Matemáticas - Expresiones fraccionarias y radicales (I)
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MATEMÁTICAS
EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES HOJA 1
1-(2) Halla el valor numérico de la fracción:
x2 - 7x + 10
x2 - 6x + 8 para los valores 2, 0 y 4
Para calcular el valor numérico sustituimos la variable x por cada uno de los valores que nos dan y realizamos luego las operaciones indicadas
a) Para x = 2 0
0
b) Para x = 0 10 5
8 4
c) Para x = 4 -2
0
2-(3) Indica para que valores de x existe el valor numérico de estas fracciones.
a) x2 - 5x + 6
x = 4 Existe valor numérico para todos los valores excepto X = 4
b)
x = 3 Existe valor numérico para todos los valores excepto X = 3
3-(4) 1 una fracción algebraica?
4
1 = 4x2
+ 8x + 1 Si, el numerador es un polinomio
4 4 y el denominador un monomio de grado 0 no nulo
4-(5) x2
x
expresión no existe en x = 0, y el de la segunda si. ¿Sabrías explicar por qué?
Al sustituir x por 0 se obtiene la forma indeterminada Esta indeterminación se puede eliminar si
suprimimos el factor que la produce, x. Para ello simplificamos dividiendo el numerador y el denominador por x
x2 El valor numérico de la primera expresión no existe porque no se puede
x dividir por 0, el valor de la segunda expresión en x = 0 es 0
5-(6)Escribe una fracción algebraica que esté determinada en todos los puntos salvo en x = 1 y x = - 3
Buscamos una fracción algebraica cuyo denominador tome el valor 0 para x = 1 y x = - 3. Aplicando la factorización de polinomios:
El numerador puede ser cualquiera
6-(9) Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones:
(x + 1)(x2 - x) = (x2
- 1)x = x3
-x2+x
2- x = x
3- x
Sí son equivalentes =
=
x2
+ 2x +
¿Es x2+ 2x +
R(X) =(x - 1)(x + 3)
= x.
0
0
= x.
S(x) =x - 3 = 0
x2 - 9
x - 3
=4
- 14 + 10
4 - 12 + 8
T(4) =42
- 7·4 + 10=
42- 6·4 + 8
Cuando el denominador de una fracción algebraica toma el valor 0, se dice que el valor numérico no existe o no está determinado. Para saber qué
valor es ese, igualamos el denominador a 0.
x - 4R(x) =
x - 4 = 0
no existe
no existe
T(0) =02
- 7·0 + 10=
0 - 0 + 10
=
=02
- 6·0 + 8 0 - 0 + 8
Dos fracciones son equivalente si el producto de sus medios es igual al producto de sus extremos
x2
- 1
x
T(x)=
T(2) =22
- 7·2 + 10
22- 6·2 + 8
16 - 28 + 10
=16 - 24 + 8
x3
- x
x + 1y
En la unidad anterior viste que Sin embargo, el valor numérico de la primera
x3
- x
=x
2+ 3x -x - 3
=x2 + 2x - 3
(x + 1)
x + 1
x
x2 - 1
x2 - xy
x2
- x
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MATEMÁTICAS
EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES HOJA 2
7-(10) Escribe tres fracciones equivalentes a:
Para obtener fracciones equivalentes multiplicamos o dividimos numerador y denominador por el mismo polinomio no nulo.
a) 1) x - 2 (x - 2)x
x x2
2) 3)
b) 1)
2) 3)
8-(11) Simplifica las siguientes fracciones:
Para simplificar descomponemos en factores numerador y denominador y suprimimos los factores comunes convirtiendo la fracción inicial en irreducible.
a)
b)
1 -6 5 1 -8 15
1 1 -5 5 5 -15
1 -5 0 1 -3 0
9-(12) Simplifica y halla el valor numérico para x = 2, la siguiente fracción:
7
3
10-(13) Observa la figura:
x a) ¿Cuántos cuadrados pequeños caben dentro del cuadrado grande?
x + 1 Para averiguar cuantos cuadrados pequeños caben debemos dividir e l lado del cuadrado grande por el lado
del cuadrado pequeño.
Caben x cuadrados por lado, luego caben x · x = x2 cuadrados
b) ¿ Cabrá siempre un número entero de cuadrados sea cual sea x?
