhang Heng fue un destacadsimo cientfico chino nacido en la ciudad de Nanyang.Durante una larga poca de su vida fue astrnomo real bajo la Dinasta Han y traz uno de los primeros mapas estelares, rivalizando sin saberlo con el que cre Hiparco en el ao 129 a.C., desconocido para Zhang. En este mapa, situ las posiciones exactas de 2.500 estrellas y bautiz unas 320. Estim que el cielo nocturno, del que slo poda ver una parte, contena 11.500 estrellas, una cifra exagerada para un observador con buena vista, pero no fue una mala estimacin. Explic los eclipses lunares correctamente, argumentando que se producan cuando la luna atravesaba la sombra de la tierra, e imagin la Tierra como una pequea esfera suspendida en el espacio, rodeada por un inmenso y lejansimo cielo esfrico. En el ao 123 corrigi el calendario para hacer calzar las estaciones del ao. En una de sus publicaciones, Ling xin (un resumen de las teoras astronmicas de su poca), aproxim el nmero como 730/232 (aprox. 3,1465). En una de sus frmulas usadas para clculo de volmenes esfricos, us como la raz de 10 (aprox. 3,162)

Zu Chongzhi (429-501)Matemtico chino y astrnomo que vivi y estuvo al servicio de Liu Song y de las dinastas de Qi .Naci en 429 en Jiankang (hoy Nanjing). Su familia estuvo histricamente unida a la investigacin astronmica, y desde su niez estuvo en contacto con matemticos y astrnomos. Ya desde joven se hizo muy famoso por su talento. Escribi el Zhui shu (Mtodo de interpolacin) en el que demostr que 3,1415926 < < 3,1415927. Recomend utilizar como buena aproximacin en un trabajo menos exacto.. Los comienzos del lgebra china se ven en el trabajo de Wang Xiaotong (alrededor del 580 - alrededor del 640). Escribi el Jigu suanjing (Continuacin de las matemticas antiguas), un texto con 20 problemas que ms tarde se convertira en uno de los Diez clsicos. Resolva ecuaciones cbicas extendiendo un algoritmo para encontrar races al

cubo. Su trabajo es considerado como un primer paso hacia el tian yuan o 'mtodo de arreglos de coeficientes' o 'mtodo de la incgnita celeste' de Li Zhi para clculos con polinomios. Entre sus descubrimientos:

el calendario Daming introducido en 465. dos aproximaciones del nmero pi, logradas a travs de su mtodo de interpolacin Zhui shu , y gracias al cual estableci la aproximacin ms precisa durante novecientos aos. Su mejor acercamiento est entre 3.1415926 y 3.1415927; aparte dej fijadas, para clculos rpidos, las aproximaciones racionales 355/113 (Mil, aproximacin detallada) y 22/7 ( Yuel, aproximacin cruda). Junto a su hijo Zu Geng dedujo que el volumen de una esfera es 4/3r, donde r es el radio; para ese resultado realiz aproximaciones empleando una tcnica casi idntica la Principio de Cavalieri (siglo XVII). Cabe recordar que este clculo ya haba sido descubierto previamente por Arqumedes.

Liu Hui (alrededor del 220 - alrededor del 280)Sabio que hizo un importante avance matemtico en un comentario a los Nueve captulos del arte matemtico alrededor del 263. Sobre l se dijo: Liu Hui, gran matemtico de la dinasta Wei Jin, apareci en una poca de teorizacin matemtica en la antigua China, y contribuy de gran manera a la materia. Entre el 'Jiu Zhang Suan Shu Zhu' y el 'Hai Dao Suan Jing' es posible ver que Liu Hui hizo un hbil uso del pensamiento en imgenes al igual que en forma lgica y dialctica. Resolvi muchos problemas matemticos, llevando su razonamiento matemtico ms all de la dialctica. Liu Hui proporcion un acercamiento ms matemtico que los textos chinos primitivos, creando principios en los cuales se basaron sus clculos. Encontr aproximaciones al uso de polgonos regulares con 3 2n lados inscritos en un crculo. Su mejor aproximacin de lo que era la obtuvo de un polgono regular de 3072 lados. Est claro que comprenda el proceso iterativo y la nocin de lmite, en realidad conoca, por creacin propia, el Mtodo de Exhaucin imaginado y desarrollado por Eudoxo, y aplicado hasta el extremo por Arqumedes, en la Edad de Oro Griega. Liu escribi tambin el ya citado texto geomtrico La matemtica de la isla del mar.

Sun Zi o Sun Tzu (entre 400 y 460 aproximadamente)Talentoso astrnomo y matemtico chino, que trabaj en la elaboracin de un calendario ; se interes tambin en las ecuaciones llamadas hoy diofnticas y se le atribuye la primera escritura del Teorema Chino del Resto, en su libro Sun Tzu Suan Ching (literalmente Clculos clsicos de Sun Tzu ). Estos textos fueron publicados por primera vez en 1247 par Qin Jiushao Teorema Chino del Resto El teorema es la respuesta al problema llamado entonces problema del Maestro Zun Sean objetos cuyo nmero se ignora. Contndolos de a tres sobran 2 ; contndolos de a 5 , sobran 3 y contndolos de a 7, sobran 2. Calcular el nmero de objetos.

La respuesta es 23, dada por el texto original de manera bastante oscura en relacin a la enseanza moderna del teorema. Contando de a 3, quedan 2 ; tomar 140 Contando de a 5, quedan 3 ; tomar 63 Contando de a 7, quedan 2 ; tomar 30 Hacer la suma de estos tres nmeros, se obtiene 233 ; sustraer 210 de este total, de all la respuesta 23 En general, para cada unidad que resta de una divisin por 3, escribir 70 : para cada unidad que reste de dividir por 5 , escribir 21 ; para cada unidad que reste de dividir por 7, escribir 15. Si la suma as obtenida vale 106 o ms quitarle 105 para encontrar la respuesta.