Si. Para cualquier valor de x entero, positivo siempre cabrá un número de cuadrados igual a x 2
11-(16) Opera estas fracciones:
a)
a)
x
22+ 2 + 1
2 + 1=
x2+ x + 1
x + 1Para x = 2=
x3
- 1
x2
- 1=
(x - 1)(x2+ x + 1)
(x -1)(x + 1)
=1
x4
- 1 (x2
+ 1)(x2
- 1) x2 - 1=
1
x2 - 1
x - 3
x - 1=
(x -3)(x - 5)
(x - 1)(x - 5)
(x2
+ 1)(x2
- 1)
x2
+ 1
x3 - 1x2 - 1
x2 - 6x + 5
x2 - 8x + 15
x2
- 6x + 5
x2
- 8x + 15=
x4 - 1
x2
+ 1
x4
- 1=
=x2 + x (x + 1)(x + 1)
x3 - x (x2- 1)(x + 1)
x + 1
(x + 1)x
(x2
- 1)x
x2 - 1(x + 1)
(x + 1)(x - 1)
=x(x - 2)
=1
x - 1
(x - 2)(x - 2)
=x2 - 2x
x2
(x - 2)(x + 2)
x(x + 2)=
x2 - 4
x2 + 2x
(x - 2)x2= (x - 2)x
2x - 2
x
x3 + 5
x - y
=13x + 1
x2
+ 1=
x2
+ 1
x2 +2x + 1
x2 - 4x + 4
x2 - 2x
x3 + x2 - x - 1=
=5xy - 1
x - y
3xy -(1 - 2xy)
x - y
3xy -1 + 2xy=
3xy-
1 - 2xy=
x - y x - y
3xy-
1 - 2xyx - y x - y
=
7x+
6x + 1
x3
+ 5 x3
+ 5=
7x + 6x + 1
x3
+ 5
=x (x + 1)
x + 1
x3 + 5
x2
(x - 2)x
x2 + 1
x2
+ x x2
+ x
x + 1
7x+
6x + 1
x3 + 5
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MATEMÁTICAS
EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES HOJA 3
12-(17) Efectúa las siguientes operaciones:
1)(x + a)2 = x2 + a2 + 2ax
2)(x - a)2 = x2 + a2 - 2ax
3)(x + a)(x - a) = x2 - a2
a)
b)
13-(18) Realiza estas operaciones:
Recordamos los productos notables: 1) (x + a)2 = x2 + a2 + 2ax 2) (x - a)2 = x2 + a2 - 2ax 3) (x + a)(x - a) = x2 - a2
a)
b)
(x + 1)(x - 1)(x + 2)
Efectuamos las distintas multiplicaciones: Si no se os da bien, operad en vertical.
a) x(x + 2)(x - 2)3) = x(x2
- 4) = x3 - 4x b) 2(x - 1)(x - 2) = 2(x2
- 2x - x + 2) = 2(x2
- 3x + 2) = 2x2 - 6x + 4
c) (x + 1)(x - 1)3) = x2- 1 d) (x + 2)(x - 2)3) = x
2- 4
x x
2x -2 - x + 4
x3
- x x3
- 4x
- x -2 - 4x 4
14-(19) Realiza las siguientes sumas:
a) 1 1 b) 1 1 1x x2 x x2 x3
1 1 x 1 1 1 1 x2 x 1
x x2
x2
x2
x x2
x3
x3
x3
x3
0
+
+ + =
+
= x2
x + 1 x2 +x + 1
x3+ + =
+
+ = +
= - 9x + 6
x3- x
2- 4x + 4 x3 - x2 - 4x + 4x
3- x
2- 4x + 4
x3
- 4x + 2x2- 6x + 4 - (x
3+ 2x
2- x - 2)
=x
3 - x
3+ 2x
2 - 2x
2- 4x - 6x + x + 4 + 2
d)
x3 + 2x2
x2
- 4x - 1
x3 - x2
x2
- 1x + 2
a) b)
- =(x + 2)(x - 1)(x - 2)
c)
x(x + 2)(x - 2)
(x - 1)(x + 2)(x - 2)+
2(x - 1)(x - 2)
(x + 2)(x - 1)(x - 2)
x + 1=
x - 1 x + 2 x - 2
x+
2-
x + 1x - 1 x + 2 x - 2
x+
2-
=x - 2 - x - 2 + 4
=x
2- 4
1(x + 2)
(x - 2)(x + 2)+
4
(x + 2)(x - 2)=
x2
- 4
x - 2 - (x + 2) + 4
En estos ejercicios es muy útil recordar los productos notables:
=1(x - 2)
(x + 2)(x - 2)-
(x + 2)(x - 2)
4
x2
- 43)
=1
-1
+x + 2 x - 2
+4
x2 - 4
1-
1+
4
x + 2 x - 2
1-
1
x + 2 x - 2
7x2+ 31x + 12
x2
- 16
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador hay que empezar igualando los denominadores. Para ello descomponemos los denominadores en
factores y hallamos fracciones equivalentes con el mismo denominador.
= =5x
x2
- 16+
5x
(x + 4)(x - 4)
(7x + 3)(x + 4)7x + 3+
5x=
x - 4 x2
- 163)
7x + 3+
5x
x - 4 x2 - 16
=
x2
- 16
5x + 7x2+ 31x + 12
=7x2+ 36x + 12
x2 - 16
7x + 3+
x - 4 (x - 4)(x + 4)
2x-
x + 2x - 5 x - 1
2x-
x + 2=x - 5 x - 1 -
2x(x - 1)
(x - 5)(x - 1) (x - 1)(x - 5)
(x + 2)(x - 5)=
2x2 - 2x - (x2 - 3x - 10)
x2 - 6x + 5=
2x2
- 2x - x2 + 3x + 10=
x2
- 6x + 5
x2 + x + 10
x2 - 6x + 5
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MATEMÁTICAS
EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES HOJA 4
c) 1 1 1 1
x x2 x3 x4
1 1 1 1
x x2
x3
x4
d) 1 1 1 1 1
x x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
x x2
x3
x4
x5
Fíjate en los coeficientes del numerador y el denominador en cada suma obtenida.
1 1
x x2
1 1
x x2
15-(22) Calcula estos productos:
En la multiplicación de fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
a)
x2 + 2x
b)
+ 3x -1
- 4x 12
Efectuamos las distintas multiplicaciones:
x x
- x x -1 - 6x 12
2x3
- 2x2
2x 2x3
- 4x
+ 3x -1 - 4x 12
16-(23) Efectúa los productos y simplifica el resultado:
En la multiplicación de fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
Para simplificar debemos previamente factorizar el numerador y el denominador. Recordamos los productos notables.
a)
b)
x(x2- x + 1)
Factorizamos:
x3
+ 1 1 0 0 1 x3
+ 1 = (x2
- x + 1)(x + 1)
-1 -1 1 -1
1 - 1 1 0
x3 - x2 + x
x - 1
(x2 - x + 1)(x + 1)
( x + 1)(x - 1)· =
(x - 1)=
=x
2
·x + 1
x( x + 1)
x + 1
x3 + 1
x - 1
x
(x + 1)(x - 1)
x3=
x2(x + 1)(x - 1)
(x + 1)x3
x2 - 1 x + 1
x3
+ 1·
x2
+ x=
x2
- 1 x + 1
x2
·x
2- 1
=x + 1 x
3
·x2 + x
2x3 - 3x2
2x3 - 6x2
x2
·x2 - 1
x + 1 x3
2x3 - 3x2
2x2
-4
x - 3
2x3 - 6x2
x - 3
x2
- x + 1
2x2 - 4 =
(2x - 1) · (x2
- x + 1)
(x - 3) · (2x2 - 4)
2x - 1
=
2x - 1
·
x2- x + 1
=x2 - 1
2x - 1·
x - 3
x2 - x + 1
2x2 - 4
x + 1·
x - 1
x x + 2
x + 1x
x - 1x + 2
·
1
x1000 ?
+ + …… +1
x1000
=
+
=x4 +x3 + x2 +x + 1
x5+ +
=(x + 1)(x - 1)
x(x + 2)
+ +
x999 +x998 + ….. + 1
x1000
+ + +
+ +
+ + =x3 + x2 +x + 1
x4
+¿Cuánto valdrá
+ + +
+
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MATEMÁTICAS
EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES HOJA 5
17-(24) Opera estos cocientes:
Para dividir fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda.
a)
4x2 + 20x + 7x + 35 4x2 + 27x + 35
a)
10x3 + 15x -2x2 - 3 10x3 - 2x2 + 15x - 3
18-(25) Calcula estos cocientes y simplifica:
Para simplificar debemos previamente factorizar el numerador y el denominador. Atención a los productos notables.
a)
(x + 6)12x 12x2 + 72x
b)
19-(26) Ayuda a Laura a resolver su problema:
En este tipo de ejercicios es "muy importante" identificar los productos notables y factorizar en su caso, para simplificar al máximo antes de operar-
Factorizamos:
1 - 4 3 1 - 5 6
1 1 - 3 2 2 - 6
1 - 3 0 1 - 3 0
3x3 - x2 - 3x + 12x2
+ 3 3x - 1 x2 - 1 (3x - 1)(x2-1)
=(5x - 1)(2x
2+ 3)
= =3x3 - 3x - x2 + 1
3x3 + x2=
3x3 + x2
5x - 1:
x2 - 13x - 1 2x2 + 3
2x2 + 3·
5x - 1: =
5x - 1
3x - 1
x2
- 1
x2 x + 5
(4x + 7)(x + 5)
x2(3x + 1)
4x + 7:
3x + 1=
x2
x + 5
4x + 7:
3x + 1
3x + 1
4x + 7==
x2
·x + 5
x
x2 - 36 :
12x2
x - 6
x:
12x2
x2
- 36 x - 6= ·
7
x50 - 1
x - 6
12x2(x + 6)(x - 6)
x
= ·
=1
=1
x100-1:
x50 - 1x50 + 1 7
x100
-1:
x50
- 1
x50
+ 1 7
(x50 + 1)(x50 - 1)
x50
+ 1= 7
x2 - 6x + 9
x2 - x:
x2 - 4x + 3
x2 - 4x + 4:
x2 - 5x + 6
x2 - 2x + 1
x2 - x x2 - 4x + 4 x2 - 2x + 1
x2 - 6x + 9:
x2 - 4x + 3:
x - 2x
x2 - 5x + 6·
(x - 1)(x - 1) =x(x - 1)
x2- 4x + 3
(x - 1)(x - 3) (x - 2)(x - 3)(x - 3)(x - 3) · (x - 2)(x - 2) ·
(x - 1)(x - 1)
x2- 5x + 6
=(x - 2)(x - 2)
x2- 4x + 3
x2- 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
x2- 5x + 6
x2- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
·=(x - 3)(x - 3)
x(x - 1)